ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN
1)Cho x, y, z và . Chưng minh:
GIẢI
Ta có: VT + 3 =
0.25
0.25
0.25
(đpcm)
( Dâu băng xay ra khi và chi khi x = y = z = 1)
2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
GIẢI
Ta có nên
Tương tự ta có
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được
vậy Amax =
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức .
G
Đặt . Ta có:
Và . ĐK: .
Suy ra : .
Do đó: ,
và .
KL: GTLN là và GTNN là ( HSLT trên đoạn )
4)Với mọi số thực dương thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: .
G
Áp dụng BĐT Cô-si : (1). Dâu băng xãy ra khi .
Tương tự: (2) và (3).
Mà: (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: .
. KL: GTNN của P là .
5. Chứng minh với mọi số dương .
G
Ta có: (1)
Tương tự: (2), (3).
Cộng (1), (2), (3), ta có:
6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . CMR:
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
+Ta có : ; ;
+ Lại có :
cộng các BĐT này ta được đpcm.
7) Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
GIẢI
Ta có: P + 3 =
Để PMin khi a = b = c = 1
8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :
GIẢI
.Ta có :VT =
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
Từ đó tacó VT
Dâu đẳng thưc xay ra khi a=b=c=1/3
9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z .Chứng minh rằng: + + 45 xyz.
GIẢIBất đẳng thức
+ +
VT .
Đặt t =
ta có do đó t 1
Điều kiện . 0 < t 1. XÐ hàm số f(t)= + =45
Dâu băng xay ra khi: t=1 hay x=1; y= ; z= .
10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
GIẢI
Để ý rằng ;
và tương tự ta cũng có
Vì vậy ta có:
11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
GIẢI
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: .
Đặt .
Vế trái viết lại:
Ta có: .
Tương tự:
Do đó: .
Tưc là:
12. Cho hai số dương thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
GIẢICho hai số dương thỏa mãn: .
Thay được:
băng khi Vậy Min P =
Lưu ý:
Có thể thay sau đó tìm giá trị bé nhât của hàm số
13. Cho x, y, z thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
GIẢI
Trước hết ta có: (biến đổi tương đương)
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
Đặt x + y + z = a. Khi đó
(với t = , )
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t . Có
Lập bang biến thiên
GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
14. Chứng minh: với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn .
GIẢI
Ta có: .
Suy ra :
15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
GIẢI
TXĐ: ; .
y’= 0 ; y(1) = 0 vì là HSĐB
Khi 0 < x < 1 ; khi x > 1 . KL: miny = 0 .16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
GIẢI
Để ý răng ;
và tương tự ta cũng có
Vì vậy ta có:
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
vv
17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải
2/. Ta có:
Vậy GTNN là Pmin = khi x = y = z
18. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
GIẢI
Theo cô – si có . Tương tự …
Đặt
Vậy Dâu băng xay ra khi
19. Cho x, y, z thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
GIẢI
Trước hết ta có:
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
Đặt x + y + z = a. Khi đó
(với t = , )
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t . Có
Lập bang biến thiên
GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
GIẢI
Ta có : (*)
Nhận thây : x2 + y2 – xy xy x, y
Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay x, y > 0
Tương tự, ta có : y, z > 0
x, z > 0
Cộng từng vế ba bât đẳng thưc vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2.
21. Cho x, y, z thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trước hết ta có: (biến đổi tương đương)
Đặt x + y + z = a. Khi đó
(với t = , )
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t . Có
Lập bang biến thiên
GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:
* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 a2b + ab2 (*)Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) 0 (a + b)(a - b)2 0 đúng Đẳng thưc xẩy ra khi a = b.* Từ (*) a3 + b3 ab(a + b) b3 + c3 bc(b + c) c3 + a3 ca(c + a) 2(a3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:
+ + 3 = (2)
* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cmĐẳng thưc xẩy ra khi a = b = c. 23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: .
.
Vì , Áp dụng BĐT Côsi ta có: =
Dâu băng xay ra . Vậy MaxP =
24. Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có
. Do 3t - 2 > 0 và nên ta có
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
Xét hàm số f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.
t2 4 +
f’(t) - 0 +
f(t) + +
8
Do đó min P = = f(4) = 8 đạt được khi
25.Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Đặt khi đó
Đặt
Với
Khi đó ;
Vậy khi . Hay khi .
Vậy :
26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
G. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy= 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, vì x, y 0 và x + y = 1 nên 0 t ¼ Khi đó S = 16t2 – 2t + 12
S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 t =
S(0) = 12; S(¼) = ; S ( ) = . Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :
Max S = khi x = y =
Min S = khi hay
27.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
.
Giải:
Từ gia thiết ta có:
x2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz
Đặt a = x + y và b = x + z
Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz
Mặt khác
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2
=
=
=
Ta lại có:
3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)
3(y + z)2 . (y + z) = 3(y + z)3 (2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phai chưng minh
28. Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net
Ta có: P + 3 =
Để PMin khi a = b = c = 1
29.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Ta có nên
Tương tự ta có
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được
vậy Amax =
30. Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-ab ab
a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.netT¬ng tù ta cã
,
Céng theo vÕ ta cã
= + +
=
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1