Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 45
3 Descripcin y representacin de los sistemas continuos
Tanto para el anlisis dinmico de un sistema como para su mejora, empleando
las tcnicas de diseo, se necesita de una descripcin analtica del sistema. sta se
efecta con una descripcin exacta de sus componentes, la subdivisin del sistema total
en bloques funcionales y finalmente la caracterizacin de cada bloque por expresiones
matemticas.
Cada subsistema o bloque debe tener un comportamiento autnomo, de manera
que la salida de cada bloque debe depender exclusivamente de la entrada al mismo, sin
verse influenciado por la accin de otros bloques adyacentes.
Una vez obtenido el diagrama estructural del sistema, hay que caracterizarlo a
travs de un modelo matemtico. Dado que la mayor parte son sistemas dinmicos,
definidos por variables que son funciones del tiempo, su comportamiento vendr dado
por un conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales.
El estudio del conjunto deber de obtener la ecuacin diferencial que relacione
la variable de mando con la variable de salida. Aunque ste es el camino ms directo,
suele ser muy complicado, por lo que se establece relaciones parciales, obteniendo un
grupo de ecuaciones diferenciales.
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
46 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
Por otro lado, los sistemas fsicos que se utilizan en la prctica son normalmente
no lineales. Con el propsito de compatibilizarlo con la Teora Clsica de Control se va
a linealizar el modelo alrededor de un punto de trabajo.
En este captulo se analizar los procesos de linealizacin. Seguidamente, se
pasar a la determinacin de la funcin de transferencia, ya sea de un sistema LTI o de
otro al que se le ha linealizado a travs de un punto de reposo. El tercer punto abordar
la divisin del sistema en subsistemas y su representacin y modelado a travs de los
diagramas de bloques. Y para acabar, se tratar las propiedades de los sistemas de
control con realimentacin negativa.
3.1 Aproximacin lineal de sistemas no lineales
Como se ha visto en el captulo anterior, el estudio de aquellos sistemas fsicos
que responden a ecuaciones diferenciales lineales son abordables por tcnicas que,
como la transformada de Laplace, simplifican notablemente el proceso.
Sin embargo, la mayor parte de los sistemas fsicos no responden a ecuaciones
diferenciales lineales, presentndose numerosos tipos de no linealidades e incluso
discontinuidades.
Aun a costa de perder exactitud, la complejidad de los modelos no lineales
exigen su simplificacin a modelos lineales, aunque no sean del todo correcto, pero
facilitan la aplicacin de las tcnicas clsicas de Control.
Para que un sistema se considere lineal, en cuanto a su relacin causa - efecto
(excitacin/respuesta), es necesario que cumpla con el principio de superposicin. Un
sistema cumple con el principio de superposicin si ante una entrada x1(t) responde con
y1(t) y para una excitacin x2(t) su salida es y2(t), entonces para una entrada de
combinacin lineal de las excitaciones, su respuesta responde en una combinacin
lineal:
tytytytxtxtx 2121
El mtodo de linealizacin que a continuacin se expone es vlido para aquellos
sistemas no lineales que trabajan normalmente alrededor de un punto de funcionamiento
estable (punto de equilibrio), siendo pequeas las alteraciones a las que puede verse
sometido.
Supngase un sistema monovariable, cuya ecuacin diferencial sea no lineal. Si
se pretende estudiar el comportamiento del sistema cuando estando en un punto de
reposo, se ve sometido a una excitacin de pequea amplitud; el modelo no lineal puede
ser reempleado por su tangente en el punto de reposo. Esta idea intuitiva puede ser
justificada formalmente mediante el empleo del desarrollo en serie de Taylor en torno al
punto de equilibrio.
(3. 1)
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 47
0.6 0.65 0.7 0.750
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1Curva de transferencia del transistor bipolar
uBE [V]
iE[A
]
Modelo lineal
...!
1...
!2
10
0
2
0
0
2
2
0
0
0
n
n
n
xxdx
xdf
nxx
dx
xdfxx
dx
xdfxfxf
Si los incrementos de la variable independiente alrededor del punto de reposo son
pequeos, 00 xxx , podrn despreciarse las potencias de orden superior al
primer orden, 0xx , simplificando la funcin por su aproximacin lineal:
00
0xx
dx
xdfxfxf
o bien, si se designa y=f(x), la expresin anterior en incrementos quedar como:
x
dx
xdfy
0
Reflejando un modelo lineal incremental alrededor del punto de equilibrio. ste
explicar las variaciones de la variable dependiente a partir de las variaciones de la
variable independiente.
Ejemplo 3.1
Linealizar la ecuacin de Ebers-Moll sobre la corriente de emisor, cuando el transistor bipolar trabaja en zona activa. Suponer constante la temperatura del transistor.
En este caso, la corriente de emisor
depende slo de la tensin base emisor:
TBE
V
u
SEBEEE eIiuii
En la figura adjunta, se he representado la
curva de transferencia, teniendo una corriente de
saturacin, IS, de 10-14
A y una tensin trmica,
VT, de 25 mV.
Si se linealiza alrededor del punto de polarizacin del transistor con la ec.(3. 3),
quedar como:
BEBET
EEEBEBE
Vu
T
V
u
S
Vu
V
u
SE VuV
IIiVu
V
eIeIi
BEBE
T
BE
BEBE
T
BE
;
(3. 2)
(3. 3)
(3. 4)
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
48 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
donde IE es la corriente de emisor de polarizacin. Adems, al cociente IE/VT se
le conoce como la transconductancia del transistor, gm. Se observa que en la
linealizacin aparece el principio de superposicin. La corriente de emisor es explicada
por una componente de polarizacin continua de frecuencia cero y otra de naturaleza
variable en el tiempo alrededor del punto de reposo. En concreto, la primera respuesta
es debido al circuito de polarizacin del transistor, mientras la segunda es el efecto de
amplificacin del transistor bipolar, cuyo modelo ser:
BEmE ugi
Cmo se observa en la grfica, cuando los incrementos de la variable
independiente, BEu , empiezan a ser significativos aparecen discrepancias entre el
modelo lineal y el no lineal.
En trminos generales, sea un comportamiento dinmico modelado por una
ecuacin diferencial no lineal, cuya funcin nF : sea linealizada en torno a un punto de equilibrio:
0,...,,,...,,,,...,,, 111 nnn xxxxxxyyyF
El modelo lineal basado en incrementos de primer orden ser de la forma:
0...
......
000
1
01
1
01
1
01000
n
n
n
n
n
n
xx
Fx
x
Fx
x
F
xx
Fx
x
Fx
x
Fy
y
Fy
y
Fy
y
F
Vase primero un ejemplo matemtico y luego un ejercicio sobre un sistema
fsico.
Ejemplo 3.2
Linealizar la expresin, 243 2 xsenxxxy , entorno al punto de
reposo .2
0
x
La funcin es del tipo F(y,x, x ) = 0. Por tanto, la linealizacin quedar:
04cos46
0
00
000
xxxxxxy
xx
Fx
x
Fy
y
F
(3. 5)
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 49
Para calcular los coeficientes del modelo incremental se calcular con la
ecuacin F(y,x, x ) = 0 y en el punto de reposo .2
0
x Obsrvese que en el punto de
equilibrio, todas las derivadas parciales respecto al tiempo son nulas, por la propia
definicin de punto de equilibrio. El modelo incremental para el punto de reposo citado
valdr:
023 xxy
Ejercicio 3.3
Obtener el modelo dinmico del nivel del agua y linealizarlo en torno a un punto de reposo. Consider que el caudal de entrada, Qe, en equilibrio es de 1 m
3/s y la seccin de salida, A, es de 1 m2, mientras la base de depsito, B, es de 1 m2. Analizar las discrepancias entre el modelo no lineal y lineal en el rgimen permanente, si el caudal de entrada, en primer lugar, evoluciona a 1.1 m3/s y luego pasa a 2 m3/s.
Las ecuaciones del comportamiento dinmico del depsito estn relacionadas
con la incomprensibilidad de los fluidos y su balance caudalmetro, junto con el
principio de Torricelli:
02
2
hBAghctQ
AghcAvctQ
dt
dhBtQtQ
e
ss
se
donde c es el coeficiente de contraccin debido a las caractersticas del fluido
(para el caso del agua es igual a 1) y vs es la velocidad de salida del agua.
El comportamiento dinmico es no lineal y el modelo depende de
0,, hhQF e . Linealizando en un punto de equilibrio, segn la ec. (3. 5), se obtendr el modelo lineal incremental:
02
12
0
hBhA
hgctQe
Si el punto de reposo es cuando el caudal es 1 m3/s. El modelo lineal queda
definido por:
B
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
50 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
2
,0
0 20.05
2
eQh
A g
m 10 0eQ t h B h
El modelo incremental quedar como: 10
1
ssQ
sh
e
. Para analizar la validez
de la aproximacin se considera primero un incremento de 0.1 m3/s en el caudal de
entrada. Segn el modelo no lineal, el reposo se alcanzar cuando el nivel de altura sea:
mgA
Qh
e0605.0
221,
2
1
En cambio, atendiendo al modelo incremental ser por aplicacin del teorema
del valor final: mh
mgA
Qh
hhhQ
h
e
e
06.0
05.02
01.010
1
2
0,2
0
101
1,
1
Si el incremento es de 1 m3/s, los resultados son:
mh
mh
15.0: lineal Modelo
2.0 :lineal no Modelo
2
2
Verificndose que cuando ms se aleja el sistema del punto de reposo, mayor
discrepancia va a existir entre el modelo lineal y no lineal.
3.2 Funcin de transferencia
La representacin dinmica de un sistema monovariable, SISO, mediante la
relacin entre su entrada y salida, conduce a una ecuacin diferencial que o bien es
lineal de inicio, o bien es susceptible, como se acaba de ver, de ser linealizada. Los
modelos dependiendo de cada caso sern:
n
j
jm
j
ji
i
n
j
jm
j
ji
i
txdt
dbty
dt
d
txdt
dbty
dt
d
0i 0
i
0i 0
i
a :lincrementa Modelo
a :lineal Modelo
Expresiones que pueden ser transformadas por Laplace. Aplicando el operador
a ambos lados de las igualdades quedarn:
(3. 6)
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 51
ni
m
j
j
i
nj
m
j
j
i
sXsbsYs
sXsbsYs
0i 0
i
0i 0
i
a :lincrementa Modelo
a :lineal Modelo
Para el primer caso, se ha considerado que las condiciones iniciales son nulas;
mientras en el segundo, se ha inicializado a partir de un punto de reposo, por tanto, sus
derivadas iniciales y las variaciones alrededor del punto de reposo son nulas.
Reagrupando se tendr:
n
0
i
0
n
0
i
0
a
:lincrementa Modelo
a
:lineal Modelo
i
i
jm
j
j
i
i
jm
j
j
s
sb
sX
sY
s
sb
sX
sY
A estos cocientes entre las transformadas de Laplace de salida y entrada se le
denomina funcin de transferencia, FDT. Su valor depende nicamente de los
coeficientes ai y bi, fijados nicamente por las caractersticas del sistema. El
conocimiento de la FDT de un sistema permite conocer el valor de salida ante cualquier
tipo de entrada.
Ejemplo 3.4
Determinar la FDT del cuadripolo de la figura, i.e. la ganancia de tensin. Supngase que el condensador est cargado con una tensin entre extremos de 5V y la corriente inicial que circula es nula. Determinar la seal de salida, si recibe una entrada en escaln unitario.
Por aplicacin del mtodo de mallas, la ecuacin diferencial que relaciona la
seal de entrada respecto a la corriente que circula por los elementos pasivos es:
51
0
t
e dttiCdt
tdiLtRitu
Aunque la ecuacin diferencial es lineal, la aplicacin de la transformada de
Laplace resultar dada por:
(3. 7)
(3. 8)
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
52 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
s
sisC
sLisRisue1
51
Evidenciando la imposibilidad de obtener la FDT como consecuencia del valor
inicial del condensador. Para conseguirlo se requerir un proceso de linealizacin
entorno al valor inicial de 5V en el condensador. Este cambio implica que las variables
de la ecuacin diferencial se conviertan en incrementos alrededor del punto inicial,
desapareciendo el trmino de los 5V.
1
12
RCsLCs
Cs
su
sisi
sCsiLsiRsu
e
e
La ganancia de tensin del cuadripolo tambin requerir de una linealizacin, ya
que:
1
11)0(
12
0
RCsLCstu
tuti
sCtuudtti
Ctu
e
s
ss
t
s
Igual resultado se habra obtenido si se emplea la ecuacin diferencial entre la
tensin de entrada y la de salida:
tutuLCtuRCtu ssse
Al tomar transformadas de Laplace en ambos lados de la igualdad quedar:
susususLCussuRCsu ssssse 00 2
No pudiendo obtener la FDT, lo que conduce a un proceso de linealizacin. Para
conocer la tensin de salida, us(t), sabiendo el tipo de entrada, se aplicar el teorema de
la convolucin entre el modelo de la seal de entrada y la FDT en incrementos,
pasndose luego a su antitransformada. La respuesta final ser sumada al valor inicial de
la tensin en el condensador.
3.3 Diagramas de bloques
Un sistema de control puede consistir, en general, por un cierto nmero de
componentes. Con el fin de mostrar las interacciones existentes de forma cmoda, se
acostumbra a usar una representacin grfica denominado diagrama a bloques.
En un diagrama de bloques, todas las variables quedan interrelacionadas a travs
de los bloques funcionales. Para los sistemas SISO, caracterizados por una entrada y
una salida, se representa en su interior la relacin entre ambas seales mediante la
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 53
correspondiente funcin de transferencia. Los bloques quedan conectados por flechas
que indican las direcciones de los procesamientos de las seales.
Adems de los bloques funcionales, otros elementos constitutivos de los
diagramas de bloque son los sumadores. En estos, hay varias seales de entrada y una
nica salida, siendo su valor la suma de las entradas.
Puesto que los diagramas de bloques responden a una representacin de una
ecuacin o, mayoritariamente, de un conjunto de ecuaciones en transformadas de
Laplace, es posible su manipulacin, tal y como se hara con las propias transformadas.
As, supngase que las transformadas de Laplace de tres seales, X, Y y Z estn
conectadas por el procesamiento en serie de stas por dos sistemas, cuyas FDT se
denominan G1(s) y G2(s). Por aplicacin del teorema de la convolucin se puede reducir
la representacin mediante la asociacin de las dos FDT. En el sistema de ecuaciones
quedara como:
sXsGsGsZsYsGsZsXsGsY 2121
El diagrama de bloques correspondiente sera:
Pudindose establecer, en general,
que varios bloques en cascada pueden ser
sustituidos por un nico bloque, cuyo
contenido es el producto de las FDT de cada
uno de ellos. Otra posible situacin sera la
correspondiente a un procesamiento en
paralelo de la seal por varios sistemas a la
vez. El diagrama a bloques quedara reducido
a la suma de las FDT. La demostracin est
en el lgebra de bloques:
sXsGsGsY
sXsGsXsGsY
21
21
X(s)G1(s) G2(s)
Y(s) Z(s)
X(s)G1(s)G2(s)
Z(s)
Figura 3. 1. Asociacin de bloques en cascada o serie
X(s)
G1(s)
G2(s)
X(s)G1(s)+G2(s)
Y(s)
Y(s)+
+
Figura 3. 2. Asociacin en paralelo
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
54 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
Por tanto, si los bloques estn en paralelo es igual a la suma de sus FDT.
Un diagrama a bloques complejo, con varios bucles de realimentacin y
combinaciones series y paralelas, puede ser reducido tericamente a la configuracin
bsica de un sistema de realimentacin. El diagrama a bloque queda mostrado en la
figura 3.3.
La seal de mando, X(s), es
comparada con la realimentada, la cual es
la seal de salida, Y(s), procesada por
H(s). La salida del comparador se la
llama seal de error, E(s). sta a su vez
ataca a la planta, G(s), dando origen a la
seal de salida, Y(s). Las expresiones que
modelan este procesamiento de la seal
son las derivadas de la seal de error y de
la propia salida:
sHsG
sG
sX
sYsM
sYsHsXsE
sGsEsY
1
Si el signo de la comparacin entre la seal de mando y la realimentada es
negativo, se dice que es una estructura de realimentacin negativa. Y si en vez de una
comparacin, entre las dos seales, es una adiccin, se dice que es una realimentacin
positiva. La FDT total para el caso de realimentacin positiva es similar, pero cambiado
el signo + del denominador:
sHsG
sG
sX
sYsM
1
3.4 Sistemas realimentados
Todas las plantas de control sufren de perturbaciones que inciden negativamente
en la gobernabilidad del sistema. Para hacer que el sistema de control se vuelva
insensible al ruido, se disea, mayoritariamente, estructuras de control en cadena
cerrada. Vase a continuacin, cmo esta arquitectura permitir mejorar el
comportamiento dinmico de los sistemas de control.
Un diagrama a bloques donde se tiene en cuenta la perturbacin queda reflejado
en la figura 3.4. Normalmente, el ruido influye decisivamente en las seales de
potencia. Por supuesto, tambin existe ruido en la pequea seal, i.e. en los bloques de
(3. 9)
(3. 10)
X(s)G(s)
H(s)
Y(s)+
-
E(s)
Figura 3. 3. Estructura de realimentacin negativa
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 55
procesamiento de las seales de error. Sin embargo, la relacin seal ruido, SNR
(Signal Noise Ratio), en estas etapas son ms elevadas que en las de gran seal1.
La seal de salida depende de la seal de mando, de las perturbaciones y de la
FDT del sistema. Al ser un modelo de tipo lineal, es posible aplicar el principio de
superposicin, quedando la transformada de Laplace de la seal de salida como:
sZsMsXsMsY 21
siendo M1(s) la FDT entre la seal de salida y la de mando, cuando la seal de
ruido es nula y M2(s) la correspondiente entre la salida y la de perturbacin, para seal
de mando cero. Estas funciones valdrn segn el lgebra de bloques:
sHsGsG
sGsM
sHsGsG
sGsGsM
21
22
21
211
11
Como se ver en el mdulo de diseo de los sistemas de control, un buen
planteamiento de la gobernabilidad del sistema depende del tipo de realimentacin. Esta
condicin se puede expresar haciendo que el mdulo de la ganancia de la cadena abierta
sea mucho mayor que uno2. Para el esquema aqu tratado, la condicin de fuerte
realimentacin se expresara en la forma:
121 sHsGsG
1 Recurdese que una de las razones de peso de utilizar la tecnologa digital es justamente por el
alto valor de SNR, tanto en el procesamiento como en la transmisin de la informacin.
2 Por ejemplo, se podra citar a los amplificadores operacionales, los cules ofrecen una alta
ganancia de tensin diferencial en cadena abierta, con valores tpicos de 106 a bajas frecuencias. Al
aplicarles lazos de realimentacin, para construir aplicaciones lineales, se consiguen que los
amplificadores operacionales reales y los ideales sean casi idnticos.
(3. 11)
(3. 12)
(3. 13)
Z(s)
G 1 (s) G 2 (s) + X(s)
H(s)
Y(s)
-
+ -
Figura 3. 4. Estructura de control en cadena cerrado con perturbacin
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
56 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
Al aplicar esta condicin de diseo sobre las FDT obtenidas, M1(s) y M2(s),
resultarn:
sHsG
sMsH
sM
1
21
11
Indicando estas ecuaciones, las estrategias de control. Obviamente, para tener
inmunidad a la perturbacin en la seal de salida, se necesita que M2(s) tienda a ser
nula. Por tanto, esto supone que o bien se tiene alta ganancia en G1(s) o en H(s). En el
primer caso, corresponde con la estrategia tpica del control clsico, pues es la insercin
de un compensador de tipo PID (proporcional, integral, derivativo). Estos reguladores,
que se estiman en un 90% de las aplicaciones de control industrial, son colocados en el
procesamiento de la seal de error, i.e. en G1(s). La segunda posibilidad se basa en las
modificaciones de los lazos de realimentacin, H(s), y est estrechamente unido al
control por realimentacin de variables de estado, correspondiente a la Teora Moderna
de Control. No obstante, se observa que un incremento positivo en la realimentacin,
H(s), supone una prdida de ganancia en M1(s). Por eso, es habitual poner altas
ganancias en la cadena abierta, para luego alcanzar el valor deseado de ganancia en la
cadena cerrada.
Ejemplo 3.5
Para calentar el agua de un termo elctrico se emplea el efecto Joule. Un amplificador de tensin cede energa elctrica a una resistencia elctrica, R, que lo transfiere en forma de calor. Para su regulacin se emplea una estructura de realimentacin negativa. La temperatura interior del termo, Ti, es adquirida por un transductor de tipo termopar. La salida del sensor es acondicionada y es convertida en una seal de tensin analgica, uTi, cuya dinmica sigue la expresin:
TiTii auuA
T 1
donde A y a son constantes. La temperatura deseada en el termo o seal de mando, dada por el usuario, es convertida a travs de un potencimetro en una seal de referencia, um. sta es comparada con la salida de la tarjeta de acondicionamiento y amplificada por un valor K. Esta seal, uFT, ataca a la etapa de potencia. Por otro lado, hay que aadir las prdidas de calor por transmisin de calor, desde el tanque al exterior. La causa dominante es por mecanismo de conduccin, caracterizada por una resistencia trmica
(3. 14)
Ti
K
VCC Ta
Acondicionamiento
seal
RTH
+-
um
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 57
equivalente, RTH. Obtener el diagrama a bloques del sistema de control del termo elctrico.
El conjunto de ecuaciones lgebro-diferenciales que caracterizan el sistema
sera:
or) transductamientoacondicion de (Etapa /17
)energtico (Balance 6
calor) delisin por transm (Prdidas R5
)calorfica energa de iento(Almacenam 4
potencia) de (Etapa /3
error) sealcin (Amplifica 2
r)(Comparado 1
TH
2
TiTii
pTi
Pai
iTi
FT
errFT
errTim
auuAT
qqp
qTT
Tmcq
Rup
Kuu
uuu
qTi y qP son los flujos calorficos de almacenamiento y de prdidas en el depsito
respectivamente. El valor de m ser la masa que hay dentro del tanque y c el calor
especfico del agua. Al producto de mc se le llama capacitancia trmica o inercia
trmica y se le designa por CTH. La no linealidad del efecto Joule obligar a buscar un
modelo incremental alrededor de un punto de reposo. Aplicando las transformadas de
Laplace en las ecuaciones diferenciales linealizadas, stas quedarn reflejadas en el
siguiente diagrama de bloques:
Como se desprende del diagrama de bloques, las variaciones de la temperatura
del deposito dependen de la seal de mando y de la temperatura ambiente. Luego, en
este caso, la temperatura exterior representa una perturbacin en el control del termo. Al
tener un modelo incremental lineal y por aplicacin del principio de superposicin, las
variaciones de la temperatura en el interior del depsito se pueden explicar a travs de la
FDT que hay respecto a la seal de referencia (anulando la temperatura exterior), y la
relacin causa-efecto entre la temperatura ambiente y la del tanque (eliminando la seal
del usuario):
sTsMsusMsT ami 21
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
58 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
siendo M1(s) y M2(s) las FDT entre las variaciones de temperatura del termo y la
seal de mando y la perturbacin, respectivamente. El diagrama de bloques de M1(s) se
obtiene eliminado la seal de perturbacin, quedando como:
Para simplificar, se ha denotado por G1 la FDT de la etapa de potencia y H1 la
FDT de la etapa de instrumentacin. Empleando la expresin de estructura realimentada
sobre la relacin entre la temperatura interna y la potencia elctrica, quedar un
diagrama ms simplificado:
THTHTH
TH
m
i
CsRRKGH
RKG
su
sTsM
11
11
1
En cuanto a la relacin causa-efecto debido a la perturbacin, el diagrama a
bloques quedar de la forma:
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 59
Aplicando reduccin de bloques y eliminado el primer lazo de realimentacin:
La FDT entre las variaciones de temperatura del termo y de la temperatura
ambiente quedar reducida a travs de la expresin de realimentacin unitaria:
THTHTHa
i
CsRRKGHsT
sTsM
11
21
1
Por aplicacin del teorema del valor final sobre M2 se conseguir la ganancia
ofrecida en el rgimen permanente. Considerando un diseo de fuerte realimentacin,
tal cual se ha comentado, quedar:
THRKGH
tM11
2
1
Si se desea que el termo sea insensible a las variaciones de la temperatura
ambiente, esta idea se traduce en hacer que la ganancia de M2 tienda a ser nula. De la
ltima expresin, se concluye que a medida de que se aumente la resistencia trmica,
menos influencia se tendr del ruido. O bien que un control basado en altos valores de
H1, K o G1 supondr una disminucin de la perturbacin.
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
60 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
+
-
G(s)X(s)
Y(s)
Z(s)+
-Y(s)
G(s)
G(s)
X(s) Z(s)
+
-Y(s)
G(s)X(s) Z(s)
+
-
G(s)
Y(s)
Z(s)X(s)
1/G(s)
Figura 3. 5. Transposicin de sumadores
3.5 Reduccin de bloques
En el proceso de reduccin de los bloques a veces interesa transponer un
sumador o un punto de bifurcacin de una determinada seal. Esta operacin puede
darse tanto un cambio hacia la derecha o hacia la izquierda. El fundamento de estos
movimientos se basa en el lgebra de bloques. En las figuras 3.5 y 3.6 se indican las
transposiciones de los comparadores y de los puntos de bifurcacin, primero hacia la
derecha, luego a la izquierda. Ntese la equivalencia de las expresiones de las salidas en
relacin a sus entradas.
Las expresiones de transposicin del sumador hacia la derecha y luego hacia la
izquierda quedan reflejadas en las siguientes ecuaciones y en sus respectivas
representaciones:
sGsYsXsGsZsYsXsGsZ
sYsGsXsGsZsYsXsGsZ
/1
En cuanto al movimiento de los puntos de bifurcacin de las seales, resultarn
las transposiciones hacia la derecha y la izquierda respectivamente:
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 61
G 1 +
-
H 2
G 2
G 3
H 1
G 4
H 3
+
+
+ + -
-
sGsXsYsXsGsZsYsXsGsZ
sGsGsXsYsXsGsZsXsYsXsGsZ
;
1;;
Ejemplo 3.6
Obtener el diagrama a bloques reducido equivalente del mostrado en la figura
adjunta:
Del diagrama se observa que G2 y G3 estan procesando en paralelo la seal que
los ataca. Por otro, una primera simplificacin podra conseguirse a travs del
G(s)X(s)
Y(s)
Z(s)
Y(s)
G(s)
1/G(s)
X(s) Z(s)
Y(s)
G(s)X(s) Z(s)
G(s)
Y(s)
Z(s)X(s)
G(s)
Figura 3. 6. Transposicin de puntos de bifurcacin
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
62 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
G 1 +
-
H 2
G 2 + G 3
H 1
H 3
+ -
-
3 4
4
1 H G
G
+
desplazamiento haca la izquierda de la seal de entrada de H1. Con este desplazamiento
aparecera facilmente la estructura de realimentacin entre G4 y H3:
El desplazamiento hacia la izquierda de la bifurcacin de la seal de salida que
es entrada en H3 mostrar un procesamiento paralelo de la seal que ataca al bloque de
la realimentacin de G4 y H3:
H 3 +
-
3 4
4
1 H G
G
3 4
4
1 H G
G
G 1 +
-
H 2
G 2 + G 3 +
-
3 4
4 3 1 1
1 H G
G H H
3 4
4
1 H G
G
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 63
La cascada de G2 y G3 muestra con el ltimo equivalente una estructura de
realimentacin:
Finalmente, queda una estructura con un lazo de realimentacin a travs de H2
que esta en serie con el ltimo bloque de procesamiento equivalente:
La FDT equivalente del conjunto ser:
3.6 Ejercicios propuestos
Problema 1
Determinar el diagrama de bloques reducido y demostrar que la FDT total es la dada:
+
-
H 2
3 4
4
1 H G
G
G 1
3 2
3 4
3 4 1
3 2
1 1 1 G G
H G
H G H
G G
34
4
1 HG
G
34321232134
34321
11
1
HGGGGHGGHHG
HGGGG
343212321344321
11 HGGGGHGGHHG
GGGGsM
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
64 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
a)
34323214321
4321
1 HGGHGGHGGGG
GGGG
sX
sYsM
b)
CDA
BAD
sX
sYsM
1
G 1 + -
H 1
G 2
H 2
+ +
-
-
H 3
G 3 G 4
s X s Y
+ + -
-
C
B
A D s X s Y
-
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 65
Problema 2
El esquema de la figura representa un sistema de control continuo sobre un depsito de agua. La altura es medida por un transductor resistivo, de forma que la tarjeta de acondicionamiento de la seal, da una tensin proporcional a la altura:
thktuAC 1
siendo k1 la ganancia, de valor 10 [V/m]. Esta seal es comparada con la seal de mando, um(t), generando la seal de error, la cual ataca al regulador PI analgico, cuya ganancia de tensin est dada por la siguiente ecuacin
diferencial:
dt
tdutu
dt
tdutu errerr
elecelec 23
El compensador ataca a la electrovlvula de seccin variable. La seccin de paso, W, es proporcional a la tensin de salida del regulador con una ganancia k2, de valor 0.01 [m
2/V]. Se pide:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que determinen la dinmica del sistema.
2. Linealizar el modelo respecto al punto de equilibrio, um0 = 6V y h0= 0.5m. Cunto vale el caudal de salida ?, y el de entrada ?.
3. Diagrama de bloques entre los incrementos de la seal de mando y de la altura del depsito.
Problema 3
El circuito de la figura representa una clula de Sallen-Key. El tringulo con el valor de ganancia k es una simplificacin del amplificador de estructura no inversora con amplificador
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
66 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
operacional ideal. Por tanto, la tensin de salida del amplificador es la de su entrada multiplicada por k y la impedancia de entrada de ste es infinita. Se pide:
1. El diagrama de bloques en el que aparecern explcitamente las variables ue(s), uA(s), uB(s) y us(s).
2. FDT entre us(s) y ue(s).
Resolucin
El conjunto de ecuaciones algebro diferenciales son:
Bs
BBA
BABAAe
kuu
R
uuuC
R
uuuuCuuC
2
1
Aplicando transformadas de Laplace, se conseguir el diagrama a bloques.
Empleando lgebra de bloques la FDT entre la tensin de salida y de entrada es:
1221221
2122
22
kRRRsCCRRs
kCRRs
su
susA
e
sV
Problema 4
La figura representa el esquema simplificado de la calefaccin de una habitacin por medio de un radiador elctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios, situada en un bao de aceite de masa calorfica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de coeficiente global de transmisin Uc hacia el aire.
El aire de la habitacin se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorfica Mh. La temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de transmisin UP.
La temperatura de la habitacin se mide con un termmetro situado cerca del radiador, por lo que su indicacin Tm viene afectada ligeramente por l. Dicha medida se compara con una referencia Tr y la diferencia, amplificada con una ganancia K se lleva a la resistencia del radiador.
Las ecuaciones del sistema son:
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 67
ehpphccch
hhccc
c
c
mrchm
TTSUTTSUdt
dTMTTSUq
dt
dTM
RVqTTkVTTT
)5)4
/24.0)3)205.095.0)1 2
Datos
CcalMCcalM
CscalSUCscalSUCVkR
hc
ppcc
/3000/1000
/33/5.12/5020
Se pide:
1. Determinar el punto de equilibrio (Tc,o y Th,0) en torno a Te,0 = 5C, Tr,0 =25C.
2. Linealizar las ecuaciones en torno al punto de equilibrio. 3. Dibujar el diagrama a bloques del sistema de control. 4. Determinar la FDT entre las variaciones de la temperatura de la
habitacin respecto a la de mando y a la temperatura externa.
Problema 5
El diagrama de la figura representa un esquema simplificado de levitacin magntica. La fuerza magntica producida por el electroimn intenta compensar la fuerza de gravitacin sobre el cuerpo que levita. Sabiendo que la fuerza magntica es proporcional al cuadrado de la
i(t)LR
txti
ktf pm
2
x(t)
u(t)
i(t)LR
txti
ktf pm
2
x(t)
u(t)
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
68 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
corriente de la bobina e inversamente a la posicin del cuerpo, txti
ktf pm
2
,
determinar:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinmica del levitador.
2. Linealizacin de la planta alrededor del punto de reposo. 3. Diagrama de bloques del sistema. 4. Es estable?
Datos:
M = 0.1 kg kp= 2510-3 [Nm/A2] R = 0.1 L = 5.4 mH
Punto de reposo: x0 = 25 mm
1. El conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales son:
txti
kgMxM
dt
tdiLtiRtu
p
2
2. Para la linealizacin habr que calcular la corriente en el punto de reposo:
Aik
xgMi
p
1002
0
Las ecuaciones linealizadas sobre este punto de reposo quedan establecidas
como:
txx
ikti
x
ikxM
tiLtiRtu
pp
02
02
0
02
3.
Apuntes de Regulacin Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas
Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial 69
4. La FDT contiene un polo en el semiplano positivo, por tanto, el sistema es
inestable:
52.182020
7.3703
ssssu
sx
Problema 6
Una masa se desliza por un plano inclinado a una determinada velocidad, se pide:
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele la dinmica y velocidad del rgimen permanente
de la masa cuando la pendiente es 6
.
2. Determinar el modelo incremental entre el ngulo del plano inclinado y
su velocidad,
v sG s
s
, con las condiciones iniciales dadas.
3. Variacin temporal de la velocidad del objeto si hay un cambio de
pendiente de 6
a 3
. Utilcese el modelo lineal del apartado anterior.
4. Determinar la velocidad en el rgimen permanente, cuando la masa se
desliza sobre el plano de 3
. Existe discrepancia con el resultado del
apartado anterior? Por qu?.
Datos: M = 10 kg, B = 5 Ns/m, g ~ 10 m/s2.
1. Las ecuaciones que modela el descenso del bloque rgido son:
r rMx t Mgsen f t f t Bx t
En el rgimen permanente la velocidad ser constante, por tanto para un ngulo
de 30, la velocidad ser:
10 /rp
Mg senv m s
B
2.
0
cos 10 3
1 2
Mgv sG s
s Ms B s
3. El sistema es de primer orden y se produce un incremento de 30 en forma de
entrada en escaln: 1 10 3
6 1 2v s
s s
06
13
v t
Captulo 3: Descripcin y representacin de los sistemas continuos Apuntes de Regulacin
70 Dpto. Electrnica, Automtica e Informtica Industrial
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
[s]
[m/s
]
Evolucin temporal de la velocidad del bloque
4. 10 3 /rpMgsen
v m sB
. Existe discrepancia por la aproximacin del
sistema no lineal a travs de la pendiente. En el modelo linealizado da 19 m/s y en el
modelo no lineal es de 17.32 m/s.
Derecho de Autor 2014 Carlos Platero Dueas.
Permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documento bajo los trminos
de la Licencia de Documentacin Libre GNU, Versin 1.1 o cualquier otra
versin posterior publicada por la Free Software Foundation; sin secciones
invariantes, sin texto de la Cubierta Frontal, as como el texto de la Cubierta
Posterior. Una copia de la licencia es incluida en la seccin titulada "Licencia de
Documentacin Libre GNU".
La Licencia de documentacin libre GNU (GNU Free Documentation License)
es una licencia con copyleft para contenidos abiertos. Todos los contenidos de estos
apuntes estn cubiertos por esta licencia. La version 1.1 se encuentra en
http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html. La traduccin (no oficial) al castellano de la
versin 1.1 se encuentra en http://www.es.gnu.org/Licencias/fdles.html
Top Related