7/17/2019 2B. FLUJO LAMINAR EN UNA RENDIJA ESTRECHA.
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2B. FLUJO LAMINAR EN UNA RENDIJA ESTRECHA.
(a) Un fluido newtoniano está en flujo laminar en una rendija estrecha formada por dos
pare- des paralelas separadas una distancia 2B. Se entiende que B << W de modo
que los !efectos de "orde! carecen de importancia. #acer un "alance diferencial de
cantidad de mo$imiento % o"tener las si&uientes e'presiones para las distri"uciones de
densidad de flujo de cantidad de mo$imiento % de $elocidad
n estas e'presiones * + p , &h + p -&/.
(") 01uál es la relacin de la $elocidad media a la $elocidad má'ima para este flujo3
(c) 4"tener la ecuacin análo&a a la de #a&en-*oiseuille para la rendija.
(d) la"orar un di"ujo si&nificati$o para mostrar por que el análisis anterior no es
aplica"le si B + W.
(e) 01mo puede o"tenerse el resultado del inciso ") a partir de los resultados de
52.63
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7i&. 2B.8 7lujo a tra$9s de una rendija con B <i W << :.
SOLUCIÓN:
a) *uesto que el flujo de fluido está en la direccin / $' + ; $% + ; % slo $/ e'iste.
demás $/ es independiente de / % es si&nificati$a a postular que la $elocidad
$/ + $/ (') % la presin p + p (/).
:os =nicos componentes no e$anescentes del tensor de tensiones son >'/ + >/' que
depende slo de '.
1onsideremos ahora una losa rectan&ular del&ada (cáscara) perpendicular a la
direccin ' se e'tiende una distancia W en la direccin ? % una distancia : en ladireccin /.
una tasa de impulso /- equili"rar so"re esta cáscara del&ada de espesor @' en el
lAquido es de la forma
i$idiendo la ecuacin anterior por :W@' % el lAmite se toma como @' se apro'ima a
cero o"tenemos
n este punto tenemos que escri"ir e'plAcitamente qu9 componentes C'/ % C//
están haciendo uso de la definicin de C in qs. D.E-D a 8 % las e'presiones para
>'/ % >// en la ta"la B.D. sto ase&ura que no se pierda nin&una de las formas de
transporte de momento. *or lo tanto o"tenemos
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e acuerdo con los postulados que $/ + $/ (') $' + ; $% + ; % p + p (/) $emos que
(i) desde $' + ; el t9rmino $'$/ es cero.
(ii) desde $/ + $/ (') el t9rmino >// es cero.
(iii) desde $/ + $/ (') el t9rmino $/$/ es la misma en am"os e'tremos de la ranura
por lo que los t9rminos con$ecti$os se cancelan.
l lado derecho puede ser compacta % con$enientemente escrito por la introduccin de
la presin * modificado que es la suma de la presin % t9rminos &ra$itacionales.
:a definicin &eneral de la presin modificada es * + p , &h donde h es la distancia
hacia arri"a (en la direccin opuesta a la &ra$edad) a partir de un plano de referencia
de eleccin. *uesto que los puntos del eje / hacia a"ajo en este pro"lema h + - / %
por lo tanto * + p - &/. *or lo tanto *; + p; en / + ; % *: + *: - &:
en / + : entre&a p; - p: , &: + *; - *:.
Fnte&racin conduce a la si&uiente e'presin para la distri"ucin de la tensin.
Gale la pena seHalar que las dos =ltimas ecuaciones se aplican a newtoniana % no a
fluido newtoniano. :a constante de inte&racin 1D se determina despu9s utili/ando
condiciones de contorno.
Sustitu%endo la le% de la $iscosidad de Iewton por >'/ en la ecuacin anterior da
:a ecuacin diferencial de primer orden anterior simplemente se inte&ra para o"tener
el si&uiente perfil de $elocidad
Condiciones límite:
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BC1: at x = B; vz = 0
BC2: at x = − B; vz = 0
l uso de estos las constantes de inte&racin pueden ser e$aluados como 1D + ; %
12 + (*; J *:) B2
K (2L:). Sustitu%endo 1D + ; en la ecuacin de tensin la
e'presin final se encuentra para ser lineal dada por
demás la sustitucin de las constantes de inte&racin da la e'presin final para el
perfil de $elocidad como
Se o"ser$a que la distri"ucin de $elocidad de flujo laminar incompresi"le de un fluido
newtoniano en una rendija estrecha es para"lica.
b) :a $elocidad má'ima se produce en ' + ; (donde d$/ K d' + ;). *or lo tanto
:a $elocidad media se o"tiene di$idiendo el caudal $olum9trico por el área de seccintrans$ersal como se muestra a continuacin.
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sA la relacin de la $elocidad media a la $elocidad má'ima para el flujo de fluido
newtoniano en una rendija estrecha es 2K8.
sto parece ra/ona"le %a que $/ K $/ ma' + M para el flujo en una tu"erAa circular.
*ara una rendija con un área de seccin trans$ersal más &rande lle$a el fluido queflu%e a una $elocidad ma%or que para el flujo en una tu"erAa circular.
sA $/ K $/ má' para rendijaN $/ K $/ ma' para un tu"o circular.
c) :a tasa de flujo de masa es el producto de la densidad el área de la seccin
trans$ersal (2BW) % el promedio de $elocidad $/.
w = ρ (2BW) v
z
w = ρ (2BW) 2 (P
0− P
L )B
3 2µL
w =2 (P
0− P
L)B Wρ
3 µL
:a $elocidad de flujo frente a la caAda de presin (w $s. @*) e'presin anterior es elanálo&o de hendidura de la ecuacin de #a&en *oiseuille (ori&inalmente para tu"os
circulares).
s un resultado que ca"e destacar porque proporciona el punto de partida para flujo
pro&resi$o en muchos sistemas (flujo radial entre dos discos circulares paralelosO % el
flujo entre dos esferas conc9ntricas estacionarias).
d)l análisis anterior no es aplica"le si B + W de"ido a la presencia de una pared en
%+ ; % + B causarAa $/ $ariar si&nificati$amente en P%Q además de ' entonces$/ + $/ (' %).
Si W + 2B entonces una solucin puede o"tenerse para el flujo en un conducto
cuadrado.
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e)
e 52.6 tenemos
1omo para este caso se tra"aja con un solo fluido entonces se reali/an las si&uientesconsideraciones
D)
*or lo que las ecuaciones se transforman de la si&uiente manera
*or lo tanto
2) " + B
8) Rultiplicar por BW ρ
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