METODE NUMERIK
SISTEM PERSAMAAN SIMULTAN
Sistem Persamaan Linear
Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas
Matriks:
nnnnnn
n
n
n
C
C
C
C
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaa
3
2
1
3
2
1
21
33231
22221
11211
nnmnmmm
nn
nn
Cxaxaxaxa
Cxaxaxaxa
Cxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)
Algoritma Gauss Naif Algoritma Gauss Jordan Algoritma Gauss Seidel Aturan Cramer
Algoritma Gauss Naif
1. Membagi persamaan pertama dengan koefisien a11. Langkah tersebut disebut normalisasi. Tujuan normalisasi ini adalah agar koefisien dari x1 berubah menjadi 1.
2. Kalikan persamaan yang telah dinormalisasi (dalam hal ini persamaan pertama) dengan koefisien pertama dari persamaan kedua (yaitu a21) => untuk baris ke 2.dan kali dengan koef pertama persamaan ke tiga (yaitu a31) =>untuk bari ke 3
3. Mengurangkan baris kedua dan ketiga dengan baris pertama. Cttn dari pak : kurangkan pers. Ke 2 dgn pers. Ke2 pada langkah 2 => untuk baris ke 2.Kurangkan pers ke 3 dgn pers. Ke 3 pada langkah ke 2 => untuk baris ke 3
4. (langkah untuk cttnya pak :) :baris ke 2 dibagi dengan koef. A22 => normalisasi utk pers. Ke 2, tujuannya agar koef x2 berubah menjadi 1
Algoritma Gauss Naif
4. Kalikan persamaan pertama yang sudah dinormalisasi dengan koefisien tertentu sehingga a11 = a31.
5. Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil dari yang didapat dari langkah 4.
6. Baris kedua dibagi dengan koefisien a22. Langkah ini disebut NORMALISASI untuk persamaan kedua. Tujuannya adalah agar koefisien x2 berubah menjadi 1.
Algoritma Gauss Naif
7. Kalikan persamaan kedua yang sudah dinormalisasi pada langkah ke-6 dengan suatu koefisien tertentu sehingga a22 = a32.
8. Kurangkan persamaan ketiga dengan persamaan kedua hasil dari langkah ke-7.
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2 Bagaimana penyelesaiannya?
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
Matriks yang terbentuk:
Langkah:
1.
2
1
4
141
113
122
3
2
1
x
x
x
2
1
2
141
1132
111
21
2
2
1
1
x
x
x
b
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
2. dan 3.
4. dan 5.
2
5
2
1412
1402
111
3
3
2
1
12
x
x
x
bb
0
5
2
23302
1402
111
3
2
1
13
x
x
x
bb
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
6.
7. dan 8.
04
52
23308
1102
111
41
3
2
1
2
x
x
x
b
4154
52
815008
1102
111
3
3
2
1
23
x
x
x
bb
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
Hasil:
24
158
15
3
3
x
x
1281
454
58
1
2
32
x
xx
022112
221
1
321
x
xxx
Algoritma Gauss Jordan
Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :
diubah menjadi C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:
CXIA | CXAI 1|
nn C
C
C
C
x
x
x
x
A
3
2
1
3
2
1
1
1000
0100
0010
0001
nn Cx
Cx
Cx
22
11
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2 Bagaimana penyelesaiannya?
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
Langkah:
1.
2.
2
1
4
100
010
001
1
1
1
4
1
2
1
3
2
3
2
1
x
x
x
2
1
2
100
010
0021
1
12
1
4
1
1
1
3
1
21
3
2
1
1
x
x
x
b
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
3.
4.
13
12 3
bb
bb
0
5
2
1021
0123
0021
232
12
1
3
4
1
0
0
1
3
2
1
x
x
x
04
52
1021
041
83
0021
238
12
1
3
1
1
0
0
1
41
3
2
1
2
x
x
x
b
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
5.
6.
23
21
3bb
bb
4154
54
3
143
813
041
83
041
81
8158
18
3
0
1
0
0
0
1
3
2
1
x
x
x
24
54
3
158
156
1513
041
83
041
81
18
18
3
0
1
0
0
0
1
158
3
2
1
3
x
x
x
b
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
7.
Jadi: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2
32
31
818
3
bb
bb
2
1
0
158
156
1513
151
51
154
51
52
521
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
x
x
x
Algoritma Gauss Seidel
Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan yang berjumlah besar.
Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan harga awal untuk x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0.
Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x1, x2, x3, ..., xn.
Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.
Algoritma Gauss Seidel
1. Beri harga awal x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0
2. Hitung
Karena x2 = x3 = x4 = ... = xn = 0, maka
11
141431321211 a
xaxaxaxaCx nn
11
11 a
Cx
Algoritma Gauss Seidel
3. x1 baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk menghitung x2.
Baris 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = C2
22
232312122 a
xaxaxaCx nn
22
12122 a
xaCx
Algoritma Gauss Seidel
4. Menghitung x3
Baris 3 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = C3
a33x3 = C3 – a31x1 – a32x2 – … – a3nxn
33
343423213133 a
xaxaxaxaCx nn
33
23213133 a
xaxaCx
Algoritma Gauss Seidel
5. Cara ini diteruskan sampai ditemukan xn.
6. Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x1, x2, x3, ..., xn baru
nn
nnnn
nn
nn
a
xaxaxaxaCx
axaxaxaC
x
axaxaxaC
x
111313212111
22
232312122
11
131321211
Algoritma Gauss Seidel
7. Mencari kesalahan iterasi |a| dengan cara:
8. Iterasi diteruskan sampai didapat |a| < |s|
%100
%100
)(
)(
barun
lamanbarunan
barui
lamaibaruiai
x
xxx
x
xxx
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Diketahui SPL:
x1 + 7x2 – 3x3 = –51
4x1 – 4x2 + 9x3 = 61
12x1 – x2 + 3x3 = 8
dan a = 5 %
8
61
51
3112
944
371
3
2
1
x
x
x
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Iterasi ke-0
x1 = x2 = x3 = 0 Iterasi ke-1
51151
1
x
25,66451461
4461 1
2
x
x
58,184
325,66518
3128 21
3
xx
x
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Iterasi ke-2
78,3407
355,136649,966128
3128
55,13664
58,184949,9664614
9461
49,9661
58,184325,667511
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Iterasi ke-3
Perhitungan x1, x2, x3 diteruskan sampai semua |a| < |s|
11,70189
394,2752219,19840128
3128
94,275224
78,3407919,198404614
9461
19,198401
78,3407355,13667511
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Iterasi ke- Nilai x a
0
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
1
x1 = 51
x2 = 66,25
x3 = 184,58
2
x1 = 966,49
x2 = 1366,55
x3 = 3407,78
a = 105,28 %
a = 104,85 %
a = 105,42 %
3
x1 = 19840,19
x2 = 27522,94
x3 = 70189,11
a = 104,87 %
a = 104,97 %
a = 104,86 %
Koefisien Relaksasi ()
Tujuan:
Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel. Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri
berdasarkan masalah yang dihadapi. Jika SPL tidak konvergen, yang bernilai antara 0
s/d 1 disebut Under Relaksasi. antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk
mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.
Koefisien Relaksasi ()
Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan
lamai
barui
barui xxx 1
Koefisien Relaksasi () (Ex.)Iterasi
ke-Nilai x
dengan (1,5)
0x1 = 0
x2 = 0
1x1 = 10
x2 = 15
2x1 = 6
x2 = 7,5
x1 baru = 4
x2 baru = 3,75
3x1 = 4
x2 = 3,75
Contoh perhitungan :x1 baru = 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10= 9 + (–0,5) . 10= 4
Top Related