8/19/2019 26.predavanje
1/19
1
Neka teorijska pitanja
8/19/2019 26.predavanje
2/19
2
PRVI IZVOD
)( saili 00 x f y x ′′
′ ≡ ′ = = + −
→ →
y f xy
x
f x x f x
x
xx x0
00 0
0 0( ) lim lim( ) ( )
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
<
>0
Neka je y = f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x0unutrašnja tačka tog intervala, ∆x ( ) priraštaj argumenta i
∆y odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična
vrijednost količnika priraštaja funkcije i priraštajaargumenta, kad priraštaj argumenta teži nuli, onda za
funkciju y = f(x) kažemo da je diferencijabilna u tački x0.
Graničnu vrijednost količnika priraštaja funkcije ∆y ipriraštaja argumenta ∆x, kad ∆x→0, zovemo (prvim)
izvodom funkcije u tački x0 i označavamo sa
.
8/19/2019 26.predavanje
3/19
3
• Prvi izvod funkcije y = f(x) u tač
ki x0geometrijski predstavlja koeficijent pravcatangente grafika u tački M0(x0,y0).
xe
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x x
x
x f x x f y
x
x x
x
x x x
x x
1
ln
1lnlim1ln1
limln
lim
)ln()ln(lim
)()(lim
1
1
000
00
=
=
∆+=
∆+
∆=
∆
∆+
=∆
−∆+=
∆
−∆+=′
∆
→∆→∆→∆
→∆→∆
8/19/2019 26.predavanje
4/19
4
• Izvod funkcije- definicija.
• Primjer y=x2
8/19/2019 26.predavanje
5/19
5
( )
( )( ) ( ) x x x x
x x x x x x
x
x x x
x
x f x x f y
x x
x x
22limlim
lim)()(lim
00
22
00
=∆+=∆
+∆+−∆+
=∆
−∆+=∆
−∆+=′
→∆→∆
→∆→∆
• Samo primjer. Teorija kao kod prethodnog
8/19/2019 26.predavanje
6/19
6
• Ako u tački 2 diferencijabilnafunkcija f(x) ima lokalni minimum, a
u tački 3 lokalni maksimum, koje je
od sledećih tvrđenja tačno:
a) f(3)≥f(2)
b) f(3) >f(2)
c) f ′(5)=0
d) f ′(2)- f ′(3)=0
8/19/2019 26.predavanje
7/19
7
• Riješiti nejednačinu 2x+3y≤6.
8/19/2019 26.predavanje
8/19
8
2x+3y≤6 ⇒ F(x,y)=2x+3y-6
⇒ F(0,0)=-6
8/19/2019 26.predavanje
9/19
9
• Veza između određenog i neodređenog
integrala (Njutn-Lajbnicova formula)-formulacija, dokaz.
• Varijacija – bez dokaza (objašnjenjepojmova)
8/19/2019 26.predavanje
10/19
10
Označimo sa P(x) površinu ograničenu grafikom
neprekidne, pozitivne funkcije y = f(x), ordinatama f(a) i
f(x) i intervalom [a,x], x < b i sa ∆P(x) priraštaj tepovršine ako se x promijeni za ∆x > 0 (šrafirani dio).
8/19/2019 26.predavanje
11/19
11
Ako su m i M najmanja i najveća vrijednost
funkcije f(x) na intervalu [x,x+∆
x], onda jetj.)( x M xP xm ∆⋅≤∆≤∆⋅ M
x
xPm ≤
∆
∆≤
)(
⇒==→∆→∆
)(limlim jeKako00
x f m M x x
⇒=∆
∆
→∆
)()(
lim0
x f x
xP x
′ =P x f x( ) ( ) ⇒
P(x) primitivna funkcija funkcije f(x).
F(x) proizvoljna primitivna funkcija za f(x) ⇒
P(x) = F(x) + c ⇒ P(b) = F(b) + c i P(a) = F(a) + c.
8/19/2019 26.predavanje
12/19
12
slijedi)()(Iz
∫=
x
a
dx x f xP
P(a) = 0 i, dakle, F(a) = -c,
P b f x dx F b F a F xa
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )|= = − ≡∫Njutn-Lajbnicova formula
8/19/2019 26.predavanje
13/19
13
• Dinamika tržišne cijene kod
linearnog modela tržišta jednogdobra.
8/19/2019 26.predavanje
14/19
14
Okvir modela
cijenaravnotezna
)0,(
)0,(
δ β
γ α δ γ δ γ
β β
+
+=
>+−=
>−=
P
PQ
PQ
s
d
8/19/2019 26.predavanje
15/19
15
Vremenska putanja
[ ] PePP
ePt P
jP jdt
dP
P j jPP jdt
dP
jQQ j
dt
dP
kt
t j
sd
+−=
+
++
+
+−=
+=++
+−+=−+−=
>−=
−
+−
)0(
)0()(
)()(
tj.,)()()(
)0( )(
)(
δ β γ α
δ β γ α
γ α δ β
δ β γ α δ γ β α
δ β
8/19/2019 26.predavanje
16/19
16
Dinamička stabilnost ravnoteže
O
P(t): slučaj P(0)>P _
P _
P(0)
P(0)
P(t)
P(t): slučaj P(0)
8/19/2019 26.predavanje
17/19
8/19/2019 26.predavanje
18/19
18
• Obično uzimamo funkciju iz nekog od
sljedećih skupova:{ } { } { } { }y y ax b y y ax b y y ax bx y y a
b
xy y ab
x| , | , | , | , |= + = + = + = +
=2 2
x x x n1 2, , ... ,y y y n1 2, , ... ,
- vrijednosti argumenta x
- odgovarajuće vrijednosti funkcije
Prema principu (metodi) najmanjih kvadratasmatraćemo da, od svih funkcija datog skupa,
funkcija y = y(a,b) najbolje odražava zavisnost
veličina x i
ako zbir ( ) ( ) ( ) ( )G a b y y y y y yn n, ...= − + − + + −1 12
2 2
2 2
y
gdje je yi = y(a,b)(xi), ima najmanju vrijednost.
8/19/2019 26.predavanje
19/19
19
• Kada funkcija G(a,b) ima najmanju?
• Ako su njeni parcijalni izvodi (ako postoje) jednaki nuli, tj.
∂
∂
∂
∂
G
a
G
b
= =0 0,
• Normalne jednačine funkcije y = y(a,b).
• Njihovim rješavanjem (kao sistema) dobijamo
parametre a i b, odnosno onu funkciju datog oblikakoja po metodu (principu) najmanjih kvadrata
najbolje odražava zavisnost datih veličina