2
Este Cuaderno está escrito con todo respeto y cariño para
las alumnas de la “ESCUELA CLAUDINA THEVENET”.
También está escrito en base a la experiencia de tantos
años de impartir esta materia, que me ha permitido
identificar las necesidades de las alumnas para su mayor
razonamiento y entendimiento de los temas del curso.
Y que en base en esto la idea es proporcionar un
cuaderno de ejercicios donde la alumna practique lo visto
en clase.
El cuaderno está apegado a las 8 unidades que se tienen
que ver durante el ciclo escolar tal como lo exige la
DGIRE.
También tiene el propósito de que sirve de guía a la
alumna para que pueda preparar sus exámenes con
anticipación.
Mucho agradezco a las Madres y a la directora de
preparatoria VICKY ALVARADO, el que permitan trabajar
con este cuaderno de ejercicios.
Atte. Prof. Ricardo Rodríguez
3
Contenido
UNIDAD I.- “CONJUNTOS” ............................................................................... 0
UNIDAD II.- “SISTEMAS DE NUMERACIÓN” ................................................... 10
UNIDAD III “EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES” ...................................... 26
UNIDAD IV “OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS” ..................... 46
UNIDAD V “PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN” ............................... 63
UNIDAD VI “OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES” . 72
UNIDAD VII “ECUACIONES Y DESIGUALDADES” ............................................. 81
UNIDAD VIII “SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES” ...................... 89
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
0
UNIDAD I.- “CONJUNTOS” Actividad 1.- Representa en forma de extensión cada uno de los siguientes conjuntos.
A={𝑥/𝑥 ∈ 𝑉𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠}
A={𝑥/𝑥 ∈ 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑠𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠}
A= {𝑥 −3 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥𝜀𝑍⁄ }
A= {𝑥 𝑥 ∈ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1 < 𝑥 < 20⁄ }
𝐴 = {𝑥 𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1 < 𝑥 < 20}
𝐴 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑀𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 31 𝑑í𝑎𝑠}
𝐴 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠}
𝐴 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 20}
Actividad 2.- escribe en forma de comprensión los siguientes conjuntos.
A={5,10,15,20, 25,30}
A={1,2,3,4,5,6}
A={enero, febrero, marzo, abril,… diciembre}
A={sol, mercurio, venus, Saturno, tierra, … , Neptuno}
A={2,4,6,8,10}
A={…., -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3, …}
A={ a,b,c,d,e, …. , x,y,z}
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
1
A={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}
A={ 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512}
Actividad 3.- Contesta de falso o verdadero cada una de las siguientes proposiciones.
Los conjuntos se representan mediante letras
mayúsculas
( )
El conjunto Universal es subconjunto del conjunto vació ( )
La forma correcta de escribir que un elemento pertenece
a un conjunto es 2𝜖 𝐴.
( )
Si A es subconjunto propio de B se escribe 𝐴 ⊆ 𝐵.
( )
A - B se define como los elementos que pertenecen al
conjunto A y no pertenecen a B.
( )
El conjunto vació es subconjunto de todos los conjuntos.
( )
Un ejemplo de conjunto infinito seria aquel que esta
formado por las composiciones musicales.
( )
Los conjuntos equivalentes son aquellos que tienen la
misma cantidad de elementos.
( )
Un ejemplo de conjunto finito es el conjunto de los
números naturales.
( )
El conjunto cartesiano se forma con las parejas
ordenadas de sus elementos.
( )
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
2
Actividad 4.- Dados los conjuntos siguientes, determina si trata de una afirmaciones o
negación.
A={2,4,6,8}; B={a,e,i,o,u); C={x/x es un numero natural menor que 12}; D={x/x es una letra
del alfabeto}; E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
8.6 ∈ 𝐶
( )
8 ∈ A
( )
A equivalente B
( )
Z ∈ 𝐷
( )
A ⊂ 𝐵
( )
A ⊂ 𝐸
( )
A y C son equivalentes
( )
B ⊆ 𝐴
( )
E y C son equivalentes
( )
E=C
( )
C ⊂ 𝐸
( )
B⊆ D
( )
A ⊂ 𝐶
( )
C ⊆ E
( )
A y B son equivalentes
( )
C ⊂ 𝐴
( )
D ⊆ 𝐵
( )
A ⊆ 𝐶
( )
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
3
Actividad 5.- Realiza las siguientes operaciones con conjuntos.
Dado el conjunto Universo U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y los conjuntos: A={1,4,7,9}; B={2,4,6}; C={4,5,6,7};
D={x/x∈U y x es par }; E={x/x∈ 𝑈 𝑦 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}
Contesta:
A ∪ 𝐵 =
A ∩ 𝐶 =
A-B=
B-C=
(AuB)C=
(B∩ 𝐶 =
(A-B)∩ 𝐶 =
(A UC)C ∩ 𝐵 =
(D-C)C=
(B U D)=
(B-D) ∩ (C-A)=
(C-D) ∩ (D ∩E)C=
(B-D) ∩ (C-A)=
(C-D) ∩ (D ∩E)C=
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
4
Actividad 6. Representa con diagramas de Venn – Euler, los siguientes conjuntos.
Sigue el ejemplo.
Conjunto solución Diagrama
A U B
A ∩ 𝐵
A – B
AC
(A-B)C
(A∩ 𝐵 ∩ 𝐶)C
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
5
U – (A-B)
(A-B) – C
A U (B-C)C
Actividad 7. Problemas de conjuntos.
En cada una de ellos escribe el diagrama de Venn. Y toma en cuenta las leyes que se vieron
en clase.
1) En una escuela de idiomas trabajan 67 personas, de las cuales, 47 hablan el idioma inglés, 35 el francés, y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas trabajan en dicho instituto no hablan ni el inglés ni el francés?
2) En un viaje en avión de México a Estados Unidos hay personas que hablan español e inglés o ambos. Si 71 personas hablan español, 85 inglés y 29 de esas hablan español e inglés . ¿Cuántas personas hay en el avión?
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
6
3) De un grupo se conoce que a 19 las gustan las Matemáticas, a 17 las artes, a 11 la Historia,; a 2 les gustan las 3; 12 prefieren Matemáticas y arte; 7 Historia y Matemáticas; 5 artes e Historia y a 5 alumnos ninguna de ellas, hallar:
a) El número de alumnos que hay en el grupo. R=_______________ b) El número de alumnos a los cuales solamente les gustan las
matemáticas y artes. R=_______________________ c) El número de alumnos a los cuales les gustan solamente las artes e
historia pero no mate. R=______________________ d) El número de alumnos a los cuales únicamente les gusta las
matemáticas. R=_____________________
e) El número de alumnos a los cuales solamente les gusta la signatura de artes. R=_____________________
f) El número de alumnos a los cuales solamente les gusta la signatura de historia. R=____________________
g) El número de alumnos a los cuales solamente les gusta matemáticas e historia. R=____________________
4) Supóngase una encuesta con 150 alumnos, de los cuales 60 estudian matemáticas, 120 física, 40 matemáticas y física, mientras que el resto estudia otras disciplinas: elabora el diagrama correspondiente con la cardinalidad de cada región:
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
7
a) ¿Cuál es la cardinalidad de Mc? R=____________ b) ¿Cuál es la cardinalidad de Fc? R=_____________ c) ¿Cuál es la cardinalidad de M U F? R=______________ d) ¿Cuál es la cardinalidad de M ∩ 𝐹? R=___________ e) ¿Cuál es la cardinalidad de Mc ∩ 𝑓c ? R=__________ f) ¿Cuál es la cardinalidad de M ∩ Fc ? R=__________
5) En una tienda departamental, se efectúa una encuesta a un grupo seleccionado de 1000 clientes. Para saber que artículos compra más en la época navideña. Los resultados de la encuesta son los siguientes:
Mercancía Número de personas
Artículos electrónicos 275
Artículos de ropa 400
Juguetes 550
Artículos electrónicos y de ropa 150
Artículos electrónicos y juguetes
Artículos de ropa y juguetes
110
250
Artículos de ropa, electrónicos y
juguetes
100
a) Elabora el diagrama correspondiente, con la cardinalidad de
cada área.
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
8
b) Para cada pregunta expresa la operación de conjuntos que corresponde para representa la cantidad solicitada.
c) Diagrama:
Preguntas: a) ¿Cuántas personas no compraron ninguna de esas 3
mercancías? R=_______ b) ¿Cuántas personas compraron sólo artículos de
ropa?R=________ c) ¿solo artículos electrónicos? R=___________ d) ¿solo juguetes? R=_________
6) Se realizó una encuesta entre 130 personas para analizar las preferencias sobre los diversos lugares a los que acuden para divertirse. El resultado fue el siguiente: Personas Lugar
25
18
12
61
86
20
14
Teatro y cine
Discoteca y cine, pero no teatro
Teatro y discoteca, pero no cine
Teatro
Teatro o cine
Teatro y cine, pero no discoteca
Ninguno de los indicad
Con base a la información anterior, determine cuántas personas:
a) Van al teatro o discoteca ________________________
UNIDAD I CONJUNTOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
9
b) Eligen ir al cine o a la discoteca, pero no al teatro _______________________
c) Van al teatro, a la discoteca y al cine ___________________
d) Prefieren ir a un solo lugar =_________________
7) La biblioteca de una escuela reunió la información obtenida de 200 solicitudes acerca de las publicaciones que mayor demanda tuvieron durante el mes de julio y se registraron los siguientes datos:
Solicitudes Publicaciones
95 Contabilidad
39 Contabilidad y Administración
8 Finanzas y administración, pero no contabilidad
26 Finanzas y Contabilidad
14 Finanzas y Contabilidad, pero no Administración.
73 Contabilidad o Finanzas, pero no administración.
122 Finanzas o Administración.
Con base en la información anterior, determine cuantas personas:
a) Solicitaron dos publicaciones = ____________________
b) Solicitaron Finanzas = ________________
c) No eligieron alguna de estas opciones = __________________
d) Optaron por Administración, pero no por Contabilidad = _________________
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
10
UNIDAD II.- “SISTEMAS DE NUMERACIÓN”
Sistema Egipcio.
Actividad 1. Deberás escribir en sistema Egipcio los siguientes números.
Con el empleo de sus equivalencias contesta los siguientes ejercicios.
I = uno; ∩ = 10; =100; =1000; =10 000; = 100 000; = 1 000 000
Arábigo Egipcio
122
230
500
1200
3542
17894
34872
43124
76392
874576
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
11
Actividad 2.-. Convertir de número Egipcio a Arábigo
Egipcio Arábigo
∩
∩∩∩∩∩∩∩ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
∩ ∩ 𝐼
I
II
∩∩∩∩∩∩ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
∩∩ 𝐼𝐼𝐼
∩ 𝐼
∩
IIII
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
12
Sistema Romano.
Actividad 3. Convertir de número Arábigo a romano
Arábigo Romano
1986
476
800
5 538
10 700
100 000
75 450
6 710
85 742
102 481
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
13
Actividad 4. Convertir de número Romano a Arábigo
Romano Arábigo
CCCXLIX
CDXL
CMIV
DCCCXV
MDCLXVI
𝑀𝐷̅̅ ̅̅ ̅𝐶𝐼𝑉
MMMCDXII
DLV
�̅�𝐶𝑀
𝑉𝐼𝐼̿̿ ̿̿ 𝐷𝐶𝑋𝑋𝐼𝑉𝐶𝐶𝐶𝐼𝑋𝑋
Sistema de numeración Maya.
Actividad 5. Convertir de número Arábigo a Sistema Maya.
Arábigo Maya
65
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
15
5 000
1500
Actividad 6. Convertir de sistema Maya a Arábigo
...
__
…
___
___
___
____
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
17
Sistema de numeración Babilónico.
Actividad 7. Convertir de Decimal a Babilónico
Decimal Babilónico
37
59
65
83
112
218
566
935
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
18
Actividad 8. Convertir de Babilónico a Arábigo.
Babilónico Arábigo
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
19
Sistema Binario.
Actividad 9. Convertir de Arábigo a Binario.
Arábigo Binario
23
36
54
17
30
43
312
215
Binario a decimal
Actividad 10. Convertir de Binario a Arábigo
Binario Arábigo
1001001
1010111
111000
110011
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
20
111111
1000111
1010101010
11101101101
Operaciones con números binarios
Actividad 11.- suma los siguientes números
1110111 + 1100110+ 1001101
11011011+11011000+10111011
110011111+10011110+11100011
11100011+10000111+11001010
10111111+110011111+101111011
Resta de números binarios
Actividad 12.- realiza la siguiente resta de binarios
11011-1011
101011-11101
100110-11111
1111011-101001
1101010011-111011
Productos de números binarios Actividad 13.- realiza las siguientes multiplicaciones.
111001 x 101
1010011 x 111
1101101 x 1001
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
21
1111011 x 110110
11110111 x 110011
División de números binarios
Actividad 14.- realiza las siguientes divisiones.
111011 / 101 110111 / 1111
1011011/ 1101
101110111/ 11101 111011111/ 1111001
Actividad 11. Convertir de base 10 a cualquier base
Base 10 Cualquier base
345 b6
762 b8
1000 b16
687 b12
562 b5
653 b4
452 b7
781 b15
Actividad 12. Convertir a la base que se te indica.
112113 b2
340125 b8
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
22
111011b2 b4
212301b6 b8
A321 b12 b5
ABC b15 b8
110011 b2 b16
99999 b16 b5
Actividad 13. Realiza las siguientes operaciones
11011011+110110+11101=
100110+111011+11101=
1234125 + 2001235 + 212215=
302446 + 1021106 + 21126=
11011118 + 456378 + 335128=
11101 x 1101=
23145 x 11025=
110111 x 1101=
23146 x 11316 =
2211345 x 113215 =
23102304 ÷ 324=
22022223 ÷ 2113=
51001226 ÷ 456 =
UNIDAD II SISTEMAS DE NUMERACION PROF. RICARDO RODRIGUEZ
23
73645169 ÷ 629=
Actividad14. Convertir a la base que se indica. Escribe solo tu respuesta
Base 10 Base 2
75.25
30.75
12.75
120.35
68.125
11011.11
100111.0011
101111.11011
10011101.11111
11101111.10110111
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
26
UNIDAD III “EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES”
Actividad 1. Llena el espacio en blanco(x) indicando a que estructura numérica pertenece
el número dado:
Número primo compuesto Natural Entero Racional Irracional Real
-62
-√49
−64
−16
(-3)3
√8
4
(-5 + 2)3
-32 x 23
3-1 + 2-2
2-3 x 23
4(-1-2)
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
27
Actividad 2. Empleando signos de orden (<,> o =), indica que número es mayor, menor o
igual.
6 _____ 0 -5 _____ 5 23 _____ √49 -42 ______ 4-1
(-3-2) ______ -51 -6 ______ -√36 -2-1 _____ - 0.5 √144 _____ 144
12
𝜋 _______𝑒 2
3 ______
10
15
1.5 ______ 2/3 -3/4 ______ -6/7
-20 _____ -12 -18 ______ -14 -3/8 ______ -3/4 8/9 ______ 7/8
Actividad 3. Relaciona las siguientes columnas. Indicando que expresión de la izquierda
corresponde a la columna de la derecha.
1) a*b= b*a ( )Asociativa con respecto a la
suma
2) Si a>b y b>c entonces a>c ( )Distributiva
3) a+b=c 𝜖 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 ( )Conmutativa con respecto a
la multiplicación
4) a*1= a ( )Cerradura con respecto a la
suma
5) a + (-a)= 0 ( )Transitiva
6) (a+b)* c= ac +bc ( )Asociativa con respecto a la
multiplicación
7) (a+b) +c = a + (b+c) ( )Simétrico
8) a+ 0 = a ( )Conmutativa con respecto a
la suma
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
28
9) a+b = b+a ( )Elemento neutro aditivo
10) (a*b) *c= a*(b*c) ( )Elemento neutro
multiplicativo
Actividad 4. Señala que propiedad se maneja en cada uno de los renglones.
Ejercicio Nombre de la propiedad
2(3 + 7)= 2(3) + 2(7)
9*1=9
16 + 0= 16
12 + 10 = 10 + 12
(2 + 3 ) + 4= 2 + (3 + 4)
2*(5*6) = (2*5) *6
4 + 7= 11
5 * 3=15
13 * 15= 15 * 13
14 * 4 = 4 * 14
Actividad 5. Realiza las siguientes operaciones con números enteros:
1) -12 + 13 -10 + 15 – 10 + 8 -17 + 18 – 21=
2) -3 +5 – 7 + 9 – 10 + 11 – 8 + 3 – 7 + 10 =
3) 31 + (26 – 51) – (18-23)=
4) 34 + (31 – 24) + (41 -26)=
5) 5(27 – 18) + 6(36- 24) + (42 -62) – 3( 12-30)=
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
29
6) 18 + 2{4(2 + 4 – 3 +16) – 3(23 + 18 – 23 – 16) + 7(14 + 23 – 18 + 2)}=
7) -(-2) + (-8) – (-3 – 4) + (-12 + 15) – (-18 +15) – 3(13 – 16) + 2(-23 + 16)=
8) –{-18 – (-3)} -7(-13+17) – 3(-5 + 9) – 12 + 16 =
9) -3 + {4 – 2(6 – 3+ 4(5 – 7)) + 3}=
10) 2 – {-3 + 5 - [4 − 6 + (3 − 8) − (2 − 4)] − 2}=
Actividad 6. Escribe en la columna de la derecha, la descomposición de sus factores
primos de cada número, sigue el ejemplo:
1200= 24 x 3 x 52
300
250
840
650
500
400
1000
380
900
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
30
Actividad 7. Obtener el mínimo común múltiplo de cada serie de números. Realiza las
operaciones en tu cuaderno y solo anota tu conclusión.
12, 60=
102, 85=
15,35,25=
60,36,48=
92,115,138=
348,812,609,406=
Actividad 8. Con el empleo del Teorema de Euclides, calcular el MCD, realiza las
operaciones en tu cuaderno y solo escribe tú conclusión:
728 y 304 247 y 221
95 y 228 675 y 600
924 y 770 65 y 143
27 y 36 16 y 24
15 y 20 504 y 560
Actividad 9. Efectúa las siguientes operaciones:
(-8) + 11= (-125) + (89.7)=
(-32) + (-71)= 5.68 + (8.68)=
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
31
4.3 + (-0.75)= 11
6+ (
−21
8) =
15 5
9+ (−15
2
3) =
(-5.03) + (-7.9)=
(-4.6) + 5.3 + (-8.7) + (-1.2)= (−12
3
5) + (−40
4
5 ) + (−6
2
5) =
(−1
4) + 3 + (−1
3
4) + (−1) =
(-35.9) + (-49.8) +172.4 + (-53.4) + (-33.3)=
3
4−
1
2−
7
8−
1
4= [
−1
2+ (
−2
3)] + [− (
−1
2+
2
3)] =
(−23 + 35) + 2(56 − 48)
17 − 31=
(25
6−
55
6) − (
43
6−
85
6) =
Actividad 10. Decimales periódicos infinitos. Representa en fracción común cada una de las
fracciones decimales periódicas.
2.454545…..=
0.5555….=
1.333333….=
0.9999…=
4.00260026…=
6.123123123…
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
32
Actividad 11. Compara cada una de las fracciones usando los signos <, >, =
4
7
−2
3 −
3
5 −
10
3
3
17
12
68 −0.14 −
3
7
21
9
59
27 -2.168 −
7
3
Actividad 12. Ordena en forma creciente la siguiente serie de fracciones.
3
4,9
8, −
3
5, 2.11, −
11
4,5
3,11
9, −1.75, −1, 0
-7
4,
9
7, −
13
5, 0.11, −
11
7,
5
2,
11
3, 1.75, −1, −0.5
Si 2
3<
7
5 que sucede si se suma
1
3 a ambas
fracciones, cambia el orden o se mantiene
Si -8
5> −
30
2 que sucede si se multiplica -
1
2 a
ambas fracciones, cambia el orden o se
cambia.
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
33
Actividad 13. Realiza las siguientes operaciones.
1 +16
3 −1
12
=
5
5 +1
5 + 12
=
2
1 +
12
2 −14
=
22 + 4
− 2 − 4
22
2 − 4+
2 + 42
=
1 +12
3+
3 −13
2
212
56
−
1316
=
1 +3
2 +4
1 −14
=
Actividad 14. Representar los siguientes números irracionales en la recta numérica, esta
actividad hay que desarrollarla en el cuaderno.
√2, √3, √5, √7,
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
34
Actividad 15. Dado el conjunto T={2, 3, -2, √7, 3.2121, −√16,1
3, 0, 2
1
3}, escribe los
elementos que pertenecen a cada uno de los siguientes conjuntos.
A={x/x∈ 𝑇 𝑦 𝑥 ∈ 𝑄𝑐}=
B={{x/x∈ T y x∈ ℕ}=
C={x/x∈ 𝑇 𝑦 𝑥 ∈ 𝑄}=
D={x/x∈ 𝑇 𝑦 𝑥 ∈ ℤ}=
E={x/x∈ 𝑇 𝑦 𝑥 ∈ ℝ}=
F={x/x∈ 𝑇 𝑦 𝑥 ∉ ℕ} =
Actividad 16. Realiza las siguientes operaciones con números irracionales.
2√3 + 5√3 − 8√3 =
−3√7 + 5√7 − 2√7 + 9√7 =
−2√8 + 5√8 − 6√8 + 15√8 − 9√8 =
16√12 − 7√75 + 8√48 + 5√27 =
−10√8 + 5√18 + 7√32 + 12√50 =
−5√20 + 9√45 − 3√80 + 11√125 =
10√28 + 12√63 − 2√175 − 14√252 =
-21√32 + 4√72 − 12√200 + 15√288 =
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
35
Actividad 17. Contesta lo que se te pide.
Expresa con el símbolo de Euler cada uno de los siguientes números imaginarios.
2√−25 = √−4 =
-√−36 = √−64 =
√−814
= 3√−2564
=
Representa gráficamente los siguientes números complejos.
-5+2i; -2+4i; 1.5-3i; -6-4i; 3+√−4; -3+3i
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
36
Actividad 18. Realiza las siguientes operaciones con números complejos.
Suma de complejos
1) (-2+5i)+(-5+9i)=
2) (-8+10i)+(-7-9i)=
3) (13-19i)+(-6+8i)=
4) (-21-32i)+(-7+17i)=
5) (-8+9i)+(10-31i)=
6) (-7+√−9) + (+3 − 6𝑖)=
7) (-3+√−4) + (−7 − √−36) =
8) (-4-√−9) + (−10 − √−81) =
9) (-12-61i)+(-3+√−100) =
10) (−𝟐 − √𝟗𝒊) + (−√𝟏𝟔 − √−𝟑𝟔) =
Resta de complejos:
1) (-5-9i)-(16+13i)=
2) (8-3i)-(2+5i)=
3) (4+9i)-(11-5i)=
4) (-7-√-64)-(-1+√-25)=
5) (6+7i)-(-3-√-36)-(-9-18i)=
6) (-3+9i)-(-2-5i)=
7) (14+15i)-(16-31i)=
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
37
8) (-4-√-9)-(-1-√-4)=
9) (−𝟒 − √𝟒𝟗𝒊) − (−√𝟏 − √−𝟗) =
10) (−𝟏𝟑 − √−𝟐𝟓) + (−√𝟒 − √−𝟖𝟏) − (−√𝟔𝟒 − √−𝟒𝟗)
Multiplicación de complejos:
1) (-2-3i)*(-1-9i)=
2) (-3+5i)*(9+5i)=
3) (-2-2i)*(8-i)=
4) (12-5I)*(.13+√−25) =
5) (-7+√-64)*(-7-√-100)=
6) (-5-7i)*(-6+√-49)=
7) (-3-7i)*(2-7I)=
8) (-6-9i)*(-2-8I)=
9) (-10-11i)*(3-30i)=
División de complejos
1) 2+3𝑖
1−4𝑖=
2) 6+4𝑖
2𝑖=
3) 2+9𝑖
1+7𝑖=
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
38
4) 5−9𝑖
5−3𝑖=
5) 5
2+10𝑖=
6) 𝑖
5−𝑖=
7) 5−7𝑖
𝑖=
8) 𝑖
−𝑖=
Actividad 19. Realiza las siguientes operaciones con valor absoluto.
|−8 − 13| = |−3.6 + 1 − 8| =
−|−√6| = − |−3
4+
1
2| =
|−9 − 3| − |−15 + 18| = −3|−12 + 10| − 3|−19 + 17| =
−6|−4 − 2 − 8| − 7|−5 − 4 − 10| = −8|−18 + 23| − 4|−9 − 12| − 10 =
−|−12 + 9|
|−11 − 5|= −
5
6− |−
4
6−
2
3| =
Actividad 20. Escribe en notación de intervalos
{x𝜖𝑅/-4<x<4}
{z𝜖R/ 1.3<z<9}
{b𝜖𝑁/ b<12/2}
{w𝜖𝑅/ -21< w<-7}
{a𝜖𝑅/-8.75<a}
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
39
{y𝜖𝑅/ 11
12< 𝑥 <
13
12}
{x𝜖𝑅/1<x<6}
{x𝜖R/ 1<x<6} U {x𝜖𝑅/ -1<x<0}
{x𝜖R/ 5<x} ∩ {x𝜖𝑅/x<4}
Actividad 21. Escribe en la columna de la derecha el intervalo que represente a la recta:
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
40
Actividad 22. Escribe en forma gráfica cada intervalo.
intervalo Forma grafica
(-∝, 0)
(0, 20)
[0,20]
(−2, 8]
[−5, 5)
[−10, ∞)
(−∞, −2] ∪ [2, ∞)
(−6, 0] ∪ (5, 10]
(−∞, −3] ∪ [3, ∞)
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
41
Actividad 23. Simplifica con el empleo de las leyes de los exponentes las siguientes
expresiones:
(-2)2 (-2)5= (5−2)−2 × 5−6 =
(73) (78) (7-8)= (2−5)−2
×(2−5×27)−1
(2−3×25)−1=
(-5)2 (-5)4(-5)-7= 8
23 × 64
16 × 2−5
(23)−2 × 12817
=
(28)3 = [42 ÷ 43] × [4−3 ÷ (4−3 × 45)] =
32 × 3−7
36= [2(3 − 4 + 6 − 4)7 − 3 (
23−3−2
34 )2
]0
=
87
85×
8−3
8−2= (
12)
−3
(12)
2
÷ (12)
4
(12)
−4
(12)
3
÷ (12)
2 =
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
42
312 ×3−10
38× 36 =
(5𝑥34 × 45 × 6)0
(6 × 6−2 × 6−1)−2× 36
12 =
2 × 4−1 + 3 × 5−1 = (2−3 × 3−1 × 5−3)
(2−3 × 33 × 5−1)−3
−2
× (2−4 × 5−1 × 32
(34 × 5−2 × 2−2))
−1
=
Actividad 24. Expresa los siguientes números en notación científica:
346= 0.0027=
0.23= 0.00125=
0.000065= 0.00000085=
38 000 000 000= 48 000 000 000 000=
Actividad 25. Expresa el resultado en Notación Científica
(9 × 107) (4 × 106) =
(4 × 10−5) (5 × 10−1) =
(5 × 106) (6 × 103) =
(2.4 × 103)2 =
15 × 10−4
5 × 104=
(0.0003)(500 000)
(−0.00001)(1 500 000)=
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
43
(40 000 000)(−0.00002)
(−0.00001)(8 000 000)=
(0.00153
0.00051) (
28 000 000
−0.00014) =
(0.00046
23000) (
−300000
−2000) =
Actividad 26. Escribe en forma exponencial, cada uno de los siguientes logaritmos.
Log5625=4
𝑙𝑜𝑔644=
1
3
𝑙𝑜𝑔10
1
100= −2
𝑙𝑜𝑔13
1
27= 3
Log6216=3
Log48= 3/2
Log279=2/3
LogcC=1
Actividad 27. Encuentra el valor de “c”
Logc25=2
Logc8= 3
Log4 C= -1/2
Log4 C= -1/2
Log9 C= -2/3 Log2 (25.6)= C
Log3 (243)= C c= Log6 36
c = Log4 2
Log25 c= 3/2
UNIDAD III EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
44
Actividad 28.- con el empleo de las propiedades de los logaritmos desarrolla
las siguientes expresiones:
log𝑎 × 𝑏
𝑐 × 𝑑=
log √𝑎×𝑏
𝑐=
log(𝑎 × 𝑏 × 𝑐)3 =
log√𝑎 × 𝑏3
(𝑎 × 𝑏)4=
log (𝑎
𝑏)
12
=
log (𝑎
𝑏)
4
× (𝑐
𝑑)
5
=
log [(𝑎
𝑏)
6
÷ (𝑐
𝑑)
2
] =
log [√𝑎 × 𝑏
𝑐 × 𝑑
3
÷ √𝑚 × 𝑛
𝑟
5
] =
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
46
UNIDAD IV “OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS”
Actividad 1. En la siguiente tabla deberás llenar los espacios.
término signo coeficiente literal Exponente(s)
-3x4
8x
−2
5 x5
-x3y4z5
−2𝑥2𝑦𝑧6
7
𝑎2𝑏4𝑐3
8
a
√2𝑥2𝑦7
𝑎2
𝑎𝑥𝑏𝑦
√5𝑎3𝑏4
𝑐2
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
47
Actividad 2. En la siguiente tabla señala si se trata de un monomio, binomio,
trinomio o polinomio.
expresión monomio binomio trinomio polinomio
a + b
-8x2+9x-3
4𝑥2 + 8𝑥
2
3x4+5x3+7x2+9x-
2
𝑎3𝑏2 + 16
(7𝑥 − 2) + 5
−4𝑦4 + 5𝑦3
+ 3𝑦2
13x7+5x3-
9x5+12x-3
(3𝑥 − 5)2
(3x2+6)3
Actividad 3. En la siguiente tabla determina el grado absoluto y relativo de cada
expresión.
expresión Grado absoluto Grado relativo
-3x3
6xy3
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
48
abc
−3
4𝑥𝑦4𝑧2
9.16 m2 + 3.1m+ 7
6x3 + 5x – 3x5 – 8x10
5b7 – 8b4a + 8b3a4 – 5b2a2
10mn2 + 3m4n6+ 8m4n9
Actividad 4. Reducir los siguientes términos semejantes
1) 8-3b=
2) 7b – 5b=
3) -10m2 -13m2=
4) 9p-16p=
5) -9p-16p=
6) 9p+16p=
7) -9p-16p=
8) 1.7b-2.4b=
9) -2.7m+9.5m=
10) -8.5d+6.8d=
Actividad 5. Reducir los siguientes términos semejantes
1) 7c-9b+6c-4b=
2) a+b-c-b+2c-a=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
49
3) 5x-11y-9+20x-1-y=
4) -6m+8n+5-m-n-6m-11=
5) –a+b+2b-2c+3 a+2c-3b=
6) -81x+19y-30x+6y+80x+x-25y=
7) 15 a2-6 ab -8 a2+20 -5 ab -31 + a2-ab=
8) -3 a+4b-6 a+81b-114b+31 a –a –b=
9) -71 a3b-84 a2b2+50 a3b+84 a4b2-45 a3b + 18 a3b=
10) –a+b-c+8+2 a+2b-19-2c-3 a-3-3b+3c=
11) m2+71mn-14m2-65mn+m3-m2-15m2+6m3=
12) X4y-x3y2+x2y7-8x4y-x2y-10+x3y2-7x3y2-9+21x4y-y3+50
13) 5 ax+1-3bx+2-8cx+3-5ªx+1-50+4bx+2-65-bx+2+90+cx+3+7cx+3
14) am+2-xm+2-5+8-3 am+2+5xm+3-6+am+2-5xm+3=
15) 0.3 a+0.4b+0.5c-0.6 a-0.7b-0.9c+3 a-3b-3c=
Actividad 6.Realiza las siguientes sumas de monomios.
1) 17x2+9x2=
2) -10b3-17b3=
3) -11m4-16m4=
4) 18cd+18cd=
5) -19n4-34n4=
6) 2/3 m2 + 7/3 m2=
7) -5/4 x5+9/4 x5=
8) 12/7 m2 – 13/7 m2=
9) 16/5 b3 – 18/5 b3=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
50
10) -6/8 c3+13/8 c3=
11) -18/3 b4+29/3 b4=
12) -5/8 c4+9/8 c4=
13) 3.8 a2 + 5.7 a 2=
14) -7.9 m2+13.5 m2=
15) 19.16 a5+36 a5=
Actividad 7. Realiza la siguiente suma de polinomios
1) (-13b5-16b4+12b3-19b2+23b+31) + (-17b5+18b4+21b3+31b2-15b-22)=
2) (-17 a3-17 a2-18 a -21) + (-24 a3+18 a3 -41 a+12)=
3) (-17 a3-17 a2-18 a -21) + (24 a3+18 a2 +41 a+12)=
4) (-18 b4-15 b2-19b) + ( -16b4+17b2+13b)=
5) (23m3-15m2+17) + (-32m3-18 m2+13)=
6) (-16x4+17x3-18x2+10x+13)+(-18x4+15x3-23x2+19x-10)=
7) (2.5m3-1.9m2+4.2m-6.3)+(-3.2m3-6.3m2-4.2m+5.2)=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
51
8) (2.5m3-1.9m2+4.2m-6.3)+(-3.2m3-6.3m2-4.2m+5.2)=
9) (-7.5m4-5.3m3+4.2m2+4.8m-2.1)+(-1.6m4+3.4m3+5.3m2-6.3m+8.3)=
10) (2/4 x2+ 3/3 x- 5/7 )+(-7/4 x2-5/3 x + 4/7)=
Actividad 8.Realiza la siguiente resta de monomios
1) (12m2) – (-13m2)=
2) (-34x3) – (-62x3)=
3) (-2.56m2) – (-3.21m2)=
4) (8.21x3) – (-6.32x3)=
5) (2/4 m4) – (4/2m4)=
6) (4/3 x3) – (6/8x3)=
7) (2/9m2n) – (-3/8m2n)=
8) (-13 xayb) – (-16xayb)=
9) (-3/4 ax) – (5/6 ax)=
10) (-10x2a) – (.15x2a)=
Actividad 9. Realiza la siguiente resta de polinomios
1) (12m2-15m+19) + (-13m2+14m+13)=
2) (-9x3+8x2+7x+18) – (18x3+15x2-16x+13)=
3) (-40m3+32m2-15m+20) – (-21m3+28m2-43m+81)=
4) (12.4m2+8.3m+15.4) – (-4.2m2+7.8m-9.2)=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
52
5) (-3.9x3+7.4x2+6.1x-4.3) – (9.6x3+8.2x2-8.1x+8.7)=
6) (19.45m2+78.13m+12.78) – ( -43.31m2+67.92m-13.21)=
7) (2/3 a3- 4/5 a2- ½ a -7/8) – ( -4/3 a3- 6/7 a2- 2/8 a - 9/2)=
8) (120x3-316x2-412x+891) – (912x3-541x2+481x-381)=
9) 6x2+3y2-7x+4y-2; 2x2-y2-7x+8=
10) (x3 + 3x2y – 5xy2 – 4y3) – ( 2y3 – 4xy2 + 2x3 – 7x2y)=
Actividad 10. Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios.
1) (-7x3)(-4x5)=
2) (3x4y7)(-3x5y)=
3) (-5x5)(-4x3)=
4) (-10x3)(-3x2)=
5) (-7x2y3)(-4x3y2)=
6) (-7x2y3)(-4x3y6)=
7) (9x5y7z3)(-8x3y2z8)=
8) (2/3 m5)(3/7m2)=
9) (-5/7 x6y5)(-4/7 x-3y-2)=
10) (8/5 m3n-3)(-2/5m-2n7)=
11) (-2/8x8y-4)(-3/4x-6y7)=
12) (-1/3x-5y-6z-2)(2.6x8y10z5)=
Actividad 11. Realiza las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio.
(4x2+5x-8)(-2x3)=
(-7x3-6x2+8x-10)(3x3)=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
53
(9m3-6m2-7m+2)(-5m4)=
(3/4m2-8/7m+2/3)(-5/6m2)=
(8/9x4-8/6x3 +2/5x2-4/9x+7/6)(-2/5x4)=
(5/6x4-7/3x3+8/9x2+6/5x-2/4)(-3/9x3)=
(-4/8x3+6/9x2-8/6x5)(-3/6x2)=
(-7/8m2-5/8m3-8/3m8)(-2/3m5)=
(-5/8x3-7/8x2+4/7x-3/8)(-5/8 x4)=
(-6x5y4z3+ 12x6y4z9 – 36x3y6z4)(-2x5y2z4)=
Actividad 12. Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios por polinomio
1) (8x3-5x2+9x-12)(-3x2+6x)=
2) (-9n3+3n2-7n-3)(-5n3-5)=
3) (-6x4-8x3+7x2+8x-3)(2x3-8)=
4) (-4x2-6x+13)(-4+5x-2x2)=
5) (4x3-7x2+8x-13)(-7x2+5x-3)=
6) (-21 a2x-14 ax+4)(a3-8 a2-7ª+6)=
7) (2/3 a3-5/6 a2 -6/8 a-9/6)(-5/8 a2-6/8 a-5/9)=
8) (-7/9 m3x-8/3 m2x- 7/9mx)(-6/4m2x-5/12mx)=
9) (a2+2 a-1)(a2-2 a +1)=
10) (2x2-5x+6)(x2+2x-3)=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
54
Actividad 13. Realiza las siguientes divisiones de monomio entre monomio.
(-36m4) entre (-12m)= (-84x7) entre (12x5)=
(-3/4 x9) entre (-1/2 x5)=
(-4/9 m8) entre ( +3/5 m3)=
(3.8 m7) entre ( 1.2m3)=
(−6
5𝑦7𝑧4) 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (−
3
4 𝑦2𝑧3) =
(−5
7 𝑎6𝑏8𝑐9) 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (−8 𝑎5𝑏3𝑐9) =
(−5.4 𝑥5𝑦4𝑧3) 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (2.3 𝑥2𝑦2𝑧3) =
(7.16𝑚14𝑛15) 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (4.12 𝑚10𝑛13) =
(10.24 𝑥−6𝑦−7)𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 (2.13 𝑥3𝑦4) =
(1.2x-4y5) entre (0.6x-2y3)=
(1.5x-3y-4z-5) entre(0.5x2y-1z-2)=
(2/5 a-2b3c-4) entre (0.6 a3b-1c-2)=
(-3/5 a-3b-2c-4d8) entre ( ¼ a3b-2c-1d-2)=
Actividad 14. Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio
(16x2+ 8x3-4x) entre (4x)=
(17m3 + 34m2- 68m6) entre (17m2)=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
55
(24 a3b5 + 48 a2b6 – 96 a4b7) entre (-12ab)=
(23 x4y5z6 + 46 x4y6z4 – 69 x2y5z8) entre (-23x2y5z2)=
(72 a4b5c7 – 36 a3b4c8 – 18 a3b2c8) entre (-18 a2bc4)=
(49 m4n5 – 7 m3n4 + 343 m5n9) entre (-7mn)=
(8x3y4z9 – 16 x4y5z8 + 32 x2y3z2) entre ( -8 x2y2z)=
(16 a3 - 32 a4 -64 a5) entre (-8 a)=
(82 x5y6 + 41 x7y9 + 123 x4y10) entre ( 41xy)=
(4 x6 + 8 x5 – 16 x9 + 32 x7) entre (2x4)=
Actividad 15. Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre polinomios
1) (x2+2x-3)entre(x+3)=
2) (x2-2x-3)entre(x+1)=
3) (14x2-12+22x)entre(7x-3)=
4) (12x3+33xy2-35x2y-10y3)entre(4x-5y)=
5) (x4-x2-2x-1)entre(x2+x+1)=
6) (x5+12x2-5x)entre(x2-2x+5)=
7) (m5-5m4n+20m2n3-16mn4)entre(m2-2mn-8n2)=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
56
8) (x6+6x3-2x5-7x2-4x+6)entre(x4-3x2+2)=
9) (m6+m5-4m4-4m+m2-1)entre(m3+m2-4m-19)=
10) (a5-a4+10-27 a+7 a2)entre(a2+5-a)=
11) (3x3y-5xy3+3y4-x4)entre(x2-2xy+y2)=
12) (2n-2n3+n4-1)entre(n2-2n+1)=
13) (21x5-21y5)entre(3x-3y)=
14) (x10-y10) entre (x2-y2)=
15) (x5+y5) entre (x4-x3y+x2y2-xy3+y4)=
Actividad 16. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios. Donde los valores de
a=1, b=2, c=3, d=4, m= ½, n= 2/3, p= ¼, x=0
1.- (a+b)c-d=
2.- (a+b)(b-a)=
3.- (b-m)(c-n)+4a2=
4.- (2m+3n)(4p+b2)=
5.- (4m+8p)(a2+b2)(6n-d)=
6.- (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)=
7.- b2(c+d)-a2(m+n)+2x=
8.- 2mx+6(b2+c2)-4d2=
9.- (8𝑚
9𝑛+
16𝑝
𝑏) 𝑎 =
10.- x+m(ab+dc-ca)=
11.- 4(𝑚+𝑝)
𝑎÷
𝑎2+𝑏2
𝑐2 =
12.- (2m+3n+4p)(8p+6n-4m)(9n+20p)=
13.- c2(m+n)-d2(m+p)+b2(n+p)=
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
57
14.- (√𝑐2+𝑑2
𝑎÷
2
√𝑝) 𝑚 =
15.- (4p+2b)(18n-24p)+2(8m+2)(40p+a)=
16.- 𝑎+
𝑑
𝑏
𝑑−𝑏×
5+2
𝑚2
𝑝2 =
Actividad 17. Simplifica los siguientes signos de agrupación.
2p2 + {3q2 + (3p2 – 2pq + 3q2) + (-3p2 + 2q2)}=
5w + {3w – (3x + 2w -3x) + 3w}=
32h – 3{h + 2(-5h + 3m + 6)} +27=
4(x + 2y) -9(2x – 7y) -11=
−[−5(6𝑥 − 2𝑦) + 𝑥] + 𝑦 =
[−2(3𝑎 − 9𝑏) − (−5𝑎 + 7𝑏)] − 𝑎 − 6𝑏 =
-4c - [−3(1 − 8𝑐) − (9 − 𝑐)] =
−2{3[𝑧3 + 6𝑧 − 3(3𝑧2 − 4𝑧 + 3)] + 5(2𝑧3 − 2𝑧2 + 4𝑧 ) − 4𝑧 + 9} =
1
3𝑐 − {
3
4𝑑 + 3 (
2
7𝑐 +
1
3𝑐𝑑 −
5
9𝑑) − 4 (−
1
4𝑐 −
2
5𝑑)} =
−1
2[4
7𝑚2 − 2 (
3
8𝑚2 + 4𝑚3) −
5
4𝑚3] + 2 (
1
5𝑚2 − 2) −
1
4𝑚3 =
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
58
Actividad 18.Traza las graficas de las siguientes funciones.
función Gráfica
Y=2x + 3
Y=-3x +1
Y=x2 + x -2
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
59
y=x2 -2
y=x3 -1
Y=2x3 + x2 +5x -2
UNIDAD IV OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS PROF. RICARDO RODRIGUEZ
60
Y= x4 – 4x3 + 8x +1
y=-x4 + x2 + 3
Actividad 19. Algebra con funciones. Realizar en cuaderno
1) Sea f(x)= -2x +6 y g(x)= x2. Calcula f(-2), g(.5), f(x) + g(x)
2) Sea f(x)=x2 + 5x +3 y g(x)= -3x+6. Calcular f(2) - g(-3)
3) Sea f(x)=-3x2 - 5x +8 y g(x)= -3x +4. Calcular f(3) x g(-2)
4) Sea f(x)= -3x3 + 5x2 +2x -1 y g(x)= x2+ 3x +4. Calcular f(-2)/g(4)
5) Sea 𝑥+4
𝑥−1 𝑦 𝑔(𝑥) =
3
𝑥+1 . calcular f(-4) + g(-2)
6) Sea f(x)=𝑥2+𝑥−3
𝑥+2 𝑦 𝑔(𝑥) =
𝑥+8
𝑥−1 . calcular f(-4) – g(9)
7) Sea f(x)= 5x + 8, g(x)=- 4x+8 y h(x)= 2x +4. Calcular f(-1) + g(3) - h(-3)
8) Sea f(x)= - 4x+3, g(x)=+7x-6 y h(x)=6x – 2. Calcular f(-.5) x g(-2) x h(1/3).
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
63
UNIDAD V “PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN” Actividad 1. Desarrolla el cuadrado de un binomio
Regla: (a + b)2= a2+2ab+b2
1) (2x – 3y)2=
2) (4x2 + 5x)2=
3) (5xy – 3x2y2)2=
4) (-3x3 – 4x2)2=
5) (2
3𝑥2 −
4
3𝑥)
2
=
6) (5
6𝑚2 − 3𝑚)
2
=
7) (7𝑥2𝑦3 + 1
7𝑥𝑦)
2
=
8) (10c3- 2/5 d3)2=
9) (-7m2-8n4)2=
10)(-5b3-8c3)2=
Actividad 2. Desarrolla el cubo de un binomio
Regla: (a + b)3= a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
1) (3b-4c2)3=
2) (7x2-8x)3=
3) (9m3-8n2)3=
4) (-3x2+5x)3=
5) (-9m3+5n3)3=
6) (-2b4+7c2)3=
7) (2/5 a2- ¾ b2)3=
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
64
8) (-5/6 m2+ 3/5 m)3=
9) (-2/7 a2 + 6/5 a)3=
10) (-3p4-8)3=
Actividad 3. Producto de dos binomios con término común
1) (b+7) (b-2)=
2) ((m+12) (b-5)=
3) (a+8) (b+4)=
4) (b+15)(b-12)=
5) (x2-9) (b2+7)=
6) (d3-10) (d3-6)=
7) (y2-8) (y2+1)=
8) (c2-9)(c2-3)=
9) (m4-10) (m4+4)=
10)(x4-20) (x4+12)=
Actividad 4. Producto de binomios conjugados.
1) x3-7) (x3+7)=
2) (y4+8) (y4-8)=
3) (m2+2) (m2-2)=
4) (a4+10) (a4-10)=
5) (m3+10) (m3-10)=
6) (x2-8) (x2+8)=
7) (b4-11) (b4+11)=
8) (d2-13) (d2+13)=
9) (f2+15) (f2-15)=
10)(k3+ ½) (f3+ ½)=
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
64
Guía de Factorización
¿Hay la misma literal en todos los términos?
Si
NO
¿Cuántos términos tiene? 2
3
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
1° y 3° términos positivos y raíz cuadrada exacta. Separados por el signo del segundo.
m2 – 2mn + n2= (m – n)2
Trinomio de 2° incompleto
Buscar dos números que sumados den el 2 coeficiente y multiplicados el 3°.
Descomponer el 3: .x2 – 12x – 85=(x – 17)(x + 5)
(-17) + (+5)= -12; (-17)(+5)=-85
Trinomio de 2° completo.
Multiplicar y dividir por el coeficiente cuadrático y usar caso anterior.
2x2 + 11x + 5= (2𝑥+10)(2𝑥+1)
2𝑥1= (𝑥 + 5)(2𝑥 + 1)
Factor Común monomio. Tomar las letras que se
repiten, con el menor exponente y se divide entre cada
término del polinomio. Si hay coeficientes usar MCD.
4xy – 16x2y2 +24x3y3=(4xy)(1-4xy+6x2y2)
4𝑥𝑦
4𝑥𝑦= 1;
−16𝑥2𝑦2
4𝑥𝑦= −4𝑥𝑦;
24𝑥3𝑦3
4𝑥𝑦= 6𝑥2𝑦2
4,16,24 2
2,8,12 2
1,4,6 Mcd=4
Diferencia de cuadrados.
Dos términos separados por un sigo menos, deben
tener raíz cuadrada exacta, ñas raíces se colocan en 2
paréntesis separados por signos de mas o menos.
x2 – y2= (x + y)(x – y)
√𝑥2 = 𝑥; √𝑦2 = 𝑦
Suma o diferencia de cubos. Dos términos con raíz
cúbica exacta, separados por un signo de más o un
menos.
Suma (x3 + y3)= (x + y) (x – xy + y2)
Diferencia: (x3 – y3) =(x – y) (x2 + xy + y2)
Ejemplos:
(a3 + 27)=(a + 3)(a2 – 3 a +9)
√𝑎33= 𝑎; √27
3= 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 el paréntesis y para el
segundo el primer término al cuadrado (a)2=a2 el signo
cambiado y el segundo al cuadrado (3)2=9
(x3 – 1)=(x - 1) (x2 + x + 1) siguiendo el procedimiento
anterior.
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
64
Actividad 5. Factor común Monomio
1) -23 a2 + 46 a4 =
2) 81 x3-9x4 =
3) 100 m2n4+ 200m5n3=
4) -19 a4b5c6 + 38 a5b2c7=
5) a6 – 3 a4 + 8ª3- 4 a 2=
6) 25x7 – 10x5 + 15x3 – 5x2=
7) 12m2n + 24 m2n2 – 36 m4n3 + 48 m5n4=
8) x5 – x4 + x3 – x2 + x=
9) 15 c3d2 + 60 c2d3 =
10)3x2 – 15x2 + 9x=
Actividad 6. Factor común Polinomio
1) 2x(a-1) –y(a-1)=
2) a(x+1) +b(x+1)=
3) x(a+1) -3(a+1)=
4) 2(x-1) +y(x-1)=
5) m(a-b) (a-b)n=
6) 2x(n-1) -3y(n-1)=
7) a(n+2) + n+2 =
8) x(a+1) –a-1 =2
9) a2+1 –b(a2+1)=
10) 3x(x-2) -2y(x-2)=
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
65
Actividad 7. Trinomio Cuadrado Perfecto
1) a2-2ab+b2=
2) a2+2ab+b2=
3) x2-2x+1=
4) y4+1+2y2=
5) a2-10a+25=
6) 9-6x+x2=
7) 16+40x2+25x4=
8) 1+49a2-14a=
9) 36+12m2+m4=
10) 1-2a3+a6=
Actividad 8. Diferencia de Cuadrados Perfectos
1) a2-b2=
2) a2-1=
3) p2-64=
4) 25m2-81=
5) 100b2-144c2=
6) 49m2n2-16p2=
7) 36b4-169m6=
8) 4w4-16m6=
9) 49r2-121t6=
10)a2/9 – b2/4 =
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
66
Actividad 9. Factorización por agrupación de términos
1) a2+ab+ax+bx=
2) am- bm + an - bn=
3) ax-2bx-2ay+4by=
4) a2x2-3bx2+a2y2-3by2=
5) 3m-2n-2nx4+3mx4=
6) x2-a2+x-a2x=
7) 4 a3-1-a2+4 a=
8) x+x2-xy2-y2=
9) 3abx2-2y2-2x2+3 aby2=
10) 3a-b2+2b2x-6ax=
Actividad 10. Trinomio de segundo grado incompleto.
1) x2+2x-10=
2) x2-3x-18=
3) x2+6x+5=
4) x2+9x+8=
5) x2+3x-54=
6) x2-x-56=
7) m2m-132=
8) a2-3 a-70=
9) x2+6x-16=
10) a2+5 a-36=
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
67
Actividad 11. Trinomio de segundo grado completo.
1) 2x2+11x+5=
2) 3x2+7x-6=
3) 10n2-n-2=
4) 6x2-7x-3=
5) 2x2+3x-2=
6) 3x2-5x-2=
7) 6x2+7x+2=
8) 6x2-6-5x=
9) 12x2-x-6=
10) 4x2+15x+9=
Actividad 12. Suma o diferencia de cubos
1) 2x2+11x+5=
2) 3x2+7x-6=
3) 10n2-n-2=
4) 6x2-7x-3=
5) 2x2+3x-2=
6) 3x2-5x-2=
7) 6x2+7x+2=
8) 6x2-6-5x=
9) 12x2-x-6=
10)4x2+15x+9=
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
68
Actividad 13. Obtener el Mínimo Común Múltiplo de los siguientes monomios
1) a2, ab2
2) x2y, xy2
3) ab2c, a2bc
4) a2x3, a3bx2
5) 6m2n, 4m3
6) 9ax3y4, 15x2y5
7) a3, ab2, a2b
8) 3x2y3z, 4x3y3z2, 6x4
9) 3x3, 6x2, 9x4y2
10)10m2, 15mn2, 20n3
Actividad 14. Obtener el Mínimo Común Múltiplo de los siguientes Polinomios
1) 4 ax2 – 8 axy + 4 ay2, 6b2x – 6b2y
2) 3x + 3, 6x – 6
3) 5x + 10, 10x2 – 40
4) x3 + 2x2y, x2 – 4y2
5) 3 a2x – 9 a2, x2 – 6x + 9
6) a3 + a2b, a3 + 2 a2b + ab2
7) x3 – 25x, x2 + 2x – 15
8) (x-1)2, x2-1
9) (x+2)2, x2+1
10)x3 + y3, (x+y)3
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
69
Actividad 15. Desarrolla los siguientes binomios de Newton
1) ( 3x2-4y3)7=
2) (-2m4+5n2)4=
3) (4m5+6n2)6=
4) (9x2y2-8x2y4)5=
5) (-5m4n6+7m3n6)8=
6) (-3x4y5-3x2y7)5=
7) (3m2n4-4m4n2)7=
8) (-3x4y5+2x4y6)5=
9) (8b4+9c4)4=
10) (-3m6n8+5m2n4)7=
Actividad 16. Con el empleo de la formula correspondiente, encuentra el término que se te
pide:
1) (-3m6n8+5m2n4)7; hallar 5° término
2) ( 3x2-4y3)7; hallar el 4° término 3) (-2m4+5n2)4; hallar el 3° término
4) (4m5+6n2)6; hallar el 4° término
5) (9x2y2-8x2y4)5; hallar el 3° término 6) (-5m4n6+7m3n6)8; hallar el 6°
término
7) (-3x4y5-3x2y7)5; hallar el 3° término
8) (-3x4y5+2x4y6)5; hallar el 4° término
9) (8b4+9c4)10; hallar el 7° término
UNIDAD V PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN PROF. RICARDO RODRIGUEZ
70
10) (3m2n4-4m4n2)7; hallar el 5° término
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
72
UNIDAD VI “OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y
RADICALES” Actividad 1. Determina el residuo
1) F(x)=2x3-3x2+5x-7; Calcular f(2)
2) F(x)=3x4-5x3+2x2-7x+8; Calcular f(1)
3) F(x)=x5-2x4-3x2-2x-8; Calcular f(3)
4) F(x)=2x3-3x2+3x-2; Calcular f(1/2)
5) F(x)=9x4-3x2+2x-1; calcular f(1/3)
6) F(x)=x3-2x2+3x-2; f(0.2)
7) F(x)= 3x3 – 5x2 +6x -1; calcular f(.2)
8) F(x)= -4x4 – 5x3 + 3x2 + 7x -2, calcular f(-3)
9) F(x)= 7x2 – 5x +3; calcular f(1/4)
10) F(x)= -3x4 – 5x2 +7x -1; calcular f(1/8)
Actividad 2. En cada ejercicio empleando el teorema del factor comprueba si el binomio dado es
raíz del polinomio.
1) x-1; f(x)=x3+2x2-4x+1
2) x+2; f(x)=x4-3x3-2x2+5x-9
3) x+3; f(x)=x5+4x4-7x3+5x-3
4) x-5; f(x)=x4-5x3-x+5
5) x-2; f(x)=x6-5x5+3x3-x2+7
6) x-3; f(x)= x3 + 3x2+ 5x + 3
7) x+2; f(x)= x5 -32
8) x-5; f(x)= x2 + x -30
9) x+7; f(x)= x2 + 8x +7
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
73
10) x-4; f(x)= x2 + 14x - 72
Actividad 3. Reducir las siguientes fracciones
1) 40𝑥8
−8𝑥3 =
2) −16𝑎12
−8𝑎6 =
3) −68𝑚4
−43𝑚2 =
4) 62𝑚9𝑛10
−31𝑚7𝑛5 =
5) 𝑥2−𝑦2
𝑥−𝑦=
6) 𝑥2+6𝑥−27
𝑥+9=
7) 2𝑥2+6𝑥−8
𝑥+4=
8) 𝑥3−125
𝑥−5=
9) 𝑥2+2𝑥+1
𝑥2+5𝑥+4=
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
74
10) 𝑥2+𝑥−20
𝑥2−25=
Actividad 4. Realiza las siguientes Sumas de fracciones.
1) 5
𝑥+
7
𝑥2=
2) 2𝑥
𝑥2−16+
8
𝑥2−16=
3) 6𝑛
𝑛−5+
30
𝑛−5=
4) 9𝑏−5
𝑏−1+
7𝑏−3
𝑏−1=
5) 10
𝑎−5+
2𝑎
5−𝑎=
6) 𝑎
𝑎2−4+
1
𝑎+2=
7) 4
𝑥+5+
7
𝑥2−25=
8) 8𝑎
𝑎2−8𝑎+12+
4
𝑎−2=
9) 6𝑥
𝑥2−10𝑥+24+
18
6−𝑥=
10) 5
𝑥3+
4
𝑥2+
1
𝑥=
Actividad 5. Realiza las siguientes restas de fracciones
1) 4
𝑥+5−
𝑥+2
6=
2) 𝑥+9
5−
8
𝑥−1=
6) 5𝑥
𝑥2−16−
7
𝑥−4=
7) 8𝑚
𝑚2−25−
9
𝑚+5=
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
75
3) 6𝑥
𝑥2−7𝑥+10−
1
𝑥−5=
4) 5
𝑥3 +4
𝑥2 −1
𝑥=
5) 49𝑚6𝑛8
7𝑚4𝑛5 −15𝑚7𝑛7
14𝑚𝑛=
8) 𝑏
𝑎2−𝑏2 −𝑏
𝑎2+𝑎𝑏=
9) 2𝑎−3
6𝑎+9−
𝑎−1
4𝑎2+12𝑎+9=
10) 𝑥+1
𝑥2+𝑥+1−
𝑥−1
𝑥2−𝑥+1=
Actividad 6. Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones
1) 2𝑥+4
𝑥+𝑦𝑥
𝑥2−𝑦2
4𝑥+8=
2) 𝑦2+8𝑦+15
𝑦2−25𝑥
4𝑦−20
𝑦2+3𝑦=
3) 7𝑎+7𝑏
14𝑎2 ∗𝑎2−𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2 =
4) 𝑦3+𝑦2
𝑦2−1∗
4𝑦2−4𝑦
𝑦3 =
5) 𝑚3+𝑚2𝑛
𝑚𝑛−𝑚2 ∗𝑚3−𝑚2𝑛
𝑚3𝑛+𝑚4 =
6) 𝑦2−9𝑦+20
25−𝑦2 ∗𝑦2+5𝑦
𝑦2−4𝑦=
7) 𝑥3+64
𝑥2−16∗
6𝑥−24
𝑥3−4𝑥2+16𝑥=
8) 𝑥2+3𝑥−𝑏𝑥−3𝑏
𝑥2−𝑏2 ∗𝑛𝑥+𝑛𝑏
4𝑥+12=
9) 𝑥2−9
2𝑥2+2𝑥∗
4𝑥−4
𝑥2+2𝑥−3∗
1
𝑥−3=
10) 5𝑥2+13𝑥−6
4−25𝑥2 ∗10𝑥+4
9−𝑥2 =
Actividad 7. Realiza las siguientes divisiones de fracciones
1) 2𝑦−14
𝑦2−2𝑦−35÷
6𝑦−30
𝑦2−25=
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
76
2) 9𝑥−27
15𝑥+30÷
6𝑥2−18𝑥
14−7𝑥=
3) 𝑥2+7𝑥+10
𝑥2+5𝑥÷
𝑥2−4
2𝑥=
4) 𝑥2+6𝑥+8
𝑥2+4𝑥÷
4−𝑥2
2𝑥=
5) 𝑥2−2𝑥−8
4𝑥−𝑥2 ÷4−𝑥2
5𝑥−10=
6) 𝑥3+8
𝑥2−4÷
𝑥3−2𝑥2+4𝑥
2𝑎−𝑎𝑥=
7) 𝑥2−4𝑥−21
𝑥3+27÷
7𝑥−𝑥2
𝑥3𝑦−3𝑥2𝑦+9𝑥𝑦=
8) 𝑥2−9
𝑥3−27÷
2𝑥3+6𝑥2
𝑥3+3𝑥2+9𝑥=
9) 3𝑥2+11𝑥−20
8𝑥−40÷
9𝑥2−16
6𝑥+8=
10) 7𝑥2−17𝑥+6
𝑥2−4÷
6−14𝑥
2𝑥2+8𝑥+8=
Actividad 8. Realiza las siguientes fracciones complejas
1) 𝑎−
𝑎
𝑏
𝑏−1
𝑏
=
2) 𝑥2−
1
𝑥
1−1
𝑥
=
3) 𝑎
𝑏−
𝑏
𝑎
1+𝑏
𝑎
=
4) 1
𝑚+
1
𝑛1
𝑚−
1
𝑛
=
5) 𝑥+
𝑥
2
𝑥−𝑥
4
=
6)
𝑥
𝑦−
𝑦
𝑥
1+𝑦
𝑥
=
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
77
7) 𝑥+4+
3
𝑥
𝑥−4−5
𝑥
=
8) 𝑎−4+
4
𝑎
1−2
𝑎
=
9) 2𝑎2−𝑏2
𝑎−𝑏
4𝑎2+𝑏2
4𝑎𝑏+1
=
10) 2+
3𝑎
5𝑏
𝑎+10𝑏
3
=
Actividad 9. Sacar los factores de los radicales
1) √18=
2.- 3√48 =
3.- √50𝑥2𝑦=
4.- √44𝑥3𝑦7𝑧5 =
5.- 2 √16𝑥2𝑦73=
6.- 1
3 √81𝑎4𝑏
4=
7.- √16𝑎15𝑏204=
8.- √100𝑥10𝑦30𝑧15 =
9.- 2
5 √32𝑥2𝑦115
=
10.- 2xy √128𝑥2𝑦63=
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
78
Actividad 10. Reduce los siguientes radicales semejantes
1.- 3√2 + 5√2 − 7√2 =
2.- 9√3 − 11√3 + 5√3 =
3.- 4√2 − 7√2 − 10√3 + 13√3 =
4.- 2
3√7 −
3
4√7 +
3
8√7 =
5.- 7√23
−1
2√22
+3
4√2 =
6.- 3𝑎√5 − 2𝑏√3 + 8𝑎√5 + 5𝑏√3 =
7.- 2√3 − 6√3 + 10√3 − √3 =
8.- -5√5 + 11√5 + 12√5 − 22√5 =
9.- 1
4√𝑦+
2
3√𝑦 −
3
4√𝑦=
10.- 8√𝑧3 − 5√𝑧3 + 9√𝑧3 + 10√𝑧3 =
Actividad 11. Suma los siguientes radicales semejantes
1.- √45 − √245 + 4√80 =
2.- √27 + 5√48 − 7√75 + 8√3 =
3.- −3√24 + 8√54 − 3√96 + 5√150 =
4.- -7√80 − 2√252 + 3√405 − 3√500 =
5.- 7√450 − 4√320 + 3√80 − 5√800 =
6.- 1
2√12 −
1
3√18 +
3
4√48 +
1
6√72 =
7.- 1
7√147 −
1
5√700 +
1
10√28 +
1
3√2187 =
8.- √1
3− √
16
3− √
25
3− 7√
64
3=
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
79
9.- √25
7− 7√
81
7− 5√
64
7+ 6√
36
7=
10.- 13√25
6− 3√
49
6− √
100
6+ 5√
4
6=
Actividad 12. Multiplica los siguientes radicales
1) √3 × √6 =
2.- 5√21 × 2√3 =
3.- 1
2√14 ×
2
7√21=
4.- √122
× √93
=
5.- 5
6√153
× 12√503
=
6.- 5√12 × 3√75 =
7.- 3√6 × √14 × 2√35 =
8.- 1
2√21 ×
2
3√42 ×
3
7√22 =
9.- 3√453
×1
6√153
× 4√203
=
10.- 5
6√
7
8×
3
5√
4
7=
Actividad 13. Divide los siguientes radicales
1) 4√6 ÷ 2√3 =
2.- 2√3𝑎 ÷ 10√𝑎 =
3.- 1
2√3𝑥𝑦 ÷ √𝑥=
4.- √75𝑥2𝑦3 ÷ 5√3𝑥𝑦 =
5.- 3√16𝑎63÷ 4√2𝑎23
=
6.- 5
6√
1
2÷
10
3√
2
3=
7.- 4x√𝑎3𝑥2 ÷ 2√𝑎2𝑥3 =
8.- 2√81𝑥73÷ 3√3𝑥23
=
UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
80
Actividad 14. Racionaliza los siguientes radicales
1) - 8
√2=
2.- √7
√5=
3.- 6𝑥
√𝑥=
4.- 3
√5+√2=
5.- 5+√2
5−√2=
6.- 5
√2−√3=
7.- 2+√6
4−√6=
8.- √6−2√7
√2+√7=
9.- 2𝑥
√𝑥−1+√𝑥+2=
10.-√𝑝+√𝑝+1
√𝑝−√𝑝+1=
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
81
UNIDAD VII “ECUACIONES Y DESIGUALDADES” Actividad 1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
2x+8= -9x-14
-5x+18=-10x-7
-12x+16=-9x-14
+6x-13=-19x+12
-2x+5-13x+9=-19x+14-3x -4x+8-7x+12=-17x+18-12x+19
-2(3x+6)-3(-5x+7) – (6x+7)=-5(2x-4)
5(-6x+8)-9(5x+3)=-7(-4x+2)-5(8x+2)
(x+3)(x-2)-(x+5)(x+4)=x(x+4)-x2 x(x+5)-(x+4)(x-2)=7x+8
Actividad 2. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores compuestos.
1) 3
5+
3
2x−1=
2) 2
4x−1=
3
4x+1
3) 5
x2−1=
1
x−1
4) 3
x+1−
1
x2−1= 0
5) 5x+8
3x+4=
5x+2
3x−4
6) 10x2−5x+8
5x2+9x−19= 2
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
82
7) 1
3x−3+
1
4x+4=
1
12x−12
8) x
4−
x2−8x
4x−5=
7
4
9) 2x−9
10+
2x−3
2x−1=
x
5
10) (3x−1)2
x−1=
18x−1
2
Actividad 3. Despeja la incógnita que se te señala.
ecuación despeja
𝐶 = 5
9 (𝐹 − 32)
“F”
P=9𝐶
𝐸 “c”
PV= 𝐴
𝑀 𝑅𝑇 “R”
S=𝐴
1−𝑅 “R”
F=G𝑀1 𝑀2
𝑅2 “M2”
A=B + (N-1)D “D”
A= 2AR2 + 2BRH “H”
R=𝑅1 𝑅2
𝑅1+ 𝑅2 “R1”
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
83
Actividad 4. Problemas que se resuelven mediante el planteamiento de una ecuación de
primer grado.
1) La edad de Pedro es el triple de la edad de Beatriz y ambas edades suman 40 años.
Encuentra las edades de ambos.
2) El triple de la edad de Julián es equivalente a su edad aumentada en 38 años. ¿cuál
es su edad?
3) La suma de las edades de tres primos es de 96 años. Si el mayor de ellos tiene 21
años más que el menor, y el segundo es 15 años menor que el mayor, ¿qué edad
tiene cada uno de ellos?
4) La edad de Rosa es la mitad de la edad de Martha, la edad de Gaby es el triple de la
de Rosa, y Ana es un año menor que el doble de la edad de Gaby. Si las cuatro edades
suman 47 años, ¿qué edad tiene Martha y Ana?
5) Gasté 2/5 del dinero que tenía y presté 5/6 del que me quedo. Si aún tengo $500.00,
¿cuánto tenía al principio?
6) Rodrigo tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de $27 800.00, una
de sus inversiones es de $70 000.00 a una tasa de 9% anual, la segunda es de $100
000.00 al 11%. ¿Cuál es la tasa de interés anual que recibe por la tercera inversión
de $120 000.00?
7) Los Vázquez tienen $350 000.00 invertidos a una tasa anual de 14% y otra cantidad
a 10.5%. si su ingreso anual sobre el total invertido es equivalente a una tasa de 12%
sobre el total, ¿cuánto invirtieron a la tasa de 10.5%?
8) Rafael puede completar un trabajo en el doble de tiempo que Marisol. ¿Cuánto
tiempo lo realizan juntos si Marisol sola lo realiza en 35 minutos?
9) María recoge su sembrado de maíz en 8 horas y Pancho, su esposo. Hace el mismo
trabajo en 6 horas. ¿Qué tan rápido pueden recoger la siembre si trabajan los dos
juntos?
10) La edad actual de Alberto es doble que la de Benjamín, y hace 10 años la edad de
Alberto era el triple de la de Benjamín. Hallar las edades actuales.
11) La edad de Ana es el triple de la de Beatriz y dentro de 5 años será el doble. Hallar
las edades actuales.
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
84
12) Una alberca se llena con un grifo en 6horas, mientras que con otro grifo se llena en
4.5 horas. Si llenas la alberca abriendo los dos grifos al mismo tiempo, ¿cuánto
tiempo tarda en llenarse la alberca?
13) ¿Cuántos litros de agua deben agregarse a8 litros de una solución de sal al 12% y
agua, para obtener otra al 5%.
14) ¿Cuántos litros de una solución de sal al 20% de agua se deben agregar a 12 litros
de la misma sustancia al 8% para obtener otra igual al 14%?
15) La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 15. Si se invierten sus
cifras el número que resulta es 27 unidades mayor que el original. Hallar el número
original.
Actividad 5. Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
1) |4𝑥 + 46| = 10
2) |9 − 2𝑥| = 5
3) |2𝑥 − 3| = 7
4) |𝑥 − 1| = −5
5) |2𝑥 − 3| = 7
6) |2𝑥 + 1| = 7
Actividad 6.- resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.
1) √5𝑥 + 14 = 2
2) √5𝑥 − 6 + 4 = 16
3) √4 − 5𝑥 = 3
4) 3 √𝑥 + 6 + 25 = 40
5) 7 √2 + 𝑥 − 8 = 20
6) √5𝑥 − 1 = 2
7) √𝑥 − 8 = 2
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
85
8) √𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 9 − 𝑥
9) √3𝑥 − 5 + √3𝑥 − 14 = 9
10) √9𝑥 + 7 − √𝑥 − √16𝑥 − 7 = 0
Actividad 7. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2° con fórmula general
1) x2+x-6=o
2) 3x2-5x+2=0
3) 4x2+3x-22=0
4) x2=16x-63
5) 5x2-7x-90=0
6) 6x2=x+222
7) x+11=10x2
8) 49x2-70x+25=0
9) 12x-7x2+64=0
10)2x2 + 9x + 4=0
Actividad 4. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2° completando cuadrados.
1) x2-3x+2=0
2) x2-2x-15=0
3) x2=19x-58
4) x2+4x=285
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
86
5) 5x(x-1)-2(2x2-7x)=-8 6) x2-(7x+6)=x+59
7) (x-1)2+11x+199=3x2-( x-2)2
8) (x-2)(x+2)-7(x-1)=21
9) (x-2)(x+2)-7(x-1)=21 10)2x2-(x-2)(x+5)=7(x+3)
Actividad 5. Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización
1) x2-x-6=0
2) x2+7x=18
3) 8x-65=-x2
4) x2=108-3x
5) 2x2+7x-4=0
6) 6x2=10-11x
7) 20x2-27x=14
8) 7x=15-30x2
9) 60=8x2+157x
10) (x-1)-5(x-2)=2
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
87
Actividad 6. Resuelve las siguientes desigualdades de 1°
x-5<2x-6 5x-12<3x-4
x-6<21-8x 3x-14>7x-2
2𝑥 −5
3>
𝑥
3+ 10
3𝑥 − 4 +𝑥
4<
5𝑥
2+ 2
(𝑥 − 1)2 − 7 > (𝑥 − 2)2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 26 < (𝑥 + 4)(𝑥 + 5)
3(𝑥 + 2) + 2𝑥(𝑥 + 3)> (2𝑥 − 1)(𝑥 + 4)
6(𝑥2 + 1) − (2𝑥 − 4)(3𝑥 + 2)< 3(5𝑥 + 2)
Actividad 7. Resuelve las siguientes desigualdades de 2°
x2+x-6<0
x2-25>0
(x+5)(x-2)>0
x2-9x+14>0
2x2-x-3>0
x2-2x-15≥ 0
UNIDAD VII ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
88
5x2-9x-2>0
x2-6x-16<0
(x-2)2<0
x2-6x+5≤ 0
6) 7)
8)
9)
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
89
UNIDAD VIII “SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES” Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con método de suma y resta.
Actividad 1.
x + y=5 x – y=1
x + y=4 2x + 4y=10
x + 6y=27 7x – 3y =9
3x – 2y=7 2x – y=4
3x + 5y=7 2x – y=4
7x – 4y=5 9x + 8y=13
9x + 16y=7 4y – 3x=0
14x – 11y=-29 13x – 8y=30
15x – 11y=-87 -12x -5y=-27
7x + 9y=42 12x + 10y=-4
Actividad 2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución
15x + 11y=32 7y – 9x=8
10x + 18y=-11 16x – 9y=-5
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
90
4x + 5y=5 -10x – 4y=-7
32x – 25y=13 16x +15y=1
-13x + 11y= - 163 -8x + 7y=94
5x + 6y =20 4x – 3y= -23
2x + 5y=-24 8x – 3y=19
6x – 5y=-9 4x + 3y=13
7x – 15y=1 -x -6y=8
3x – 4y=41 11x + 6y =47
Actividad 3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Igualación
12x – 14y=20 12y – 14x=-19
15x – y=40 19x + 8y=236
36x – 11y=-14 24x – 17y=104
12x – 17y=104 15x + 19y=-31
8x – 5=7y -9 6x= 3y + 6
x – 1= y +1 X -3=3y -7
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
91
3(x + 2) =2y 2(y +5)=7x
x -1= 2(y + 6) x+6= 3(1 -2y)
30 – (8 – x)=2y +30 5x – 29= x – (5-4y)
3x – (9x + y) = 5y – (2x + 9y) 2y – 3(x + 5) = 3y + 3(x -4)
Actividad 4. Resuelve los siguientes sistemas por determinantes.
x + 2y=8 2x + y= 7
2x + 2y=-6 x – 3y =5
2x + 3y=3 3x – 2y=11
2x + 9y=8 3x + 10y=5
2x – 2y=-6 3x + 3y=-9
4x – 8y=-4 2x + 3y=12
3x + 2y=-4 4x + 9y=1
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
92
8x + 3y=30 6x – 2y=14
5x – 7y=17 X + 9y=-7
4x + 5y=-17 2x – 3y=19
Actividad 5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de 3 x 3
1)
𝑥 +4𝑦 −𝑧 = 62𝑥 +5𝑦 −7𝑧 = −93𝑥 −2𝑦 +𝑧 = 2
2)
𝑥 +𝑦 +𝑧 = 6𝑥 −𝑦 +2𝑧 = 5𝑥 −𝑦 −3𝑧 = −10
3)
𝑥 +𝑦 +𝑧 = 122𝑥 −𝑦 +𝑧 = 7𝑥 +2𝑦 −𝑧 = 6
4) 𝑥 −𝑦 +𝑧 = 2𝑥 +𝑦 +𝑧 = 4
2𝑥 +2𝑦 −𝑧 = −4
5)
2𝑥 +𝑦 −3𝑧 = −1𝑥 −3𝑦 −2𝑧 = −12
3𝑥 −2𝑦 −𝑧 = −5
6)
2𝑥 +3𝑦 +𝑧 = 16𝑥 −2𝑦 −𝑧 = −143𝑥 +𝑦 −𝑧 = 1
7)
5𝑥 −2𝑦 +𝑧 = 242𝑥 +5𝑦 −2𝑧 = −14𝑥 −4𝑦 +3𝑧 = 26
8)
4𝑥 +2𝑦 +3𝑧 = 83𝑥 +4𝑦 +2𝑧 = −12𝑥 −𝑦 +5𝑧 = 3
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
93
9)
6𝑥 +3𝑦 +2𝑧 = 129𝑥 −𝑦 +4𝑧 = 37
10𝑥 +5𝑦 +3𝑧 = 21
10)
2𝑥 +4𝑦 +3𝑧 = 310𝑥 −8𝑦 −9𝑧 = 04𝑥 +4𝑦 −3𝑧 = 2
Actividad 6. Resuelve los sistemas de ecuaciones no lineales.
1) 2x + 3y -2=0; y= x2 + 4x +3
2) x – 2y +1=0; y= - x2 – 5x +6
3) 3x + 4y -2=0; y= 3x2 + 2x -3
4) 4x – y +3=0: y= 5x2 + 2x +1
5) -5x + 3y +2=0; y= 3x2 – 2x +1
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
94
6) 8x – 5y +9=0; y= -4x2 +2x +1
7) 7x – 2y +3=0; y=2x2+ 6x -2
8) 3x + 5y -2=0; y=3x2 x -2
Actividad 7. Resuelve los siguientes sistemas por el método gráfico.
1) x-y=1;
x+y=7
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95
2) x-2y=10;
2x+3y=-8
3) 5x-3y=0;
7x-y=-16
4) 3x=-4y;
Y-4=x+2
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
96
5) 3x+4y=15
; 2x+y=5
6) 5x+2y=16
4x+3y=10
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
97
7) x+8=y+2
Y-4=x+2
8) 3𝑥
5+
𝑦
4 = 2;
𝑥 − 5𝑦 = 25
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
98
Actividad 8. Encuentra la región solución de cada sistema de desigualdades.
Y< 3x + 1 y>-2x +3
Y> 3x+2 y≤ −4𝑥 + 1
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
99
Y> .3x +5 y≤ −3𝑥 + 3
Y< x +5 y>-3x + 4
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
100
𝑦 < −2𝑥 + 3 𝑦 ≥ 𝑥 + 3
Y<x + 7 y≥ −.5𝑥 + 4
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
101
Y< -4x + 5 y≥ −.25𝑥 + 2
Actividad 9.- resuelve los siguientes problemas con el planteamiento de un
sistema de ecuaciones lineales.
1) Ernesto tiene siete años menos que el triple de la edad de su hermano. La suma de
las edades es de 33 años. Encuentra la edad de cada uno de ellos.
2) ¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 35% deben mezclarse con una solución
de 70% para obtener 15 litros de una solución al 55%?
3) Un fabricante de juguetes de plástico invierte $ 64 330.00 en un inyector de plástico
para elaborar un tipo específico de juguete. el costo que tiene fabricar cada juguete
es de %58.00 y lo vende en $110.00 cada uno en la temporada navideña. ¿Cuántos
juguetes debe vender para que su negocio alcance el punto de equilibrio?
4) El ancho de un terreno es 70% de su largo, ¿Qué dimensiones tiene el terreno, si su
dueño ocupó 280 m de malla ciclónica para hacer su barda?
5) Un matrimonio invirtió $ 25 000.00 en dos tipos de pagarés; uno de ellos paga 5.4%
y el otro 6.2% de interés simple. Si el matrimonio recibió $ 1 442.00 de interés por
un año, ¿qué cantidad invirtió en cada tipo de pagaré?
6) Brisa tiene dos tercios de la edad de Josefina. en siete años, Brisa tendrá tres cuartos
de la edad de Josefina. ¿Qué edad tiene ambas actualmente?
UNIDAD VIII SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES PROF. RICARDO RODRIGUEZ
102
7) Cuatro lápices y dos plumas cuestan $ 16.00; seis lápices y cinco plumas cuestan
$30.00. indica el precio de una pluma y de un lápiz.
8) El perímetro de un patio rectangular es de 16m. Si un cuarto de su largo es igual al
doble de su ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?
9) La suma de tres números es 20. La diferencia de los dos primeros es 3 y el tercero es
el triple de la diferencia de los otros dos, disminuida en 2 unidades. Los números
son.
10) Tres amigos gastaron cierta cantidad de dinero en un restaurante. la suma del gasto
del primero con el del segundo es de $20.00 más que el gasto del tercero; la suma
del gasto del primero y del tercero es de $60.00 más que el segundo; por último, el
segundo y el tercero gastaron juntos $100.00 más que el primero. ¿Cuánto gasto
cada uno?
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