TRANSPORTE DE FLUIDOS E CALOR
universidade de aveiro Mª Helena Fernandes
ESCOAMENTO DE FLUIDOS E SISTEMAS MULTIFÁSICOS
2. ESCOAMENTO
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Escoamento de Fluidos e Regimes de Escoamento
Quando um fluido escoa dentro de um tubo
ou sobre uma superfície plana,
a velocidade em planos perpendiculares à
corrente não é sempre a mesma,
não é uniforme.
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A variação da velocidade pode visualizar-se
através de linhas de corrente (“streamlines”),
cuja forma depende:
- da superfície;
- do tipo de regime do fluxo.
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Linhas de Corrente
Num escoamento (ou movimento)
estacionário a velocidade do
fluido em cada ponto
mantém-se constante no tempo,
embora varie, em geral, de ponto
para ponto.
A trajectória
de uma
porção de
fluido é, em
cada ponto,
tangente à
velocidade do
fluido nesse
ponto.
A esta linha tangente, em cada
ponto, à velocidade do fluido,
chama-se linha de corrente.
No movimento estacionário as
linhas de corrente não mudam
de configuração.
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• Efeito da superfície:
Linhas de corrente num
tubo rectilíneo
Linhas de corrente numa constricção
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Linhas de corrente na passagem por um objecto imerso
• Efeito da superfície:
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The Honda design team examined existing aerodynamic form, seeking to make the most of potential
for even higher performance. Now, the strength of the original NSX takes a streamlined new edge.
http://www.honda.com.au/showroom/nsx/nsx-coupe/exterior/aerodynamics.htm
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The BMW Z1 has remarkable aerodynamics for a roadster.
http://www.bmwz1.co.uk/z1aero.htm
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1958 Chevrolet Impala
http://www.58classicchevy.com/
(A aerodinâmica é o estudo do movimento de fluidos e das forças que exercem em corpos
sólidos neles imersos).
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• Efeito do tipo de regime:
O regime de escoamento pode definir-se pelo valor
do nº de Reynolds:
Em situações habituais em tecnologia:
• Regime LAMINAR Re 3500 (Re 2100 certos autores) • Regime TURBULENTO Re 10 000
• Regime de TRANSIÇÃO 2100 >Re>10 000
μρvDRe
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Laminar – as linhas de corrente não interferem umas com as
outras e podem considerar-se paralelas;
Turbulento – as linhas de corrente são circulares (turbilhões).
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• Efeito do tipo de regime:
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• Efeito do tipo de regime:
A geometria do sistema (arranjo das superfícies circundantes) é
fundamental para o estabelecimento dos limites de Re e do tipo
de regime (Re=10 pode originar turbulência)
Correntes gasosas sobre um
cadinho vazio
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PERFIS (DISTRIBUIÇÃO) DE VELOCIDADES
PARA ESCOAMENTO EM REGIME LAMINAR
a) Escoamento num tubo de secção recta circular
b) Escoamento entre placas paralelas
c) Escoamento num espaço anelar
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a) Perfil de velocidades para escoamento laminar,
tubo de secção recta circular:
Tubo horizontal com um elemento de volume concêntrico, ABCD
• Escoamento em estado estacionário
Balanço de forças sobre o elemento ABCD é uma força global (líquida) nula.
• Forças normais às superfícies circulares laterais
• Força de corte sobre a superfície cilíndrica envolvente.
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Força sobre AB = Pr2 ( F=PA)
Força sobre CD = r2
Força sobre a superfície envolvente = R 2r dl
A
FP
dldl
dPP
R – pressão – força resistente ao movimento relativo de 2
camadas adjacentes de fluido por unidade de área de contacto
entre as camadas (definição de viscosidade, lei de Newton)
r
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u=0
u
y
A
A
Fatrito A dy
du
Rdr
duμ dr
duμ 2r dl
Força sobre a superfície envolvente = R 2r dl
dy
du
A
FOu:
AFdy
duμ
Fazendo
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Para uma superfície envolvente cilindrica A=2r dl
Resulta para a
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Balanço de forças:
P r2 - r2 + 2r dl = 0
Desenvolvendo:
Integrando:
dl
dl
dPP
dr
duμ
dr
du
r
2
dl
dP
r
r
rdrdl
dPdu
02
1
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Integrando:
r
r
rdrdl
dPdu
02
1
cter
dl
dPru
22
1)(
2
Cte: u(r)=0 quando r=d/2 (condição fronteira)
(a velocidade do fluido é nula junto às paredes) 82
2 2d
dl
dPCte
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Perfil de velocidades
2
2
44
1)( r
d
dl
dPru
(Parábola)
Velocidade máxima umax= u(r=0)
16
2
max
d
dl
dPu
u
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Razão u(r)/umax
2
2
max
41
)(
d
r
u
ru
As velocidades anteriores são pontuais.
Em termos práticos, trabalha-se com velocidades médias,
relacionáveis com a velocidade máxima.
rectaçãoArea
Qu volúmico
sec
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Considere-se uma velocidade constante num espaço anelar de raios r e (r+dr):
r
r+dr
O caudal elementar dQ é dado por:
dQ=da u(r)
dQ=[(r+dr)2-r2]u(r)
dQ=2r dr u(r)
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Mas donde 2
2
max
41
)(
d
r
u
ru
2
2
max
41)(
d
ruru
dQ= 2 umax r dr
2
241
d
r
O caudal total Q, referente à área total da secção recta, calcula-se pelo integral:
dQ 2 umax dr 2/
0
d
r
2
241
d
r
8max
2udQ
Sendo dQ=2r u(r) dr
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Sendo vem
4/2d
Q
A
Qu
u
8max
2ud2
4
d
u2maxu
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b) Perfil de velocidades para escoamento laminar,
entre placas paralelas:
L (comprimento das placas) deve ser >> d0 (movimento unidireccional)
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2
2
42
1)( x
d
dl
dPxu a
Perfil de velocidades
(Parábola)
Velocidade máxima (plano central entre placas )
8
2
max
ad
dl
dPu
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c) Perfil de velocidades para escoamento laminar,
num espaço anelar:
s = raio externo do anel
si = raio interno do anel
si
s
dr r
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Perfil de velocidades
(Parábola)
s
r
s
s
ssrs
dl
dPru
i
i ln
ln4
1)(
2222
si
s
dr r
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PERFIS (DISTRIBUIÇÃO) DE VELOCIDADES
PARA ESCOAMENTO EM REGIME TURBULENTO
a) Escoamento num tubo de secção recta circular
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a) Perfil de velocidades para escoamento turbulento,
tubo de secção recta circular:
y
r
s
s = raio do tubo
y = distância à parede
r = (s – y)
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Lei 1/7 de Prandt
7/1
max
)(
s
y
u
ru
Não há soluções exactas,
mas soluções aproximadas baseadas em:
- relações empíricas;
- nos adimensionais.
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Velocidade média:
rectaçãoArea
Qu volúmico
sec
O caudal elementar dQ, referente a um anel elementar de raios
r+dr e r, no qual a velocidade u(r) é constante, é dado por:
dQ= u(r) 2r dr
Mas r= s - y
Em termos de y: dy
dy
dydy
dy
dsdy
dy
dr ( s não depende de y )
dr= -dy
dQ=-2 (s-y)dy u(r)
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Q =0,82
Calcula-se por integral:
Mas e
Donde: dQ=-2 (s-y) dy
7/1
max
)(
s
y
u
ru7/1
max)(
s
yuru
7/1
max
s
yu
dys
yysudQ
y
sy
7/10
max )(2
2
60
49sQ = 0,82 maxu
maxu 2s
maxu 2s
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= 0,82
Pela lei 1/7 de Prandt:
Vem: u maxu
7/1
max
)(
s
y
u
ru 7/1max
)(
s
y
ruu
e
Sendo
A
Qu
2s
Q=
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Onde: 7/1
)(82,0
s
y
ruu
7/1
)(82,0
y
sruu
82,0
1)(
u
ru7/1
s
yComo y=s-r
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Perfil de velocidades
7/1
122,1)(
s
r
u
ru(Parábola esbatida)
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Laminar Turbulento
=0,50 umaxu =0,82 u
maxu
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Exemplos de aplicação
1. Num tubo com 5 cm de diâmetro interno,
trace os perfis de velocidades para água a 20
ºC que nele circula nas seguintes condições:
a) A um caudal de 5,88 l.min-1
b) A um caudal de 58,8 l.min-1.
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Exemplos de aplicação
2. Um caudal de água de 0,065 m3.s-1 circula
numa tubagem com 9 cm de diâmetro.
Calcule a velocidade da água nos pontos situados
às distâncias de 1/3 R e 2/3 R (com R=raio da
tubagem), contadas a partir do centro.
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Resolução Problema 1.
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