Corso di Campi Elettromagnetici e Circuiti: Propagazione Guidata - Prof. Maurizio Bozzi Lezione 12 - 1
CORSO DI
CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI
- PROPAGAZIONE GUIDATA -
Università di Pavia, Facoltà di Ingegneria
http://microwave.unipv.it/bozzi/
Prof. Maurizio Bozzi
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LEZIONE 12
LE GUIDE D’ONDA
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SOMMARIO DELLA LEZIONE
Introduzione alle Guide d’Onda
I Campi nelle Guide d’Onda
Onde TE (Trasversali Elettriche)
Onde TM (Trasversali Magnetiche)
Onde TEM (Trasversali Elettriche e Magnetiche)
Attenuazione nelle Guide d’Onda
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LE GUIDE D’ONDA
Le linee di trasmissione a microonde sono
implementate in vari modi: le guide d’onda
hanno basse perdite e sopportano potenze
elevate, i cavi coassiali sono flessibili, le
linee planari sono economiche e
facilmente integrabili con componenti attivi.
Guide d’onda Cavo coassiale Substrate integrated waveguide
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I CAMPI NELLE GUIDE D’ONDA
Le equazioni di Maxwell possono essere risolte nel caso di guide d’onda
con uno o più conduttori, nella forma di onde di tipo TE, TM e TEM.
I campi elettrico e magnetico posso essere espressi nella forma
dove 𝑒 𝑥, 𝑦 e ℎ 𝑥, 𝑦 rappresentano i campi trasversi ed 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 e
ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 la componente assiale.
𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥, 𝑦 + 𝑧 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧 = 𝑥 𝐸𝑥 + 𝑦 𝐸𝑦 + 𝑧 𝐸𝑧 𝑒
−𝑗𝛽𝑧
𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ℎ 𝑥, 𝑦 + 𝑧 ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧 = 𝑥 𝐻𝑥 + 𝑦 𝐻𝑦 + 𝑧 𝐻𝑧 𝑒
−𝑗𝛽𝑧
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I CAMPI NELLE GUIDE D’ONDA
I campi nelle guide d’onda devono soddisfare le equazioni di Maxwell. In
assenza di sorgenti, risulta:
Tenendo conto della dipendenza 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottengono le equazioni scalari:
𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝐻
𝛻 × 𝐻 = 𝑗𝜔𝜀 𝐸
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦
+ 𝑗𝛽𝐸𝑦 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑥
−𝑗𝛽𝐸𝑥 −𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥
= −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥−
𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦
= −𝑗𝜔𝜇𝐻𝑧
𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
+ 𝑗𝛽𝐻𝑦 = 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑥
−𝑗𝛽𝐻𝑥 −𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
= 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑦
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑥−
𝜕𝐻𝑥𝜕𝑦
= 𝑗𝜔𝜀𝐸𝑧
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I CAMPI NELLE GUIDE D’ONDA
A partire da queste sei equazioni, è possibile esprimere le quattro
componenti trasverse in funzione delle componenti assiali 𝐸𝑧 e 𝐻𝑧
dove 𝑘𝑐 è definito numero d’onda di taglio
e 𝑘 = 𝜔 𝜀𝜇 rappresenta il numero d’onda nel mezzo.
𝐻𝑥 =𝑗
𝑘𝑐2 𝜔𝜀
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦
− 𝛽𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
𝐻𝑦 =−𝑗
𝑘𝑐2 𝜔𝜀
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥
+ 𝛽𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
𝐸𝑥 =−𝑗
𝑘𝑐2 𝛽
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥
+ 𝜔𝜇𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
𝐸𝑦 =𝑗
𝑘𝑐2 −𝛽
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦
+ 𝜔𝜇𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
𝑘𝑐2 = 𝑘2 − 𝛽2
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ONDE TE (TRASVERSALI ELETTRICHE)
Nelle onde TE (Trasversali Elettriche), la componente assiale del campo
elettrico è nulla, mentre quella del campo magnetico non è nulla:
Le equazioni precedenti risultano:
dove 𝑘𝑐 ≠ 0 e quindi 𝛽 = 𝑘2 − 𝑘𝑐
2 . Pertanto la costante di
propagazione dipende dalla frequenza ed è reale solo se 𝑘 > 𝑘𝑐.
𝐸𝑧 = 0 𝐻𝑧 ≠ 0
𝐻𝑥 =−𝑗𝛽
𝑘𝑐2
𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
𝐻𝑦 =−𝑗𝛽
𝑘𝑐2
𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
𝐸𝑥 =−𝑗𝜔𝜇
𝑘𝑐2
𝜕𝐻𝑧𝜕𝑦
𝐸𝑦 =𝑗𝜔𝜇
𝑘𝑐2
𝜕𝐻𝑧𝜕𝑥
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ONDE TE (TRASVERSALI ELETTRICHE)
Per determinare i campi, è necessario risolvere l’equazione di Helmholtz
per 𝐻𝑧 nella geometria considerata, con le condizioni al contorno:
Tenendo conto che 𝐻𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottiene l’equazione
di Helmholtz bidimensionale per ℎ𝑧:
L’impedenza d’onda per le onde TE si determina come:
𝛻2𝐻𝑧 + 𝑘2𝐻𝑧 =
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2+
𝜕2
𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝐻𝑧 = 0
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2+ 𝑘𝑐
2 ℎ𝑧 = 𝛻𝑡2ℎ𝑧 + 𝑘𝑐
2ℎ𝑧 = 0
𝑍𝑇𝐸 =𝐸𝑥𝐻𝑦
= −𝐸𝑦
𝐻𝑥=
𝜔𝜇
𝛽=
𝑘𝜂
𝛽
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FREQUENZA DI TAGLIO
La costante di propagazione 𝛽 è reale solo se 𝑘 > 𝑘𝑐. Questa condizione
può essere espressa in termini di frequenza:
A frequenza maggiore della frequenza di taglio 𝑓𝑐 , la costante di
propagazione 𝛽 è reale e l’onda si propaga.
Al di sotto della frequenza di taglio 𝑓𝑐, l’onda non si propaga e la sua
ampiezza si smorza esponenzialmente.
𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥, 𝑦 + 𝑧 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧
𝐻 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ℎ 𝑥, 𝑦 + 𝑧 ℎ𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧
𝑘 = 2𝜋𝑓 𝜀𝜇 > 𝑘𝑐 𝑓 >𝑘𝑐
2𝜋 𝜀𝜇= 𝑓𝑐
FREQUENZA
DI TAGLIO
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ONDE TM (TRASVERSALI MAGNETICHE)
Nelle onde TM (Trasversali Magnetiche), la componente assiale del
campo magnetico è nulla, mentre quella del campo elettrico non è nulla:
Le equazioni precedenti risultano:
dove 𝑘𝑐 ≠ 0 e quindi 𝛽 = 𝑘2 − 𝑘𝑐
2 . Pertanto la costante di
propagazione dipende dalla frequenza ed è reale solo se 𝑘 > 𝑘𝑐.
𝐻𝑧 = 0 𝐸𝑧 ≠ 0
𝐻𝑥 =𝑗𝜔𝜀
𝑘𝑐2
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦
𝐻𝑦 =−𝑗𝜔𝜀
𝑘𝑐2
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥
𝐸𝑥 =−𝑗𝛽
𝑘𝑐2
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑥
𝐸𝑦 =−𝑗𝛽
𝑘𝑐2
𝜕𝐸𝑧𝜕𝑦
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ONDE TM (TRASVERSALI MAGNETICHE)
Per determinare i campi, è necessario risolvere l’equazione di Helmholtz
per 𝐸𝑧 nella geometria considerata, con le condizioni al contorno:
Tenendo conto che 𝐸𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottiene l’equazione di
Helmholtz bidimensionale per 𝑒𝑧:
L’impedenza d’onda per le onde TM si determina come:
𝛻2𝐸𝑧 + 𝑘2𝐸𝑧 =
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2+
𝜕2
𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝐸𝑧 = 0
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2+ 𝑘𝑐
2 𝑒𝑧 = 𝛻𝑡2𝑒𝑧 + 𝑘𝑐
2𝑒𝑧 = 0
𝑍𝑇𝑀 =𝐸𝑥𝐻𝑦
= −𝐸𝑦
𝐻𝑥=
𝛽
𝜔𝜀=
𝛽𝜂
𝑘
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IMPEDENZE D’ONDA
A frequenza maggiore della frequenza di taglio, l’impedenza d’onda delle
onde TE e TM è reale. La variazione in frequenza è differente per i due tipi
di onde.
𝑍𝑇𝐸
𝑓𝑐 𝑓
𝜂
𝑍𝑇𝑀
𝑓𝑐 𝑓
𝜂
𝑍𝑇𝐸 =𝑘𝜂
𝛽=
𝜂
1 − 𝑓𝑐/𝑓2
𝑍𝑇𝑀 =𝛽𝜂
𝑘= 𝜂 1 − 𝑓𝑐/𝑓
2
Onde TE Onde TM
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ONDE TEM (TRASV. ELETTRICHE E MAGNETICHE)
Nelle onde TEM (Trasversali Elettriche e Magnetiche), le componenti
assiali del campo elettrico e del campo magnetico sono entrambe
nulle:
Pertanto, le equazioni precedenti ammettono soluzione non banale solo se
𝑘𝑐 = 0.
Se 𝑘𝑐 = 𝑘2 − 𝛽2 = 0, risulta che 𝛽 = 𝑘 = 𝜔 𝜀𝜇.
In questo caso, la frequenza di taglio è nulla, ed pertanto l’onda TEM si
propaga a qualunque frequenza.
𝐸𝑧 = 0 𝐻𝑧 = 0
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ONDE TEM (TRASV. ELETTRICHE E MAGNETICHE)
Per determinare i campi, è necessario risolvere l’equazione di Helmholtz
per 𝐸𝑥 ed 𝐸𝑦 nella geometria considerata, con le condizioni al contorno:
Analogamente ai casi precedenti, tenendo conto che 𝐸𝑥,𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑒𝑥,𝑦 𝑥, 𝑦 𝑒−𝑗𝛽𝑧, si ottiene l’equazione di Laplace bidimensionale:
In maniera analoga si deriva la relazione:
𝛻2𝐸𝑥,𝑦 + 𝑘2𝐸𝑥,𝑦 =
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2+
𝜕2
𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝐸𝑥,𝑦 = 0
𝜕2
𝜕𝑥2+
𝜕2
𝜕𝑦2 𝑒(𝑥, 𝑦) = 𝛻𝑡
2 𝑒(𝑥, 𝑦) = 0
𝛻𝑡2 ℎ(𝑥, 𝑦) = 0
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ONDE TEM (TRASV. ELETTRICHE E MAGNETICHE)
Il campo 𝑒(𝑥, 𝑦) soluzione dell’equazione di Laplace si può esprimere
come gradiente di un potenziale scalare
dove 𝛻𝑡 = 𝑥𝜕
𝜕𝑥+ 𝑦
𝜕
𝜕𝑦rappresenta il gradiente trasverso. Inoltre, per la
relazione 𝛻 × 𝛻𝑓 = 0, risulta
Infine, dall’equazione di Maxwell 𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜀 𝛻𝑡 ∙ 𝑒 = 0, si deduce
𝛻 × 𝑒 𝑥, 𝑦 = 0
𝛻𝑡2Φ(𝑥, 𝑦) = 0
𝑒 𝑥, 𝑦 = −𝛻𝑡Φ(𝑥, 𝑦)
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ONDE TEM (TRASV. ELETTRICHE E MAGNETICHE)
La tensione tra due conduttori risulta
e la corrente che scorre in un conduttore si trova con la legge di Ampere
Nel caso di singolo conduttore, non si ha il modo TEM (𝑉12 = 0, 𝐼 = 0).
L’impedenza d’onda per le onde TEM si determina come
Il campo magnetico si esprime come
𝑉12 = Φ1 − Φ2 = 1
2
𝐸 ∙ 𝑑𝑙
𝐼 = 𝐶
𝐻 ∙ 𝑑𝑙
𝑍𝑇𝐸𝑀 =𝐸𝑥𝐻𝑦
= −𝐸𝑦
𝐻𝑥=
𝜇
𝜀= 𝜂
ℎ 𝑥, 𝑦 =1
𝑍𝑇𝐸𝑀 𝑧 × 𝑒 𝑥, 𝑦
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ATTENUAZIONE NELLE GUIDE D’ONDA
L’attenuazione nelle guide d’onda può essere provocata da perdite dovute
al dielettrico o al conduttore. L’attenuazione dovuta al conduttore (ac)
dipende dalla configurazione del campo e verrà trattata successivamente,
per ciascuna guida d’onda. L’attenuazione dovuta al dielettrico (ad) ha
invece un’espressione che può essere calcolata nel caso generale.
𝛾 = 𝛼𝑑 + 𝑗𝛽 = 𝑘𝑐2 − 𝑘2 = 𝑘𝑐
2 − 𝜔2𝜀0𝜇0𝜀𝑟 (1 − 𝑗 tan 𝛿)
≅ 𝑘𝑐2 − 𝑘2 +
𝑗 𝑘2tan 𝛿
2 𝑘𝑐2 − 𝑘2
𝛼𝑑 =𝑘2tan 𝛿
2𝛽𝑗𝛽 = 𝑘𝑐
2 − 𝑘2
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