INTRODUÇÃO
Sumário deste capitulo:
Componentes Básicos no Domínio da Frequência;
Análise de circuitos no domínio da Frequência
Função de Transferência
Função de Transferência em Expansões de Frações Parciais
Função de Transferência e a Integral da Convolução;
Função de Transferência e Resposta Estacionária;
A função Impulso em Análise de Circuitos
1- COMPONENTES BASICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
1- COMPONENTES BASICOS NO D. F.
Conhecendo os modelos dos componentes Básicos (R, L e C)
no domínio da frequência é possível escrever as equações no
domínio da frequência, sem a necessidade das equações
diferenciais e integrais.
1.1 - RESISTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
De acordo com a Lei de Ohm:
Como R é uma constante, então ao aplicar a transformadas de
Laplace:
Ou seja, e o resistor continua sendo apenas o resistor no domínio da
frequência, após efetuar a transformada de laplace.
)()( tRitv
)()( sRIsV
1- COMPONENTES BASICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
1.2 - INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
A equação no domínio do tempo o indutor possui a seguinte relação
entre tensão e corrente:
Como L é uma constante, então ao aplicar a transformadas de
Laplace, tem-se:
Após a transformada, o circuito pode ser redesenhado de duas
maneiras:
Considerando a análise por tensão V(s), então sL é uma impedância e LIo
é uma fonte de tensão volts-segundos;
oLIssLIissILsV )()0()()(
dt
tdiLtv
)()(
1- COMPONENTES BASICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Considerando a análise por corrente I(s), então sL é uma impedância e
Io/s é uma fonte de corrente amperer-segundos;
Observe que em ambos os casos (análise por tensão ou corrente)
que a polaridade da fonte é determinada pelo sentido da
corrente inicial no domínio do tempo, podendo ser positiva ou
negativa.
Quando a corrente inicial é zero, o circuito se resume a:
s
I
sL
sVsILIssLIsV o
o )(
)()()(
1- COMPONENTES BASICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
dt
tdvCti
)()(
oCVssCVvssVCsI )()0()()(
1.3 – CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
A equação no domínio do tempo que relaciona tensão e corrente no
capacitor é a seguinte:
Como C é uma constante, então ao aplicar a transformadas de
Laplace, tem-se:
Após a transformada, o circuito pode ser redesenhado também de
duas maneiras:
Considerando a análise por corrente I(s), então 1/sC é vista como uma
impedância e CVo é uma fonte de corrente amperes-segundos;
1- COMPONENTES BASICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Considerando a análise por tensão V(s), então 1/sC é uma impedância e
Vo/s é uma fonte de tensão volts-segundos;
Para o circuito do capacitor no domínio da frequência, a polaridade
da fonte também é determinada pela tensão inicial no domínio do
tempo, podendo ser positiva ou negativa.
Quando o valor inicial é zero, o circuito se resume a:
s
V
sC
sIsVCVssCVsI o
o )(
)()()(
2- ANALISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
2- ANALISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Em primeiro lugar, se não houver energia armazenada no
circuito (Indutor e Capacitor) no instante inicial, a formula se
resume à:
Esta equação as vezes é conhecida como lei de Ohm no
domínio da frequência.
As regras para combinar impedância e admitância no
domínio da frequência são as mesmas utilizadas no domínio do
tempo (simplificações serie-paralelo e conversão –Y).
As leis de Kirchhorf também se aplicam às correntes e
tensões no domínio da frequência.
)(1
)( sIsC
sV
)()( ssLIsV
)()( sIZsV
)()( sRIsV
2- ANALISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Como as leis de Kirchhorf podem ser utilizadas, todas as
técnicas de análise circuitos desenvolvidas para circuitos
resistivos podem também ser utilizadas em circuitos no
domínio da frequência, mesmo quando existe energia
armazenada inicialmente em capacitores e indutores.
3- EXEMPLOS DE ANALISE
3- EXEMPLOS DE ANALISE
3.1) Resposta Natural de Um Circuito RC
É a análise do descarregamento do capacitor sobre uma resistência.
Pretende-se encontrar a expressão da corrente i e da tensão v no
domínio do tempo, considerando que a tensão inicial do capacitor é
Vo.
Para determinar a equação da corrente i, é interessante substituir o
circuito anterior pelo circuito equivalente série abaixo.
3- EXEMPLOS DE ANALISE
Utilizando a lei das malhas de Kirchhoff obtém a seguinte equação:
Assim:
Aplicando a transformada inversa (frações parciais), obtém-se:
Para determinar a equação da tensão v, basta agora aplicar lei de
ohm:
Se optar por calcular o valor da tensão v antes da corrente i, é
melhor utilizar o circuito equivalente paralelo, assim:
RIIsCs
Vo 1
RCs
RV
RCs
CVI oo
11
)()( )( tueR
Vti RCto
RCsRVI o
1
)()( tRitv )()( )( tueVtv RCt
o
3- EXEMPLOS DE ANALISE
Utilizando a lei das corrente de Kirchhoff obtém a seguinte equação:
Assim:
Aplicando a transformada inversa (frações parciais), obtém-se:
Para determinar a equação da corrente, basta agora aplicar lei de
ohm:
Assim chega-se a mesma Resposta Natural RC:
oCVsCVR
V
RCs
VV o
1
)()( )( tueVtv RCt
o
RCsVI o
1
R
tvti
)()( )()( )( tue
R
Vti RCto
)()( )( tueVtv RCt
o
)()( )( tueR
Vti RCto
3- EXEMPLOS DE ANALISE
3.2) Resposta a Um Degrau em Circuito RLC Paralelo
Assim como no exemplo anterior pretende-se encontrar a
expressão da corrente iL no domínio do tempo, considerando que
não existe energia armazenada no circuito (indutor e capacito)
Ao substituir o circuito no domínio do tempo pelo circuito
equivalente no domínio da frequência, obtém-se o circuito abaixo.
Observe que a fonte de corrente contínua junto com a chave
(Icc.u(t)) também é transformada para o domínio da frequência.
3- EXEMPLOS DE ANALISE
Para determinar IL, utiliza-se lei de Ohm para domínio da frequência:
Fazendo a análise por tensão de nó, pode-se determinar a tensão V,
que é a mesma para todos os componentes, então:
Assim a tensão no domínio da frequência será:
Assim, com os valores dos componentes (R=625, 25nF, 25mH e
Icc=24mA) e o valor de V, a corrente no indutor no domínio da
frequência pode será:
s
I
sL
V
R
VCsV CC
LCRCss
CIsV CC
1)(
2
sLVIL
LCRCsss
LCIsI CC
L1
)(2
82
5
101664000
10384)(
ssssIL
3- EXEMPLOS DE ANALISE
Antes de aplicar a transformada inversa por frações parciais, pode-se
determinar o valor de corrente para um tempo t tendendo a infinito,
utilizando o teorema do valor final, ou seja:
Ainda antes de achar as frações parciais, é necessário encontrar as
raízes do denominador e para isso pode-se fatorá-lo, então:
Então acha-se três raízes (s1=0; s2=-32000+j24000; s3=-32000-
j24000) e as frações parciais serão:
24000320002400032000
10384)(
5
jsjsssIL
mA
sss
sssIL
S24
1016
10384
101664000
10384)(lim
8
5
82
5
0
24000320002400032000)(
*
221
js
K
js
K
s
KsIL
3- EXEMPLOS DE ANALISE
K1 e K2 terão valores:
Lembrando que:
Assim a resposta no domínio do tempo será dada por:
mAtuteti t
L )()87,12624000cos(20224)( 32000
33*
2
33
2
3
1
10161287,1261020
10161287,1261020
1024
jK
jK
K
)cos(2)()(
*1
teKjs
K
js
KL t
3- EXEMPLOS DE ANALISE
3.3) Resposta a Transiente em Circuito RLC Paralelo
Utilizando o circuito anterior, mas substituindo a fonte contínua por
uma fonte de corrente senoidal Ig, com valor:
Assim, ao fazer a transformada de Laplace da fonte de corrente
alternada obtém-se:
Para analisar esse circuito, utiliza-se também o método das tensão
do nó e chega-se ao seguinte resultado:
mAttig )40000cos(24)(
22
3
22 40000
1024)(
s
s
s
IsIti m
gg
LCRCss
sCIsV
g
1)(
2
LCRCsss
sCIsV m
1)(
222
2
mAtIti mg )cos()(
3- EXEMPLOS DE ANALISE
Já se sabe que IL é obtida por:
Então:
Substituindo os valores (R=625, 25nF, 25mH, Im=24mA e
=40000rad/s):
Fatorando o denominador e reescrevendo IL, tem-se:
São quatro raízes complexas, então as frações parciais serão:
LCRCsss
sLCIsI m
L1
)(222
sLVIL
8282
5
1016640001016
10384)(
sss
ssIL
240003200024000320004000040000
10384)(
5
jsjsjsjssIL
240003200024000320004000040000)(
*
22
*
11
js
K
js
K
js
K
js
KsIL
3- EXEMPLOS DE ANALISE
Os valor de K1 e K2 encontradas foram:
Lembrando que:
Assim a resposta no domínio do tempo será dada por:
mAtuteteti tt
L )()9024000cos(5,122)9040000cos(5,72)( 320000
90105,1290105,12
90105,790105,7
3*
2
3
2
3*
1
3
1
KK
KK
)cos(2)()(
*1
teKjs
K
js
KL t
2400032000
90105,12
2400032000
90105,12
40000
90105,7
40000
90105,7)(
3333
jsjsjsjssIL
mAtutetsenti t
L )()24000cos(25)40000(15)( 32000
3- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
3- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA (FT)
A Função Transferência (FT) de um circuito é dada pela razão
entre a transformada da saída (resposta Y(s)) e a transformada
da entrada (fonte X(s)):
A função de transferência é encontrada para condições
iniciais igual a zero.
Para encontrar a FT, deve-se reconhecer a entrada e a saída.
Considerando que Vg é o sinal de entrada e a corrente I
é o sinal de saída:
)(
)()(
sX
sYsH
)(
)()(
sZ
sVsI
g
11
1
)(
1
)(
)()(
2
RCsLCs
sC
sCsLRsZsV
sIsH
g
3- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Se agora for considerando que Vg é o sinal de entrada e a
tensão Vc é o sinal de saída:
Exemplo: encontre a função de transferência (FT) do circuito
sabendo que vg é a entrada de sinal e vo é a saída. Após
determinar a FT encontre os valores dos polos e zeros.
Primeiro passo: encontra o equivalente no domínio da frequência.
)()(
)()( sV
sZ
sZsV g
CC
1
1
1
1
)(
)(
)(
)()(
2
RCsLCssCsLR
sC
sZ
sZ
sV
sVsH C
g
C
3- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Segundo passo: relacionar o valor de vo com vg. (método de
tensão de nós, ou divisor de tensão).
Reorganizando, obtém-se:
Terceiro passo: escrever a função de transferência.
Encontrar os polos e zeros basta achar s para que o denominador e
o numerador de H(s) seja, respectivamente igual a zero:
01005,02501000 6
sV
s
VVVOOgO
62 10256000
)5000(1000
ss
VsV
g
O
62 10256000
)5000(1000)(
ss
s
V
VsH
g
O
010256000 62 ss
40003000
40003000
jp
jp
0)5000(1000 s
5000s
3- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Exercício 13.9: a) Encontrar a função de transferência (FT)
do circuito abaixo sabendo que ig é a entrada de sinal e vo
é a saída. b) Determinar valores dos polos e zeros da FT.
4- FT EM FRAÇÕES PARCIAIS
4- FT EM FRAÇÕES PARCIAIS
Quando obtém-se a Função de Transferência-FT (H(s)) e o
sinal de entrada (X(s)) pode-se encontra o sinal de saída
através da seguinte fórmula:
Se expandirmos em frações parciais H(s) e X(s), percebe-
se que:
Os termos gerados pelos seus polos de H(s) estão associados à
resposta transiente.
Os termos gerados pelos seus polos de X(s) serão associados à
resposta estacionária.
)(
)()(
sX
sYsH )()()( sXsHsY
4- FT EM FRAÇÕES PARCIAIS
Exemplo: Conhecendo a Função de Transferência H(s) e a
entrada vg(t)=50tu(t), pretende-se determinar vo(t),
identificando as componentes transiente e a estacionária da
resposta do circuito.
1º Passo: achar vg no domínio da frequência:
2ºPasso: montar a equação no domínio da frequência
62 10256000
)5000(1000)(
ss
s
V
VsH
g
O
2
50)()(50)(
ssVtuttv gg
262
50
10256000
)5000(1000)()()(
sss
ssVsHsV go
4- FT EM FRAÇÕES PARCIAIS
3º Passo: expandir Vo(s) em frações parciais:
4ºPasso: Aplicar Transformada Inversa e encontrar vo(t).
s
K
s
K
js
K
js
K
sss
ssVo
3
2
2
*
11
262 4000300040003000
50
10256000
)5000(1000)(
)(_
4
2
)(_
44 10410
40003000
70,791055
40003000
70,791055)(
sXpolossHpolos
ossjsjs
sV
)(10410)70,794000cos(10552)()(
4
)(
30004 tuttetvsXsH
t
o
)(10410)70,794000cos(10552)(_
4
_
30004 tuttetviaEstacionárComponenteTransienteComponente
t
o
4- FT EM FRAÇÕES PARCIAIS
Observação 1: Supondo que o sinal de entrada seja
retardado de a segundos, ou seja:
Assim, de acordo como que foi mostrado anteriormente, tem-
se:
Ou seja, um retardo de “a” segundos no sinal de entrada
resulta exclusivamente em um retardo de “a” segundos no
sinal de saída, por conta disto é dito que o circuito é
invariante no tempo.
)()()()()( atuatyesXsHsY as
)()()( sXeatuatx asLaplace
4- FT EM FRAÇÕES PARCIAIS
Observação 2: Supondo que o sinal de entrada seja uma
função impulso unitário, ou seja:
Assim, de acordo como que foi mostrado, tem-se:
Conclusão a resposta (y(t) ou Y(s)) de qualquer circuito à um
impulso unitário é igual a função de transferência (h(t) ou
H(s)).
)()()()()()( thtysHsXsHsY
1)()()( sXttxLaplace
5- FT E RESPOSTA ESTACIONÁRIA
)(__
_))()(cos()()(
_
11
22 sHdepolos
comtermos
js
K
js
K
s
sensAsHsY
geralsituação
)()()cos()cos()()cos()( sentAsentAtxtAtx
222222
))()(cos()()cos()(
s
sensA
s
Asen
s
sAsX
5- FT E RESPOSTA ESTACIONÁRIA (x(t)=Senoide)
Conhecendo função de transferência do circuito, não é
necessário utilizar a análise fatorial para determinar qual será a
resposta estacionária para uma entrada senoidal.
Supondo que a entrada senoidal seja:
A transformada de laplace de x(t) será:
Sabe-se que a resposta estacionário é dada pelos polos de
X(s):
5- FT E RESPOSTA ESTACIONÁRIA
Para encontrar K1, faz-se:
No caso geral, H(j) é um número complexo, então:
Assim:
2
))()(cos()(
))()(cos()(1
j
senjAjH
js
sensAsHK
js
2
))()(cos()(1
jsenAjHK jAejHK )(
2
11
)()()()( )( jHejHjH j
))((
1 )(2
1 jejHAK
)(__
_)(2
1)(
2
1
)(
))(())((
sHdepolos
comtermos
js
ejHA
js
ejHA
sY
jj
5- FT E RESPOSTA ESTACIONÁRIA
Transformada Inversa de Laplace apenas para os termos com
polos de X(s):
Exemplo: conhecendo a função de transferência H(s) e o
sinal de entrada x(t)=120cos(5000t+30°) determine y(t):
1º Passo: Achar H(j)=H(j5000)
)(__
_)(2
1)(
2
1
)(
))(())((
sHdepolos
comtermos
js
ejHA
js
ejHA
sY
jj
))(cos()()( tjHAty iaestacionár
62 10256000
)5000(1000)(
ss
s
V
VsH
g
O
6
1
6
1
102550006000)5000(
)50005000(1000)5000(
62
j
j
j
jj
jjH 45
6
2)5000( jH
5- FT E RESPOSTA ESTACIONÁRIA
2º Passo: Tendo x(t) e H(j) agora é aplicação da fórmula:
456
2)5000( jH
))(cos()()( tjHAty iaestacionár
Vttx )305000cos(120)(
)30455000cos(6
2120)( tty iaestacionár
)155000cos(220)( tty iaestacionár
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
A integral de convolução relaciona y(t) de um circuito
invariante no tempo com:
A sinal de entrada no tempo: x(t); e
A resposta à um impulso unitário: h(t)
A razão de utilizar a integral de convolução é:
Permite determinar y(t) trabalhando apenas no domínio do
tempo. Pode ser bastante útil quando x(t) e h(t) são determinados
de forma experimental.
)()()()()()()()()( thtxtxthdthxdtxhty
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Oferece um método formal para determinar a transformada inversa
de um produto de transformadas de Laplace.
A interpretação da convolução é que:
O sinal de saída y(t) é constituído pela soma de uma séries de
respostas a impulsos com diferentes retardos. A intensidade de cada
resposta dependerá da intensidade do impulso da entrada
correspondente.
INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA:
Considere o sistema abaixo:
É conhecida a resposta ao impulso unitário (x(t)=(t)): y(t)=h(t)
Pretende-se encontra y(t) para uma entrada conhecida x(t):
)()()()()()( sXsHsYtxthty
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Primeiramente, aproxima-se x(t) por uma soma de retângulos de
largura e altura x(), como mostra a figura abaixo:
O retângulo xi(t) possui altura x(i) e vai de i à i+1
Fazendo largura seja suficientemente pequena, a ponto do quadrado
xi seja representado pela função impulso de intensidade x(i).,
então x(t) pode ser representado agora
...)(...)()()( 10 txtxtxtx i
...)()(...)()()()()( 111000 iii txtxtxtx
)()()( iiii txtx
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Supondo que a resposta ao impulso unitário do sistema, h(t), seja
exponencial decrescente mostrada abaixo, então a saída y(t) será
dada por:
Quando tende a zero, o somatório tende a para uma integral:
...)()(...)()()()()( 111000 iii thxthxthxty
)()()( iiii txtx
00
000 )()()()()()( dthxtythxtyi
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA:
Considere o sistema abaixo:
A resposta ao impulso unitário h(t) é uma exponencial decrescente
Pretende-se encontra y(t) para uma entrada conhecida x(t) :
00
000 )()()()()()( dthxtythxtyi
?
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Primeiramente substitui-se a t pela variável de integração
O efeito de substituição por - reflete a forma de onda no eixo
vertical:
O efeito de substituição - por (t - ) significa que ocorre um
deslocamento com valor t para a direita:
0
)()()( dthxty
5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Para finalizar, a resposta y(t) para x(t), será a área sob a função
produto h()x(t - ).
0
)()()( dthxty