บทที่ 4
ความสัมพันธ
(Relation)
ในบทนี้เราจะนํามโนมต ิ(Concept) ที่สําคัญในวชิาคณติศาสตรและมีความจําเปนใน
การศกึษาวชิาทฤษฎีเซตเปนอยางมากนอกจากนัน้ยังเปนพื้นฐานในการศกึษาฟงกชันแมวาเรา
จะไดเคยศกึษาเรื่องความสัมพันธมาจนคุนเคยมาแลวตัง้แตระดับมัธยมศกึษาตอนปลายและใน
ระดับอุดมศกึษาปที่ 1 แตก็มิไดกลาวถงึสมบัตแิละมโนมตทิี่ควรทราบดังนัน้ในบทนี้เราจะศกึษา
มโนมตดิังกลาว
4.1 คูอันดับ (Ordered Pairs)
การสรางเซตใหมที่ไดศกึษามาแลวขางตน ไดมาจากการกําหนดเซตมาใหตั้งแต 1 เซต
ข้ึนไปแตในเนื้อหาที่จะศกึษาตอจากนี้ไปจะกลาวถึงการสรางเซตจากการกําหนดสมาชิกของ
เซตมาใหในการศกึษาคูอันดับนัน้เราสามารถศกึษา ไดดังนี้
สัจพจน 4.1.1 สัจพจนการจับคู (Pairing Axiom) สําหรับสมาชิก a และ b ใด ๆ จะมีเซต
A ซ่ึงมีสมบัตวิาสําหรับทุก ๆ x A ก็ตอเม่ือ x a หรอื x b
ขอสังเกต จากสัจพจน 4.1.1 เราจะไดวามีเซต A โดยที่ x x A x a x b
ทฤษฎีบท 4.1.2 สําหรับสมาชิก a และ b ใด ๆ จะมีเซต A ซ่ึงมีสมบัติวาสําหรับทุก ๆ
x A ก็ตอเม่ือ x a หรอื x b มีเพียงเซตเดยีวเทานัน้
พิสูจน ทําเปนแบบฝกหัด
82
ขอสังเกต เซต A ที่ไดมาโดยสัจพจน 4.1.1 และจากทฤษฎีบท 4.1.2 สามารถสรุปไดวามีเพียง
เซตเดยีวเทานัน้นั่นคอื ,A a b และจะไดวา ,x a b x a x b
ทฤษฎีบท 4.1.3 กําหนดให a และ b เปนสมาชิกใด ๆ จะไดวา , ,a b c d ก็ตอเม่ือ
a c b d หรอื a d b c
พิสูจน สมมตใิห , ,a b c d จะแสดงวา a c b d หรอื a d b c
เนื่องจาก ,a a b ดังนัน้ ,a c d แสดงวา
a c a d (*)
ในทํานองเดยีวกนัจะไดวา
b c b d (**)
c a c b (***)
d a d b (****)
กรณี a b
จาก (***) และ (****) จะไดวา a c b d ดังนัน้
a c b d a d b c กรณี a b
ถา a c จะไดวา b c จาก (**) และ (***) จะไดวา a c b d นัน่คอื a c b d หรอื a d b c
จาก (*) และ (***) จะไดวา a d b c นั่นคอื a c b d หรอื a d b c
สําหรับ x ใด ๆ ซ่ึง ,x a b จะไดวา
,x a b x a x b (1)
เม่ือ a c b d หรอื a d b c
กรณี a c b d
จาก (1) จะไดวา ,x a b x c x d
,x c d
ดังนัน้
83
,a b = ,c d (2)
กรณี a d b c
จาก (1) จะไดวา
,x a b x d x c
x c x d
,x c d
ดังนัน้
, ,a b c d (3)
จาก (2) และ (3) สรุปไดวา ,a b = ,c d
หมายเหต ุสมาชิก a และ b ในสัจพจนการจับคูอาจมีคาเทากันก็ไดนั่นคือสําหรับ a จะมี
,A a a เซต A ขางตนมีการกําหนดช่ือเรยีกเฉพาะลงไป ดังนี้
บทนิยาม 4.1.4 กําหนดให a เปนสมาชิกใด ๆ ,a a a และเรียก a วาเซตหนึ่ง
หนวย (Unit Set)
ขอสังเกต เซตที่มีสมาชิกตัวเดยีวเราจะเรยีกเซตหนึ่งหนวย
ทฤษฎบีท 4.1.5 สําหรับสมาชิก a และ b ใด ๆ a b ก็ตอเม่ือ a b
พิสูจน เนื่องจาก ,a a a และ ,b b b ดังนั้น , ,a b a a b b โดย
ทฤษฎีบท 4.1.3 จะไดวา , ,a a b b a b สรุปไดวา a b a b
ขอสังเกต จากสัจพจน 4.1.1 เม่ือกําหนด a และ b มาใหจะสามารถสรางเซตไดมากมายเชน
, , , , , ,a a a b b b a b
, , , ,a b a a b และ , ,b a b เปนตน
เซตบางเซตที่สรางไวในตัวอยางขางตนจะไดใชในการสรางบทนยิามคูอันดับดังนี้
84
บทนยิาม 4.1.6 คูอันดับ (Ordered Pairs) ของสมาชิก a และ b เขียนแทนดวยสัญลักษณ
,a b คือ , ,a a b และเรียก a วาพิกัดท่ีหนึ่ง (First Coordinate) และเรียก b วา
พิกัดท่ีสอง (Second Coordinate)
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.1.6 จะพบวา , , ,b a b b a และถา a b จะเห็นไดชัดวา
, ,a b b a
ทฤษฎีบท 4.1.7 กําหนดให a และ b เปนสมาชิกใด ๆ จะไดวา , ,a b c d ก็ตอเม่ือ
a c และ b d
พิสูจน สมมตใิห , ,a b c d จะแสดงวา a c และ b d เนื่องจาก , ,a b c d
จะได , ,a a b , ,c c d การที่เซตทั้งสองเซตจะเทากันแสดงวาสมาชิกในเซตทั้ง
สองนั้นเหมือนกัน นั่นคือ a เปนสมาชิกใน , ,c c d และ ,a b เปนสมาชิกใน
, ,c c d จะได a c หรอื a ,c d
และ
,a b c หรอื ,a b ,c d
กรณีท่ี 1 a c เนื่องจาก a c ทําใหไดผลลัพธเปน a c แตเพราะวา ,a b c หรือ
,a b ,c d จะไดวาถา ,a b c และ a c จะไดวา a b c ดังนั้น a c และ
b d ถา ,a b ,c d และ a c จะไดวา b d ดังนัน้ a c และ b d
กรณีท่ี 2 a ,c d
จาก a ,c d ทําใหได a c d เรามี ,a b c หรือ ,a b ,c d จะ
ไดวาถา ,a b c จะไดวา a b c แลว a c และ b d และถา ,a b ,c d
และ a c d จะไดวา a b c d แลว a c และ b d
สมมตใิห a c และ b d จะแสดงวา , ,a b c d เห็นไดชัดเจน
85
ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 4.1.7 เราจะไดวา
1. , ,a b c d a c b d
2. , ,a b c d a c b d
ตัวอยาง 4.1.8 กําหนดให ,3 4,a b จงหา , a b และ a b
วธิทํีา เนื่องจาก ,3 4,a b จะไดวา 4a และ 3b ดังนัน้ 4 3 7a b
ตัวอยาง 4.1.9 กําหนดให 1,4 3, 2a b จงหา ,a b
วธิทํีา เนื่องจาก 1,4 3, 2a b จะไดวา 1 3a และ 4 2b ดังนั้น 2a และ
6b ดังนัน้ , 2,6a b
ทฤษฎบีท 4.1.10 ถา a และ b เปนสมาชิกใด ๆ ใน A แลวจะได , ( ( ))a b P P A
พิสูจน เนื่องจาก ,a b A จะได a A และ ,a b A แสดงวา ( )a P A และ
, ( )a b P A ดังนัน้ , , ( )a a b P A นั่นคอื , ( ( ))a b P P A
ทฤษฎบีท 4.1.11 กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จะมีเซต r ซ่ึงสมาชิกของเซต r คอืคูอันดับ
,a b โดยที่ a A และ b B
พิสูจน ให a A และ b B จะได a A B และ ,a b A B ดังนัน้ a P A B และ ,a b P A B
ฉะนัน้ , ,a a b P A B และได , ,a a b P A B หรือ
, ,a a b P P A B
นั่นคอื ,a b P P A B ดังนัน้เซต P P A B มีสมาชิกเปนคูอันดับ ,a b โดยที่
a A และ b B ซ่ึงเซต P P A B คอืเซต r ตามตองการ
86
แบบฝกหัด 4.1
1. จงพิสูจนวาเซต A ที่มีสมบัตวิา x x A x a x b สําหรับ ,a b คูหนึง่มี
เพียงเซตเดยีวเทานัน้
2. ถา a b แลวจงพิสูจนวา ,a b a
3. ถา a A และ b B แลวสามารถสรุปวา ,a b P P A P B หรอืไมเพราะ
เหตุใด
4. ถา a A แลวจงพิสูจนวา ,a b A B
5. กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวาเซต C ทีมี่สมบตัวิา
,x C a b a A b B x a b
มีเพียงเซตเดยีวเทานัน้
87
4.2 ผลคูณคารทีเชยีน (Cartesian Product)
สิ่งหนึ่งที่เปนพื้นฐานสําคัญในเรื่องของความสัมพันธคือคูอันดับ (Ordered Pairs) คู
อันดับนัน้เกดิข้ึนจากการเรยีงลําดับกันระหวางสิ่งสองสิ่งนั่นก็คอืคูอันดับนัน้จะตองมีสมบัตเิปน
คูและมีอันดับในตัวดวยคูอันดับแตละคูนัน้จะตองประกอบดวยสมาชิก 2 ตัวนั่นคอืสมาชิกพิกัด
ที่ 1 และสมาชิกพิกัดที่ 2 และการที่จะเปนสมาชิกพิกัดที่ 1 และสมาชิกพิกัดที่ 2 นั้นจะมีการ
แสดงอันดับที่สําคัญมาก เชน การเขียนคูอันดับของสามีกับภรรยา (ไพโรจน, ญาญา) สมาชิก
ตัวหนาคอืไพโรจนเปนสามีและสมาชิกตัวหลังคอื ญาญาเปนภรรยา จากคูอันดับนี้หากเราสลบั
ที่กันระหวางคูอันดับทั้งสองใหกลายมาเปน (ญาญา, ไพโรจน) ความหมายอันดับก็จะผิดไป
จากเดิมที่เปนอยูกลายเปนวาญาญาเปนสามีและไพโรจนเปนภรรยาซ่ึงไมถูกตอง ในทาง
คณติศาสตรมักเขียนคูอันดับในรูป ,a b โดยที่ a เปนสมาชิกพิกัดที่ 1 และ b เปนสมาชิก
พิกัดที่ 2
คูอันดับ ,a b ถอืไดวาสรางข้ึนโดยอาศัยสัจพจนที่ 4.1.1 สิ่งที่จะศึกษาตอไปคือการ
แสดงวามีเซตซ่ึงมีสมาชิกเปนคูอันดับ หรอืกลาวโดยยอวามีเซตของคูอันดับนัน้เอง
ทฤษฎบีท 4.2.1 กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จะมีเซต r ที่มีสมบัติวา x r ก็ตอเม่ือจะมี
a A และ b B ซ่ึง ,x a b
พิสูจน ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวามี A B และสําหรับ A B จะไดวามี
P A B และทําใหทราบตอไปอีกวามี P P A B สําหรับ P P A B จะมี r ที่มี
สมบัตวิา x r ก็ตอเม่ือมี a A และ b B ซ่ึง ,x a b
ขอสังเกต โดยทฤษฎีบท 4.2.1 จะไดวา x P P A B เปนจรงิสําหรับทุก ๆ a A และ
b B เพราะฉะนัน้มี r ที่มีคุณสมบัตวิา
,x r a b a A b B x a b
สําหรับเซต A และ B คูหนึ่งเซต r ที่มีสมบัตติามที่กลาวไวในทฤษฎีบท 4.2.1 ก็จะสามารถ
พิสูจนไดโดยงายมีเพียงเซตเดยีวเทานัน้นั่นคอื
88
ทฤษฎีบท 4.2.2 กําหนดให ,A B เปนเซตใด ๆ จะมีเซต r ที่มีสมบัติวา x r ก็ตอเม่ือมี
a A และ b B ซ่ึง ,x a b เพียงเซตเดยีวเทานัน้
พิสูจน จากทฤษฎีบท 4.2.1 เราจะไดวามีเซต r ที่มีสมบัติวา x r ก็ตอเม่ือมี a A และ
b B ซ่ึง ,x a b ตอไปเราจะแสดงวามีเซต r เพียงเซตเดียวเทานั้น ให *r มีสมบัติวา
*x r ก็ตอเม่ือมี a A และ b B ซ่ึง ,x a b ดังนัน้ *r r สามารถสรุปไดวาจะมีเซต
r ที่มีสมบัตวิา x r ก็ตอเม่ือมี a A และ b B ซ่ึง ,x a b เพียงเซตเดยีวเทานัน้
บทนิยาม 4.2.3 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลคูณคารทีเชียน (Cartesian
Product) ของเซต A กับ B เขียนแทนดวยสัญลักษณ A B คือเซตของคูอันดับ ,a b
ทัง้หมดเม่ือ a A และ b B ในกรณทีี่ A B เราจะเขียน 2A แทน A A
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.2.3 เราจะไดวา
1. ( , ) |A B a b a A b B
2. ,a b A B a A b B
3. ,a b A B a A b B
ตัวอยาง 4.2.4 กําหนดให 1,2,3A และ ,B a b จงหา , ,A B B A A A และ
B B
วธิทํีา 1, , 1, , 2, , 2, , 3, , 3,A B a b a b a b
,1 , ,1 , , 2 , , 2 , ,3 , ,3B A a b a b a b
1,1 , 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 2,3 , 3,1 , 3, 2 , 3,3A A
, , , , , , ,B B a a a b b a b b
ตัวอยาง 4.2.5 กําหนดให 4,5A และ 3,6B จงพิจารณาขอความ 4,6 A B และ 4,5 A B เปนจรงิหรอืไม
วธิทํีา 4,6 A B เพราะวา 4 A และ 6 B 4,5 A B เพราะวา 5 B
89
ทฤษฎบีท 4.2.6 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B ก็ตอเม่ือ A
หรอื B
พิสูจน สมมตใิห A B จะแสดงวา A หรอื B จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง
กําหนดให A และ B ดังนัน้จะมี a A และ b B แสดงวามี ,a b A B เกดิ
ขอขัดแยง สรุปไดวา A หรอื B
สมมตใิห A หรอื B จะแสดงวา A B จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง
สมมุติวา A B แสดงวามี ,a b A B นั่นคือ a A และ b B ดังนั้น A
และ B เกดิขอขัดแยง สรุปไดวา A B
ทฤษฎบีท 4.2.7 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ ถา A B แลวจะไดวา
(1) A C B C
(2) C A C B
พิสูจน (1) จะแสดงวา A C B C
กรณีท่ี 1 A C
เนื่องจาก A C จะไดวา A C B C
กรณีท่ี 2 A C
ให ,a b A C จะไดวา a A และ b C เนื่องจาก A B ดังนั้น a B และ
จะไดวามี a B และ b C แสดงวา ,a b B C สรุปไดวา A C B C
(2) โดยการพิสจูนทํานองเดยีวกันกับขอ (1) จะไดวา C A C B
90
ทฤษฎบีท 4.2.8 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ ถา A B แลวจะไดวา
(1) A C B C
(2) C A C B
พิสูจน เนื่องจาก A B ดังนัน้ A B และ B A โดยทฤษฎีบท 4.2.7 จะได
A C B C B C A C
C A C B
C B C A
เพราะฉะนัน้ A C B C และ C A C B
ทฤษฎบีท 4.2.9 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา
(1) ถา A B แลว A A B B
(2) ถา A B แลว A A B B
พิสูจน (1) เนื่องจาก A B จะไดวา A A B A และ B A B B ดังนั้น
A A B B
(2) แสดงไดในทํานองเดยีวกันกับขอ (1)
ทฤษฎบีท 4.2.10 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ โดยที ่C จะไดวา
(1) ถา A C B C แลว A B
(2) ถา C A C B แลว A B
(3) ถา A C B C แลว A B
(4) ถา C A C B แลว A B
พิสูจน (1) จะแสดงวา A B
กรณีท่ี 1 A
จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A B
91
กรณีท่ี 2 A
ให a A เนื่องจาก C แสดงวามี b C ดังนั้นมี a A b C ซ่ึงทําให
,a b A C จาก A C B C จะไดวา ,a b B C แสดงวา a B b C นั่นคอื a B สรุปไดวา A B (2) แสดงไดในทํานองเดยีวกันกับขอ (1)
(3) เนื่องจาก A C B C จะไดวา A C B C และ
B C A C นั่นคอื A B และ B A สรุปไดวา A B
(4) แสดงไดในทํานองเดยีวกันกับขอ (3)
ขอสังเกต จากตัวอยางเกี่ยวกับผลคูณคารทีเชียนที่กลาวไวตอนตนเราพบวา A B B A
อยางไรก็ดอีาจมีกรณทีี่ A B B A ไดดังนี้
ทฤษฎบีท 4.2.11 ถา A B แลว A B B A
พิสูจน เนื่องจาก A B จะไดวา A B B B และ B A B B จากที่กลาวมา
สามารถสรุปไดวา A B B A
ขอสังเกต บทกลับของทฤษฎีบท 4.2.11 อาจไมเปนจริงเพราะวาถาให B เราจะพบวา
1, 2 1, 2,3B B แต 1, 2 1, 2,3
ทฤษฎบีท 4.2.12 กําหนดให A และ B ถา A B B A แลว A B
พิสูจน สมมุติวา A B เนื่องจาก A และ B จะไดวามี a A ซ่ึง a B และ
a A b B ซ่ึงทําให ,a b A B แต A B B A ดังนั้น ,a b B A แสดงวา
a B b A นั่นคอื a B ซ่ึงขัดแยงกับ a B สรุปไดวา A B
92
ทฤษฎบีท 4.2.13 กําหนดให , ,A B C และ D เปนเซตใด ๆ จะไดวา
(1) ถา A B และ C D แลว A C B D
(2) ถา A B และ C D แลว A C B D
พิสูจน (1) เพราะวา A B และ C D จะไดวา A C B C และ
B C B D
สรุปไดวา A C B D
(2) แสดงไดในทํานองเดยีวกัน
ทฤษฎบีท 4.2.14 กําหนดให , , A B C และ D เปนเซตใด ๆ ที่ไมใชเซตวางจะไดวา
(1) ถา A C B D แลว A B และ C D
(2) ถา A C B D แลว A B และ C D
พิสูจน (1) ให a A และ c C จะไดวา ,a c A C เนื่องจาก A C B D
ดังนัน้ ,a c B D แสดงวา a B และ c D สรุปไดวา A B และ C D
(2) เนื่องจาก A C B D จะไดวา A C B D และ
B D A C
ดังนั้น ,A B C D และ ,B A D C แสดงวา ,A B B A และ ,C D D C
สรุปไดวา A B และ C D
ทฤษฎบีท 4.2.15 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา
(1) A B C A B A C
(2) A B C A B A C
พิสูจน (1) เนื่องจาก
,x y A B C x A y B C
x A y B y C
x A x A y B y C
x A y B x A y C
93
( , ) ( , )x y A B x y A C
( , )x y A B A C
เพราะฉะนัน้ A B C A B A C
(2) เนื่องจาก
,x y A B C x A y B C
x A y B y C
x A y B y C
x A y B x A y C
( , ) ( , )x y A B x y A C
( , )x y A B A C
สรุปไดวา A B C A B A C
บทแทรก 4.2.16 กําหนดให A และ iB เปนเซตใด ๆ จะไดวา
(1) 1 1
n n
i ii i
A B A B
(2) 1 1
n n
i ii i
A B A B
พิสูจน ทํานองเดยีวกันกับทฤษฎีบท 4.2.15
บทแทรก 4.2.17 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ ซ่ึง B C แลวจะไดวา
A B A C
พิสูจน เพราะวา B C ดังนัน้
A B A C A B C
A
94
ทฤษฎบีท 4.2.18 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ แลว
A B C A B A C
พิสูจน เนื่องจาก
,x y A B C x A y B C
x A y B y C
x A y B x A y C
, ,x y A B x y A C
, ,x y A B x y A C
,x y A B A C
สรุปไดวา A B C A B A C
ทฤษฎบีท 4.2.19 กําหนดให , ,A B C และ D เปนเซตใด ๆ แลวจะไดวา
A B C D A C B D
พิสูจน เนื่องจากสําหรับทุก ๆ
( , )x y A B C D ( , ) ( , )x y A B x y C D
x A y B x C y D
x A y C x B y D
( , ) ( , )x y A C x y B D
( , )x y A C B D
ดังนัน้ A B C D A C B D
95
แบบฝกหัด 4.2
1. ถา A B แลวจงพิสจูนวา
1.1) A B B B
1.2) B A B B
2. ถา A B B A แลวสามารถสรปุไดวา A B หรอืไมเพราะเหตุใด
3. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงพิสจูนวา
3.1) A B C A C B C 3.2) A B C A C B C
4. ถา A B แลวสําหรับเซต C ใด ๆ จงพิสจูนวา A C และ B C
5. กําหนดให , ,A B C และ D เปนเซตใด ๆ
5.1) ถา A B และ C D แลวจงพิสูจนวา C A D B
5.2) ถา A B และ C D แลวจงพิสจูนวา C A D B
6. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวา
6.1) ถา A A A แลว A
6.2) ถา A A B แลว A
6.3) A B B A ก็ตอเม่ือ A B หรอื A หรอื B
6.4) A A B B ก็ตอเม่ือ A B
6.5) A A B C A B A A A C
96
4.3 ความสัมพันธ (Relation)
กอนที่จะกลาวถึงความสัมพันธวามีความหมายวาอยางไรนัน้ เราควรพิจารณาตัวอยาง
บางตัวอยางที่แสดงใหเห็นความเกี่ยวของของสมาชิกในเซตเสยีกอน
ตัวอยาง 4.3.1 กําหนดให {A เคน, หนอย, มารกี้, ณเดช, ญาญา} เรานําสมาชิกในเซต A
มาสรางคูลําดับโดยใหสมาชิกในเซต A มีความเกี่ยวของกันคอืสามีภรรยา
วธิทํีา ความสัมพันธสามีภรรยาคือ (เคน, หนอย) ให r แทนเซตของคูอันดับที่กลาวนี้ ดังนั้น
{r (เคน, หนอย) }
ในสมัยกอนนักคณิตศาสตรเรียกเซต r นี้วากราฟของความสัมพันธซ่ึงช่ือที่เรียกนี้มี
ความเหมาะสมเฉพาะในกรณีที่เรามีเซตยอยของพื้นที่ระนาบในระบบพิกัดฉาก (Coordinate
Plane) เทานั้นในปจจุบันนี้นักคณิตศาสตรเรียกเซตวาเปนความสัมพันธอันดับ (Ordered
Relation) เพราะมีการเลอืกจับคูสมาชิก 2 ตัวตามอันดับ
บทนยิาม 4.3.2 ความสัมพันธ (Relation) คอืเซตที่มีสมาชิกเปนคูอันดับและเราจะเรียก r
วาเปนความสัมพันธจาก A ไปยัง B ก็ตอเม่ือ r A B
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.3.2 เราจะไดวา r เปนความสัมพันธก็ตอเม่ือ
1. r เปนเซตของคูลําดับ
2. ,z z r x y z x y
97
ตัวอยาง 4.3.3 กําหนดให 0,1, 2,3, 4,5A และ 0,1, 2,3B จงหาความสัมพันธ
ดังตอไปนี้
(1) 1 , |r a b A B a b
(2) 2 , | 2 0r a b A B a b
(3) 2 23 , | 25r a b A B a b
วธิทํีา(1) 1 0,0 , 1,1 , 2, 2 , 3,3r
(2) 2 0,0 , 2,1 , 4,2r
(3) 3 4,3 , 5,0r
ทฤษฎบีท 4.3.4 จงแสดงวา เปนความสัมพันธ
พิสูจน เนื่องจาก z เปนเท็จ ดังนัน้
,z x y z x y เปนจรงิ
สรุปไดวา เปนความสัมพันธ
ทฤษฎบีท 4.3.5 กําหนดให , A B เปนเซตใด ๆ A B เปนความสมัพันธ
พิสูจน สมมตใิห ,A B เปนเซตใด ๆ
กรณีท่ี 1 A B
โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได A B เปนความสัมพันธ
กรณีท่ี 2 A B
ให z A B จะไดวาจะมี a A และ b B ซ่ึงทําให ,z a b สามารถสรุปไดวา
A B เปนความสัมพันธ
98
ทฤษฎบีท 4.3.6 ถา r เปนความสัมพันธและ s r แลวจะไดวา s เปนความสัมพันธ
พิสูจน สมมตใิห r เปนความสัมพันธและ s r
กรณีท่ี 1 s
โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได s เปนความสัมพันธ
กรณีท่ี 2 s
เนื่องจาก s ดังนัน้เราให z s เนื่องจาก s r จะไดวา z r ดังนัน้มี ,a b
ซ่ึง ,z a b สรุปไดวา s เปนความสัมพันธ
ทฤษฎบีท 4.3.7 ถา r และ s เปนความสัมพันธจะไดวา
(1) r s เปนความสัมพันธ
(2) r s เปนความสัมพันธ
(3) r s เปนความสัมพันธ
พิสูจน (1) จะแสดงวา r s เปนความสัมพันธ
กรณีท่ี 1 r s
จาก r s ดังนั้น r s โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได r s เปน
ความสัมพันธ
กรณีท่ี 2 r s
จาก r s ดังนัน้ r s ให z r s จะไดวา z r z s แสดงวา
z r เนื่องจาก r เปนความสัมพันธ ดังนั้นมี ,a b ซ่ึง ,z a b เพราะฉะนั้น r s เปน
ความสัมพันธ
(2) จะแสดงวา r s เปนความสัมพันธ
กรณีท่ี 1 r s
จาก r s ดั งนั้น r s โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได r s เปน
ความสัมพันธ
กรณีท่ี 2 r s
จาก r s ดังนัน้ r s ให z r s จะไดวา z r z s
99
กรณีท่ี z r
เนื่องจาก r เปนความสัมพันธ ดังนัน้จะมี ,a b ซ่ึง ,z a b
กรณีท่ี z s
เนื่องจาก s เปนความสัมพันธดังนั้นมี ,c d ซ่ึง ,z c d ดังนั้น r s เปน
ความสัมพันธ
(3) จะแสดงวา r s เปนความสัมพันธ
กรณีท่ี 1 r s
จาก r s โดยทฤษฎีบท 4.3.4 จะได r s เปนความสัมพันธ
กรณีท่ี 2 r s
จาก r s ให z r s จะไดวา z r z s จะได z r เนื่องจาก r เปน
ความสัมพันธดังนัน้มี ,a b ซ่ึง ,z a b นั่นคอื r s เปนความสัมพันธ
บทนยิาม 4.3.8 กําหนดให r เปนความสัมพันธจาก A ไปยัง B โดเมน (Domain) ของ r
เขียนแทนดวยสัญลักษณ rD คอืเซตของ x ใน A ซ่ึง ,x y อยูใน r สําหรับ y บางตัวใน
B
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.3.8 เราจะไดวา
1. | ( , ) ,rD x x y r y B
2. rx D ( , ) ,x y r y B
บทนยิาม 4.3.9 กําหนดให r เปนความสัมพันธจาก A ไป B เรนจ (Range) ของ r เขียน
แทนดวยสัญลักษณ rR คอืเซตของ y ใน B ซ่ึง ( , )x y อยูใน r สําหรับ x บางตัวใน A
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.3.9 เราจะไดวา
1. | ( , ) ,rR y x y r x A
2. ry R ( , ) ,x y r x A
100
ตัวอยาง 4.3.10 ถา ,1 , ( ,2), ( ,3)r a b c จงหา rD และ rR
วธิทํีา เนื่องจาก ,1 , ( ,2), ( ,3)r a b c จะไดวา
, ,rD a b c
1, 2,3rR
ตัวอยาง 4.3.11 กําหนดให 2 2
( , ) | 14 9x yr x y
จงหาโดเมนและเรนจ
วธิทํีา เนื่องจาก 2 2
( , ) | 14 9x yr x y
จะไดวา
x
y
rR
rD
ภาพท่ี 4.1 แผนภาพแสดง 2 2
14 9x y
ดังนัน้ 2, 2rD และ 3,3rR
ตัวอยาง 4.3.12 กําหนดให 2 3 2( , ) |1
xr x y yx
จงหา rD และ rR
วธิทํีา จากความสัมพันธ 123
xxy จะพบวาทุก ๆ คาที่ทําให x ที่เปนจํานวนจริงยกเวน 1
เราสามารถหาคา y ที่เปนจํานวนจริงและสอดคลองกับสมการ ดังนั้น 1rD และ
rR
101
บทตั้ง 4.3.13 กําหนดให r และ s เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา
(1) r s rD D และ r s rR R (2) r r sD D และ r r sR R
(3) r s rD D และ r s rR R
พิสูจน (1) ให r sx D จะไดวามี y ซ่ึง ,x y r s เนื่องจาก r s r ดังนั้น
,x y r แสดงวา rx D นั้นคือ r s rD D การพิสูจน r s rR R สามารถพิสูจนไดใน
ทํานองเดยีวกัน (2) ให rx D จะไดว าจะมี y ซ่ึง ,x y r เนื่องจาก r r s ดังนั้น
,x y r s แสดงวา r sx D นั่นคอื r r sD D การพิสูจน r r sR R สามารถพิสูจน
ไดทํานองเดยีวกัน (3) ให r sx D จะ ได ว า มี y ซ่ึ ง ,x y r s เนื่ อง จาก r s r ดั งนั้ น
,x y r แสดงวา rx D นั่นคือ r s rD D การพิสูจน r s rR R สามารถทําได
ทํานองเดยีวกัน
ทฤษฎบีท 4.3.14 กําหนดให r และ s เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา
(1) r s r sD D D
(2) r s r sR R R
พิสูจน (1) โดยบทตั้ง 4.3.13 ขอ (1) เราจะไดวา r s rD D และ r s sD D ดังนั้น
r s r sD D D (2) โดยบทตั้ง 4.3.13 ขอ (1) เราจะไดวา r s rR R และ r s sR R ดังนั้น
r s r sR R R
102
ทฤษฎบีท 4.3.15 กําหนดให r และ s เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา
(1) r s r sD D D
(2) r s r sR R R
พิสูจน (1) เนื่องจาก
r sx D ,x y r s สําหรับบาง y
, ,x y r s x y r s สําหรับบาง y
r sx D x D
r sx D D
จะไดวา r s r sD D D
(2) เนื่องจาก
r sy R ,x y r s สําหรับบาง x
, ,x y r s x y r s สําหรับบาง x
r sy R y R
r sy R R
จะไดวา r s r sR R R
ทฤษฎบีท 4.3.16 กําหนดให r และ s เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา
(1) r s r sD D D
(2) r s r sR R R
พิสูจน (1) เราจะแสดงโดยหาขอขัดแยง สมมตใิห r s r sD D D แสดงวาจะมี
r sx D D แต
r sx D r s r sx D D x D
r s r sx D x D x D
r s r sx D x D x D
~r s r sx D x D D
103
เพราะวา s r s r ss r sD D D D ดังนัน้ ~r r sx D x D เกดิขอขัดแยง แสดง
วา r s r sD D D
(2) พิสูจนในทํานองเดยีวกันกับขอ (1)
ทฤษฎบีท 4.3.17 โดเมนและเรนจของ คอื
พิสูจน เราจะแสดงวา D โดยการพิสูจนหาขอขัดแยง สมมติให D ดังนั้นจะมี
x D แลวจะมี y ซ่ึง ( , )x y เกิดขอขัดแยง ดังนั้น D ในการแสดง R
ทําในทํานองเดียวกัน
บทนยิาม 4.3.18 กําหนดให r เปนความสัมพันธตัวผกผนั (Inverse) ของ r เขียนแทนดวย
สัญลกัษณ 1r คอืความสัมพันธซ่ึง 1,y x r ก็ตอเม่ือ ,x y r
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.3.18 เราจะได
1. 1 ( , ) | ( , )r y x x y r 2. 1, ( , )y x r x y r
ตัวอยาง 4.3.19 กําหนดให , , , 1,2,3A a b c B และ
( ,1), ( ,2), ( ,3), ( , 2), ( , 2), ( ,3)r a a a b c c
จงหา 1r
วธิทํีา เนื่องจาก ( ,1), ( ,2), ( ,3), ( , 2), ( , 2), ( ,3)r a a a b c c จะไดวา
1 (1, ), (2, ), (3, ), (2, ), (2, ), (3, )r a a a b c c
ทฤษฎบีท 4.3.20 กําหนดให เปนความสัมพันธจะไดวา 1
พิสูจน จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง ดังนั้นสมมติให 1 ดังนั้นจะมี 1,y x แลว
,x y แต ,x y เกดิขอขัดแยง จะได 1
104
ทฤษฎบีท 4.3.21 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ จะได 11r r
พิสูจน เนื่องจาก
11,x y r 1,y x r
,x y r
นั่นคอื 11r r
ทฤษฎบีท 4.3.22 กําหนดให r และ s เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา
(1) 1 1 1r s r s
(2) 1 1 1r s r s
(3) 1 1 1r s r s
พิสูจน (1) เนื่องจาก
1,y x r s ,x y r s
, ,x y r x y s
1 1, ,y x r y x s
1 1,y x r s
นั่นคอื 1 1 1r s r s
(2) เนื่องจาก
1,y x r s ,x y r s
, ,x y r x y s
1 1, ,y x r y x s
1 1,y x r s นั่นคอื 1 1 1r s r s
105
(3) เนื่องจาก
1,y x r s ,x y r s
, ,x y r x y s
, ,x y r x y s
1 1, ,y x r y x s
1 1,y x r s
นั่นคอื 1 1 1r s r s
ทฤษฎบีท 4.3.22 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา
(1) 1A A A A
(2) 1A B B A
พิสูจน (1) เนื่องจาก
1,y x A A ,x y A A
x A y A
y A x A
( , )y x A A
นั่นคอื 1A A A A
(2) เนื่องจาก
1,y x A B ( , )x y A B
x A y B
y B x A
( , )y x B A
นั่นคอื 1A B B A
106
ทฤษฎบีท 4.3.23 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ จะไดวา
(1) 1 rrD R
(2) 1 rrR D
พิสูจน (1) เนื่องจาก
1rx D 1,x y r สําหรับบาง y
,y x r สําหรับบาง y
rx R
ดังนัน้ 1 rrD R
(2) เนื่องจาก
1rx R 1,y x r สําหรับบาง y
,x y r สําหรับบาง y
rx D
นั่นคอื 1 rrR D
แบบฝกหัด 4.3
1. จงหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธในแตละขอตอไปนี้
1.1) , | 5 2r x y y x
1.2) , | 3 2r x y y x
1.3) 2, |2xr x y y
x
1.4) 2, | 2 1r x y y x
1.5) 2 2, | 1r x y y x
2. จงหา 1r ของความสัมพันธในแตละขอในขอ 1
3. จงแสดง A B C A B C
107
4.4 ความสัมพนัธสมมูล (Equivalence)
จากบทนิยามความสัมพันธ r ในเซตของ A ไป B เม่ือ r A B ในกรณีที่
A B เราจะกลาววา r เปนความสัมพันธใน A ซ่ึงสามารถกําหนดบทนยิามไดดังนี้
บทนิยาม 4.4.1 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ และให r เปนความสัมพันธเรียก r วาเปน
ความสัมพันธในเซต A ก็ตอเม่ือ r เปนเซตยอยของ A A
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.4.1 เราจะไดวา r วาเปนความสัมพันธในเซต A ก็ตอเม่ือ
, | ,r x y x y A
ตัวอยาง 4.4.2 กําหนดให 1, 2,3,4A จงพิจารณาความสัมพันธตอไปนี้เปนความสัมพันธ
ใน A หรอืไม
(1) 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4, 4r
(2) 1, 2 , 2,3 , 3, 4r
วธิทํีา (1) 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4, 4r เปนความสัมพันธใน A
(2) 1, 2 , 2,3 , 3, 4r เปนความสัมพันธใน A
บทนยิาม 4.4.3 กําหนดให r เปนความสัมพันธในเซต A จะกลาววา
1. r มีสมบัตสิะทอน (Reflexive) ถา ( , )x x r สําหรับสมาชิก x ทุกตัวใน A
2. r มีสมบัตสิมมาตร (Symmetric) ถา ( , ) ( , )x y r y x r
3. r มีสมบัตถิายทอด (Transitive) ถา ( , ) ( , ) ( , )x y r y z r x z r
108
ตัวอยาง 4.4.4 กําหนดให เปนเซตของจํานวนเต็มและให เปนความสัมพันธใน โดย
2( , ) | x y x y
จะแสดงไดวา มีสมบัตสิะทอน สมมาตร และถายทอด
พิสูจน ให , ,x y z
1. สําหรับทุก ๆ x เราจะไดวา x x ดังนัน้ความสัมพันธ มีสมบัตสิะทอน
2. ถา x y แลวจะได y x ดังนัน้ความสัมพันธ มีสมบัตสิมมาตร
3. ถา x y และ y z แลว x z ดังนัน้ความสัมพันธ มีสมบัตถิายทอด
บทนิยาม 4.4.5 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A เราจะกลาววา r เปน
ความสัมพันธสมมูล (Equivalence) ก็ตอเม่ือ r มีสมบัติสะทอนสมมาตรและ ถายทอด
ตัวอยาง 4.4.6 กําหนดให เปนเซตของจํานวนเต็ม และให เปนความสัมพันธใน โดย
2( , ) | x y x y
จะแสดงไดวา เปนความสัมพันธสมมูล
พิสูจน จากตัวอยาง 4.4.4 จะได เปนความสัมพันธสมมูล
ตัวอยาง 4.4.7 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ และให เปนความสัมพันธใน ( )P A แลว
เปนความสัมพันธสมมูลหรอืไม
พิสูจน กําหนดให X และ Y เปนสมาชิกคูใด ๆ ใน ( )P A และให X Y จะเห็นไดวาในบาง
กรณอีาจจะไมไดวา Y X ก็ไดเชน X และ Y ดังนัน้ Y X แสดงวา ไมมี
สมบัตสิมมาตร นัน่คอื ( )P A ไมเปนความสัมพันธสมมูล
109
ทฤษฎบีท 4.4.8 กําหนดให A จะได A A เปนความสัมพันธสมมูลใน A
พิสูจน (1) สําหรับทุก ๆ x A เราจะไดวา ,x x A A ดังนัน้ A A มีสมบัตสิะทอน
(2) ถา ,x y A A แลว 1,y x A A แต 1A A A A ดั งนั้น
,y x A A ดังนัน้ A A มีสมบัตสิมมาตร (3) เนื่องจากสําหรับทุก ๆ
, ,x y A A y z A A x A y A y A z A
x A z A
,x z A A
ดังนัน้ A A มีสมบัตถิายทอด จาก (1)-(3) จะได A A เปนความสัมพันธสมมูลใน A
ทฤษฎีบท 4.4.9 กําหนดให A และ , |Ai x y A A y x จะไดวา Ai เปน
ความสัมพันธสมมูล
พิสูจน (1) สําหรับทุก ๆ x A เราจะไดวา x x ดังนัน้ , Ax x i จะได Ai มีสมบัตสิะทอน
(2) ถา , Ax y i แลวจะได x y ดังนั้น y x จะได , Ay x i แสดงวา Ai มี
สมบัตสิมมาตร
(3) ถา , Ax y i และ , Ay z i แลว x y และ y z ดังนั้น x z จะได
, Ax z i แสดงวา Ai มีสมบัตถิายทอด จาก (1)-(3) จะได Ai เปนความสัมพันธสมมูล
หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 4.4.9 ในกรณทีี่ไมเกดิความสับสนเราจะเขียน i แทน Ai และตํารา
บางเลมอาจใชสัญลักษณอ่ืน ๆ เชน ,AI I
110
ทฤษฎบีท 4.4.10 กําหนดให r เปนความสัมพันธในเซต A จะไดวา r มีสมบัตสิมมาตร
ก็ตอเม่ือ 1r r
พิสูจน สมมติให r มีสมบัตสิมมาตรจะแสดงวา 1r r เนื่องจาก
1,x y r ,y x r
,x y r
ดังนัน้ 1r r
สมมตใิห 1r r จะแสดงวา r มีสมบัตสิมมาตร เนื่องจาก
,x y r 1,y x r
,y x r
จงึไดวา r มีสมบัตสิมมาตร
บทตั้ง 4.4.11 กําหนดให r เปนความสัมพันธในเซต A จะไดวา r มีสมบัติสะทอนก็ตอเม่ือ
1r มีสมบัตสิะทอน
พิสูจน สมมติให r มีสมบัติสะทอนจะแสดงวา 1r มีสมบัติสะทอนจาก r มีสมบัติ
สะทอน ดังนัน้ ( , )x x r จะไดวา 1( , )x x r นั่นคอื 1r มีสมบัตสิะทอน
สมมตใิห 1r มีสมบัตสิะทอนจะแสดงวา r มีสมบัตสิะทอนจาก 1r มีสมบัติ
สะทอนดังนัน้ 1( , )x x r จะไดวา ( , )x x r นั่นคอื r มีสมบัตสิะทอน
บทตั้ง 4.4.12 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A จะไดวา r มีสมบัติสมมาตรก็
ตอเม่ือ 1r มีสมบัตสิมมาตร
พิสูจน สมมติให r มีสมบัติสมมาตรจะแสดงวา 1r มีสมบัติสมมาตรให 1( , )x y r
ดังนัน้ ( , )y x r แต r มีสมบัตสิมมาตรดังนัน้ ( , )x y r นั่นคือ 1( , )y x r สรุปไดวา 1r
มีสมบัตสิมมาตร
111
สมมติให 1r มีสมบัติสมมาตรจะแสดงวา r มีสมบัติสมมาตรให ( , )x y r
ดังนัน้ 1( , )y x r แต 1r มีสมบัตสิมมาตรดังนัน้ 1( , )x y r นั่นคอื ( , )y x r สรุปไดวา
r มีสมบัตสิมมาตร
บทตั้ง 4.4.13 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A จะไดวา r มีสมบัติถายทอดก็
ตอเม่ือ 1r มีสมบัตถิายทอด
พิสูจน สมมติให r มีสมบัติถายทอดจะแสดงวา 1r มีสมบัติถายทอด ให 1( , )x y r
และ 1( , )y z r ดังนั้น ( , )y x r และ ( , )z y r แต r มีสมบัติถายทอดดังนั้น ( , )z x r
นั่นคอื 1( , )x z r สรุปไดวา 1r มีสมบัติถายทอด
สมมติให 1r มีสมบัติถายทอดจะแสดงวา r มีสมบัติถายทอด ให ( , )x y r
และ ( , )y z r ดังนั้น 1( , )y x r และ 1( , )z y r แต 1r มีสมบัติถายทอดดังนั้น
1( , )z x r นั่นคอื ( , )x z r สรุปไดวา r มีสมบัติถายทอด
ทฤษฎีบท 4.4.14 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A จะไดวา r เปน
ความสัมพันธสมมูลก็ตอเม่ือ 1r เปนความสัมพันธสมมูล
พิสูจน ไดโดยตรงจากบทตัง้ 4.4.11, บทตัง้ 4.4.12 และบทตัง้ 4.4.13
บทนยิาม 4.4.15 กําหนดให r เปนความสัมพันธใด ๆ ในเซต A เราจะเรียก r วามีสมบัติ
ตอตานสมมาตร (Anti - Symmetric Relation) ก็ตอเม่ือสําหรับทุก ๆ ( , )x y A A ถา
( , )x y r และ ( , )y x r แลว x y
ตัวอยาง 4.4.16 กําหนดให A และ , |Ai x y A A y x จะไดวา Ai มีสมบัติ
ตอตานสมมาตร
พิสูจน ให ( , )x y r และ ( , )y x r จะไดวา x y และ y x ดังนั้น x y นั่นคือ Ai มี
สมบัตติอตานสมมาตร
112
ตัวอยาง 4.4.17 กําหนดให 1, 2,3,4A กําหนดความสัมพันธใน A โดย
(1,3), (4, 2), (4,4), (2, 4)r
จงพิจารณาวา r มีสมบัตติอตานสมมาตรหรอืไม
วิธีทํา จะเห็นไดวา (4,2) r และ (2,4) r แต 2 4 จึงสรุปไดวา r ไมมีสมบัติตอตาน
สมมาตร
ทฤษฎีบท 4.4.18 กําหนดให A และ r เปนความสัมพันธในเซต A จะได r มีสมบัติ
ตอตานสมมาตรก็ตอเม่ือ 1r r i
พิสูจน สมมตใิห r มีสมบัตติอตานสมมาตรจะแสดงวา 1r r i เนื่องจาก
1,x y r r 1, ,x y r x y r
, ,x y r y x r
x y
,x y i
นั่นคอื 1r r i
สมมติให 1r r i จะแสดงวา r มีคุณสมบัติตอตานสมมาตร ให ,x y r
และ ,y x r จะไดวา ,x y r และ 1,x y r ดังนัน้ 1,x y r r แต 1r r i
แสดงวา ,x y i นั่นคอื x y สรุปไดวา r มีสมบัตติอตานสมมาตร
ทฤษฎบีท 4.4.19 กําหนดให m และให r เปนความสัมพันธสมภาค (Congruence) มอ
ดุโล (Modulo) m ใน ซ่ึงนยิามดังนี้ a สมภาค b มอดูโล m ก็ตอเม่ือ m หาร a b ลง
ตัวใชสัญลักษณ moda b m แทน a สมภาค b มอดูโล m ดังนัน้
( , ) | modr a b a b m
จงแสดงวา r เปนความสัมพันธสมมูล
พิสูจน (1) สําหรับจํานวนเต็ม a ใด ๆ เราจะไดวา m หาร 0a a ลงตัวเสมอ ดังนั้น
( , )a a r จะไดวา r มีสมบัตสิะทอน
113
(2) เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ
,a b r moda b m
|m a b
;a b mk k
a b mk
( )b a m k
|m b a
modb a m
,b a r
จะไดวา r มีสมบัติสมมาตร
(3) เนื่องจากสําหรับทุก ๆ
, ,a b r b c r mod moda b m b c m
mod moda b m c b m
moda c b b m
0 moda c m
moda c m
,a c r
จะไดวา r มีสมบัตถิายทอด จาก (1)-(3) จะไดวา r เปนความสัมพันธสมมูล
114
แบบฝกหัด 4.4
1. ความสัมพันธตอไปนี้เปนความสัมพันธสมมูลหรอืไม
1.1) บนเซต
1.2) บนเซต
1.3) บนเซต
1.4) 2( , ) | 10r x y x y
1.5) 2, |2xr x y y
x
2. กําหนดให A และ r เปนความสัมพันธในเซต A จะได r มีสมบัติตอตานก็ตอเม่ือ
1r มีสมบัตติอตานสมมาตร
3. กําหนดให เปนเซตของจํานวนจรงินยิามความสัมพันธใน 2 ดังนี้
, ~ ,a b c d a d b c จงแสดงวา ~ เปนความสัมพันธสมมูล
4. ความสัมพันธตอไปนี้เปนความสมพันธสมมูลหรอืไม
4.1) , |r x y x y
4.2) , | 2r x y x y k
115
4.5 ชั้นสมมูล (Equivalence Class)
ในหัวขอ 4.4 เราไดศึกษาความสัมพันธสมมูลกันมาแลวในหัวขอนี้เราจะศึกษา
ความสมัพันธสมมูลที่มีสมบัติเฉพาะและเปนพื้นฐานที่สําคัญในการศกึษาวชิาคณติศาสตร
บทนยิาม 4.5.1 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A ให
| ,y x A x y r
เราจะเรยีก y วาช้ันสมมูล (Equivalence Class) ของ y เทยีบกับ r
หมายเหต ุจากบทนยิาม 4.5.1 ช้ันสมมูลของ y อาจเขียนแทนดวย , ry r y หรอื y
ตัวอยาง 4.5.2 กําหนดให 1,2,3A และ 1,1 , 2, 2 , 3,3 , (1, 2), (2,1)r จงหา
1 , 2 และ 3
วธิีทํา เนื่องจาก
1 | ,1x A x r
1,2
2 | , 2x A x r
1,2
3 | ,3x A x r
3
ดังนัน้ 1 1, 2 , 2 1, 2 และ 3 3
116
ตัวอยาง 4.5.3 กําหนดให ( , ) | mod5r a b a b จงหา 0 , 1 , 2 , 3 และ
4
วธิทํีา โดยบทนยิามของช้ันสมมูลจะไดวา
0 | ,0x A x r
| 0 mod 5x x
, 10, 5,0,5,10,
1 | ,1x A x r
| 1 mod5x x
, 14, 9, 4,1,6,11,
2 | , 2x A x r
| 2 mod5x x
, 13, 8, 3, 2,7,12,
3 | ,3x A x r
| 3 mod5x x
, 12, 7, 2,3,8,13,
4 | , 4x A x r
| 4 mod5x x
, 11, 6, 1, 4,9,14,
ทฤษฎบีท 4.5.4 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A สําหรับสมาชิกทุกตัวในเซต
A จะได y และ y y
พิสูจน จากบทนยิามของ y เห็นไดชัดเจนวา y และจาก r เปนความสัมพันธสมมูล
แสดงวา r มีสมบัตสิะทอน ดงันัน้ ,y y r จะไดวา y y
117
ทฤษฎบีท 4.5.5 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A ถา x y แลว y x
พิสูจน เนื่องจากสําหรับทุก ๆ
a y ,a y r
,y a r
แตเรามี x y ดังนัน้ ,x y r เนื่องจาก
, ,y a r x y r ,x a r
,a x r
a x
นั่นคอื y x ตอไปจะแสดงวา x y เนื่องจากสําหรับทุก ๆ a x แลว ,a x r
แตเรามี x y จะไดวา ,x y r นั่นคอื
, ,a x r x y r ,a y r
a y
แสดงวา x y จากที่กลาวมาสรุปไดวา y x
ทฤษฎีบท 4.5.6 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A สําหรับแตละสมาชิก
,x y A จะได y x ก็ตอเม่ือ ( , )x y r
พิสูจน สมมตใิห y x จะแสดงวา ( , )x y r เนื่องจาก y x ดังนั้นถา a x
แลว a y หรืออาจกลาววาถา ( , )a x r แลว ( , )a y r นั่นคือถา ( , )x a r แลว
( , )a y r จาก r เปนความสัมพันธสมมูลจะไดวา ( , )x y r
สมมติให ( , )x y r จะแสดงวา y x จาก ( , )x y r เราจะไดวา x y
จากทฤษฎีบท 4.4.5 จะไดวา y x
118
ทฤษฎีบท 4.5.7 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A สําหรับแตละสมาชิก
,x y A จะได x y หรอื y x อยางใดอยางหนึ่ง
พิสูจน สมมติให x y จะแสดงวา y x ดังนั้นจะมี a x y จะไดวา
a x และ a y จากทฤษฎีบท 4.4.5 จะไดวา a x และ a y นั่นคือ
y x
ทฤษฎบีท 4.5.8 กําหนดให r เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A จะไดวาทุก ๆ ยูเนียน
ของทุก ๆ ช้ันสมมูลที่เกดิจากทุก ๆ สมาชิก y A เทากับเซต A
พิสูจน จะแสดงวา y A
y A
เห็นไดชัดวา y A
y A
ให y A จะไดวา y y ดังนัน้
y A
y y y
สรุปวา y A
y A
แบบฝกหัด 4.5
1. เปนความสัมพันธช้ันสมมูลหรอืไมจงอธบิาย
2. จากตัวอยาง 4.5.3 จงแสดงวา 0 , 1 , 2 , 3, , 4P เปนช้ันสมมูล
3. กําหนดให | modP x a x m เปนช้ันสมมูล
119
4.6 ความสัมพันธประกอบ (Composite Relation)
จากหัวขอที่ผานมาเราไดศึกษาความหมายและสมบัติของความสัมพันธนอกจาก
ความสัมพันธดังกลาวเรายังสรางความสัมพันธจากความสัมพันธเดมิไดดังนี้
บทนยิาม 4.6.1 กําหนดให , A B และ C เปนเซตใด ๆ โดยที่ 1r A B และ 2r B C
เรียก 2 1r r วาเปนความสัมพันธประกอบ (Composite Relation) จาก A ไปยัง C ก็
ตอเม่ือ 2 1 1 2, | , ,r r x z A C x y r y z r
ขอสังเกต จากบทนยิาม 4.6.1 เราจะได 2 1 1 2( , ) , , ;x y r r x y r y z r z B
ตัวอยาง 4.6.2 กําหนดให 1, 2,3 , , , ,A B a b c d และ 5,6,7C กําหนด
ความสัมพันธ
1 (1, ), (2, ), 3, , (3, )r a a b c
2 ( ,5), ,6 , ( ,7)r a b c
จงหา 1 2r r และ 2 1r r
วธิทํีา จากนยิามความสัมพันธประกอบจะไดวา
1. 2 1 (1,5), (2,5), 3,6 , (3,7)r r
2. 1 2r r
ขอสังเกต จากตัวอยาง 4.6.2 เราจะไดวา 2 1 1 2r r r r
120
ทฤษฎีบท 4.6.3 กําหนดให , , A B C และ D เปนเซตใด ๆ โดยที่ 1 2, r A B r B C
และ 3r C D แลว 3 2 1 3 2 1r r r r r r
พิสูจน เห็นไดชัดวา 3 2 1r r r และ 3 2 1r r r ตางเปนความสัมพันธประกอบจาก A ไป
D เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ
3 2 1( , )x y r r r 1 3 2, , ;x w r w y r r w B
1 2 3, , , ; ,x w r w z r z y r w B z C
1 2 3, , , ; ,x w r w z r z y r w B z C
2 1 3, , ;x z r r z y r z C
3 2 1,x y r r r
ดังนัน้ 3 2 1 3 2 1r r r r r r
หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 4.6.3 เราจะไดวา 3 2 1 3 2 1r r r r r r ดังนั้นเราอาจเขียน
ความสัมพันธ 3 2 1r r r แทนความสัมพันธ 3 2 1 3 2 1, r r r r r r
ทฤษฎบีท 4.6.4 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ โดยที่ 1r A A และ 2r A A ถา 1r และ
2r มีสมบัตสิะทอนแลว 2 1r r มีสมบัตสิะทอน
พิสูจน จาก 1r และ 2r มีสมบัตสิะทอนดงันัน้ 1( , )x x r และ 2( , )x x r จะได 2 1( , )x x r r
ดังนัน้ 2 1r r มีสมบัตสิะทอน
121
แบบฝกหัด 4.6
1. กําหนดความสัมพันธ ir ดังนี้ 1 , | 5 2r x y y x
2 , | 3 2r x y y x
32, |
2xr x y y
x
24 , | 2 1r x y y x
2 25 , | 1r x y y x
จงหา 1.1) 1 2r r
1.2) 3 4r r
1.3) 3 4 5r r r
1.4) 13 1 1r r r
1.5) 13 1r r r
4.7 ผลแบงกัน้ (Partition)
ผลแบงกัน้เปนเรื่องของการแบงเซต ๆ หนึ่งออกเปนเซตยอยโดยแตละเซตยอยเหลานัน้
มีสมบัตพิิเศษเฉพาะซ่ึงสามารถศกึษาไดจากบทนยิาม ดังตอไปนี้
บทนิยาม 4.7.1 กําหนดใหเซต A ผลแบงก้ัน (Partition) ของ A เขียนแทนดวย P
คอืเซตยอยของ ( )P A ซ่ึงมีสมบัตดิังนี้
1. ถา X P แลว X
2. ถา 1 2,X X P แลว 1 2X X
3. X P
X A
122
ขอสังเกต จากบทนิยาม 4.7.1 เราอาจจะกลาวไดวาผลแบงกั้น P ของเซต A เปนเซตของ
เซตยอยของ A ซ่ึงเซตยอยเหลานัน้ไมเปนเซตวางและมีสมบัตวิาเซตทุก ๆ คูใด ๆ ใน P ไมมี
สมาชิกรวมกันเลย (Disjoint) และแตละสมาชิกในเซต A จะตองเปนสมาชิกของเซตบางเซตใน
P เสมอ
ตวัอยาง 4.7.2 กําหนดให 1,2,3A จงแสดงวา 1 , 2 , 3P เปนผลแบงกั้นของ
A
พิสูจน จาก 1 , 2 , 3P เห็นไดชัดวาสมาชิกของ P แตละตัวไมใชเซตวาง พิจารณา
1 2
2 3
1 3
1 2 3 A
ดังนัน้ P เปนผลแบงกัน้ของ A
ตัวอยาง 4.7.3 กําหนดให 0,1, 2,3, 4A จงแสดงวา 1, 2 , 3, 4 , 0,1P เปนผล
แบงกัน้ของ A หรอืไม
พิสูจน เนื่องจาก 1, 2 0,1 1 ดังนัน้ P ไมเปนผลแบงกัน้ของ A
123
ทฤษฎีบท 4.7.4 ทฤษฎีบทพ้ืนฐานท่ีเกี่ยวกับความสัมพันธสมมูล (Fundamental
Theorem on Equivalence Relation) กําหนดให A เปนเซตใด ๆ และให r เปน
ความสัมพันธสมมูลในเซต A จะไดเซตของช้ันสมมูลทั้งหมดที่เกิดจาก r เปนผลแบงกั้นของ
เซต A และถา P เปนผลแบงกั้นของเซต A และ ( , ) | , ;s x y x y B B P จะได s
เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A
พิสูจน จะแสดงวาช้ันสมมูลทั้งหมดที่เกดิจาก r เปนผลแบงกัน้ของเซต A ให P เปนเซตของ
ผลแบงกัน้ทัง้หมดของเซต A ทัง้หมดที่เกดิจาก r นั่นคอื |P y y A
(1) เพราะวา y y ดังนัน้ y สําหรับทุก ๆ y A
(2) ให ,a b P จะไดวา a b สําหรับทุก a b
(3) จากทฤษฎีบท 4.5.8 จะไดวา y A
y A
จาก (1) – (3) จะไดวาช้ันสมมูลทัง้หมดที่เกดิจาก r เปนผลแบงกัน้ของเซต A จะแสดงวา s
เปนความสัมพันธสมมูลในเซต A
(1) ให a A เนื่องจาก P เปนผลแบงกั้นของเซต A ดังนั้นจะมี B P ซ่ึง a B
นั่นคอื ,a a s จะไดวา s มีสมบัตสิะทอน
(2) ให ,a b s จะไดวามี B P ซ่ึง ,a b B แสดงวามี B P ซ่ึง ,b a B จะ
ไดวา ,b a s นั่นคอื s มีสมบัตสิมมาตร
(3) ให ,a b s และ ,b c s จะไดวามี ,B C P ซ่ึง ,a b B และ ,b c C
ดังนั้น B C เพราะมีสมาชิก b B b C จะไดวา B C ดังนั้นมีเซต B ซ่ึง
,a c B จะไดวา ,a c s นั่นคือ s มีสมบัติถายทอด จาก (1)-(3) สรุปวา s เปน
ความสมัพันธสมมูลในเซต A
124
แบบฝกหัด 4.7
1. ให n และ | 5 ,nA m m q n q จงแสดงวา |nP A n เปนผล
แบงกัน้ของ
2. กําหนดให | 0nP A n ในแตละขอตอไปนี้เปนผลแบงกั้นของ หรือไมจง
อธบิาย
2.1) ( , ) |nA x y y x n
2.2) 2 2( , ) |nA x y x y n
3. จงแสดงวา |aA a เปนผลแบงกัน้ของ เม่ือ
2( , ) |aA x y y a x
4.8 บทสรุป
ในการศกึษาความสัมพันธซ่ึงเปนการศกึษา คูอันดับ ผลคูณคารทีเซียน ความสัมพันธ
ความสัมพันธสมมูล ช้ันสมมูล ความสัมพันธประกอบ และผลแบงกั้นเราไดศึกษาความหมาย
และสมบัตติาง ๆ ซ่ึงจะเปนพื้นฐานในการศกึษาฟงกชัน
เอกสารอางองิ
คณาจารยภาควิชาคณิตศาสตร. คณิตศาสตรเบื้องตน. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร
มหาวทิยาลัยรามคําแหง, (2538).
นวลอนงค อิทธิจีระจรัส. ทฤษฎีเซตเบื้องตน. ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร
มหาวทิยาลัยเชียงใหม.
ปยรัตน จาตุรันตบุตร. หลักการคณิตศาสตร. จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย, (2547).
มานะ เอกจรยิวงศ. ทฤษฎีเซต. ศูนยตําราและเอกสารทางวิชาการ สถาบันราชภัฏเทพสตร ี
ลพบุรี, (2542).
มานัส บุญยัง. ทฤษฎีเซตและตรรกศาสตรสัญลักษณ. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร
มหาวทิยาลัยรามคําแหง.
125
ราชบัณฑติยสถาน. ศัพทคณิตศาสตร. (พิมพครัง้ที ่9). กรงุเทพ ฯ: สหมิตรพริ้นติ้ง, (2553).
วรางคณา รองมะรุด และสมศักดิ์ บุญมาเลิส. พีชคณิต. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร
มหาวทิยาลัยรามคําแหง, (2535).
สมสวาท สุดสาคร. ตรรกศาสตรและทฤษฎีเซต. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร
มหาวทิยาลัยรามคําแหง, (2529).
สุเทพ ทองอยู. ทฤษฎเีซต. กรุงเทพ ฯ: มหาวทิยาลัยศรนีครนิทรวโิรฒ ประสานมิตร, (2524).
Enderton, Herbert B. Elements of Set Theory. New York: Academic Press, (1977).
Katalin Karolyi. Introductory Set. M.Sc. program in mathematics.
Lipschutz, Seymour. Set Theory. New York: Schaum Publishing Company, (1964).
Thomas Jech. Set Theory. The Third Millennium Edition,revised and expanded.
Top Related