IEP “ BLAS PASCAL ” - CHICLAYO ALGEBRA
AV. SAENZ PEÑA – 823- CHICLAYO -- TELF: (074) 272515 1
Mirtha Mirella Castillo Mora Profesora de Algebra
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ÍNDICE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1. Definición
2. Clasificación
TEORÍA DE EXPONENTES
1. Propiedades
POLINOMIOS
1. Grado relativo y absoluto
2. Grado de operaciones con expresiones algebraicas
3. Polinomios Especiales
PRODUCTOS NOTABLES
1. conceptos
2. principales productos notables
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EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
LEYES
FUNDAMENTALES
1. Producto de Potencias de Igual
Base: xa . x
b = x
a+b .
2. Cociente de Potencias de Igual
Base: ba
b
a
xxx
x 0
3. Producto de Potencias de
Diferente Base: .xa . y
a = (x . y)
a .
4. Cociente de Potencias de Bases
Diferentes a
a
a
y
x
y
x. y 0
5. Potencia de Potencia
. cba
cba xx .. .
OBSERVACIÓN: (XA)
B = (X
B)
A = X
A . B
6. Exponente Negativo
. aa
xx
1 .
. aa
xy
yx . x 0, y 0
7. Exponente Nulo o Cero
. x0 = 1 . x 0
8. Exponente Fraccionario
. b ab
a
xx . b 0
9. Producto de Radicales
Homogéneo. aaa yxyx .. .
10. Potencia de un Radical
. a cb
ca b xx .
.
11. Raíz de Raíz
. cbaa b c xx ..
.
b aa b xx
12. Casos Especiales
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1....... n Mn n n mmm AradAAA
1...... nn n n BradBBB
. aa
....a aa aa .
1.......111 nradnnnnnn
nradnnnnnn ......111
nx....xx
n nx
bb
....a bb aa
n2 1n2xx......xxx
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Después de reducir :
2 3
1
1x
x
xx x
x x+
++ +
+ . La expresión
que resulta es :
a) Racional entera
b) Racional fraccionaria
c) Irracional d) Exponencial
e) Transcendente
2. Después de reducir:
( )1 2 5x xx x x x
- --
.El resultado se
puede clasificar como:
a)E.A.R.E b) E.A.R.F c) E.A.I
d) Expresión cúbica e) Expresión
exponencial
3. La expresión
1
4 22.x x xy xyz se
clasifica como:
a) Expresión algebraica racional
entera
b) Expresión algebraica racional
fraccionaria
c) Expresión algebraica irracional
d) Expresión cúbica
e) Expresión exponencial
4. Indicar verdadero o falso
I.
23 2
3
1 2
5
x x
x , tiene como
grado absoluto 2
II. 35 4 22 3 2x x x , tiene
como grado absoluto 15
III. 6
2 52x x x ,tiene como grado
absoluto 30
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IV.
5 2 6
2 2
x y z
x yz , tiene como grado
absoluto 8
a) FVVV b) VFFV c) VVFF
d) VFVF e) VVVV
5. Sea el monomio :
( ) ( ) ( ) ( )23 2 23 4,
m mnM x y xy xy x y=
Si sus grados relativos a " "x y a
" "y son 4 y 9 respectivamente.
Calcular: m n
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
6. Dada la expresión: 2 58 2 cos log 9x
xP x x x x
Podemos afirmar que es:
I. E.A.R.E
II. E.A.R.F
III. E.A.I
IV. E.A homogénea
V. Expresión trascendente
a) I b) II c) III d) IV e) V
7. De un juego de naipes de 52
cartas, se sacan “x” y 3 más, luego el
doble de lo anterior y 4 más y
finalmente la tercera parte de las
restantes ¿Cuántas quedan al final?
A) 3x-2 B) 39-3x C) 45-x
D) 26-2x E) 26+x
8. Reducir la siguiente expresión si
se sabe que los términos son
semejantes
131 b ba a xxaxabxxb
A) 311 x B) Cero C) 24x1/3
D) 333 x E) 3 x
9. Para cuántos valores de " "n la
expresión en variables , ,x y z
5 2 53n n nNx y xz x yz es una
. . .E A R E
a) 4 b) 5 c) 6 d)7 e) 8
10. Reducir la siguiente expresión
algebraica si se sabe que es racional
entera
111
111
2
xnxm
xm
A) 2x–1 B) x+2 C) 2x–2
D) 2x+2 E) 2x+1
11. Clasificar la siguiente expresión:
x
x
x
xx
x
x
ba
ab
ab
ba1
2
21
2
2
Rpta.
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12. Calcular la suma de los
valores enteros distintos de “n”
que convierten a la siguiente
expresión en racional entera.
(x8 – n
+ xn – 3
)2 + x
n
Rpta.
13. Indicar las expresiones irracionales
en:
I)12x
--II)
21x-- III)
22x--
IV)( )2
2x-
-
a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo II
d) I y III e) II y IV
Determinar el valor de " "m n+ en:
5 1/4 5 5 34, 3 2 1 4 2E x y m x n y x y x y
Sabiendo que es racional entera.
a) -1 b) -2 c) -5 d) 5 e) 1
14. Qué valor como mínimo debe
tener “n” para que la expresión sea
fraccionaria nxxxxx 111
Rpta.
15. Calcular la suma de los valores
enteros de " "n que convierten a la
expresión: 6n x en fracción
fraccionaria
a) -6 b) -4 c) -12 d) -3 e) -7
16. 23 . 4
3 = (2 . 4)
3
17. 3 . 6 = (3 . 5)
18. 4
8
2
2 = 2
8–4 = 2
4
19. 5
6
2
2 = 2
–6–(–5) = 2
–1
20. 13 0xy
21. 15
y3x2
0
22. 3
3
3
3
4
2
4
23. 3
3
3
2
8
2
8
24. 2
12 1
25. 2
222
2
3
2
3
3
2
26. 3333 205.45.4
27. 5555
6
5
3
5.
2
1
3
5.
2
1
28. 3 23
2
xx
29. 3 53
5
xx
30. 243 4 xx
31. 123 44 3 101010
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32. Si: x, y Z+, tal que:
y- x 2; hallar el valor más
simple de:
xyyxxy
xyxyyx
xyyx
xyyx
..
..22
Rpta.
33. Simplificar:
2
12
22222
90
39a
a
aa
M
Rpta.
34. Simplificar:
yx yx
yx
y
yxx
E3
3.6322
35. Rpta.
36. Efectuar::
1 11..cb cbcbb aaa
A) ab B) a
ba C) aa
b
D) aa E) a
c
37. Reducir:
yxyx
yx
yxx1
3
2.
6
1218
2
3
A) 3 B)
3
1
C) 2
D) 2
1
E) 6
38. Si: 2xxx ; hallar el valor de:
112 xxx
xxxx xxS
A) 17 B) 18 C) 19
D) 20 E) 21
39. Resolver la exponencial: 382739 327
xx
A) 13
8 B)
12
5 C)
24
7
D) 13
5 E)
3
2
40. Si: x R+ - {1}; halle el
valor de “n” que verifica la
igualdad:
3 4
n3
x
1
xxx
1
Y coloque como respuesta
el valor de (n + 3) / 7
A) 3 B) 2 C) 5
D) 4 E) 1
41. Si se cumple:
.......3535a
.......5353b
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Hallar el valor que toma: ab
A) 13 B) 12 C) 15
D) 14 E) 11
42. Simplificar:
xx
xxxxx
1
111
El exponente De “x” es
A) 1/7 B) 1/8 C) 1/9
D) 2 E) ½
43. Indique el exponente de “x” luego
de reducir:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
radn.......xxxR
A) -2 B) 1/2 C) -1/2
D) 0 E) -1
44. Calcular el valor de: 4
65
510
5,0
1
548
1812E
A) 3 B) 8 C) 6
D) 9 E) 1
45. Simplificar:
nmmnmm
mnmn
24 212
4 22
3.5.3
3.3.15
A) 1/13 B) 15 C) 1
/15
D) 13 E) 11
POLINOMIOS
GRADO DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
El grado es una característica de las
expresiones algebraicas, relacionado
con los exponentes.
Grado en un Monomio
1. Grado Absoluto (G.A.)
Se obtiene al sumar los exponentes de
las variables.
2. Grado Relativo (G.R.)
El grado relativo a una variable es el
exponente de dicha variable. Ejm:
F(x,y) = a4x
5y
8
G.R.(x) = 5 ; G.R.(y) = 8
G.A.(F) = 8 + 5 = 13
Grado en un Polinomio
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1. Grado Absoluto: Está dado por el
mayor grado de sus términos.
2. Grado Relativo: El grado relativo
de una variable es el mayor exponente
de dicha variable.
Ejm: P(x,y) = 6x8y – 3x
7y
3 + 2xy
5
G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 5
G.A.(P) = 10
3. Cálculo de Grados en
Operaciones: En la adición o
sustracción se conserva el grado del
mayor.
Ejm: Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b, Tal que: a > b
Grado [P(x) Q(x)] = a
En la multiplicación los grados se
suman (x4 + x
5y + 7) (x
7y + x
4y
5 + 2)
Grado: 6 + 9 = 15
En la división los grados se restan
3334
338 7
yxyzx
xyxxy Grado: 9 – 6 = 3
En la potenciación el grado queda
multiplicado por el exponente
(x3y – x
2y
6 + z
9)
10
Grado: 9 . 10 = 90
En la radicación el grado queda
dividido por el índice del radical.
3 12637 72 xyxxy Grado 43
12
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Hallar el valor numérico de:
abc
xy4R
2
; si se cumple:
1zc
b
y
yb
ax
A) 2 B) 0 C) 4
D) 5 E) 1
2. Hallar el valor de “n” si el grado
de P y Q es igual a 3 y 4
respectivamente, y se conoce que el
grado de la expresión:
3n45
n257
QP
QP ; es igual a 4.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3. Determine el coeficiente de:
R(x; y) =
m
3
1 . 9
n . x
3m + 2n y
5m – n
Sabiendo que su grado absoluto es 10
y el grado relativo a “x” es 7
a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) N.A.
4. Si el monomio:
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P(x) = )13(42
)13()12(3 .n
nn
xn
xx
Es de sexto grado. Calcular el
coeficiente de dicho monomio
a) 25 b) 1/5 c) 1/25 d) 1/5 e) 1/27
5. Indicar el coeficiente del
monomio: 7 325 32 nnn nxxxxM
Si el grado del mismo es “2n” (n
Z+)
A) 3 B) 8 C) 12
D) 24 E) 32
6. Si {a, b, c, d} N y además:
abcd...x
xxxxP
2d6
31a2a2bab3ccab
Es un polinomio completo y ordenado
(b>1), señale su término
independiente
A) 36 B) 56 C) 30
D) 60 E) 120
7. Clasificar la siguiente
expresión:
x
x
x
xx
x
x
ba
ab
ab
ba1
2
21
2
2
Rpta.
8. Calcular la suma de los
valores enteros distintos de “n”
que convierten a la siguiente
expresión en racional entera.
(x8 – n
+ xn – 3
)2 + x
n
Rpta.
Rpta.
9. Hallar el valor numérico (V.N.) de:
62
2
y
yx
Para: x = 0,125; Y = 0,0001
Rpta.
10. Si el grado de P es “m” y el grado
de Q es “n” (m>n). Hallar el grado de:
Q
PQPR
2
Rpta.
11. Dado el monomio:
xy
yxyxH
n mnm
201
32,
Si: G.R.x(H) = 2 y G.R. y(H) =
4; hallar el grado de:
F(x,y,z) = mnxn + mxym + zn–4
Rpta.
12. Si la diferencia entre los
grados relativos de “x” e “y” es
5, además el menor exponente
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de “x” es 3. hallar el grado
absoluto del polinomio:
26
4532
2
74mnm
mnmmnm
yx
yyxx,yP
Rpta.
13. Dados lo monomios:
M1(x; y)= 2
3 npx . Y17
M2(x; y)= 5(p – q)xp . y
a
M3(x; y)= 2
13 nqx . Y3n + 14
Dónde: M1, M2, M3 tienen el mismo
grado absoluto. Encontrar la suma de
coeficientes de los tres monomios
a) 142 b) 143
c) 144 d) 145
e) 146
14. Si la expresión:
3 3
3b
12
5a
y.xE
Es de cuarto grado con respecto a “y”,
y de sexto grado absoluto. El valor de
(a – b) es:
A) 8 B) 9 C) 1
D) 3 E) 5
15. El grado absoluto de:
2 1 1 1, ,aa b a b bM x y z x y z x yz xy z
es 17 y ( ) 9.GR y = Hallar:
( )a
a b+
a) 20 b) 25 c) 30 d) 10 e) 35
16. Hallar el grado de la
expresión:
2 2
2 2
m n n m n
n m m n m
x y zM
x y z,
siendo:
01 12 34 12516 ; 32n m- -- -
= =
a)5 b)4 c)3 d) 2 e)1
17. Hallar el grado del siguiente
monomio:
3 3 36 6 6 ....7M x
a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 7
18. Hallar el grado de la
expresión:
3 3 34 2 4 2 4 ....4M x
a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 7
19. Si el monomio:
2
3 2
m
m
x x
x es de
tercer grado, entonces el valor de
" "m es:
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a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25
20. En el siguiente polinomio3 3 1 5 2 5 6, m m m mP x y mx x y y Se
cumple: 2GR y GR x . Calcular
el grado absoluto del polinomio.
a) 13 b) 17 c) 14 d) 10 e) 8
21. Hallar " "n para que el monomio:
3 1 104
6 5 4
n n
n
x xM x
x sea de
primer grado.
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
22. Sea el monomio
23 2 23 4,m m
nM x y xy xy x y
Si sus grados relativos de " "x y " "y
son 4 y 9 respectivamente, calcular:
m n-
23. Sabiendo que el siguiente
polinomio es de : 10GA ;
además la diferencia de los
grados respecto a e x y es 4
.Hallar .m n 2 4 2 2 2 3, 3 5m n m n m n m nP x y x y x y
a) 80 b)81 c)–81 d) 27 e) – 27
24. Dado el polinomio: 2 3 3 5 2 3
, ,
m n m n m n
x y zP x y z x y z x y z
Hallar : x y z
GR GR GR
si 2m n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
25. Hallar " "n , si el grado de :
2n nn nx es 729
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
26. Si se cumple
2 4 2 4 0a b c d x b de xy b c a e y
Calcular el grado absoluto de la
expresión:
2 22
. . .ab d b de cS x x y xy
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
27. Sabiendo que el siguiente
polinomio es de : 10GA ; además la
diferencia de los grados respecto a
e x y es 4 .Hallar .m n
2 4 2 2 2 3, 3 5m n m n m n m nP x y x y x y
a) 80 b) 81 c) – 81 d) 27 e) – 27
28. Al efectuar: 1
1 1 21 1n n
n n n nx x x x resulta
un polinomio de grado 13. Calcule el
valor de " "n
a) 2 b) 5 c) 4 d) 3 e) 9
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29. Calcular el grado absoluto del
monomio
( )
2
2
2
3 2
2
.,
.
a b ab
a b
aa b b
x yQ x y
y x
-
-
- -
=
Sí x yGR GR= .
a) 2 b) 4 c)6 d) 8 e) 10
30. Halle el grado absoluto del
polinomio:
6 47 2m n n m nS(x,y) x y x y
Sabiendo que es homogéneo y
además: xGR (S) es menor que
yGR (S) en dos unidades.
a) 22 b) 18 c) 20 d) 17 e) 21
POLINOMIOS
ESPECIALES
1. Polinomios Homogéneos
todos los términos tienen igual grado.
Ejemplo: x3y
2 – x
5 + x
2yz
2
Es un homogéneo de grado 5.
2. Polinomios Ordenados
Será ordenado con respecto a una de
sus variables, si los exponentes de
dicha variable aumentan o disminuyen
según sea el orden ascendente o
descendente .Ejm:
x4y
7 – x
8y
10 + x
5y
24, Está ordenado
ascendentemente con respecto a y.
3. Polinomios Completos
Es completo con respecto a una de sus
variables si contiene todos los
elementos de dicha variable desde el
mayor hasta el cero inclusive.
Ejm:xy8 – y
8 + x
3y
7 + x
2y
8
Es completo con respecto a x.
Propiedad: En todo polinomio
completo y de una sola variable.
Número de términos = Grado + 1
Ejm: P(x)= x3 – x
4 +2x –7x
2 +11x
5 + 2
Es completo, el # términos = 6
4. Polinomios Idénticos
Si tienen el mismo valor numérico
para cualquier valor asignado a sus
variables, los coeficientes y sus
términos semejantes son iguales.
ax + by + cz = 8z + 2x – 5y
a = 8; b = –5, c = 2
5. Polinomios Idénticamente Nulos
Son aquellas expresiones que son
equivalentes a cero. Estando reducidas
se cumple que cada coeficiente es
igual a cero.
ax + by + cz = 0, a = 0; b = 0; c = 0
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6. Polinomios Mónico
Aquel cuyo coeficiente principal es 1.
P(x) = x2 + 3x + 1, Es Mónico porque
el coeficiente de x2 es igual a 1
Ejercicios De Aplicación
1. Siendo:
P(x) = 45x5 – 2x
p + 1 – x
q–2 + 3x
2 + x + 1
Un polinomio ordenado y
completo, hallar el número de
términos del polinomio:
S(x) = xp+q–1
+ 2xp+q–2
+ ... + 3x +
2
Si este es completo y ordenado.
Rpta.
2. De qué grado es E si el en el
numerador hay 109 términos:
1...
1...1222
241424
xxxxxxxx
E nn
nnn
Rpta.
3. Reducir: P(x) si se sabe que es
homogéneo
P(x)= [(ab)2x
2]
ab + + bx
a+b(x
-b + 2ab
–
1x
b–a) + x
abc
Rpta.
4. Calcular el valor de (B – A) para
que los siguientes polinomios sean
equivalentes:
P = A(x+1)2 + B(x–2) + 2
Q = (x–2)(x+1) + (x+3)(x+2)
Rpta.
5. Si el polinomio:
(x2+x+1) (a–b) + (x
2+x+2) (b–c) +
+ (x2+x+3) (c–a). Es nulo, Hallar
acb
E
Rpta.
6. Si: P(x)= x – 1; Q(x) = 2x – 4
Calcular: R = P[Q(x)] – Q[P(x)]
Rpta.
7. Dados los polinomios:
P(x–1) = x2 + x + 1
Q(x+1) = x2 – 2x + 2
Además: H(x) = P(x+1) Q(x–1)
Calcular: H(3)
Rpta.
8. Halle la suma de los polinomios:
P(x) = 1 – x + x2
Q(x) = 2x2 + x – 1
S(x) = 2 + 2x – x2
Rpta.
9. De la suma de 2x2 + 5x – 3 con
x2 – 2x+ 4 restar la diferencia de: x
2 -
6x + 3 con 5 – 7x – 2x2
Rpta.
10. Simplificar:
3x2 – (x
2 – [1 – (2x - 3) ] ) – x
2
Rpta.
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11. Simplificar:
{1 – (2x2 + [3 –(2x -1) ] - 2) }
Rpta.
12. Simplificar:
-5ab – [4b – (2ab - a)] – [5a –
(4ab - b) + 5b]
Rpta.
13. Simplificar:
xyxyx
3
1)
2
1(
3
1
3 -
)3
1(
2yx
y
Rpta.
14. Efectuar:
a +2b(a + 2b) – a – 2b (a + 2b)
Rpta.
15. Sea:P(x) = x2 + 3x – 2.
Calcular: E = P(0) + P(1)
Rpta.
16. Dados:
P(x) = 2x + 5; y Q(x) = 3x – 1
Hallar: P(3) + Q(3)
Rpta.
17. Sea el polinomio
P(x) = (x - 1)6 +(x + 1)
5 + (x +
2)4 + 2(x - 2)
3 + 3
Calcular el término
independiente de dicho
polinomio
Rpta.
18. Sean:
H(x;y) = 6x2y
a
G(x;y) = 8xby
4
Términos semejantes
Calcular a + b
Rpta.
19. Hallar (a + b) (ab)
sabiendo que:
P(x, y) = xa–2b
ya+b
– 15xb y
2b+a +
2xa-b
y8
Es un polinomio homogéneo.
Rpta
20. Si el siguiente polinomio de 14
términos es completo y ordenado:
P(x)= xa+b
+2xb+c
+ 3xc+d
+ 4xd+4
Ascendentemente.
Calcula: abcd
Rpta.
21. Si el siguiente polinomio de 14
términos es completo y ordenado:
P(x) = xn+4
+ ... +xa-1
+ xa-2
+ xa-3
Calcular: “a + n”
Rpta.
22. Si el polinomio
P(x; y) = 2xa + b
+ 3xb y
2a-3
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es homogéneo, hallar “a”
Rpta
23. Calcular el grado de Q si se sabe
que P es homogéneo y de 5to. grado.
P = xm+1
(yn–1
+ zm–n
)
Q = xm+1
(yn+1
+ zm+n
)
A) 5 B) 6 C) 4
D) 7 E) 8
24. Calcular el valor de E, si A y B
son polinomios equivalentes:
A = (x2–a)
2 + b(x–a) + c
B = (x2+b)
2 + c(x+b) + d
cdabdcba
E22
A) 1 B) –1 C) 2
D) –2 E) 0
25. Si el polinomio:
L(x) = (ab–ac+d2)x
4 +
+ (bc–ba+4d)x2 + (ca–cb+3)
Es idénticamente nulo, donde d –3,
calcular el valor de:
cbaf
341
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
26. Si los polinomios P(x) y Q(x) son
idénticos:
P(x) = a (x + 1)2 + b (x – 2)+2
Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3) (x + 2)
Calcular: “ab”
a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) –2
27. Si el polinomio
R(x,y) = (m + n)x3y
5 + 3x
5y
3 – 11x
3y
5
+ (n – m)x5y
3, es idénticamente nulo.
Calcule
n . m
a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 28
28. Si: F(x) = 23
232
2
xxxx
. Calcula
E = )1(2)2()3(
1)0()2(2)3(
FFFFFF
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.
29. Siendo F (2x + 1) = x
Encontrar “x” en F(x - 1) = 0
a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3
30. Si:
F(x + 1) = x4 + ax
2 – 5x
G(x + 2) = 2x3 – x – a + 1
Encontrar “a” si F(2) = G(3)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 40
31. Si: P(x) = ax
Además
P(x + a) = P (x + b) + P(x + c)
Encontrar el valor de “x”
a) a2 – b – c
b) a – b + c
c) a + b + c
d) a – b – c
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e) N.A.
32. Se tiene:
P(x + 2) = 3x + 8
Q(x – 1) = 5x + 3
Calcular: M = )1()1(
22)()(
xQxPxQxP
a) x + 1 b) –4 c) –4x
d) x – 1 e) – (x + 1)
PRODUCTOS NOTABLES
CONCEPTO
Son los resultados de ciertas
multiplicaciones indicadas que se
obtienen en forma directa.
PRINCIPALES PRODUCTOS
NOTABLES
1. Binomio Suma o Diferencia al
Cuadrado (T.C.P.)
. (a b)2 = a
2 2ab + b
2 .
Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)
2 = 2(a
2 + b
2)
(a + b)2 – (a – b) = 4ab
(a + b)4 – (a – b)
4 = 8ab (a
2 + b
2)
2. Diferencia de Cuadrados
. a2 – b
2 = (a + b) (a – b) .
3252525
3. Binomio al Cubo
. baabbaba
babbaaba
3
33333
32233
.
baabbaba
babbaaba
3
33333
32233
Ejemplo:
(2 +3)3 = 2
3 + 3 . 2
2 . 3 + 3 . 2 . 3
2 + 3
3
(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27
(2 + 3)3 = 125
4. Producto de Binomios con Término
Común
. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .
5. Producto de Tres Binomios con
Término Común
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab
+ bc + ac) x + abc .
(x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab +
bc + ac) x – abc .
6. Trinomio al Cuadrado
. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .
. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) .
7. Trinomio al Cubo
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c +
a) .
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(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc
+ ca) – 3abc .
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a +
c) + 3c2(a + b) + 6abc
8. Suma y Diferencia de Cubos
. a3 + b
3 = (a + b) (a
2 – ab + b
2) .
. a3 – b
3 = (a – b) (a
2 – ab + b
2) .
9. Identidades de Argan’d
.(x2 + x + 1) (x
2 – x + 1) = x
4 + x
2 + 1
.(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 .
En general
. (x2m
+ xm
yn + y
2n) (x
2m – x
my
n + y
2n)
= x4m
+ x2m
y2n
+ y4n
.
10. Identidades de Gauss
. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 –
ab – ac – bc) .
.(a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab +
bc + ac) .
11. Identidades Condicionales
Si . a + b + c = 0 . Se verifican:
. a2 + b
2 + c
2 = –2(ab + bc + ac) .
. (ab + bc + ac)2 = (ab)
2 + (bc)
2 +
(ac)2 .
. a3 + b
3 + c
3 = 3abc .
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Efectuar:
E = (x–y)2 – (y–z)
2 + (z–w)
2 – (w–x)
2
+ 2(x–z)(y–w)
2. Efectuar:
E = (a+b)2(a
2+2ab-b
2) – (a–b)
2(a
2–
2ab–b2)
3. Efectuar:
E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)
2] +
+ (a–b) [(a+b)2 + 4(a
2+b
2)–(a–b)
2]
4. Efectuar:
1563030651M
5. Calcular el valor de E para
2x
E = [(x+1)2(x
2+2x–1) – (x–
1)2(x
2–2x–1)]
2/3
6. Calcular el valor numérico de:
E = (a2+b
2)3 + (a
2–b
2)3 – 6b
4(a
2–b
2)
Para a3 =2, b
3 = 3
7. Simplificar:
yx
xyyxxyyE
22222 222
8. Calcular
33
33
721
33
721
9. Reducir:
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222 xyx4zyxzyxzyxzyxE
10. Si: a = 15 b = 12; calcular
16 168844223 bbabababaM
Hallar el valor de:
16 1684 112121253R
11. Si se tiene en cuenta que:
a2 + b
2 + c
2 = 300
a + b + c = 20
Calcular:
E = (a+b)2 + (a+c)
2 + (b+c)
2
12. Si: x(x+3) = 2 : calcular:
1321 xxxxE
13. Siendo:
abcabcxabcx
Calcular:
abcxabcx
14. Si se acepta que:
41
xx
¿Cuál es la suma de las cifras de: x3 +
x–3
?
15. Simplificar:
E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) +
+ (z–x)(z+x–y)
a. 0 b. x+y+z c. x–y+z
d. x+y–z e. y+z–x
16. Simplificar:
1x
1xxxxxxxx1x1xQ
9
36136124
a. x18
+1 b. x9–1 c. x
9+1
d. 1 e. –1
17. Simplificar:
bab2babaab4E2/1
a. a b. b
c. ba d. a2
e. ba
18. Determinar el valor numérico de:
(a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)
12a ; 2b ;
12c
a. 9 b. 10 c. 11
d. 12 e. 13
19. Si: 3 111972x ;
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111969y
Hallar el valor de:
x9 – 9x
3y
3 – y
9
a. 27 b. 72 c. 30
d. 20 e. 25
20. Simplificar:
E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) +
+ (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –
–2(x2+x–10)
2 + 56
a. 5x–20 b. x2+3x–84
c. 3(x–10) d. Cero
e. Uno
21. Si: a . b–1
+ a–1
b = 3; hallar el valor
de: 3
2
23
2
2
11ab
ba
E
a. 27 b. 81 c. 189
d. 243 e. 486
22. Si:
aabcxabcx 88
babcxabcx 88
cabcxabcx 44
Hallar:
abcxabcxR
a. ab b. bc c. 2
d. 2abc e. a2
23. Si: 33 3232E
Hallar el valor numérico de:
3 3 233EEP
a. 1 b. 2 c. 3
d. 3 2 e. 3 3
24. Sabiendo que: a + a–1
= 3;
determinar el valor de:
aaaa aaaaM 1111
a. 20 b. 30 c. 40
d. 50 e. 60
25. ¿Cuál de las siguientes
proposiciones es incorrecta?
a. (x + x )(x - x )= x2 –x; x > 0
b. (x + y)2+(x- y)2= 2(x2+ y2)
c. (x + a) (x + b) = x2 + abx + a + b
d. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y)
e. (x + y)2 – (x - y)2 = 4xy
a) I b) II c) III d) IV e) V
26. Reducir: 93
272
3
xxx
a) x + 3 b) x – 3 c) x + 27 d) x
– 27 e) x – 9
27. Efectuar:
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(x+y)2
(x2-xy+y
2)
2 – (x–y)
2
(x2+xy+y
2)
2
a) 4x3y
3 b) 3x
3y
3 c) 2x
3y
3
d) x3y
3 e) 4xy
28. Hallar: A . B, sabiendo que:
(x + A)(x2 + 2x + B)
Es una diferencia de cubos
a) –2 b) 2 c) 4 d) –8 e) 8
29. Si se cumple (a + b)3 = a
3 + b
3
Hallar a/b.
a) 32 b) 27 c) 0 d) 36 e) 216
30. Si: x + y + z = xy + xz + yz = 5;
Calcular: x2 +y
2 +z
2
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
31. Si: (x + y + z)2 = x
2 +y
2 + z
2
Calcular: x
zxyx ))((
a) x b) xy c) x/y d) 1 e) xyz
32. Si: x; y; z son enteros diferentes
de cero, entonces: x + y +z = 0 se
cumple:
i.x3 + y
3 + z
3 = –8xyz
ii.x3 + y
3 +z
3 = 3xyz
iii.x2 + y
2 + z
2 = xyz
iv.x2 +y
2 + z
2 = 4xyz
v.x3 + y
3 + z
3 =0
33. Si: 333 zyx = , calcular
“n” de:
n
xyz
zyx4
3 = 27
n + 2
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
TE SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD DE
AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO
ESCUCHARLO QUE TIENE PARA DECIRTE, AUNQUE
NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA
DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER
GENEROSO”
MÓNICA BUONFIGLIO
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