6 Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiği
6.1 Giriş 5. bölümde rijit cisimlerin düzlemsel kinematiğinin ili şkilerini (denklemlerini)
gördük. Bu bölümde bu ilişkileri kullanarak rijit cisimlerin iki boyutlu hareketinde
kuvvetlerin etkisini inceleyeceğiz.
6. Bölüm 3. Bölüm gibi 3 kısımda (A, B, ve C) incelenecek. A kısmında kuvvetlerin
ve momentlerin lineer ivmesi ile açısal ivmesi arasındaki bağıntılar, B kısmında iş-enerji ve C kısmında impuls-momentum bağıntılarını göreceğiz.
Kısım A : Kuvvet kütle ve ivme
6.2 Hareketin genel denklemleri
4. bölümde hareketin kuvvet ve moment vektörel eşitliklerini genel kütle sistemi için
bulduk Bunu şimdi 3 boyutlu rijit cisme uygulayalım.
Kuvvet eşitli ği : ΣF=ma
Moment eşitli ği : G GΣM = Hɺ idi.
Düzlemsel hareketin denklemleri :
Daha evvel yazdığımız eşitlikleri düzlemsel harekete uygulayalım. Şekilde x-y
düzleminde hareket eden rijit bir cisim görüyoruz.
Cismin açısal hızı ve ivmesi pozitif z yönünde olsun, ω=ωk ve α = αk. Genel sistemin
kütle merkezine göre (4. Bölümde) açısal momentumu G i
m= Σ ×i i
H ρ ρɺ formülü ile
verilmiştir.( i i,mρ noktasal cismin kütle merkezine göre konum vektörü). Rijit cisim
için kütle merkezi G'ye göre bir noktanın bağıl hızı = ×i i
ρ ω ρɺ dir. Bundan dolayı HG
açısal momentum vektörünün büyüklüğü :
�
i
i
0
2i i
, m ( )
m ( . ) ( .ω)
m
im
= × = Σ × ×
= Σ − Σ
= Σ
i i g i i
G i i i i
G
ρ ω ρ H ρ ω ρH ρ ρ ω ρ ρ
H ρ ω
ɺ
Yukarıdaki eşitlikteki toplam terimi 2
i imΣρ ,
2( )∫ dmρ integrali ile ifade edilir. Bu
ifade ( )2dmρ∫ rijit cismin kütle merkezinden geçen z eksenine göre atalet momenti IG
olarakta tanımlanır. Bundan dolayı HG= IGω yazılır. Böylece moment denklemi ;
G G G GM H I ω=I αΣ = =ɺ ɺ şeklini alır. Sonuç olarak rijit cisim için düzlemsel hareketin
denklemlerini, mΣ = GF a ve GIΣ =GM α (BĐRĐNCĐSĐ DÜZLEMDE ÖTELEME
ĐKĐNCĐSĐ DÜZLEMDE DÖNME) olarak elde etmiş olduk.
=maG
G
t t i
2n n
G G
Eğrisel Koordinatlar:
F ma
F ma m ω=m
F ma m ωM I
i
i
ρ ρ αρ
α
Σ =Σ = =
Σ = =Σ =
ɺ
Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagramı
KARTEZYEN KOOR:
m
m m 4
m ( .)
x Gx
y Gy
z Gz
G G G
F a
F a Hareket Denklemi
F a Kartezyen Koor
I M I α
Σ = Σ = ⇒ Σ = Σ = Σ = ⇒ Σ =
G
G
F a
M α
Alternatif moment eşitli ği (Denklemi)
4. Bölümde bir noktasal cisim sistemi için herhangi bir P noktasına göre moment
denklemleri;
mΣ = + ×p G G GM H ρ aɺ şeklinde çıkartmıştık ( = =Gρ ρ PG idi).
=ρGsinθ
m ,= + × =p G G G GΣM H ρ a ρ PGɺ
Bu eşitli ği 2 boyutlu rijit cisim için
ΣMp = IG α+m aG d şeklinde yazabiliriz.
Eğer rijit cisim sabit bir O noktası etrafında dönüyorsa bu denklem ΣMo = Io α şeklini
alır.
Gm , I | | GI α= + × = = ⇒ = =p G G G G G G GΣM H ρ a ΣM H α H Hɺ ɺ ɺ ɺ
( ) Gm sin a msinθ a dG Gm mπ θ ρ× = − = =G G G Gρ a ρ a
Hareket Düzlemi; ( m ) Har.Düzlemi⊥ × ⊥p G GΣM ρ a
O halde p GΣM ma dGI α= + “Düzlemsel Harekette”
p bağNOT: M ( ) m idi. (4. Bölümde)Σ = + ×p G pH ρ aɺ
G
p bağ
P noktasını katı cismin sabit noktası alırsak M
dan H olur.
G G
p p
I H
I I m
α
α
Σ = = = Σ = + ×p G pM α ρ a
ɺ
ɺ
p
p G
I : P den geçen eksene göre atalet momenti (Kütle)
a ; P nin ivmesi ; dir. Eğer P PG=0 ise= =Gρ PG
olur. P noktası G kütle merkezi rolünü oynar.
(skaler)
Σ =
Σ =p
p p
M I
M I
αα
6.3 Bağımsız veya Bağımlı Katı Cisim Hareketi:
Şekildeki düşey düzlemde hareket eden roket bağımsız hareketli bir katı cisimdir.
Fiziksel olarak hareketini sınırlayan bir engel yoktur.
G
m
M I αΣ = Σ =
F a denklemlerini uygulayarak
α açısal ivmesi ve xa , ya kütle merkezi ivmeleri hesaplanabilir.
AB çubuğunun hareketi sınırlıdır. Bağımlı (Bağlı) hareket edebilir. Kütle merkezinin
ivme bileşenleri ile çubuğun açısal ivmesi arasındaki bağıntı 5. bölümdeki kinematik
bilgilerinden elde edilir sonra mΣ =F a ve M I αΣ = denklemleri uygulanır. Bu
nedenle 5. Bölüm çok önemlidir.
6.4 Birbirine bağlı katı cisim sistemleri
Serbest Cisim Diyagramı
Kinetik Diagram
Cisimleri tekbir katı cisim sistemi saymak uygundur. A bağ noktasındaki kuvvet iç
kuvvet olur. Dikkate alınmaz. veΣM=IαΣ =F am denklemlerini;
1 2m m mΣ = Σ = +
1 2F a a a
Ve keyfi bir P noktasına göre tüm dış kuvvetlerin momentleri toplamı
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2I I m a d m a dα α+ + + bileşkelerinin momentine eşit olur. Yani;
pM Iα ad BmΣ = Σ + Σ şeklini alır.
A ve B denklemleri uygulanarak sistemin bilinmeyenleri çözülür. Denklem sayısı
yetmez ise, sistem parçalara ayrılır her parça için ve M Im αΣ = ΣF a =
uygulanır. Veya VĐRTÜEL iş ya da LAGRANGE denklemleri kullanılır.
6.5 Alan Atalet Momenti
Eksene Göre:
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
,
, Polar atalet momenti
( )
x
y
z
z x y
I y dA
I x dA r x y
I r dA
I x y dA x dA y dA I I
=
= = +
=
= + = + = +
∫∫∫∫ ∫ ∫
Alan atalet momenti göz önüne alınan eksene göre
A alanının dağılımının ölçümü olup, alanın sabit bir özelliğidir.
Boyutu: (uzaklığın)4 = 44 m dir.⇒ (SI)
Gerçek cisimler için atalet momenti KÜTLE atalet momenti olarak hesaplanır.
Kütlenin sözkonusu eksene göre dağılımının ölçümüdür. EKSENE GÖRE KÜTLE
ATALET MOMENTĐ:
t
ω=r
Ft
t
a r r
m ma
α θ= =Σ = ⇒ =F a
ɺɺɺ
tF =rαdm bulunur. Bunun OO′ ’ ne göre
momenti 2( ) dir.r r dm r dmα α=
Bu tür kuvvetlerin toplam momenti katı
Cismin tüm noktaları için
2r dmα∫ integrali ile hesaplanır.
NOT: 2nF ω nin OO ne göre momenti SIFIRDIR.mr ′=
. dm,dV
ρr
m
αO'
O
.at
anormal,n
F =ΣΣΣΣFFn
Ft
teğet, t
an
2 2 , : tekOOM r dm r dmα α α′ = =∫ ∫
2r dm I=∫ ile gösterilir. Ve OO’ eksenine göre m kütlesinin KÜTLE ATALET
MOMENTĐ adını alır.
2I r dm= ∫ , cismin α açısal ivmesine karşı direncini temsil eder.
�
2 2
dm
:r dm r (ρdV),
:
yoğunlukI
V Hacim
ρ= =∫ ∫
2 sabit ise..Aksi halde integral içerisinde kalır.I r dVρ ρ= =∫
6.6 Atalet Yarıçapı (Radius Of Gyration)
OA
y
xG (x,y)xy.
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A
kx
y
xO
xA alanının x ekseninden uzaklığı k
olan ince birşeride sıkıştıralım.
2x xI k A yazılır.= kx’e A alanının x
eksenine göre atalet yarıçapı denir.
xx
Ik
A=
2y yI k A=
A
ky
y
xO�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
y
xO
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.kz
A
NOT: A alanının göz önüne alınan eksene göre dağılımının ölçümünü ATALET
YARIÇAPI olarak tanımlarız.
Đndisi atarsak; m kütlesinin bir eksene göre atalet yarıçapı
yy
Ik
A=
2 zz z z
II k A k
A= ⇒ =
2veya I k dir.I
k mm
= =
NOT: A alanının G kütle merkezinin x , y veya Gx , Gy koordinatları ile atalet yarıçapı
karıştırılmamalıdır.
2, A alanının elemanlarının x eksenine olan uzaklıklarının ortalmasının karesidir.y
2
xk ise elemanların xeksenine olan uzaklıklarının karelerinin ortalamasıdır
Yani 2AyxI ≠ (Ortalamanın karesi, karelerin ortalamasından daha küçük)
6.7 Alan Atalet Momentinin Nakli (Transfer Of Axes)
Kütle merkezinden geçen bir eksene göre bir cismin atalet momenti biliniyorsa,
paralel bir eksene göre atalet momentinin bulunması. Şekildeki iki paralele ekseni
alalım.
2 2
0
2
2
2
0 (Kütle merkezinin u koordinatı sıfırdır)
I r dm d m d mdm
I I md
I I md
= + +
= + += +
∫ ∫
2 2 2z; ve yazılır.x x x y y y z zI I md I I md I I md= + = + = +
Düzlemsel harekette dönme, düzleme dik bir eksen etrafında olur. Bu nedenle kütle
atalet momentini 2I r dm= ∫ şeklinde bir tek sembol ile gösteririz. Ve eğer levha x,y
2
2 2 2
2 2
2 2
,
2 cos
( 2 cos )
2 cos
o o
o o
o o
I r dm
r r d r d
I r d r d dm
I r dm d dm d r dm
θ
θ
θ
=
= + +
= + +
= + +
∫∫∫ ∫ ∫
düzleminde hareket ediyorsa, O dan geçen z eksenine göre atalet momenti I0 ile temsil
edilir.
Üç boyutlu harekette x y zω ω ω= + +ω i j k olabilir. Bu durumda x,y,z eksenlerine göre
atalet momentlerini; xx yy zzI ;I ;I ile temsil ederiz.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( )
( )
( )
xx x
yy y
zz z
I r dm y z dm
I r dm x z dm
I r dm x y dm
= = +
= = +
= = +
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
Kütle atalet momenti ile Alan atalet momenti arasındaki benzerlik:
�
2 2
2z
( dA)
Iz
zz z z
zz z
I
I r dm r t
I t r dA t
ρ
ρ ρ
= =
= =
∫ ∫∫
Kütle atalet momenti birim alanın kütlesi ile zI polar atalet momentinin çarpımına
eşittir. Benzer olarak
�xIxx
Birimalanınkütlesi
I tρ= ve �
yy y
BirimAlanınKütlesi
I t Iρ= elde edilir.
Çift indis plakanın kütle atalet momentini ve tek indis plakanın ALAN atalet
momentini temsil ediyor.
NOT: Alan Atalet momentinde idi.z x yI I I= +
Kütle atalet momenti için
( )xx yy x y x y z zzI I tI tI t I I tI Iρ ρ ρ ρ+ = + = + = =
NOT: Bu bağıntı t kalınlığının veya z koordinatlarının x ve y
nin yanında küçük olması halinde geçerlidir.zz xx yyI I I= +
Bu bağıntı dz kalınlığındaki levha için diferansiyel kütle elemanı ile ilgilenildiği
zaman yararlıdır.
Şeklinde uygulanır.zz xx yydI dI dI= +
6.8 Parçalı Cisimler 2I r dm= ∫ ifadesi daima pozitiftir. Parçalı bir cismin bir eksene göre atalet momenti
cismin her parçasının aynı eksene göre atalet momentlerinin toplamına eşittir. Pozitif
ve negatif hacimler tanımlanabilir. Kesilip çıkartılan alan ve hacimler negatif ala ve
hacim olarak alınır.
6.9 Atalet Çarpanları
Atalet çarpanları
olarak tanımlanırlar
xy yx
xz zx
zy yz
I I xydm
I I xzdm
I I zydm
= = = = = =
∫∫∫
Hesaplarda, alanlardaki gibi davranılır. Eksenlerin kaydırılması geçerlidir:
0 0
0 0 0 0
( )( )xy
xy x y x y
I xydm x dx y dy dm
I x y dm d d dm d y dm d x dm
= = + +
= + + +
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
0 00 0xy x yI I mdxdy= + + +
Ixz ve Iyz için de benzer işlem yapılır ve sıfır indisler
atılırsa
xy xy
xz xz
yz yz
I I mdxdy
I I mdxdz
I I mdydz
= +
= += +
yazılır.
0 0(x ,y )
6.10 Koordinat Merkezinden Geçen Herhangi Bir M Doğrusuna
Göre Atalet Momenti
1,
l,m,n doğrultman kosinüsleri
= = + +λ λ i j kl m n
[ ]
( ) ( ) ( )
2M
M
2 2 2 2 2 2 2 2 2M
I ( ) ( )
I ( ) ( )
[( ) ( )]
I 2 2 2 dm
h dm r r dm
x y z l m n
x y z l m n dm
y z l x z m x y n xyml xzln yzmn
λ λ= = × ⋅ ×
= + + × + + ⋅
+ + × + +
= + + + + + − − −
∫ ∫∫∫
i j k i j k
i j k i j k
2 2 2 2 2 2 elde edilir.M xx yy zz xy xz yzI I l I m I n I lm I ln I mn= + + − − −
2r | r || | sin | r | sin h h (r ) (r )× λ = λ θ = θ = = × λ ⋅ × λ
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
I I I
I I I
I I I
− − − − −
Öyle x,y,z eksenleri bulabiliriz ki bu eksenlere göre yazılan xy yxI =I ; xz zxI =I ; yz zyI =I
Atalet çarpanları sıfır olur. Yani
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
I
I
I
yazılır. Böyle eksenlere ASAL ATALET EKSENLERĐ denir. Ixx,
Iyy, Izz lere de ASAL ATALET MOMENTLERĐ DENĐR.
NOT: Đki koordinat eksenini taşıyan birbirine dik iki düzlem verilen cismin SĐMETRĐ DÜZLEMĐ ise tüm ATALET ÇARPANLARI sıfırdır.
Đfadesine ATALET MATRĐSĐ veya ATALET TENSÖRÜ denir. Verilen bir noktadan geçen eksenlere göre atalet çarpanlarını ve atalet momentlerini alıyoruz demektir.
Problem 6.1: Şekildeki alanın x1x1 ve y1y1 eksenlerine göre atalet momentlerini
bulunuz.
Çözüm:
G kütle merkezinden geçen x,y’ye göre:
x’e göre kesit alınır. x xI dI= ∫
/ 22 2
x
/ 2
3 3b/2
b/2
a/2 3 3a/22
a/2a/2
I y dA y ady
aba |
3 12
x |3 12
b
b
x
y y
yI
x baI dI bdx b
−
−
−−
= =
= =
= = = =
∫ ∫
∫ ∫
Aynı işlemler 1xI ve
1yI için farklı sınırlarla kullanılır.
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
x
yy1
x1
dx
dydA=ady
dA=bdx
Gb
a
1
1
b 32 2
1
0
a 32 2
1
0
abdA y ady
3
badA x bdx
3
x x
y y
I dI y
I dI x
= = = =
= = = =
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
NOT: aynı sonuçları iki katlı integral ile de elde ederiz.
2 2 21
0 0
3 3 3b a3
10 00 0
3 3 3a b2
10 00 0 0
( )
1| |
3 3 3 3
a| dy= |
3 3 3
a b
x
a a
x
b a b
y
I y dA y dxdy y dy dx
y b abI dx dx b x
x y abI x dxdy
= = =
= = = =
= = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
Problem 6.2: Şekildeki yarım dairenin;
1-) Ix, Iy atalet momentlerini,
2-) Dairenin kalınlığı h m, maddenin yoğunluğu ρ gr/cm3 ise 'xI kütle atalet momentini
hesaplayınız. NOT: 'xI kütle atalet momentinin z koordinatına bağlı olmadığına dikkat
ediniz.
Çözüm:
2
2 3 2
0 0
4 4R2 2
00 0
( )
( sinθ) sin θ
| sin θ sin θ4 4
x
R
x
x
dA rd dr rd dr
I y dA
I r rd dr r drd
r RI d d
π
π π
θ θ
θ θ
θ θ
= =
=
= =
= =
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫
dr
rdθ
(r+dr)dθ
R
dθ
.θr
y
x
4 4
00
4 4
1 cos2θ 1sin 2θ
4 2 4 2 4
4 2 8
x
x
R RI d
R RI
ππ θθ
π π
− = = − = =
∫
2 2 3 2
0 0 0 0
( cosθ) cos θdrdR R
yI x dA R rdrd rπ π
θ θ= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 4R2
00 0
1 cos2θ| cos θd
4 4 2y
r RI d
π π
θ θ+ = = ∫ ∫
4 4 4
0
sin 2θ|
4 2 4 4 2 8y
R R RI
πθ π π = + = =
2-) Kütle Atalet Momenti: ' 2 2xI dm y dmρ= =∫ ∫
�
' 2 2x x
4 4'
I ( ) I
8 8
dm
x
y hdA h y dA h
R R hI h
ρ ρ ρ
π ρ πρ
= = =
= =
∫ ∫
Problem 6.3: Şekildeki kanal kesitinin x ve y eksenlerine göre atalet momentini elde
ediniz.
Çözüm: A alanı için AxI kütle merkezinden geçen
eksene göre atalet momentidir. Buna kısaca O
merkezi atalet momenti de denir.
B alanları 2GI I Ad= + geçerlidir.
�
�
2xB x'B
'
I I ( )( )2
AdAy
dad b= + +
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
y
O
Bdc
d
x''
x'
�
A
d b
bc
dA'y
dB'y
a
y'1 y'2
a
x
e
Bütün kanalın x eksenine göre atalet momenti
x xA xBI I 2I= + yazılır.
Aynı Ix momentini kanal kesitinin alanı
(2 2 )Ç a d b= + dikdörtgeninden alanı (2 )D c b= olan dikdörtgenin kesilip
çıkarılması ile de elde ederiz. x ekseni bu iki dikdörtgen için de merkezi eksen
olduğundan paralel eksen teoremine göre Dx xC xI I -I= yazılır. Bu yol daha kolaydır.
[ ( )2
2
dab b
+ hesabına gerek kalmaz]
Iy nin hesabında her parça için paralel eksen teoremini kullanmak gereklidir. Bu
nedenle parça sayısını minimumda tutmak yararlıdır. Alanı (2 2 )Ç a b d= + , (2 )D a b=
olan parçalarda hesap yapılırsa 2
2yD(2 2 ) (2 )( )
2 2Gy y
a aI I a b d e I c b e d
= + + + + + + +
elde edilir.
Problem 6.4: ab dikdörtgeninin x1, y1 ve x2, y2 eksenlerine göre atalet momentlerini
bulunuz.
Çözüm: 2
1
23
1
1.
3 31
31
1( )
12
1 1
12 41
3
= +
= +
= +
=
���
x x
x
Örnek
x
x
I I Ad
aI ab ab
b
I ab ab
I ab
Ob
a
x1
y1y2
x2
y
x
a/2
b/2
22 3
1
1.
3 3 31
2 3x2
3 33 3
2
22 3
2
32
1( )
12 2
1 1 1bulunur.
12 4 31
I ( )12 2
1 4 1
12 4 12 3
1( )
12 2
1
3
y y
Örnek
y
x
x
y y
y
aI I Ad ba ab
I a b a b ba
bI Ad ab ab
b abI ab a ab
aI I Ad ba ab
I ba
= + = +
= + =
= + = + = + = =
= + = + =
���
NOT: Kütle merkezinden eşit uzaklıkta olan paralel doğrulara göre atalet momentleri
eşittir. Çünkü hesaplarda uzaklığın karesi yer alır.
Problem 6.5: Örnek problem 3 deki kanal kesitinin x, x’ ve y eksenlerine göre atalet
momentlerini a=10 cm b=9 cm, d=2 cm, e=4 cm için hesaplayınız. Ayrıca J0 polar
atalet momentini bulunuz.
Çözüm: A ve B parçalarının merkezlerinden
geçen eksenlere göre atalet momentlerini IA ve
IB ile gösterelim. 2 2
3
23
3 3 2
2( )
1(2 ) (2 )(0)
12
12 ( )
12 2
1 1 2(2 8) (2) 0 2 (2) (10) (10)(2)(8 )
12 12 2
x Ax A Ay Bx B By
x
x
I I A dA I A d
I b d bd
dd a ad b
I
= + + +
= + +
+ + = × + + + +
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
y
O
Bdc
d
x''
x'
�
A
d b
bc
dA'y
dB'y
a
y'1 y'2
a
x
e
4 4 4
2 2
23 3 2
3 2 3 2
683 2(6.7 1620) 3936
2( )
1 1(2 ) (2 ) 2 ( )
12 2 12 2
1 1(16)(2) 2(8 2)(4 1) 2 (2)(10) (10)(2)(4 5)
12 12
x
y Ay A Ax By B Bx
y
y
I cm cm cm
I I A dA I A d
d aI h d bd e da ad e
I
= + + =
= + + +
= + + + + + = + × + + + +
4y
2 2x1 ' '' ' '
3 2 3x'
2 3
4x'
40
I 4384
I
1 1I (16) (2) (16)(2)(8 1) (10)(2)
12 121
(10)(2)(16 2) (10)(2)12
I 9768
3936 4384 8320
Ax A Ay Bx B By Bx
x y
cm
I A d I A d I
cm
J I I cm
=
= + + + +
= + + + +
+ +
=
= + = + =
Problem 5’e NOT: Ix’ > Ix dir. Bu normal, çünkü kanal kesitini x’ etrafında döndürmek
x ekseni etrafında döndürmeye göre çok daha kolaydır. Ayrıca atalet momenti r2 bağlı
olduğu için de normaldir.
Problem 6.6: Şekildeki üçgen alanı için Ixy atalet çarpanını hesaplayınız.
Çözüm:
55 10 5 2
0 0 0 0
5 2 5
00
1
2(dikdörtgenin yarısını A alarak)
1 1
2 2 2
1 10025 |
2 2 2
25(25) 312.5
2
xy
xy
xy
xy
I xydA
xI xdx ydy ydy
yI ydy
I
=
= = = =
= =
∫
∫ ∫ ∫∫
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
A
Adx
dy
10O
5
y
x
Bu sonucu, sadece verilen A alanı için iki katlı integralle veya x ve y doğrultusunda dx ve dy kesimleri alınarak A için tek katlı integral ile de elde edebiliriz.
Problem 7: Şekildeki cismin asal atalet momentlerini hesaplayınız. Asal atalet
eksenlerini belirleyiniz.
Çözüm:
x ve y eksenlerine göre Ix ve Iy yi hesaplayalım.
1 2
3 2 2
3 2 2
4
1(10 )(1 ) (10 )(0,5 )
121
(1 )(11 ) (11 )(6,5 )12
579
x x x
x
x
I I I
I cm cm cm cm
cm cm cm cm
I cm
= +
= +
+ +
=
Her alanın merkezsel ekseni simetri ekseni
Olduğundan, her alanın merkezi eksenlere
göre atalet çarpanı sıfırdır.
A1
A2
O1 cm
1 cm
12 cm
y
x
1 2
3
2 2
4
1(10 ) (1 )
12(10 )(0,5 )
337
y y y
y
y
I I I
I cm cm
cm cm
I cm
= +
=
+=
21 2
2
4
2
2mak,min
22
mak,min
4mak min
0 (10 ) (5 )(0,5 )
0 (11 )(0,5 )(6,5 )
60,75
Bu değerleri
I2 2
formülünde yazarsak
579 337 579 337I (60,75)
2 2
I 593,4 ve I 332,
xy xy xy
xy
x y x yxy
I I I cm cm cm
cm cm cm
I cm
I I I II
cm
= + = +
+ +=
+ + = ± +
+ − = ± + = = 46
2 2160,75tan 2 0,502
579 337xy
px y
cm
I
I Iθ = = =
− −
2 arctan(0,502) 13,3 veya 2 153,3 ve 76,7 bulunur.p p p pθ θ θ θ= ⇒ = = − = −� � �
θ saat yönünde ölçülür (Ix eksenine göre).
X ekseninin 13,3o dönmesi maksimum asal atalet eksenini ve aynı derece kadar y nin
dönmesi de minimum atalet momentini verir.
Problem 6.8: Şekildeki vagon yoğunluğu ρ olan homojen bir dikdörtgen prizmadır.
Vagonun kütle atalet momentini x, AB ve OF’e göre hesaplayınız. Bilinen sonuçları
kullanınız.
Çözüm: 2
x x1 1
1
I I md
d : x ile x' arasındaki uzaklık
= +
2 2' ( )
12x
mI b c= +
c
F
G
B
D
E
OC
a
b
y'
y
x'
A
C
z'z
2 22 2
2 2 2 2 2 2
2AB ' 2
2 22 2
'
2 2
( )12 2 2
( ) ( ) ( )12 4 3
Benzerşekilde AB için;
I
( )12 2 2
( )3
ve OF doğrusu (Köşegeni için)
x
x
y
y
AB
m b cI b c m
m m mI b c b c b c
I md
m a cI a c m
mI a c
= + + + = + + + = +
= +
= + + + = +
2 2 2 2 2 2d x x y y z z xy x y yz y z xz x zI I n I n I n I A A I A A I A A= + + − − −
2 2
2 22 2 2
' 3
2 2
belli; ( )3
( )12 2 2
( )3
x y AB
z z
z
mI I I a c
m a bI I md a b m
mI a b
= = +
= + = + + + = +
' '
yz ' '
xz ' '
' ' ' ' ' '
02 2 4
burada dx; x' den x e dik uzaklık
I 02 2 4
I 02 2 4
0 çünkü cisim x', y', ' eksenlerine
xy x y
y z
x z
x y y z x z
a b mabI I mdxdy m
b c mbcI mdydz m
a c macI mdxdz m
I I I z
= + = + − − =
= + = + − − = = + = + − − =
= = = göre simetriktir.
OF doğrusunun birim vektörü
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 2
22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
c,
| | a
bulunur. Böylece
( ) ( )(0)3 3
( ) 2 (0) 2 (0) 23 4 4 4
3
x y
OF d
OF
a a cn n
c a c a c
m c mI I b c a c
a c
m c mab mbc mac aca b
a c a c
m a b b cI
a c
+= = ⇒ = =+ + +
= = + + + +
+ + − − − + + += +
OF i kn
OF
2 2
2 2
2 22
2 22
6OF d
m a c
b a c
m a cI I b
a c
+ +
= = + +
Problem 9: m kütleli, r yarıçaplı dik silindirin O-O eksenine göre atalet momentini ve
atalet yarıçapını bulunuz.
Çözüm:
Kütle elemanı
0 0
2O-O 0
2 22 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0
r4 42 2
0
2
yoğunluk
I
( )
12 ( )
4 2 2
1
2
r r
dV tr dr d
I r dm
I r tr dr d t r dr d
r t rI t r r
I mr cevap
π π
ρ ρ θρ
ρ θ ρ θ
ρ πρ π ρπ
==
= =
= =
= = = =
∫∫ ∫ ∫ ∫
O
dr0
r0
tdθ
..
O
Atalet yarıçapı
212
2
mrI rk k cevap
m m= = =
Problem 10 : r yarıçaplı dolu bir kürenin (homojen) bir çapına göre atalet momentini
ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
Çözüm :
Yarıçapı y ve kalınlığı dx olan küre
kesitini alalım. 9. problemden bu
elemansel (silindirin) atalet momenti
2 2 2
2 2
1 1( ) ( )
2 2
( ) , .2
xx
xx
dI dm y y dx y
dI r x dx sbt
πρ
ρπ ρ
= =
= − =
x
y
x
r
r
y
x
dx
2 2
5 3 2
2
2
Toplam moment
( )2
8 2 4
15 5 3
2
5
2I 25Atalet yarıçapı k= km 5
r
xx xx
r
xx
xx
I dI r x dx
I r r r
I mr Cevap
mrr cevap
m
πρ
πρ π ρ
+
−
= = −
= = =
= =
∫ ∫
Problem 6.11: m kütleli dikdörtgen prizmanın merkezi x0 ve z eksenlerine göre ve
prizmanın bir ucundaki x eksenine göre atalet momentini bulunuz.
Çözüm:
Top Related