6
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Kemampuan Penalaran Matematis
Menurut Keraf (2007) penalaran adalah suatu proses berpikir
yang menghubungkan fakta-fakta untuk memperoleh suatu kesimpulan
yang logis. Sedangkan dalam KBBI (Depdiknas, 2007) penalaran adalah
proses mental dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta/
prinsip. Penalaran tidak hanya dapat dilakukan dengan menggunakan
fakta-fakta yang polos, tetapi penalaran juga dapat menggunakan fakta-
fakta yang berbentuk pendapat atau kesimpulan. Pernyataan tersebut
diperkuat oleh Sumiati (2009), penalaran adalah kemampuan berpikir
logis untuk menarik kesimpulan dari adanya suatu hubungan sebab
akibat. Dari beberapa pernyataan tersebut dapat didefinisikan secara
umum bahwa kemampuan penalaran matematis adalah kemampuan
seseorang dalam menghubungkan fakta matematika untuk memperoleh
kesimpulan matematis yang logis.
Dalam penalaran siswa sebaiknya belajar untuk membuat
penyelesaian dari persoalan matematika. Siswa harus dapat
mengidentifikasi (memilih) dan menggunakan rumus serta menggunakan
pengalaman dan observasi untuk membuat konjektur (kesimpulan
sementara). Siswa harus belajar menggunakan sebuah contoh
perhitungan untuk menyangkal konjektur dan belajar untuk
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
7
menggunakan model. Siswa sebaiknya mampu membedakan antara
pernyataan yang valid dan pernyataan yang tidak valid (Reys, 1998).
B. Kemampuan penalaran deduktif dan induktif
Terdapat berbagai cara penarikan kesimpulan, namun dalam
dunia keilmuan, secara garis besar dapat dibedakan menjadi dua, yaitu
secara deduktif dan induktif (Ihsan, 2010). Penalaran deduktif dan
penalaran induktif, keduanya merupakan argumen dari serangkaian
proposisi yang bersifat terstruktur, terdiri dari beberapa premis dan
kesimpulan atau konklusi, sedangkan perbedaan keduanya terdapat pada
sifat kesimpulan yang diturunkannya. Berikut penjabaran dari kedua
penalaran tersebut:
1. Penalaran induktif
Penalaran induktif dapat diartikan sebagai penarikan
kesimpulan yang bersifat umum atau khusus berdasarkan data yang
teramati (Sumarmo, 2010). Pernyataan ini diperjelas oleh Ihsan
(2010) yang menyatakan bahwa penarikan kesimpulan secara
induktif adalah suatu cara penarikan kesimpulan pada suatu proses
berpikir dengan menyimpulkan sesuatu yang bersifat umum dari
berbagai kasus yang bersifat individual. Dapat disimpulkan bahwa
penalaran induktif merupakan proses penarikan kesimpulan dari
kasus-kasus khusus menjadi kesimpulan yang bersifat umum.
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
8
Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran induktif
adalah sebagai berikut:
a. Transduktif
Transduktif adalah menarik kesimpulan dari satu kasus
atau sifat khusus yang satu diterapkan pada kasus khusus
lainnya. Penalaran bentuk ini merupakan bentuk penalaran
induktif yang paling sederhana. Transduktif dalam matematika
dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan matematis dari
suatu kasus matematika yang diterapkan pada kasus matematika
lain. Dalam pola berpikir transduktif, rawan sekali terjadi
kesalahan dalam penarikan kesimpulan, karena ini merupakan
pola berpikir yang paling rendah tingkatannya.
Contoh:
Pernyataan : sin 30 = dan sin 45 = √2Kesimpulan: sin(30 + 45 ) = ( + √2)Keterangan :
Karena 30 + 45 = 75, maka apabila ditanyakan besarsin(30 + 45 ) siswa yang menggunakan pola berpikir
transduktif akan menjawab sin(30 + 45 ) = ( + √2).b. Generalisasi
Keraf (2007) menyatakan bahwa generalisasi adalah
suatu proses penalaran yang bertolak dari sejumlah fenomena
individual untuk menurunkan suatu inferensi yang bersifat
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
9
umum yang mencakup semua fenomena tadi. Artinya bahwa
siswa akan mampu mengadakan generalisasi, yaitu menangkap
ciri-ciri atau sifat umum yang terdapat dari sejumlah hal-hal
khusus, apabila siswa telah memiliki konsep, kaidah, prinsip
(kemahiran intelektual) dan siasat-siasat memecahkan masalah
tersebut.
Sumarmo (2004) menyebutkan beberapa sifat dari
generalisasi, antara lain:
i. Makin besar jumlah fakta yang dijadikan dasar penalaran,
makin tinggi probabilitas konklusinya.
ii. Makin besar jumlah faktor kesamaan di dalam premis,
makin rendah probabilitas konklusinya, dan sebaliknya.
iii. Makin besar jumlah faktor disanaloginya di dalam premis,
makin tinggi probabilitas konklusinya, dan sebaliknya.
iv. Semakin luas konklusinya semakin rendah probabilitasnya
dan sebaliknya.
Secara umum, generalisasi dalam matematika dapat
diartikan sebagai penerapan matematis dari suatu kasus
matematika ke dalam kasus matematika lain yang memiliki
kesamaan matematis.
Contoh:
i. Nilai dari sin 210 = −ii. Nilai dari sin 225 = − √2
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
10
iii. Nilai dari sin 240 = − √3iv. Nilai dari sin 270 = −1
Berdasarkan keempat pernyataan di atas:
i. Nilai dari sin 210 adalah negatif.
ii. Nilai dari sin 225 adalah negatif.
iii. Nilai dari sin 240 adalah negatif.
iv. Nilai dari sin 270 adalah negatif.
Kesimpulan, besar sudut yang berada di kuadran tiga
pada koordinat kartesius selalu bernilai negatif.
c. Analogi
Menurut Ahmadi dan Supriyono (2004) kesimpulan
analogis adalah kesimpulan yang ditarik dengan cara
membandingkan situasi yang satu dengan situasi yang lain.
Kemudian menurut Keraf (2007) analogi adalah suatu proses
penalaran yang bertolak dari dua peristiwa khusus yang mirip
satu sama lain, kemudian menyimpulkan bahwa apa yang
berlaku untuk suatu hal akan berlaku pula untuk hal yang lain.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa analogi
dalam matematika adalah membandingkan dua hal matematis
yang berlainan namun memiliki karakteristik matematis yang
sama. Dalam analogi yang dicari adalah keserupaan dari dua hal
yang berbeda, dan menarik kesimpulan atas dasar keserupaan
itu.
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
11
Contoh:
Perhatikan segitiga ABC berikut!
Berdasarkan gambar segitiga ABC di atas, diperoleh:= sin = sin= 12 × ×= 12 × ×= 12 × × sin
Berdasarkan pernyataan di atas, dengan menggunakan cara yang
sama akan diperoleh:
= 12 × × sin= 12 × × sin
d. Hubungan kausal.
Penalaran hubungan kausal (sebab akibat) adalah
keadaan atau kejadian yang satu menimbulkan atau menjadikan
keadaan atau kejadian yang lain. Hubungan antara sebab dan
c b
a
A
B CM
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
12
akibat tersebut bukan hubungan urutan biasa atau hubungan
yang kebetulan. Hubungan sebab akibat merupakan suatu
hubungan intrinsik, azasi, hubungan yang begitu rupa, sehingga
jika salah satu (sebab) ada/ tidak ada, maka yang lain (akibat)
juga pasti ada/ tidak ada. Agar hubungan antara sebab dan akibat
menjadi jelas, dalam logika ‘sebab’ dipandang sebagai suatu
syarat atau kondisi yang merupakan dasar adanya atau
terjadinya sesuatu yang lain, yaitu ‘akibat’. Sama halnya pada
matematika.
Dalam hubungan kausal dapat dibedakan dalam dua
kondisi yaitu kondisi mutlak (necessary condition) dan kondisi
memadai (sufficient condition). Yang dimaksud dengan kondisi
mutlak adalah sebab yang kalau tidak ada, akibatnya juga tidak
ada.
Contoh:
Dua buah kapal berlayar dari suatu pelabuhan pada saat
bersamaan. Kapal A berlayar dengan arah 0500 dan kecepatan
layar 10 km/jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 0900
dan kecepatan layar 13 km/jam. Pada tiga jam kemudian jarak
kedua kapal tersebut adalah 766,37 km.
Diilustrasikan sebagai berikut:
Kapal A(10 km/jam)
Kapal B(13 km/jam)
0450
0900
U
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
13
Jarak yang telah ditempuh kapal A:= × ℎ= 10 ⁄ × 3= 30Jarak yang telah ditempuh kapal B:= × ℎ= 13 ⁄ × 3= 39Jarak kedua kapal dapat diilustrasikan sebagai berikut:
Jarak antara kapal A dengan kapal B:( ) = + − 2 . cos 45= 30 + 39 − 2 × 30 × 39 × 12√2= 900 + 1521 − 1170√2= 2421 − 1170√2= 2421 − 1654,63= 766,37
Kapal A
Kapal BPelabuhan
Jarak kapal A dan B
450
a
b
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
14
Keterangan:
Diasumsikan mula-mula kedua kapal (A dan B) berada pada
tempat yang sama dan memiliki jarak 0 km antar kedua kapal.
Karena dua tersebut sama-sama berlayar menjauhi pelabuhan,
maka mengakibatkan jarak antara kapal A dan B 766,37 km satu
sama lain.
2. Penalaran deduktif
Menurut Ihsan (2010) penarikan simpulan secara deduktif
adalah suatu cara penarikan simpulan pada suatu proses berpikir
yang sebaliknya dari penarikan simpulan induktif. Dalam hal ini
penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip matematika
umum untuk mencapai kesimpulan yang spesifik, atau dengan kata
lain penalaran deduktif matematis adalah cara berpikir di mana dari
pernyataan matematika yang bersifat umum ditarik kesimpulan
matematis yang bersifat khusus. Penarikkan kesimpulan secara
deduktif biasanya mempergunakan pola berpikir yang dinamakan
silogisme.
Silogisme adalah suatu upaya untuk menghubungkan atau
menggabungkan atau menyintesiskan suatu pendapat (yang lebih
umum, mayor) dengan pendapat lainnya (yang lebih khusus, minor)
secara teratur dan tersusun bertingkat sehingga terbangun suatu
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
15
wacana atau argumentasi yang memenuhi syarat-syarat logis
(Wiramihardja, 2009).
Silogisme yang standar tersusun atas dua buah pernyataan
dan sebuah kesimpulan. Pernyataan yang mendukung silogisme ini
disebut sebagai premis yang kemudian dibedakan menjadi premis
mayor dan premis minor. Premis mayor adalah premis yang
mengandung term predikat sedangkan premis minor adalah premis
yang mengandung term subjek.
Berdasarkan kedua urain di atas mengenai kemampuan
penalaran induktif dan kemampuan penalaran deduktif, maka
diperoleh beberapa indikator kemampuan penalaran matematis, yaitu
sebagai berikut:
a. Indikator penalaran induktif:
i. Mampu menggunakan pola untuk menganalisis situasi
matematika.
ii. Mampu melakukan analogi ataupun melakukan
generalisasi matematika
iii. Mampu menganalisis soal cerita ke dalam bentuk
matematika (grafik).
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
16
b. Indikator penalaran deduktif:
i. Mampu memperkirakan jawaban dan proses solusi.
ii. Mampu menentukan pola untuk menyelesaikan masalah
matematika.
iii. Mampu menarik kesimpulan logik.
C. Pokok Bahasan Trigonometri
1. Perbandingan Trigonometri
sin ∝ =cos ∝ =tan ∝ =
2. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
00 300 450 600 900sin ∝ 012 12√2 12√3 1cos ∝ 112√3 12√2 12 0tan ∝ 013√3 1 √3 ~
3. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
AB
C
x
y
r
α
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
17
4. Perbandingan Trigonometri di berbagai Kuadran
Kuadran IIsin ∝ = +cos ∝ = −tan ∝ = −Kuadran Isin ∝ = +cos ∝ = +tan ∝ = +
Kuadran IIIsin ∝ = −cos ∝ = −tan ∝ = +Kuadran IVsin ∝ = −cos ∝ = +tan ∝ = −
5. Identitas Trigonometri
6. Persamaan Trigonometri
7. Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga
Pada segitiga ABC sebarang didefinisikan aturan-aturan berikut ini:
a. Aturan Sinus
b. Aturan Cosinus
c. Luas Segitiga
i. Panjang dua sisi dan besar satu sudut diketahui
ii. Besar dua sudut dan panjang satu sisi yang diapit diketahui
iii. Panjang ketiga sisinya diketahui
Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013
Top Related