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115
5. Acoustique en milieu fini ACOUSTIQUE DU BATIMENT :
ISOLATION ET TRAITEMENT SONORES
5.1 Généralités Propagation sonore en espace clos
5.1.1 Introduction
Nous avons étudié la propagation du bruit en espace libre et en présence d’obstacles. Nous
parlerons maintenant de diffusion sonore en espace clos faisant intervenir l’isolation et le
traitement acoustiques : c’est le problème plus général de l’ « acoustique » du bâtiment ou de
l’acoustique architecturale.
L’isolation acoustique concerne la réduction de la transmission solidienne du bruit au
travers une paroi homogène ou composite. Le cas le plus fréquemment rencontré est l’isolation
d’un local par rapport à un autre espace clos ou par rapport à l’existence d’une source sonore
extérieure .
Nota : Cet aspect touche non seulement l’isolation acoustique entre les appartements mais
aussi l’intrusion des bruits extérieurs à travers l’enveloppe de l’immeubles, ou encore les
bruits générés par la plomberie, les systèmes de ventilation et de climatisation.
Il ne faut pas confondre l’isolation acoustique (insonorisation) et le traitement acoustique
qui concerne l’amélioration de la qualité acoustique d’un local.
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116
5.1.2 transmission, réflexion et absorption du bruit
Quand une onde sonore incidente d’énergie Ei rencontre une cloison liée à un mur porteur, une
partie Er est réfléchie dans le plan incident, une partie Et est transmise directement à travers la
cloison, une partie Ea est absorbée pour être transformée en chaleur à l’intérieur de la cloison, et,
enfin, une dernière partie Ef est constituée de « fuites » latérales et parasites se transmettant
dans les structures du bâtiment pour resurgir plus loin.
Loc. 1
Loc. 2
EiEr
Et
EfEf Ea
Figure 5.1 : Transmissions, réflexion et absorption sonores.
Le bilan énergétique acoustique montre aisément que :
Ei = Er + Ea + Et + Ef (5.1)
La proportion d’énergie réfléchie est le facteur de réflexion η qui dépend de l’impédance
présentée par la paroi, elle même fonction de la fréquence et des propriétés acoustiques du matériau
de cette paroi :
η = Er/Ei (5.2)
La proportion d’énergie transmise directement est le facteur de transmission τ qui dépend
de la fréquence du son, de la masse de la paroi (par m2 de surface de celle-ci) et de ses propriétés
mécaniques, notamment ses modes propres vibratoires :
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117
τ = Et/Ei (5.3)
Remarque :
- Le but de l’isolation acoustique est de limiter les transmissions directe (Et) et latérale (Ef).
- Le but du traitement ou de la correction acoustique est d’augmenter l’absorption (Ea), et
donc de limiter les réflexions (Er) ;
5.1.3 Réfraction et réflexion d’une onde. Effets de sol et de plafond
La figure suivante présente le schéma général de propagation sonore au passage du dioptre plan air-solide . A la surface de séparation, le rayon de propagation subit une double réfraction et une réflexion dans le plan d’incidence. Dés lors que l’incidence avoisine 90 °, le milieu solide peut de plus donner une propagation d’ondes de surface ou artificielles (ondes de Rayleigh et déphasage 180° du rayon réfléchi). Pour la réflexion, tout se passe comme s’il existait une seconde source (source image) de manière symétrique à la surface du mur et un nouveau front d’onde est réalisé.
Figure 5.2 : Réflexion spéculaire et double réfraction.
Source sonore
Source image
Air
Solide
i i
Réflexion
Ondes réfractée
Onde superficiellDioptre
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Figure 5.3 : Modes de réflexion des ondes sonores
Réflexions successives sur les parois d’une salle :
Pour un local parallélépipédique, on retrouvera au moins 6 sources images, dite du 1ier ordre. Elles
ont à leur tour d’autres sources images par rapport aux surfaces réfléchissantes du local. . L’étude
des chemins de propagation et des sources images est très importante pour l’implantation
des bâtiments et la pose d’écrans antibruits.
M
S
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119
* A incidence oblique non rasante (i < 90°), la description des effets de sol et de plafond durs
peu absorbants (béton, par exemple) par une réflexion spéculaire comme provenant d’une source
image sans perte d’énergie (atténuation atmosphérique faible) est suffisante dans un grand
nombre de cas pratiques.
* Par contre, un sol absorbant herbeux ou poreux est considéré comme un milieu dissipatif
de par la partie réfractée du rayon se produisant au dioptre. La connaissance de l’effet de sol est
donc indispensable pour les calculs d’acoustique prévisionnelle extérieure.
5.1.4 Diffraction du son au voisinage d’un obstacle de dimension limitée
Lorsqu’une onde rencontre un obstacle, elle peut le « contourner » au lieu de réaliser une ombre ou
un faisceau net. La diffraction est le changement de direction de propagation des ondes
sonores dû à leur passage autour d’un obstacle ou à travers une ouverture .
Figure 5.4 : Exemple d’une diffraction d’un front d’onde par écran.
Rayon réfléchi
S
Ecran d’épaisseur e
Rayon difracté
Rayon direct
M
Fronts d’onde de longueur d’onde λ
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Cas d’un écran mince ou épais :
Dans certaines conditions, le rayon sonore direct est diffracté par le bord de l’écran de telle
sorte que l’on obtient une atténuation moindre du niveau sonore au point d’observation M
(Figure 5.4).
àLe calcul de la diffraction acoustique analogue à celui fait en optique utilise la construction de
d’Huyghens-Fresnel déjà utilisée pour la réfraction
àLa diffraction dépend du rapport des dimensions de l’obstacle (ou de l’ouverture) et des
longueurs d’onde .
Exemple : Une porte de 1 mètre de large est une petite ouverture par rapport à λ = 20
mètres. Un son de fréquence aussi basse sera très diffracté en passant par la porte. Le son
émergeant sera diffusé à peu près dans toutes les directions. Par contre, une fréquence
possédant une longueur d’onde λ = 2 centimètres (donc f = 19000 Hz) sera transmise à
travers la porte pratiquement sans diffraction en faisceau étroit.
Les signaux comportant une gamme très large de fréquences seront donc diffractés
sélectivement puisque les basses fréquences divergeront énormément .
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121
5.2 Acoustique en espace fini, champs direct et diffus : traitement
acoustique des locaux
5.2.1 Conditions générales de propagation en espace clos
Il est maintenant évident qu’une paroi peut absorber ou réfléchir plus ou moins les bruits
incidents. Dans un local ayant des parois réfléchissantes, on peut entendre plusieurs fois un son
(écho) si bien que le niveau de bruit est amplifié par rapport à un local pour lequel les parois
seraient absorbantes.
Les surfaces d’un local et surtout leurs performances d’absorption conditionnant la qualité
d’audition en espace clos vont donc jouer un rôle prépondérant dans la propagation sonore.
L’équation générale de propagation est toujours applicable dans un local fermé, mais les conditions
aux limites sont beaucoup plus nombreuses qu’en espace libre . Ceci a plusieurs conséquences
pratiques importantes :
- Quand l’émission sonore cesse, les ondes déjà émises n’ont pas fini leurs trajets plus ou
moins longs et le niveau acoustique en chaque point du volume va décroître plus ou moins
lentement : c’est le phénomène de réverbération ;
- L’existence de formes géométriques simples, telles que des parois parallèles, favorise
l’établissement d’ondes stationnaires gênantes dans les petites salles, dont les fréquences
propres dépendent des dimensions de la salle ;
- Le niveau sonore dans un volume clos dépend non seulement de la puissance acoustique de la
source (extérieure ou intérieure), mais aussi de l’absorption intérieure et de la géométrie.
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5.2.2 Approche statistique du champ diffus
5.2.2.1 Le temps de réverbération TR60 d’un local fermé
Comme signalé, dans un local donné, l'auditeur entend encore un son pendant quelques instants
après coupure de l’émission sonore : ce temps est appelé « durée ou temps de réverbération
TR ». La décroissance sonore résulte de l’aptitude des parois d’un local à absorber l’énergie
acoustique pour la convertir en chaleur.
Le phénomène de réverbération dépend de la fréquence du son et de la nature des
matériaux des parois.
Si les parois sont réfléchissantes, le temps de réverbération sera long, alors que si elles
sont absorbantes, il sera court.
On peut caractériser la réverbération d’une salle par :
- la mesure et le calcul du temps de réverbération TR60 ;
- le calcul de la constante d’absorption acoustique R de la salle ;
Considérons une source sonore au sein d’un local fermé comme sur la figure
A0
A1
A2
A3
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123
Figure 5.5 : Schéma du parcours d’une onde acoustique en fonction
de ses réflexions sur les parois d’une pièce
La distance moyenne « d » parcourue par l’onde après n réflexions s’exprime par :
nAnAnAAAAOA
d1....32211 −++++
=
Le temps moyen entre deux réflexions est alors :
cd
='τ (5.4)
c étant la célérité de l’onde
Le libre parcours moyen d’un son diffus, dans une salle de volume V et de surface intérieure
totale S, est donné par (théorie statistique non démontrée ici) :
SV
d4
=
Soit avec (5.4) une estimation du temps entre les deux réflexions :
ScV4
' =τ (5.5)
àLa fraction d’énergie absorbée Ea par les parois est une fraction α de l’énergie
réverbérée incidente ER ( α est le coefficient d’absorption du local )
dSc
EdEdES
aRa αε
α ∫=⇒=4
(5.6)
Sc
ER 4ε
= (expression de l’énergie rayonnée qui sera démontrée par la suite éq. 5.29)
ε est la densité d’énergie volumique dans le local
Finalement en posant :
AdSS
=∫α aire d’absorption du local (5.7)
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On obtient « l’énergie absorbée par seconde » Ra IAAc
E ==4
ε (5.8)
Ce résultat est très important et logique , l’énergie absorbée chaque seconde par un local est
proportionnelle à sa surface équivalente d’absorption A !
Avec l’éq. 5.7 ,on définit un coefficient d’absorption moyen du local par :
∑
∑=i
ii
S
Sαα donc on a : SA α= (5.9)
Etude de la décroissance temporelle du son dans un local :
Effectuons le bilan d’énergie pour un local de volume V avec présence d’une source de puissance
donnée E (Watt) :
Bilan d’énergie ( et éq. 5.8) : ( ) ( )
RR
aR cA
dtVd
Edt
VdE ε
εε4
+=+= (5.11)
La solution de cette équation donne la densité volumique d’énergie :
−=
−=
−−τεt
tV
Ac
R ecA
Ee
cAE
14
14 4 (5.12)
avec τ la constante de temps du local (à comparer à 5.5 ou A tient la place de S ) :
cA
V4=τ
(5.13)
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125
Il y a donc au départ une montée exponentielle de l’intensité acoustique dans le temps ( due aux
réflexions multiples) de forme :
−=
−τt
R eAE
I 1 (5.14)
Puis une décroissance exponentielle de l’énergie dans le temps quand la source est arrêtée (cas E=0
, décroissance depuis Emax=E/A)
τt
R eEI−
= max (5.15)
On définit le temps de réverbération comme celui au bout duquel l’énergie est le millionième de
sa valeur initiale E = E0 10-6 soit en niveau de pression après une décroissance de 10*6 *log 10
= 60 dB
Figure 5.6 : diagramme de décroissance de l’énergie acoustique
10logE
t
Décroissance linéaire
E/A
IR
t
τt
eAE −
−
−τt
eAE
1
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126
L’étude de la réverbération de salle consiste à mesurer le temps correspondant à une décroissance
de 60 dB(A) du niveau sonore produit par une source après coupure de l’émission sonore (voir
figure 5.7) : ce temps de réverbération normalisé est appelé TR60.
Plus la salle est réverbérante, plus cette décroissance est longue .
Importance du temps de réverbération
Figure 5.8 : Temps de réverbérations dans des locaux divers
Nota : calcul simplifié du TR60 de Sabine
A partir de la loi (5.15) que l’on réécrit sous la forme du rapport :
τ
τ
τ t
tt
t
ee
eII ∆
∆+−
−
==2
1 (5.16)
on évalue la valeur de temps ∆t pour avoir : 10log(I1/I2) = 60
soit : ∆t/τ = ln(I1/I2)= 2,3 log (I1/I2) = 2,3 x 6 = 13,8
avec τ (eq. 5.13) ∆t60= 13,8 τ = 13,8 . 4V/(A c) = 0,16 V/A pour c= 345,4 m/s
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Sabine : A
VTR
16,060 =
Tr
t
L p
p o
Tr
p o 1000
t
(en Pa) p
L p o
L p o - 60 dB
Mesure du temps de réverbération Tr
Figure 5.7 : Phénomène de réverbération : mise en évidence du TR60.
En pratique, la mesure est difficilement réalisable puisqu’il faut que, d’une part, le bruit de fond
ne dépasse pas 40 dB (A) et que , d’autre part, le son diffusé soit supérieur à 40+60 = 110
dB(A).
En général, on effectue la mesure pour une atténuation de 30 dB et on multiplie le temps par 2.
Modèles de TR60 plus exacts
Tous calculs faits (théorie Eyring) et en fonction du coefficient moyen d’absorption des parois,
notée α__
, on peut exprimer le TR60 via la relation suivante :
α−
=__
1LnS
V161,060TR (5.17)
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Cette formule peut être simplifiée sous la forme de la formule du physicien britannique Edward
Sabine (1788-1883) en prenant le premier terme α__
du développement limité de Taylor du
logarithme népérien Ln (1 - α__
) ; soit :
A
V16,0
S
V16,060TR
__=
α= (5.18)
où A représente l’aire d’absorption équivalente de la salle : α= SA
Remarques :
La formulation de Sabine ne sera utilisée que pour des α__
inférieurs à 0,3, sinon la relation
5.17 est requise (rappel : α>α=+α
++α
+α=α− S
n2
n2)1(Ln KK ).
Dans l’expression 5.17, 5.18 , α__
est la moyenne arithmétique des coefficients d’absorptions α i des
divers éléments de surface Si de l’aire intérieure totale S ; soit :
∑
∑
=
=α
=α 6
1ii
6
1iii__
S
S (α i Si étant une unité d’absorption) (5.19)
D’autres relations empiriques donnant le temps de réverbération sont disponibles ; en particulier la
relation de Sette-Millington :
∑∑
α−
=
α−
=i
0 ii
i
0 ii 1
1logS
V07,0
11
LnS
V16,060TR (5.20)
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129
Le TR60 est à déterminer par bande de fréquence (octave, tiers d’octave, etc…) car il varie
tout le long du spectre audible de par la sensibilité des coefficients d’absorption à la
fréquence.
En absence de précision, on mesurera le TR60 pour la fréquence centrale du filtre de 1000
Hz.
On constate que plus une salle sera réverbérante, plus le niveau sonore Lp dans cette salle sera
élevé.
A titre d’exemple, les temps de réverbération ont les ordres de grandeur suivants :
- Pièce meublée ou vide : 0,5 s ou 2 à 5 s
- Salle de concert : 0,8 à 1,5 s suivant volume
- Gymnase : 2 à 5 s suivant volume
- Grand hall (salle réverbérante) : 8 à 12 s
-> Le corps humain est un excellent absorbant ( A=0,5 unité d’absorption par personne). Il
peut changer le temps de réverbération et l’acoustique d’une salle si des précautions ne sont pas
prises. Certaines salles de conférence sont équipées de sièges qui, une fois repliés, présentent une
capacité d’absorption proche de celle d’une personne.
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130
àL’index d’intelligibilité de la parole (STI) correspond au temps de réverbération mesuré
sur les 10 premiers dB de décroissance. Sa donnée est importante dans les cas où l’intelligibilité
est nécessaire car les auditeurs semblent très sensibles à cette valeur.
Il est facile de voir que, dans la première salle, le discours sera peu intelligible, car chaque
phonème sera peu différent en niveau sonore du phonème précédent (rapport signal sur bruit trop
faible, rappelons qu'il doit être supérieur à 10 dB pour l’oreille humaine ).
à La constante d’absorption R de la salle est définie par :
____
__
11 αα
α
−=
−=
ASR (5.21)
àDans le cas de locaux à parois réfléchissantes 1<<α et R ≅ A
Nota :
* La constante d’absorption R tend vers l’infini en présence d’un local présentant des parois très
absorbantes. Dans ces conditions, le champ sonore diffus n’existe pas et la décroissance, comme
en champ libre, est voisine de 6 dB par doublement de la distance à la source.
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131
* Un local ne doit pas être trop absorbant, car il faudra élever la voix pour communiquer, la
sonorisation sera difficile et l’intelligibilité ne sera pas optimale.
5.2.2.2 Mesure du coefficient d’absorption « Sabine » α i
Le coefficient d’absorption « Sabine » α i est le résultat d’une mesure en laboratoire sur un
échantillon de 10 à 12 m2 placé dans une salle réverbérante conformément à la norme
NF S 31-003.
En simplifiant, on peut décrire la procédure comme suit :
- on mesure le TR60 de la salle avec la maquette ;
- on mesure le TR60 de la salle vide ;
- la comparaison des calculs (équations du TR60) donne le coefficient d’absorption « Sabine » α i
du matériau testé ;
- les valeurs sont mesurées à différentes fréquences entre 100 et 5000 Hz ;
- le résultat est une courbe α i = f (Hz) : on obtient le spectre d’absorption du matériau.
Figure 5.10 : Spectre d’absorption du coefficient d’absorption « Sabine » α i.
dB
dB
α i
s s Hz
TR60 de la salle avec la maquette TR60 de la
salle vide Spectre d’absorption
Matériau calculé
60 dB
TR60 TR60
60 dB
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132
Plus le α i est grand, plus le matériau est absorbant : le maximum théorique est 1. Néanmoins, la
mesure en laboratoire peut donner des valeurs de α i supérieures à 1 : c’est parfois le cas des
profilés nervurés dont la surface développée est supérieure à la surface projetée prise en compte
dans la mesure.
5.2.2.3 Systèmes de correction acoustique pour le traitement de la salle
Les systèmes de correction acoustique doivent être choisis en fonction de leurs performances
d’absorption :
- L’absorption des basses fréquences (< 500 Hz) s’obtient par effet de membrane provenant
d’éléments flexibles très minces et tendus capables de vibrer (comme les surfaces plastiques, les
diaphragmes, les peaux de tambour, les tôles métalliques) ;
- L’absorption des fréquences moyennes (500 à 1000 Hz) s’obtient par effet de résonateur
donnant un maximum d’absorption sur leur fréquence de résonance (profilés perforés,
absorbeurs sélectifs dont les qualités d’absorption varient avec le taux de perforation) ;
- L’absorption des fréquences aiguës (> 2000 Hz) s’obtient par des produits poreux ou
fibreux (laine minérale dense, feutre, par exemple), dont les qualités d’absorption dépendent de
la masse volumique, de la porosité et de la résistance à l’écoulement continu de l’air dans ce
produit.
En combinant de façon optimale des systèmes utilisant ces trois techniques, il est possible
d’obtenir des spectres d’absorption « Sabine » bien adaptés. On emploie souvent des plaques
perforées placées sur un matériau poreux. L’addition d’un lame d’air entre la face arrière du
produit poreux et la paroi dure accroît l’absorption dans les fréquences basses. Si la plaque est très
perforée, l’absorption est celle du produit poreux seul. L’addition d’une feuille mince sur un produit
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133
fibreux augmente par résonance de diaphragme l’absorption en basse fréquence, mais la diminue
dans les aigus.
5.2.2.4 Conditions d’emploi des traitements
En général, il est conseillé de prévoir une correction acoustique au moins en plafond (ou en
toiture) et sur deux parois verticales adjacentes. L’absorption du plafond sera d’autant plus
efficace que celui-ci sera plus bas, ou abaissé et le garnir à 100 % de la surface n’est pas nécessaire.
à La présence d’un espace d’air entre le plafond et l’absorbant accroît l’absorption dans
les fréquences basses.
à En présence de parois verticales parallèles assez éloignées, il est conseillé de traiter
tous les murs pour éviter des phénomènes d’écho.
Dans les établissements culturels (salle de conférence, par exemple), parallèlement au choix du
temps de réverbération global ajusté à l’aide de systèmes acoustiques absorbants, il faudra choisir
les emplacements de ces derniers de façon à conserver les réflexions utiles et éliminer les
nuisibles.
à Une réflexion, arrivant après l’onde directe, devient nuisible dés qu’elle possède un
retard de 35 ms ; elle est donc à éviter et on placera des absorbants à l’endroit où cette
réflexion se produit.
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134
à De plus, les parois et les plafonds seront orientés de manière à créer des retards très courts
générant des réflexions utiles. On évitera du même coup la création d’ondes stationnaires
gênantes et les échos francs.
Cas des revêtements très absorbants : chambre sourde
Une chambre sourde est un laboratoire acoustique dans lequel on cherche à éviter toute réflexion
sonore , comme dans l’espace libre, soit dans toutes les directions, sol compris, soit seulement dans
le demi-espace au-dessus d’un sol dur (salle semi-anéchoïque).
La technique utilisée est l’emploi de dièdres, coins ou « dents de dragon » taillés dans la fibre
de verre ou des mousses plastiques. La forme des coins, la hauteur totale et la densité des
matériaux sont les éléments essentiels pour choisir un revêtement efficace. Un vide d’air laissé à
l’arrière entre les talons des coins et la paroi améliore l’absorption aux basses fréquences par
effet de résonateur à col étroit.
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135
5.2.3 Ondes stationnaires. Fréquence propre de salle fermée
5.2.3.1 Ondes stationnaires et interférences
Lorsque deux ondes de même amplitude et de même longueur d’onde voyagent dans des directions
opposées (ondes source et réfléchie à incidence normale), elles peuvent se combiner ou
interférer pour former une onde stationnaire qui ne semble pas se propager. (Une onde
incidente touchant une paroi peu absorbante sous attaque normale est réfléchie et après
réflexion dans le plan d’incidence voit sa forme inversée).
Les effets d’interférences dépendent de la différence de phase des ondes en chaque point de
l’espace. Si deux ondes atteignant un point donné passent par leur amplitude maximale en
même temps, elles sont en phase et interfèrent de façon constructive. Si l’amplitude de l’une
coïncide avec un minimum de l’autre, elles sont déphasées d’un demi-longueur d’onde et
interfèrent de manière destructive. Dans ces conditions, on dit que les ondes sont exactement
en opposition de phase
A la suite de réflexions sur des surfaces parallèles, on observe, en particulier dans le domaine
des basses fréquences, des points fixes de pressions maximales, appelés ventres, et de
pressions minimales, appelés nœuds. Ce phénomène sonore, particulièrement gênant dans les
petites salles, se produit pour la longueur d’onde λ d’un son est égale à une dimension de la
pièce et pour les sous -multiples de λ (λ /4, λ/2).
Les salles destinées à l’écoute sont étudiées en évitant les surfaces parallèles et l’on choisit des
dimensions de salle L x l x h ayant des rapports de nombres entiers .
.
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136
Ondes stationnaires résonnantes
En raison de surfaces parallèles réfléchissantes et des dimensions L, l et h, une salle
parallélépipédique fermée favorise l’apparition et la combinaison d’ondes stationnaires résonnantes
unidimensionnelles, bidimensionnelles ou tridimensionnelles à certaines fréquences propres du local
calculées par l’expression suivante :
2
2
2
2
2
2
2),,(
hr
lq
Lpc
rqpf ++= avec p, q, r = 1, 2, 3, 4, … (5.22)
Figure 5.11 : Illustration de l’établissement d’une onde stationnaire dans une dimension,
développement de ses harmoniques
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137
Exemple d’un spectre de fréquence d’une salle
Les fréquences pratiques observables sont extrêmement nombreuses. Chaque groupe de valeurs
entières des constantes p, q et r définit une onde stationnaire résonnante, appelée harmonique
de rang (p, q, r).
Le nombre de fréquence comprise entre une valeur f et ∆f vaut :
fc
Vfn ∆= 3
24π (5.23)
En deçà d’une certaine fréquence limite flim, la pression acoustique varie beaucoup d’un point à
l’autre de la salle, en raison de l’existence des ondes stationnaires résonnantes ; au delà, elle varie
moins. Cette fréquence limite est donnée par l’équation suivante :
VcTR
fπ8,8)60( 3
lim = (5.24)
p
f
f1 f2 f3
f limite
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138
Figure 5.12 : Fréquences caractéristiques et limite d’un local
Cas des tuyaux
* Pour un tube fermé au deux bouts et ne comportant qu’une onde axiale, comme il vibre en λ/2
Lpc
pf2
)0,0,( = (5.25)
* Pour un tube fermé ouvert qui vibre en λ/4 :
Lpcc
pf4
)0,0,( ==λ
(5.26)
Figure 5.13 :
Onde de pression dans un tube fermé-fermé Onde de pression dans un tube fermé-ouvert
λ/2 λ/4
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139
5.2.4 Champ acoustique en milieu fini avec source intérieure
5.2.4.1 calcul du Niveau sonore intérieur réverbéré .
Commençons par calculer la densité d’énergie présente dans le cas d’un champ diffus.
L’énergie émise par un élément de volumique dV constitué d’un tore de révolution de rayon
r sinθ sur une surface dS , vu sous un angle solide d Ω est :
∫∫Ω
=π
ε4
dVddER (5.27)
avec :
drrdrdV θθπ sin2= (5.28)
et d’après (1.56) relation de calcul de l’angle solide :
22
cos.'r
dSrdS
dθ
==Ω
rdθ
r
dr rsinθ
dS
dθ θ
rdθ
dr
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140
∫∫∫∫ === drddS
rdrdSrdr
dER 2cossin
4cossin2
2
θθθεπ
θθθπε
d’ou 4
cossin24
2
00
dScddr
dSdE
c
Rε
θθθε
π
∫∫ == (5.29)
Pour les bornes d’intégrale, on suppose qu’en 1 seconde le son parcourt la distance r = c
On constate donc que l’intensité du champ réverbéré devient :
4c
dSdE
I RR
ε== (5.30)
L’intensité mesurée en champ réverbéré 4c
I Rε
= est le quart de l’intensité mesurée
en champ direct cID ε= pour la même densité d’énergie . Le niveau de pression pdL en
champ diffus n’est donc plus égal au niveau d’intensité dIL comme en champ direct mais
comporte une différence de 64log10 = dB
Idpdd
ddd LLcIcp =⇒== εερ 2
02
dBLLcIcp rIpr
Rrrr 642
02 +=⇒== εερ (5.31)
5.2.4.2 Calcul des niveaux acoustique dans la salle
On considère en régime permanent une source sonore de puissance W dans un volume fermé V,
caractérisé par le coefficient d’absorption moyen α__
de ses parois. Le niveau d’énergie obtenu
à l’équilibre dépend de l’absorption totale et de W, donc du nombre de réflexions c/d, (d
étant le libre parcours moyen évoqué précédemment) qui se produit sur les parois dans l’unité de
temps (on néglige l’absorption due à l’air).
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141
Si le local est grand, la diffusion sonore ne peut pas être parfaite, il faut tenir compte de l’intensité
acoustique du son direct du champ libre entre la source et le point d’observation à distance r
ainsi que du champ diffus créé par les réflexions.
La pression acoustique p en un point intérieur du volume, à distance r de la source, est due à
la somme de ces deux intensités (portées par des ondes progressives de fréquences différentes) :
222rd ppp += (5.32)
(nota si l’on additionne 2 ondes de même fréquence et en phase on a : 21 ppptot += )
La source étant directive de coefficient de directivité Q (voir chapitre précédent) dans la direction
choisie, l’ intensité du champ direct s’exprime par :
22 440
2
r
QWcp
r
QWId d
πρ
π=⇒= (5.33)
D’autre part d’après la valeur de l’énergie absorbée (eq. 5.8) et la théorie simplifiée de Sabine :
AW
Ir = (5.34)
La pression acoustique du champ sonore diffus s’écrit :
AWcc
Iccp Rrr 44 0
20
20
2 ρρερ === (5.35)
En fait dans un modèle plus précis de réverbération avec les hypothèses de Eyring :
rVnWW εαα += (5.36)
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142
relation qui exprime que la puissance totale de la source est la somme de la puissance perdue au cours
de la première réflexion et de la puissance dissipée au cours des n réflexions suivantes (soit n= c/d
et d=4V/S )
On extrait :
( ) ( )V
WScV
VnW
r αα
αα
ε−
=−
=141
(5.37)
soit :
( )R
cWW
Sccp rr
41400
20
2 ρα
αρερ =
−== (5.38)
puis :
( )
RW
SWc
I rr =
−==
ααε 1
4 ( au lieu de W/A) (5.39)
R étant la constante d’absorption de la salle. (voir éq 5.21)
En conclusion nous avons les niveaux de pression :
* Champ direct :
QdBrLL Wpd log1011log20 +−−= (5.40)
* Champ diffus :
dBRLL Wpr 6log10 +−= (5.41)
* Pour le champ global :
( )
+=
−+=+=
RrQ
cWSr
QcWppp rd
44
144 22
222
πρ
αα
πρ (5.42)
En raison de la définition des niveaux de pression la sommation d’énergie est aussi traduite par :
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143
+= 1010 1010log10
prpd LL
pL (5.43)
Depuis 5.42 nous trouvons ainsi l’intensité acoustique totale dans un espace clos :
+=
RrQ
WI4
4 2π (5.44)
On obtiendra ainsi le niveau de pression acoustique Lp dans le local compte tenu du niveau de
puissance de la source Lw :
5.42->
++=
RrQ
LwLp4
4log10 2π
(5.45)
Le coefficient Q doit être pris égal à 1 pour une source isotrope au milieu de l’espace, 2
pour une source au milieu d’un mur, 4 pour une source au milieu d’un dièdre et 8 si elle est
au fond d’un trièdre.
La distance ou rayon critique depuis la source entre les champs sonores direct et diffus
est donnée par :
RrQ
pp dr4
4 20
22 ≈⇒≈π
soit 50160
QRQRr ≈=
π (5.46)
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144
L’abaque de la figure 5.14 ci dessous permet d’atteindre les niveaux de pression acoustique Lp
dans le local dans lequel on a disposé une source sonore de niveau de puissance acoustique Lw
connu.
Figure 5.14 : Abaque de calcul des Lp à partir de Lw.
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145
5.3 Problème des locaux couplés ( champ réverbérés stationnaires)
5.3.1 Présentation du problème
Figure 5. :.Caractéristiques des locaux couplés en champ réverbéré stationnaire
Dans le local 1 se trouve la source de puissance acoustique, le local 2 est considéré comme un
récepteur ( il n’a pas de source propre) . V1 et V2 sont les volumes respectifs et A1 , A2 les aires
équivalentes d’absorption.
Dans les définitions, les aires d’absorption A1 et A2 font abstraction de la surface commune Sc
Nous supposons que dans chaque salle, le champ est considéré comme diffus
Pour le local de volume V1 :
Energie absorbée par les parois : 4/11 cA ε
Energie transmise à travers Sc : 4/1cScε
Energie reçue de V2 : 4/2cScε
Pour le local de volume V2 :
Energie absorbée par les parois : 4/22 cA ε
Sc
V1,A1,ε1 V2,A2,ε2
Scε1c/4
Scε2c/4
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146
Energie transmise à travers Sc : 4/2cScε
Energie reçue de V1 : 4/1cScε
Les bilans d’énergie en régime permanent sont donc :
4442111
1cScScAE cc εεε −+= puissance de la source (5.47)
4440 1222 cScScA cc εεε −+= (5.48)
On posera pour simplifier :
cSAA += 111 et cSAA += 222 (5.49_5.50)
la résolution du système pour les densités d’énergie donne :
22211
221
1
4
cSAA
AcE
−
=ε (5.51)
et 22211
1
2
4
c
c
SAA
ScE
−
=ε (5.52)
On en déduit que l’affaiblissement entre les deux locaux est :
cpP S
AccLL 22
2
12
201
2021 log10log10log10log10 ==−=−
εε
ερερ (5.53)
Si on avait considéré l’ensemble des 2 locaux comme un seul on aurait :
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147
21
14
AAcE
+
=ε (5.54)
Si on introduit maintenant deux coefficients de couplages définis par :
11
1 ASk c= et
222 A
Sk c= (5.55)
On peut calculer les rapports comparatifs :
221
211
AkAAA
++
=εε
(5.56)
et 221
212
/ AkAAA+
+=
εε
(5.57)
Affaiblissement l’éq. 5.53 étant alors :
21
2 k=εε
--> 22
121 log10log10 kLL pP −==−
εε
Conclusions :
Tout se passe comme si l’absorption pour la salle source (A1+A2) était changé en
(A1 +k2 A2) et en (A2 +A1/k2) pour la salle réceptrice c’est à dire que seule la fraction k2
de l ‘absorption A2 intervient ; la section de couplage Sc revêt donc une importance primordiale
dans le couplage des deux locaux puisque 22
2 ASk c=
* si A2 >> Sc, 22
2 )( AS
SASk c
c
c →→+=
et l’absorption de la salle 1 est voisine de A1 + Sc
* si A2 << Sc, 1)( 22 →→+=
c
cSA
Sk
et l’absorption de la salle 1 est voisine de A1 + A2
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148
On parlera d’une absorption apparente ou équivalente pour le local 1
)( 2
212211
c
capp SA
SAAAkAA ++=+=
Les Intensités réverbérées dans chacun des deux locaux couplés sont finalement :
221
11 AkA
EI R +
= et 112
11
2121
12 / AkA
EkSAAAA
EI
cR +
=++
= (5.58 / 5.59)
5.3.2 Source acoustique équivalente pour le local 2
Vu du coté du local récepteur, il peut être commode de modéliser la présence de E1 comme une
source équivalente E2 placée dans le volume V2 et qui donnerait le même effet acoustique
.
Partant de 5.57 : 122 εε k= (5.60)
avec (5.51, 5.52 ) :
221
11 4
1AkA
cE+
=ε et 112
22 4
1AkA
cE+
=ε (5.61_5.62)
d’ou par combinaison on trouve simplement : 112 EkE = (5.63)
On peut donc généraliser les résultats si chacune des salles contient une source E1 et E2
respectivement, on pourra considérer, grâce aux coefficients de couplage et au calcul de la source
équivalente que les intensités sont :
221
2211 AkA
EkEI R +
+= et
112
1122 AkA
EkEI R +
+=
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149
5.3.3 Dans le cas ou Sc est fermée par une paroi de facteur de transmission τ
La démarche est la même que précédemment mais dans les équations de départ il faut remplacer
Sc par τSc
et
22
2 ASk cτ= (5.64)
avec cSAA τ+= 111 et cSAA τ+= 222
Figure 5. paroi de transmission τ entre deux locaux
La différence des niveaux acoustique entre les deux locaux devient :
22
12
201
2021 log10log10log10log10 kccLL pP −==−=−
εε
ερερ
maintenant : )( 22
c
cSA
Sk ττ
+=
221
11 4
1AkA
cE+
=ε et 122 εε k=
Sc V1,A1,ε1
V2,A2,ε2
τScε1c/4
τScε2c/
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150
221
11 AkA
EI R +
= et 221
122 AkA
EkI R +
=
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151
5.4 Emission ou rayonnement d’un local vers l’extérieur
Une autre application de la relation 122 εε k= apparaît dans la transmission du bruit dans l’environnement . On désire par exemple déterminer le niveau sonore en un point P extérieur à un local qui contient une source omnidirectionnelle placée en M.
Figure 5. Emission vers l’extérieur d’un local « diffus » La source sera supposée assez éloignée de l’ouverture de manière à négliger les composantes directes du champ acoustique, seul le champ réverbéré intervient en Sc. La puissance qui sort par l’ouverture est : (hypothèse faibles longueurs d’onde)
1111
11 4/ Ek
AES
cSE ccs === ε (5.65)
Sc
V1,A1,ε1
θ2
θ1
r
d
M
P
Sc V1,A1,ε1
θ2
M
P d
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152
Figure 5. ; Emission à répartition spatiale HR (θ2) vers l’extérieur d’un local La pression rayonnée au point P situé à la distance d et voyant l’orifice sous l’inclinaison θ2 avec une source « sphérique » Es=k1E1 placée en sortie est :
( )2211
022 4
θπ
ρ RHdEk
cp
= (5.66)
HR (θ2) représente la fonction de directivité globale de la source ( Voir §1.5.5 et calcul annexe) Le calcul théorique montre ensuite que la valeur moyenne spatiale vaut :
( ) 22 cos4 θθ =RH (5.67) La démonstration fait appelle au principe de réciprocité c’est à dire que l’on calcule l’énergie qui
serait émise par le point P et qui rentrerait dans la pièce. sous l’angle solide π42Ω si on plaçait la
source E1 en P. Finalement le niveau de pression en extérieur est donné par la relation :
( ) ( ) ( )2122211
022 coslog105log20cos4
4θθθ
πρ kdBdLL
dEk
cp Wp +−−=⇒
= (5.68)
avec 1
1 ASS
kc
c
+=
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153
5.5 Régime transitoire sonore dans les salles couplées 5.5.1 Position du problème Les équations de conservation d’énergie 5.47 et 5.48 sont réecrites en régime transitoire :
44421111
11cScScA
dtd
VE cc εεεε−++=
4440 122222
cScScAdt
dV cc εεεε
−++=
Intéressons nous à la période de décroissance du son ( arrêt de E1 ):
( ) 04 2111
11 =−+ εε
εcSA
cdtd
V
( ) 04 1222
22 =−+ εε
εcSA
cdt
dV
sachant que : cSAA += 111 et cSAA += 222 Le système est résolu en posant :
τεεt
e−
= 011 et τεεt
e−
= 022 On obtient en substituant :
044 0201
111 =−
− εε
τ cScV
Ac
044 0102
222 =−
− εε
τ cScV
Ac
Une solution non identiquement nulle est possible si le déterminant est nul soit :
0)4
(44
2111
111 =−
−
− cS
cVA
cVA
cττ
Pour simplifier l’écriture, posons encore :
21kkk =
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154
défini à partir des coefficients de couplage déjà utilisés : 11
1 ASk c= et
222 A
Sk c=
Posons aussi :
cAV
11
111
4=τ et
cAV
22
222
4=τ
Ce sont les constantes de temps des salles indépendamment l’une de l’autre
Le déterminant devient alors : 011 22211 =−
−
− kτ
ττ
τ
Les solutions en 1/τ de cette équation sont :
( ) ( )2211
221122
22112211
2,1 2
41ττ
τττττττ
k−+±+=
Ce qui donne comme solutions du système des densités d’énergie :
( ) ththtt
eeeet 2121121112111
−−−−+=+= εεεεε ττ
( ) ththtt
eeeet 2121222122212
−−−−+=+= εεεεε ττ
les 4 énergies 21221211 ,,, εεεε ne peuvent être déterminées qu’à partir des conditions initiales au temps t = 0, qui doivent être compatibles avec les relations en régime permanent. Les coefficients h sont les inverses des constantes de temps τ : h = 1/ τ soit :
( )
−−±= 2
0
22112
021
111,
hhhk
hhh
avec :
1
11
1111 4
1V
cAh ==
τ
2
22
2222 4
1V
cAh ==
τ
22211
0
hhh
+=
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155
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156
5.5.2 Détermination de 21221211 ,,, εεεε Source E1 dans la salle 1, pas de source E2 = 0 salle 2
Soit des conditions initiales : 00
2
1
1
0
1 =
−=
== tt dtd
VE
dtd εε
et [ ] 10121101 εεεε =+==t [ ] 102222102 εεεε kt =+==
en notant : ( )211
110 1
4kcA
E−
=ε 10220 εε k=
Les calculs amènent :
−
−=
21
1
22
1
111
1
hhh
h
VE
ε et
−
−=
12
2
22
1
112
1
hhh
h
VE
ε toujours positifs
( )10212
221 εε k
hhh−
= et ( )10221
122 εε k
hhh−
= de signes opposés
5.5.3 Conclusions Temps de réverbération entre les deux salles couplées * CAS 2211 ττ > ou 2211 hh <
1h 11h 0h 22h 2h
( ) ththtt
eeeet 2121121112111
−−−−+=+= εεεεε ττ
• la fonction the 1− décroît moins vite que the 21− la salle source perd moins vite son énergie et en transfère une partie à l’autre salle ce qui augmente TR2
• La salle source V1 perd moins vite son énergie, du fait du couplage, son TR1 croit la
constante de temps passe de la valeur 11τ à 1τ
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157
* CAS 2211 ττ < ou 2211 hh <
2h 22h 0h 11h 1h
( ) ththtt
eeeet 2121121112111
−−−−+=+= εεεεε ττ
• la fonction the 1− décroît plus vite que the 21− la salle source perd plus vite son énergie que la salle 2 tout en transférant une partie de son énergie à l’autre salle au début , puis il y a inversion du transfert entre les salles. ( les courbes de décroissance se coupent )
• La salle source V1 voit son TR1 croître par injection de l’énergie de la salle 2 • Le TR2 de la salle 2 est augmenté lui aussi e raison du transfert initial 1->2
* CAS 2211 ττ ≈ ou 02211 hhh ≈≈
( )khhh ±= 1, 021
1011 21
εεk−
= et 1012 21
εεk+
=
( )1021 21
εεkk−
−= et ( )1022 21
εεkk+
−=
t0 tE
Local 1
Local 2
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158
il vient : ( ) thet 0101
−= εε La décroissance de la salle source reste la même que sans couplage , ainsi le temps de réverbération de la salle source est le même que lorsqu’elle est isolée :
1
116,011
AV
TRTR isolécouplé ==
salle réceptrice :
( ) ( )( ) ( )( )[ ]tkhktkhkk
eee
kk
eek
kt thtkhthtkhth
0020
2 111122
12
1 00000 +++−−>−
++
−=
−−−−
εε
( ) ( ) thhh etht 0
02002,12 1lim −→ += εε avec 10220 εε k=
Le TR2 se calcule ainsi : -60= 10 log(1+h0 TR2 ) + (10/ln10) h0 TR2 comme isoléTRh 2/8,131
00 == τ
(voir 5.16 10log(I1/I2) = 60 soit ∆t/τ = ln(I1/I2)= 2,3 log (I1/I2) = 2,3 x 6 = 13,8 )
La résolution numérique amène : isolécouplé TRTR 221,12 =
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159
5.6 Tour d’horizon Propagation sonore en espace clos Nous avons donc vu que trois approches sont possibles :
* l’approche modale qui s’appuie sur le fait qu’il est possible de décomposer une situation
acoustique complexe en une somme de situations simples. Avec pour conséquence connue pour un
local où une qualité sonore est recherchée, il faudrait avoir des dimensions (H,L,l) aussi peu
différentes que possible, et en aucun cas multiples et sous-multiples simples (nombres entiers ou
nombres fractionnaires d'unités faibles :2/3,3/4,4/5...)
* l’approche géométrique qui est basée sur l'équivalence de la réflexion des ondes sonores et des
ondes lumineuses. Cette loi permet de détecter certains défauts majeurs (focalisation, écho...) et a
pour conséquence de faire apparaître des sources virtuelles.
* l’approche statistique qui suppose le champ sonore homogène (diffus)dans le local, ce qui n'est
vérifié que lorsque celui-ci n'est pas trop absorbant, et que le son est établi (période transitoire, ou
d'attaque exclue). Dans ce cas on constate près de la source une décroissance du son lorsqu'on
s'éloigne de celle-ci (en général sur une distance relativement courte).Cette décroissance est la même
qu'en champ libre (6 dB par doublement de la distance).On dit alors que nous sommes dans le
champ direct . Inversement loin de la source, le niveau sonore est assez constant. On dit alors que
l'on est dans le champ réverbéré .
En résumé, si le local a respecté la loi des dimensions (loi modale),et que sa forme est
correctement étudiée (loi géométrique )pour renforcer (ou atténuer)les ondes sonores aux
endroits qui nous intéressent, il nous faut ensuite disposer des matériaux absorbants (loi
statistique)en certains endroits pour éviter :
-soit une décroissance trop longue du son
-soit un niveau trop fort dans le champ réverbéré.
C'est cette dernière partie que l'on appelle "correction acoustique"d'une salle.
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160
Figure 5.15 : Tracé géométrique de propagation de rayons
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