บทท 5 การประมาณคา
หลงจากเกบรวบรวมขอมลเรยบรอยแลว การอธบายลกษณะของขอมลจากตวอยาง
จะอธบายจากคาสถตทเกยวของ ซงใชวธการวเคราะหขอมลในสวนของสถตพรรณนา ทงทจรงแลวสงทเราตองการเปนการอธบายลกษณะของขอมลในประชากร ซงจะอธบายจากคาพารามเตอรทเกยวของ ดงนนจงตองน าคาสถตทเกยวของกลบมาสรปคาพารามเตอรทสนใจ ซงการน าคาสถตมาสรปหรออางองคาพารามเตอรนนสามารถสรปไดหลายกรณ เชนประมาณคา ทดสอบสมมตฐาน ความสมพนธหรอการพยากรณคาพารามเตอร ดงนนวธการวเคราะหขอมลในสวนของสถตอางอง จงมหลากหลายวธ การเลอกใชวธการวเคราะหขอมลในงานวจยจงขนอยกบวตถประสงคของงานวจย และประเภทของขอมล ถาวตถประสงคของงานวจยตองการทราบวาคาพารามเตรอรมคาประมาณเทาไร วธการในการวเคราะหขอมลทเลอกใชคอ การประมาณคา (estimation)
ความหมายของการประมาณคา
พจารณาตวอยาง 5.1 และ 5.2 เพออธบายความหมายของค าวาการประมาณคา
ตวอยาง 5.1 ในการศกษาเกยวกบน าหนกการบรรจนมกระปองของเครองจกร A ประชากรทศกษาคอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A ตวอยางคอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A จ านวน 50 กระปอง และขอมลทเกบรวบรวมคอน าหนกการบรรจนมกระปอง (g)
ถาตองการทราบวาเครองจกร A บรรจนมกระปองหนกกระปองละกกรม คาทอธบายไดคอคาเฉลย หรอ พารามเตอร แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต x
ถาตองการทราบวาเครองจกร A บรรจนมกระปองแตละกระปองหนกแตกตางกนกกรม คาทอธบายไดคอคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน หรอ พารามเตอร แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต s
ถาตองการทราบวาเครองจกร A บรรจนมกระปองทมน าหนกนอยกวา 10 กรมรอยละเทาใด คาทอธบายไดคอคาสดสวน หรอ พารามเตอร p แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต p
132
ตวอยาง 5.2 ถาตองการศกษาเกยวกบน าหนกการบรรจนมกระปองของเครองจกร A และ B ประชากรทศกษากลมท 1 คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A ตวอยาง คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A จ านวน 50 กระปอง และขอมลทเกบรวบรวมคอน าหนกการบรรจนมกระปอง (g) ประชากรทศกษากลมท 2 คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร B ตวอยาง คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร B จ านวน 80 กระปอง และขอมลทเกบรวบรวมคอน าหนกการบรรจนมกระปอง (g)
ถาตองการทราบวาเครองจกร A และ B บรรจนมกระปองมน าหนกหนกตางกนกระปองละกกรม คาทอธบายไดคอผลตางของคาเฉลย หรอ พารามเตอร 21 แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต 21 xx
ถาตองการทราบวาความแปรปรวนของน าหนกนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A
และ B มคาตางกนเทาใด คาทอธบายไดคออตราสวนของความแปรปรวน หรอ พารามเตอร 22
21
แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต 22
21
s
s
ถาตองการทราบวาเครองจกร A และ B ทบรรจนมกระปองทมน าหนกนอยกวา 10 กรมตางกนรอยละเทาใด คาทอธบายไดคอคาผลตางของสดสวน หรอ พารามเตอร 21 pp แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต 21
ˆˆ pp
จากตวอยาง 5.1 และ 5.2 จะเหนวาคาพารามเตอรทสามารถอธบายและตอบค าถามในประชากรทศกษามมากมาย ขนอยกบวาเรามค าถามอะไร และเมอตองการทราบคาพารามเตอรใดในทางปฏบตเราจะหาคาสถตทเกยวของ และน ามาประมาณคาพารามเตอรนน ดงน
ประชากร ตวอยาง
สมตวอยาง - คาเฉลย - ผลตางของคาเฉลย - ความแปรปรวน - สดสวน - ฯลฯ - คาเฉลย
- ผลตางของคาเฉลย - ความแปรปรวน - สดสวน - ฯลฯ
ประมาณคา
133
จากรปขางตนสามารถสรปไดวา การประมาณค า หมายถงการน าค าสถ ตกลบมาส รป หรออา ง อง เ กยวกบ
คาพารามเตอรทสนใจวามคาประมาณเทาไร หรออาจกลาวไดวาการประมาณคากคอการสรปคาพารามเตอรทสนใจโดยอาศยคาจรงจากตวอยาง หรอทเรยกวาคาสถตนนเอง
ประเภทของการประมาณคา
ในการประมาณคาพารามเตอรตาง ๆ นนจะมหลกการ และวธการตาง ๆ ทเหมอนกน จะแตกตางกนทสตรในการประมาณคาซงขนอยกบการแจกแจงของคาสถต ดงนนในสวนนเราจะศกษาเกยวกบหลกการและประเภทของการประมาณคาพารามเตอรซงม 2 ประเภท คอ
1. การประมาณคาแบบจด (point estimation) 2. การประมาณคาแบบชวง (interval estimation)
1. การประมาณคาแบบจด
การประมาณคาแบบจดเปนการประมาณคาพารามเตอรทสนใจดวยคาสถตเพยงคาเดยวเทานน นนคอ
พารามเตอร จะมคาประมาณเทากบคาสถต พารามเตอร 2 จะมคาประมาณเทากบคาสถต พารามเตอร จะมคาประมาณเทากบคาสถต พารามเตอร p จะมคาประมาณเทากบคาสถต p พารามเตอร 21 จะมคาประมาณเทากบคาสถต 21 xx พารามเตอร 21 pp จะมคาประมาณเทากบคาสถต 21 pp เปนตน และเรยก เปนตวประมาณคาแบบจดของ
เปนตวประมาณคาแบบจดของ 2
เปนตวประมาณคาแบบจดของ p เปนตวประมาณคาแบบจดของ p
21 xx เปนตวประมาณคาแบบจดของ 21
21 pp เปนตวประมาณคาแบบจดของ 21 pp เปนตน
x2s
s
x2s
s
134
จะเหนวาการประมาณคาประเภทน ประมาณคาพารามเตอรใหเทากบคาสถตทค านวณจากตวอยางกลมหนง ดงนนถากลมตวอยางเปลยนไปคาสถตจะเปลยนไปดวย การประมาณคาแบบจดจงเปนการประมาณคาพารามเตอรทมโอกาสเกดความคลาดเคลอนในการประมาณคามาก เพราะเปนไปไดยากทคาพารามเตอรจะมคาเทากบคาสถต เชน ผวาราชการจงหวดตองการทราบราคาน ามนในจงหวดนครปฐมวาในขณะนราคาประมาณกบาท จงใหลกนองออกไปส ารวจขอมล ลกนองไปส ารวจราคาน ามนของปมน ามน 10 แหง แลวหาราคาน ามนเฉลย ปรากฎวาได 32.30 บาท จงน าขอมลนไปเสนอผวาราชการจงหวดวาในขณะนราคาน ามนของจงหวดนครปฐมประมาณ 32.30 บาท ซงในความเปนจรงนนเปนไปไดยากทราคาน ามนจะมคาเทากบ 32.30 บาท จะเหนไดวาการประมาณคาแบบนมโอกาสเกดความคลาดเคลอนมาก จงควรใชกบขอมลทมการกระจายนอย เพอใหการประมาณคามความคลาดเคลอนนอยลงจงมการประมาณคาอกแบบ ดงน
2. การประมาณคาแบบชวง
การประมาณคาแบบชวงเปนการประมาณคาพารามเตอรดวยชวงของจ านวน 2 จ านวนซงมตวประมาณคาแบบจดอยกงกลางระหวางจ านวน 2 จ านวนนน
ตวอยาง 5.3 จากการประมาณคาราคาน ามนแบบจดไดเทากบ 32.30 บาท ถาใชการประมาณคาแบบชวงอาจน าเสนอขอมลใหผวาราชการจงหวดทราบวา ราคาน ามนของจงหวดนครปฐมมคาตงแต 31.30 ถง 33.30 บาท ซงค านวณไดจาก
00.130.3230.3330.3230.3100.130.32
00.130.32
บาท
จะเหนวาถาใชการประมาณคาแบบชวงโอกาสทราคาน ามนจะอยในชวง 11.30 ถง 13.30 บาทมมากกวาการประมาณดวยตวประมาณแบบจด จงท าใหความคลาดเคลอนในการประมาณคานอยลง
จากตวอยาง 5.1 สามารถเขยนชวงในการประมาณคาพารามเตอรทสนใจไดดงน UL
UL 2 UL UpL
UL 21 UppL 21
135
เมอ L คอ คาต าสด และ U คอคาสงสด ถาคาของ L และ U แตกตางกนมากกหมายความวาพารามเตอรทสนใจมคาทเปนไปไดมากในชวง L ถง U และถาคาของ L และ U แตกตางกนนอยกหมายความวาพารามเตอรทสนใจมคาทเปนไปไดนอยในชวง L ถง U ซงคา L และ U จะแตกตางกนมากหรอนอยขนอยกบคา ๆ หนงทก าหนดซงเรยกวาระดบความเชอมน (confidence level)
ระดบความเชอมน
ระดบความเชอมน หมายถง ความนาจะเปนทพารามเตอรจะมคาอยในชวงประมาณทสรางขน เขยนแทนดวยสญลกษณ 1 นนคอ
1)( UparameterLP
เชน ถาก าหนดระดบความเชอมน 95% หรอ 95.01 หมายความวาถาท าการประมาณคาพารามเตอรโดยการสมตวอยาง 100 กลม และสรางชวงในการประมาณคาพารามเตอร 100 ชวง จะมคาพารามเตอรอยในชวงทสรางขน 95 ชวง หรอโอกาสทพารามเตอรจะมคาอยในชวงประมาณทสรางขนเทากบ 95%
การประมาณคาของพารามเตอรทใชกนทวไปในการวเคราะหขอมลคอ การประมาณคาเฉลย ผลตางของคาเฉลย สดสวน และผลตางของสดสวน เปนตน ซงจะแตกตางกนทสตรในการค านวณหาคา L และ U
การประมาณคาพารามเตอรคาเฉลยของประชากร 1 กลม )(
1. การประมาณคาแบบจดของคาเฉลย
ตวประมาณแบบจดของ คอ n
xx
2. การประมาณคาแบบชวงของคาเฉลย
แบงออกเปน 2 กรณ คอ ทราบ 2 และ ไมทราบ 2 2.1 กรณทราบ 2 ถาสมตวอยางมาจากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต (หรอ
อาจจะมการแจกแจงแบบใดกได ถาตวอยางมขนาดใหญ) เราสามารถสรางชวงของความเชอมน
136
ของ ไดโดยการพจารณาการแจกแจงคาจากตวอยางของ X ซงเราทราบวาการแจกแจงคาจากตวอยางของ X มการแจกแจงประมาณไดดวยการแจกแจงแบบปกต ดวยคาเฉลย
X และ
ความแปรปรวน
X n
22
ดงนน n
xZ
จะมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน
ดงนนทระดบความเชอมน 100(1-)% ชวงในการประมาณคา คอ
nzx
nzx 22
เมอ x แทนคาเฉลย แทนสวนเบยงเบนมาตรฐาน z 2
แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ขนอยกบคา 1
n แทนจ านวนตวอยาง
ในบางครงอาจเขยนชวงความเชอมนของ ดงน
nzx 2
หรอ
nzx
nzx 22
,
2.2 กรณไมทราบ 2 ในบางครงนนเราไมทราบความแปรปรวนของขอมลใน
ประชากร ถากรณทตวอยางมขนาดใหญ (n30) คา 1n
)xx(
s
n
1i
2i
2
จะเปนคาประมาณทด
ส าหรบคา 2 ดงนนเราจงใช s2 แทน 2 ได และ n
s
xZ
ยงคงมการแจกแจงแบบปกต
มาตรฐาน และการประมาณคาเฉลยของประชากรกยงคงเปนในรปแบบเดมเพยงแตใหแทนคา
ดวย s ชวงความเชอมนในการประมาณคา 100(1-)% ของ คอ
n
szx 2
137
แตถาตวอยางมขนาดเลก ( n < 30 ) คา s2 จะไมใชคาประมาณทดของ 2 อกตอไป
และ ( )x
sn
กจะไมใชตวแปรเชงสม Z ทมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานอกตอไป แต ( )x
sn
จะเปนตวแปรเชงสม T ทมการแจกแจงแบบ t โดยมองศาแหงความเปนอสระ (degrees of freedom) เทากบ n-1
ดงนนทระดบความเชอมน 100(1-)% ชวงในการประมาณคา คอ
nstx
nstx 1n21n2 ,,
เมอ x แทนคาเฉลย s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1n,2t แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบท ขนอยกบคา 1 n แทนจ านวนตวอยาง
ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ ในรปของ
nstx 1n2 , หรอ
nstx
nstx 1n21n2 ,, ,
ตวอยาง 5.4 ส านกงานสถตเกบขอมลเกยวกบอายของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐมเพอใชเปนขอมลในการก าหนดอตราคาแรงตอไป จงท าการสมตวอยางผทใชแรงงานมา 50 คน เพอสอบถามอาย ปรากฏขอมลดงน
45 38 22 58 40 42 43 32 34 19 19 21 33 16 49 29 30 43 37 62 65 57 60 41 28 35 37 51 37 26 43 26 27 31 33 24 34 28 39 38 33 27 42 40 31 34 38 35 29 33
จงหาชวงความเชอมน 90 % ของอายเฉลยของผใชแรงงาน
วธท า จากขอมลคาประมาณแบบจดของ คอ x และคาประมาณแบบจดของ 2 คอ s2
138
28.36
50
33223845
n
xx
13.11
49
)28.3633()28.3638()28.3645(
1n
)xx(s
222
2
ก าหนด แทนอายเฉลยของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐม ชวงความเชอมน 90 % หมายความวา 100(1- )% = 90% ดงนน
1- = 0.90 = 1 – 0.90 = 0.1
จากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานไดคา 645.1z 2 ดงนนชวงความเชอมน 90 % ของอายเฉลยของผใชแรงงาน คอ
589.228.36
)50
13.11)(645.1(28.36n
s2
zx
หรอ 869.38691.33 นนคอทระดบความเชอมน 90 % อายเฉลยของผใช
แรงงานในจงหวดนครปฐมอยในชวง 33.691 ป ถง 38.869 ป
ตวอยาง 5.5 สมนกศกษา 36 คนจากนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาสถต พบวาผลการเรยนเฉลยเทากบ 2.6 และสวนเบยงเบนมาตรฐานของผลการเรยนเทากบ 0.3 จงหาชวงความเชอมน 95% และ 99% ส าหรบการประมาณผลการเรยนเฉลยของนกศกษาทงหมดทลงทะเบยนเรยนวชาสถต วธท า ก าหนด แทนคะแนนเฉลยของนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาสถต เนองจากจ านวนนกศกษาเทากบ 36 มากกวา 30 ดงนนชวงความเชอมน 95 % ของผลการเรยนของนกศกษา คอ
139
098.06.2
)36
3.0)(96.1(6.2n
s2
zx
หรอ 698.2502.2 นนคอผลการเรยนเฉลยของนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาหลกสถตอยในชวง 2.502 ถง 2.698 ทระดบความเชอมน 95%
ชวงความเชอมน 99 % ของผลการเรยนเฉลยของนกศกษา คอ
129.06.2
)36
3.0)(576.2(6.2n
szx 2
หรอ 729.2471.2 นนคอคอผลการเรยนเฉลยของนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาหลกสถตอยในชวง 2.471 ถง 2.729 ทระดบความเชอมน 95%
หมายเหต เมอระดบความเชอมนสงขน ชวงในการประมาณคาพารามเตอรจะกวางขน นนหมายถงคาพารามเตอรทเปนไปไดจะมากขนดวย การน าผลการประมาณคาไปใชจะพจารณาล าบากขนดวย และถาระดบความเชอมนนอยลง ชวงในการประมาณคาพารามเตอรจะแคบลง นนหมายถงคาพารามเตอรทเปนไปไดนอยลง การน าผลการประมาณคาไปใชกพจารณาไดงายขน ดงนนการก าหนดระดบความเชอมนในการประมาณคาจงขนอยกบผประมาณคา หรอผใชผลการประมาณคาเปนหลก ตวอยาง 5.6 เจาของฟารมสนขแหงหนงตองการทราบระยะเวลาตงครรภของสนข จงท าการเลอกตวอยางสนขมา 15 ตว และจดบนทกระยะเวลาเปนวนทสนขตงครรภ โดยเรมนบตงแตวนแรกทสนขตงครรภจนถงวนทสนขคลอดลกปรากฏผลดงน
62.0 61.4 59.8 62.2 60.3 60.4 59.4 60.2 60.4 60.8 61.8 59.2 61.1 60.4 60.9
จงประมาณระยะเวลาเฉลยทสนขใชในการตงครรภ ทระดบความเชอมน 0.95 วธท า ก าหนด แทนระยะเวลาเฉลยทสนขตงครรภ ระดบความเชอมน 0.95 หมายความวา (1-) = 0.95 ดงนน = 0.05 จากการเปดตาราง t จะได 14,025.0t = 2.145 ดงนนชวงความเชอมน 95% ของระยะเวลาเฉลยทสนขใชในการตงครรภ คอ
140
5.069.60
)15
9.0)(145.2(69.60n
stx 1n,2
หรอ 19.6119.60 นนคอระยะเวลาเฉลยในการตงครรภของสนขอยในชวง 60.19 วน ถง 61.19 วน ทระดบความเชอมน 95%
ตวอยาง 5.7 การไดรบไนเตรท (nitrate) จากอาหารทบรโภคในปรมาณสงอาจท าใหเกดผลรายตอสงมชวต เชน ววจะใหนมไดนอยลง เพอศกษาเรองนผศกษาไดใสไนเตรทในน าดมจ านวน 2,000 ppm และใหหนทดลอง 9 ตวดมน าน เปอรเซนตน าหนกของหนทเพมขนไดรบการบนทกเปนดงน
12.7 19.3 20.5 10.5 14.0 10.8 16.6 14.0 17.2
สมมตใหน าหนกมการแจกแจงแบบปกต จงหาชวงความเชอมน 90% ของน าหนกเฉลยทเพมขนของหน วธท า ก าหนด แทนเปอรเซนตเฉลยของน าหนกหนทเพมขน ดงนนชวงความเชอมน 90% ของเปอรเซนตเฉลยของน าหนกทเพมขนมคาเปน
206.2067.15
9
)558.3(86.1067.15
nstx 1n,2
หรอ 273.17861.12 หมายความวาเมอไดรบไนเตรทเปอรเซนตเฉลยของน าหนกทเพมขนมคาตงแต 12.861% ถง17.273% ทระดบความเชอมน 90%
ตวอยาง 5.8 สถานวทยแหงหนงตองการทราบอายของผฟงรายการในสถานวทยแหงน จงท าการเกบรวบรวมขอมลจากผฟงจ านวน 81 คน ผลการวเคราะหขอมลเบองตน พบวาอายเฉลย 22 ป และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3 ป ทระดบความเชอมน 95 % อายเฉลยของผฟงรายการวทยของสถานแหงนประมาณกป วธท า คอ อายเฉลยของผฟงรายการในสถานวทย
ทระดบความเชอมน 95% ชวงในการประมาณคา คอ
65.022
)33.0)(96.1(22
)81
3)(96.1(22
n
szx 2
141
นนคอ 65.2235.21 หมายความวา ทระดบความเชอมน 95% อายเฉลยของผฟงรายการในสถานวทยแหงนอยในชวง 21.35 ถง 22.65 ป
ตวอยาง 5.9 เจาหนาทอนามยคนหนงตองการทราบน าหนกของเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานทตนเองรบผดชอบ จงท าการสมตวอยางเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานจ านวน 144 คน แลวชงน าหนก พบวาน าหนกเฉลย 40 กโลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 3 กโลกรม ทระดบความเชอมน 95 % น าหนกเฉลยของเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานนอยในชวงกกโลกรม วธท า ก าหนด แทนน าหนกเฉลยของเดกหญงอาย 15 ป
ทระดบความเชอมน 95% ชวงในการประมาณคา คอ
49.040
)25.0)(96.1(40
)144
3(t40
n
stx 143,025.0
1n,2
นนคอ 49.4051.39 หมายความวา ทระดบความเชอมน 95% น าหนกเฉลยของเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานนอยในชวง 39.51 ถง 40.49 กโลกรม
การประมาณคาพารามเตอรผลตางของคาเฉลยของประชากร 2 กลม )( 21
1. การประมาณคาแบบจดของผลตางของคาเฉลย ตวประมาณคาแบบจดของ 21 คอ 21 xx
เมอ 1
n
1i
i1
1n
x
x
1
และ
2
n
1i
i2
2n
x
x
2
2. การประมาณคาแบบชวงของผลตางของคาเฉลย
แบงออกเปน 3 กรณ คอ 1. ทราบ 2
1 และ 2
2 และประชากร 2 กลมเปนอสระกน
2. ไมทราบ 21
และ 22
และประชากร 2 กลมเปนอสระกน 3. ไมทราบ 2
1 และ 2
2 และประชากร 2 กลมไมเปนอสระกน
142
2.1 ทราบ 21
และ 22
ประชากร 2 กลมเปนอสระกน ถาสมตวอยางทเปนอสระขนาด n1 และ n2 โดยท n1 และ n2 มขนาดใหญจากประชากร 2 กลม ทมการแจกแจงแบบใด ๆ ดวยคาเฉลย และความแปรปรวน
1 12
2 22, , , ตามล าดบ จะไดวาการแจกแจงคาจากตวอยางของ
X X1 2 จะประมาณดวยการแจกแจงแบบปกตดวย
X X1 21 2
และ
2
22
1
212
XX nn21
และ
2
22
1
21
2121
nn
)()xx(Z
จะมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน
ดงนนทระดบความเชอมน 100(1-)% ชวงในการประมาณ 21 คอ
2
22
1
21
2212
22
1
21
221nn
zxxnn
zxx
)()(
เมอ 1x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 1 2x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 2 2
1 แทนความแปรปรวนของประชากรกลมท 1 2
2 แทนความแปรปรวนของประชากรกลมท 2 z
2 แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ขนอยกบคา 1
n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2
ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ 21 ในรปของ
2
22
1
21
221nn
zxx
)( หรอ
2
22
1
21
2212
22
1
21
221nn
zxxnn
zxx
)(,)(
หมายเหต ถาไมทราบความแปรปรวนของประชากรทง 2 กลม และตวอยางทเลอกมามขนาดใหญ นนคอ จ านวนตวอยางมากกวา 30 สามารถใชคา 2s ของตวอยางแตละกลม ประมาณคา 2 ได
และชวงในการประมาณคา 21
คอ 2
22
1
21
221n
s
n
szxx )(
143
ตวอยาง 5.10 ขอสอบมาตรฐานชดหนงถกใชน าไปทดสอบกบนกเรยนหญง 50 คนและนกเรยนชาย 75 คน นกเรยนหญงไดคะแนนเฉลย 76 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 คะแนน นกเรยนชายไดคะแนนเฉลย 82 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน จงหาชวงความเชอมน 96% ของผลตางของคะแนนเฉลยของนกเรยนชายกบนกเรยนหญง วธท า ก าหนด
1 แทนคะแนนเฉลยของนกเรยนชาย
2
แทนคะแนนเฉลยของนกเรยนหญง ชวงความเชอมน 96% หมายความวา 100(1-)% = 96 % 1- = 0.96
= 1-0.96 = 0.04
6s76x50n
8s82x75n
222
111
จากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานจะไดคา 054.2z2
(โดยการเทยบ
บญญตไตรยางค) ดงนนชวงความเชอมน 96% ของผลตางของคะแนนเฉลยของนกเรยนชายกบนกเรยน
หญง คอ
58.26
50
36
75
64)054.2()7682(
n
s
n
sz)xx(
2
22
1
21
221
หรอ 58.842.321 นนคอนกเรยนชายกบนกเรยนหญงสอบไดคะแนน
แตกตางกนประมาณ 3.42 ถง 8.58 คะแนน 2.2 ไมทราบ 2
1 และ 2
2 ประชากร 2 กลมเปนอสระกน ในกรณทไมทราบ 2
และตวอยางมขนาดเลกถกสมมาจากประชากรทประมาณไดดวยการแจกแจงแบบปกต การแจกแจงคาจากตวอยางของ
21XX จะมการแจกแจงแบบ t ดวยองศาแหงความเปนอสระเทากบ n-1
2.2.1 ในกรณทไมทราบ 2 แตทราบวา 222
21
เราจะประมาณ 2 ดวยความแปรปรวนรวมจากตวอยาง 2
ps โดยท
2nn
s1ns1ns
21
222
2112
p
)()(
ดงนน
144
21p
2121
n
1
n
1s
xxT
)()(
จะเปนตวแปรเชงสม T ทมการแจกแจงแบบ t ดวยองศาแหงความเปนอสระ 2nn
21 และในท านองเดยวกนกบการหาชวงความเชอมนในกรณททราบความแปรปรวน
ของประชากรทงสองกลม
ดงนนทระดบความเชอมน100(1-)% ชวงในการประมาณคา 21 คอ
21p2nn221
21p2nn221
n
1
n
1stxx
n
1
n
1stxx
2121 ),(),( )()(
เมอ 1x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 1 2x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 2 2nn,2 21
t แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบท ขนอยกบคา 1 n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2
ps แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานรวม และ 2nn
s)1n(s)1n(s
21
222
211
p
ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ 21 ในรปของ
21p2nn221
n
1
n
1stxx
21 ),()( หรอ
21p2nn221
21p2nn221
n
1
n
1stxx
n
1
n
1stxx
2121 ),(),( )(,)(
2.2.2 ในกรณทไมทราบ 2 แตทราบวา 22
21
และตวอยางมขนาดเลก จะไดวา
2
22
1
21
2121
n
s
n
s
)()xx(T
โดยท T มการแจกแจงแบบ t ดวยองศาแหงความเปนอสระ ซงมคาเปน
145
1n
ns
1n
ns
n
s
n
s
2
2
222
1
2
121
2
2
22
1
21
]
ดงนนทระดบความเชอมน100(1-)% ชวงในการประมาณคา 21 คอ
2
22
1
21
),2(212
22
1
21
),2(21n
s
n
st)xx(
n
s
n
st)xx(
เมอ 1x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 1 2x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 2 2
1s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยางกลมท 1 2
2s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยางกลมท 2 ,t 2 แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ขนอยกบคา 1
n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2
ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ 21 ในรปของ
2
22
1
21
),2(21n
s
n
stxx หรอ
2
22
1
21
),2(212
22
1
21
),2(21n
s
n
st)xx(,
n
s
n
st)xx(
ตวอยาง 5.11 ในการศกษาวธการสอน 2 แบบกบนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมจงท าการทดลองสอนกบนกศกษา 2 กลม โดยกลมแรกใชวธการสอน A กบนกศกษาจ านวน 12 คน และกลมท 2 ใชวธการสอน B กบนกศกษาจ านวน 10 คน จากการใหทดสอบดวยขอสอบเดยวกนปรากฏวา กลมแรกไดคะแนนเฉลย 85 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 4 คะแนน สวนกลมท 2 ไดคะแนนเฉลย 81 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 คะแนน จงหาชวงความเชอมน 90% ในการประมาณผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทง 2 กลม โดยสมมตวาประชากรทงสองกลมมการแจกแจงแบบปกตดวยความแปรปรวนเทากน
146
วธท า ก าหนด 1
แทนคะแนนเฉลยของนกศกษาทงหมดทใชวธการสอน A
2 แทนคะแนนเฉลยของนกศกษาทงหมดทใชวธการสอน B
10n12n5s4s81x85x 212121 ในทน 22
221
ดงนนจะประมาณ 2 ดวย 2p
s โดยท
4784s
0520
21012
2591611
2nn
s1ns1ns
p
21
212
2112
p
.
.
))(())((
)()(
ชวงความเชอมน 90% หมายความวา = 0.1 7251tt 2005022n1n2 .),.(),( ดงน นชวงความเ ชอมน 90%ของผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษา
มหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทง 2 กลม คอ
78.34
)49.0)(72.7(4
10
1
12
1)478.4)(725.1()8185(
n
1
n
1st)xx(
21p)2nn,2(21 21
นนคอ 78.722.0 หมายความวาผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทใชวธการสอน A กบ B อยในชวง 0.22 คะแนน กบ 7.78 คะแนน ทระดบความเชอมน 90%
ตวอยาง 5.12 จากตวอยาง 5.11 ถาขอสมมตทวาความแปรปรวนของประชากรทง 2 กลมเทากน ไมเปนจรงแลว จงหาชวงความเชอมน 95% ของ
21
องศาแหงความเปนอสระ คอ
1596.14
19
1025
112
1216
101216
1n
ns
1n
ns
n
s
n
s
22
2
2
2
222
1
2
121
2
2
22
1
21
147
ดงนน 131.2tt 15,025.0,2 จะไดชวงความเชอมน 95% ของ
21 คอ
33.44
)03.2)(131.2(4
9
25
12
16)131.2()8185(
n
s
n
stxx
2
22
1
21
),2(21
หมายความวาผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทใชวธการสอน A กบ B อยในชวง –0.33 คะแนน กบ 8.33 คะแนน ทระดบความเชอมน 95 %
2.3 ไมทราบ 21
และ 22
ประชากร 2 กลมไมเปนอสระกน ในหวขอทผานมาเปนการประมาณคาแบบชวงของผลตางของคาเฉลยของประชากร 2 กลมทเปนอสระกน นนคอตวอยางทสมมาจากประชากรกลมท 1 เปนอสระจากตวอยางทสมมาจากประชากรกลมท 2 ซงเมอรวมขนาดของตวอยางแลวจะมขนาด 21 nn แตในการทดลองบางประเภท เชนการควบคมอาหารใหถกวธจะชวยลดน าหนกไดอยางมประสทธภาพเพยงใด โดยเปรยบเทยบน าหนกกอน และหลงควบคม หรอการเปรยบเทยบผลการเรยนของนกศกษาในปสดทายกอนทจะจบ กบปแรกทเรมเขาเปนนกศกษาใหมวาแตกตางกนหรอไม เปนตน การทดลองเหลานจะใชขนาดตวอยางเพยงแค n เทานนส าหรบการทดลอง ซงแตละตวอยางจะมขอมล 2 คา เชนน าหนกกอนการควบคม และน าหนกหลงการควบคม ผลการเรยนของนกศกษาในปสดทายกอนทจะจบ และปแรกทเรมเขาเปนนกศกษาใหม คะแนนกอนเรยนและหลงเรยน ปรมาณเชอแบคทเรยในอาหารเมอเวลาผานไป 1 และ 2 ชวโมง เปนตน
ขอมลในลกษณะเชนนจะเปนขอมลของตวยางทมาจากประชากรเพยงกลมเดยวแตมการรวบรวมขอมล 2 ครง ซงถอวาขอมล 2 กลมนไมเปนอสระกน หรอเรยกวา ขอมลค (pair data) การประมาณคาผลตางของคาเฉลยของประชากร 2 กลมในลกษณะนเรยกวาการประมาณคาเฉลยของผลตางระหวาง 2 ประชากรโดยวธการจบค หรอการประมาณคาเฉลยของผลตางระหวาง 2 ประชากรทไมเปนอสระกน
ก าหนดให i1x และ i2x เปนขอมลของตวอยางกลมท 1 (กอน) และกลมท 2
(หลง) และ i2i1i xxd เปนผลตางของขอมลแตละค เมอ i = 1,…, n ลกษณะของขอมลเปนดงน
148
กลมท 1 ( กอน )
i1x
กลมท 2 (หลง)
i2x
ผลตาง
i2i1i xxd
11x 21x 21111 xxd
12x 22x 22122 xxd 13x 23x 23133 xxd
n1x n2x n2n1n xxd
จะเหนวา n21 d,,d,d เปนตวแปรสม ทมาจากประชากรทมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลย d และไมทราบความแปรปรวน 2
d ดวยวธการเชนเดยวกบการประมาณคาแบบชวง
ของคาเฉลยของประชากร 1 กลม จะไดชวงความเชอมนในการประมาณคา 21d ดงน
ทระดบความเชอมน100(1-)% ชวงในการประมาณคา d คอ
n
std
n
std d
1n,2dd
1n,2
เมอ d แทนคาเฉลยของผลตาง และ n
d
d
n
1i
i
ds แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของผลตาง และ
1n
dd
s
n
1i
2i
d
1n,2t แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบท ขนอยกบคา 1 n แทนจ านวนคตวอยาง
ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ d ในรปของ
n
std d
1n,2
หรอ
n
std,
n
std d
1n,2d
1n,2
ตวอยาง 5.13 นกจตวทยาผหนงตองการเปรยบเทยบวธการวดระดบ IQ 2 วธ จงเลอกตวอยางเดกมา 8 คน แลวทดสอบวด IQ ดวยวธการวดแบบท 1 เวนระยะเวลาพอประมาณแลวทดสอบวด IQ ดวยวธการวดแบบท 2 กบเดกกลมเดม ไดผลดงตารางดานลาง จงประมาณคาเฉลยของความแตกตางของระดบ IQ ทระดบความเชอมน 99 %
149
คนท ระดบ IQ ผลตาง วธท 1 วธท 2
1 77 72 5 2 74 68 6 3 82 76 6 4 73 68 5 5 87 84 3 6 69 68 1 7 66 61 5 8 80 76 4 35d
37548
35
n
dd
i.
83927
375443754637545
1n
dd
s222
n
1i
2i
2
d.
).().().()(
วธท า ก าหนด d แทนคาเฉลยของความแตกตางของระดบ IQ ชวงความเชอมน 99% ของ d คอ
085.2375.4
)596.0()499.3(375.4
8
685.1t375.4
n
std 7,005.0
d
1n,2
ดงนน 466292 d .. หมายความวาทระดบความเชอมน 99 % วธการวดระดบ IQ วธท 1 วดระดบ IQ สงกวาวธท 2 ประมาณ 2.29 ถง 6.46 คะแนน
150
การประมาณคาสดสวนของประชากร 1 กลม )p(
ในบางครงเราอาจสนใจลกษณะของประชากรเกยวกบรอยละของลกษณะทสนใจ เชนรอยละของผทนยมชมชอบการสอสารดวย MSN รอยละของลกคาทชอบใชยาสฟนทผสมเกลอ หรอรอยละผลตภณฑทไมไดมาตรฐานเปนตน ซงการจะตอบค าถามเหลานไดตองทราบจ านวนของลกษณะทสนใจแลวเทยบกบจ านวนทงหมด หรอทเราเรยกวาคาสดสวนของสงทสนใจ โดยทวไปการหาคาสดสวนของสงทสนใจมกใชกบขอมลเชงคณภาพมากกวาขอมลเชงปรมาณ หรอถาเปนขอมลเชงปรมาณกเปนขอมลเชงปรมาณทเกบเปนชวง ๆ
1. การประมาณคาแบบจดของสดสวน
ตวประมาณคาแบบจดของ p คอ p โดยท
p =
2. การประมาณคาแบบชวงของสดสวน
ชวงความเชอมนของ p เมอขอมลมการแจกแจงแบบปกต หรอใกลเคยงปกต และตวอยางมจ านวนมากจนท าให )ˆ(ˆ p1npn และ มคามากกวาหรอเทากบ 5 เปนดงน
ทระดบความเชอมน %)( 1001 ชวงในการประมาณคา p คอ
n
p1pzpp
n
p1pzp
22
)ˆ(ˆˆ
)ˆ(ˆˆ
เมอ p แทนสดสวนของตวอยางทสนใจ
2
z แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน มคาขนอยกบ 1
n แทนจ านวนตวอยาง
ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ p ในรปของ
n
)p1(pzp
2
หรอ
n
)p1(pzp,
n
)p1(pzp
22
จ านวนตวอยางทสนใจ จ านวนตวอยางทงหมด
151
ตวอยาง 5.14 ในการเลอกตวอยางผใชรถยนตสวนบคคลจ านวน 100 คน เพอสอบถามยหอรถคนตอไปถาเขาจะเปลยนรถคนทใชอยในปจจบน ปรากฏวามอย 30 คนทตองการเปลยนไปใชรถยหอ A ทระดบความเชอมน 90% จงประมาณคาสดสวนของผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A ในการเปลยนรถครงตอไป วธท า ก าหนด p คอสดสวนของผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A ดงนน
p =
= 10030
= 0.30
เนองจาก 70)70.0(100)pn(1;30)30.0)(100(pn มากกวา 5
ดงนนทระดบความเชอมน 90% ชวงในการประมาณคา p คอ
07.030.0100
)70.0)(30.0()645.1(30.0
n)p(1p
zp2α
นนคอ 37.0p23.0 หมายความวาทระดบความเชอมน 90% สดสวนของผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A ในครงตอไปอยในชวง 23% ถง 37%
ตวอยาง 5.15 บรษทขายเครองส าอางคยหอ tell me ตองการทราบวาผหญงไทยใชเครองส าอางคยหอนประมาณกเปอรเซนต จงสมตวอยางผหญงไทยมา 500 คน ปรากฏวามผใชเครองส าอางคยหอน 95 คน ใหตอบค าถามของบรษททระดบความเชอมน 95% วธท า ก าหนด p แทนสดสวนของผหญงไทยใชเครองส าอางคยหอ tell me
p =
= 500
95
= 0.19
จ านวนผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A
จ านวนตวอยางทงหมด
จ านวนตวอยางทงหมด จ านวนผใชเครองส าอางคยหอ tell me
152
เนองจาก 405810500p1n95190500pn ).()ˆ(;).)((ˆ มากกวา 5 ดงนน ทระดบความเชอมน 95% ชวงในการประมาณคา p คอ
03430190
01750961190
500
810190961190
n
p1pzp
2
..
).)(.(.
).)(.().(.
)ˆ(ˆˆ
นนคอ 22430p15570 .. หมายความวาทระดบความเชอมน 90% มผหญงไทยใชเครองส าอางยหอ tell me ประมาณรอยละ 15.57 ถง 22.43
การประมาณคาผลตางของสดสวนของประชากร 2 กลม )( 21 pp
1. การประมาณคาแบบจดของผลตางของสดสวน
ตวประมาณคาแบบจดของ 21 pp คอ 21 pp ˆˆ โดยท
1p =
2p =
2. การประมาณคาแบบชวงของผลตางของสดสวน
ชวงความเชอมนของ 21 pp เมอขอมลมการแจกแจงแบบปกต หรอใกลเคยงปกต และตวอยางมจ านวนมากจนท าให )p1(n,pn 1111 และ )p1(n,pn 2222 มคามากกวาหรอเทากบ 5 เปนดงน
ทระดบความเชอมน %)( 1001 ชวงในการประมาณคา 21 pp คอ
2
22
1
11
2
21212
22
1
11
2
21n
p1p
n
p1pzpppp
n
p1p
n
p1pzpp
)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ
)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ
จ านวนตวอยางกลมท 1 จ านวนตวอยางทสนใจในประชากรกลมท 1
จ านวนตวอยางกลมท 2 จ านวนตวอยางทสนใจในประชากรกลมท 2
153
เมอ 1p แทนสดสวนของตวอยางทสนใจในตวอยางกลมท 1
2p แทนสดสวนของตวอยางทสนใจในตวอยางกลมท 2
2
z แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน มคาขนอยกบ 1
n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2
บางครงอาจเขยนชวงความเชอมนของ 21 pp ในรปของ
2
22
1
11
2
21n
p1p
n
p1pzpp
)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ
หรอ
2
22
1
11
2
212
22
1
11
2
21n
)p1(p
n
)p1(pzpp,
n
)p1(p
n
)p1(pzpp
ตวอยาง 5.16 ในการหยงเสยงการลงคะแนนของผมสทธเลอกตงของเขต 1 และเขต 2 ทมตอผสมครเบอร 1 จงท าการสมตวอยางผมสทธเลอกตงจากเขต 1 จ านวน 300 คน และเขต 2 จ านวน 200 คน พบวาในเขต 1 มผลงคะแนนใหเบอร 1 จ านวน 168 คน และเขต 2 จ านวน96 คน ทระดบความเชอมน 90% สดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 1 ตางจากเขต 2 ประมาณเทาไร วธท า ก าหนด p1 แทนสดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 1 p2 แทนสดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 2
ดงนน
560
300
168
n
ap
1
11
.
ˆ
และ 480
200
96
n
ap
2
22
.
ˆ
เนองจาก 132p1n168pn 1111 )ˆ(,ˆ และ 104p1n96pn 2222 )ˆ(,ˆ มคามากกวาหรอเทากบ 5 ดงนน
154
ทระดบความเชอมน 90% ชวงในการประมาณคา 21 pp คอ
2
22
1
11
2
21n
p1p
n
p1pzpp
)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ
200
520480
300
4405606451480560
).)(.().)(.().()..(
0730080
04506451080
..
).)(.(.
นนคอ 15302p1p0070 .. หมายความวาสดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 1 ตางจากเขต 2 ประมาณ 0.007 ถง 0.153 ทระดบความเชอมน 90 %
การใชโปรแกรมส าเรจรป
ตวอยาง 5.17 ส านกงานสถตเกบขอมลเกยวกบอายของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐมเพอใชเปนขอมลในการก าหนดอตราคาแรงตอไป จงท าการสมตวอยางผทใชแรงงานมา 50 คน เพอหาอายเฉลย ปรากฏขอมลดงตาตารางดานลาง จงหาชวงความเชอมน 90 % ของอายเฉลยของผใชแรงงาน ดวย Microsoft Excel
45 38 22 58 40 42 43 32 34 19 19 21 33 16 49 29 30 43 37 62 65 57 60 41 28 35 37 51 37 26 43 26 27 31 33 24 34 28 39 38 33 27 42 40 31 34 38 35 29 33
ขนตอนท 1 ใสขอมลใน Microsoft Excel เลอกเมน Data เลอก Data Analysis
155
ขนตอนท 2 ในหนาตาง Data Analysis เลอก Descriptive Statistics
ขนตอนท 3 ใสรายละเอยดในสวนตาง ๆ ดงรป
ขนตอนท 4 จะไดผลลพธ ดงรป
156
ก าหนด แทนอายเฉลยของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐม ทระดบความเชอมน 90 % ชวงในการประมาณคา คอ
6422836n
stx
1n2
..,
นนคอ 92386433 .. หมายความวาอายเฉลยของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐมประมาณ 33.64 ถง 38.92 ป ทระดบความเชอมน 90%
สรปทายบท
การประมาณคาเปนวธการแรกของการวเคราะหขอมลในสวนสถตอางองซงเปนการประมาณคาพารามเตอรทสนใจจากคาสถตของตวอยางทเลอกมาเปนตวแทนของประชากร โดยทวไปการประมาณคาพารามเตอรใด ๆ ม 2 วธ คอการประมาณคาแบบจด และการประมาณคาแบบชวงมขอดและขอเสยแตกตางกนไป การประมาณคาแบบจดนนสะดวกและงาย แตโอกาสทจะประมาณคาผดพลาดจากความเปนจรงมากในขณะทการประมาณคาแบบชวงนนมโอกาสทจะประมาณคาผดพลาดจากความเปนจรงนอยลง แตกยงยากกวา ดงนนควรระมดระวงในการเลอกวธการประมาณคา
แบบฝกหดทายบท
1. สมตวอยางขนาด 9 จากประชากรทมการแจกแจงแบบ N( ,25) จากตวอยางทม 70x จงประมาณชวงความเชอมนของ โดยก าหนดระดบความเชอมน ดงน 1.1 ระดบความเชอมน 99% 1.2 ระดบความเชอมน 95% 1.3 ระดบความเชอมน 80%
2. เพอประมาณคาเฉลยของเสนผานศนยกลางของลกปนของบรษทแหงหนง จงสมตวอยางลกปน 200 ลก ปรากฏวาไดคาเฉลยเปน0.824 นว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.042 นว จงหาชวงความเชอมน 95% และ 98%
157
3. สมตวอยางหลอดไฟ 25 หลอด จากบรรดาหลอดไฟ 40 วตต รนหนง ปรากฏวาไดอายเฉลยในการใชงาน 1,410 ชวโมง สวนเบยงเบนมาตรฐาน 200 ชวโมง สมมตวาอายการใชงานของหลอดไฟมการแจกแจงแบบปกต จงประมาณคาอายการใชงานเฉลยของหลอดไฟ 40 วตต ทระดบความเชอมน 0.95
4. ในการผลตแผนเหลกไรสนมใหมคณภาพนน จะตองมการตรวจสอบผลตภณฑอยางสม าเสมอ เมอตรวจสอบเหลกไรสนมชนดแผนกวาง ชนดทมความกวาง 660 มม. จ านวน 25 แผน ในชวงสปดาหหนง พบวาคาเฉลยของความกวาง เทากบ 662 มม. ความแปรปรวนเทากบ 16 จงหา 4.1 ชวงความเชอมน 90% ของ 4.2 โดยไมตองแสดงคาของชวงความเชอมน ถาเปลยนจาก 90% เปน 99% จะมผลเชนใดกบ
ชวงทสรางขนใหมน 5. สมตวอยางขนาด 16 จากประชากรกลม 1 ทมการแจกแจงแบบปกต ( 1 ,7) โดย 42X
1 สม
ตวอยางขนาด 25 จากประชากรกลม 2 ทมการแจกแจงแบบปกต ( 2 ,9) โดย 31X2 จงหา
ชวงความเชอมน 90% ของ 21 6. อาจารยสอนสถตเบองตนผหนงสอนวชานใหแกนกเรยน 2 กลม กลมแรกมนกเรยน 10 คน
กลมทสอง 13 คน อาจารยใชวธการสอบโดยสอบทกสปดาหกบนกเรยนกลมแรก และสอบสอบกลางภาคเพยงครงเดยวกบนกเรยนกลมท 2 และขอสอบปลายภาคใชชดเดยวกน ปรากฏวาคะแนนเฉลยของนกเรยนกลมแรก คอ 80 คะแนน คาเบยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน คะแนนเฉลยของนกเรยนกลมท 2 คอ 82 คะแนน คาเบยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน ถาสมมตวา ความแปรปรวนของคะแนนของนกเรยนทงสองกลมเทากน จงหา 6.1 ชวงความเชอมน 90% ของ 21 6.2 ถาขอสมมตขางตนไมเปนจรง จงหาชวงความเชอมน 90% ของ 21
7. การตรวจวดระดบกรดยรกผปวยชายในกลมอายหนงทเปนโรคประสาทจ านวน 12 คน ไดคาเฉลยระดบกรดยรกเทากบ 4.5 มลลกรมตอ 100 มลลลตร และจากการตรวจวดระดบกรดยรกผปวยหญงในกลมอายเดยวกนกบผปวยชายทเปนโรคประสาทจ านวน 15 คน ไดคาเฉลยระดบกรดยรกเทากบ 3.4 มลลกรมตอ 100 มลลลตร ถาปรมาณกรดยรกในประชากรทงสองมการแจกแจงแบบปกต โดยทประชากรทงสองมความแปรปรวนเทากบ 1 เทากน จงสรางชวงความเชอมน 95% ของการประมาณความแตกตางระหวางปรมาณระดบกรดยรกโดยเฉลยในผปวยชายและผปวยหญงทเปนโรคประสาทในกลมอายเดยวกน
158
8. การทดลองเพอเปรยบเทยบการละลายของสารชนดหนงดวยตวท าละลาย 2 ชนด คอ A และ B โดยแตละครงของการทดลองใชสารทดลอง 100 มลลกรม ตวท าละลาย 50 เซนตลตร เมอทดลองดวยตวท าละลายชนด A จ านวน 9 ครง พบวา ไดน าหนกสารทละลายเฉลย 64 มลลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 มลลกรม ทดลองดวยตวท าละลายชนด B จ านวน 14 ครง พบวา ไดน าหนกสารทละลายเฉลย 49 มลลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 มลลกรม ถาความแปรปรวนของน าหนกสารทละลายดวยตวท าละลายทงสองชนดเทากน จงหาชวงความเชอมน 95% ของการประมาณความแตกตางของน าหนกเฉลยของสารทละลายโดยใชตวท าละลายทงสองชนด
9. ผผลตรองเทากฬารายหนงตองการทราบวาลกคามความนยมในรองเทากฬาทผลตหรอไม จงท าการส ารวจผซอรองเทากฬาทงหมด 500 คน พบวามลกคา 60% ทนยมในรองเทากฬาทผลต อยากทราบวาทระดบความเชอมน 0.90 สดสวนของลกคาทนยมในรองเทากฬาทผลตเปนเทาใด
10. เพอทดสอบเชอไวรสชนดหนงทฉดเขาไปในกระตายวาท าใหกระตายทไดรบเชอนมโอกาสเปนเนองอกทหนาอกในอตรารอยละเทาไร ผท าการวจยจงไดสมตวอยางกระตายทไดรบเชอนมา 128 ตว แลวท าการตรวจสอบ ปรากฎวามอย 72 ตว ทเปนเนองอกทหนาอก จงประมาณคาสดสวนของกระตายทงหมดทไดรบเชอไวรสนแลวจะเปนเนองอกทหนาอก โดยใชชวงความเชอมน 95%
11. ในการทดลองเพอทดสอบประสทธภาพของยาทใชรกษาหม โดยแบงหมทเปนโรคชนดหนงออกเปน 2 กลม ๆ ละ 100 ตว และทดลองใหยาแกหมกลมท 1 แตไมใหยาแกหมกลมท 2 นอกจากนนไดควบคมตวแปรอน ๆ ใหมความสม าเสมอกนทงสองกลม จากการทดลองพบวาหมกลมท 1 หายจากโรค 75 ตว สวนหมกลมท 2 หายจากโรค 65 ตว ทระดบความเชอมน 95% สดสวนของหมกลมท 1 ทหายจากการเปนโรคตางจากหมกลมท 2 ประมาณเทาไร
12. จากการสมตวอยางผลงคะแนนเสยงเลอกตงสมาชกสภาผแทนราษฎรของจงหวดสงขลาครงหนง จากอ าเภอเมอง 300 คน และอ าเภอระโนด 200 คน พบวา ม 56% และ 48% ตามล าดบ ทเลอกผสมครรบเลอกตงเบอร 1 จงหาชวงความเชอมน 95% ของความแตกตางระหวางสดสวนทผลงคะแนนเลอกผสมครรบเลอกตงเบอร 1 ของทงสองอ าเภอน
Top Related