06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 2
VII Transformasi Linear
Sub pokok Bahasan
• Definisi Transformasi Linear
• Matriks Transformasi
• Kernel dan Jangkauan
Beberapa Aplikasi Transformasi Linear
• Grafika Komputer
• Penyederhanaan Model Matematis
• dan lain lain
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 3
Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W
dinamakan transformasi linear, jika
untuk setiap dan berlaku :
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
Vba , R
baT.1 bTaT
aT .2 aT
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 4
Contoh :
Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana
merupakan tranformasi linear.
Jawab :
Ambil unsur sembarang di R2,
Misalkan
(i) Akan ditunjukan bahwa
y
x
yx
y
xT
,2
1
u
uu
2
2
1R
v
vv
vTuTvuT
Rumus Transformasi
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 5
Terbukti bahwa
vuT
2
1
2
1
v
v
u
uT
22
11
2211
vu
vu
vuvu
22
11
2211
vu
vu
vuvu
2
1
21
2
1
21
v
v
vv
u
u
uu
vΤuΤvuT
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 6
(ii) Ambil unsur sembarang
Jadi, T merupakan transformasi linear.
RRu dan2
2
1
u
uu
2
1
21
u
u
uu
2
1
21
u
u
uu
2
1
21
u
u
uu
uΤα
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh 2 :
Misalkan T merupakan suatu transformasi
dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh
T(A) = det (A), untuk setiap A M2x2,
Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :
Misalkan
maka untuk setiap R berlaku
det (A) =
22
43
21
xM
aa
aaA
43
21
det
aa
aa
)det(2
4321
2 Aaaaa
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 8
Perhatikan bahwa det(A) ≠ det(A)
Jadi T bukan transformasi linier.
Contoh 3 :
Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) R2, dimana
a. Apakah T merupakan transformasi linear
b. Tentukan
ca
bacxbxaT )( 2
)1( 2xxT
2
321 xuxuuu 2
321 xvxvvv
Jawab :
a.(i) Ambil unsur sembarang P2,
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 9
Sehingga
Perhatikan bahwa
vu 2
332211 xvuxvuvu
2
332211 xvuxvuvuTvuT
3311
2211
vuvu
vuvu
3131
2121
vvuu
vvuu
31
21
31
21
vv
vv
uu
uu
2
321
2
321 xvxvvTxuxuuT
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 10
Ambil unsur sembarang P2,
dan R, sehingga
Jadi, T merupakan transformasi linear
2
321 xuxuuu
2
321 xuxuuTuT
31
21
uu
uu
31
21
uu
uu
31
21
uu
uu
2
321 xuxuuT
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 11
b.
Suatu transformasi linear T : V W dapat
direpresentasikan dalam bentuk :
A dinamakan matriks transformasi dari T.
Contoh :
Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3
didefinisikan oleh :
)1( 2xxT
0
0
11
11
uAuT u untuk setiap V.
y
x
yx
y
x
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 12
Jawab :
Perhatikan bahwa
Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah
Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linear
maka ukuran matriks transformasi adalah m x n
y
x
y
x
yx
y
x
10
01
11
10
01
11
A
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 13
dimana
21,vv
32: RR
ii uv
222
111
uvvT
uvvT
2321222123 xxx uuvv 21 vv
12121
vvuu
Misalkan
basis bagi ruang vektor dan
merupakan transformasi linear
untuk setiap i = 1,2.
Sehingga
Jadi
basis bagi V
maka ia punya invers
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :
Tulis :
2R
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 14
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
321 vvv
1
3: PR
iii pvAvT
xppxp 2;1;1 321
2
1
1
dan
Contoh 3 :
Misalkan
adalah basis bagi R3
Transformasi linear didefinisikan
untuk setiap i = 1,2,3.
Tentukan :
Matrix transformasi
Jika
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 15
2
02;
0
11;
1
111 32 BBB xppxp
3,2,1, iii pv
201
011
111
011
001
1
111
011
001
201
011
Jawab :
Definisikan :
Karena
Maka
atau
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 16
100
010
001
111
011
001
101
011
001
110
010
001
~
110
011
001
100
010
001
~
221
010
110
011
001
201
011
221
010
invers matriks dicari dengan OBE :
Sehingga
Jadi matriks transformasi T adalah
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 17
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
221
010
11
1B
x
ingat bahwa
jadi
Sementara itu,
x
1
2
1
1
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 18
22 1,,1 xxxxx
2
1
0
1 xT
0
2
12xxT
0
1
2
1 2xxT
21 xxT
Contoh 4 :
Jika T : P2 R3 adalah transformasi linear
dimana
Tentukan
.
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah
Gunakan
Definisi
Membangun
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 19
Jawab :
Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis
bagi polinom orde 2
maka polinom tersebut ditulis nejadi :
Samakan suku-suku sejenis
sehingga diperoleh SPL
dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.
1
1
1
32
321
31
kk
kkk
kk
2
3
2
21
2 111 xxkxxkxkxx
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 20
Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
atau
Karena transformasi T bersifat linear maka :
222 12101 xxTxxTxTxxT
0
1
2
0
2
1
2
0
5
4
222 112101 xxxxxTxxT
222 112101 xxxxxxx
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 21
Kernel dan Jangkauan
Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear
Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W
dinamakan kernel T
notasi ker ( T ).
atau
Contoh 5 :
Trans. Linear T : P2 R2
Perhatikan bahwa
maka
0|)( uTVuTKer
ca
bacxbxaT )( 2
)1( 2xxT
0
0
11
11
)(1 2 TKerxx
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 22
Sementara itu,
karena
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal
transformasi merupakan unsur kernel T.
Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai
vektor tak nol sebagai unsur kernel T.
Teorema :
Jika T : V W adalah transformasi linear
maka Ker (T) merupakan subruang dari V
Bukti :
Ambil sembarang dan Riil
)(, TKerba
)(21 2 TKerxx
01
1)21( 2
xxT
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 23
1. Karena setiap
artinya setiap
maka Ker(T) V
2. Perhatikan bahwa
artinya setiap
oleh karena itu Ker(T) ≠ { }
3. Karena dan Ker(T) V
Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku
akibatnya
Jadi
)(TKera
0sehingga aTVa
)(0 TKer
000 AT
)(, TKerba
Vba
000 bTaTbaT
Tba ker
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 24
karena V adalah ruang vektor
maka untuk setiap Riil berlaku :
Jadi,
Dengan demikian, terbukti bahwa
Jika T : V W adalah transformasi linear maka
Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V
Karena Ker(T ) merupakan subruang
Basis Ker(T).
VaTKera maka)(Karena 4.
)(TKera
00 aTaT
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 25
c
b
a
T
022 2
xcbaxcaba
c
b
a
T
Contoh 6 :
Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan
Jawab :
Perhatikan bahwa :
=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2
Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 26
0
2 0
2 0
a b
a c
a b c
c
b
a
T 2
2
a b
a c
a b c
112
120
011
c
b
a
Ini memberikan
sehingga
Jadi, matriks transformasi bagi T adalah
112
120
011
A
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 27
~
0
0
0
112
120
011
0
0
0
110
120
011
0
0
0
2/100
2/110
2/101
~
0
0
0
100
010
001
~
Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :
Dengan demikian, Basis ker(T) = { }
dan nulitasnya adalah nol.
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 28
1
1
0
,
1
2
1
,
2
0
1
222 2121 xx,xx,x
Perhatikan hasil OBE
maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :
oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :
sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 29
dcba
dc
ba
d
c
b
a
T
2
2
Contoh 7 :
Diketahui transformasi linear T : R4 R3
didefinisikan oleh :
Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 30
Jawab :
dcba
dc
ba
d
c
b
a
T
2
2
d
c
b
a
2111
2100
0011
2111
2100
0011
A
Jadi
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 31
4, 0 R
d
c
b
a
vvAvT
0000
2100
0011
~
2111
2100
0011
~A
Basis Ker(T) dan Nulitasnya?
Dengan OBE
Ker(T) adalah ruang solusi dari
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 32
0vA
0, ,
21
1
0
0
0
0
1
1
tsts
d
c
b
a
d
c
b
a
21
1
0
0
,
0
0
1
1
Ker(T) = ruang solusi dari
yaitu
Jadi Basis Ker(T) adalah
Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 33
ca
ba
c
b
a
T2
242 xxxT 222731 xxxT
xT 3
Latihan
1. Suatu transformasi T : 3 2
didefinisikan oleh
2. Jika suatu transformansi T : P1 P2 diberikan oleh :
dan
Tentukan
Periksa apakah T merupakan transformasi linear
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 34
1
1
3
2
1T
1
2
1
5
3T
3
1T
(Untuk no. 3 – 5)
Suatu transformasi linear, T :R2R3
Yang diilustrasikan sebagai berikut :
dan
3. Tentukan matriks transformasi dari T !
4. Tentukan hasil transformasi,
5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !
06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 35
1221
1321
1121
A
ca
ba
c
b
a
T2
7. Misalkan T : 3 2 didefinisikan oleh
Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)
beserta dimensinya !
6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :
Top Related