3. 1. 2 空间向量的数量积运算
1 .了解空间向量夹角的概念及表示方法.
2 .掌握空间向量数量积的计算方法及应用.
3 .能将立体几何问题转化为向量运算问题.
点 O ,作 OA= a, OB= b ,则 __________ 叫做向量 a, b 的夹角,
1 .如图 3- 1- 6 ,已知两个非零向量 a, b ,在空间任取一→ →
记作 __________ .
图 3- 1- 6
∠AOB
〈 a, b 〉
2.向量 a,b 的夹角〈a,b〉的范围是____________,当
〈a,b〉=π2时,称___________________________,记作_______.
3.|a||b|cos〈a,b〉叫做______________________,记作
_________,即_________________________________________.
注意:a·a=|a|2或|a|= a2.
[0 , π]
向量 a , b 互相垂直 a⊥b
a , b 的数量积
a·b a·b = |a||b|cos 〈 a , b 〉
4 .空间向量的数量积满足以下运算律:
(1)(λa)·b= __________.
(2)a·b= __________.
(3)a·(b+ c)= ______________.
注意:一般情况下 (a·b)·c 与 a·(b·c) 是不相等的.
5 .线线垂直.
若 a, b 是非零向量,则 a⊥b⇔__________.
λ(a·b)
b·a
a·b+ a·c
a·b = 0
【要点】利用数量积求夹角与长度.
【剖析】根据空间向量数量积的定义:a·b=|a||b|·cos〈a,b〉,
那么空间两个非零向量 a,b的夹角的余弦 cos〈a,b〉=a·b
|a||b|,
这个公式在今后的求解及证明中应用很广泛;在空间两个向量
的数量积中,特别地,a·a=|a||a|·cos0°=|a|2,所以向量 a的模
|a|= a2,将其推广:|a±b|= a±b2= a2±2a·b+b2,|a+b+c|
= a+b+c2= a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a.
(1)AB·AC; (2)AD·BD; (3)GF·AC.
题型 1 求向量的数量积
例 1 :如图 3- 1- 7 ,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对
角线长都等于 a ,点 E, F, G 分别是 AB, AD, DC 的中点,求
下列向量的数量积:
→ → → → → →
图 3- 1- 7
思维突破:在图形中求向量的数量积时注意观察向量的方
向,正确求出其夹角,如此题中〈GF→ ,AC→ 〉=π,而不是 0.
自主解答:(1)∵ |AB→ |=|AC→ |=a,〈AB→,AC→ 〉=60°,
∴ AB→ ·AC→ =a·acos60°=12a2.
(2)∵ |AD→ |=a,|BD→ |=a,〈AD→ ,BD→ 〉=60°,
∴ AD→ ·BD→ =a·acos60°=12a2.
(3)∵ |GF→ |=12a,|AC→ |=a,又GF→ ∥ AC→ ,
∴ 〈GF→ ,AC→ 〉=π.
∴ GF→ ·AC→ =12a·acosπ=-
12a2.
【变式与拓展】
则 a·b+ b·c+ c·a= ( )
A. 1.5 B .- 1.5 C. 0.5 D .- 0.5
1.在边长为 1的正三角形ABC中,设BC→=a,AB→=c,AC→=b,
C
解析:∵ BC→ =a,AB→=c,AC→ =b,
∴ |a|=|b|=|c|=1.
且〈a,b〉=2π3,〈b,c〉=
π3,〈c,a〉=
2π3,
∴ a·b=12,b·c=
12,c·a=-
12.
∴ a·b+b·c+c·a=12.
PC 的自身数量积,由已知向量的模及向量间的夹角,得其模的
题型 2 求线段的长度例 2 :已知在▱ ABCD 中, AD= 4, CD= 3 ,∠ D= 60° ,
PA ⊥平面 ABCD ,并且 PA = 6 ,求 PC 的长.
思维突破:求 PC 的长,先把 PC 转化为向量,然后求向量
→
平方,再开方即为所求.
自主解答:∵ PC→ =PA→+AD→ +DC→ ,
∴ |PC→ |2=(PA→+AD→ +DC→ )2
=PA→ 2+AD→ 2+DC→ 2+2PA→ ·AD→ +2AD→ ·DC→ +2DC→ ·PA→
=62+42+32+2|AD→ |·|DC→ |cos120°=61-12=49.
∴ PC=7.
求 |PC|.
【变式与拓展】
2 .已知 PA ⊥平面 ABC ,∠ ABC= 120°, PA= AB= BC= 6 ,→
解:∵ PC→ =PA→+AB→+BC→ ,
∴ |PC→ |2=(PA→+AB→+BC→ )2
=PA→ 2+AB→ 2+BC→ 2+2PA→ ·AB→+2AB→ ·BC→ +2BC→ ·PA→
=62+62+62+2|AB→ |·|BC→ |cos60°=108+36=144.
∴ PC= 144=12.
题型 3 向量的夹角问题
例 3 :如图 3- 1- 8 ,在空间四边形 OABC 中, OA= 8, AB= 6 ,
AC= 4, BC= 5 ,∠ OAC= 45° ,∠ OAB= 60° ,求 OA 与 BC 夹角
的余弦值.
图 3- 1- 8
思维突破:利用数量积求 cos〈OA→,BC→〉时,必须先求出两
向量的数量积OA→ ·BC→及向量的模|OA→ |,|BC→ |,才能求出 cos〈OA→,BC→〉,
从中求得向量夹角.
自主解答:∵ BC→ =AC→ -AB→,
∴ OA→ ·BC→ =OA→ ·AC→ -OA→ ·AB→
=|OA→ |·|AC→ |·cos〈OA→ ,AC→ 〉-|OA→ |·|AB→ |·cos〈OA→ ,AB→〉
=8× 4× cos135°-8× 6× cos120°=24-16 2.
∴ cos〈OA→ ,BC→ 〉=OA→ ·BC→
|OA→ |·|BC→ |
=24-16 2
8× 5=
3-2 25 .
∴ OA与 BC夹角的余弦值为3-2 2
5 .
【变式与拓展】
3 .如图 3- 1- 9 ,在平行六面体 AC′ 中,∠ B′BA =
∠B′BC =∠ ABC= 60°, AB= 1, AD= 2, AA′= 3 ,求 A′D
与 D′C 所成的角的余弦值.
图 3- 1- 9
解:根据平行四边形法则,有A'D→ =A'A→ +AD→,D'C→ =A'B'→ +A'A→ ,
∴ A'D→ ·D'C→ = (A'A→ +A'D'→ )·(A'B'→ +A'A→ )=A'A→ ·A'B'→ +A'A→ ·A'A→ +
A'D'→ ·A'B'→ +A'D'→ ·A'A→ =3× cos60°+3× 3× cos0°+2× cos120°+
2× 3× cos120°=132,又根据余弦定理,得|A'D→ |= 7,|D'C→ |= 13,
∴ cos〈A'D→ ,D'C→ 〉=A'D→ ·D'C→
|A'D→ ||D'C→ |=
132
7× 13=
9114 .
∴ 所求角的余弦值是91
14 .
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