Finite Elemente I 56
3 Finite-Elemente Approximationen zur Losungder Poisson-Gleichung in 2D
3 Finite-Elemente Approximationen zur Losung der Poisson-Gleichung in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 57
3.1 Aufgabenstellung
Sei Ω ⊂ R2 ein beschranktes polygonales Gebiet mit Rand Γ bestehend aus denTeilmengen ΓD und ΓN sowie g und h hinreichend glatte Randfunktionen. ZurApproximation der Losung der RWA
−∆u = f in Ω, (3.1a)
u = g langs ΓD, (3.1b)
∂u
∂n= h langs ΓN (3.1c)
betrachten wir die zugehorige schwache Formulierung
Bestimme u ∈ Vg sodass a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V0. (3.2a)
Hierbei sind Vg := u ∈ H1(Ω) : u|ΓD = g sowie
a(u, v) =
∫Ω
∇u · ∇v dx, `(v) =
∫Ω
fv dx+
∫ΓN
hv ds. (3.2b)
3.1 Aufgabenstellung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 58
Bemerkung 3.1 Oft wird die Variationsaufgabe (3.2) ”homogenisiert“, umVg = V0 zu erreichen.
Dies geschieht mit Hilfe einer beliebigen Funktion ug ∈ H1(Ω) mit derEigenschaft ug|ΓD
= g. Dann ist u0 + ug ∈ Vg fur alle u0 ∈ V0.
Die homogenisierte Variante von (3.2) lautet somit
Bestimme u0 ∈ V0 sodass a(u0, v) = `(v)− a(ug, v) ∀v ∈ V0, (3.3)
d.h. auf der rechten Seite geht man uber zur Linearform ˜ := `− a(ug, ·).
3.1 Aufgabenstellung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 59
3.2 Referenzaufgaben
Auf folgende Beispielaufgaben kommen wir im Laufe dieses Abschnittswieder zuruck.
3.2 Referenzaufgaben TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 60
Beispiel 1: Ω = (−1, 1)2, ΓD = Γ, f ≡ 1, g ≡ 0.
Dies stellt ein Modell fur Warmeausbreitung auf einer quadratischen Platte dar.Durch Trennung der Veranderlichen bestimmt man die Reihenlosung
u(x, y) =1− x2
2− 16
π3
∑k∈N,k ungerade
[sin(kπ(1 + x)/2)
k3 sinh(kπ)(sinh
kπ(1 + y)
2+ sinh
kπ(1− y)
2
)].
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.2 Referenzaufgaben TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 61
Beispiel 2: Ω = (−1, 1)2 \ [−1, 0]2, ΓD = Γ, f ≡ 1, g ≡ 0.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.2 Referenzaufgaben TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 62
Beispiel 3: Ω = (−1, 1)2, ΓD = Γ, f ≡ 0, g = u|Γmit exakter Losung
u(x, y) =2(1 + y)
(3 + x)2 + (1 + y)2.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.2 Referenzaufgaben TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 63
Beispiel 4: Ω = (−1, 1)2 \ [−1, 0]2, ΓD = Γ, f ≡ 1, g = u|Γ mit exakterLosung
u(r, θ) = r2/3 sin2θ + π
3, x = r cos θ, y = r sin θ.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.2 Referenzaufgaben TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 64
3.3 Galerkin-Diskretisierung
Das Galerkin-Verfahren zur Approximation der Losung von (3.2) bestehtdarin, Ansatz- und Testraum durch endlichdimensionale Raume V h
g bzw.V h
0 (gleicher Dimension) zu ersetzen.
Hierbei ist h > 0 ein Diskretisierungsparameter.
Gelten V hg ⊂ Vg und V h
0 ⊂ V0, so spricht man von einer konformenDiskretisierung.
Werden verschiedene Ansatz- und Testraume verwendet, spricht man vonPetrov-Galerkin-Verfahren, andernfalls von Bubnov-Galerkin-Verfahren.
Wir betrachten zunachst die homogenisierte Variationsaufgabe (3.3) undeinen n-dimensionalen Unterraum V h
0 ⊂ V0. (Oder, aquivalent, den Fallg ≡ 0.)
Die diskrete Variationsaufgabe lautet somit
Bestimme uh ∈ V h0 sodass a(uh, v) = `(v) ∀v ∈ V h
0 . (3.4)
3.3 Galerkin-Diskretisierung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 65
Ist φ1, φ2, . . . , φn eine Basis von V h0 sowie uh =
∑nj=1 ujφj , so ist (3.4)
aquivalent mit
n∑j=1
uj a(φj , φi) = `(φi), i = 1, 2, . . . , n,
oder, mit A ∈ Rn×n gegeben durch [A]i,j = a(φj , φi), b ∈ Rn durch[b]i = `(φi) sowie u ∈ Rn durch [u ]i = ui, zu dem Galerkin-System
Au = b. (3.5)
Beachte:
• Die diskrete Variationsaufgabe (3.4) bzw. (3.5) besitzt ein eindeutigeLosung.
• Die Galerkin-Matrix A aus (3.5) ist symmetrisch und positiv-definit.
3.3 Galerkin-Diskretisierung TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 66
3.4 Finite-Element-Raume in 2D
Galerkin-Verfahren lassen zunachst beliebige Unterraume zu (Spektralver-fahren, Integralgleichungen, etc.).
Die finite-Element-Methode (FEM) zeichnet sich durch die Verwendung vonBasisfunktionen mit kleinem Trager aus. Fast ausschließlich werden hierfurstuckweise Polynome eingesetzt.
Deren Konstruktion basiert auf einer Zerlegung von Ω in (disjunkte) Teilge-biete, Elemente genannt, die wir mit K bezeichnen.
Wir betrachten in diesem Abschnitt (Ω ist ein Polygon) Zerlegungen ausDreiecken bzw. Vierecken, welche (in beiden Fallen, auch in 3D) Triangu-lierungen heißen.
Weitere gebrauchliche Bezeichnungen sind Vernetzung, Netz oder Gitter.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 67
Mit V h sei ein zunachst beliebiger endlichdimensionaler Raum auf Ω defi-nierter Funktionen bezeichnet. Entsprechend sei
PK := v|K : v ∈ V h
der durch samtliche Einschrankungen von Funktionen aus V h auf K auf-gespannte Raum.
Bei einer konformen FE-Diskretisierung ist V h ⊂ V erforderlich. EineCharakterisierung von Konformitat liefert folgender Satz.
Satz 3.2 Sei T h eine Zerlegung des Gebietes Ω und V h ein endlichdi-mensionaler Funktionenraum. Gilt V h ⊂ C0(Ω) sowie PK ⊂ H1(K) fur alleK ∈ T h, so gelten
V h ⊂ H1(Ω), sowie v ∈ V h : v = 0 auf ∂Ω ⊂ H10 (Ω).
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 68
Beweis: Aufgrund unserer Annahmen gilt bereits V h ⊂ L2(Ω). Damit auch V h ⊂H1(Ω) mussen wir zeigen, dass jedes v ∈ V h schwache Ableitungen ∂iv, i =
1, . . . , d besitzt, d.h. Funktionen vi ∈ L2(Ω) mit∫Ω
vi φdx = −∫
Ω
v ∂iφ dx ∀φ, φ differenzierbar, φ|∂Ω = 0.
Elementweise gilt∫K
φ∂i(v|K) dx = −∫K
v|K ∂iφdx +
∫∂K
v|K φnK,i ds,
(nK,i die i-te Komponente der außeren Einheitsnormalen langs ∂K). Summationuber alle K ergibt (mit vi := ∂iv|K∀K)∫
Ω
φ vi dx = −∫
Ω
v ∂iφdx +∑
K∈Th
∫∂K
v|K φnK,i ds.
Die Summe verschwindet jedoch, da φ langs ∂Ω verschwindet und die (orientierten!)Randintegrale langs innerer Rander je zweimal mit entgegengesetztem Umlaufsinnauftreten.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 69
3.4.1 Dreieckelemente
Wir betrachten eine Zerlegung T h von Ω in (abgeschlossene) Dreiecke Kmit folgenden Eigenschaften
(a) Ω = ∪K∈T hK.
(b) Fur zwei beliebige Dreiecke K1,K2 ∈ T h ist K1 ∩ K2 entweder leer,ein gemeinsamer Punkt oder eine gemeinsame Kante.
Als Diskretisierungsparameter wird ublicherweise
h := maxK∈T h
diamK,
also ein Maß fur die Feinheit der Zerlegung, genommen.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 70
Beispiel 1: Dreieckszerlegung des Außeren eines Tragflachenquerschnitts.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 71
Besipiel 2: Triangulierungen verschiedener Gebiete(mittels der distmesh-Software von Strang und Persson)
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 72
Beispiel 3: Zerlegung aus Drei- und Vierecken.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 73
Um einen Unterraum von H1(Ω) zu erhalten, mussen die zugehorigenFunktionen nach Satz 3.2 stetig sein. Fur stuckweise Polynome bezuglichT h ist dies gewahrleistet, sofern diese nur an allen Dreieckskanten stetigsind.
Der einfachste solche Raum ist der aller stuckweise linearen Funktionenauf Ω bezuglich T h, d.h.
V h := v ∈ C(Ω) : v|K ∈P1 ∀K ∈ T h,
wobei mit P1 die Menge alle Polynome (hier in zwei Variablen) vom Gradhochstens eins bezeichnet sei.
Ein Unterraum von V0 ist gegeben durch
V h0 = v ∈ V h : v|ΓD
= 0.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 74
Nodale Basis
Funktionen aus V h sind eindeutig durch ihre Funktionswerte an den Knotender Triangulierung (Ecken der Dreiecke) bestimmt. Einen solchen Satz vonParametern, welche eine FE-Funktion vollstandig charakterisieren, nenntman Freiheitsgrade (degrees of freedom).
Bei V h0 sind dies alle Knoten bis auf die, die nicht auf ΓD liegen. Deren
Anzahl sei n.
Eine besonders nutzliche Basis φ1, . . . , φn, die sog. nodale Basis, istgegeben durch
φj(xi) = δi,j i, j = 1, . . . , n.
Ist N h = x1, . . . , xn die Menge der Knoten mit xj 6∈ ΓD, so gilt
suppφj = K ∈ T h : xj ∈ K.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 75
Triangulierung des L-formigen Gebiets aus Abschnitt 2.1 mit dem Trager dreiernodaler Basisfunktionen.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 76
Konsequenz fur das Galerkin-System (3.5):
[b]i = `(φi) =
∫suppφi
fφi dx+
∫suppφi∩ΓN
hφi ds
[A]i,j = a(φj , φi) =
∫suppφi∩suppφj
∇φi · ∇φj dx
Insbesondere: die Galerkin-Matrix A ist dunn besetzt.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 77
Aufbau des Galerkin-Systems
Großer Vorteil der FEM:
• Aufbau des FE Gleichungssystems – man nennt diesen Vorgang As-semblieren – verlauft auch bei komplizierteren Problemen stets nachdem gleichen Grundschema.
• Parametrisierung durch spezielle Eigenschaften der jeweiligen Aufga-be.
• Grundbausteine der Assemblierung stets dieselben, kann bei der Soft-wareumsetzung ausgenutzt werden (z.B. Objektorientierung).
Wir stellen nun die Grundschritte der Assemblierung fur unser Modellpro-blem zusammen. Das Vorgehen besteht darin, die Rechnung auf Operatio-nen auf den einzelnen Elementen zuruckzufuhren, deren Ergebnisse dannzusammengefugt (assembliert) werden.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 78
Ubliches Vorgehen:
(1) Ignoriere zunachst die wesentlichen RB, d.h. ganz V h wird zugrun-degelegt, mit nodaler Basis φ1, φ2, . . . , φn, φn+1, . . . , φn, n − n dieAnzahl der Knoten auf ΓD.Liefert A ∈ Rn×n, b ∈ Rn.
(2) Eliminiere zum Schluß die Freiheitsgrade der wesentlichen RBen. Lie-fert A, b.
Zunachst naheliegend fur (1): sukzessives Abarbeiten aller Basisfunktionen(= Eintrage in A, b)
Aber: Lage und Anordnung der Trager variieren stark.
Einfacher: elementweises Vorgehen.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 79
Sei K ∈ T h: dann gilt fur i, j = 1, 2 . . . , n:
a(φj , φi) =
∫Ω
∇φj · ∇φi dx =∑
K∈T h
∫K
∇φj · ∇φi dx =:∑
K∈T h
aK(φj , φi),
`(φi) =∑
K∈T h
∫K
fφi dx+
∫K∩ΓN
hφi ds =: `K(φi).
Mit
[AK ]i,j := aK(φj , φi) i, j = 1, 2, . . . , n,
[bK ]i := `K(φi, i = 1, 2, . . . , n,
folgt alsoA =
∑K∈T h
AK , b =∑
K∈T h
bK .
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 80
Da jedes Element nur zum Trager dreier Basisfunktionen gehort, sind nur(hochstens) neun bzw. drei Eintrage von AK bzw. bK von Null verschieden.
Welche Eintrage dies sind kann durch Nachschlagen in einer Elementta-belle ermittelt werden:
[ET (i, j)]i=1,2,3;j=1,...,nK:
Element K1 K2 . . . KnK
erster Knoten i(1)1 i
(2)1 . . . i
(nK)1
zweiter Knoten i(1)2 i
(2)2 . . . i
(nK)2
dritter Knoten i(1)3 i
(2)3 . . . i
(nK)3
Hierbei sei nK die Anzahl der Elemente in T h.
Diese fuhrt neben der bisherigen globalen Knotennumerierung x1, x2, . . . , xnin jedem Element zusatzlich eine lokale Nummerierung x(K)
1 , x(K)2 , x(K)
3 derzu K gehorenden Knoten ein.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 81
Globale Nummerierung der Knoten (rot) und der Elemente (schwarz)einer Triangulierung des L-Gebiets.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 82
Damit sind die von Null verschiedenen Teilmatrizen bzw. -vektoren von AK
und bK gegeben durch
AK :=
aK(φ
(K)1 , φ
(K)1 ) aK(φ
(K)2 , φ
(K)1 ) aK(φ
(K)3 , φ
(K)1 )
aK(φ(K)1 , φ
(K)2 ) aK(φ
(K)2 , φ
(K)2 ) aK(φ
(K)3 , φ
(K)2 )
aK(φ(K)1 , φ
(K)3 ) aK(φ
(K)2 , φ
(K)3 ) aK(φ
(K)3 , φ
(K)3 )
, bK :=
`K(φ
(K)1 )
`K(φ(K)2 )
`K(φ(K)3 )
.
Tragt K in der Nummerierung der Elemente den Index k, so ist die Zu-ordnung der lokalen Nummerierung φ(K)
i i=1,2,3 der zu K gehorendenBasisfunktionen zur globalen Nummerierung φjnj=1 gegeben durch
φ(K)i = φj , j = ET (i, k), i = 1, 2, 3.
Man bezeichnet AK und bK auch als Elementsteifigkeitsmatrix bzw. Elem-entlastvektor.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 83
Nach diesen Uberlegungen erhalten wir folgenden Algorithmusa zur As-semblierung:
Initialisiere A := O, b := 0
foreach K ∈ Th
berechne AK und bKk := [Index des Elementes K]i1 := ET (1, k), i2 := ET (2, k), i3 := ET (3, k)
A([i1i2i3], [i1i2i3]) := A([i1i2i3], [i1i2i3]) + AK
b([i1i2i3]) := b([i1i2i3]) + bKend
aHier wird folgende an MATLAB angelehnte Notation verwendet:
A([i1i2i3], [i1i2i3]) =
ai1,i1 ai1,i2 ai1,i3
ai2,i1 ai2,i2 ai2,i3
ai3,i1 ai3,i2 ai3,i3
, b([i1i2i3]) =
bi1bi2bi3
.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 84
Referenzelement
Hilfreich fur Implementierung und Analyse: Bezug auf ein ReferenzelementK ⊂ R2. Fur alle K ∈ T h gilt dann K = FK(K) mit
FK : K → K, K 3 ξ 7→ x ∈ K, x = FK(ξ) = BKξ + bK .
Bei Dreieckelementen ublich: Einheitssimplex
K = (ξ, η) ∈ R2 : 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1− ξ
Fur jedes Dreieck K ∈ T h ist die affine Abbildung FK bestimmt durch dieAbbildungsvorschriften
(1, 0) 7→ (x1, y1),
(0, 1) 7→ (x2, y2),
(0, 0) 7→ (x3, y3), d.h.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 85
K
ξ
η
(0, 0) (1, 0)
(0, 1)
x
y
FK
K
(x1, y1)
(x2, y2)
(x3, y3)
[x
y
]=
[x1 − x3 x2 − x3
y1 − y3 y2 − y3
]︸ ︷︷ ︸
BK
[ξ
η
]+
[x3
y3
]︸ ︷︷ ︸bK
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 86
Lokale (nodale) Basisfunktionen in K:
φ1(ξ, η) = ξ, φ2(ξ, η) = η, φ3(ξ, η) = 1− ξ − η, (ξ, η) ∈ K.
Durch die Zuordnung
φ 7→ φ := φ F−1K , d.h. φ(x ) := φ(ξ(x )) = φ(F−1
K (x ))
wird jeder Funktion φ auf K eine Funktion φ auf K zugeordnet.
Lokale Basisfunktionen auf K:
φj = φj F−1K : K → R, j = 1, 2, 3.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 87
Ruckfuhrung der Integration auf das Referenzelement
Die bei der Assemblierung der Galerkin-Matrix anfallenden Integrale wer-den ebenfalls auf das Referenzelement zuruckgefuhrt. Dies ist auch fur dieVerwendung von Quadraturformeln hilfreich.
Aus φ(x ) = φ(ξ(x )) folgt (Kettenregela)
∇φ =
[φx
φy
]=
[φξξx + φηηx
φξξy + φηηy
]=
[ξx ηx
ξy ηy
][φξ
φη
]= (DF−1
K )>∇φ.
Wegen x = FK(ξ) = BKξ + bK , d.h. DFK = BK ,
ξ = F−1K (x ) = B−1
K (x − bK), d.h. DF−1K = B−1
K
folgt schließlich∇φ = B−>K ∇φ.
a∇ bedeutet, dass nach den Variablen ξ und η differenziert wird.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 88
Damit ergibt sich (φi = φ(K)i , i = 1, 2, 3)
aK(φj , φi) =
∫K
∇φj · ∇φi dx
=
∫K
(B−>K ∇φj
)·(B−>K ∇φi
)|detBK | dξ.
(3.6)
Hierbei ist (lineares Dreieckelement)
|detBK | = 2|K|,
B−>K =1
2|K|
[y2 − y3 x3 − x2
y3 − y1 x1 − x3
],
[∇φ1 ∇φ2 ∇φ3
]=
[1 0 −1
0 1 −1
].
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 89
Dreieckelemente vom Grad zwei
Nimmt man zu den Ecken des Referenzdreiecks K noch die Kantenmittel-punkte als Knoten hinzu, so lautet die zugehorige nodale Basis von P2 aufK:
φ1(ξ, η) = ξ(2ξ − 1),
φ4(ξ, η) = 4η(1− ξ − η),
φ2(ξ, η) = η(2η − 1),
φ5(ξ, η) = 4ξ(1− ξ − η),
φ3(ξ, η) = (1− (ξ + η))(1− 2(ξ + η)),
φ6(ξ, η) = 4ξη
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Ubliche Darstellung einesDreieckelements vom Grad zwei
mit Knoten
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 90
Die vier nodalen Basisfunktionen im Dreieckelement vom Grad zwei
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 91
3.4.2 Viereckelemente
Auch wenn Dreieckzerlegungen im Allgemeinen flexibler sind, so treten inder Praxis hinreichend oft Gebiete auf, welche einfach in Rechtecke oder(konvexe) Vierecke zerlegbar sind.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 92
Beim einfachsten H1-konformen Viereckelement wird als Polynomraum
Q1 := span1, ξ, η, ξη,
der Raum der bilinearen Funktionen verwendet.
Im Referenzelement, ublicherweise K = [−1, 1]2, lautet die nodale Basis
φ1(ξ, η) = 14 (1− ξ)(1− η),
φ2(ξ, η) = 14 (1 + ξ)(1− η),
φ3(ξ, η) = 14 (1 + ξ)(1 + η),
φ4(ξ, η) = 14 (1− ξ)(1 + η).
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 93
Beim quadratischen Viereckelement ist der Polynomraum
Q2 := span1, ξ, η, ξη, ξ2, ξ2η, ξη2, η2,
der der biquadratischen Funktionen. Als neue Freiheitsgrade gegenuber dem bi-linearen Viereck kommen hier die Funktionswerte an den Seitenmitten sowie amMittelpunkt hinzu. Die neun Basisfunktionen auf dem Referenzelement lauten hier
φ1(ξ, η) = 14ξ(1− ξ)η(1− η),
φ2(ξ, η) = 14ξ(1 + ξ)η(1− η),
φ3(ξ, η) = 14ξ(1 + ξ)η(1 + η),
φ4(ξ, η) = 14ξ(1− ξ)η(1 + η),
φ5(ξ, η) = 12(1 + ξ)(1− ξ)η(1− η),
φ6(ξ, η) = 12ξ(1 + ξ)(1− η)(1 + η),
φ7(ξ, η) = 12(1− ξ)(1 + ξ)η(1 + η),
φ8(ξ, η) = 12ξ(1− ξ)(1− η)(1 + η),
φ9(ξ, η) = (1− ξ)(1 + ξ)(1− η)(1 + η).
x1 x2
x3x4
x5
x6
x7
x8 x9
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 94
Biquadratische nodale Basisfunktionen zu einer Ecke, einer Seitenmitte und demMittelpunkt.
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 95
Bei einem achsenparallelen RechteckK mit Kantenlangen hx und hy sowielinkem unteren Eckpunkt (x1, y1) und den weiteren Ecken im Gegenuhrzei-gersinn durchnummeriert lautet die Gebietsabbildung
FK(x ) = BKξ + bK , BK =1
2
[hx 0
0 hy
], b =
1
2
[x1 + x3
y1 + y3
].
In diesem Fall ist (vgl. (3.6))
|detBK | = 14hxhy,
B−>K = 2
[1/hx 0
0 1/hy
].
3.4 Finite-Element-Raume in 2D TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 96
3.5 Approximationsfehler
Wir betrachten zunachst allgemeine konforme Galerkin-Diskretisierungeneiner Variationsaufgabe
Bestimme u ∈ V sodass a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V , (3.7)
wobei wir annehmen, dass die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas(Satz 2.19) erfullt sind. Die diskrete Variationsaufgabe lautet entsprechend
Bestimme uh ∈ V h sodass a(uh, v) = `(v) ∀v ∈ V h, (3.8)
mit einem Unterraum V h ⊂ V .
Frage: Was kann man aussagen uber ‖u− uh‖, insbesondere fur h→ 0?
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 97
3.5.1 Das Cea-Lemma
Satz 3.3 (Lemma von Cea) Gelten fur die Variationsaufgabe (3.7) die Vor-aussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas, so gilt fur den Fehler u − uh derGalerkin-Approximation
‖u− uh‖ ≤ C
αinfv∈V h
‖u− v‖. (3.9)
Hierbei bezeichnen C und α die Stetigkeits- bzw. Koerzivitatskonstante ausdem Lax-Milgram-Lemma.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 98
Bemerkungen 3.4(a) Ist die Bilinearform zusatzlich noch symmetrisch (Hermitesch), so laßt
sich (3.9) verbessern zu
‖u− uh‖ ≤√C
αinfv∈V h
‖u− v‖. (3.10)
(b) Fur die Konvergenz einer Folge von Galerkin-Approximationen (imGrenzwert h→ 0) ist somit hinreichend, dass fur die zugehorige FamilieV hh>0 von Unterraumen gilt
limh→0
infv∈V h
‖u− v‖ = 0 ∀u ∈ V .
(c) In diesem Sinne wird durch das Cea-Lemma die Abschatzung desGalerkin-Fehlers zu einem Approximationsproblem.
(d) Die Tatsache, dass a(u− uh, v) = 0 fur alle v ∈ V h wird auch Galerkin-Orthogonalitat genannt.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 99
Das Cea-Lemma laßt sich auch auf den Fall verallgemeinern, dass kei-ne Koerzivitat, sondern lediglich eine inf-sup-Bedingung vorliegt (vgl.Satz 2.21).
Satz 3.5 Seien X , Y Banach-Raume und a : X × Y → R eine Bilinear-form, welche die Voraussetzungen von Satz 2.21 erfullt. Ferner seien furUnterraume X h ⊂ X und Y h ⊂ Y gleicher Dimension die Bedingung(2.19) mit einer Konstanten γh sowie Bedingung (2.20) erfullt. Dann gilt furdie Losung uh der diskreten Variationsaufgabe
Bestimme uh ∈X h sodass a(uh, v) = `(v) ∀v ∈ Y h, (3.11)
und die Losung u ∈X von (2.21) die Abschatzung
‖u− uh‖X ≤(
1 +C
γh
)inf
v∈X h‖u− v‖X .
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 100
Bemerkung 3.6 Im Gegensatz zum Lax-Milgram Lemma folgen Bedingun-gen (2.19) und (2.20) nicht aus deren Gultigkeit fur die Raume X und Y .Insbesondere kann die Konstante γ in (2.19) von h abhangen, d.h. γ = γh.Entscheidend ist, ob γh gleichmaßig nach unten beschrankt ist.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 101
3.5.2 A priori Fehlerabschatzungen
Die einfachsten a priori Fehlerabschatzungen beruhen auf zusatzlicherRegularitat:
Definition 3.7 Mit H2(Ω) wird der Raum aller Funktionen in u ∈ L2(Ω)
bezeichnet, welche schwache Ableitungen bis einschließlich Ordnung zweibesitzen.
H2(Ω) ist ein Hilbert-Raum bezuglich des Innenproduktes
(u, v)2 := (u, v)1 +2∑
i,k=1
(∂jku, ∂jkv).
Hierzu gehort die Norm
‖u‖2 =(‖u‖21 + |u|22
)1/2, |u|2 :=
( 2∑i,k=1
‖∂jku‖2)1/2
.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 102
Definition 3.8 Die Variationsaufgabe (3.2) heißt H2-regular falls fur hinrei-chend glatte Daten f , g und h die Losung sogar in Vg ∩H2(Ω) liegt.
Aufgrund des Sobolevschen Einbettungssatzes liegt in der Aquivalenzklassejeder Funktion u ∈ H2(Ω) eine aus C(Ω). Insbesondere kann man bei H2-Funktionen vom Wert u(x ) dieser Funktion an einer Stelle x ∈ Ω sprechen.
Definition 3.9 Sei T h eine zulassige Triangulierung des Gebietes Ω undV h der FE-Raum aus stuckweise linearen Funktionen bezuglich T h. Furalle K ∈ T h mit Ecken xj3j=1 und u ∈ H2(K) wird die durch
IKu ∈P1(K), (IKu)(xj) = u(xj), j = 1, 2, 3
als lokale Interpolierende zu u bezeichnet. Die globale InterpolierendeIhu ∈ V h zu u ∈ H2(Ω) ist definiert durch
Ihu|K = IKu ∀K ∈ T h.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 103
Lemma 3.10 Fur alle u ∈ H2(Ω) und alle K ∈ T h gilt
‖∇(u− IKu)‖2K ≤2h2
K
|K|‖∇(u− IK u)‖2
K.
Folgende Aussage ist ein Spezialfall des Bramble-Hilbert-Lemmas, wel-ches wir in allgemeiner Form spater beweisen werden:
Lemma 3.11 Es existiert eine Konstante C sodass fur alle u ∈ H2(K) gilt
‖∇(u− IK u)‖K ≤ C|u− IK u|2,K = C|u|2,K .
Lemma 3.12 Fur alle u ∈ H2(K) und u = u FK gilt
|u|22,K≤ 12h2
K
h2K
|K||u|22,K .
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 104
Lemma 3.13 Bezeichnet θK ∈ (0, π/3] den kleinsten Innenwinkel eines(nichtentarteten) Dreiecks K, so gilt
h2K
4sin θK ≤ |K| ≤
h2K
2sin θK .
Korollar 3.14 Fur die globale Interpolierende Ih eines stuckweise linearenFE-Raumes V h ⊂ H1(Ω) bezuglich einer Triangulierung T h gilt
‖∇(u− Ihu)‖2 ≤ C∑
K∈T h
1
sin2 θKh2K |u|22,K ∀u ∈ H2(Ω).
Definition 3.15 Eine Familie von Triangulierungen T hh>0 heißt qua-siuniform, falls eine gleichmaßige untere Schranke θ fur den minimalenInnenwinkel aller Dreiecke K ∈ T h fur alle h existiert.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 105
Satz 3.16 Ist die Variationsaufgabe (3.2)H2-regular, so gilt fur die Galerkin-Approximation uh bezuglich eines Unterraumes V h ⊂ H1(Ω) aus stuckweiselinearen Funktionen bezuglich einer quasiuniformen Triangulierung T h mith := maxK∈T h diamK
‖u− uh‖1 ≤ Ch|u|2mit einer von u und h unabhangigen Konstanten C.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 106
3.5.3 A posteriori Fehlerabschatzungen
Gegeben: RWA (3.2), Losung u, V h basierend auf T h, u ≈ uh ∈ V h
Gesucht: (lokaler) Fehlerschatzer η : T h → R, K 7→ ηK mit
• ηK ≈ ‖∇(u− uh)‖K ,• Aufwand zur Berechnung von ηKK∈T h moglichst linear in |T h|,• obere Schranke der Form∑
K∈T h
‖∇(u− uh)‖2K ≤ C(θ)∑
K∈T h
η2K ,
(θ untere Schranke fur minimalen Innenwinkel),• untere Schranke der Form
ηK ≤ C(θωK)‖∇(u− uh)‖ωK
,
ωK lokale Elementumgebung von K, K ⊂ ωK ⊂ T h.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 107
Ausgangspunkt: fur alle Testfunktionen v ∈ V0 gilt
a(u− uh, v) = `(v)− a(uh, v). (3.12)
Die rechte Seite von (3.12) stellt ein Residuumsterm dar, ein Element desDuals von V0.
Man kann zeigen: Norm von u−uh beidseitig durch Dualnorm des Residu-ums beschrankt.
Idee: Schatze u − uh durch Schatzung von ‖` − a(uh, ·)‖ bzw. durchnaherungsweise Losung von (3.12).
Annahme: homogene Neumann-Daten, d.h. `(v) = (f, v).
Mit (u, v)K :=∫Kuv dx bzw. aK(u, v) :=
∫K∇u · ∇v dx wird (3.12) zu
a(u− uh, v) =∑
K∈T h
aK(u− uh, v) =∑
K∈T h
(f, v)K −∑
K∈T h
aK(uh, v).
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 108
Partielle Integration:
− aK(uh, v) =
∫K
v∆uh dx −∑
E∈E (K)
⟨n · ∇uh, v
⟩E, (3.13)
mit den Bezeichnungen
E (K) Menge der Kanten des Elements K ∈ T h.
n = nE,K außerer Normalenvektor langs E bez. K,
〈·, ·〉E Innenprodukt in L2(E), (Dualform in H−1/2(E)×H1/2(E))
n · ∇uh (diskreter) Fluss uber E, i.A. unstetig an Elementgrenzen.
Definiere daher fur zwei Elemente K1 und K2 mit gemeinsamer Kante E
den Sprung des Flusses von v uber E durchs∂v
∂n
:= (∇v|K1
−∇v|K2) · nE,K1
= (∇v|K2−∇v|K1
) · nE,K2.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 109
Mit diesen Bezeichnungen sowie (3.13) wird aus (3.12)
∑K∈T h
aK(u− uh, v) =∑
K∈T h
(f + ∆uh, v)K − 12
∑E∈E (K)
⟨s∂uh
∂n
, v
⟩E
,wobei wir den Fluss zu gleichen Teilen auf die angrenzenden Elementeverteilt haben.
2 Anteile:
Element-Residuum RK := (f + ∆uh)|K
Fluss-Sprung RE :=
s∂uh
∂n
Beachte: RK ≡ RE ≡ 0 fur exakte Losung u.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 110
Hier: betrachte lineare Dreiecke bzw. bilineare Rechtecke
• RE ≡ konstant bei linearen Dreiecken,
• in beiden Fallen RK = f |K .
Weitere Vereinfachung: approximiere RK ≈ R0K , wobei f orthogonal auf
den Raum der konstanten Funktionen projiziert wird.
Weitere Notation:
E h :=⋃
K∈T h
E (K) = E hΩ ∪ E h
D ∪ E hN ,
E hΩ := E h ∩ Ω, E h
D := E h ∩ ΓD, E hN := E h ∩ ΓN .
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 111
Mit der Bezeichnung
R∗E :=
12
r∂uh
∂n
z, E ∈ E h
Ω ,
−nE,K · ∇uh, E ∈ E hN ,
0, E ∈ E hD,
erhalten wir schließlich∑K∈T h
aK(u− uh, v) =∑
K∈T h
[(RK , v)K −
∑E∈E (K)
〈R∗E , v〉E
], (3.14)
Exakter Fehler durch (3.14) fur alle v ∈ V0 bestimmt.
Idee: bestimme eK ≈ u− uh auf K durch Losen von
aK(eK , v) = (R0K , v)K −
∑E∈E (K)
〈R∗E , v〉E ∀v ∈ V hK . (3.15)
und setze ηK := ‖∇eK‖K . Wahl von V hK ?
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 112
Eine Moglichkeit [Bank & Weiser, 1985]
V hK := PK ⊕ BK , (3.16)
PK := spanφE : E ∈ E (K) \ E hD,
BK := spanφK
Hierbei sei φE die quadratische bzw. biquadratische Kanten-Blaschenfunktion(BF) mit φE 6≡ 0 auf E sowie φK die kubische bzw. biquadratische BF aufK mit
0 ≤ φK ≤ 1, φK ≡ 0 auf ∂K, φK = 1 am Schwerpunkt von K.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 113
Bei dieser Wahl:
• Berechnung von eK gemaß (3.15) erfordert Losen eines LGS derDimension 4 bzw. 5.
• Wegen (∇v,∇v)K > 0 ∀v ∈ V hK sind diese eindeutig losbar (Konstante
kann nicht durch BF dargestellt werden).
• Wichtig, da dies Vertraglichkeitsbedingung (reine Neumann-RWA) um-geht.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 114
Beispiel: Wir betrachten die RWA aus Beispiel 3, diskretisiert mit bilinearenRechteckelementen auf einem uniformen achsenparallelen Gitter mit 2`
Elementen in jeder Koordinatenrichtung.
Wir vergleichen fur verschiedene Gitterweiten
• den exakten Fehler ‖∇(u− uh)‖,• den geschatzten (globalen) Fehler η := (
∑K∈T h η2
K)1/2,• den Quotienten Xη := η/‖∇(u− uh)‖.
h ‖∇(u− uh)‖ η Xη
5.000× 10−1 4.9542× 10−2 5.0314× 10−2 0.98466
2.500× 10−1 2.5163× 10−2 2.5114× 10−2 0.99806
1.250× 10−1 1.2581× 10−2 1.2574× 10−2 0.99937
6.250× 10−2 6.2909× 10−3 6.2881× 10−3 0.99956
3.125× 10−2 3.1455× 10−3 3.1446× 10−3 0.99972
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 115
Lemma 3.17 Zu u ∈ V0 existiert eine Quasi-Interpolierende Ihu ∈ V h0 mit
‖u− Ihu‖K ≤ C1(βωK)hK ‖∇u‖ωK
∀K ∈ T h, (3.17a)
‖u− Ihu‖E ≤ C2(βωK)h
1/2E ‖∇u‖ωK
∀E ∈ E h. (3.17b)
Hierbei sei ωK die Vereinigung aller Elemen-te mit mindestens einer gemeinsamen Eckemit K (siehe rechts) und βωK
eine obereSchranke fur das Elementenseitenverhaltnisin ωK .
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 116
Lemma 3.18 Sei φ ein auf einem Drei- oder Rechteckelement K definier-tes Polynom. Dann existiert eine (nur vom Seitenverhaltnis abhangige)Konstante C mit
‖∇φ‖K ≤C
hK‖φ‖K . (3.18)
Hierbei bezeichnet hK die Lange der langsten Kante in K.
Satz 3.19 Wird die Losung der Variationsaufgabe (3.2) approximiert durchbilineare Rechteckelemente auf einem Gitter T h mit oberer Schranke β∗ furdas Seitenverhaltnis, so gilt fur den durch (3.15) definierten Fehlerschatzermit lokalem Funktionenraum definiert durch (3.16) die Abschatzung
‖∇(u− uh)‖ ≤ C(β∗)
∑K∈T h
η2K + h2
∑K∈T h
‖RK −R0K‖2K
1/2
. (3.19)
Hierbei bezeichnet h die Lange der langsten Kante in T h.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 117
Satz 3.20 Wird die Losung der Variationsaufgabe (3.2) approximiert durchbilineare Rechteckelemente auf einem Gitter T h mit oberer Schranke β∗ furdas Seitenverhaltnis, so gilt fur den durch (3.15) definierten Fehlerschatzermit lokalem Funktionenraum definiert durch (3.16) die Abschatzung
ηK ≤ C(βωK)‖∇(u− uh)‖. (3.20)
Hierbei bezeichnet ωK die Vereinigung der (5) Elemente, die mit K ge-meinsame Kanten haben.
3.5 Approximationsfehler TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 118
3.6 Matrixeigenschaften
Vektordarstellung von FE-Funktionen: sei φ1, . . . , φn Basis von V h0 .
Identifiziere
v =
n∑j=1
vjφj ∈ V h0 ←→ v =
v1
...
vn
∈ Rn.
L2(Ω)-Norm:
‖v‖2 = (v, v) = v>Mv , [M ]i,j = (φj , φi) Massenmatrix
Energienorm:
‖v‖2a = a(v, v) = v>Av , [A]i,j = a(φj , φi) Steifigkeitsmatrix
3.6 Matrixeigenschaften TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 119
Lemma 3.21 Fur FE-Raume aus P1- oder Q1-Elementen basierend aufeiner quasiuniformen Familie von Zerlegungen T hh>0 von Ω ⊂ R2
existieren von h unabhangige Konstanten c und C mit
ch2min v
>v ≤ v>Mv ≤ Ch2 v>v .
Hierbei bezeichne hmin := minK∈T h hK fur jede Zerlegung T h von Ω.
Definition 3.22 Eine Familie von Zerlegungen T hh>0 von Ω heißt uni-form, falls fur alle T h gilt hmin ≥ ch.
Korollar 3.23 Fur FE-Raume aus P1- oder Q1-Elementen basierend aufeiner uniformen Familie von Zerlegungen T hh>0 von Ω ⊂ R2 existierenvon h unabhangige Konstanten c und C mit
ch2 v>v ≤ v>Mv ≤ Ch2 v>v .
3.6 Matrixeigenschaften TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 120
Bemerkungen 3.24(a) Fur Zerlegungen von Rd ist h2 durch hd zu ersetzen.(b) Die Abschatzung gilt ebenso fur die Raume Pk, Qk, k ≥ 2 mit von k
abhangigen Konstanten c und C.(c) Bei der Galerkin-Diskretisierung der RWA (3.2) geht die rechte Seite f
der Differentialgleichung ein durch den Vektor
f =
(f, φ1)
...
(f, φn)
∈ Rn.
M.a.W.: Hier wird die Funktion f durch deren L2-Projektion nach V h
reprasentiert. Im Gegensatz zu Ansatz- und Testfunktionen ist f nichtdie Koordinatendarstellung der L2-Projektion von f bezuglich der Basisφ1, . . . , φn.
3.6 Matrixeigenschaften TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
Finite Elemente I 121
Satz 3.25 Fur P1 bzw. Q1-Elemente bezuglich einer Familie uniformerTriangulierungen T hh>0 gilt fur die Galerkin-Matrix A in (3.5)
ch2 ≤ v>Av
v>v≤ C ∀0 6= v ∈ Rn (3.21)
mit zwei von h unabhangigen Konstanten c und C. Hierbei bezeichnet h dieLange der langsten Kante in T h und n die Dimension des FE-Raums V h
0 .
Bemerkungen 3.26(a) Die Ungleichungen (3.21) beschranken den Wertebereich, und, da A
symmetrisch, somit das Spectrum der Matrix A.(b) Insbesondere gilt fur die Konditionszahl κ(A) von A
κ(A) = ‖A‖ ‖A−1‖ =λmax(A)
λmin(A)≤ C
ch−2.
3.6 Matrixeigenschaften TU Bergakademie Freiberg, WS 2010/111
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