Análisis numérico
APROXIMACIÓN
NUMÉRICA Y ERRORES
AntecedentesEn 1947 se crea en la universidad de California el “INSITITUTO DE
ANÁLISIS NUMÉRICO”.
El análisis numérico es la rama de las matemáticas, cuyos limites no son deltodo precisos, que se encarga de diseñar algoritmos para que a través denúmeros y reglas matemáticas simples lograr simular procesos matemáticoscomplejos aplicados a procesos del mundo real.
Algoritmo es un procedimiento que mediante un número finito de pasos que pueden efectuarse de manera lógica nos pueden llevar a una solución aproximada de un problema.
Existe una gran variedad de algoritmos (métodos numéricos) desarrollados desde la antigüedad para encontrar soluciones satisfactorias a modelos matemáticos que pueden representar una gran variedad de sistemas físicos.
ANÁLISIS NUMÉRICO
Mezcla de matemáticas y ciencias de la computación
Matemática crear algoritmo (métodos numéricos)
Computación desarrollo de software
Análisis Numérico
La ciencia que nos permite obtener resultados de
problemas representados en forma matemática
utilizando procedimientos aritméticos.
A la definición anterior hay quien agrega que es un
arte, ya que se trata de seleccionar el mejor
método para resolver un problema.
Resolver el problema de encontrar la raíz cuadrada de un número positivo.
Se puede resolver de:
a) Método tradicional b) Tabulación
c) Utilizar la forma d) Utilizar un método numérico de aproximaciones.
A
ACBBX
2
42
12
Ejemplo 1:
En el mundo real los datos con que se trabaja son inexactos, se basan en medidas y por lo tanto son aproximaciones.
Exactitud. se puede definir como “que tan cerca estamos del valor real”, se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.
Precisión. Cifras significativas que se toman en un resultado o para realizar cálculos.
Cifras significativas. Sirven para designar la confiabilidad de un valor numérico.
Certeza más un estimado
Se puede hablar entonces de cifras significativas y cifras decimales significativas.
El total de cifras significativas es independiente del punto decimal.
Representación Punto fijo
Numérica Punto flotante
Los errores que se presentan son de tres tipos:
Medición del error.
1
1
n
ar
nna
V
ee
VVe
realvalor
absolutoerrorrelativoerror
aproximadovalorexactovalorabsolutoerror
eserrorelmedirdeformaLa
erroraproximadovalorexactoValor
EJERCICIOS
1) Sumar las siguientes cantidades:
a) en orden ascendente b) en orden descendente
0.2897 x 100 i) al hacer las sumas parciales redon
0.7259 x 101 dear, utilizando aritmética de 4 dígitos
0.8095 x 102
0.2162 x 103
ii) con la suma exacta con al menos
0.5291 x 104 5 dígitos calcule el ea y el er
2) Calcule el valor de la resistencia
equivalente, con su error, si se conectan
en paralelo las resistencias 𝑅1= 12 ± 1.3
ohms y 𝑅2= 15 ± 1.7 ohms, si sabe que
la resistencia equivalente se obtiene
como: 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝟏 ∗ 𝑹𝟐
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐ohms.
4) Represente las siguientes cantidades,
1) -3.8474 2) 0.00485
3) 847.345 4)1.00865
a) con 3 cifras significativas
b) con 3 cifras decimales significativas
c) normalizado a una mantisa de 4 dígitos
5) EL NÚMERO “e” CON CINCO CIFRAS DECIMALES CORRECTAS
ES
2.71828, CALCULE EL ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO EN QUE
SE INCURRE AL TOMAR N=4 EN LA EXPRESIÓN:
𝒆 = σ𝒌=𝟎𝒌=𝒏 𝟏
𝒌!
¿CUÁNTO DEBE VALER “ n “PARA ASEGURAR EL VALOR, CON
LAS CINCO CIFRAS DECIMALES CORRECTAS?
Análisis del errorEn un resultado numérico se toma en cuenta la
propagación del error, ya que en cualquier
cómputo hecho a mano o con un dispositivo de
cálculo estará presente el error.
Algunas recomendaciones para minimizar el error.
1. En las operaciones de suma y/o resta, se trabaja
primero con los más pequeños.
2. Evitar la resta de 2 cantidades aproximadamente
iguales.
3. Minimizar el número de operaciones aritméticas.
Métodos iterativosEn general, los métodos iterativos se clasifican en
métodos de aproximaciones sucesivas y
métodos de paso a paso.
Los métodos que parten de una aproximación
inicial a la solución x de un problema
mediante la aplicación reiterada de una o varias
fórmulas de recurrencia proporcionan
aproximaciones a la
solución x, se denominan métodos de
aproximaciones sucesivas.
nxxxx ...,,, 321
Por otra parte, los métodos denominados de paso a paso son aquellos que parten de un valor inicial y se basan también en la aplicación de una fórmula de recurrencia; pero, a diferencia de los métodos de aproximaciones sucesivas, se utilizan para obtener aproximaciones a la solución de una sucesión de números, en lugar de un solo valor.
Los métodos iterativos no siempre proporcionan aproximaciones aceptables y, en muchos casos, el error que se obtiene al aplicarlos aumenta a medida que se incrementa el número de iteraciones. Dos de las principales causas del aumento del error se explican con los conceptos de convergencia y estabilidad.
Convergencia.Se dice que existe convergencia al aplicar
un método numérico por aproximacionessucesivas, cuando al obtener lasdiferentes aproximaciones tanto el errorabsoluto como el relativo tienden a sermenor que una tolerancia predeterminada.En caso contrario el método diverge.
Estabilidad.Se dice que existe estabilidad de un método
numérico, cuando la variación tiende a sermenor entre dos aproximaciones.
APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR MEDIO DE POLINOMIOS
LA SERIE DE TAYLOR
Una manera de aproximar funciones por su(s) polinomios es
la Serie de Taylor.
TEOREMA DE TAYLOR
Dada una función f(x) que acepta “n” derivadas en un
intervalo contínuo [a,b] que existe la enésima mas un
derivada 𝑓𝑛+1 y un valor 𝑥0 en [a,b] entonces
𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛(𝑥)
En donde
𝑃𝑛(x)=f 𝑥0 + 𝑓´ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓´´(𝑥0)(𝑥−𝑥0 )
2
2!+…+
𝑓𝑛(𝑥0)(𝑥−𝑥0)𝑛
𝑛!
y
𝑅𝑛 x =𝑓𝑛+1(𝜉 )(𝑥−𝑥0)
𝑛+1
𝑛+1 !
Se dice que el 𝑃𝑛 (x) es el polinomio de Taylor de grado
enésimo para la función alrededor de 𝑥0 y 𝑅𝑛 se llama
término del residuo o error de truncamiento asociado al
polinomio de grado n.
El valor de ξ en 𝑅𝑛 depende del valor x donde se evalúa el
polinomio, la determinación de ξ no es fácil y el polinomio de
Taylor solo asegura que existe y su valor se encuentra entre
x y 𝑥0.
Una variante de Taylor se tiene cuando 𝑥0 = 0 y Taylor se
convierte en McLaurin.
Ejemplo 1.
Utilice la serie de Taylor para valuar la 21.1 para la función
𝑓 𝑥 =21 + 𝑥 utilizando un polinomio de tercer grado.
TAREA 1
1) Calcule los errores absoluto y relativo sí p se representa por 𝒑∗ considere 5
dígitos con redondeo en las operaciones.
a) p=π 𝒑∗ = 22/7
b) p=e 𝒑∗ = 2.718
c) p=𝟏𝟎𝝅 𝒑∗ = 1400.0
2) Los siguientes números provienen de un computador decimal con una
mantisa normalizada de 4 dígitos:
a = 0.2115 x 10-3 ; b = 0.2583 x 101 ; c = 0.4523 x 104
realizar las siguientes operaciones e indicar el error en el resultado,
suponiendo redondeo .
a) a + b + c ; b) (c) (a) / b ; c) (c) / (b)
3) Calcular el error absoluto y relativo, a) por truncamiento y b) por
redondeo, de la fracción 𝟐𝟒
𝟕, considerando como verdadero el
resultado aproximado a seis cifras decimales igual a 3.428571 …
Considere que si se trunca a dos decimales, es decir 3.42, su
expresión como fracción racional equivalente es 𝟏𝟕𝟏
𝟓𝟎, y si se
redondea a dos decimales, es decir 3.43, su expresión como
fracción racional equivalente es 𝟑𝟒𝟑
𝟏𝟎𝟎.
4) Dada la función
a) para 𝒙 =𝝅
𝟑calcule el valor exacto
b) considerando el polinomio encontrado, obtenga el valor
para 𝒙 =𝝅
𝟑, tomando redondeo a cinco cifras decimales.
c)encuentre el error absoluto y relativo entre a y b.
2 4 6 8
( ) cos( ) 12! 4! 6! 8!
x x x xf x x
3x
5) Sea 𝒇 𝒙 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟎. 𝟏𝟒𝟒𝟖
valúe 𝒇 𝒙 para 𝒙 = 𝟑. 𝟕𝟗𝟏 usando 4 cifras decimales.
I) Calcule el valor exacto (con todos los dígitos de la
calculadora).
II) Aplicando redondeo, calcule el valor de 𝒇 𝒙 , el error
absoluto y el error relativo exactos.
III) Aplicando truncamiento calcule el valor de 𝒇 𝒙 , el
error absoluto y el error relativo exactos.
1V) Que considera mejor, el redondeo o el truncamiento
•4) Dada la función
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