7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
1/350
ii
AnalisisAnalisisAnalisisAnalisisRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikJilid 1Jilid 1Jilid 1Jilid 1(Analisis di Kawasan Waktu dan
Kawasan Fasor)
Darpublic Edisi April 2012
Sudaryatno Sudirham
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
2/350
i
Analisis
Rangkaian ListrikJilid 1(Analisis di Kawasan Waktu dan Kawasan Fasor)
olehSudaryatno Sudirham
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
3/350
ii
Hak cipta pada penulis.
SUDIRHAM, SUDARYATNO
Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1
(Analisis di Kawasan Waktu dan Kawasan Fasor)
Darpublic, Kanayakan D-30 Bandung, 40135
www.ee-cafe.org
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
4/350
iii
Pengantar
Buku Analisis Rangkaian Listrik pernah diterbitkan pada tahun
2002. Isi buku tersebut penulis tata-ulang dan penulis sajikan dalam
beberapa jilid agar lebih leluasa menambahkan materi bahasan
baru. Buku jilid pertama ini berisi pokok-pokok bahasan yang
diarahkan untuk membangun kemampuan melakukan analisis
rangkaian listrik, ditujukan kepada para pembaca yang untuk
pertama kali mempelajari rangkaian listrik. Materi bahasan
mencakup analisis di kawasan waktu yang penulis sajikan dalamsebelas bab, dan analisis di kawasan fasor dalam lima bab.
Lima bab pertama dari keseluruhan materi bahasan, berisi bahasan
mengenai perilaku piranti-piranti listrik maupun besaran fisis yang
ada dalam rangkaian. Dengan pengertian tentang kedua model ini,
bahasan masuk ke landasan-landasan untuk melakukan analisis
rangkaian listrik di empat bab berikutnya, disusul dengan dua bab
yang berisi contoh aplikasi analisis rangkaian. Lima bab terakhir
berisi analisis rangkaian di kawasan fasor sistem satu-fasa serta
pengenalan pada sistem tiga-fasa berbeban seimbang. Denganmemahami materi bahasan pada buku jilid pertama ini, pembaca
akan mampu melakukan analisis rangkaian yang biasa disebut
rangkaian arus searah dan rangkaian arus bolak-balik.
Mudah-mudahan sajian ini bermanfaat bagi para pembaca. Penulis
mengharapkan saran dan usulan para pembaca untuk perbaikan
dalam publikasi selanjutnya.
Bandung, April 2012Wassalam,
Penulis
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
5/350
iv
DarpublicKanayakan D-30, Bandung, 40135
Open CoursesOpen Course Ware disediakan olehDarpublic di
www.ee-cafe.orgdalam format .ppsx beranimasi
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
6/350
v
Daftar Isi
Kata Pengantar iii
Daftar Isi v
Bab 1: Pendahuluan 1Pengertian Rangkaian Listrik . Pengertian Analisis
Rangkaian Listrik. Struktur Dasar Rangkaian, Besaran
Listrik, Kondisi Operasi. Landasan Untuk Melakukan
Analisis.Cakupan Bahasan
Bab 2: Besaran Listrik Dan Model Sinyal 9
Besaran Listrik. Sinyal dan Peubah Sinyal. BentukGelombang Sinyal.
Bab 3: Pernyataan Sinyal Dan Spektrum Sinyal 37Pernyataan-Pernyataan Gelombang Sinyal. Spektrum
Sinyal.
Bab 4: Model Piranti Pasif 57Resistor. Kapasitor. Induktor. Induktansi Bersama.
Saklar. Elemen Sebagai Model Dari Gejala.
Transformator Ideal.
Bab 5: Model Piranti Aktif, Dioda, dan OPAMP 83Sumber Bebas. Sumber Praktis. Sumber Tak-Bebas.
Dioda Ideal. Penguat Operasional (OP AMP).
Bab 6: Hukum-Hukum Dasar 109Hukum Ohm. Hukum Kirchhoff. Basis Analisis
Rangkaian.
Bab 7: Kaidah dan Teorema Rangkaian 121
Kaidah-Kaidah Rangkaian. Teorema Rangkaian.
Bab 8: Metoda Analisis Dasar 143Metoda Reduksi Rangkaian. Metoda Keluaran Satu
Satuan. Metoda Superposisi. Metoda Rangkaian
Ekivalen Thvenin.
Bab 9: Metoda Analisis Umum 159Metoda Tegangan Simpul. Metoda Arus Mesh. Catatan
Tentang Metoda Tegangan Simpul dan Arus Mesh.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
7/350
vi
Bab 10: Rangkaian Pemroses Energi (Arus Searah) 181Pengukur Tegangan dan Arus Searah. Pengukuran
Resistansi. Resistansi Kabel Penyalur Daya. Penyaluran
Da
ya Melalui Saluran Udara. Diagram Satu Garis.Jaringan Distribusi Daya. Batere. Generator Arus
Searah.
Bab 11: Rangkaian Pemroses Sinyal (Dioda, OP AMP) 201Rangkaian Dengan Dioda. Rangkaian Dengan OP
AMP. Diagram Blok. Rangkaian OP AMP Dinamik .
Bab 12: Fasor, Impedansi, Dan Kaidah Rangkaian 227Fasor Dan Impedansi. Resistansi, Reaktansi, Impedansi.
Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansi.Bab 13: Teorema dan Metoda Analisis di Kawasan Fasor 249
Teorema Rangkaian di Kawasan Fasor. Metoda-Metoda
Analisis Dasar. Metoda-Metoda Analisis Umum.
Rangkaian Resonansi.
Bab 14: Analisis Daya 267Umum. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya Rata-
Rata dan Daya Reaktif. Tinjauan Daya di Kawasan
Fasor: Daya Kompleks, Faktor Daya. Alih Daya. AlihDaya Maksimum.
Bab 15: Penyediaan Daya 289Transformator. Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktor
Daya. Diagram Satu Garis.
Bab 16: Pengenalan Pada Sistem Tiga-fasa 307Sumber Tiga-fasa dan Sambungan ke Beban. Analisis
Daya Pada Sistem Tiga-fasa. Diagram Satu Garis.
Lampiran I 327
Lampiran II 331
Daftar Pustaka 341
Biodata Penulis 342
Indeks 343
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
8/350
Pendahuluan
1
BAB 1 Pendahuluan
Dua dari sekian banyak kebutuhan manusia adalah kebutuhan akan
energi dan kebutuhan akan informasi. Salah satu cara yang dapat dipilih
untuk memenuhi kedua kebutuhan tersebut adalah melalui teknologi
elektro.Energi yang tersedia di alam tidak selalu dalam bentuk yang kita
perlukan akan tetapi terkandung dalam berbagai bentuk sumber energi
misalnya air terjun, batubara, sinar matahari, angin, ombak, dan lainnya.
Selain itu sumber energi tersebut tidak selalu berada di tempat di mana
energi tersebut dibutuhkan. Teknologi elektro melakukan konversi energinon-listrik menjadi energi listrik dan dalam bentuk listrik inilah energi
dapat disalurkan dengan lebih mudah ke tempat ia diperlukan dan
kemudian dikonversikan kembali ke dalam bentuk yang sesuai dengan
kebutuhan, misalnya energi mekanis, panas, cahaya. Proses penyediaan
energi berlangsung melalui berbagai tahapan; salah satu contoh adalah
sebagai berikut:
Energi non listrik, misalnya energi kimia yang terkandung dalam
bahan bakar diubah menjadi energi panas dalam boiler energi
panas diubah menjadi energi mekanis di turbin energi mekanisdiubah menjadi energi listrik di generator energi listrik diubahmenjadi energi listrik namun pada tingkat tegangan yang lebih tinggi
di transformator energi listrik bertegangan tinggi ditransmisikan energi listrik bertegangan tinggi diubah menjadi energi listrik
bertegangan menengah pada transformator energi listrikdidistribusikan ke pengguna, melalui jaringan tegangan menengah
tiga-fasa, tegangan rendah tiga-fasa, dan tegangan rendah satu-fasa energi listrik diubah kembali ke dalam bentuk energi yang sesuai
dengan kebutuhan pengguna.
Demikian pula halnya dengan informasi. Teknologi elektro melakukan
konversi berbagai bentuk informasi ke dalam bentuk sinyal listrik dan
menyalurkan sinyal listrik tersebut ke tempat ia diperlukan kemudian
dikonversikan kembali dalam bentuk-bentuk yang dapat ditangkap oleh
indera manusia ataupun dimanfaatkan
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
9/350
Pendahuluan
2 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
untuk suatu keperluan tertentu, misalnya pengendalian. Dengan mudah
kita dapat mengetahui apa yang sedang terjadi di belahan bumi yang lain
dalam waktu yang hampir bersamaan dengan berlangsungnya kejadian,
tanpa harus beranjak dari rumah. Tidak hanya sampai di situ, satelit di
luar angkasa pun dikendalikan dari bumi, dan jantung yang lemah pun
dapat dibantu untuk dipacu.
1.1. Pengertian Rangkaian Listrik
Rangkaian listrik (atau rangkaian elektrik) merupakan interkoneksi
berbagai piranti (divais device) yang secara bersama melaksanakan
suatu tugas tertentu. Tugas itu dapat berupa pemrosesan energi ataupun
pemrosesan informasi. Melalui rangkaian listrik, energi maupuninformasi dikonversikan menjadi energi listrik dan sinyal listrik, dan
dalam bentuk sinyal inilah energi maupun informasi dapat disalurkan
dengan lebih mudah ke tempat ia diperlukan.
Teknologi elektro telah berkembang jauh. Dalam konversi dan transmisi
energi listrik misalnya, walaupun masih tetap memanfaatkan sinyal
analog berbentuk sinus, namun kuantitas energi yang dikonversi dan
ditransmisikan semakin besar mengikuti pertumbuhan kebutuhan.
Teknologi yang dikembangkan pun mengikuti kecenderungan ini.
Kemampuan peralatan semakin tinggi, alat perlindungan (proteksi)semakin ketat baik perlindungan dalam mempertahankan kinerja sistem
maupun terhadap pengaruh alam. Demikian pula pertimbangan-
pertimbangan ekonomi maupun kelestarian lingkungan menjadi sangat
menentukan. Bahkan perkembangan teknologi di sisi penggunaan energi,
baik dalam upaya mempertinggi efisiensi maupun perluasan penggunaan
energi dalam mendukung perkembangan teknologi informasi, cenderung
memberikan dampak kurang menguntungkan pada sistem penyaluran
energi listrik; dan hal ini menimbulkan persoalan lain yaitu persoalan
kualitas daya yang harus diantisipasi dan diatasi.
Kalau dalam pemrosesan energi masih digunakan sinyal analog, tidak
demikian halnya dengan pemrosesan informasi. Pemanfaatan sinyal
analog telah digantikan oleh sinyal-sinyal digital sehingga kualitas
informasi video, audio, maupun data, menjadi sangat meningkat.
Pemanfaatan sinyal digital sudah sangat meluas, mulai dari lingkungan
rumah tangga sampai luar angkasa.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
10/350
Pendahuluan
3
Walaupun terdapat perbedaan yang nyata pada bentuk sinyal dalam
pemrosesan energi dan pemrosesan informasi, yaitu sinyal analog dalam
pemrosesan energi dan sinyal digital dalam pemrosesan informasi,
namun hakekat pemrosesan tidaklah jauh berbeda; pemrosesan itu adalah
konversi ke dalam bentuk sinyal listrik, transmisi hasil konversi tersebut,
dan konversi balik menjadi bentuk yang sesuai dengan kebutuhan.
Sistem pemroses energi maupun informasi, dibangun dari rangkaian-
rangkaian listrik yang merupakan interkoneksi berbagai piranti. Oleh
karena itu langkah pertama dalam mempelajari analisis rangkaian listrik
adalah mempelajari model sinyal dan model piranti. Karena pekerjaan
analisis menggunakan model-model, sedangkan model merupakan
pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya dengan pembatasan-pembatasan tertentu, maka hasil suatu analisis harus juga difahami
sebagai hasil yang berlaku dalam batas-batas tertentu pula.
1.2. Pengertian Analisis Rangkaian Listrik
Untuk mempelajari perilaku suatu rangkaian listrik kita melakukan
analisis rangkaian listrik. Rangkaian listrik itu mungkin hanya
berdimensi beberapa sentimeter, tetapi mungkin juga membentang
ratusan bahkan ribuan kilometer. Dalam pekerjaan analisis, langkah
pertama yang kita lakukan adalah memindahkan rangkaian listrik itu keatas kertas dalam bentuk gambar; gambar itu kita sebut diagram
rangkaian.
Suatu diagram rangkaian memperlihatkan interkoneksi berbagai piranti;
piranti-piranti tersebut digambarkan dengan menggunakan simbol
piranti. Jadi dalam suatu diagram rangkaian (yang selanjutnya kita sebut
dengan singkat rangkaian), kita melihat bagaimana berbagai macam
piranti saling dihubungkan.
Perilaku setiap piranti kita nyatakan dengan model piranti. Untukmembedakan piranti sebagai benda nyata dengan modelnya, maka
model itu kita sebut elemen rangkaian. Sinyal listrik yang hadir dalam
rangkaian, kita nyatakan sebagai peubah rangkaian yang tidak lain
adalah model matematis dari sinyal-sinyal tersebut. Jadi dalam pekerjaan
analisis rangkaian listrik, kita menghadapi diagram rangkaian yang
memperlihatkan hubungan dari berbagai elemen, dan setiap elemen
memiliki perilaku masing-masing yang kita sebut karakteristik elemen;
besaran-fisika yang terjadi dalam rangkaian kita nyatakan dengan
peubah rangkaian (variable rangkaian) yang merupakan model sinyal.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
11/350
Pendahuluan
4 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Dengan melihat hubungan elemen-elemen dan memperhatikan
karakteristik tiap elemen, kita melakukan perhitungan peubah-peubah
rangkaian.
Perhitungan-perhitungan tersebut mungkin berupa perhitungan untuk
mencari hubungan antara peubah yang keluar dari rangkaian (kita sebut
dengan singkat keluaran) dan peubah yang masuk ke rangkaian (kita
sebut dengan singkat masukan); ataupun mencari besaran keluaran dari
suatu rangkaian jika masukan dan karakteristik setiap elemen diketahui.
Inilah pekerjaan analisis yang memberikan hanya satu hasil perhitungan,
atau jawaban tunggal. Pekerjaan lain yang belum tercakup dalam buku
ini adalah pekerjaan perancangan, yaitu mencari hubungan elemen-
elemen jika masukan dan keluaran ditentukan. Hasil pekerjaan
perancangan akan memberikan lebih dari satu jawaban dan kita harusmemilih jawaban mana yang kita ambil dengan memperhitungkan tidak
saja aspek teknis tetapi juga aspek lain misalnya aspek ekonomi, aspek
lingkungan, dan bahkan estetika.
Telah dikatakan di atas bahwa hasil suatu analisis harus difahami sebagai
hasil yang berlaku dalam batas-batas tertentu. Kita akan melihat bahwa
rangkaian yang kita analisis kita anggap memiliki sifat linier dan kita
sebut rangkaian linier; ia merupakan hubungan elemen-elemen
rangkaian yang kita anggap memiliki karakteristik yang linier. Sifat inisesungguhnya merupakan pendekatan terhadap sifat piranti yang dalam
kenyataannya tidak linier namun dalam batas-batas tertentu ia bersifat
hampir liniersehingga dalam pekerjaan analisis kita anggap ia bersifat
linier.
1.3. Struktur Dasar Rangkaian, Besaran Listrik, dan Kondisi
Operasi
Struktur Dasar Rangkaian. Secara umum suatu rangkaian listrik terdiri
dari bagian yang aktif yaitu bagian yang memberikan daya yang kitasebut sumber, dan bagian yang pasif yaitu bagian yang menerima daya
yang kita sebut beban; sumber dan beban terhubung oleh penyalur daya
yang kita sebut saluran.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
12/350
Pendahuluan
5
Besaran Listrik. Ada lima besaran listrik yang kita hadapi, dan dua di
antaranya merupakan besaran dasar fisika yaitu energi dan muatan
listrik. Namun dalam analisis rangkaian listrik, besaran listrik yang
sering kita olah adalah tegangan, arus, dan dayalistrik. Energi dihitung
sebagai integral daya dalam suatu selang waktu, dan muatan dihitung
sebgai integral arus dalam suatu selang waktu.
Sumber biasanya dinyatakan dengan daya, atau tegangan, atau arus yang
mampu ia berikan. Beban biasa dinyatakan dengan daya atau arus yang
diserap atau diperlukan, dan sering pula dinyatakan oleh nilai elemen;
elemen-elemen rangkaian yang sering kita temui adalah resistor,
induktor, dan kapasitor, yang akan kita pelajari lebih lanjut.
Saluran adalah penghubung antara sumber dan beban, dan padarangkaian penyalur energi (di mana jumlah energi yang disalurkan cukup
besar) ia juga menyerap daya. Oleh karena itu saluran ini dilihat oleh
sumber juga menjadi beban dan daya yang diserap saluran harus pula
disediakan oleh sumber. Daya yang diserap saluran merupakan susut
daya dalam produksi energi listrik. Susut daya yang terjadi di saluran ini
merupakan peristiwa alamiah: sebagian energi yang dikirim oleh sumber
berubah menjadi panas di saluran. Namun jika daya yang diserap
saluran tersebut cukup kecil, ia dapat diabaikan.
Dalam kenyataan, rangkaian listrik tidaklah sesederhana seperti di atas.
Jaringan listrik penyalur energi perlu dilindungi dari berbagai kejadian
tidak normal yang dapat menyebabkan terjadinya lonjakan arus atau
lonjakan tegangan. Jaringan perlu sistem proteksi yaitu proteksi arus
lebih dan proteksi tegangan lebih. Jaringan listrik juga memerlukan
sistem pengendali untuk mengatur aliran energi ke beban. Pada jaringan
pemroses informasi, gejala-gejala kebocoran sinyal serta gangguan
sinyal baik dari dalam maupun dari luar sistem yang disebut interferensi,
memerlukan perhatian tersendiri.Pada jaringan penyalur energi, sumber mengeluarkan daya sesuai dengan
permintaan beban. Pada rangkaian penyalur informasi, daya sumber
terbatas; oleh karena itu alih daya dari sumber ke beban perlu diusahakan
terjadi secara maksimal; alih daya ke beban akan maksimal jika tercapai
keserasian (matching) antara sumber dan beban.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
13/350
Pendahuluan
6 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Peristiwa Transien. Kondisi operasi jaringan listrik tidak selalu mantap.
Pada waktu-waktu tertentu bisa terjadi keadaan peralihan atau keadaan
transien. Besar dan bentuk tegangan dan arus pada saat-saat setelah
penutupan ataupun setelah pembukaan saklar tidaklah seperti keadaan
setelah saklar lama tertutup atau setelah lama terbuka. Di samping itu
kejadian sesaat di luar jaringan juga bisa menimbulkan keadaan transien,
misalnya petir.
Suatu selang waktu diperlukan antara saat kemunculan peristiwa transien
dengan saat keadaan menjadi mantap. Waktu yang diperlukan untuk
mencapai keadaan akhir tersebut tergantung dari nilai-nilai elemen
rangkaian. Oleh karena itu kita harus hati-hati untuk memegang
peralatan listrik walaupun ia sedang tidak beroperasi; yakinkan lebihdulu apakah keadaan sudah cukup aman. Yakinkan lebih dulu bahwa
peralatan listrik yang terbuka sudah tidak bertegangan, sebelum
memegangnya.
1.4. Landasan Untuk Melakukan Analisis
Agar kita bisa melakukan analisis, kita perlu memahami beberapa hal
yang sangat mendasar yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suatu
rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teorema rangkaian, serta
metoda-metoda analisis.
Hukum-Hukum Rangkaian. Hukum-hukum rangkaian merupakan dasaruntuk melakukan analisis. Ada dua hukum yang akan kita pelajari yaitu
Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Hukum Ohm memberikan relasi
linier antara arus dan tegangan resistor. Hukum Kirchhoff mencakup
Hukum Arus Kirchhoff (HAK) dan Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK).
HAK menegaskan bahwa jumlah arus yang menuju suatu pencabangan
rangkaian sama dengan jumlah arus yang meninggalkan pencabangan;
hal ini dibuktikan oleh kenyataan bahwa tidak pernah ada penumpukanmuatan di suatu pencabangan rangkaian. HTK menyatakan bahwa
jumlah tegangan di suatu rangkaian tertutup sama dengan nol, dan hal ini
sesuai dengan prinsip konservasi energi.
Kaidah-Kaidah Rangkaian. Kaidah rangkaian merupakan konsekuensidari hukum-hukum rangkaian. Dengan kaidah-kaidah ini kita dapat
menggantikan susunan suatu bagian rangkaian dengan susunan yang
berbeda tanpa mengganggu perilaku keseluruhan rangkaian, sehingga
rangkaian menjadi lebih sederhana dan lebih mudah dianalisis. Dengan
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
14/350
Pendahuluan
7
menggunakan kaidah-kaidah ini pula kita dapat melakukan perhitungan
pada bentuk-bentuk bagian rangkaian tertentu secara langsung. Salah
satu contoh adalah kaidah pembagi arus: untuk arus masukan tertentu,
besar arus cabang-cabang rangkaian yang terhubung paralel sebandingdengan konduktansinya; hal ini adalah konsekuensi dari hukum Ohm dan
HAK.
Teorema Rangkaian. Teorema rangkaian merupakan pernyataan dari
sifat-sifat dasar rangkaian linier. Teorema rangkaian yang penting akan
kita pelajari sesuai keperluan kita, mencakup prinsip proporsionalitas,
prinsip superposisi, teorema Thvenin, teorema Norton, teorema
substitusi, dan teorema Tellegen.
Prinsip proporsionalitas berlaku untuk rangkaian linier. Jika masukan
suatu rangkaian adalah yin dan keluarannya adalah yo maka ino Kyy = dengan Kadalah nilai tetapan.
Prinsip superposisi menyatakan bahwa pada rangkaian dengan beberapa
masukan, akan mempunyai keluaran yang merupakan jumlah keluaran
dari masing-masing masukan jika masing-masing masukan bekerja
secara sendiri-sendiri pada rangkaian tersebut.
Kita ambil contoh satu lagi yaitu teorema Thvenin. Teorema ini
menyatakan bahwa jika seksi sumber suatu rangkaian (yaitu bagian
rangkaian yang mungkin saja mengandung lebih dari satu sumber)
bersifat linier, maka seksi sumber ini bisa digantikan oleh satu sumber
yang terhubung seri dengan satu resistor ataupun impedansi; sementara
itu beban boleh linier ataupun tidak linier. Teorema ini sangat
memudahkan perhitungan-perhitungan rangkaian.
Metoda-Metoda Analisis. Metoda-metoda analisis dikembangkan
berdasarkan teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah
rangkaian. Ada dua kelompok metoda analisis yang akan kita pelajari;
yang pertama disebut metoda analisis dasar dan yang ke-dua disebut
metoda analisis umum. Metoda analisis dasar terutama digunakan pada
rangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaian yang agak
lebih rumit kita memerlukan metoda yang lebih sistematis yaitu metoda
analisis umum. Kedua metoda ini kita pelajari agar kita dapat melakukan
analisis rangkaian sederhana
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
15/350
Pendahuluan
8 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manual sangat
diperlukan untuk dapat memahami sifat dan perilaku rangkaian.
Selain perbedaan jangkauan penggunaannya, metoda analisis dasar
berbeda dari metoda analisis umum dalam hal sentuhan yang kita miliki
atas rangkaian yang kita hadapi. Dalam menggunakan metoda analisis
dasar, kita masih merasakan bahwa kita sedang mengolah perilaku
rangkaian. Dalam menggunakan metoda analisis umum kita agak
kehilangan sentuhan tersebut; sekali kita sudah mendapatkan persamaan
rangkaian, maka selanjutnya kita hanya melakukan langkah-langkah
matematis atas persamaan tersebut dan kita akan mendapatkan hasil
analisis tanpa merasa telah menghadapi rangkaian listrik. Kehilangan
sentuhan ini mendapat kompensasi berupa lebih luasnya jangkauankerumitan rangkaian yang bisa dipecahkan dengan metoda analisis
umum.
Selain dua kelompok metoda tersebut ada metoda analisis berbantuan
komputer. Untuk rangkaian-rangkaian yang sangat rumit, analisis secara
manual tidaklah efektif bahkan tidak mungkin lagi dilakukan. Untuk itu
kita memerlukan bantuan komputer. Metoda ini tidak dibahas khusus
dalam buku ini namun pembaca perlu mempelajarinya dengan
menggunakan buku-buku lain beserta perangkat lunaknya, sepertimisalnya program SPICE.
Landasan untuk melakukan analisis tersebut di atas akan kita pelajari dan
setelah kita memahami landasan-landasan tersebut kita akan siap untuk
melakukan analisis rangkaian. Berbagai contoh pekerjaan analisis akan
kita jumpai dalam buku ini.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
16/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
9
BAB 2 Besaran Listrik Dan Model Sinyal
Dengan mempelajari besaran listrik dan model sinyal, kita akan
menyadari bahwa pembahasan analisis rangkaian di siniberkenaan dengan sinyal waktu kontinyu;
memahami besaran-besaran listrik yang menjadi peubahsinyal dalam analisis rangkaian;
memahami berbagai bentuk gelombang sinyal; mampu menyatakan bentuk gelombang sinyal secara grafis
maupun matematis.
2.1. Besaran Listrik
Dalam kelistrikan, ada dua besaran fisika yang menjadi besaran dasar
yaitu muatan listrik (selanjutnya disebut dengan singkat muatan) dan
energi listrik (selanjutnya disebut dengan singkat energi). Muatan dan
energi, merupakan konsep dasar fisika yang menjadi fondasi ilmiah
dalam teknologi elektro. Namun dalam praktik, kita tidak mengolah
langsung besaran dasar ini, karena kedua besaran ini tidak mudah untuk
diukur. Besaran yang sering kita olah adalah yang mudah diukur yaitu
arus, tegangan, dan daya.
Arus. Arus listrik dinyatakan dengan simbol i;ia merupakan ukuran dari
aliran muatan. Ia merupakan laju perubahan jumlah muatan yang
melewati titik tertentu. Dalam bentuk diferensial ia didefinisikan sebagai:
dt
dqi = (2.1)
Dalam sistem satuan SI, arus mempunyai satuan ampere, dengan
singkatan A. Karena satuan muatan adalah coulomb dengan singkatan C,maka
1 ampere = 1 coulomb / detik = 1 coulomb / sekon = 1 C/s
Perlu kita ingat bahwa ada dua jenis muatan yaitu muatan positif dan
negatif. Arah arus positif ditetapkan sebagai arah aliran muatan positif
netto, mengingat bahwa aliran arus di suatu titik mungkin melibatkan
kedua macam muatan tersebut.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
17/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
10 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Tegangan. Tegangan dinyatakan dengan simbol v; ia terkait dengan
perubahan energi yang dialami oleh muatan pada waktu ia berpindah dari
satu titik ke titik yang lain di dalam rangkaian. Tegangan antara titik A
dan titik B di suatu rangkaian didefinisikan sebagai perubahan energiper satuan muatan, yang dalam bentuk diferensial dapat kita tuliskan
sebagai:
dq
dwv = (2.2)
Satuan tegangan adalah volt, dengan singkatan V. Oleh karena satuan
energi adalahjoule dengan singkatan J, maka 1 volt = 1 joule/coulomb =
1 J/C.
Daya. Daya dinyatakan dengan simbol p, didefinisikan sebagai lajuperubahan energi, yang dapat kita tuliskan:
dt
dwp = (2.3)
Dari definisi ini dan definisi untuk arus (2.1) dan tegangan (2.2) kita
dapatkan:
vidt
dq
dq
dw
dt
dwp =
=
= (2.4)
Satuan daya adalah watt, dengan singkatan W. Sesuai dengan hubungan
(2.3) maka 1 W = 1 J/s.
Energi. Energi dinyatakan dengan simbol w. Untuk memperoleh besar
energi yang teralihkan dalam selang waktu antara t1 dan t2 kita
melakukan integrasi daya antara t1dan t2
=1
1
t
tpdtw (2.5)
Satuan energi adalahjoule.
Muatan. Muatan dinyatakan dengan simbol q, diperoleh dengan
mengintegrasi arus terhadap waktu. Jadi jumlah muatan yang dialihkan
oleh arus i dalam selang waktu antara t1dan t2 adalah :
=2
1
t
tidtq (2.6)
Satuan muatan adalah coulomb.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
18/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
11
2.2. Peubah Sinyal dan Referensi Sinyal
Peubah Sinyal. Sebagaimana telah sebutkan di atas, dalam manangani
masalah praktis, kita jarang melibatkan secara langsung kedua besarandasar yaitu energi dan muatan. Besaran yang lebih sering kita olah
adalah arus, tegangan, dan daya. Dalam analisis rangkaian listrik, tiga
besaran ini menjadi peubah rangkaian yang kita sebut sebagai peubah
sinyal. Kehadiran mereka dalam suatu rangkaian listrik merupakan
sinyal listrik, dan dalam analisis rangkaian listrik kita melakukanperhitungan-perhitungan sinyal listrik ini; mereka menjadi peubah atau
variabel.
Sinyal Waktu Kontinyu dan Sinyal Waktu Diskrit. Sinyal listrik pada
umumnya merupakan fungsi waktu, t. Dalam teknologi elektro yangtelah berkembang demikian lanjut kita mengenal dua macam bentuk
sinyal listrik yaitu sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit. Suatu
sinyal disebut sebagai sinyal waktu kontinyu (atau disebut juga sinyal
analog) jika sinyal itu mempunyai nilai untuk setiap t dan t sendiri
mengambil nilai dari satu set bilangan riil. Sinyal waktu diskrit adalah
sinyal yang mempunyai nilai hanya pada t tertentu yaitu tn dengan tn
mengambil nilai dari satu set bilangan bulat. Sebagai contoh sinyal
waktu kontinyu adalah tegangan listrik di rumah kita. Sinyal waktu
diskrit kita peroleh misalnya melalui sampling pada tegangan listrik dirumah kita. Gb.2.1. memperlihatkan kedua macam bentuk sinyal
tersebut. Dalam mempelajari analisis rangkaian di buku ini, kita hanya
akan menghadapi sinyal waktu kontinyu saja.
Sinyal waktu kontinyu Sinyal waktu diskrit
Gb.2.1. Sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit.
Referensi Sinyal. Arus dan tegangan mempunyai hubungan erat namunmereka juga mempunyai perbedaan yang sangat nyata. Arus merupakan
ukuran besaran yang melewati suatu titik sedangkan tegangan adalah
ukuran besaran antara dua titik. Jadi arus diukur di satu titik sedangkan
tegangan diukur di antara dua titik.
v(t)
t00
v(t)
t0
0
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
19/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
12 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Dalam pekerjaan analisis, arah arus dinyatakan dengan tanda anak panah
yang menjadi referensi arah positif arus. Referensi ini tidak berarti
bahwa arah arus sesungguhnya (yang mengalir pada piranti) adalah
seperti ditunjukkan oleh anak panah. Arah arus sesungguhnya dapatberlawanan dengan arah anak panah dan jika demikian halnya kita
katakan arus negatif. Dalam hal arah arus sesungguhnya sesuai dengan
arah anak panah, kita katakan arus positif.
Pada elemen rangkaian, tanda + dipakai untuk menunjukkan titikyang dianggap mempunyai tegangan yang lebih tinggi dibandingkan
dengan titik yang bertanda , dan ini menjadi referensi tegangan. Disinipun titik yang bertanda + pada keadaan sesungguhnya tidak selalu
bertegangan lebih tinggi dibandingkan dengan titik yang bertanda .Tetapi jika benar demikian keadaannya kita katakan bahwa teganganpada piranti adalah positif, dan jika sebaliknya maka tegangan itu
negatif.
Konvensi Pasif. Dalam menentukan referensi tegangan dan arus kita
mengikutikonvensi pasifyaituarah arus digambarkan masuk ke elemen
pada titik yang bertanda +. Konvensi ini disebut konvensi pasif sebab
dalam konvensi ini piranti menyerap daya. Perhatikan Gb.2.2. Dengan
konvensi ini, jika arus dan tegangan memiliki tanda
yang sama, daya bernilai positif. Jika arus da tegangan berlawanan tandamaka daya bernilai negatif.
Gb.2.2. Tegangan dan arus pada satu piranti.
Daya positif berarti elemen menyerap daya; daya
negatif berarti elemen mengeluarkan daya
tegangan diukur antara dua titik
arus melalui piranti
+ piranti
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
20/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
13
Selain referensi arus dan
tegangan pada elemen,
untuk menyatakan besar
tegangan di berbagai titik
pada suatu rangkaian kita
menetapkan titik referensi
umum yang kita namakan
titik pentanahan atau titik
nol atau ground. Tegangan
di titik-titik lain pada
rangkaian dihitung terhadap
titik nol ini. Perhatikan
penjelasan pada Gb.2.3.
Tegangan di titik A dapat kita sebut sebagai vA yaitu tegangan titik A
terhadap titik referensi umum G. Demikian pula vB adalah tegangan titik
B terhadap G. Beda tegangan antara titik A dan B adalah vA vB = vAB =
v2 .
Isilah kotak-kotak yang kosong pada tabel berikut ini.
Piranti v [V] i [A] p [W] menerima/memberi daya
A 12 5
B 24 -3
C 12 72
D -4 96
E 24 72
CONTOH-2.1: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) danarus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya yang
diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c).
Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti tersebutselama 8 jam itu?
Solusi:
a). Daya yang diserap adalah :
W2,11010012 3 === vip
b). Energi yang diserap selama 8 jam adalah
i2
i3
A B
G
2
3
+ v2 1
i1+v1
+
v3
referensi tegangan umum (ground)
referensi arus
referensi tegangan piranti
Gb.2.3. Referensi arus dan te an an
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
21/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
14 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Wh6,92,12,18
0
8
0
8
0==== tdtpdtw
c). Jumlah muatan yang dipindahkan selama 8 jam adalah
Ah8,081,0101008
0
38
0==== tidtq
Pemahaman :
Satuan daya adalah Watt. Untuk daya besar digunakan satuan kW
(kilo watt) yaitu 1 kW = 1000 W. Satuan daya yang lain adalah
horse power(HP).
1 HP = 746 W atau 1 kW = 1,341 HP
Watt-hour (Wh) adalah satuan energi yang biasa dipakai dalamsistem tenaga listrik.
1 Wh = 3600 J atau 1 kWh = 3600 kJ
Satuan muatan adalah Coulomb. Dalam solusi soal di atas, kita
menggunakan satuan Ampere-hour (Ah) untuk muatan. Satuan ini
biasa digunakan untuk menyatakan kapasitas suatu accu
(accumulator). Contoh : accu mobil berkapasitas 40 Ah.
karena 1 A = 1 C/s maka 1 C = 1 As dan 1 Ah = 3600 C
CONTOH-2.2: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan200V (konstan). Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakah
energi yang diserap selama 8 jam ?
Solusi :
kWH8,0Wh800100100
A5,0200
100
8
0
8
0
====
===
tdtwv
pi
CONTOH-2.3: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktusebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatan yang
dipindahkan melalui piranti ini antara t= 0 sampai t= 5 detik ?
Solusi :
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
coulomb625,0
2
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0===== ttdtidtq
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
22/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
15
CONTOH-2.4: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu
sebagai v = 220cos400tdan arus yang mengalir adalah i = 5cos400t
A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Berapakah
nilai daya maksimum dan daya minimum ?
Solusi :
( ) W800cos550550800cos1550
W400cos1100400cos5400cos220a).2
tt
tttp
+=+=
==
Suku pertama pernyataan daya ini bernilai konstan positif + 550
V.
Suku ke-dua bervariasi antara 550 V dan + 550 V.
Secara keseluruhan daya selalu bernilai positif.
W0550550
W1100550550:dayaNilaib).
minimum
maksimum
==
=+=
p
p
CONTOH-2.5: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktu
sebagai v = 220cos400tdan arus yang mengalir adalah i = 5sin400t
A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Tunjukkanbahwa piranti ini menyerap daya pada suatu selang waktu tertentu
dan memberikan daya pada selang waktu yang lain. c). Berapakah
daya maksimum yang diserap ? d). Berapakah daya maksimum
yang diberikan ?
Solusi :
a).W800sin550
400cos400sin1100400sin5400cos220
t
ttttp
=
==
b). Dari a) terlihat bahwa daya merupakan fungsi sinus. Selamasetengah perioda daya bernilai posisitif dan selama setengah perioda
berikutnya ia bernilai negatif. Jika pada waktu daya bernilai positif
mempunyai arti bahwa piranti menyerap daya, maka pada waktu
bernilai negatif berarti piranti memberikan daya
c). Daya maksimum yang diserap: W550 =diserapmaksp .
d). Daya maksimum yang diberikan: W550 =diberikanmaksp .
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
23/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
16 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
2.3. Bentuk Gelombang Sinyal
Pada umumnya sinyal merupakan fungsi waktu, seperti yang kita lihat
pada contoh-contoh di atas. Variasi sinyal terhadap waktu disebut bentuk
gelombang. Secara formal dikatakan:
Bentuk gelombang adalah suatu persamaan atau suatu grafik yang
menyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu.
Sebagai contoh, bentuk gelombang tegangan dan arus yang konstan di
seluruh waktu, secara matematis dinyatakan dengan persamaan:
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
24/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
17
didekati dengan menggunakan gabungan bentuk-bentuk gelombang
dasar.
Sinus teredam Gelombang persegi Eksponensial ganda
Deretan pulsa Gigi gergaji Segi tiga
Gb.2.5. Beberapa gelombang komposit.
2.3.1. Bentuk Gelombang Dasar
Bentuk gelombang dasar (disebut juga gelombang utama) meliputi
fungsianak-tangga (step function),
fungsi eksponensial (exponential function), dan
fungsi sinus (sinusoidal function).
Fungsi Anak-Tangga (Fungsi Step). Secara umum, fungsi anak-tangga
didasarkan pada fungsi anak-tangga satuan, yang didefinisikan sebagai
berikut:
0untuk1
0untuk0)(
=
=
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
25/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
18 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Bila u(t) kita kalikan dengan sesuatu nilai konstan VA akan kita peroleh
bentuk gelombang anak tangga (Gb.2.6.a.):
0untuk
0untuk0)(
=
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
26/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
19
Pada t= sinyal sudah menurun mencapai 36,8 % VA. Pada t= 5 sinyalmencapai 0,00674VA, kurang dari 1% VA. Oleh karena itu kita
definisikan durasi (lama berlangsung) suatu sinyal eksponensial adalah
5. Kalau kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0, maka u(t) padapersamaan gelombang ini biasanya tidak dituliskan lagi. Jadi:
= / tA eVv (2.11)
Bentuk Gelombang Sinus. Sinus merupakan pengulangan tanpa henti
dari suatu osilasi antara dua nilai puncak, seperti terlihat pada Gb.2.8. di
bawah ini.
Gb.2.8. Bentuk gelombang sinus.
Amplitudo VA didefinisikan sebagai nilai maksimum dan minimum
osilasi. Perioda To adalah waktu yang diperlukan untuk membuat satu
siklus lengkap.Dengan menggunakan dua parameter tersebut, yaitu VA
dan To , kita dapat menuliskan persamaan sinus ini dalam fungsi cosinus:
v = VA cos(2 t/To) (2.12)
Seperti halnya fungsi anak tangga, persamaan umum fungsi sinus
diperoleh dengan mengganti t dengan (t-Ts). Jadi persamaan umum
gelombang sinus adalah:
]/)(2cos[ oTTtVv sA = (2.13)
dengan Ts adalah waktu pergeseran, yang ditunjukkan olehposisi puncak
positif yang terjadi pertama kali seperti terlihat pada Gb.2.8. Pada
gambar ini Ts adalah positif. Jika Ts negatif pergeserannya akan ke arah
negatif.
Pergeseran waktu dapat juga diyatakan dengan menggunakan sudut:
]/2cos[ o = TtVv A (2.14)
Parameter disebut sudut fasa. Hubungan antara waktu pergeseran Tsdan sudut fasa adalah :
T0
V
t00
VA
vT0
V
t
VA
v
Ts
00
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
27/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
20 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
0
2T
Ts= (2.15)
Variasi dari gelombang sinus dapat juga dinyatakan denganmenggunakan frekuensi. Frekuensi fo didefinisikan sebagai jumlah
perioda dalam satu satuan waktu, yang disebut frekuensi siklus. Oleh
karena perioda To adalah jumlah detik (waktu) per siklus, maka jumlah
siklus (perioda) per detik adalah:
00
1
Tf = (2.16)
dengan satuan hertz ( Hz ), atau siklus per detik. Selain frekuensi siklus,
kita mengenal pula frekuensi sudut o dengan satuan radian per detik(rad/det), yaitu:
000
22
Tf
== (2.17)
Dengan demikian ada dua cara untuk menyatakan frekuensi, yaitu
frekuensi siklus (Hz) dan frekuensi sudut (rad/detik), dan fungsi sinus
dapat dinyatakan sebagai
]cos[
atau]2cos[
0
0=
=
tVv
tfVv
A
A (2.17.a)
CONTOH-2.6: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) dan
arus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya
yang diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c).
Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti tersebut
selama 8 jam itu?
Solusi:
Solusi soal ini telah kita lakukan pada contoh 2.1. Di sini kita akan
melihat model sinyalnya. Model matematis dari sinyal tegangan 12
V (konstan) kita tuliskan sebagai )(12 tuv = V, dan arus 100 mAkita tuliskan )(100 tui = mA.
Jika sinyal-sinyal ini kita gambarkan akan berbentuk seperti di
bawah ini.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
28/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
21
Daya yang diserap adalah W2.1== ivp dan jika kitagambarkan perubahan daya terhadap waktu adalah seperti gambar
berikut ini.
Energi yang diserap selama 8 jam adalah integral dari daya untuk
jangka waktu 8 jam. Besar energi ini ditunjukkan oleh luas bagian
yang diarsir di bawah kurva daya seperti ditunjukkan pada gambar
di sebelah kanan.
CONTOH-2.7: Carilah persamaan bentuk gelombang tegangan yangtergambar di bawah ini.
a) b)Solusi :
a). Bentuk gelombang tegangan ini adalah gelombang anak tangga
yang persamaan umumnya adalah v(t) =A u(tTs) , denganA =amplitudo dan Ts = pergeseran waktu. Maka persamaan
gelombang pada gambar a) adalah
)1(2)(1 = tutv V.
Gelombang ini mempunyai nilai
v [V]
1 2 3 4 t[s]' ' ' '
3
v [V]
2
1 2 3 4 t[s]' ' '
p
1,2 W
0 t(jam)8
p
1,2 W
0 t
p = vi
i
100 mA
0 t
i=100u(t) mAv
12 V
0 t
v=12u(t) V
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
29/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
22 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
1untukV0
1untukV2)(1
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
30/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
23
Bentuk gelombang tegangan tergambar di bawah ini.
Pemahaman :
Kita lihat bahwa walaupun v1 dan v2 mempunyai amplitudo yang
jauh berbeda, mereka teredam dengan kecepatan yang sama karenakonstanta waktunya sama. Pada t= 5 konstanta waktu, yaitu 5 2= 10 detik, nilai gelombang telah dapat diabaikan.
Gelombang tegangan v2 dan v3 mempunyai amplitudo sama tetapi
konstanta waktunya berbeda. Kita lihat bahwa gelombang yang
konstanta waktunya lebih besar lebih lambat menuju nol, sedangkan
yang konstanta waktunya lebih kecil lebih cepat menuju nol.
CONTOH-2.9: Tuliskan persamaangelombang sinus untuk t> 0, yang
amplitudonya 10 V, frekuensi siklus 50 Hz, dan puncak positif yangpertama terjadi pada t = 3 mili detik. Gambarkanlah bentuk
gelombangnya.
Solusi :
Pernyataan umum gelombang sinus standar untuk t > 0 adalah
)(2cos0
tuT
TtAv s
= denganA adalah amplitudo, Ts pergeseran
waktu, T0 perioda, dan u(t) adalah fungsi anak tangga satuan.Karena frekuensi siklus f = 1/T0 maka persamaan umum ini juga
dapat ditulis sebagai
( ) )((2cos tuTtfAv s=
Dari apa yang diketahui dalam persoalan yang diberikan, kita dapat
menuliskan persamaan tegangan
( ) )(003,0(001cos10 tutv =
t[detik]
v1
v2 v3
0
5
10
0 5 10
v [V]
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
31/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
24 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
dengan bentuk gelombang terlihat pada gambar berikut ini.
Pemahaman :Perhatikan bahwa puncak pertama positif terjadi pada t = 0,003
detik. Karena frekuensi gelombang 50 Hz, maka ada lima puluh
siklus dalam satu detik atau dengan kata lain perioda gelombang iniadalah 1/50 detik = 0,02 detik. Persamaan umum gelombang sinus
dapat ditulis dalam berbagai bentuk seperti berikut ini.
( )
( ) ( )==
=
=
tAvTtAv
TtfAvT
TtAv
s
ss
cosatau)(cos
atau)(2cosatau2cos0
Dari persamaan-persamaan umum ini kita dapat dengan mudah
menuliskan persamaan bentuk gelombang sinus berdasarkan
parameter-parameter yang diketahui.
CONTOH-2.10: Tuliskan persamaangelombang sinus untukt> 0, yang
frekuensinya 1000 rad/s, dan puncak positif yang pertama terjadi
pada t= 1 mili-detik. Pada t= 0 gelombang ini mempunyai nilai 200
V.
Solusi :Puncak positif yang pertama terjadi pada t = 1 mili detik, artinya
pada bentuk gelombang ini terjadi pergeseran waktu sebesar 0,001
detik. Persamaan umum fungsi sinus yang muncul pada t= 0 adalah
)()](cos[ tuTtAv s= . Amplitudo dari gelombang ini dapat dicarikarena nilai gelombang pada t= 0 diketahui, yaitu 200 V.
( )
V37054,0/200
54,0)1cos()()001,00(1000cos200
==
===
A
AAtuA
Jadi persamaan gelombang sinus ini adalah :
[ ] V)()001,0(1000cos370 tutv =
-10
-5
0
5
10
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
v[V]
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
32/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
25
2.3.2. Bentuk Gelombang Komposit
Bentuk gelombang yang diperoleh melalui penggabungan bentuk
gelombang dasar disebut bentuk gelombang komposit. Beberapa di
antaranya akan kita lihat berikut ini.
Fungsi Impuls. Secara umum fungsi impuls dituliskan sebagai :
[ ])()(
)()(
21
21
TtuTtuA
TtAuTtAuv
=
=(2.18)
Bentuk gelombang ini adalah gabungan dari dua gelombang anak-tangga
dengan amplitudo sama akan tetapi berlawanan tanda, masing-masing
dengan pergeseran waktu T1 dan T2 . (Gb.2.9.a)
a) Impuls. b) Impuls simetris thd nol. c) Impuls satuan.
Gb.2.9. Impuls
Fungsi Impuls Satuan. Perhatikan gelombang impuls yang simetris
terhadap titik nol seperti pada Gb.2.9.b. Persamaan bentuk gelombang ini
adalah:
+=22
11
Ttu
Ttu
Tv (2.18.a)
Impuls dengan persamaan diatas mempunyai amplitudo 1/Tdanbernilai
nol di semua tkecuali pada selang T/2 t +T/2.
Luas bidang di bawah pulsa adalah satu karena amplitudonyaberbanding terbalik dengan durasinya (lebarnya). Jika lebar pulsa Tkita
perkecil dengan mempertahankan luasnya tetap satu, maka amplitudo
akan makin besar. Bila T menuju nol maka amplitudo menuju tak
hingga, namun luasnya tetap satu. Fungsi yang diperoleh pada kondisi
limit tersebut dinamakan impuls satuan (unit impuls), dengan simbol
(t). Representasi grafisnya terlihat pada Gb.2.9.c. Definisi formal dariimpuls satuan adalah:
===
ttudxxttv
-
)()(;0untuk0)( (2.18.b)
T1 T2
t
v
0 +T/2-T/2 t
v
0
(t)t
v
0
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
33/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
26 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Kondisi yang pertama dari definisi ini menyatakan bahwa impuls ini nol
di semua t kecuali pada t = 0, sedangkan kondisi kedua menyatakan
bahwa impuls ini adalah turunan dari fungsi anak-tangga satuan.
Jadidt
tdut
)()( = (2.18.c)
Amplitudo impuls satuan adalah tak hingga. Oleh karena itu besar impuls
didefinisikan menurut luasnya. Suatu impuls satuan yang muncul pada t
= Ts dituliskan sebagai (tTs).
Fungsi Ramp. Jika kita melakukan integrasi pada fungsi anak tangga
satuan, kita akan mendapatkan fungsiramp satuanyaitu
)()()( ttudxxutrt
== (2.19)
Ramp satuan ini bernilai nol untukt 0 dan sama dengan tuntukt> 0.Perhatikan bahwa laju perubahan (kemiringan) dari ramp satuan adalah
1. Jika kemiringannya adalah Kmaka persamaannya adalah rk(t) = K t
u(t). Bentuk umum fungsi ramp adalah
r(t) = K(tTs)u(t-Ts), (2.19.a)
yang bernilai nol untukt< Ts dan memiliki kemiringan K. (Gb.2.10).
Gb.2.10. Fungsi ramp.
Bentuk Gelombang Sinus Teredam. Bentuk gelombang komposit ini
diperoleh dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensial,
yang memberikan persamaan :
( ) )(sin=)()sin( // tuetVtueVtv tAtA = (2.20)
tu(t)
t
r(t)
t
K(tTs)u(tTs
Ts
r(t)
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
34/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
27
Fungsi anak tangga u(t) menjadi salah satu faktor dalam persamaan ini
agar persamaan
bernilai nol pada t5.
Bentuk Gelombang Eksponensial Ganda. Gelombang komposit inidiperoleh dengan menjumlahkan dua fungsi eksponensial beramplitudo
sama tapi berlawanan tanda. Persamaan bentuk gelombang ini adalah :
( ) )()()(
21
21
//
//
tueeVtueVtueVv
ttA
t
A
t
A
== (2.21)
Bentuk gelombang
1>komposit ini, dengan2 terlihat padaGb.2.12. Untukt< 0
gelombang bernilai nol.
Pada t= 0 gelombang
masih bernilai nolkarena kedua fungsi
saling meniadakan. Pada
t>> 1 gelombang inimenuju nol karena
kedua bentuk eksponensial itu menuju nol. Fungsi yang mempunyai
konstanta waktu lebih besar akan menjadi fungsi yang lebih menentukan
bentuk gelombang.
Gb.2.11. Gelombang sinus teredam.
VAet/ 5
t
VAet/ 5
sin(t)
VA
0
v
25
VA
VA
t
VA et/ 5
VA e2t/
V et/ 5e
2t/ 5v
Gb.2.12. Gelombang eksponensial
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
35/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
28 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Bentuk Gelombang Persegi. Bentuk gelombang persegi juga merupakan
gelombang komposit.
Karena gelombang ini
merupakan gelombangperiodik maka
persamaan gelombang ini
dapat diperoleh dengan
menjumlahkan
persamaan untuk setiap
siklus.
Persamaan untuk siklus yang pertama setelah t= 0, merupakan jumlah
dari tiga fungsi anak-tangga, yaitu:
)()2
(2)( 01 oAAA TtuVT
tuVtuVv +=
Persamaan untuk siklus yang kedua setelah t= 0 adalah persamaan siklus
pertama yang digeser sebesar satu perioda :
)2()2
3
(2)(
)2()2
(2)(
00
00
02
oAAA
oAAA
TtuV
T
tuVTtuV
TtuVTT
tuVTtuVv
+=
+=
Persamaan untuk siklus yang ke kadalah persamaan siklus pertama yang
digeser sebesar (k1) perioda:
)()2
12(2)]1[( 00 oAAAk kTtuVT
ktuVTktuVv +
=
Persamaan gelombang persegi dapat diperoleh dengan menjumlahkan
vk(t)dari k= sampai k= +.
+==
= k
k
k tvv )( (2.22)
Penjumlahan dari sampai + tersebut diperlukan karena gelombangpersegi melebar ke tak hingga baik ke arah positif maupun ke arah
negatif.
CONTOH-2.11: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yangpersamaannya adalah
v(t)
t
T0
VA
VA
Gb.2.13. Gelombang persegi.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
36/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
29
a). v1 = 4 u(t) V ; b). v2 = 3 u(t2) V
c). v3 = 4u(t)3u(t2) V; d). v4 = 4u(t)7u(t2)+3u(t5) V
Solusi :a). Bentuk gelombang ini
adalah gelombang anak
tangga dengan amplitudo 4 volt
dan muncul pada t= 0.
Bentuk gelombang terlihat
pada gambar di samping.
b). Gelombang anak tangga ini
mempunyai amplitudo 3 volt dan muncul pada t= 2.Gambar bentuk gelombang
terlihat di samping ini
c). Bentuk gelombang ini terdiri dari
gelombang anak tangga
beramplitudo 4 volt yang
muncul pada t= 0 ditambah
gelombang anak tangga
beramplitudo 3 volt yang muncul pada t= 2. Lihat gambar disamping.
d). Bentuk gelombang ini terdiri dari tiga gelombang anak tangga
yang masing-masing
muncul pada t= 0, t= 2
dan t= 5. Amplitudo
mereka berturut-turut
adalah 4, 7, dan 3 volt.Bentuk gelombang
terlihat pada gambar disamping ini.
CONTOH-2.12: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yang
persamaannya adalah
a). v1 = 2tu(t) V ;
b). v2 = 2(t2) u(t2) V ;
c). v3 = 2tu(t) 2(t2) u(t2) V;
4V
0t
v1
3V
0 t
v2 1 2 3 4 5
1V0
t
v3
1 2 3 4 5
4V
3V
0t
v4
1 2 3 4 5 6
4V
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
37/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
30 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
d). v4 = 2tu(t) 4(t2)u(t-2) V ;
e). v5 = 2tu(t) 2(t2)u(t2) 4u(t5) V ;
f). v6 = 2tu(t) 2(t2)u(t2) 4u(t2) VSolusi :
CONTOH-2.13: Tentukanlah persamaan bentuk gelombang yang mulai
muncul pada t=0 berikut ini. a). Gelombang sinus : amplitudo 10
V, frekuensi sudut 50 rad per detik, puncak positif pertama terjadi
pada t= 20 mili-detik. b). Gelombang sinus pada a) yang terredam
sehingga pada t = 0,5 detik gelombang sinus ini sudah dapat
diabaikan nilainya. c). Gambarkanlah bentuk gelombang pada a)
dan b).
Solusi:
0t
v5
1 2 3 4 5 6
4V
2tu(t) 2(t2)u(t2) 4u(t5)
e).
t
v6
1 2 3 4 5 6
4V
2tu(t) 2(t2)u(t2) 4u(t2)f).
0t
v3
1 2 3 4 5 6
4V
2tu(t) 2(t2) u(t2)
c).
0t
v4
1 2 3 4 5 6
4V
2tu(t) 4(t2)u(t-2)
d).
0t
v1
1 2 3 4 5 6
4Vv1 = 2tu(t)a).
0t
v2
1 2 3 4 5 6
4V
2(t2) u(t2)
b).
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
38/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
31
a). Gelombang sinus ini baru muncul pada t = 0, sehingga
persamaan umumnya adalah ( ) )()(cos tuTtAv s= . Dariparameter yang diketahui, persamaan gelombang yang dimaksud
adalah ( ) )()020,0(50cos101 tutv = V.
b). Agar gelombang sinus pada a) teredam, maka harus dikalikan
dengan fungsi eksponensial. Jika nilai gelombang sudah harus
dapat diabaikan pada t = 0,5 detik, maka konstanta waktu dari
fungsi eksponensial sekurang-kurangnya haruslah1,05/5,0 == . Jadi persamaan gelombang yang dimaksud
adalah
( ) )()020,0(50cos101,0/
2 tuetvt
=
c). Gambar kedua bentuk gelombang tersebut di atas adalah sebagai
berikut.
Pemahaman:
Gelombang sinus pada umumnya adalah non-kausal yang persamaan
umumnya adalah ( ))(cos sTtAv = . Dalam soal ini dinyatakanbahwa gelombang sinus baru muncul pada t= 0. Untuk menyatakan
gelombang seperti ini diperlukan fungsi anak tangga u(t) sehingga
persamaan akan berbentuk ( ) )()(cos tuTtAv s= .Dengan menyatakan bentuk gelombang sinus dengan fungsi cosinus,
identifikasi bentuk gelombang menjadi lebih mudah. Puncak
pertama suatu fungsi cosinus tanpa pergeseran waktu terjadi pada t=
0. Dengan demikian posisi puncak pertama fungsi cosinus
menunjukkan pula pergeseran waktunya.
v1
v2
t[detik]
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
39/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
32 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
Dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensial kita
meredam fungsi sinus tersebut. Peredaman oleh fungsi eksponensial
berlangsung mulai dari t= 0. Oleh karena itu puncak positif pertama
dari gelombang sinus teredam pada persoalan di atas mempunyainilai kurang dari 10 V.
Fungsi Parabolik Satuan dan Kubik Satuan. Telah kita lihat bahwa
integrasi fungsi anak tangga satuan memberikan fungsi ramp satuan. Jika
integrasi dilakukan sekali lagi akan memberikan fungsi parabolik satuan
dan integrasi sekali lagi akan memberikan fungsi kubik satuan. Gb.2.14.
di samping ini memperlihatkan evolusi bentuk fungsi anak tangga
menjadi fungsi ramp, parabolik, dan kubik melalui integrasi.
Fungsi-ramp, parabolik, dan kubik ini menuju nilai tak hingga jika tmenuju tak hingga. Oleh karena itu pemodelan dengan menggunakan
fungsi-fungsi ini dibatasi dalam selang waktu tertentu. Perhatikan sinyal
gigi gergaji pada Gb.2.5. yang dimodelkan dengan fungsi ramp yang
berulang pada setiap selang waktu tertentu.
Gb.2.14. Anak tangga, ramp, parabolik, kubik.
Fungsi Signum. Suatu sinyal konstan (tegangan misalnya) yang pada t=0 berubah polaritas, dimodelkan dengan fungsi signum, dituliskan
sebagai
)sgn()( ttv = (2.23)
Bentuk gelombang fungsi signum
terlihat pada Gb.2.17. di samping ini.
Fungsi signum ini merupakan jumlah
dari fungsi anak tangga yang telah kita
kenal, ditambah dengan fungsi anak
tangga yang diperluas untukt< 0.
ramp
parabolik
kubik
anak tangga
v
t
t0
v(t)
1
1u(t)
u(t)
Gb.2.15. Signum.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
40/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
33
)()()sgn( tutut = (2.24)
Fungsi Eksponensial Dua Sisi. Perluasan fungsi anak tangga untuk
mencakup kejadiansebelum t= 0 dapat pula
dilakukan pada fungsi
eksponensial. Dengan
demikian kita dapatkan
fungsi eksponensial dua
sisi yang kita tuliskan
sebagai
)()()()(
tuetuetvtt
+=
(2.25)
dengan bentuk kurva seperti pada Gb.2.16.
t0
et
u(t)
v(t)
1
e(t)
u(t)
Gb.2.16. Eksponensial dua sisi.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
41/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
34 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
SOAL-SOAL
Dalam soal-soal model sinyal berikut ini, satuan waktu tadalah
s = detik ; ms = milidetik ; s = mikrodetik1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal anak
tangga berikut ini :
a) v1:amplitudo 5 V, muncul pada t= 0.
b) v2: amplitudo 10 V, muncul pada t= 1s.
c) v3: amplitudo 5 V, muncul pada t= 2s.
2. Dari sinyal-sinyal di soal 1, gambarkanlah bentuk gelombang sinyal
berikut ini.
3216315214 c).b).;a). vvvvvvvvvv ++=+=+=
3. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan cara
mengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 1.
4. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan cara
mengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 3.
5. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang pulsa
tegangan berikut ini :
a). Amplitudo 5 V, lebar pulsa 1 s, muncul pada t= 0.b). Amplitudo 10 V, lebar pulsa 2 s, muncul pada t= 1s.
c). Amplitudo 5 V, lebar pulsa 3 s, muncul pada t= 2 s.
6. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal
eksponensial yang muncul pada t= 0 dan konstanta waktu , berikutini :
a). va= amplitudo 5 V, = 20 ms.b). vb= amplitudo 10 V, = 20 ms.c). vc= amplitudo 5 V, = 40 ms.
7. Dari bentuk gelombang sinyal pada soal 6, gambarkanlah bentuk
gelombang sinyal berikut.
cbafcaebad vvvvvvvvvv ++=+=+= c).;b).;a).
8. Tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal sinus berikut ini :
a). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t= 0, frekuensi
10 Hz.
b). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 10 ms,
frekuensi 10 Hz.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
42/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
35
c). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi 10
rad/detik.
d). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi 10
rad/detik.
9. Gambarkanlah bentuk gelombang komposit berikut.
{ }{ }
{ } V)()10sin(110d).V;)()10sin(510c).
V)(510b).
V;)(110a).
4
3
1002
1001
tutev
tutv
tuev
tuev
t
t
t
+=
+=
=
=
10. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk-bentuk gelombangperiodik yang digambarkan berikut ini.
a).
b).
c).
5
3
0 t(detik)
v
[V]
erioda
1 2 3 4 5 t
5
3
0 t(detik)
v
[V]
erioda
1 2 3 4 5 6
5
5
0 t(detik)
v
[V]
erioda
1 2 3 4 5 6
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
43/350
Besaran Listrik dan Model Sinyal
36 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik(1)
d).
e). 5
0 t(detik)
v
[V]
erioda
5
1 2 3 4 5
5
5
0 t(detik)
v[V]
erioda
1 2 3 4 5 6
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
44/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
37
BAB 3 Pernyataan Sinyal danSpektrum Sinyal
Dengan mempelajari lanjutan tentang model sinyal ini, kita akan
memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal;mampu mencari nilai rata-rata dan nilai efektif suatu
bentuk gelombang sinyal;
memahami sinyal periodik yang dapat dipandang sebagaisuatu spektrum;
mampu menncari spektrum sinyal;
memahami arti lebar pita frekuensi.
3.1. Pernyataan-Pernyataan Gelombang Sinyal
3.1.1. Gelombang Periodik dan Aperiodik
Suatu gelombang disebut periodik jika gelombang itu selalu
berulang setiap selang waktu tertentu. Jadi jika v(t) adalah periodik,
maka v(t+T0) = v(t) untuk semua nilai t, dengan T0 adalah
periodanya yaitu selang waktu terkecil yang memenuhi kondisi
tersebut.
Contoh: sinyal gigi gergaji adalah sinyal periodik.
Sinyal yang tidak periodik disebut juga sinyal aperiodik.
3.1.2. Sinyal Kausal dan Sinyal Non-Kausal
Sinyal kausal bernilai nol sebelum saat Ts tertentu. Jadi jika sinyal
v(t)adalah kausal maka v(t) = 0 untuk t < Ts. Jika tidak demikian
maka sinyal itu disebut sinyal non-kausal. Sinyal kausal biasa
dianggap bernilai nol pada t< 0, dengan menganggap t=0 sebagai
awal munculnya sinyal.
Contoh: sinyal sinus adalah sinyal non-kausal; sinyal anak tanggaadalah sinyal kausal.
Jika kita mengalikan persamaan suatu bentuk gelombang dengan
fungsi anak tangga satuan, u(t), maka kita akan mendapatkan sinyal
kausal.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
45/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
38 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
3.1.3. Nilai Sesaat
Nilai amplitudo gelombang v(t), i(t), ataupun p(t)pada suatu saat t
tertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelombang itu.
3.1.4. Amplitudo
Pada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktu
diantara dua nilai ekstrem yaitu amplitudo maksimum, Vmaks, dan
amplitudo minimum, Vmin .
3.1.5. Nilai amplitudo puncak-ke-puncak (peak to peak value)
Nilai amplitudo puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi total dari
amplitudo dan didefinisikan sebagai:
minVVV makspp = (3.1)
Dengan definisi ini maka Vpp selalu positif, walaupun mungkin Vmaks
dan Vminkeduanya negatif.
3.1.6. Nilai puncak
Nilai puncakVp adalah maksimum dari nilai absolut amplitudo.
{ }, minVVMaxV maksp = (3.2)
3.1.7. Nilai rata-rata
Nilai rata-rata secara matematis didefisikan sebagai:
+
=Tt
trr dxxv
TV
0
0
)(1
(3.3)
Untuk sinyal periodik, selang waktu T sama dengan perioda T0. Adatidaknya nilai rata-rata menunjukkan apakah suatu sinyal
mengandung komponen konstan (tidak berubah terhadap waktu)
atau tidak. Komponen konstan ini disebut juga komponen searah
dari sinyal.
3.1.8. Nilai efektif ( nilai rms ;rms value)
Nilai ini menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa oleh sinyal.
Untuk memahami hal ini kita lihat dulu daya sesaat yang diberikankepada resistorR oleh tegangan v(t), yaitu:
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
46/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
39
[ ]2)(1
)( tvR
tp = (3.4)
Daya rata-rata yang diberikan kepada resistor dalam selang waktu Tadalah:
+
=Tt
t
rr dttpT
P
0
0
)]([1
(3.5)
Kalau kedua persamaan di atas ini kita gabungkan, akan kita
peroleh:
=
+Tt
trr dttvTRP
0
0
2
)]([
11
(3.6)
Apa yang berada di dalam kurung besar pada persamaan di atas
merupakan nilai rata-rata dari kwadrat gelombang. Akar dari
besaran inilah yang digunakan untuk mendefinisikan nilai rms atau
nilai efektif.
+
=Tt
t
rms dttv
T
V
0
0
2)]([
1(3.7)
Untuk sinyal periodik, kita mengambil interval satu siklus untuk
menghitung nilai rata-rata. Dengan menggunakan nilai rms kita
dapat menuliskan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor
sebagai:
21rmsrr V
RP = (3.8)
Perhatikan bahwa persamaan untuk menghitung Prr dengan
menggunakan besaran rms tersebut di atas berbentuk mirip denganpersamaan untuk menghitung daya sesaat pada sinyal searah, yaitu :
[ ]2)(1
)( tvR
tp = (3.9)
Oleh karena itulah maka nilai rms juga disebut nilai efektif karena ia
menentukan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor, setara
dengan sinyal searah v(t) = Vasyangmenentukan besar daya sesaat.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
47/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
40 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
CONTOH-3.1: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (Vp), tegangan
puncak-puncak (Vpp), perioda (T), tegangan rata-rata (Vrr), dan
tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut ini.
a) b)
Solusi :
( )
( ) V9,402363
106
3
1
V40263
106
3
1
s3;V6;V6a).
3
2
22
0
2
2
0
3
2
=+=
+=
=+=
+=
===
dtdtV
dtdtV
TVV
eff
rr
ppp
( )
( )
V42,5
1162363
1)4(6
3
1
V66,21426
3
146
3
1
s3;V10;V6b).
3
2
22
0
2
2
0
3
2
=
+=
+=
==
+=
===
dtdtV
dtdtV
TVV
eff
rr
ppp
Pemahaman :Gelombang periodik dalam contoh di atas, mempunyai
persamaan gelombang yang terdiri dari banyak suku
sebagaimana dijelaskan pada gelombang komposit. Akan tetapi
untuk menghitung nilai rata-rata ataupun efektif, kita cukupmelihat satu siklus saja dan bilamana diperlukan gelombang
kita nyatakan dalam beberapa bagian yang mempunyai
persamaan sederhana.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
6V
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6V
4V
0 t
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
48/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
41
CONTOH-3.2:Tentukanlah nilai
tegangan puncak
(Vp), teganganpuncak-puncak
(Vpp), perioda (T),
tegangan rata-rata
(Vrr), dan tegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan di
samping ini.
Solusi :
Bentuk gelombang ini berperioda 4 detik dan dapat kita
nyatakan sebagai jumlah dari bentuk-bentuk sederhana antara 0
2 detik, antara 2 3 detik, dan antara 3 4 detik.
V0,30))2(66(94
1
V25,22
36
4
10))2(66(3
4
1
s4;V6;V6
4
3
23
2
22
0
2
4
3
3
2
2
0
=
++=
=
=
++=
===
dtdttdttV
dtdtttdtV
TVV
eff
rr
ppp
3.2. Spektrum Sinyal
3.2.1. Bentuk Gelombang Periodik dan Komponennya
Kita telah melihat bahwa bentuk gelombang adalah persamaan atau
grafik yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi waktu. Di
samping sebagai fungsi waktu, suatu sinyal juga dapat dinyatakan
sebagai suatu spektrum, yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai
fungsi frekuensi. Jadi suatu sinyal dapat dipelajari di kawasan waktudengan memandangnya sebagai bentuk gelombang, atau di kawasan
frekuensi dengan memandangnya sebagai suatu spektrum.
Suatu sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa
komponen sinus, dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang
berlainan. Dalam penguraian itu, sinyal akan terdiri dari komponen-
komponen sinyal yang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari
sinyal), komponen sinus dengan frekuensi dasar f0 , dan komponen
sinus dengan frekuensi harmonisa nf0 .
6V
0 t
v
1 2 3 4 5 6 7
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
49/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
42 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan
perkalian frekuensi dasar f0 dengan bilangan bulat n. Frekuensi f0
kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yang
menentukan perioda sinyal T0 = 1/f0. Frekuensi harmonisa dimulaidari harmonisa ke-dua (2fo), harmonisa ke-tiga (3f0), dan seterusnya
yang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunyai
frekuensi nf0. Gb.3.1. di bawah ini memperlihatkan bagaimana
bentuk gelombang ditentukan oleh perberbedaan komponen-
komponen yang menyusunnya.
(a) v = 3 cos 2f0t (b) v = 1 + 3 cos 2f0t
(c)))2(2cos(2
2cos31
0
0
tf
tfv
+= (d)
)4/)2(2cos(2
2cos31
0
0
+
+=
tf
tfv
Gb.3.1. Bentuk gelombang periodik tergantung komponen-
komponen sinusnya.
Berikut ini kita akan melihat suatu contoh sinyal dengan bentuk
gelombang yang dinyatakan oleh persamaan
( ) ( ) ( )tftftfv )4(2cos10)2(2sin202cos4010 000 ++= Sinyal ini merupakan jumlah dari satu komponen searah dan tiga
komponen sinus yang kita sebut juga komponen bolak-balik.
Komponen searah sering kita sebut komponen berfrekuensi nol
karena v(t)= VA cos(2ft) = VA jika f= 0. Komponen bolak-balik
yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah
v
-4
0
4
-5 15 t
v
-4
0
4
-5 15 t
v
t
-4
0
4
-5 15
v
-4
1
-
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
50/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
43
yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku
ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3
tidak ada.
Untuk melihat spektrum sinyal, kita harus menuliskan tiap sukudengan bentuk yang sama yaitu bentuk standar seperti VA
cos(2ft+). Dengan menggunakan identitas sin(x) = cos(x-90o) dancos(x) = cos(x+180o), maka persamaan sinyal di atas dapat kitatuliskan sebagai:
)18042cos(10)9022cos(20)2cos(4010 o0o
00 ++++= tftftfv
Dalam persamaan ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk
standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap
komponen seperti dalam tabel berikut.
Frekuensi 0 f0 2f0 4f0
Amplitudo (V) 10 40 20 10
Sudut fasa 0 90 180
Tabel ini menunjukkan spektrum dari sinyal yang sedang kita bahas
karena ia menunjukkan baik amplitudo maupun sudut fasa dari
semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yang
kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu : 0, f0 , 2f0 , dan4f0. Amplitudo pada setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 10,
30, 15, dan 7,5 Volt. Sudut fasa dari komponen bolak-balik yang
berfrekuensi f0 , 2f0dan 4f0 berturut turut adalah 0o, 90o, dan 180o.
Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik
yaitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai
fungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum
amplitudo dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa,
seperti terlihat pada Gb.3.2. berikut ini.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
51/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
44 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
Gb.3.2. Spektrum amlitudo dan spektrum sudut fasaPenguraian sinyal menjadi penjumlahan harmonisa-harmonisa,
dapat diperluas untuk semua bentuk gelombang sinyal periodik.
Bentuk gelombang persegi misalnya, yang juga merupakan suatu
bentuk gelombang periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah
harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian
gelombang persegi ini adalah sebagai berikut:
++
+=
)9072cos(7
10)9052cos(
5
10+
)9032cos(
3
10)902cos(10
o0
o0
o0
o0
tftf
tftfv
Dari persamaan untuk gelombang persegi ini, terlihat bahwa semua
harmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu 90o;
amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan
faktor 1/n; tidak ada komponen searah dan tidak ada harmonisa
genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut:
Frekuensi: 0 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0 .. nf0
Amplitudo: 0 10 0 3,3 0 2 0 .. 10/n
Sudut Fasa: - -90o
- -90o
- -90o
- .. -90o
Spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa dari gelombang
persegi ini terlihat pada Gb.3.3. di bawah ini.
Spektrum Sudut Fasa
-180
-90
0
90
180
0 1 2 3 4 5
Frekwensi [ x fo ]
Spektrum Amplitudo
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5
Frekwensi [ x fo ]
[ V ] [o
]
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
52/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
45
Gb.3.3. Spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa
gelombang persegi.
Gb.3.4. berikut ini memperlihatkan bagaimana gelombang persegi
terbentuk dari harmonisa-harmonisanya.
Gb.3.4. Uraian bentuk gelombang persegi.
a) sinus dasar; b) sinus dasar + harmonisa ke-3; c) sinus dasar+ harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5; d) sinus dasar +
harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5 + harmonisa ke-7; e) sinus
dasar + harmonisa-harmonisa sampai harmonisa ke-21.
Penjumlahan sampai dengan harmonisa ke-21 memperlihatkan
bahwa penjumlahan seterusnya akan makin mendekati bentuk
gelombang persegi. Sampai harmonisa ke berapa kita akan
melakukan penjumlahan tergantung dari kepuasan kita untuk
menerima bentuk yang diperoleh sebagai bentuk pendekatan
gelombang persegi.
a) b)
d)
c)
e)
Spektrum Amplitudo Gel. Persegi
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Frekuensi [ xf0 ]
V
Spektrum Sudut Fasa Gel. Persegi
-135
-90
-45
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Frekuensi [ xf0]
[o]
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
53/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
46 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
3.2.2. Lebar Pita
Dari contoh gelombang persegi di atas, terlihat bahwa dengan
menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan
makin mendekati bentuk gelombang persegi. Penambahan ini dapatkita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang
memberikan bentuk gelombang yang kita anggap cukup memuaskan
artinya cukup dekat dengan bentuk gelombang yang kita inginkan.
Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin
tinggi frekuensi harmonisa, akan makin rendah amplitudonya. Hal
ini tidak hanya berlaku untuk gelombang persegi saja melainkan
berlaku secara umum. Oleh karena itu kita dapat menetapkan suatu
batas frekuensi tertinggi dengan menganggap amplitudo dariharmonisa-harmonisa yang memiliki frekuensi di atas frekuensi
tertinggi ini dapat diabaikan. Sebagai contoh, batas frekuensi
tertinggi tersebut dapat kita ambil frekuensi harmonisa yang
amplitudonya tinggal (misalnya) 2% dari amplitudo sinus dasar.
Jika batas frekuensi tertinggi dapat kita tetapkan, batas frekuensi
terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah
frekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidak
mengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searah
maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggidan terendah disebut lebar pita (band width).
3.2.3. Deret Fourier
Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal
tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier
yang kita pelajari dalam matematika. Jikaf(t) adalah fungsi periodik
yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan
sebagai deret Fourier:
[ ] ++= )2sin()2cos()( 000 tnfbtnfaatf nn (3.10)
Persyaratan Dirichlet meminta agar f(t) bernilai tunggal, integral
|f(t)| dalam selang satu perioda adalah berhingga, dan f(t)
mempunyai ketidak-kontinyuan dalam jumlah yang terbatas dalam
satu perioda. Deret Fourier konvergen untuk fungsi periodik yang
memenuhi persyaratan ini. Tetapi ada fungsi-fungsi yang tidak
memenuhi persyaratan ini namun mempunyai deret Fourier yang
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
54/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
47
konvergen. Jadi persyaratan Dirichlet ini cukup untuk terjadinya
deret Fourier yang konvergen tetapi tidak harus. Persyaratan ini
tidak merupakan persoalan yang serius sebab kebanyakan bentuk-
bentuk gelombang sinyal yang kita temui dalam rekayasa elektromemenuhi persyaratan ini. Contoh-contoh bentuk gelombang
periodik yang sering kita temui adalah gelombang persegi, deretan
pulsa, segitiga, gigi-gergaji, sinus, cosinus, sinus setengah
gelombang, sinus gelombang penuh.
Dalam persamaan (3.10) a0 adalah komponen searah yang
merupakan nilai rata-rata sinyal sedangkan suku kedua adalah
komponen sinus yang merupakan penjumlahan dari fungsi sinus dan
cosinus, masing-masing dengan koefisien Fourier an dan bn.
Persamaan (3.10) menunjukkan bahwa komponen sinus dari sinyalperiodik ditentukan oleh apa yang berada dalam tanda kurung, yaitu
[ ]
=
=
+=
+=
1
00
1
00
)sin()cos(
)sin()cos(
n n
nn
n
nn
tna
btna
tnbtnaS
(3.11)
Jika nnn
a
b
= tan maka persamaan (3.11) menjadi
[ ]
=
=
+=
+
=
1
022
1
00
)cos(
)sin(sin)cos(coscos
n
n
n
nnn
n
tnba
tntna
S
dan (3.10) menjadi
)cos()(
1
022
0
=
++=n
nnn tnbaaty (3.12)
Bentuk persamaan (3.12) ini lebih jelas memperlihatkan bahwa a0
adalah nilai rata-rata sinyal; 22 nn ba + adalah amplitudo-amplitudo
sinyal sinus dan n adalah sudut fasanya. Dengan demikian maka(3.12) merupakan pernyataan matematis dari sinyal periodik secara
umum. Nilai n tergantung dari tanda an dan bn.
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
55/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
48 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
an bn n
+ + di kuadran pertama
+ di kuadran ke-dua
di kuadran ke-tiga
+ di kuadran ke-empat
Koefisien Fourier ditentukan melalui hubungan (3.13).
=
=
=
2/
2/0
0
2/
2/0
0
2/
2/0
0
0
0
0
0
0
0
)2sin()(2
)2cos()(2
)(1
T
Tn
T
Tn
T
T
dttnftfT
b
dttnftfT
a
dttf
T
a
(3.13)
Perhitungan koefisien Fourier dengan menggunakan formula (3.13)
ini dapat dilakukan jika sinyal periodik memiliki persamaan yang
diketahui dan mudah di-integrasi. Jika sinyal tersebut sulit dicari
persamaannya, misalnya sinyal diketahui dalam bentuk kurva
(grafik), maka perhitungan dapat dilakukan dengan pendekatan
numerik yang akan kita pelajari di bab lain.
3.2.4. Koefisien Fourier Beberapa Bentuk Gelombang Periodik
Pada sinyal-sinyal periodik yang sering kita temui, banyak diantara
koefisien-koefisien Fourier yang bernilai nol. Hal ini tergantung dari
kesimetrisan sinyaly(t). Ada dua kondisi simetri yaitu simetri genap
dan simetri ganjil (gasal).
Simetri Genap. Suatu sinyaldikatakan mempunyai simetri
genap jika y(t) = y(t). Sinyaldengan simetri genap simetris
terhadap sumbu-y. Untuk
sinyal semacam ini, dari (3.10)
kita dapatkan
T0/2
y(t)
A
To
-T0/2t
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
56/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
49
[ ]
[ ]
=
=
+=
++=
1
000
1
000
)sin()cos()(
dan)sin()cos()(
n
nn
n
nn
tnbtnaaty
tnbtnaaty
Kalau kedua sinyal ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan
uraian sinyaly(t) yang memiliki simetri genap ini menjadi
[ ]
=
+=
=
1
0o )cos()(
0
n
n
n
tnaaty
b
(3.14)
Sinyal dengan simetri genap merupakan gabungan dari sinyal-sinyal
cosinus; sinyal cosinus sendiri adalah sinyal dengan simetri genap.
Simetri Ganjil. Suatu sinyal
dikatakan mempunyai simetri
ganjil jika y(t) = y(t).Sinyal semacam ini simetris
terhadap titik-asal [0,0].
Dari (3.10) kita dapatkan
[ ]
=
++=1
000 )sin()cos()(
n
nn tnbtnaaty
Kalau sinyal ini harus sama dengan
[ ]
=
++=1
000 )sin()cos()(
n
nn tnbtnaaty
maka haruslah
[ ])sin()(
0dan0
1
0
0
=
=
==
n
n
n
tnbty
aa
(3.15)
Sinyal dengan simetri ganjil merupakan gabungan dari sinyal-sinyal
sinus; sinyal sinus sendiri adalah sinyal dengan simetri ganjil.
Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourier
pada beberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentuk
y(t)
t
T0
A
A
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
57/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
50 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
gelombang yang tercantum disini adalah bentuk gelombang yang
persamaan matematisnya mudah diperoleh, sehingga pencarian
koefisien Fourier menggunakan hubungan (3.13) dapat dilakukan.
Penyearahan Setengah Gelombang:
Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itu
00 a . Perhitungan a0, an, bn lebih mudah dilakukan denganmenggunakan relasi (3.12).
Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:
Sinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandung
komponen sinus; bn = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap
sumbu waktu oleh karena itu 00 a , dengan nilai dua kali lipat daripenyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya an untukn
genap bernilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelombang.
Sinyal Persegi:
Sinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidak
mengandung komponen cosinus; an = 0 untuk semua n. Ia simetris
terhadap sumbu waktu, jadi a0 = 0.
genap0ganjil;4
;semua0
00
nbnn
Ab
na
a
nn
n
=
=
=
=vT
0A
t
10;2/
ganjil0genap;1
/2
/
1
2
0
==
=
=
=
nbAb
nann
Aa
Aa
n
nn
T0
t
v
nb
nann
Aa
Aa
n
nn
semuauntuk0
ganjil0genap;1
/4
/2
2
0
=
=
=
=
T0
A
t
v
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
58/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
51
Deretan Pulsa:
Sinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; bn = 0 untuk
semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itu
00 a .
Sinyal Segitiga:
Sinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; bn = 0
untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a0 = 0.
Sinyal Gigi Gergaji:
Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a0 =A/ 2. Iamemiliki simetri ganjil; an = 0 untuk semua n.
CONTOH-3.3: Uraikanlah bentuk gelombang penyearahan
tegangan setengah gelombang Vsin 0tv = sampai denganharmonisa ke-6 dan gambarkan spektrum amplitudo dan bentuk
gelombang pendekatannya.
nb
nann
Aa
a
n
n
semuauntuk0
genap0ganjil;)(
8
0
n2
0
=
=
=
=v
t
T0
A
semuauntuk0
sin2
/
0
00
nb
TTn
nAa
TATa
n
n
=
=
=v
t
T0
A
T
nn
Ab
na
Aa
n
n
semuauntuk
semuauntuk0
2/0
=
=
=
T
A
t
v
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
59/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
52 Sudaryatno Sudirham,Analisis Rangkaian Listrik (1)
Solusi:
Sinus setengah gelombang ini beramplitudo 1. Koefisien
Fourier menurut formula di atas, serta amplitudo dan sudut fasa
komponen gelombang ini adalah:
Koefisien Fourier Amplitudo [rad]a0 0,318 0,318
a1 0 0,5 1,57
b1 0,5
a2 -0,212 0,212 0
b2 0
a4 -0,042 0,042 0b4 0
a6 -0,018 0,018 0
b6 0
Dengan menggunakan koefisien Fourier, persamaan gelombang
adalah
V6cos018,04cos042,0
2cos212,0)sin(5,0318,0)(
00
00
tt
tttv
+=
yang nilai amplitudonya adalah
V018,0;V042,0
;V212,0;V5,0;V318,0
64
210
==
===
AA
AAA
Gambar berikut ini memperlihatkan spektrum amplitudo
sedangkan bentuk gelombang pendekatan dalam satu perioda
(sampai harmonisa ke-6) terlihat pada gambar di bawah ini.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.50.6
1 2 3 4 5 60harmonisa
[V]
7/30/2019 Analisis Rangkaian Listrik Jilid 11
60/350
Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal
53
CONTOH-3.4: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaj
Top Related