Análise de Estruturas
ACÇÃO DOS SISMOS
1
0,0399
f 1 = 160KN
f 2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133
0,0266
m
m
2
APONTAMENTOS DAS AULAS
sséérriiee EESSTTRRUUTTUURRAASS
joão guerra martins
7.ª edição / 2009
Acção dos Sismos – Apontamentos das Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
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ACÇÃO DOS SISMOS
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A Intensidade de um sismo é uma medida da destruição observável numa determinada região afectada
A escala de intensidades mais vulgarizada foi proposta inicialmente por Mercalli e modificada subsequentemente por Richter, designando-se Escala de Intensidades Modificadas de Mercalli, ou simplesmente Escala de Mercalli modificada.
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Esta escala é baseada num reconhecimento subjectivo dos efeitos da vibração no comportamento das pessoas e no grau de destruição provocado. Uma versão desta escala é apresentada, ilustrando-se, para cada grau, o tipo de efeitos observáveis:
I - A vibração não é perceptível por pessoas.
II - Vibração perceptível por pessoas situadas em pisos elevados de edifícios.
III - Vibração perceptível dentro dos edifícios (semelhante à produzida pela passagem de camiões leves) podendo não ser identificada como um sismo; Alguns objectos pendurados balançam.
IV - Vibração semelhante à provocada pela passagem de camiões pesados; Sensação de sacudidela como a provocada pela pancada de uma bola contra uma parede; Automóveis estacionados balançam; Portas e janelas rangem. Os vidros vibram;
V - Vibração perceptível fora dos edifícios; Acorda pessoas, agita líquidos dentro dos recipientes podendo provocar extravasamento; Objectos menos estáveis podem ser derrubados ou arrastados; As portas oscilam; Os quadros nas paredes movem-se; Os pêndulos dos relógios param;
VI - Vibração sentida por todas as pessoas podendo mesmo provocar algumas reacções de pânico; Pessoas a andar cambaleiam; Partem-se vidros de janelas; Objectos caem das prateleiras e quadros das paredes. Mobiliário é arrastado ou virado; Árvores e arbustos agitam-se visivelmente; O reboco das paredes e tectos estala;
VII - Dificuldade das pessoas se manterem em pé; Vibração sentida por condutores de automóveis; Mobiliário partido e danos em cantaria fraca; Ruína de chaminés pequenas; Ruína de ornamentos de arquitectura; Queda de cornijas, floreiras, tijolos e telhas; Ondulação em lagos e deslocamento de areias em dunas.
VIII - A condução de automóveis é perturbada pelas vibrações; Danos em alvenaria, com colapso parcial de alvenaria ordinária e danos leves em alvenaria armada; Ruína de chaminés, monumentos, torres e depósitos elevados; Deslocamentos nas fundações dos edifícios e eventualmente assentamentos por compactação do solo. Quebram-se ramos de árvores;
IX - Pânico geral; Alvenaria fraca é destruída e a alvenaria de boa qualidade é seriamente danificada; As fundações são seriamente danificadas; Fendilhação generalizada do solo.
X - A maior parte das construções em alvenaria são destruídas juntamente com as suas fundações; Estruturas de madeira e algumas pontes são destruídas; Danos sérios em barragens, diques e taludes; Grandes movimentos do solo; Linhas de caminho de ferro levemente encurvadas; Água de rios e lagos projectada para fora das margens.
XI - Linhas de caminho de ferro completamente encurvadas e pipelines destruídos.
XII - Destruição praticamente total; Grandes massas rochosas deslocadas e linha do horizonte distorcida; Objectos projectados pelo ar.
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Medidas de concepção
+
Pormenorização (detalhe construtivo)
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Princípios de concepção de estruturas de edifícios (EC8)
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Mau Bom Mau Bom
Mau Bom Mau Bom
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Para um edifício ser classificado como regular no plano, satisfará todas as condições listadas
nos parágrafos seguintes:
• Com respeito à rigidez lateral e à distribuição de massa, a estrutura do edifício será
aproximadamente simétrica em plano com respeito aos dois eixos ortogonais;
• A configuração no plano será compacta, i.e., cada pavimento será delimitado por uma
linha poligonal convexa. Se este pavimento tiver reentrâncias/saliência (nos cantos ou
no seu contorno), a regularidade no plano ainda pode ser considerada se essas
singularidades não afectarem a rigidez desse plano, para cada reentrância/saliência
isso significa que a área entre o contorno do piso e uma linha convexa poligonal
envolvendo o mesmo não excede 5 % da área de pavimento.
• A rigidez no plano dos pavimentos deverá ser suficientemente grande, em comparação
com a rigidez lateral dos elementos estruturais verticais, de modo que a deformação do
piso tenha um efeito pequeno na distribuição das forças entre os elementos estruturais
verticais;
• Neste respeito, formas de pavimento em L, C, H, I e X devem ser cuidadosamente
examinadas, devendo ser notável a preocupação com a rigidez dos ramos laterais, que
deve ser comparável à parte central, para satisfazer a condição rígida de diafragma;
• A esbelteza = Lmax/Lmin (dimensões em planta) não será mais alta que 4, onde
respectivamente temos a maior e a menor dimensão do edifício em planta;
• Em cada nível, e para cada direcção X e Y, a excentricidade estrutural, e0, e o raio
torsional, r, estarão em condições de acordo com:
eox ≤ 0.30 rx
rx ≥ Ls
(considerando, no caso, a direcção de Y de análise)
Onde:
eox é a distância entre o centro de rigidez e o centro de massa, medida ao longo da
direcção de X, a qual é normal à direcção de análise considerada (Y);
rx é a raiz quadrada da razão entre a rigidez de torsional e a rigidez lateral na
direcção de Y ("raio torsional");
Ls é o raio de giração da massa do piso no seu plano (raiz quadrada da relação de
do momento polar de inércia da massa do piso chão em plano, com respeito ao
centro de massa desse piso.
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O critério para regularidade em elevação para um edifício ser classificado como é regular
em elevação, deverá satisfazer todas as condições alistadas nos seguintes parágrafos.
• Todos os sistemas resistentes laterais (contraventamentos), tal como núcleos, paredes
estruturais, ou pórticos, correrão sem interrupção desde as fundações ao topo do
edifício ou, se singularidades em alturas estão presentes, ao topo da zona relevante do
edifício para cada uma destas partes;
• Tanto ã rigidez lateral como a massa individual dos pisos permanecerão constante ou a
sua redução será realizada gradualmente, sem mudanças bruscas, da base ao topo do
edifício;
• Em edifícios porticados a relação da resistência real de cada piso, em relação à
requerida pela análise, não deve variar desproporcionalmente entre pisos adjacentes;
• Quando singularidades estão presentes, as seguintes condições adicionais aplicam-se:
Para singularidades graduais conservando simetria de axial, a singularidade em
qualquer piso não será superior a 20 % da dimensão do piso na direcção da
singularidade, conforme figura (a) e (b) abaixo;
Para uma única singularidade abaixo dos 15 % da altura total do sistema principal,
a singularidade não será maior que 50 % da dimensão do piso, conforme figura (c)
abaixo. Neste caso a estrutura da zona de base, dentro do perímetro vertical
projectado dos pisos superiores, deve ser concebido para o resistir, pelo menos, a
75% das forças de corte horizontais que desenvolveriam nessa zona num edifício
semelhante mas sem alargamento da base;
Se as singularidades não conservam simetria, em cada face a soma das
singularidades de todos os pisos não será maior que 30 % da dimensão no plano do
piso térreo acima da fundação, ou acima do topo de uma base rígida, e as
singularidades individuais poderão ser superiores a 10 % da dimensão em planta,
conforme a figura (d).
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Consequências da regularidade estrutural na análise e dimensionamento sísmico
Regularidade Simplificação permitida Coeficiente de Comportamento
Planta Altura Modelo Análise elástica e linear (para análise linear)
Sim Sim Plano Estática (a) Valor de referência
Sim Não Plano Sobreposição Modal Valor reduzido
Não Sim Espacial (b) Estática (a) Valor de referência Não Não Espacial Sobreposição Modal Valor reduzido
(a) Se o período fundamental de vibração T1 ≤ 4Tc e T1 ≤ 2.0, com Tc definido na tabela 3.2 e 3.3 do EC8. (b) Dentro das condições estabelecidas no ponto 4.3.3.1(8) do EC8, um modelo plano pode ser usado segundo as duas direcções principais horizontais (incluído à frente).
Assim:
Em geral a estrutura pode ser considerada como um número de sistemas resistentes
verticais e laterais, ligados por diafragmas horizontais.
Quando os pisos do edifício podem ser tomados como diafragmas rígidos em seus
planos, as massas e os momentos de inércia de cada um destes podem ser referidos ao
seu centro de gravidade.
Para edifícios que se adaptam ao critério de regularidade em planta, ou com as
condições apresentadas em 4.3.3.1(8) do EC8, a análise pode ser executada partindo
de dois modelos de planos, um para cada direcção principal (ver seguidamente).
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Notas de concepção de estruturas de betão e mistas de edifícios
(EC8)
Em edifícios de betão e em edifícios aço-betão compostos e em edifícios de alvenaria
resistente a rigidez dos elementos que suportam a acção sísmica devia, em geral, levar
em conta a avaliação da fissuração. Sobretudo tendo em consideração o efeito não linear
dos sismos. Tal rigidez deve corresponder ao início da cedência dos varões de aço.
A menos que uma análise mais exacta dos elementos fissurados, a rigidez de flexão
elástica e a rigidez ao corte de elementos de betão e alvenaria pode ser tomada
semelhante a metade da rigidez correspondente aos elementos não fissurados.
As paredes de alvenaria de enchimento que contribuem significativamente à rigidez
lateral e resistência do edifício, devem ser levada em conta.
A deformabilidade da fundação será levada em conta no modelo, sempre que pode ter
uma influência total adversa na resposta estrutural
As massas serão calculadas com base nas cargas de gravidade aparecendo na
combinação de acções.
Para explicar incertezas na situação de massas e na variação espacial do movimento
sísmico, o centro calculado de massa em cada piso a ser considerado terá que se deslocar
da sua situação nominal, em cada direcção, de uma excentricidade acidental: eai =
±0,05Li, sendo esta excentricidade acidental de massa, do piso i, obtida da sua
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localização nominal, aplicando na mesma direcção em todos os pisos, em que Li é a
dimensão do piso na direcção perpendicular à acção sísmica.
Os efeitos sísmicos e os efeitos das outras acções podem ser determinados pelo
comportamento linear-elástico da estrutura. Assim, o método de referência para
determinar os efeitos sísmicos serão a análise modal por espectro de resposta, usando
um modelo elástico (em termos materiais) e linear (em termos geométricos) da estrutura
e o espectro de projecto.
Dependendo das características estruturais do edifício, um dos seguiintes dois tipos de
análise elástico e linear podem ser usados:
1) O "método de análise lateral estático/força" para edifícios encontrando as
condições dadas em 4.3.3.2 do EC8 (este tipo de análise pode ser aplicado a
edifícios cuja resposta não é afectada significativamente por contribuições de
modos de vibração mais altos que o modo fundamental, em cada direcção
principal, podendo a frequência ser determinada pelo Método de Rayleigh, por
exemplo);
2) A "análise modal por espectro de resposta", que é aplicável a todos tipos de
edifícios.
Como uma alternativa a um método linear, um método não-linear também pode ser usado,
tal como:
1) Análise estática não-linear (pushover);
2) Análise não-linear com integração no tempo (dinâmica).
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Reparar que a admissibilidade dos pisos se comportarem como diafragmam rígidos no
seu plano é condição base para todos os modelos descritos, daí a importância das lajes
maciças (de betão armado ou mistas) no projecto em zonas sísmicas.
Notas de concepção de estruturas metálicas de edifícios (EC8)
As recomendações realizadas para edifícios de betão e mistos mantém-se em tudo que for
aplicável, sendo os edifícios resistentes a sismos fabricados em aço projectados de acordo
com um dos seguintes conceitos:
Conceito A) - Comportamento estrutural de baixa dissipação (de energia sísmica);
Conceito B) - Comportamento estrutural de dissipativo (de energia sísmica).
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Importância do solo (EC8)
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Tipos de solo (EC8)
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ZONAMENTO DO TERRITÓRIO [RSA – art. 28º]
Considera-se o país dividido em quatro zonas, em que na ordem decrescente, de índice de
sismicidade, são classificadas e designados por: A, B, C, D. A sua quantificação, em termos
de incidência sísmica, é feita a partir do coeficiente de sismicidade α, conforme Quando I, do
Capítulo VII – Acção dos Sismos, do RSA.
Tabela I – Valores do Coeficiente de Sismicidade, α
Zona Sísmica α
A
B
C
D
1,0
0,7
0,5
0,3
A delimitação pormenorizada destas zonas está no ANEXO III do RSA, que se reproduz, bem
como mapa que tem por base todos os sismos sentidos em Portugal continental.
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Zonas Sísmicas (EC8)
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Características principais (não são independentes): • Duração • Valores de pico da aceleração • Conteúdo espectral
Duração no RSA dos sismos tipo:
• Tipo I – 10 segundos • Tipo II – 30 segundos
Espectros de resposta:
• Cálculo a partir de espectros de potência;
• Cálculo a partir de sismogramas.
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Simulação numérica de sismogramas: • Compatíveis com espectros de potência; • Compatíveis com espectros de resposta.
Princípio:
• Um processo estocástico, estacionário, ergódico e gaussiano de média nula é completamente caracterizado pela função de auto-correlação ou, o que é o mesmo, pela sua função densidade espectral de potência:
A caracterização da estrutura probabilística pode ser feita através de Distribuições de probabilidade conjunta, Funções características, Momentos estatísticos, ...
Um processo diz-se estacionário se a sua estrutura probabilística não depender da origem de t. Um processo diz-se ergódico se a sua estrutura probabilística puder ser obtida de uma única
realização. Um processo diz-se gaussiano se puder ser completamente caracterizado pela função densidade de
probabilidade de Gauss (em forma de sino). Neste caso só existem momentos estatísticos até ordem 2 (média e desvio padrão).
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Espectros de Resposta do RSA e do EC8:
ZZoonnaa AA,, TTeerrrreennoo ttiippoo II
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QUANTIFICAÇÃO DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 29º]
Definições importantes:
• Para além do coeficiente de sismicidade, α (Quadro I), relacionado com o local
geográfico dentro do território nacional, também, para a definição dos Valores
Característicos da acção dos sismos, a natureza do terreno importa. Deste modo, são
preconizados três tipos de terrenos. classificados por: Tipo I, II, III. Sendo:
Tipo I: Solo rochoso ou coerente rijo;
Tipo II: Coerente muito duros, duros e de consistência média;
incoerentes compactos;
Tipo III: Coerentes moles e muito moles; incoerentes soltos.
• Valores reduzidos da acção dos sismos são nulos (incluindo o valor raro ψ0 = ψ1
= ψ2 = 0);
• Em geral, apenas é necessário considerar direcções de actuação da acção dos sismos
no plano horizontal, na medida em que na direcção vertical só quando as estruturas
sejam especialmente sensíveis a vibrações nesta direcção. No que se refere ao
disposto em 29.4 (R.S.A), como exemplo de casos em que deverá considerar-se a
acção sísmica na direcção vertical, podem referir-se as estruturas com modos de
vibração caracterizados por frequências próprias inferiores a cerca de 10 Hz, a que
correspondam configurações com deslocamentos significativos na direcção vertical
(o que, na verdade, não alberga uma quantidade de construções significativa).
Exemplo prático:
Uma ponte.
A pior situação é o esborrachar da ponte, pois irá destruir as cabeças dos pilares ou punçoar o
tabuleiro (se a laje for fungiforme – situação rara).
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Nós FIXOSNós MÓVEIS
N N
N . = considerável = M adicional N . = não considerável = M desprezável
FF
ΔNM
NMΔ
ΔNM Δ
Δ NF
NF
NFΔ
Na quantificação da acção dos sismos apenas são tidas em conta as acções vibratórias
transmitidas pelo terreno à estrutura.
DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 30º]
A determinação dos efeitos da acção dos sismos deve ser efectuada por métodos de
análise dinâmica, de acordo com o indicado em 30.2 e 30.3 (RSA), podendo, no entanto,
utilizar-se também os processos simplificados de análise estática apresentados em 30.4 e 30.5
(RSA).
Conceito importante:
MOBILIDADE – Sensibilidade das estruturas aos deslocamentos laterais.
Estas duas figuras dão continuidade ao que temos visto, relacionado a rigidez aos
deslocamentos horizontais com a sua classificação quanto à mobilidade lateral, designando-se
estruturas de nós MÓVEIS, ou de nós FIXOS, conforme os deslocamentos transversais serão
consideráveis ou não para o cálculo dos esforços (se são ou não geradas excentricidades
significativas entre as bases e topos dos elementos verticais, gerando efeitos de 2.ª ordem –
momentos adicionais: M = Mconvencionais + N.e).
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Métodos de análise dinâmica (RSA – art. 30.2º e 30.3º):
Primeiramente devemos relembrar que, simplificadamente, a Dinâmica Estrutural
estuda acção que o sismo provoca nas construções, ao induzir-lhe acelerações que tem como
resposta o aparecimento de forças inérciais nas massas da estrutura, pois que estas são
mobilizadas pelo efeito vibratório sísmico.
De forma ilustrativa, diríamos que o sismo movimenta, por agitação, a base das
estruturas, tendo as massas destas (designadamente concentradas ao nível dos pisos) tendência
para resistirem ao deslocamento que lhe é imposto, dado as suas grandes inércias.
Devem-se ter em conta a quantificação das vibrações sísmicas (artigo 29° do RSA) e
considerar as massas correspondentes ao valor médio das cargas permanentes e ao valor quase
permanente das cargas variáveis que actuam na estrutura.
Por outro lado, as características de rigidez e amortecimento a adoptar devem
corresponder a valores médios das propriedades dos materiais.
Conceito importante:
Eq. Equilíbrio Dinâmico: K.d + A.v + M.a = F
K, Rigidez (K.d = F) Conceito ESTÁTICO
A, Amortecimento (A.v = F) Conceito CINEMÁTICO
M, Massas (M.a = F) Conceito DINÂMICO
d – deslocamento; v – velocidade; a - aceleração
O quociente δ entre o menor dos valores máximos das componentes horizontais da
reacção global da estrutura sobre a fundação, nas diversas direcções, e o valor das cargas
correspondentes às massas consideradas, não deve ser menor que α04,0 .
Se o valor do quociente for inferior ao limite indicado, os resultados obtidos pela
analise dinâmica deverão ser multiplicados por δα04,0 .
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No caso de esse quociente δ ser superior a α16,0 e a estrutura apresentar uma certa
ductilidade, os resultados daquela análise poderão ser divididos por α16,0δ .
Quantificação das massas
• Estruturas porticadas e de uma só massa (reservatórios, silos,
etc):
3233 Q*ψ+G=m
2222 Q*ψ+G=m
1211 Q*ψ+G=m
Edifício em Altura Reservatório Elevado
• Um reservatório de água
m m/2
Ambas são desfavoráveis para os SISMOS
Para o VENTO, a situação mais desfavorável é o depósito vazio.
Esta também é a situação mais desfavorável
para fins de cálculo de acções gravíticas da
estrutura
Esta é a situação mais desfavorável
para fins de cálculo das paredes ( )3
22
1 ou±
RRR Q)100 - 0%(+G=m
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Efeitos das singularidades nas estruturas
A figura seguinte mostra-nos uma situação em que a existência de meia parede não é
favorável para a acção dos sismos, pois terá momentos máximos no meio do pilar. Ora, muito
provavelmente, os cálculos de projecto foram realizados com a estrutura sem este
impedimento à deformação desses elementos verticais, surgindo situações de
imprevisibilidade em caso de sismo.
A situação comum, de cálculo corresponde à figura acima, admitindo os pilares soltos.
Todavia, a situação acima descrita poderá ficar coberta pelo facto de, em princípio, as
armaduras (de flexo-compressão e esforço transverso) obtidas deste modo, não serem
inferiores, pelo que sanará o problema.
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Δ= *lEI12f 3 Δ= *
hEI3f 3
X- Centro de Rigidez
- Centro de Massa
Estrutura Regular de 9 Pilares Estrutura Irregular de 8 Pilares
A excentricidade entre CM e CRprovoca a torção da estrutura
Tipos de estruturas (e sua forma de deformação a acções horizontais)
PÓRTICOS PAREDES
MISTAS
Nas estruturas em que os elementos não estejam dispostos em malha ortogonal, poderá
considerar-se que a acção sísmica actua separadamente segundo as direcções em que a
estrutura se desenvolve, devendo-se então proceder a uma análise complementar para ter em
conta os efeitos da torção.
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NOTA: Numa estrutura perfeitamente regular, a acção sísmica conjunta nas duas direcções
pode provocar um efeito idêntico ao da torção em estruturas irregulares, atendendo a
desfasamento nos modos de vibração. Contudo, esta situação é difícil de poder coexistir:
idêntica magnitude em direcções ortogonais.
Conceito importante:
DUCTILIDADE – Capacidade do material se deformar sem perder a resistência.
Em geral, pode admitir-se o comportamento linear para efeitos de cálculo da acção sísmica e
corrigir os resultados, dividindo-os por coeficientes de comportamento (η) que dependem do
tipo de estrutura (pórtico, mista pórtico-parede, parede) e das suas características de
ductilidade (ductlidade normal ou ductilidade melhorada).
Normalmente para o cálculo das acções sísmicas, considera-se sempre, ou quase sempre, que
os materiais ultrapassam o seu Limite Elástico.
ηE = Coef. Comportamento para Esforços = Esforços Reais / Esforços Elásticos ≤ 1
ηd = Coef. Comportamento para Deslocamentos = Deslocamentos Reais / Deslocamentos Elásticos ≥ 1
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Deformação Elástica de Cálculo
Deformação Real Inelástica
σ Limite Elástico
σ
σ Real
ε
ε ε Limite Elástico
Real
Sistema de 1 grau de liberdade em deslocamento crescente (Fonte: SMEE - DECivil – IST)
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(Fonte: SMEE - DECivil – IST)
Segundo o art.º 30 do RSA:
«Poderá admitir-se que a estrutura apresenta um comportamento elástico linear e corrigir os
resultados assim obtidos dividindo-os pelo correspondente coeficiente de comportamento. O
coeficiente de comportamento define-se para uma determinada grandeza (esforço,
deslocamento, etc.), para uma determinada estrutura e para uma determinada acção sísmica,
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f 2
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f 1
tendo a pretensão de correlacionar o valor máximo da grandeza determinada por modelos
lineares (idealizados) e não lineares (reais).»
Nota: É nos nós que a acção sísmica tem o seu efeito mais assinalável, dado o valor dos
esforços concentrados nessa zona.
Risco sísmico, grau de importância das estruturas e ductilidade
O risco sísmico, de que depende a definição das acções sísmicas de projecto, está ainda
relacionado com o tipo de estrutura e com a sua importância para a comunidade.
O tipo de estrutura é fundamentalmente definido de acordo com as características de
ductilidade dos materiais utilizados e com a própria geometria da estrutura. No RSA é
considerado um coeficiente de comportamento (η) no cálculo da acção sísmica, o qual
depende não só da ductilidade e geometria da estrutura mas também do grau admitido na
exploração dessa ductilidade. Este coeficiente destina-se a corrigir os efeitos da acção dos
sismos obtidos através de uma análise linear e elástica das estruturas, com vista a transformá-
los em valores que se obteriam por uma análise não-linear (material e geométrica).
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Estruturas de betão armado
No caso particular das estruturas de betão armado ou pré-esforçado o regulamento nacional
aplicável é o REBAP (até 2010, data em que se prevê a entrada em vigor dos Eurocódigos), o
qual distingue dois tipos de estruturas de acordo com a sua ductilidade:
⇒ Estruturas de ductilidade normal, as quais se limitam a obedecer às disposições de
projecto e disposições construtivas mínimas definidas nos capítulos X e XI daquele
regulamento.
⇒ Estruturas de ductilidade melhorada, as quais obedecem a disposições de projecto e
construtivas adicionais definidas no capítulo XII do mesmo regulamento.
Para além das disposições construtivas que constam no capítulo X e XI do REBAP, também o
capítulo XII (complementar ao Cap. X e XI) encerra conceitos e disposições construtivas
importantes no contexto sismo-resistente (estruturas de ductilidade melhorada - art. 142º ao
176º do REBAP).
O REBAP apresenta valores do coeficiente η de acordo com o tipo de estrutura resistente e
com a ductilidade nos seus art./os 33.2 e 33.3. Estes valores encontram-se aqui resumidos no
quadro abaixo. Neste domínio o EC8 apresenta uma abordagem bastante mais completa, para
além de fornecer valores para outros tipos de materiais.
No que respeita à importância das estruturas para a comunidade, estas devem ser classificadas
de acordo com os danos permitidos em caso de catástrofe sísmica. Um exemplo de
classificação poderia ser a seguinte:
⇒ Estruturas críticas: Hospitais, esquadras de polícia e quartéis de bombeiros, unidades
militares, sistemas de comunicações e rádio, fornecimento de água, electricidade e gás,
centros de protecção civil, grandes barragens ou centrais térmicas, pontes em itinerários
fundamentais.
⇒ Estruturas importantes: Hotéis e edifícios de escritórios, edifícios públicos, igrejas,
escolas e grandes complexos industriais e comerciais.
⇒ Estruturas comuns: Armazéns, edifícios agrícolas, moradias unifamiliares.
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Valores do coeficiente de comportamento em estruturas de betão armado e pré-esforçado
Tipo de Estrutura resistente Coeficiente η relativo a esforços
Ductilidade normal / Ductilidade melhorada Estruturas críticas Outras estruturas
Edifícios correntes com estrutura de: • Pórticos resistentes 1.75 / 2.45 2.5 / 3.5 • Pórticos e paredes resistentes 1.4 / 1.75 2.0 / 2.5 • Paredes resistentes 1.05 / 1.4 1.5 / 2.0 Pontes correntes em que a energia é, fundamentalmente, dissipada por:
• Deformação de flexão dos pilares 1.4 / 2.1 2.0 / 3.0 • Idem por esforço transverso 1.0 / 1.2 1.4 / 1.7 • Encontros 1.0 1.2 Coeficientes η relativos a:
Devem ser tomados iguais a 1.0 • Esforços gerados pela vibração vertical • Deformações
Este tipo de classificação deve ser tido em conta quando da verificação da segurança
estrutural, permitindo, por exemplo, que as estruturas consideradas críticas ou importantes
tenham mais reservas de resistência e tenham comportamento dúctil na rotura, de forma a
poderem dissipar grandes quantidades de energia durante o sismo.
Estruturas metálicas
Segundo o REAE:
Art.º 6.3 - Os coeficientes de comportamento, a utilizar segundo os critérios definidos no RSA
para a determinação dos efeitos da acção dos sismos, devem ser convenientemente
justificados, tendo em conta o tipo de estrutura e as características de ductilidade da
construção.
No caso de edifícios correntes, tal como são definidos no RSA, podem adoptar-se os seguintes
coeficientes de comportamento para esforços:
1) Para vibrações nas direcções horizontais:
Pórticos sem elementos de rigidez... 2,5
Pórticos com elementos de rigidez (paredes ou treliças)... 1,5
Pórticos de tipo misto... 2,0
2) Para vibrações na direcção vertical... 0,8
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3) Para o mesmo tipo de edifícios o coeficiente de comportamento relativo a
deformações poderá tomar-se igual a 0,7.
Como se sabe, os coeficientes de comportamento destinam-se a corrigir os efeitos da
acção dos sismos obtidos por uma análise linear, de modo a transformá-los nos valores
que se obteriam por uma análise não linear. Compreende-se, assim, que estes coeficientes,
além de serem função do tipo de estrutura e das suas características de ductilidade,
dependam também do efeito em causa e da quantificação dos parâmetros utilizados na
análise linear. No presente Regulamento apenas são quantificados os coeficientes de
comportamento para edifícios correntes, tendo-se considerado suficiente definir
coeficientes relativos aos esforços e às deformações, sem distinguir o tipo de esforços ou
de deformações.
O valor do coeficiente sísmico de referência, (β) (índice 0), definido no artigo 31º do
RSA, diz respeito a um amortecimento com o valor de 5% do amortecimento crítico,
enquanto usualmente se admite para as estruturas metálicas um valor da ordem de 2%.
Os valores dos coeficientes de comportamento apresentados têm, naturalmente, este
facto em conta.
Segundo o EC8 (valores máximos em complemento à tabela anterior):
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42/122
Lembra-se que por edifícios correntes se entendem aqueles que obedecem às condições
para tal especificadas no RSA e que implicam que as estruturas tenham uma distribuição
de rigidez aproximadamente uniforme em altura, o que não é compatível com grandes
descontinuidades na distribuição das alvenarias de andar para andar ou com o emprego de
processos de construção que possam facilitar que essa descontinuidade se crie durante a
ocorrência de um sismo.
No caso de edifícios não correntes, os coeficientes de comportamento a adoptar devem ser
convenientemente justificados, devendo, porém, considerar-se os valores apresentados no
artigo como limites superiores.
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Condições ductilidade melhorada segundo o REBAP
REBAP / Artigo 142º (Generalidades)
Visa aumentar a ductilidade das estruturas face às acções sísmicas, sendo necessário assegurar
que as roturas sejam condicionadas pelas armaduras e não pelo betão, evitando rupturas
frágeis.
Por outro lado, o betão confinado suporta tensões mais elevadas do que aquele que não se
encontra sob um estado bi ou triaxial de compressão. A sua confinação pode-se obter
utilizando boas cintagens, o que também conduz a uma segurança adicional relativamente ao
esforço transverso.
Utilização de boas cintagens. Diminuindo o espaço entre os estribos, teremos um
melhoramento da ductilidade da estrutura, tendo melhores armaduras e menores tensões no
betão ( cdIIIcdIIcdI f<f<f ).
f cd II,I,III
f cd II,I,III
f cd III,II,I
f cd III,II,I
f cd I,II,III
f cd I,II,III
Temos que 21 Δ=Δ e l
EI=k , sabendo que: 3
xΔ
lEI*12
=K , teremos:
12ba12
)a2(b
=
lIE12
lIE12
=KΔ 3
3
31
11
32
22
↔ 8=aa8
=KΔ 3
3
, logo o pilar P2 irá absorver 8 vezes mais que o P1,
devido a sua secção e dimensão, ou seja; quanto mais rígido for a estrutura, mais força irá
absorver da acção sísmica.
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a
f P1
f
b
2a
P2
m1Δ 2Δ
h
Vigas ALTAS e CURTAS
A RIGIDEZ atrai a força do SISMO!!!
REBAP / Artigo 143º (Vigas de pórticos)
Refere-se a vigas em estruturas de ductilidade melhorada, em que:
⇒4>hl
Esta condição é imposta no sentido de limitar o MÁXIMO
4h≥b da relação h
l , pois sabemos que l
EI=k , ou seja, como a
e rigidez de uma viga está directamente relacionada com o
cm20≥b comprimento ( l ) e altura (através da inércia [ I ]), podemos
concluir que as vigas curtas ( l pequeno) e altas (h grande)
são absorventes da acção dos sismos: A RIGIDEZ atrai a
força do SISMO!!!
Por outro lado, sendo as vigas ser mais resistentes que os
pilares, pode conduzir a que as rótulas plásticas provocadas pela acção sísmica se formem
nestes últimos elementos resistentes, o que pode conduzir ao colapso da estruturas.
Exemplos práticos (algumas situações):
Esta figura mostra-nos, mais uma vez, que é nos NÓS que acção sísmica é mais significativa
para uma estrutura. Assim sendo, devemos evitar uma possível rotura nos pilares e nas vigas,
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f Viga ALTA f
Rótula no PILAR
Rótula da VIGA
mas se tiver que acontecer, que seja nas vigas, pois iremos estar visando os efeitos de
segurança (dado que mesmo que estas formem rótulas nos seus extremos, ainda permanecem
isostácticas, mas mesmo que desse o seu colapso, o seu efeito seria restritamente local).
Então, caso tenhamos uma estrutura porticada com viga alta, a resistência desta será maior
que nos pilares e caso ocorra uma acção sísmica, esta poderá causar roturas na cabeça/base
dos pilares e, consequentemente, o colapso total do edifício. Outro caso, será uma estrutura
com pilares mais robustos que as vigas (e/ou lajes), que poderá conduzir a um possível
mecanismo das últimas ou, mesmo, a uma rotura parcial do edifício, devido à plastificação
das vigas (mas sem colapso global).
f 1
f 2
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2d
As+
As+ d
As
f ? f ?
As
REBAP / secção 143.2º: indica-nos a percentagem e a localização da ARMADURA
LONGITUDINAL, limitando a compressão máxima no betão para que a estrutura não sofra
uma rotura frágil e também limita a quantidade de armadura ( sA ) de flexão.
cdc ff ≤
d3,0≤x
Para limitar a compressão.
Deve-se ter a atenção que As não deve ser inferior a
50% de +As na extensão 2d e vice-versa (não
existindo desequilíbrios acentuados entre estas
armaduras).
Por outro lado, no caso de se dar um sismo, nunca se sabe de que lado virá, devendo-se
reforçar-se os nós de ambos os lados devido a acção mais grave do peso das sobrecargas,
como mostra figura abaixo. Verificando estas condições, a viga poderá se deformar sem que o
betão fique previamente comprimido.
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f fAsAs
−≥ As21 −≥ As2
1
As As
+≥ As21
As = 2Ø6 >= 2Ø12
f
REBAP / Secção 143.3º:
Muitas vezes, as vigas são pormenorizadas com o
mínimo de 2 varões de 6mm em cada face. Contudo,
para estruturas de ductilidade melhorada deverão ser
construídas no mínimo com 2 varões de 12mm.
A figura anterior mostra-nos uma situação em que se deve ter muita atenção. No centro da
viga, os esforços poderão variar muito consoante a direcção e a intensidade do sismo, por isso
a necessidade de se ter armaduras ao longo de todo o comprimento da viga (positivas e
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48/122
negativas). Nas extremidades, a situação será semelhante, daí a necessidade da armadura ter a
extensão mínima 2d e não possuir emendas ou interrupções (Secção 143.4º).
REBAP / Secção 143.4º:
2d2d
A importância de não ter emendas ou interrupções no intervalo de 2d são variadas para a
estrutura de ductilidade melhorada, a principal é que se diminui o risco de colocar armaduras
em excesso e consequentemente aumenta a segurança de toda a estrutura.
REBAP / Secção 143.5º:
ff
finalsdrd V<V
( )
lM+M*5,1
=Vdirrd
esqrd
SK,sd
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2d
15cm
10cm
2d
cm5≤
≤
≤
REBAP / Secção 143.6º:
Exemplo prático:
Qual a maior altura (h) que uma viga com 6m comprimento (l) pode ter para uma estrutura de
ductilidade melhorada?
m5,1<h⇔
46
<h⇔4>h6
⇒4>hl
m6=l
REBAP / Artigo 144º (Pilares)
No REBAP / Secção 144.1º, diz-nos que os pilares deve satisfazer a seguinte condição:
ccdsd AfN **6,0≤
Em casos normais teríamos 0,85 a multiplicar pelo valor de cálculo da tensão de rotura à
compressão do betão e pela área de secção transversal do pilar, mas como estamos a falar de
estruturas de ductilidade melhorada, temos 0,6, para que o betão não esteja demasiado
comprimido, propiciando roturas frágeis.
Também houve uma redução de metade do valor máximo da esbelteza (λ ), em de 140 (artigo
64º) passou a ser 70.
Além disso, aumentou a menor dimensão da secção
transversal do pilar, que passou a ser de 30cm (contra 20
cm das estruturas correntes - artigo 120º).
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V sd M sd (Considerados)
M rd (Existentes)
l
Já no REBAP / Secção 144.2º mostra-nos que em caso algum a secção total da armadura
longitudinal deve ser inferior a 0,8% para o betão A235 e 0,6% para o A400 e A500. O artigo
121º (REBAP) nos dizia a mesma coisa, porém com algumas excepções. Mais uma vez, esta
condição justifica-se para que o betão não esteja excessivamente à compressão.
REBAP / Secção 144.3º, para não fugir as ideias das secções anteriores, mostra-nos que a
secção total da armadura longitudinal não deve exceder 6%, sendo que no artigo 121º
(REBAP) é 8%, mesmo em zonas de emenda de varões por sobreposição.
REBAP / Secção 144.4º: erior
cAint Esta medida também visa salvaguardar que as
rótulas (caso haja) se situem nas vigas e não nos
pilares.
REBAP / Secção 144.5º:
)(
⇒pilarh
MMVAdrd
erd
sw =
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h
a
Pilar
b
ø8//10cm
lv lp
Esta situação é possível, porque caso ocorra um sismo, poderá existir tracções nos pilares. Se
tivermos compressões, podemos até considerar favorável, pois irá aumentar a resistência e
quando não muito o betão aguenta bem; enquanto as tracções só irão prejudicar.
REBAP / Secção 144.6º e 144.7º:
b→
a→
h61→
≥C
≤ ≥
Para conferir uma maior
rigidez e, sobretudo,
confinamento do betão nas
zonas extremas do pilar.
Não devem ser realizadas emendas ou interrupções nas zonas extremas do pilar e sim a
meia altura, pois os momentos são menores.
REBAP / Artigo 145º (Nós de Pórticos)
REBAP / Secção 145.1º:
Igual às vigas.
REBAP / Secção 145.2º:
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15cm
Se pv ll ≥ e nenhuma viga com altura inferior a 43 de altura da viga mais alta, então pode-se
2swA⇒ .
REBAP / Artigo 146º (Paredes e Diafragmas):
60<λ
ph101
Para evitar
paredel101
ou
e*2
2≥lht
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Cm
3
2 1
X
Processos simplificados de análise estática (RSA – art. 30.4º e 30.5º):
• Centro de massa
( )∑
∑=i
xiix
md*m
Cm
1 - 22 15 mKN
mq =
2 - 22 10 mKN
mq =
3 - 22 20 mKN
mq =
[ ]Kgfs
mN
gfmamf
2
* ==→=
Cálculo do Centro de massa:
( ) ( ) ( )[ ] mmmg
mmmg
CgCmm
KN
mmxdm
mKN
xx 85,1125*15*2010*35*1015*15*15
5,12*15*25*205*10*35*105,17*15*15*15
2
2
325,710)(11
=++
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
+=
( ) ( ) ( )[ ] mmmg
mmmg
CgCmm
KN
mmydm
mKN
yy 80,2125*15*2010*35*1015*15*15
5,7*15*25*205,32*10*35*105,42*15*15*15
2
2
325,735)(11
=++
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
+=
• Centro de rigidez
RigidezL
IEK *=⇒
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f 1
h
a
a
2a
Y
aCr
2a
6a
a X2a5a
2aa
Cálculo do Centro de rigidez:
Normalmente temos que iE e iL são constantes. Assim sendo:
2
6aCr y =
( ) ( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
== nxi
nxi
xi
n
i
xii
nxi
i
xii
nxi
nxi
xi
x
I
dI
LIE
dL
IE
K
dKCr
1
1
1
1
1
1
*
*
***
aapI 2*2 aa
pI *
( ) ( )
( )⇔
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
12**2
122*2*2
25*12**2*
122*2*2
33
33
aaaa
aaaaaaa
Cr
dd
x
aapI 2*2 aa
pI *
Considerando a = 1m, teremos:
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( )( ) mCr x 2,1
18*25,4*11*8*2
16
=+
+=⇔
mCr y 326
==
Exercício:
Um edifício de 14 pisos tem f = 1,2 Hz. Classifique-o quanto à sua deformabilidade face ao
Artigo 30.6º do R.S.A..
Temos que f = 1,2 Hz, em que
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
≥⇒
57,01488
5,0
pisosn
e
Hz
f
Então, de acordo com o R.S.A., podemos dizer que o edifício não é demasiado deformável.
COEFICIENTES SÍSMICOS [RSA – art. 31º]:
Exercícios:
a) Considere um edifício com estrutura porticada de 12 pisos e diga qual a sua frequência
fundamental de acordo com os critérios simplificados do RSA.
Em consonância com a Secção 31.2º, podemos calcular:
Hzfn
fpisos
1121212
==⇔=
Podemos ainda concluir: Quanto mais alto for o edifício, menor é a sua frequência, maior
a sua deformabilidade.
b) Considere um edifício com estrutura pórtico – parede de 12 pisos e diga qual a sua
frequência fundamental:
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f
b = 15m
Em conformidade com a Secção 31.2º, podemos calcular:
Hzfn
fpisos
33,1121616
==⇔=
c) Considere um edifício com estrutura parede de 12 pisos e o esquema da planta abaixo e
diga qual a sua frequência fundamental:
De acordo com a Secção 31.2º, podemos calcular:
Hzfh
bf 5,23*12
15*6*6==⇔=
OBS.:
⇒pisosn É o nº de pisos acima do nível do terreno;
⇒h Altura do edifício acima do nível do terreno;
⇒b Dimensão em planta do edifício segundo a direcção do
sismo;
⇒f Expresso em “Hz”.
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Y
6,0 m
6,0 m
0,300,30
6,0 m
6,0 m
0,30 2,0 m 2,0 m
4,0 m
1m
2
4,0 m
MÉTODO SIMPLIFICADO DO RSA (VALOR E DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS
ESTÁTICAS) [RSA – art. 32º] versus ANÂLISE DINÂMICA
⇒ Exemplo Nº1 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE)
Considere o seguinte edifício cuja estrutura não é de ductilidade melhorada, ou seja, é de
ductilidade normal.
DADOS:
• Carga Permanente (incluindo o Peso
Próprio) = 26 mKN ;
• Sobrecarga (Edifício Habitação) = 22 mKN ;
• 2,02 =ψ ;
• Tipo de terreno: II;
• Zona de sísmica: Porto;
• Estrutura em Betão Armado.
RESOLUÇÃO:
Cálculo da carga total: 22 4,62*2,06* mKNCSCCPC tt =⇔+=+= ψ
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Cálculo do coeficiente sísmico nas duas direcções ( β ): ηαββ *0=
- Zona de sísmica: Porto 3,0=⇒ α (R.S.A.- art.29.2º, Quadro I);
- Direcções:
• Direcção X:
Temos uma estrutura mista pórtico – parede de ductilidade normal, logo
0,2=⇒ η (REBAP – art.33.2º). Então:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=≥→
===→
;4,0:0,4,.
;82
1616
0βfterrenoIIT
Hzn
f(R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)
06,00,23,0*4,0 =⇔=→ xx ββ
• Direcção Y:
Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade normal, logo
5,2=⇒ η (REBAP – art.33.2º). Então:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=⇔=→
=≥→
===→
048,05,23,0*4,0
;4,0:0,4,.
;62
1212
0
yy
fterrenoIIT
Hzn
f
ββ
β (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)
Verificação dos valores:
Obtivemos:
048,006,0
=
=y
x
β
β
Temos ainda conferir a seguinte condição: αβα *16,0*04,0 ≤≤
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CY
X
G G
Y
C
OK
KO
y
xx
⇒≤≤→⇒
=⇒⇒≤≤→⇒
048,0012,0
048,0012,0
3,0*16,0048,03,0*04,0
048,03,0*16,006,03,0*04,0
β
ββ
OBS.: Se a estrutura apresentar uma certa ductilidade não necessita ser considerado um valor
maior que α*16,0 e neste caso, apesar de ser uma estrutura de ductilidade normal, ela em
princípio apresentará essa característica (bastando adoptar as disposições construtivas
elementares obrigatórias para uma estrutura de ductilidade melhorada). Então o coeficiente
sísmico será igual a 0,048. (R.S.A. – art.31.2º). Contudo, o valor mínimo de α*04,0 terá
sempre de ser respeitado.
Cálculo da acção do sismo:
∑∑=
ii
iiiKi Gh
GGhf
****β
- 1ºPiso:
[ ] [ ]
;12,222,691*0,82,691*0,4
2,691*2*2,691*0,4*048,0
2,6914,6*)6*18(*
;0,4;048,0
21
11
22
1
1
KNff
KNmKNmCAG
mh
GG
xKK
tpiso
=+
=⇒
===
==
=
β
.12,222,691*0,82,691*0,4
2,691*2*2,691*0,4*048,0
21
1 KNf
GG
yK =
+=
=
Só por coincidência que yKf 1 é igual a x
Kf 1 !!!
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f 2
f 0
f 1
f 3
f 4
f 5
m
m
m
l
l
l
m
m
l
l
l
- 2ºPiso:
[ ] [ ]
;24,442,691*0,82,691*0,4
2,691*2*2,691*0,8*048,0
2,6914,6*)6*18(*
;0,8;048,0
21
22
22
2
2
KNff
KNmKNmCAG
mh
GG
xKK
tpiso
=+
=⇒
===
==
=
β
.24,442,691*0,82,691*0,4
2,691*2*2,691*0,8*048,0
21
2 KNf
GG
yK =
+=
=
Só por coincidência que yKf 2 é igual a x
Kf 2 !!!
22,12 KN
44,24 KN
G1C
G2
1m
2m
Podemos concluir se os pisos tiverem a mesma massa e todas as alturas iguais, teremos:
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61/122
9,0 m6,0 m
f 4
1
f 2
f 3
18,0 m
9,0 m
3,0 m3,0 m
6,0 m
OBS.: É importante observar que o diagrama das forças sísmicas aumenta conforme também
cresce a altura do edifício em relação ao solo, sendo perfeitamente triangular se as massas de
todos pisos forem idênticas, bem como a altura dos mesmos.
Exemplificando para o 1.º piso:
Distribuição das forças (atendendo
ao art.º32.2 do RSA: estruturas
simétricas na direcção considerada
e elementos resistentes
uniformemente distribuídos):
a
x6,01 +=ξ
)( arregulamentfactorKj
Kiff
estruturadatotalrigidezdadentroipórticodorelativarigidez
alSísmicaTotiPórtico ξ×⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×=
∑…
KNKNff
mm
KNKNff
mm
estruturadatotalrigidezdadentropórticodorelativarigidez
xP
estruturadatotalrigidezdadentropórticodorelativarigidez
xP
034,01,1031,0][1,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2
12/3,03,0212,22
1,118
3*6,01
33,143,102,11][3,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2
12/0,23,0212,22
3,118
9*6,01
1
33
3
32
2
1
33
3
41
1
=×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×××+×××
×××==
⇒=+=
=×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×××+×××
×××==
⇒=+=
ξ
ξ
De reparar que no caso dos pórticos XX’s toda a força sísmica é absorvida pelos que
possuem paredes resistentes, dada a sua desproporcional rigidez face aos que apenas tem
pilares.
No caso dos pórticos em YY’s, dado terem a mesma rigidez, basta dividir a força sísmica
total pelo seu número.
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
62/122
KNKNffm
m
Pórtin
yP 38,143,1*212,223,1
63*6,01
cosº
211 ===⇒=+=ξ
Estes são os valores da distribuição referente aos dois tipos de pórticos!!!
TERMINAMOS DE VER UMA FORMA DE ANÁLISE:
- Processo Simplificado (método estático equivalente do RSA à Acção Sísmica)
PARA DETERMINAR A ACÇÃO DO SISMO.
Porém, vejamos agora alguns exemplos práticos de UM MÉTODO DE CÁLCULO
RIGOROSO DA FREQUÊNCIA POR VALORES E VECTORES PRÓPRIOS:
Métodos de Análise Dinâmica
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
63/122
4,0 m
4,0 m
1m
2
⇒ Exemplo Nº 2 - CÁLCULO DA FREQUÊNCIA POR ANÁLISE VIBRATÓRIA
Aproveitando o edifício do exemplo anterior:
Dados:
[ ] [ ] KNmKNmCAG
mKNC
tpisopiso
t
2,6914,6*)6*18(*
4,6
22
11
2
===→
=→
→ Massa do Piso1:
ton53,70ms8,9
2,691g
GM 2
1piso1piso ===⇒ −
→ Massa do Piso 2 = Massa do Piso 1
→ Betão B25.
Equação de Equilíbrio Dinâmico: M.a + A.v + K.d = F
Visão simplista do fenómeno SÍSMICO:
amf *=
massa aceleração
da do
estrutura sismo
Y
6,0 m
6,0 m
0,300,30
6,0 m
6,0 m
0,30 2,0 m 2,0 m
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
64/122
4,0 m
4,0 m 2m
m1
• 1º Passo - Matriz de Massa da estrutura:
[1] [2]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
53,700053,70
M
• 2º Passo - Matriz de Rigidez (SIMÉTRICA):
K122
K111 K21
K22
4 m
4 m
=1
=1
Nota: Supondo que os elementos horizontais (Lajes) são indeformáveis!
mKN
mKN
ParedesPilaresB
EE
lEIK
E
E
pisoslEIK
64,44
122*3,0*4
123,0*3,0*4*29*12
12
67,84
122*3,0*4
123,0*3,0*4*29*12
*22*12
3
339
312
3
2*3,
3
3,0*3,0
325
9
311
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=−=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
==
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
65/122
mKN
mKN
EE
pisolEIK
EE
lEIK
64,44
122*3,0*4
123,0*4*29*12
1*12
64,44
122*3,0*4
123,0*4*29*12
12
3
349
322
3
349
321
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=−=
A questão não é contabilizar pilares ou pórticos, por si, mas sim o número de pisos deformado
para efectuar o deslocamento pretendido. O que arrasta um número de pilares a contabilizar
ao nível do pórtico (ou da estrutura se a análise for do seu conjunto).
)10(*4,44,44,47,8 6
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=K
Por serem simétricas, são iguais!!!
Em geral, se a estrutura tiver elementos estruturais idênticos (secção e altura) e sendo n o seu
número: ~
3
00000000002000000000
20000000020000000
2000000200000
..................
......000
...200
...20
...2
...2
.12
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
−−−−
−−
−−−−
−−−
=
nnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nn
nnnsimétriconnn
nnnnn
lEIK
De notar que temos elementos estruturais do tipo parede, pelo que a sua rigidez seria mais correcta com o uso,
também aproximado e simplificado, da expressão:
K = 3EI/H3
com H a altura total do edifício. Isto sucede porque a parede resistente funciona como uma grande consola
encastrada na fundação e livre no topo, uma vez que, na verdade, os pisos não conseguem absorver a rotação que
este elemento, muito mais rígido que os pavimentos, lhe provocam.
• 3º Passo - Cálculo de frequências da vibração da estrutura:
[ ] [ ] { }0*PrPr
2 =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
óprioVectoróprioValor
MWK φ
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
66/122
[ ] [ ]( )0.
0. 2
==−
ADetMWKDet
66
2
26
10*53,700
053,70104,44,4
4,47,8
53,700053,70
10*4,44,44,47,8
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
WA
WA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
=B
BA
*53,704,44,44,4*53,707,8
em que: 6
2
10WB =
( ) ( ) ( ) =−−−−= 24,4*53,704,4**53,707,8. BBADet
⎩⎨⎧
==
⇒=+−⇔
=−+−−=
.162,0;023,0
092,18*94,923*48,4974
036,19*48,4974*33,310*61,61328,38
2
12
2
BB
BB
BBB
Como: 6
2
10WB = , então teremos:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==→
==→⇒=
.49,40210*162,0
;66,15110*023,010*
62
616
srad
srad
W
WBW
E ainda, em acordo com a física, temos que: fW **2 π= :
.06,64
*249,402
*2
;14,24*2
66,151*2
22
11
HzWf
HzWf
===
===
ππ
ππ
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67/122
f K1
3,0 m
f K2
3,0 m
P1PT4
PT3
P1
P1
PT2 P1
5,0 m
P1
5,0 m
P1
5,0 m
PT1
P1 P1
⇒ Exemplo Nº 3 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A] E
PELO MÉTODO DINÂMINO SIMPLIFICADO DE RAYLEIGH)
1) ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A]:
DADOS:
o P1 = 30*30cm;
o Tipo de terreno: II;
o Zona de sísmica: Porto;
o Estrutura em Betão Armado.
o Ductilidade normal.
o Combinação Quase
Permanente:
CP+ 2ψ *SC⇒
KNGt 25,640= .
RESOLUÇÃO:
Temos que KNGt 25,640= , então por pórtico1
teremos:
1 É indiferente resolver o exercício por pórtico ou pela estrutura no seu conjunto, porque a relação massa/rigidez se mantêm. Contudo, teremos que estar atentos para não existirem erros de contabilização na distribuição de forças pelos pórticos. Se fizermos o exercício pelo conjunto da estrutura, dado os pisos serem indeformáveis no seu plano, seria apenas uma questão de distribuir as forças encontradas por esses pórticos, tidos em conta os agravamentos regulamentares face à torção global da estrutura.
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68/122
KNGGGG
KNGt
160
1604
25,640
4321 ====⇒
⇒≈=
Assim sendo:
∑∑=
ii
iiiKi Gh
GGhf
****β
ηαββ *0=
Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade normal, logo 5,2=⇒ η (REBAP – art.33.2º).
Então:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=β⇔=β→
=β≥→
===→
048,05,23,0*4,0
;4,0:0,4f,terrenoII.T
;Hz62
12n
12f
0 (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)
Como: αβα *16,0*04,0 ≤≤
OK⇒≤≤→⇒048,0012,0
3,0*16,0048,03,0*04,0β
Com 048,0=β , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 a PT4)
individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm):
• 1º Piso:
.12,5160*0,6160*0,3
160160*160*0,3*048,0
);..(0,3
2
11
1
KNff
solodoacimamh
h
KK =++
=⇒
=
• 2º Piso:
.24,10160*0,6160*0,3
160160*160*0,6*048,0
);..(0,6
2
2
KNf
solodoacimamh
K =++
=
=
Corte basal = ∑ =+=+= KNfff KKKi 36,1524,1012,521
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69/122
5,12 KN
10,24 KN
PT1,2,3e4
f i = Gi =160KN
i i 160KN
30
1mf 1 = 160KNm1
d1
3,0 m
d2
3030
2
1m
m
30
m2
3,0 m
2 160KN 2
EI
f
2) ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH
Dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência
mais baixa (fundamental) e que representa em princípio situação dominante em termos de
comportamento dinâmico/vibratório da estrutura.
Continuando ainda com o exemplo nº2, teremos:
São características físicas ∆
da estrutura REAL.
Δ= *123lEIf
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
70/122
Admitindo os pisos como indeformáveis, temos que os deslocamentos são (no caso dos
pilares do piso terem todos as mesma altura e inércia, ou seja, a mesma rigidez):
(ao nível dos pisos)
(de forma independente como se um piso isolado se tratasse)
Em que:
• di - Deslocamento do piso i em relação ao solo, ou seja, o deslocamento total;
• i - Piso em estudo;
• n - Nº total de pisos;
• iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.
Efectuando os cálculos teremos:
a) m
Pilares
Iqualquerbetãoumdoconsideran
0133,02*12
3,0*1020*12
0,3*160
30*30
4
..
6
3
21 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛×
=Δ=Δ
⇒
Se o pórtico tivesse 4
pilares, seria 4 e não 2.
( ) 1*1 −+Δ+−= iii dind
b)( )( )⎩
⎨⎧
=++−=→=++−=→
.0399,00266,00133,0*122;0266,000133,0*112
2
1
mdmd
NOTA: Reparar que neste caso todos os pisos têm a mesma carga e pilares iguais, se assim
não fosse teríamos que efectuar as alterações necessárias (ver solução geral mais à frente).
( ) 1*1 −+Δ+−= iii dind
EIlF ii
i 12* 3
=Δ
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71/122
1
0,0399
f 1 = 160KN
f 2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133
0,0266
m
m
2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=0266,00399,0
12
PisoPiso
ϕ (Modo de Vibração Fundamental)
A posição dos pisos no vector é indiferente. Apenas temos que ter presente como os
distribuímos nesse vector, para não efectuar trocas de níveis nos cálculos posteriores.
Admitindo, igualmente, os pisos como indeformáveis, mas de forma mais genérica e
incluindo a eventual presença de paredes resistentes:
1-.º
1
.º
133
.º
∑ ∑
∑
312i
pilaresden paredesden
m
m
k
k
presentedoacimapisosden
ij
i d
HEI
LEI
Fd +
+
=
Ou seja, deslocamento de um piso é igual ao produto do total das forças aplicadas nesse piso e
de todos os que lhe são superiores pela rigidez do mesmo, a somar ao deslocamento
transportado do piso que lhe é inferior.
Reparar que esta fórmula provém da generalização de: K.d = F.
Também, no caso de existirem cabos, a sua contribuição poderia ser contabilizada pelo
acréscimo da nova parcela à fórmula anterior, simplificadamente:
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72/122
1-
)(
.º
1
.º
1
.º
133
.º
cos312 ∑∑ ∑
∑i
horizontalacomângulo
cabosden
n n
n
pilaresden
k
paredesden
m m
m
k
k
presentedoacimapisosden
ij
i d
CEA
HEI
LEI
Fd +
×++
=
== =
α
Como ilustração do que se pretende evidenciar, temos a figura abaixo.
33
3
Parede
Cabo
Pilar
9H =
L =
L =
L =
30°
Se neste exemplo: ⇒ F = 1000 kN
⇒ Paredes: 1.5 × 0.2, E = 29E+6
⇒ Pilares: 0.3 × 0.3, E = 29E+6
⇒ Cabos: ø = 16mm, E = 210E+9
Surge:
1
23
1
1
3
3
1
1
3
))30sin(/3/()30cos(1)92104/016.0(3
12/3.03.092912
9
12/5.12.0929331000
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×××+××
+××
×=Δ∑∑
EEE
E
[ ] mEEEE 0576,031940387003671331000 1 =++×=Δ −
Se negligenciamos a presença dos cabos:
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡××
+××
×=Δ
−
∑∑1
3
1
1
3
3
1
1
3
3
12/3.03.092912
9
12/5.12.0929331000
EEE 0,0649m
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73/122
Como no nosso caso todos os pilares tem a mesma altura, podemos utilizar a forma
simplificada, assim:
• ][0266,00,02*12
3,0*1020*12
3)160160(
30*30
4
..
6
3
1 md
Pilares
Iqualquerbetãoumdoconsideran
=+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛×
×+=
⇒
• ][0399,00266,02*12
3,0*1020*12
3)160(
30*30
4
..
6
3
2 md
Pilares
Iqualquerbetãoumdoconsideran
=+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛×
×=
⇒
c) FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):
∑∑
=
iii
iii
dF
dFgf 22
1π
Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos:
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
++
π=→
π=⇒
∑∑ Hz68,2
0399,0*1600266,0*1600399,0*1600266,0*160*8,9
21f
dF
dFg
21f 22
i
2ii
iii
Diminuindo o valor da MASSA, e mantendo a RIGIDEZ da estrutura, aumenta ou
diminui a FREQUÊNCIA da mesma?
Simulemos com a mesma estrutura mas metade da massa.
Como o deslocamento é proporcional à massa, dado que é o valor desta que surge como
acção horizontal:
( )⎩⎨⎧
=+
+=⇒=⇒
∑∑
HzfOBSdF
dFgf
iii
iii
79,3)20399,0(*2/160)20266,0(*2/16020399,0*2/16020266,0*2/160*8,9
21:.
21
222 ππ
.
( )⎩⎨⎧
=+
+π
=⇒π
=⇒∑∑
Hz79,3)20399,0()20266,0(20399,020266,0*8,9
21f:.OBS
dF
dFg
21f 22
i
2ii
iii
A frequência aumentou!
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
74/122
Na verdade, quanto menor for a MASSA mais se tende para o valor da FREQUÊNCIA
FUNDAMENTAL DO MÉTODO ESTÁTICO, que é de 6Hz. Ou seja, com o M. De
RAYLEIGH tem-se um valor mais eficaz da frequência fundamental (2,68Hz < 6Hz). O
regulamento tendo uma postura conservadora, do lado da segurança, conduz a frequências
mais elevadas se adoptarmos o Método Estático, pois que tal atitude faz aumentar as
forças sísmicas (veja-se o que sucede com o Coeficiente Sísmico de Referência β0,
quando a frequência aumenta, ou as relações entre frequências e acelerações dos Espectros
de Resposta do anexo III do RSA);
E diminuindo a RIGIDEZ da estrutura e mantendo o valor da MASSA, aumenta ou
diminui a FREQUÊNCIA da mesma?
Simulemos com a mesma massa mas metade da rigidez da anterior estrutura.
Como o deslocamento é proporcional à rigidez e dado que o valor desta é metade:
( )⎩⎨⎧
=+
+π
=⇒π
=⇒∑∑
Hz89,1)2*0399,0(*160)2*0266,0(*1602*0399,0*1602*0266,0*160*8,9
21f:.OBS
dF
dFg
21f 22
i
2ii
iii
( )⎩⎨⎧
=+
+π
=⇒π
=⇒∑∑
Hz89,1)2*0399,0()2*0266,0(2*0399,02*0266,0*8,9
21f:.OBS
dF
dFg
21f 22
i
2ii
iii
A frequência diminui, pois a estrutura tornou-se mais flexível!
e) Aplicando de novo o Método Estático Simplificado:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=β⇔=β→
==β<→
=→
04,05,23,0*33,0
;33,0f2,0:0,4f,terrenoII.T
;Hz68,2f
0 (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)
Como: αβα *16,0*04,0 ≤≤
OK⇒≤≤→⇒04,0012,0
3,0*16,004,03,0*04,0β
Com 04,0=β , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 a PT4)
individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm):
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75/122
∑∑=
ii
iiiKi Gh
GGhf
****β
• 1º Piso:
.KN3,4160*0,6160*0,3
160160*160*0,3*04,0ff
);solo.do.acima(m0,3h
2h
1K1K
1
=++
=⇒
=
• 2º Piso:
.KN6,8160*0,6160*0,3
160160*160*0,6*04,0f
);solo.do.acima(m0,6h
2K
2
=++
=
=
Ou seja obtemos uma redução de cerca de 17,5% da acção sísmica por ter corrigido o valor
da frequência de vibração fundamental da estrutura.
d) Aproveitando a frequência obtida pelo Método de Rayleigh e efectuando agora uma
análise Dinâmica Simplificada, começamos por calcular a COORDENADA MODAL, em
que temos a seguinte fórmula:
Quando só existe um modo de vibração a expressão perde a sua entidade matricial, passando a
ser uma mera expressão numérica simples:
{ }r
d*g/Qd*g/Q
d*md*m
d*m*d1*m*d
m1m
ML
2ii
ii2ii
ii
iii
ii
iTi
iTi
i
i ====ϕϕ
ϕ=
∑∑
∑∑
∑∑
No caso, ainda mais elementar, de todos os pisos terem igual massa e rigidez:
{ }r
dd
m1m
ML
RAYLEIGH.Mét
2i
i
iTi
iTi
i
i ==ϕϕ
ϕ=
∑∑ ,
No referente ao exemplo em questão temos:
918,280399,00266,00399,00266,0
22 =++
=i
i
ML
= r.
Temos ainda: srad
i 84,1668,2**2f2W =π=π= .
Sabemos que:
• 3,0=α (Zona do Porto);
),(** 2 ξfS
WML
Y aii
ii =
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76/122
• %5=ξ (Coef. de amortecimento Est. de Betão);
• Tipo de terreno: II;
• f = 2,68 Hz.
Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtivemos:
e) Acelerações espectrais (RSA):
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→
=→=
.scm235S
;scm310SHz68,2f
2TipoIIa
2TipoIa
.sm705,0100
3,0*235S
;sm93,0100
3,0*310S
2TipoIIa
2TipoIa
==→
==→
α
α
),f(S*W*M
LY a2ii
ii ξ=
f) Deslocamentos máximos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==→
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==→
12
)(00197,000295,0
074,0*0266,00399,0
*
12
)(00261,000391,0
0981,0*0266,00399,0
*
11
11
PisoPiso
mmYZ
PisoPiso
mmYZ
IIII
II
ϕ
ϕ
g) Forças máximas:
ηϕηη
ξϕ /***/**),(*** 21
21 WYmWZmfS
MLmf IIa
i
iisi ===
)(54,331,5
5,285,828,13
5,2705,0*918,28*
0266,00399,0
*8,9
1600
08,9160
)(67,47
5,268,1152,17
5,293,0*918,28*
0266,00399,0
*8,9
1600
08,9160
1
2
1
2
KNff
KNff
II
II
I
I
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⇒
Recorrendo ao método simplificado do EC8: a) Se quiséssemos obter o corte basal, Vb:
074,0705,0*84,16918,29
2 ==TipoIIY
0981,093,0*84,16918,28
2 ==TipoIY
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
77/122
Nota: o coeficiente sísmico, α, deve ser incluído quando não unitário, multiplicado pela aceleração da zona A.
Vb = 0.4 × 160 × (0,0399 + 0,0266) × 2,682 × 310/100 × 0,3 = 28,9 kN
Note-se que o coeficiente de comportamento (relativo à aquisição das forças sísmicas) só se
aplica para efeitos da posterior determinação dos esforços dos elementos resistentes e não no
cálculo das reacções de apoio (forças totais), pelo que se não entra aqui com o referido
coeficiente. De relembrar que o coeficiente de comportamento relaciona a resposta do
comportamento material em regime linear com o não linear, sendo que no caso do corte basal
se trata da contabilização das forças absolutas totais geradas pelo sismo em toda a estrutura
(geralmente representado por forças equivalentes concentradas ao nível dos pisos).
É ainda de notar que: 0,4 ≈ 2π/g, em semelhança com a fórmula do método de Rayleigh.
b) E nos pisos:
Fmáx1 = 0.4 × 160 × (0,0266) × 2,682 × 310/100 × 0,3 / η = 17,4 / η kN = 17,4 / 2,5 = 7,0 kN
Fmáx2 = 0.4 × 160 × (0,0399) × 2,682 × 310/100 × 0,3 / η = 11,7 / η kN = 11,7 / 2,5 = 4,7 kN
Aqui, como se trata de forças sísmicas para efeitos do cálculo dos esforços internos das peças
da estrutura, o coeficiente de comportamento terá que estar incluído, admitindo que a
determinação desses esforços de faz admitindo regime material elástico.
3) CONCLUSÃO:
Podemos concluir que pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aos
seguintes resultados:
.12,5
;24,10;6
1
2
KNfKNf
Hzf
=→=→
=→
Pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), mas com frequência corrigida pelo
Método de Rayleigh:
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
78/122
.KN3,4f;KN6,8f;Hz68,2f
1
2
=→=→
=→
Já pelo MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=−→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=−→
=→
.54,3
;31,5
.67,4;7
;68,2
1
2
1
2
KNf
KNfS
KNfKNf
S
Hzf
II
IITipoIIa
I
ITipoIa Será este o condicionante!
Segundo o EC8:
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79/122
Exercícios propostos para resolução (saíram em teste):
1) Acção dos Sismos [2+4 val]
a) Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole, calcule a sua frequência fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdade horizontal ao nível do tabuleiro, sendo este admitido como indeformável e permitindo os apoios extremos do tabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares são todos iguais e com secção 1,0m×0,5m, com maior dimensão transversal ao tabuleiro. Esta estrutura é fabricada em betão B35 e poderá considerar-se de ductilidade normal.
b) Na direcção considerada, determine a força sísmica regulamentar, o deslocamento máximo absoluto do tabuleiro e as reacções no apoio do pilar de 6 metros.
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
80/122
8
3 0
D irecção d o es tu d o
11
6
C P = 5 0 k N /m S C = 3 0 k N /m
7 7
2) Acção dos Sismos [2+4 val]
Na Figura representa-se uma estrutura em que a dimensão em planta é de D metros, destinada a um edifício de serviços (escritórios), sendo a altura entre o 1.º e 3.º piso (medida B) o dobro da entre o 1º e 2.º piso. Irá ser construído na zona urbana de Gaia, a 3km da beira-mar e sobre terreno de dureza dura/média. No seu desenvolvimento possui 4 pórticos idênticos ao apresentando e igualmente afastados. Será fabricada em aço estrtural (S355), com η (coeficiente comportamento) = 3,0 e pilares tubulares ocos, de área=0,01m2 e inércia = 0,001m4, estimando-se a carga permanente 210 mKN= .
Calcule a acção do sismo na direcção indicada, considerando os pisos como diafragmas rígidos no seu plano e admitindo apenas o modo fundamental de vibração.
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81/122
EXEMPLO Nº 3.A - CALCULAR OS DESLOCAMENTOS TOTAIS DE CADA PISO ADMITINDO OS MESMOS COMO DIAFRAGMAS INFINITAMENTE RÍGIDOS NO SEU PLANO. Dados: • Secções de aço = 0,001 m4 • Eaço = 210 GPa • EB25 = 29 GPa • Secção o pilar: 0,5 x 0,5 m2 • Secção da parede 1: 1,0 x 0,1 m2 • Secção da parede 2: 1,2 x 0,2 m2 • φ Cabos = 25mm
Resolução: Fórmula genérica de deslocamento com pisos infinitamente rígidos:
1-
)(
.º
1
.º
1
.º
133
.º
cos312 ∑∑ ∑
∑i
horizontalacomângulo
cabosden
n n
n
pilaresden
k
paredesden
m m
m
k
k
presentedoacimapisosden
ij
i d
CEA
HEI
LEI
Fd +
×++
=
== =
α
Cálculo dos deslocamentos relativos a cada piso (o deslocamento surge da relação entre a massa e a rigidez estrutural do piso): 1º Piso:
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82/122
2º Piso:
3ºPiso:
4ºPiso:
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
83/122
5,0 m
PT2 P1 P1
PT1
P1 P1f K1
3,0 m
f K2
3,0 m
f K3
3,0 m
2m
m1
m3
Exemplo Nº 4 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE
ATENDENDO AO CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO EM
EDIFÍCIO REGULAR)
DADOS:
• P1 = 40*40cm;
• Tipo de terreno: II;
• Zona de sísmica: Coimbra )5,0( =α ;
• Estrutura em Betão Armado de Ductilidade Melhorada B25;
• Combinação Quase Permanente: (CP+ 2ψ *SC)⇒ 210 mKNqt = .
Temos que:
KNAqQ tt 250)5*5(*10* === .
1) ANÁLISE SÍSMICA PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE [R.S.A]:
∑∑=
ii
iiiKi Gh
GGhf
****β
ηαββ *0=
Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade melhorada, logo 5,3=⇒ η (REBAP –
art.33.2º). Então:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=⇔=→
=≥→
===→
057,05,35,0*4,0
;4,0:0,4,.
;43
1212
0
ββ
βfterrenoIIT
Hzn
f
(R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
84/122
(1ºPISO)
f 1 = 7,12KN
PT2
PT1
Cm
P1 P1
5,0 m
P1 P1
Como: αβα *16,0*04,0 ≤≤
OK⇒≤≤→⇒08,002,0
5,0*16,0057,05,0*04,0β
Com 057,0=β , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 e PT2)
individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 40 * 40cm):
1º Piso:
.12,7250*0,9250*0,6250*0,3
250250250*250*0,3*057,0
);..(0,3
32
11
1
KNff
solodoacimamh
hh
KK =++
++=⇒
=
2º Piso:
.25,14250*0,9250*0,6250*0,3
250250250*250*0,6*057,0
);..(0,6
32
22
2
KNff
solodoacimamh
hh
KK =++
++=⇒
=
3º Piso:
.37,21250*0,9250*0,6250*0,3
250250250*250*0,9*057,0
);..(0,9
32
33
3
KNff
solodoacimamh
hh
KK =++
++=⇒
=
Corte basal = ∑ =++=++= KNffff KKKKi 74,4237,2125,1412,7321 .
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85/122
2) CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO DO EDIFÍCIO:
No caso de estrutura simétrica em relação a um plano que contém a direcção considerada para
a acção sísmica, e os seus elementos resistentes estarem uniformemente distribuídos, pode-se
considerar que as resultantes das forças estáticas que actuam segundo aquele plano de simetria
e multiplicar os efeitos assim obtidos por um factorξ definido por:
EstruturadauraL
PórticodoCoordenada
ax
..arg
..
6,01+=ξ (Art.32.2º do R.S.A.)
Então:
.68,10237,21
;12,7225,14
;56,3212,7
3
2
cos2
1
KNf
KNf
KNf
K
K
Pórti
K
==→
==→
==→
Utilizando a fórmula:
.89,135
5,2*6,01*68,10
;26,95
5,2*6,01*12,7
;63,45
5,2*6,01*56,3
3
2
1
KNf
KNf
KNf
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇒
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇒
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⇒
f 1 = 4,63 KN
3 = 13,89KN
f 2 =9,26 KN
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86/122
Exemplo Nº 5 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE
RAYLEIGH)
Dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência
mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação condicionante.
Continuando ainda com o exemplo nº 4, teremos:
3
m
d3
d2 2
m
1d1 m
3m
1m
m2
3,0 m
f K3
3,0 m
f K2
3,0 m
f K1
Temos que:
( ) 1*1 −+Δ+−= iii dind (ao nível dos pisos)
EIlF ii
i 12* 3
=Δ (forma independente)
em que:
o di -Deslocamento do piso i em relação ao solo;
o i - Piso em estudo;
o n - Nº total de pisos;
o iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.
Efectuando os cálculos teremos:
a) mE
Pilares
IB
00455,02*12
4,0*29*12
0,3*250
40*40
4
25
6
3
21 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=Δ=Δ
⇒
Se o pórtico tivesse 4 pilares, seria 4 e não 2.
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87/122
b)( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=++−=→=++−=→
=++−=→
;0274,00228,00455,0*133;0228,00137,00455,0*123
;0137,0000455,0*113
3
2
1
mdmd
md
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
0274,00228,00137,0
ϕ (Modo de Vibração Fundamental)
c) FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):
∑∑
=
iii
iii
dF
dFgf 22
1π
Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos:
( ) Hzf 19,30274,0*89,130228,0*26,90137,0*63,4
0274,0*89,130228,0*26,90137,0*63,4*8,921
222 =++
++=⇒
π.
d) Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:
),(** 2 ξfS
WML
Y aii
ii =
{ }r
dd
mm
ML
RAYLEIGHMét
i
i
iTi
iTi
i
i ===∑∑
.
2
1ϕϕ
ϕ, referente ao exemplo em questão temos:
82,430274,00228,00137,0
0274,00228,00137,0222 =
++++
==i
i
ML
r .
Temos ainda: srad
i 04,2019,3**2f*2W =π=π= .
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88/122
Sabemos que:
• 5,0=α (Zona do Coimbra);
• %5=ξ (Coef. De amortecimento Est. de Betão);
• f = 3,19 Hz
Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (AnexoIII), obtivemos:
(atendendo a que 200 cm/s2 correspondem a 1,3cm no ábaco regulamentar e o ponto da curva
das acelerações se encontra, para 3,19 Hz a 0,9 da linha dos 200cm/s2, numa proporção linear
temos:)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+=→
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+=→
=.2313,1
2,0*200200
;3383,19,0*200200
19,32
2
scmS
scmSHzf
TipoIIa
TipoIa
Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor:
.69,1100
5,0*338 2smS TipoIa ==
α
mfS
WML
Y a
fi
ii 18,069,1*
04,2082,43),(*1* 22
**2
82,43
≈== ξ
π
e) Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal):
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==→
123
)(0025,00041,00049,0
18,0*0137,00228,00274,0
* 11
PisoPisoPiso
mmYZ II ϕ
f) Forças máximos:
ηϕ=η=η
ξϕ= /W*Y**m/W*Z*m),f(S*
ML**mf 2I
12I
1a
i
iisi
)KN(39,731,1279,14
5,369,1*82,43*
0137,00228,00274,0
*
8,925000
08,92500
008,9250
fff
),f(S*
ML
**mfI
1
I2
I3
a
i
iisi
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=η
ξϕ=⇒
Ou:
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89/122
)KN(39,731,1279,14
5,304,20*
0025,00041,00049,0
*
8,925000
08,92500
008,9250
fff
/W*Z*mf2
I1
I2
I3
2I1si
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=η=⇒
3) CONCLUSÃO:
Podemos concluir que pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aos
seguintes resultados:
.12,7;23,14
37,21;4
1
2
3
KNfKNfKNf
Hzf
=→=→=→
=→
Já pelo MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=−
=−
→
=→
.39,7
;31,12
79,14
;19,3
1
2
3
KNf
KNf
f
S
Hzf
I
I
I
TipoIa
Ou seja, podemos verificar que o MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH)
não obriga a uma distribuição triangular, o que faz dele um método MAIS RIGOROSO e
MAIS ECONÓMICO que o anterior.
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
90/122
K11
K21
K12
K22
P1PT4
PT3
P1
P1
PT2 P1
5,0 m
P1
5,0 m
P1
5,0 m
PT1
P1 P1f K1
3,0 m
f K2
3,0 m
Exemplo Nº 6 (ANÁLISE DINÂMICA PELO MÉTODO DE SOBREPOSIÇÃO
MODAL)
DADOS:
• P1 = 30*30cm; E = 20 GPa;
• Tipo de terreno: II;
• Zona de sísmica: Porto;
• Estrutura corrente em Betão Armado
• Combinação Quase Permanente:
(CP+ 2ψ *SC)⇒ KNGt 25,640= , ou seja, por
pórtico: KNGGGG 1604321 ==== .
Equação de Equilíbrio Dinâmico: K.d + A.v + M.a = F Como só pretendemos os deslocamentos máximos, a componente de amortecimento pode ser
eliminada:
K.d + M.a = F
1º Passo - Matriz de Rigidez (tem 1 grau de liberdade por piso):
[ ] ( )mKN12000120001200024000
2*LEI122*
LEI12
2*LEI124*
LEI12
KKKK
K33
33
2221
1211⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
91/122
.120006000*23
123,0*3,0*20*12
*2/2*12
;120006000*23
123,0*3,0*20*12
*2/2*12
;120006000*23
123,0*3,0*20*12
*2/2*12
;240006000*43
123,0*3,0*20*12
*4/4*12
3
36
322
3
36
321
3
36
312
3
3,0*3,0
3.
6
311
mKN
mKN
mKN
mKN
PilaresqualquerBetão
Epórticopilares
lEIK
Epórticopilares
lEIK
Epórticopilares
lEIK
Epórticopilares
lEIK
====
−=−=−=−=
−=−=−=−=
====
2º Passo - Matriz de Massa:
[ ] ( )tonMMMM
M ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
33,160033,16
8,91600
08,9160
2221
1211
3º Passo – Resolução dinâmica da estrutura (problema algébrico de valores e vectores
próprios):
[ ] [ ] { }0*PrPr
2 =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
óprioVectoróprioValor
MWK φ
Trata-se da obtenção de valores e vectores próprios deste sistema. Vamos calcular o seguinte
determinante:
[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )
0A.DetMWKA
0MWK.Det2
2
=−=
=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
33,160033,16
12000W
1112
12000A
33,160033,16
W1112
12000A
2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−==
B*33,16111B*33,162
12000/A'A , em que: 12000
2WB =
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
92/122
( ) ( ) ( ) =−−−−= 21B*33,161*B*33,162'A.Det
⎩⎨⎧
==
⇒=+−⇔
=−+−−=
.16032,0B;02339,0B
01B*99,48B*67,266
01B*67,266B*33,16B*66,322
2
12
2
Temos uma equação do 2.º grau, porque existem 2 graus de liberdade, ou seja, seriam tantas
as raízes do problema quantos os graus de liberdade da estrutura. Também, do
desenvolvimento destas raízes chegaríamos aos valores próprios correspondentes a estes
graus de liberdade, que seriam as frequências angulares de cada modo de vibração (que são
os vectores próprios do problema):
valores próprios = frequências angulares
vectores próprios= modos de vibração (vectores)
4º Passo - Cálculo das frequências angulares próprias de vibração da estrutura:
Como: 12000
2WB = , então teremos:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==→
==→⇒=
.86,4312000*16932,0W
;753,1612000*02339,0W12000*BW
srad
2
srad
1
E ainda, em acordo com a física, temos que: f**2W π= :
.98,6
*286,43
*2
;67,2*2753,16
*21
2
21
HzWf
HzWf
===
===
ππ
ππ
OBS: Tínhamos que pelo Método de Rayleigh a frequência f era igual a 2.68Hz, pelo que se
verifica que este método dá um valor bastante correcto para a 1.ª frequência (também
designada por fundamental).
5º Passo - Determinação dos modos de vibração:
[ ] [ ] { }0*PrPr
2 =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
óprioVectoróprioValor
MWK φ
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
93/122
-1,6181
12
1º Modo (f=2,67 Hz):
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
vibraçãodeooparapisodorelativotodeslocamendoValorvibraçãodeooparapisodorelativotodeslocamendoValor
modº1º2modº1º1
21
11
ϕϕ
⎩⎨⎧
=+−=−
⇔⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
0618,00*618,1
00
**33,1611
1*33,162*120002111
2111
21
11
618,0
1
618,1
0234,0
1ϕϕϕϕ
ϕϕ
BB
0*618,1 2111 =− ϕϕ ; considerando 111 =ϕ , teremos:
.618,101*618,1 2121 =⇔=− ϕϕ
Hzf 67,2618,10,1
1
1
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=ϕ
2º Modo (f=6,98 Hz):
⎩⎨⎧
=−−=−
⇔⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
0618,10*618,0
00
**33,1611
1*33,162*120002212
2212
22
12
618,1
2
618,0
1603,0
2ϕϕϕϕ
ϕϕ
BB
Considerando 122 =ϕ , teremos:
.618,10618,1 122212 −=⇔=−− ϕϕϕ
Hzf 98,60,1618,1
2
2
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=ϕ
1.º Modo de Vibração (f = 2,67Hz) 2º Modo de Vibração (f = 6,98Hz)
1
1,618
1
2
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
94/122
6º Passo – Determinação do iL :
{ }unitárioVector
MassasdeMatriz
VibraçãodeMODOdoVector
Tii mL 1**φ=
1º Modo:
{ }
75,4233,16*133,16*618,111
*33,160
033,16*1618,11
=+
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=L
2º Modo:
{ }
21,633,16*618,033,1611
*33,160
033,16*618,012
=−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=L
7º Passo – Determinação do iM :
Vibraçãode
omoddoVector
i
MassasdeMatriz
Vibraçãode
omoddoVector
Tii *m*M φφ=
1º Modo:
{ }
08,591*33,16*1618,1*33,16*618,11618,1
*33,160
033,16*1618,11
=+
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=M
2º Modo:
{ }
57,221*33,16*)618,0()618,0(*33,16*1618,0
1*
33,160033,16
*618,012
=−+−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
−=M
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
95/122
8º Passo - Cálculo das coordenadas modais e deslocamentos máximos:
1º Modo:
( )ξ,** 2 ia
ii
ii fS
WML
Y = em que
)..(
1 .667,2%;5
ASRAnexoIII
Hzf⎩⎨⎧
=→=→ ξ
Temos:
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==→
==→
α
α
.sm7,0100
3,0*235%5;Hz667,2S
;sm93,0100
3,0*54,309%5;Hz667,2S
2IIa
2Ia
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=mm
SS
Y IIa
Ia
00202,000268,0
*753,16*08,59
75,42
66,280
21
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==
.00202,0;00327,0
00202,0*1618,1
*
.00268,0;00434,0
00268,0*1618,1
*
211
111
mm
YZ
mm
YZ
II
I
φ
φ
OBS.: Logo será o IZ1 que condicionará, pois tem os deslocamentos maiores.
2º Modo:
( )ξ,** 2 ia
ii
ii fS
WML
Y = em que
)..(
2 .98,6%;5
ASRAnexoIII
Hzf⎩⎨⎧
=→=→ ξ
Temos:
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==→
==→
α
α
.sm68,0100
3,0*230%5;Hz98,6S
;sm2,1100
3,0*400%5;Hz98,6S
2IIa
2Ia
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=m
mSS
Y IIa
Ia
0001,0000172,0
*86,43*57,22
21,6
7,1923
22
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
96/122
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−==
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−==
mm
YZ
mm
YZ
II
I
000062,00001,0
0001,0*618,01
*
000106,0000172,0
000172,0*618,01
*
222
122
φ
φ
9º Passo – Cálculo das forças ao nível de andar (pisos) por modo de vibração:
( )η
ξφ ,*** fSML
mf a
i
iisi = Estrutura corrente em Betão Armado: 5,2=η
1º Modo:
)(4,411,7
5,293,0*
08,5975,42*
1618,1
*33,160
033,161 KNf s
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
2º Modo:
)(33,1
16,25,22,1*
57,2221,6*
618,01
*33,160
033,162 KNfs
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=
Podemos ainda calcularmos de outra forma (ALTERNATIVA):
Sabemos que a força é igual a matriz de rigidez a multiplicar pelo deslocamento, ou seja,
Zn
f
dKf *= :
• 1º Modo:
)KN(4,411,7
5,200268,000434,0
*1112
*12000Z*Kf
K
I1
1s⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
=η
=
• 2º Modo:
)(34,1
16,25,2
000106,0000172,0
*1112
*12000* 2
2 KNZKf
K
I
s⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
==η
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
97/122
a b c d
e
5,0 m
5,0 m
f g
b/cM
Cm
1º Piso15,0 m
M a/d
2º Piso
h
f 2 = 7,43 KN m
m1
2
f 1 = 4,60 KN
10º Passo - Cálculo das forças máximas finais ao nível de andar (pisos) CQS (Combinação
Quadrática Simples)
Que fazer com as forças obtidas para os dois modos de vibração?
m2
1m
f 2 = ?
d1f 1 = ?
2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+=
=+=
== ∑.60,4)34,1(4,4:º1
;43,7)16,2(11,7:º2
º2
2
º1
21
º2
2
º1
21
2
KNfPiso
KNfPiso
ff
ModoModos
ModoModos
sis
11º Passo – Distribuição das forças máximas finais ao nível de andar (pisos) pelos pórticos
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
98/122
)º2.32.(..*6,01 artASRa
x⎭⎬⎫+=ζ
=+=)(15
*6,01frentem
xζ Ver Tabela abaixo
PT a/d b/c e/h f/g
x 7,5m 2,5m 7,5m 2,5m
ζ 1,3 1,1 1,3 1,1
)(KNf s 4,60 4,60 7,43 7,43
)(* KNfF ss ζ= 5,98 5,06 9,66 8,17
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
99/122
4,0 mK1
4,0 mK1 K2
4,0 m 4,0 mK2
PT4PT3PT2PT1
Cr e2ie
Cm
e1i
10,0 m
- Pilares
- NÚCLEO RESISTENTE (Caixa de escada / Elevador)
4,0 mK2 K2
PT6PT5
5,0 m
5,0 m
5,0 m
X
Y
⇒ Exemplo Nº 7 (CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO EM
EDIFÍCIO IRREGULAR)
Distribuição das forças sísmicas atendendo à excentricidade do centro de rigidez (Cr) face ao
centro de massa (Cm), com excentricidades regulamentares (RSA) e1i e e2i.
DADOS:
• K*2,5K1 = ;
• K*25,0K2 = .
Nota: K é a rigidez de referência, e os valores relativos a K1 e K2 já incluem as diferenças de rigidez entre
núcleos (caixas de escadas e/ou elevadores) e pilares.
CÁLCULOS:
∑
∑==i
ii
KdK
Cr*
?
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
100/122
⇔+
++++=
++++++
=⇒)25,0*42,5*2(K
)2016128(*K25,04*K2,5K*4K*2
)2016128(*K)40(*KCr21
21
.05,3 mCr =⇔
.m95,605,310CrCm?e =−=−==⇒
di – coordenadas do Centro de Corte de cada elemento vertical face a um referencial.
Ki – rigidez do pórtico i na direcção considerada (x ou y).
De uma forma mais rigorosa:
[ ] [ ]( ) [ ]20 ./.... IxyIyIxxiIxyiIxyIyxiIxyyiIyIxyx −−−−= ∑ ∑∑ ∑
[ ] [ ]( ) [ ]../.... 20 IxyIyIxyiIyxiIxyIxyiIxyxiIxIxyy −+−++−−= ∑ ∑∑ ∑
Sendo:
• x0 e y0 o centro de rigidez do piso;
• Ixy a inércia de torção;
• Ix e Iy a inércia da secção do elemento em eixos locais;
• xi e yi a distância do referencial ao centro de rigidez local do elemento.
Iremos utilizar o R.S.A.- art.32.2º:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
===
=+=+=
===
⇒
.0,120*05,0*05,0;425,420*05,095,6*5,0*05,0*5,0
;95,6;20
,
2
1425,3
1
21
maemabe
mebma
ee
i
ii
i
ii
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=+=
∑∑
∑∑∑∑∑ 2ii
ii
i
isii2
ii
s
i
isii
iii
s
i
issi d*K
K*d*e1*
KK*fd*K*
d*Ke*f
KK*f)d*K(*
d*)d*K(M
KK*fF
Deve-se ter muita atenção ao sinal:
- A esquerda do Cr é NEGATIVO;
- A direita do Cr é POSITIVO.
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101/122
di – distância do Centro de Rigidez a cada pórtico i.
.059,0K7,192
K4,11d*K
K
;K7,192)2016128(*K25,0)40(*K2,5d*K
;K4,11K25,0*4K2,5*2K
2ii
i
2222222ii
i
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=+++++=
=+=
∑
∑∑
• PT1:
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−→⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−→⇒
+
+
.059,0*05,3*0,195,61*4,11
2,5*
;059,0*05,3*425,495,61*4,11
2,5*
2
..
2
1
..
1
iee
CRdoesquerda
si
iee
CRdoesquerda
si
fe
fe
.
. Este é o mais GRAVOSO!
.
• PT6:
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++→⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++→⇒
+
+
.059,0*95,16*0,195,61*4,11
25,0*
;059,0*95,16*425,495,61*4,11
25,0*
2
..
2
1
..
1
iee
CRdodireitas
i
iee
CRdodireitas
i
Ife
Ife
Temos dois edifícios de malhas ortogonais, um com o centro de gravidade a coincidir com o
centro de rigidez, sofrendo basicamente deslocamentos ( yΔ ) na mesma direcção da acção
sísmica, enquanto o outro edifício não coincide os dois centros, sofrendo para além dos
deslocamentos ( yΔ ) uma rotação com um ânguloθ .
Alternativamente:
)(* xsegundotranslaçãoàdevidoipórticonosísmicaForçaKKfF x
i
xi
xST
x ∑=
)(* ysegundotranslaçãoàdevidoipórticonosísmicaForçaKKfF y
i
yi
yST
y ∑=
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102/122
( ) )/(..
.22
2
xsegundorotaçãotorçãoàdevidoipórticonosísmicaForçadKdK
dKMF
yiiyxi
ix
yiiy
xSR
x ∑ +×
=
( ) )/(..
.22
2
xsegundorotaçãotorçãoàdevidoipórticonosísmicaForçadKdK
dKMFyi
iyxi
ix
xiix
ySR
y ∑ +×
=
Com:
)/(' xsegundorotaçãotorçãoàdevidoMomentoeFM xx
SxS ×=
)/(' ysegundorotaçãotorçãoàdevidoMomentoeFM yy
SyS ×=
Sendo:
)/( xsegundotranslaçãoàdevidoipórticonofinaltotalsísmicaForçaFFF Rx
Tx
Totalx +=
)/( ysegundotranslaçãoàdevidoipórticonofinaltotalsísmicaForçaFFF Ry
Ty
Totaly +=
Segundo o EC8:
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103/122
Exemplo Nº 8 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE
RAYLEIGH)
33
34,
75
X
Y
0,25
0,25
Pilares 0,5mx0,8m
Pilares0,5mx0,5m
4Ø12 (A500)
Cabos
Piso 1
Piso 2
Piso 3
4,75
20
10
4,755
Piso 2 e 3 (planta)
Piso 1 (base)
Calcule, adoptando as recomendações constantes no R.S.A., as forças sísmicas que se
desenvolveriam na estrutura em esquema, na direcção X, admitindo como suficiente a
consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental. Podem-se tomar as lajes de piso como
infinitamente rígidas, bem como considerar estes pavimentos indeformáveis à flexão, por
simplicidade.
• Distância entre pórticos e pisos é sempre igual;
• Pilares 1.º Piso = 50×80cm; Pilares 2 e 3.º Piso = 50×50cm;
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
104/122
• Cabos = 4Ф12 (A500);
• Tipo de terreno: I;
• Zona de sísmica: Coimbra;
• Estrutura em Betão Armado de Ductilidade Melhorada em betão B25;
• Combinação Quase Permanente: (CP+ 2ψ ×SC)⇒ 2t mKN10q = .
Resolução:
O Método de Rayleigh dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração),
sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação
condicionante para estruturas regulares.
No caso presente, temos que a totalidade da carga nos pisos é: Q1/2/3 = 10 × (20 × 10) = 2000
KN
O deslocamento devido à aplicação dessas cargas por piso, dadas as características de rigidez
infinita dos mesmos, vem:
1.º
1
3
1/
12−− +
×=+Δ=
∑ipilaresn
i
iii
PisosForçasi d
IE
lFddi
Em que Fi é a força que se encontra aplicada no próprio piso somada a de todos os que se
encontram acima de si.
o di - Deslocamento do piso i em relação ao solo;
o di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo;
o Pisos/Forçasi
Δ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i, resultado
da acção de todas as forças aplicadas neste piso (i) e em todos os que lhe são
superiores (dado que essas forças também o empurram).
No caso de todos os pavimentos terem igual massa, podemos usar a fórmula directa:
( ) 1iii d1ind −+Δ×+−= ,
Em que:
o di -Deslocamento do piso i em relação ao solo;
o di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo;
o i - Piso em estudo;
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
105/122
o n - Nº total de pisos;
o iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.
Com:
mE
Pilares
IB
0008,0912
8,05,092912
0,3102000
80*50
3
25
33
1 =×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×××
××=Δ
⇒
m0033,0912
5,0E2912
0,3102000
IE12
lF
Pilares
50*50I
4
25B
6
33
pilares.ºn
1i
3ii
32 =×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛××
××=
×=Δ=Δ
⇒
∑
o Fi - Força aplicada no piso i;
o li - Altura do piso i;
o E - Módulo de Elasticidade;
o Ii - Inércia do pilar i.
Assim:
( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=+×+−=→=+×+−=→
=+×+−=→
.0123,0009,00033,0133;009,00024,00033,0123
;0024,00,00008,0113
3
2
1
mdmd
md
Do que o vector Modo de Vibração Fundamental vem:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ϕ
0024,00090,00123,0
De notar que os cabos apenas tem função sustentação vertical, possuindo nula rigidez
horizontal.
Mesmo na situação traduzida na figura abaixo, em que os cabos já efectuam algum
travamento ao nível do piso 2 e superiores, além deste feito não se estender ao nível 1 (pelo
que a estrutura não seria travada no primeiro pavimento acima do solo, piso 1), esse resultado
poderia ser desprezado do lado da segurança.
Contudo, em caso de se querer incluir a sua contribuição, ela poderia ser contabilizada pelo
acréscimo da nova parcela à fórmula anterior, simplificadamente:
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
106/122
1
3
.º
13
.º
1 /)cos(.º)(123
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
××++×=Δ∑∑
cabostalcomHorizonCabosaçocabosi
pilaresnpilar
ibetão
i
paredesnparede
ibetão
i LsÂnguloCabonEAl
IE
H
IEF φ
4,75
4,75
X
Y
0,25
0,25
Pilares 0,5mx0,8m
Pilares0,5mx0,5m
4Ø12 (A500)
Cabos4,
75
20
10
5
Piso 1 (base)
Piso 2 e 3 (planta)
33
3
Piso 1
Piso 2
Piso 34Ø12 (A500)
Cabos
3Cabos4Ø12 (A500)
FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):
∑∑
=
iii
iii
dF
dFgf 22
1π
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
107/122
Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos:
( )( )
( )( ) Hz97,4
0123,0009,00024,00122,0009,00024,0*8,9
21
}0123,0009,00024,02000{}0123,0009,00024,02000{*8,9
21f 222222 =
++++
π=
++×++×
π=⇒
Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula (1,5 val.):
),f(S*WM
LY a2ii
ii ξ
×=
Existindo apenas um modo de vibração (o fundamental):
{ }r
dg/Qdg/Q
dmdm
dmd1md
m1m
ML
2ii
ii2ii
ii
iii
ii
iTi
iTi
i
i =×
×=
×
×=
××
××=
ϕϕϕ
=∑∑
∑∑
∑∑ ,
Referente ao exemplo em questão, temos:
56,990123,0009,00024,0
0123,0009,00024,0)0123,0009,00024,0(8,9/2000
)0123,0009,00024,0(8,9/2000dg/Qdg/Q
ML
r 2222222ii
ii
i
i =++
++=
++×++×
=×
×==
∑∑
Temos ainda: s
radfW 23,3197,422 =××=×= ππ . Sabemos que:
• 5,0=α (Zona do Coimbra); • %5=ξ (Coeficiente. de amortecimento para estruturas de Betão Armado); • f = 4,97 Hz; • η=3,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de idade
melhorada em betão armado). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos (1,5 val.):
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→
=→==ξ
.scm255S
;scm465SHz97,4%)5;TerrenoI(f
2TipoIIa
2TipoIa
Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor:
.sm325,2100
5,0*465S 2TipoIa ==
α
m237,0325,2*23,3156,99),f(S*
W1*
MLY 2a2
f**2
8,102
i
ii ≈=ξ=
π
Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal) (1,5 val.):
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
108/122
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ϕ=→
3Piso2Piso1Piso
)m(0006,00021,00029,0
m237,0*0024,00090,00123,0
Y*Z I1
I1
Forças máximas (1,5 val.):
ηξ
ϕ),(
***fS
ML
mf a
i
iisi =
Pelo que:
)(4,325,1210,166
5,3325,2*56,99*
0024,00090,00123,0
*
8,9200000
08,920000
008,92000
),(***
1
2
3
KNfff
fSML
mfI
I
I
a
i
iisi
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇒η
ξϕ
Ou, como:
ηη
ξϕ /**),(*** 2
1 WZmfSMLmf Ia
i
iisi ==
Ainda:
)(1,344,1199,164
5,323,31*
0006,00021,00029,0
*
8,9200000
08,920000
008,92000
/**2
1
2
32
1 KNfff
WZmfI
I
I
Isi
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇒ η
Ainda poderíamos optar por:
ηϕηη
ξϕ /***/**
),(*** 2
12
1 WYmWZmfS
ML
mf IIa
i
iisi ===
)(3,323,1218,165
5,3/23,31*237,0*0024,00090,00123,0
*
8,9200000
08,920000
008,92000
/*** 2
1
2
32
1 KNfff
WYmfI
I
I
Isi
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇒ ηϕ
A diferença entre os resultados apenas se fundamenta nos arredondamentos que foram sendo numericamente efectuados. Estas serão as forças totais por piso na estrutura, havendo agora que as distribuir pelos pórticos (2,0 val.). Sendo a estrutura simétrica (CR-CG)/(Largura do Edifício na direcção do sismo)≤0.15, basta analisar o pórtico central e um dos laterais:
=ξ tralPórticoCen (1+0,6x/a)=(1+0,6×0/10)=1 =ξ eralPórticoLat (1+0,6x/a)=(1+0,6×4,75/10)=1,285
Como todos os pórticos tem a mesma rigidez, basta:
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109/122
KNfff
f tralPórticoCenI
I
I
ntralsPórticoCe (8,105,403,55
3/4,325,1210,166
3/
1
2
3
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=×
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒ ξ
)(9,130,521,71
285,13/4,325,1210,166
3/
1
2
3
KNfff
f eralPórticoLatI
I
I
teralsPórticoLa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=×
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=×
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒ ξ
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110/122
Exemplo Nº 9 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)
Análise sísmica de uma estrutura (pórtico 2X) segundo o método de Rayleigh (simplificado dinâmico)
Dados do problema:
− CP + Ψ2 × Sc = 10KN/m2 (em todos os pisos)
− h = a = b = 5m
− Zona C
− Terreno tipo II
− Betão com ductilidade normal
− Pavimentos rígidos
− I = 10-2 = 0,01m4
− B25 ⇒ E = 30GPa = 30 × 106 KN
− g ⇒ aceleração da gravidade = 9,8 m/s2
1. CÁLCULO DA FORÇA SÍSMICA SEGUNDO O EIXO DO XX
Piso 1 → CT1 = CP × Áreapiso1 = 10 × (10 × 10) = 1000 KN
Piso 2 → CT2 = CP × Áreapiso2 = 10 × (10 × 5) = 500 KN
Distribuição relativa da inércia das peças estruturais de suporte (pilares) no pórtico 3, nos restantes a inércia é I.
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
111/122
2. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DOS PISOS DEVIDO À ACÇÃO DAS
FORÇAS SÍSMICAS
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=1
2
ddφ
Assim:
− ( ) 0029,00
01,0)3343(10301255001000
6
3
1 =+×++××××
×+=d
− 0048,00029,00019,00029,01,0)323(103012
55006
3
2 =+=+×+××××
×=d
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
0029,00048,0φ
112
3
−+××
=∑ i
i
iii d
IEhFd
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
112/122
3. CÁLCULO DA FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL
∑∑×
= 221
ii
iix dF
dFgf
π; artigo 31.2º do RSA
Com:
− g = valor da aceleração da gravidade; − Fi = força cuja intensidade é igual ao peso da massa i;
( ) hzfx 12,80048,05000029,01000
0048,05000029,010008,921
22 =×+×
×+××=
π
4. CÁLCULO DA COORDENADA MODAL
SawM
LY
ii
ii ×= 2 (f,ξ) ∑
∑= 2ii
ii
dF
dF
i
i
ML
9,2650048,05000029,010000048,05000029,01000
22 =×+××+×
=i
i
ML
Sa (f=6,63 ; 5%) ⇒ { Acção sísmica – terreno tipo II → 400 cm/s2 (anexo III do RSA)
Acção sísmica – terreno tipo II → 220 cm/s2 (anexo III do RSA)
Seleccionamos o maior valor, ou seja, 400 cm/s2.
Dado que a construção se situa Zona C de sismicidade, de acordo com o Quadro I, do
artigo 29.2º do RSA, α=0,5.
( )204,0
1004005,0
12,829,265
2 =×××
=π
Y
5. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS TOTAIS MÁXIMOS (Z)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=×
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=×=
00059,000098,0204,0
0029,00048,0YZ φ
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6. CÁLCULO DAS FORÇAS SÍSMICAS NA ESTRUTURA
ηφ Sa
ML
mfi
is ×××=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
2
1
ff
[ 8,9
1000 0
] × ( )KN⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
×××⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
40,0627,21
5,21004005,0
9,26500059,000098,0
0 8,9500
7. DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS PELOS PÓRTICOS
No caso de edifícios, a condição relativa à distribuição de massas e rigidezes, considera-se
satisfeita quando podendo definir-se centros de massa (Cm) e de rigidez (Cr) para cada piso,
a distância entre estes centros não exceda 15% da dimensão do edifício segundo a direcção
perpendicular à das forças consideradas. O centro de massa relativo a um piso é o baricentro
das massas correspondentes às cargas permanentes e ao valor quase permanente das cargas
variáveis associadas a esse piso.
O centro de rigidez de um piso pode ser identificado como a intersecção das resultantes de
dois sistemas de forças fictícias paralelas a cada uma das direcções em que a estrutura se
desenvolve.
No caso de a estrutura ser simétrica em relação ao plano que contém a direcção considerada
para a acção sísmica, ou no caso de se verificar a condição acima referida, pode-se considerar
que a resultante das forças estáticas actuam segundo o plano de simetria e multiplicar os
efeitos assim obtidos por um factor ξ, definido por:
ax6,01+=ξ
com x = coordenada do pórtico – distância ao centro de massa.
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114/122
7.1. Centro de rigidez:
∑∑=
i
iiy K
dKCr
Com Ki = força pórtico a pórtico.
( ) ( ) ( )( ) ( ) 5,7
)01,013(01,01301,043001,013501,0131001,0431
321
332211 =××+××+××
×××+×××+×××=
++×+×+×
=KKK
dKdKdKCr
(Cm – Cr) < 0,15a
(5 – 7,5) = 2,5m > 0,15×10 = 1,5m
Não verifica, logo a distância entre o Cm e o Cr é superior a 15% do valor da dimensão da
estrutura, na direcção perpendicular ao sismo.
Nestas circunstâncias, teremos que usar a fórmula atrás apresentada:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=+=
∑∑
∑∑∑∑∑ 2ii
ii
i
isii2
ii
s
i
isii
iii
s
i
issi d*K
K*d*e1*
KK*fd*K*
d*Ke*f
KK*f)d*K(*
d*)d*K(M
KK*fF
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115/122
Exemplo Nº 10 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH) A Figura 1 representa-se dois edifícios solidarizados por cabos deformáveis, com estruturas idênticas, embora o edifício B possua uma cave desafogada (numa das faces) em terreno desnivelado. Estão localizados no Porto, em zona urbana, sobre terreno muito rijo, com lajes que se podem considerar indeformáveis no seu plano, sendo construídos em betão armado (E = 30 GPa) e numa concepção de ductilidade normal (η = 2,5). A carga quase permanente desta estrutura será, aproximadamente, 10 KN/m2, no piso 1 e 2 e o dobro no piso 0, tendo todos os pilares igual inércia com o valor de 0,01 m4.
Figura 1. Edifícios A e B.
44
4,5
6
0,50
31,
5
Plan
ta d
e to
dos o
s pis
os
63
1,5
33
Edifício A Edifício B
Piso -1
Piso 0
Piso 1
Piso 2Cabos
33
Direcção do estudo
3) Estruturas de Ductilidade Melhorada Analise o edifício, positiva e negativamente, tendo em consideração as recomendações a observar na concepção estrutural, no que concerne ao seu bom desempenho à acção dos sismos. Justifique, resumidamente, a sua perspectiva.
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116/122
4) Acção dos Sismos Calcule para a mesma estrutura, adoptando as recomendações constantes no R.S.A., a força sísmica que se desenvolveria, na direcção indicada, para o 1º piso do Edifico A. Admita como suficiente a consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental e desenvolva um processo de análise que tenha em conta os deslocamentos máximos que a estrutura sofre. Nota: Despreze a possibilidade de qualquer eventual impulso de terras em resultado acção sísmica ou outra.
5) Acção dos Sismos a) Calcule para a estrutura da figura 2 a força sísmica que se desenvolveria, na direcção indicada, para o 2º piso do Edifico B, adoptando as recomendações constantes no R.S.A. e supondo que esta acção só teria efeito nesse sentido. Admita como suficiente a consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental e desenvolva um processo de análise que tenha em conta os deslocamentos máximos que a estrutura sofre. b) E se, ainda virtualmente, o sentido do sismo fosse da esquerda para a direita, alterava a sua solução? Porquê?
Figura 2. Edifícios A e B.
44
45
6
0,50
31,
5
Plan
ta d
e to
dos o
s pis
os
63
1,5
33
Edifício A Edifício BIndeformáveis
Cabos
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Exemplo Nº 11 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)
Para o pórtico na figura abaixo esquematizado, em estrutura metálica (tipo Fe360) e ductilidade melhorada,
faça a sua análise sísmica, de acordo com o regulamento português em vigor, recorrendo ao método de
Rayleigh, admitindo um grau de liberdade horizontal por piso, sendo estes indeformáveis. Admita terreno
tipo II, cidade de Aveiro.
Em caso de não possuir tabela de perfis atribua aos pilares uma inércia I=0,001m4 e E=200GPa.
Resolução:
• Pilares com I=0,001m4 e E=200GPa. • Tipo de terreno: II; • Zona de sísmica: Aveiro, α=0,5; • Estrutura Metálica de Ductilidade Melhorada; • Combinação Quase Permanente: Q=300KN.
O Método de Rayleigh dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação condicionante para estruturas regulares. No caso presente, temos que a totalidade da carga nos pisos é:
Q1/2 = 300 KN
O deslocamento devido à aplicação dessas cargas por piso, dadas as características de rigidez infinita dos mesmos, vem:
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1.º Piso:
mEIE
lFdddd
Pilares
pilaresn
i
iiPisosForçasi
PisosForçasi i
0034,00,02001,0920012
0,310)3002(
12
33
.º
1
3
0/
111/ =+
××××××
=×
=+Δ==+Δ=
∑−
di - Deslocamento do piso i em relação ao solo; di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo; i - Piso em estudo; Pisos/Forças
iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i, resultado da acção de todas as forças aplicadas neste piso (i) e em todos os que lhe são superiores (dado que essas forças também o empurram).
2.º Piso:
mEIE
lFdd
Pilares
pilaresn
i
iiPisosForças 0045,00034,03001,0920012
0,310)3001(
12
33
.º
1
3
12/
22 =+×××
×××=
×=+Δ=
∑−
Do que o vector Modo de Vibração Fundamental vem:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=76,0
1:,
0034,00045,0
donormalizanϕ
FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):
∑∑
=
iii
iii
dF
dFgf 22
1π
Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos:
( )( )
( )( ) Hzf 85,7
0034,00045,00034,00045,0*8,9
21
}0034,00045,0300{}0034,00045,0300{*8,9
21
2222 =+
+=
+×+×
=⇒ππ
.
Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:
),f(S*WM
LY a2ii
ii ξ
×=
Existindo apenas um modo de vibração (o fundamental):
{ }r
dg/Qdg/Q
dmdm
dmd1md
m1m
ML
2ii
ii2ii
ii
iii
ii
iTi
iTi
i
i =×
×=
×
×=
××
××=
ϕϕϕ
=∑∑
∑∑
∑∑ ,
Referente ao exemplo em questão, temos:
2480045,00034,00045,00034,0
)0045,00034,0(8,9/300)0045,00034,0(8,9/300
//
22222 =++
=+×+×
=×
×==
∑∑
ii
ii
i
i
dgQdgQ
ML
r
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119/122
Temos ainda: sradfW 3.4985,722 =××=×= ππ .
Sabemos que:
• 5,0=α (Zona de Aveiro); • %0,10=ξ (Coeficiente. de amortecimento para estruturas Metálicas); • f = 7,85 Hz; • η=3,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de ductilidade
melhorada metálicas). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos):
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→
=→==
.180
;29085,7%)10;(
2
2
scmS
scmSHzTerrenoIIf
TipoIIa
TipoIaξ
Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor (em metros):
.45,1100
5,0*290 2smS TipoIa ==
α
mfS
WML
Y a
fi
ii 148,045,1*
3,49248),(*1* 22
**2
≈== ξ
π
Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal):
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==→12
)(00050,000067,0
148,0*0034,00045,0
* 11 PisoPiso
mmYZ II ϕ
Forças máximas:
ηξ
ϕ),(
***fS
ML
mf a
i
iisi =
Pelo que:
)(7,102,14
5,345,1248
0034,00045,0
8,93000
08,9300),(
1
2 KNfffS
MLmf I
Ia
i
iisi
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=××⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=×××=⇒η
ξϕ
Ou, como:
ηη
ξϕ /**),(*** 2
1 WZmfSMLmf Ia
i
iisi ==
)(7,102,14
5,33,49
00050,000067,0
8,93000
08,9300
/**2
1
221 KN
ff
WZmf I
II
si⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=×⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==⇒ η
Ainda poderíamos optar por:
ηϕηη
ξϕ /***/**
),(*** 2
12
1 WYmWZmfS
ML
mf IIa
i
iisi ===
)(7,102,14
5,3/3,49148,00034,00045,0
8,93000
08,9300
/*** 2
1
221 KN
ff
WYmf I
II
si⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=××⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==⇒ ηϕ
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120/122
Exemplo Nº 12 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)
c) Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole, calcule a sua frequência fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdade horizontal ao nível do tabuleiro, sendo este admitido como indeformável e permitindo os apoios extremos do tabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares são todos iguais e com secção 1,0m×0,5m, com maior dimensão transversal ao tabuleiro. Esta estrutura é fabricada em betão B35 e poderá considerar-se de ductilidade normal.
d) Na direcção considerada, determine a força sísmica regulamentar, o deslocamento máximo absoluto do
tabuleiro e as reacções no apoio do pilar de 6 metros.
83 0
D irecção d o es tu d o
11
6
C P = 5 0 k N /m S C = 3 0 k N /m
7 7
Resolução: Alínea a) Carga total por metro de tabuleiro = CP + ψ2 × SC = 50 + 0,0 × 30 (art.º 41.1 do RSA, sobrecargas rodoviárias) Carga total no tabuleiro = L × [ CP + ψ2 × SC ] = [ 50 + 0,0 × 30 ] = 1500 kN Neste caso, como os pilares, embora tendo secção igual, tem altura diferente, a sua rigidez é diversa e, como tal, a fórmula
∑×
=Δ pilaresn
i
iiTabuleiro
IE
lF.º
1
3
12
Não se pode aplicar. Na realidade tem que se regredir até à génese da mesma: K × d = F, do que: d = F / K = Δ. Assim:
i
pilaresn
i
pilaresn
i
pilaresn
i lIElIEKK /112/12.º
1
.º
1
.º
1∑∑∑ ××===
]/[29336185183,30055,7812]6/111/18/1[12/5,01103212 33336.º
1
mkNKKpilaresn
i =++=++×××××== ∑ Logo:
][0511,029336/1500/ mKF ===Δ
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
121/122
FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):
∑∑
=
iii
iii
dF
dFgf 22
1π
Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos:
( )( ) Hzf 2,2
}0511,01500{}0511,01500{*8,9
21
2 =×
×=⇒
π.
- × -
Alínea b) Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:
),f(S*WM
LY a2ii
ii ξ
×=
Existindo apenas um modo de vibração (o fundamental):
{ }r
dg/Qdg/Q
dmdm
dmd1md
m1m
ML
2ii
ii2ii
ii
iii
ii
iTi
iTi
i
i =×
×=
×
×=
××
××=
ϕϕϕ
=∑∑
∑∑
∑∑ ,
Referente ao exemplo em questão, temos:
6,190511,00511,0
)0511,0(8,9/1500)0511,0(8,9/1500
//
222 ==××
=×
×==
∑∑
ii
ii
i
i
dgQdgQ
MLr
Temos ainda: s
radfW 8,132,222 =××=×= ππ . Sabemos que:
• 3,0=α (Zona D - Esposende); • %0,5=ξ (Coeficiente. de amortecimento para estruturas Metálicas); • f = 2,2 Hz; • η=2,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de ductilidade
normal em betão armado). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos):
⎪⎩
⎪⎨⎧
=→
=→==
.240
;2502,2%)5;(
2
2
scmS
scmSHzTerrenoIIIf
TipoIIa
TipoIaξ
Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor (em metros):
.75,0100
3,0*250 2smS TipoIa ==
α
Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP
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mfSWM
LY a
fi
ii 0772,075,0*
8,136,19),(*1* 22
**2
≈== ξ
π
Deslocamento máximo (em função da Coordenada Modal):
)(0039,00772,0*0511,0* 11 mmYZ II ===→ ϕ
Força máxima: (o Coeficiente de Comportamento, para ponte de betão em que os pilares tem deformação principal por flexão, é de 2,p para ductilidade corrente, conforme art.º 33.3 do REBAP).
ηη
ξϕ /**),(*** 2
1 WZmfSMLmf Ia
i
iisi ==
][5,570,28,130039,08,9/1500/**
22
1 kNWZmf Isi =××==⇒ η
Reacção no pilar de 6m:
][6,720,229336
185185,57* kNKKfFi
issi =×
×=×
×=
∑η
De notar que a reacção no pilar, ou, em geral, as forças transmitidas às fundações, são independentes do Coeficiente de Comportamento, já que este apenas caracteriza a relação entre a linearidade e não linearidade do material de fabrico da estrutura, não a real e global acção do sismo em termos das forças de massa que este induz. Assim, poderemos afirmar que o valor desta reacção seria sempre 72.6 kN mesmo que a estrutura fosse de ductilidade melhorada ou, ainda, a deformação dos pilares fosse, preponderantemente, por corte.
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