1
PROBABILITAS
A. PENGERTIAN PROBABILITAS
Probabilitas atau Peluang adalah : derajat tau tingkat kepastian atau keyakinan
dari munculnya hasil percobaan statistic. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P
Untuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas terlebih dahulu harus
memahami analisis kombinatorial, yaitu analisis bilangan factorial,permutasi dan
kombinasi. Secar umum probabilitas dapat dipahami sebagai suatu nilai dari 0 s/d 1
yang mennjukkan seberapa besar terjadinya suatu peristiwa, suatu kejadian (event),
adalah sekumpulan atau lebih dari hasil-hasil yang mungkin pada suatu eksprimen.
Adapun hasil (out come) adalah sekumpulan data yang merupakan seluruh hasil dari
eksprimen. Sedangkan eksprimen sendiri menjelaskan suatu proses yang dilakukan
untuk mendapat hasil-hasil yang diamati lebih jauh.
Sebagai contoh, proses pelemparan dadu untuk mendapatkan hasil adalah
merupakan suatu eksprimen, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah keseluruhan hasil (out
comes) yang mungkin terjadi. Kumpulan angka genap (2, 4, 6) atau kumpulan angka
ganjil (1, 3, 5) adalah kejadian (event).
Rumus peluang:
B. TUJUAN DAN KEGUNAANYA :
Tujuanya :
dengan adanya tujuan probabilitas, mahasiswa akan dapat:
1. Menjelaskan peranan statistic dalam mengambil keputusan.
2. membedakan pengertian deskriptif dengan inferensia.
3. dapat menyajikan data dalam bentuk tabel dan grafik.
4. memudahkan mahasiswa dalam mengolah data.
2
Kegunaanya :
Dengan adanya statistic probabilitas atau peluang kita dapat memperkirakan
kejadiaan-kajadiaan yang akan muncul.Banyak kejadian dalam kehidupan sehati-hari
yang slit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian dimasa yang akan datang misalnya,
Apakah nanti malam akan turun hujan? Meskipun kejadiaan tersebut tidak pasti,tetapi
kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat
keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Bila ada mendung dan langit semakin gelap,
maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan turun.
C. BAG IAN - BAG IAN PROBABILITAS
1.BILANGAN FAKTORIAL
Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan factorial ditulis dengan n! dan di
defenisikan sebagai berikut:
Rumus: n!= n (n-1) (n-2)..3.2.1
O! = 1dan 1! = 1
2. PERMUTASI
Susunan- susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan
mengambilseluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan
anggota dari masing-masing susunan tersebut yang ditulis dengan p
Rumus =
Beberapa jenis permutasi
a. permutasi melingkar ( keliling)
suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu
himpunan secara melingkar.
3
Rumus ; banyaknya permutasi = (n-1)!
b. permutasi dari sebagian anggota yang sama jenisnya.
Bila kita mempunyai himpunan yang terdiri atas n anggota, maka ada
kemunhkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama.
Rumus : =
3. KOMBINASI
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan
mengambil seluruh atau sebagian dari aanggota himpunan itu tanpa memberi arti
pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.
RUMUS : nCr=
KONSEP DASAR PROBABILITAS
1. pengantar menuju pemahaman konsep probabilitas
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui debngan
pasti apalagi kejadian dimasa yang akan dating, misalnya sebagai berikut ;
1. apakah nanti malam akan dating hujan.
2. apakah pesawwat garuda akan berangkat tepat waktu.
Begitu juga dalam percobaan statistic,kita tidak bias mengetahui dengan pasti hasil-
hasil yang akan muncul misalnya:
Pada melemparan sebuah uang logam kita tidak tau dengan pasti hasilnya.apakah
yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu.
4
2. perumusan probabilitas
a. perumusan klasik
bila kejadiian E terjsdi dalam n cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan
masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama
untuik muncul,maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai
berikut;
rumus
b.rumusan dengan frekuensi relatife
probabilitas empiris dari suatu kejadian dengan memekai frekuensi relative dari
terjadinya suatu kejadian dengan syarat banyakny pengamatan atau banyaknya
sampel n adalah sangat besar.
Rumus :
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi
opada suatu percobaan statistic disebut ruang sample.yang dilambanmgkan dengan
himpunan S,sedangkan anggota-anggota dari S disebut titik sampel.
Rumus : P(A) = n (A) m
n (S) n
SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIANYA
5
Dengan pengetahuan kejadian A ruang sample S dan pelung kejadian A pada
S yaitu P(A) = n ( A) = m
n (S) n
sifat 1. 0 < P(A) < 1
penjelasan sifat ini, A merupakan himpunan dari S yaitu A C S, maka banyaknya
anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S yaitu n (A) ≤ n (S) sehingga
0 < n (A) < 1 atau 0 < P(A) < 1…(1)
sifat 2. dalam hal A = 0 , himpunan kosong artinya A tidak terjadi pada S, maka n
(A) = o, sehingga p(A) = n (A) = 0 =0
n (S)
sifat 3 = dalam hal A = S maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyakny
anggota S, maka n (A) = n (S) = n sehingga p(A) = n (A) = n = 1
n (S) n
bila hasil (1), (2) dan (3) digabunmg maka diperoleh sifat 0 ≤ P(A) < 1
dalam hal P(A) = 0, dikatajkan A kejadian yang mustahil terjadi dan dalam hal P(A)
= 1 dikatakan A kejadian yang pasti terjadi.
PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK A U B DAN A ∩ B
Probabilitas kejadian A U B dirumuskan sebagai berikut :
P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
Penjelasan lahirnya rumus diatas kita telah tahu bahwa :
n(A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
bila dua ruas persamaan dibagi dengan n (S) maka diperoleh:
n (A U B) = n (A) + n(B) – n (A B)
n(S) n(S) n(S) n(S)
6
sehingga diperoleh ; P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
DUA KEJADIAN SALING LEPAS
Bila A dan B dua kejadian lepas maka P(A ∩ B) P( 0 ) = 0,sehingga probanbilitas
kejadian A U B dirumuskan sebagai berikut:
Rumus : P(A U B) = P(A) + P(B)
DUA KEJADIAN SALING KOMPELEMENTER
Sejalan dengan pengetahuan itu,kita mengenal dua kejadian saling komplementer A
dan A′ dalam ruang sample S, A dan A′ merupakan dua kejadian saling lepas karena
A∩A′ = 0 bila A dan A dua kejadian dalam S saling kompelementer.
Rumus ; P (A ) = 1 – P(A)
DUA KEJADIAN SALING BEBAS
Dua kejadian A dan B dalam ruang sample S dikatakan saling bebas jika kejadian A
tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempenaruhi
kejadian A, jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas maka berlaku rumus
berikut :
Rumus : P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
PROBABILITAS BERSAYARAT
Perobabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi disebutm probabilitas
bersyarat yang ditulis P(A/B) dan dirumuskan sebagai berikut:
Rumus : P(A/B)= P(A ∩ B). P(B) > 0
P(B)
7
D. CONTOH SOAL
1. bilangan F aktorial
hitunglah 3!, 5!, 6!
Langkah-langkah penyelesaianya
Jawab ;
Rumus : n! = n (n-1) (n-2)…..3.2.1
3! = 3 (3-1) (3-2)
= 3.2.1
= 6
5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4)
= 5.4.3.2.1
= 120
6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)
= 6.5.4.3.2.1
= 720
2. bilangan permutasi
hitunglah ?
a. 6P2 b. 8P4 c. 4P2
E. LANGKAH LANGKAH PENYELESAIANYA
jawab:
8
rumus: nPr = n!
(n-r)!
a. diketahui n= 6 dan r=2
6p2 = 6!
(6-2) !
= 6! = 6.5.4.3.2.1
4! 4.3.2.1
= 720
12
= 30
Diketahui n= 8 dan r=4
Rumus = nPr =n!
(n-1)!
= 8P4 = 8!
((8-4)!
= 8.7.6.5.4.3.2.1
4.3.2.1
= 40320
12
= 3360
Diketahui n= 4 dan r = 2
Npr = n!
(n-1)!
= 4!
(4-2)!
9
= 4.3.2.1
2.1
= 12
2
= 6
3. Ruang sample dan kejadian
Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka
dadu genap pada S maka A = { 2.4.6 } sehingga probabilitas kejadian A adalah
Langkah-langkah penyelesaianya
Rumus ; P(A) = n(A) = m
= n (S) n
P(A) = 3
6
= 1
2
4. Permutasi dari sebagian anngota yang sama jenisnya
Beberapa permutasi dalam STATISTIKA carilah permutasi dari kata tersebut
10
Langkah-langkah penyelesaianya
Jawab
Diketahui :
S = 2 , T= 3, A= 2, I=2, K=1
Rumus ;
n!
n1!, n2!, n3!, ….nk!
10
2!,3! 2! 1! 2! 1!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
2! 3! 2! 1! 2! 1!
= 362800
48
= 75.600
5. Kombinasi
Hitunglah !
a. 12 b. 7
6 3
Langkah-langkah penyelesaianya:
Jawab
Diketahui n= 12 dan r= 3
11
Rumus:
nCr = n!
r!(n-r)!
12 = 12!
6 3! (12-6)!
= 12!
3! 6!
= 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
3.2.1 6.5.4.3.2.1
= 110880
b. diketahui n= 7 dan r = 3
langkah-langkah penyelesaianya
jawab
rumus :
nCr = n!
r!(n-r)!
7 = 7!
3 3!(7-3)!
= 7!
3! 4!
= 7.6.5.4.3.2.1
3.2.1 4.3.2.1
= 35
6. kaidah pengadaan
Pada sebuah perpustakaan membuat rak buku yang terjadi dari :
12
Buku hokum ,keguruan, pertanian dan ekonomi. Bala perpustakaan tersebut
mempunyai 4 jenis buku hokum 2 jenis buku keguruan, 5 jenis buku pertanian ,3
jenis buku tentang ekonomi. Berapa paket rak yang yang akan dibuat.
Langkah-langkah penyelesaiaanya.
Jawab
Diketahui paket rak buku
Buku tentang hukum = 4
Buku rtentang keguruan = 2
Buku tentang pertanian = 5
Buku tentang ekonomi = 3
Banyaknya paket rak adalah ; 4 x 2 x 5 x 3 = 120 paket
13
F. SOAL-SOAL LATIHAN
1. selesaikan
a. 4 !
b. 6!
2. hitunglah !
a. 6P3
b. 10P4
3. empat orang bermain brigde dalam susunan melingkar, berapa susunan yang
mungkin dibentuk n=6 maka permutasi melingkarnya.
4. berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat STATISTIKA
5. hitunglah !
a. 10
3
b. 6
2
6. dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian matematika,distribusi frekuensi
nilai mahasiswa adalah seperti pada table berikut ini.
Nilai x 35 47 55 64 87 96
frekuensi 10 20 30 35 30 25
7.Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya
muka dadu ganjil pada S, maka A = {1 5 7 } sehingga probabilitas kejadiaan A
adalah.
8. bila A dan B dua kejadian saling lepas dengan P(A) 0,5 tentukan P( A U B)
14
9. Bila A dan A dua kejadian saling kompelementer dengan P(A)= 0,8 maka
P(A )= 1- P(A)
10. Misalkan sebuah dadu dilempar B kejadian bilangan kuadrat murni dan
diketahui peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan peluang munculnya bilangan
genap = 2/9 bila diketahui A{ 4,5,6 } telah terjadi tentukan P(A/B)
11. Jika diketahui dua kajadian A dan B saling bebas dengan P(A) = 0,4 dan P(B) =
0,7 maka berklaku P( A ∩ B ), hitunglah !
15
G. JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN
1. Diketahui n! = n(n-1) (n-2) …..3.2.1
4! = 4 (4-1) (4-2) (4-3)
= 4.3.2.1
= 28
6! = (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)
= 6.5.4.3.2.1
= 720
2. nPr = n!
(n-r)!
a. Diketahui n= 6 dan r= 3
6P3 = 6! = 6! = 6.5.4.3.2.1
(6-3)! 3! 3.2.1
= 120
c. diketahui n=10 dan r= 4
10P4 = 10! = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
(10-4)! 6! 6.5.4.3.2.1
= 5040
16
3. jawab :
Banyak permutasi = (n-1)!
(4-1)! = 3!
= 3.2.1
= 6
4. jawab
semuanya ada n=8 huruf yang terdiri atas
jenis 1 huruf S yang banyaknya adalah n1 = 1
jenis 2 huruf E yang banyaknya adalah n2 = 1
jenis 3 huruf G yang banyaknya adalah n3 = 2
jenis 4 huruf I yang banyaknya adalah n4 = 2
jenis 5 huruf T yang banyaknya adalah n5 = 1
jenis 6 huruuf yang banyaknya adalah n6 = 1
jadi, banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah:
8 = 8
1,1,2,2,1,1 1! 1! 2! 2! 1! 1!
= 8.7.6.5.4.3.2.1
1. 1. 2.1 2.1 1. 1
= 40320
4
= 10.080
5. jawab
nCr = n = n!
r r! (n-r)!
a. diketahui n= 10 dan r= 3
10C3 = 10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
17
3 3! (10-3)! 3.2.1 7.6.5.4.3.2.1
= 720
6
= 120
c. diketahui n= 6 dan r= 2
6C2 = 6 = 6! = 6.5.4.3.2.1
2 2! (6-2)! 2.1 4.3.2.1
= 30
2
= 15
6. jawab
P(E) = P(X=35) P(E)= P(X=47) P(E)=P(X=55)
= 10 = 20 = 55
100 100 100
= 0,5 =0,2 = 0,15
P(E) = P (X= 64) P(E)=(X=87) P(E)= P(X=96)
= 64 = 87 = 96
100 100 100
= 0,64 = 0,87 = 0,96
7. jawab
P(A) = 3
5
= 0,6
18
8. jawab
karena A dan B saling lepas maka berlaku:
P ( A U B) = P(A) + P(B)
= 0,5 + 0,15
= 0,65
9. jawab
P(A) = 0,8
Jadi P(A´) = 1- 0,8
= 0,2
10. jawab
S = {1,2,3,4,5,6 } P (genab) = 2 P(ganjil) 1
9 9
B = {1,4 }
A= { 4,5,6 } - P(A) = 2 + 1 + 2 = 5
9 9 9 9
A ∩ B = { 4 }- P A ∩ B = 2
9
P(B/A) = P A ∩ B = 2 = 2
P (A) 9 5
5
9
11. jawab
P( A ∩ B) = P(A). P(B)
= (0,4) . (0,7)
= 0,28
19
20
CHI-SQUARE (UJI KUADRAT)
1. PENGERTIAN CHI-SQUARE
Uji chi-square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara
frekuensi observasi yang benar-benar terjadi/aktual dengan frekuensi
harapan/frekuensi ekspektasi.
Frekuensi observasi adalah suatu nilai yang didapat dari hasil
percobaan(o),sedangkan frekuensi harapan/ekspektasi adalah suatu nilai yang dapat
dihitung secara teoritis(e).
Contoh :
1. Sebuah dadu setimbang dilempar sekali 120 kali,berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi
2, sisi 3, sisi 4, sisi 5, dan sisi 6 muncul ?
kategori Sisi 1 Sisi
2
Sisi
3
Sisi
4
Sisi
5
Sisi
6
Frekuensi
ekspektasi
(e)
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi 2, sisi 3,
sisi 4, sisi 5,dan sisi 6 muncul ?
kategori Sisi 1 Sisi
2
Sisi
3
Sisi
4
Sisi
5
Sisi
6
Frekuensi
ekspektasi
(e)
20 20 20 20 20 20
21
Setiap kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu : 1/6 x 120 = 20
Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi?
Apakah jika anda melempar dadu 120 kali maka pasti setiap sisi akan muncul
sebanyak 20 kali?
2.TUJUAN DAN KEGUNAAN CHI-SQUARE
Tujuannya adalah untuk menguji perbedaan proporsi antara dua atau lebih
kelompok. Misalnya: apakah ada perbedaan hipertensi antara mahasiswa dan
mahasiswi dan apakah ada perbedaan BBLR antara ibu yang sosial ekonomi
rendah,rendah dan tinggi.
Kegunaannya:
Uji Kebebasan Chi-Square digunakan untuk memeriksa
kebebasan/independensi dari dua peubah kategorik sehingga kita dapat
menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh)
ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh).
H0 : kedua peubah saling bebas
H1 : kedua peubah tidak saling bebas
Kegunaan Chi-Square
1. Ada tidaknya asosiasi antara
2 variabel (Independent test)
2. Apakah suatu kelompok homogen atau tidak (Homogenity test)
3. Uji kenormalan data dengan melihat distribusi data (Goodness of fit test)
22
Manfaat chi-square
Penelitian segmentasi post-hoc ini menggunakan metode pendekatan dependensi
yaitu dengan mendeteksi hubungan antara variabel terikat (dependent variable)
dengan sejumlah variabel bebas (independent varibles).
Dalam CHAID, variabel-varibel bebas diukur dengan menggunakan nonparametic
test, yaitu menguji hubungan antara varibel bebas dengan variabel terikat
menggunakan chi-square. Chi-square digunakan di sini karena variabel terikat
berbentuk kategorikal. (Khasali, 1998).
Tabel 1 menunjukkan pedoman untuk memilih teknik statistik nonparametrik
untuk menguji hipotesis asosiatif. Wijaya (2001) mengemukakan bahwa Uji
Nonparametrik dengan skala nominal dapat dilakukan dengan uji statistik: modus,
frekuensi, koefisien kontingensi.
Tabel 1. Pedoman Memilih Statistik Nonparametrik Untuk Menguji Hipotesis
Asosiatif
Macam/
Tingkatan
Data
Teknik Korelasi yang
Digunakan
Nominal Koefisien Kontingensi
Ordinal Spearman Rank,
Kendal Tau
Sumber: Sugiyono, halaman 100
23
Data hasil pengamatan dapat digolong-kan ke dalam beberapa faktor, karakteristik
atau atribut dimana setiap faktor atau atribut terdiri dari beberapa klasifikasi, kategori,
golongan atau mungkin tingkatan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena
tersebut akan diselidiki mengenai asosiasi atau hubungan atau kaitan antar faktor.
Dengan kata lain akan dipelajari, apakah terdapat atau tidak suatu kaitan diantara
faktor-faktor tersebut. Jika ternyata tidak terdapat kaitan diantara faktor-faktor
tersebut, maka dikatakan independen atau bebas, tepatnya bebas statistik.
Melalui uji Chi-kuadrat diharapkan dapat menguji hubungan hipotesis dalam
penelitian ini, yaitu:
Ho : 2 hitung < 2 tabel, kedua faktor tidak berasosiasi
Ha : 2 hitung > 2 tabel, kedua faktor berasosiasi
Tabel 2. Uji Chi-Kuadrat
Faktor II Jumlah
Taraf
1
Taraf
2
… Taraf
K
Faktor
1
Taraf
1
O11 O12 … O1K n10
Taraf
2
O21 O13 … O2K n20
… … … … … …
Taraf
B
OB1 OB2 … OBK nB0
Jumlah no1 n02 … noK n
Sumber: Sudjana halaman 279
24
Keterangan:
B = baris K = kolom
O = Observasi N = jumlah observasi
Untuk pengujian hipotesis penelitian asosiasi antara faktor 1 dan faktor 2
digunakan uji 2 dengan prosedur sebagai berikut:
1. Tingkat signifikansi 0,05 dengan derajat bebas df = [B-1] x [K-1].
2. Dengan menggunakan nilai frekuensi yang diamati dapat dihitung nilai
frekuensi yang diharapkan dengan rumus:
Keterangan:
Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan
ni0 = jumlah baris ke-I
n0j = jumlah baris ke-j
n = jumlah sampel yang diambil
3. Langkah selanjutnya adalah melakukan uji statistika yaitu Chi Square test
Keterangan:
Nij = jumlah frekuensi yang diamati
Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan
Apabila nilai probabilitas eror < level of significance () maka Ho ditolak dan Hi
diterima artinya kedua faktor tersebut saling berhubungan
25
Apabilai nilai probabilitas eror > level of significance () maka Ho diterima dan
Hi ditolak artinya kedua faktor tersebut tidak saling berhubungan.
Pengukuran derajat asosiasi antar faktor dengan membandingkan antara:
C = dengan Cmaks =
Keterangan:
m = yang lebih kecil antara baris dan kolom
Kriteria = makin dekat harga C terhadap C maks makin kuat asosiasi antara
faktor-faktor.
Syarat-syarat menggunakan metode Chi Kuadrat menurut Sidney Siegel (1994)
adalah sebagai berikut:
1. Tidak ada satu selpun boleh memiliki fre-kuensi yang diharapkan (Eij) kurang
dari 1.
2. Frekuensi diharapkan kurang dari 5 maksimal dari 20% dari jumlah total sel.
Jika hal itu terjadi maka harus dilakukan penggabungan kategori-kategori yang ber-
dekatan sehingga meningkatkan nilai fre-kuensi yang diharapkan dalam berbagai
3. BAGIAN-BAGIAN CHI-SQUARE/CHI- KUADRAT
. Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (χ²)
Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif.
Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom.
Contoh : Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863)
26
Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185)
Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah
penolakan H0 atau taraf nyata pengujian Perhatikan gambar berikut :
Error: Reference source not foundα : luas daerah penolakan
Ho = taraf nyata nyata
pengujian
Penggunaan Uji χ²
Uji χ² dapat digunakan untuk :
a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit Test
b. Uji Kebebasan
c. Uji beberapa proporsi
1. Uji kecocokan
Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif
H0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.
H1 : Ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.
27
4. CONTOH-CONTOH SOAL
Contoh soal 1 :
Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu . Dadu
setimbang
jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali.
H0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali.
H1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali.
Contoh soal 2:
Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan
antara
Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1
H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1
H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1
Rumus χ²
X2 =
oi : frekuensi observasi untuk kategori ke-i
ei : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i
kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H0
Derajat Bebas (db) = k - 1
Perhitungan χ²
Contoh soal 3 :
Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :
kategori : sisi-1 sisi-2 sisi-3 sisi-4 sisi-5 sisi-6
28
Kategori Sisi 1 Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6
Frekuensi
observasi
20 22 17 18 19 24
Frekuensi
ekspektasi
20 20 20 20 20 20
5. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN/SOLUSI :
1. H0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali.
H1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.
2. Statistik Uji χ²
3. Nilai α = 5 % = 0.05
k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5
4. Nilai Tabel χ²
k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5
db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705
5. wilayah kritis = Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α)
χ² hitung > 11.0705
6. Perhitungan χ²
X2 =
kategori oi ei (oi-ei) (oi-ei)² (oi-ei)²/ei
Sisi 1 20 20 0 0 0
Sisi 2 22 20 2 4 0,20
Sisi 3 17 20 -3 9 0,45
Sisi 4 18 20 -2 4 0,20
Sisi 5 19 20 -1 1 0,05
Sisi 6 24 20 4 16 0,80
29
Σ 120 120 …. …. 1,70
χ²hitung = 1.70
7. Kesimpulan :
χ²hitung = 1.70 < χ² tabel
Nilai χ²hitung ada di daerah penerimaan H0
H0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.
Contoh soal 4 :
Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara
Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500 kg adonan yang dihasilkan,
diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim,
apakah mesin itu bekerja sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan?
Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.
Langkah-langkah penyelesaian/solusi :
1. H0 : perbandingan Coklat : gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1
H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1
2. Statistik Uji χ²
3. Nilai α = 1 % = 0.01
4. Nilai Tabel χ²
k = 4; db =k -1 = 4-1= 3 db = 3; α = 0.01 → χ² tabel = 11.3449
5. Wilayah Kritis= Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung >
11.3449
6. Perhitungan χ²
X2 =
30
Kategori 0i ei (0i-ei) (0i-ei)² (0i-ei)²/ei
Coklat 275 250 25 625 2,50
gula 95 100 -5 25 0,25
susu 70 100 -30 900 9,00
krim 60 50 10 100 2,00
Σ 500 500 …. …. 13,75
Perbandingan coklat : gula : susu : krim = 5 : 2 : 2 :1
Dari 500 kg adonan:
Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg
Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg
Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg
Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg χ²hitung = 13.75
7. Kesimpulan :
χ²hitung = 13.75 > χ² tabel =(13,75> 11.3449)
χ²hitung ada di daerah penolakan H0 → H0 ditolak, H1 diterima.
Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1
2. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi
Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama
dengan pengujian beberapa proporsi.
Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif
A. Uji Kebebasan :
H0 : variabel-variabel saling bebas (Tidak ada hubungan antar variabel)
H1 : variabel-variabel tidak saling bebas (Ada hubungan antar variabel)
31
B Uji Beberapa Proporsi :
H0 : setiap proporsi bernilai sama
H1 : ada proporsi yang bernilai tidak sama
Rumus Uji χ 2
Data dalam pengujian ketergantungan (hubungan) variabel dan beberapa
proporsi
disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi (Cross Tab)
Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom
Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris)
Total observasi
r,k
X2 = ( 0ij- eij )2
i,j
eij
derajat bebas = (r-1)(k-1)
r : banyak baris
k : banyak kolom
oi j , : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j
ei j , : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j
Perhitungan χ²
Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja
di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut :
Pria wanita Total baris
32
Kurang dari 25
jam/minggu
2 3Error:
Reference
source not
found
5
25 sampai 50
jam / minggu
7 6Error:
Reference
source not
found
13
Lebih dari 50
jam /minggu
5 7Error:
Reference
source not
found
12
Total kolom 14 16 30
Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja?
Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5
Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 2 ( 3 baris dan 2 kolom)
db = (3-1)(2-1) = 2 × 1 = 2
Solusi :
1. H0 : Gender dan Jam kerja saling bebas
H1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas
2. Statistik Uji = χ²
3. Nilai α = 5 % = 0.05
4. Nilai Tabel χ² db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147
5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel
χ²hitung > 5.99147
6. Perhitungan χ²
33
2,33
6,07
5,60
2,67
Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris)
Total observasi
frekuensi harapan untuk :
pria, < 25 jam = 14 x 5 = 2,33 pria, 25-50 jam = 14 x13 =6 07
30 30
pria, > 50 jam = 14 x12 = 5,60 wanita < 25 jam = 16 x 5 = 2,67
30
wanita, > 50 jam = 16 x12 = 6,40
30
Selesaikan Tabel perhitungan χ² di bawah ini.
Kategori 0i ei (oi-ei) (oi-ei)2 (oi-ei)2/ei
P < 25 2 2,33 -0,33 0,1089 0,0467
P 25-50 7 6,07 0.93 0,8649 0,1425
P > 50 5 5,60 -0,60 0,36 0,0643
W < 25 3 2,67 0,33 0,1089 0,0408
W 25-50 6 6,93 -0,93 0,8649 0,1249
W > 50 7 6,40 0,60 0,36 0,0563
Σ X2 =0,4755
7. Kesimpulan
χ²hitung = 0.4755 < χ² tabel = 5.99147)
X2 hitung ada di daerah penerimaan H0
H0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas
Catatan : Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan
hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)
34
35
Contoh soal 6 :
Berikut adalah data banyaknya penyiaran 3 jenis film di 3 stasiun TV. Apakah
proporsi pemutaran Film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV tersebut sama?
Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %
ATV
(%)
BTV
(%)
CTV
(%)
Total baris (%)
Film India 4,5 4,17 3,5 2,92 2,0 2,92 10
Film kungfu 2,5 3,33 1,0 2,33 4,5 2,33 8
Film latin 3,0 2,50 2,5 1,75 0,5 1,75 6
Total
kolom(%)
10 7 7 Total
observasi(%)=
24
*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi
Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!
Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 3( 3 baris dan 3 kolom)
db = (3-1)(3-1) = 2 × 2 = 4
solusi :
1. H0 : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga
stasiun TV adalah sama.
H1 : Ada proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun
TV yang tidak sama.
2. Statistik Uji = χ²
3. Nilai α = 2.5 % = 0.025
4. Nilai Tabel χ² db = 4; α = 0.025 → χ² tabel = 11.1433
36
5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel
χ²hitung > 11.1433
6. Perhitungan χ²
Frekuensi harapan untuk
India, ATV = 10x10 = 4,17 24
Latin, ATV = 10x16 = 2,50 24
India, BTV = 7x10 = 2,92 24
Latin, BTV = 7x 6 = 1,75 24
India, CTV = 7x10 = 2,92 24
Latin, CTV = 7x 6 = 1,75 24
Kategori 0i ei (0i-ei) (0i-ei)² (0i-ei)²/ei
Ind, ATV 4,5 4,17 0,33 0,1089 0,0261
Kf, Atv 2,5 3,33 -0,83 0,6889 0,2069
Lat, ATV 3,0 2,50 0,50 0,2500 0,1000
Ind,BTV 3,5 2,92 -0,58 0,3364 0,1152
Kf,BTV 1,0 2,33 -1,33 1,7689 0,7592
Lat, BTV 2,5 1,75 0,75 0,5625 0,3214
37
Ind, CTV 2,0 2,92 -0,92 0,8464 0,2899
Kf,CTV 4,5 2,33 2,17 4,7089 2,0201
Lat,CTV 0,5 1,75 -1,25 1,5625 0,8929
X2= 4,7317
7. Kesimpulan :
χ²hitung = 2.4076 < χ² tabel = 11.1433
χ²hitung terletak di daerah penerimaan H0 .
H0 diterima, proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga statiun TV adalah sama.
Ada beberapa jenis tes chi-kuadrat tetapi yang paling umum adalah Pearson
chi-kuadrat yang memungkinkan kita untuk menguji independensi dari dua variabel
kategori. Semua tes chi-kuadrat didasarkan atas distribusi chi-kuadrat, mirip dengan
cara t-tes, sama halnya dengan distribusi atau uji-F yang didasarkan pada distribusi F.
1. uji kecocokan
2. uji kebebasan
3. uji beberapa proporsi
Misalkan kita memiliki hipotesis bahwa tingkat kelulusan / kegagalan dalam
sebuah kelas matematika tertentu berbeda untuk laki-laki dan perempuan. Katakanlah
kita mengambil sampel acak dari 100 siswa dan mengukur kedua jenis kelamin (laki-
laki/wanita) dan status kelulusan (lulus/gagal) sebagai variabel kategorik.
Tabel 1. Data tingkat kelulusan kelas matematika tersebut akan menjadi
sebagai berikut
Siswa Laki-
laki
Perempuan TOTAL
Lulus 30 36 66
38
Tidak
lulus
14 20 34
TOTAL 44 56 100
Hipotesis Null: Distribusi frekuensi beberapa kejadian yang diamati pada sebuah
sampel konsisten dengan distribusi teoritis tertentu
39
6. SOAL LATIHAN
1. Suatu adonan kue cake akan menghasilkan perbandingan antara coklat:gula: susu:
mentega= 5:2:2:1. jika 300 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 100kg
coklat, 75 kg gula, 55 kg susu, 70 kg mentega.apakah adonan tersebut dapat dicampur
sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf
nyata 1%.
2. pelemparan dadu sebanyak 60 kali menghasilkan data sebagai
berikut:
Kategori Sisi 1 Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6
Frrekuensi
observasi
10 12 8 10 15 5
Frekuensi
harapan
10 10 10 10 10 10
Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang?
Lakukan pengujian dengan taraf nyata 5%
40
7. JAWABAN SOAL
1).Solusi
H0 = perbandingan coklat: gula:susu : mentega = 5:2:2:1
H1 =perbandingan coklat: gula :susu : mentega ≠5:2:2:1
2. Statistik uji X2
3. Nilai α =1% =0,01
4.Nilai tabel X2
k= 4,db = k-1 = 4-1 = 3
db = 3 α =0,01 X2tabel =11,3449
5.wilayah kritis= penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel
X2 hitung > 11,3449
6.perhitungan X2
X2 =
Kategori oi ei oi-ei (oi-ei)2 (oi-ei)2/ei
Coklat 100 150 -50 2500 16,66
Gula 75 60 15 225 3.75
Susu 55 60 -5 25 0,42
mentega 70 30 40 1600 53,33
Σ 300 300 74,16
Perbandingan coklat:gula:susu:mentega = 5:2:2:1
41
Dari adonan 300kg: Nilai harapan coklat =5/10x300=150
Nilai harapan gula = 2/10x300 =60
Nilai harapan susu = 2/10x300=60
Nilai harapan mentega= 1/10x300=30
X2 hitung = 74,16
7. kesimpulan
X2 hitung> X2 tabel
74,16 > 11,3449
H0,ditolak, H1diterima
Perbandingan coklat:gula:susu:mentega ≠5:2:2:1
1. Solusi
H0 = Dadu setimbang semua sisi akan muncul = 10 kali
H1 = dadu tidak setimbang aada sisi yang muncul ≠10 kali
2. Statistik uji X2
3. Nilai α = 5% = 0,05
4. Nilai tabel X2
K=6 db=k-1 =6-1= 5
Db=5 α =0,05 X2 tabel =11,0705
5. wilayah kritis : penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel
X2hitung > 11,0705
6. perhitungan X2
X2 =
42
Kategori Oi ei oi-ei (oi-ei)2 (oi-ei)2/ei
Sisi1 10 10 0 0 0
Sisi 2 12 10 2 4 0,4
Sisi 3 8 10 -2 4 0,4
Sisi 4 10 10 0 0 0
Sisi 5 15 10 5 25 2,5
Sisi 6 5 10 -5 25 2,5
Σ 60 60 5,8
X2hitung =5,8
7. kesimpulan
X2 hitung =5,8 < X2 tabel
Nilai X2 hitung ada di daerah penerimaan H0
H0 diterima,pernyataan dadu setimbang dapat diterima
43
44
DISTRIBUSI BINOMIAL
1. PENGERTIAN DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL
Distribusi Probabilitas Binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu
percobaan yang dinamakan percobaan beroulli.
1.1 ciri-ciri Bernoulli
a. setiap kegiatan hanya dihasilkan 2 kejadian
Percobaan /kegiatan Kejadian
Melempar uang keudara 1. muncul gambar
2. muncul angka
Perubahan harga 1. inflasi
2. deflasi
b. probabilitas sebuah kejadian baik sukses maupun gagal tetap bernilai sama
untuk setiap percobaan
c. percobaan-percabaan bersifat independent
d. data yang dikumpul merupakan hasil dari perhitungan.
1.2 pembentukan distribusi normal
untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlkukan ppengetahuan dua hal
yaitu:
a. banyaknya atau jumlah dario percobaan atau kegoiatan dan,
b. probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal. Distribusi probabilitas
binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:
45
dimana:
P(r) = nilai probabilitas binomial
P = probabilitas sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan
N = jumlah nilai percobaan
Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperolehb dari q = 1 – p
2. TUJUAN DAN KEGUNAAN DISTRIBUSI BINOMIAL
Tujuan dengan diadakan perhitungan distribusi binomial adalah untuk mengetahui
probabilitas suatu jkejadian tersebut sukses maupun gagal dalam suatu percobaan.
3. CONTOH SOAL
PT. MENA JAYA FARM (MJF) mengirim sebuah semangka ke hero
supermarket. Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% sermangka yang
dikirim lolos seleksi oleh Hero Supermarket. PT. MJF setioap hari mengirim 15
buah semangka dengan berat antara 5-6 kg.
a. berapa probabilitas 25 buah semangka?
b. Berapa probabilitas 13 buah semangka?
c. Berapa probabilitas 10 buah yang diterima?
4. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL
DISTRIBUSI BINOMIAL
a. probabilitas 15 buah yang diterima semua
n = 15 p = 90% =0,9
r = 15 q = 1% =0,1
46
b. probabilitas 2 ditolak atau 13 buah diterima semua
n = 15 p = 90% = 0,9
r = 13 q = 10% = 0,1
b. probabilitas 10 buah diterima semua
n = 15 p = 90% = 0,9
r = 10 q = 0,1
Jadi, probabilitas untuk diterima 15 adalah 20,6%: diterima 13 buah sebesar
26,7%; dan diterima 10 buah probabilitasnya adalah 10,0%.
47
5. SOAL LATIHAN
Sebuah industri rumah tangga yan memproduksi keranjang dari dau ulang
plastik dengan jaminan kualitas bahan yang baik, maka 90% keranjang yang
dikirim ke sebuah supermarket lulus seleksi. Industri tersebutmengirim 10 buah
keranjan setiap minggunya.
Pertanyaan?
a. brapa probabilitas 10 keranjang diterima
b. berapa probabilitas 5 keranjang diterima
48
6. JAWABAN SOAL LATIHAN
a. probabilitas 10 keranjang diterima semua
b. probabilitas 5 keranjang diterima
49
50
ANALISYS OF VARIANS (ANOVA)
1. PENGERTIAN ANOVA
Analisa varian atau anova adalah suatu metode untuk menguji hipoteis kesamaan
rata-rata dari tiga atau lebih populasi.
Asumsi
o Sample diambil secara random dan saling bebas ( independent )
o Populasi berdistribusi berdistribusi normal
o Populsi mempunyai kesamaan variansi
Misalkan kita mempunyai k populasi.
Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n.
Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas ban berdistribusi normal dengan rata-
rata dan variansi µ1, µ2,...... dan µk dan variansi σ2
Hipotesa :
Ho : µ1 = µ2 = ... = µk
H1 : ada rata-rata yang tidak sama
Analisis varians ( analisis of variance, ANOVA ) adalah suatu metode analisis
statistika yang termasuk kedalam cabang stetistika inferensi.dalam literatur indonesia
metide ini dikenal dengan berbagai nama lain seperti ragam, sidik ragam, dan analisis
variansi. Ia merupakan pengembangan dari msalah behrens-Fisher, sehingga uji F
juga dipakai dalam pengambilan keputusan. Analisis varians pertama kali
diperkenalkan oleh sir Ronal fisher, bapak statistika modern. Dalam praktek , analisis
varians dapat merupakan uji hipotesis ( lebih sering dipakai ) maupun pendugaan
( estimation, khususnya dibidang genetika terapan)
Secara umum, analisis varians menguji dua varians ( atau ragam ) berdasarkan
hipotesis nol bahwa kwdua varians iti sama. Varians pertama adalah varians antar
contoh ( among sampel ) dan varians kedua adalah varians didalam masing-masing
51
contoh ( within samples ). Dengan ide semacam ini, analisis varians dengan dua
contoh akanmemberikan hasil yang ama dengan uji T untuk kedua rerata ( mean ).
Supaya sahih ( valid ) dalam menafsirkan hasilnya, analisis varians
menggantungkan diri pada empat asumsi yang harus dipenuhi dalam rancanga
percobaan :
1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-snedecor.
2. varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas,karena
hanya digunakan satu penduga untuk varians dalam contoh.
3. masing-masing contoh saling independen, yang harus dapat diatur dengan
perencanangan percobaan yang tepat.
4. komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif ( saling menjumlah)
Analisis varians relatif mudah dimodifikasi dan dapat dikembangkan untuk
berbagai bentuk percobaan yang lebih rumit. Selain itu, analisis ini juga masih
memiliki keterkaitan dengan analisis regresi. Akibatnya, penggunaannya sangat luas
di berbagai bidang, mulai dari eksperimen laboratorium higga eksperimen periklanan,
psikologi, dan kemasyarakatan.
2. TUJUAN DAN KEGUNAAN ANOVA
TUJUAN ANOVA
1. Untuk mengetahui dan memahami jui statistik dengan menggunakan
ANOVA.
2. Untuk mengetahui persoalan dan masalah-masalah yang berkaitan dengan uji
ANOVA dalam kehidupan sehari-hari.
3. Agar dapat menyelesaikan persoalan uji ANOVA dan menarik kesimpulan
yang sesuai dengan persoalan yang diujikan.
KEGUNAAN ANOVA
Mengendalikan 1 ataulebih variabel independen
o Disebut dengan faktor ( atau variabel treatment )
52
o Tiap faktor mengandung 2 atau lebih level ( katagori / klasifikasi )
Mengamati efek padavariabel dependen
o Merespon level pada variabel independen
Perencanaan eksperimen : perencanaan dengan menggunakan uji hipotesis
3. BAGIAN-BAGIAN ANOVA
Anova dapat digolongan kedalam beberapa kriteria, yaitu :
1. klasifikasi 1 arah
Anova klasifikasi 1 arah merupakan anova yang didasarkan pada pengamatan
1 kriteria.
2. Klasifikasi 2 arah
Klasifikasi 2 arah merupakan aova yang didasarkan pada engamatan 2
kriteria.
3. Klasifikasi banyak arah
Anova banyak arah merupakan Anova yang didasarkan pada pengamatan
banyak kriteria.
4. CONTOH SOAL ANOVA
1. Sebagai manajer produksi anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat rata-
rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat
signifikasi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
25,40 23,40 20,00
26,31 21,80 22,20
24,10 23,50 19,75
23,74 22,75 20,60
25,10 21,60 20,40
53
5. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN ANALISIS VARIANS
Tingkat signifikan α = 0,05
dF 1 = 2 (derajat bebas perlakuan )
dF 2 = 12 ( derajat bebas galat )
maka F ( 0,05; 2 ; 12 ) = 3,89
Jadi daerah penolakannya :
H0 ditolak jika F > 3,89
Data
Populasi
1 2 3
25,40 23,40 20,00
26,31 21,80 22,20
24,10 23,50 19,75
23,74 22,75 20,60
25,10 21,60 20,40
Total 124,65 113,05 102,95 340,65
a. Jumlah kuadrat Total ( JKT )
JKT = 2 ij –
JKT = 25,402 + 26,312 + 24,102 + 23,742 + 25,102 + 23,402 + 21,802 + 23,502 + 22,752
+ 21,602 + 20,002 + 22,202 + 19,752 + 20,602 + 20,402 -
54
JKT = 645,16 + 692,2161 + 580,81 + 563,5876 + 630,01 + 547,56 + 475,24 +
552,25 + 517,5625 + 466,56 + 400 + 492,84 + 390,0625 + 424,36 + 416,16 -
= 7794,3787 – 7736,1615
= 58,2172
b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )
JKP = -
= -
= - 7736,4225
= 7783,3255 – 7736,1615
JKP = 47,164
c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG )
JKG = JKT – JKP
JKG = 58,2172 – 47,164
JKG = 11,0532
Tabel ANOVA dan daerah penolakan
Sumber
variasi
Derajat bebas Jumlah
kuadrat
Kuadrat rata-rata statistik
perlakuan k-1
(3-1) = 2
47,164 KRP = JKP/ (k)-1
KRP = 47,164/(3-1)
KRP = 47,164/2
KRP = 23,582
55
F = KRP/KRG
F = 23,582/0,9211
F = 25,60
galat k ( n-1 )
3 ( 5-1 )
3 ( 4 ) = 12
11,0532 KRG = JKG/(k(n-1)
KRG = 11,0532/(3(5-1)
KRG = 11,0532/(3(4)
KRG = 11,0532/12
KRG = 0,9211
total nk – 1
5.3 – 1
15 – 1 = 14
58,2173
Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak
Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak
CONTOH SOAL ANOVA
Dalam sebuah percobaan biologis 4 konsentrasi bahan kimia digunkaan untuk
merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu.
Konsentrasi
1 2 3 4
8,2 7,7 6,9 6,8
8,7 8,4 5,8 7,3
9,4 8,6 7,2 6,3
9,2 8,1 6,8 6,9
8,0 7,4 7,1
6,1
Langkah-langkah :
Tingkat signifikansi α = 0,05
dF 1 = 3 ( Derajat bebas perlakuan )
dF 2 = 16 ( Derajat bebas galat )
56
Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24
Jadi daerah penolakanya
H0 ditolak jika F > 3,24
Data
Populasi
Total
1 2 3 4
8,2 7,7 6,9 6,8
8,7 8,4 5,8 7,3
9,4 8,6 7,2 6,3
9,2 8,1 6,8 6,9
8,0 7,4 7,1
6,1
Total 35,5 40,8 40,2 34,4 150,9
a. Jumlah kuadrat total ( JKT )
JKT = ij -
JKT = 8,22 + 8,72 + 9,4 2+9,22 + 7,72 + 8,42 + 8,6 2+ 8,12 + 8,02 + 6,9 2+
5,82 + 7,22 + 6,82 + 7,42 + 6,12 + 6,82 + 7,32 + 6,32 + 6,92 + 7,12 -
JKT = 67,24 + 75,69 + 88,36 + 84,64 + 59,29 + 70,56 + 73,96 + 65,61 + 64 +
47,61 + 33,64 + 51,84 + 46,24 + 54,76 + 37,21 + 46,24 + 53,29 +
39,69 + 47,61 + 50,41 -
JKT = 1157,89 – 1138,5405
JKT = 19,3495 ( dibulatkan )
JKT = 19, 350
b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )
57
JKP = -
JKP = + + + -
JKP = + + + -
JKP = 315,0625 + 332,928 + 269,34 + 236,672 – 1138, 5405
JKP = 15,462
c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG )
JKG = JKT – JKP
JKG = 19,350 – 15,462
JKG = 3,888
Tabel Anova dan Daerah Pendapatan
Sumber
Variansi
Derajat
Bebas
Jumlah
Kuadrat
Kuadrat
Rata-rata
Statistik F
Perlakuan k-1
( 3-1 ) = 2
15,462 KRP = JKP/(k-1)
KRP = 15,462/(4-1)
KRP = 15,462/3
KRP = 5,514
F = KRP/KRG
F = 5.514/0,243
F = 21,21
Galat N – k
( 20- 4 ) = 16
3,888 KRG = JKG/N-k
KRG = 3,888/(20-4)
KRG = 3,888/16
KRG = 0,243
Total N – 1
( 20-1 ) = 19
19,350
Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak
Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak
58
6. SOAL LATIHAN ANOVA
1. Sebagai manajer produksi anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat rata-
rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat
signifikansi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
24,40 22,40 19,00
25,31 20,80 21,20
23,10 22,50 18,75
22,74 21,75 19,60
24,10 20,60 19,40
2. dalam sebuah percobaan biologi 4 konsentrasi bahan kimia digunakan untuk
merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu
tertentu.
Konsentrasi
1 2 3 4
7,2 6,7 5,9 5,8
7,7 7,4 4,8 6,3
8,4 7,6 6,2 5,3
8,2 7,1 5,8 5,9
7,0 6,4 6,1
5,1
59
7. JAWABAN LATIHAN
Langkah- langkah :
Tingkat signifikansi α = 0,05
dF 1 = 2 ( Derajat bebas perlakuan )
dF 2 = 12 ( Derajat bebas galat )
Maka F ( 0,05 ; 2 ; 12 ) = 3,89
Jadi daerah penolakanya
H0 ditolak jika F > 3,89
Data
Populasi
1 2 3
24,40 22,40 19,00
25,31 20,80 21,20
23,10 22,50 18,75
22,74 21,75 19,60
24,10 20,60 19,40
Total 119.65 108,05 97,95 325,65
a. Jumlah kuadrat Total ( JKT )
JKT = ij2 –
JKT = 24,402 + 25,312 + 23,102 + 22,742 + 24,102 + 22,402 + 20,802 + 22,502 + 21,752
+ 20,602 + 19,002 + 21,202 + 18,752 + 19,602 + 19,402 -
60
JKT = 595,36 + 640,5961 + 533,61 + 517,1076 + 580,81 + 501,76 + 432,64 + 507,25
+ 473,0625 + 424,36 + 361 + 449,44 + 351,5625 + 384,16 + 376,36 -
JKT = 7128,0787 – 7069,8615
JKT = 58,2172
b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )
JKP = -
= -
= - 7069,8615
= 7117,0255 – 77069,8615
JKP = 47,164
c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG )
JKG = JKT – JKP
JKG = 58,2172 – 47,164
JKG = 11,0532
Tabel ANOVA dan daerah penolakan
Sumber
variasi
Derajat bebas Jumlah
kuadrat
Kuadrat rata-rata statistik
perlakuan k-1
(3-1) = 2
47,164 KRP = JKP/ (k)-1
KRP = 47,164/(3-1)
KRP = 47,164/2
KRP = 23,582
61
F = KRP/KRG
F = 23,582/0,9211
F = 25,60
galat k ( n-1 )
3 ( 5-1 )
3 ( 4 ) = 12
11,0532 KRG = JKG/(k(n-1)
KRG = 11,0532/(3(5-1)
KRG = 11,0532/(3(4)
KRG = 11,0532/12
KRG = 0,9211
total nk – 1
5.3 – 1
15 – 1 = 14
58,2173
Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak
Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak
Jawaban latihan.
Tingkat signifikansi α = 0,05
dF 1 = 3 ( Derajat bebas perlakuan )
dF 2 = 16 ( Derajat bebas galat )
Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24
Jadi daerah penolakanya
H0 ditolak jika F > 3,24
Data
konsentrasi
Total
1 2 3 4
7,2 6,7 5,9 5,8
7,7 7,4 4,8 6,3
8,4 7,6 6,2 5,3
62
8,2 7,1 5,8 5,9
7,0 6,4 6,1
5,1
Total 31,5 35,8 34,2 29,4 130,9
a. Jumlah kuadrat total ( JKT )
JKT = ij2 -
JKT = 7,22 + 7,72 + 8,4 2+8,22 + 6,72 + 7,42 + 7,6 2+ 7,12 + 7,02 + 5,9 2+
4,82 + 6,22 + 5,82 + 6,42 + 5,12 + 5,82 + 6,32 + 5,32 + 5,92 + 6,12 -
JKT = 51,84 + 59,29 + 70,56 + 67,24 + 44,89 + 54,76 + 57,76 + 50,41 + 49 +
34,81 + 23,04 + 38,64 + 40,96 + 26,01 + 33,64 + 39,69 + 28,09 +
34,81 + 47,61 + 37,21 -
JKT = 876,09 – 856,7405
JKT = 19,3495 ( dibulatkan )
JKT = 19, 350
b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )
JKP = -
JKP = + + + -
JKP = + + + -
JKP = 248,0625 + 256,328 + 194,94 + 172,872 – 856,7405
JKP = 872,2025 – 856,7405
63
JKP = 15,462
c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG )
JKG = JKT – JKP
JKG = 19,350 – 15,462
JKG = 3,888
Tabel Anova dan Daerah Pendapatan
Sumber
Variansi
Derajat
Bebas
Jumlah
Kuadrat
Kuadrat
Rata-rata
Statistik F
Perlakuan k-1
( 3-1 ) = 2
15,462 KRP = JKP/(k-1)
KRP = 15,462/(4-1)
KRP = 15,462/3
KRP = 5,514
F = KRP/KRG
F = 5.514/0,243
F = 21,21
Galat N – k
( 20- 4 ) = 16
3,888 KRG = JKG/N-k
KRG = 3,888/(20-4)
KRG = 3,888/16
KRG = 0,243
Total N – 1
( 20-1 ) = 19
19,350
Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak
Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak
64
65
UJI NORMALITAS
A. PENGERTIAN UJI NORMALITAS
Uji normalitas adalah uji untuk mengukur apakah data kita memiliki distribusi
normal sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik (statistik inferensial).
Data klasifikasi kontinue, data kuantitatif yang termasuk dalam
pengukuran data skala interval atau ratio, untuk dapat dilakukan uji statistik
parametrik diprasyaratkan berdistribusi normal. Pembuktian data berdistribusi
normal tersebut perlu dilakukan uji normalitas terhadap data.
Metode klasik dalam pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit.
Berdasarkan pengalaman empiris beberapa pakar statistik, data yang banyaknya
lebih dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat diasumsikan berdistribusi
normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar.
Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi
normal atau tidak, sebaiknya digunakan uji statistik normalitas. Karena belum
tentu data yang lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal, demikian
sebaliknya data yang banyaknya kurang dari 30 belum tentu tidak berdistribusi
normal, untuk itu perlu suatu pembuktian. Pembuktian normalitas dapat
dilakukan dengan manual, yaitu dengan menggunakan kertas peluang normal, atau
dengan menggunakan uji statistik normalitas.
B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI NORMALITAS
Pengujian normalitas dilakukan untuk mengetahui normal tidaknya suatu
distribusi data. Hal ini penting diketahui karena berkaitan dengan ketetapan pemilihan
uji yang akan digunakan. Uji parametrik misalnya, mengsyaratkan data harus normal.
Apabila distribusi tidak normal maka disarankan untuk menggunakan uji
nonparametric.
66
Uji normalitas berguna untuk membuktikan data dari sampel yang
dimiliki berasal dari populasi berdistribusi normal atau data populasi yang
dimiliki berdistribusi normal.
C. BAGIAN-BAGIAN UJI NORMALITAS
Banyak jenis uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya
Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk atau menggunakan soft
ware computer. Soft ware computer dapat digunakan misalnya SPSS, Minitab,
Simstat, Microstat, dsb. Pada hakekatnya soft ware tersebut merupakan hitungan
uji statistik Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk, dsb yang
telah diprogram dalam soft ware komputer. Masing-masing hitungan uji statistik
normalitas memiliki kelemahan dan kelebihannya, pengguna dapat memilih sesuai
dengan keuntungannya.
Di bawah disajikan beberapa cara untuk menguji suatu data
berdistribusi
normal atau tidak.
1. BERDASARKAN KEMIRINGAN / KEMENCENGAN / SKEWNES DAN
KURTOSIS
Suatu data bila disajikan dalam bentuk kurva halus dapat berbentuk kurva
yang miring ke kanan, miring ke kiri atau simetris. Miring ke kanan bila kurva
mempunyai ekor (asymtut / menyinggung sumbu X) yang memanjang ke
sebelah kanan, demikian miring ke kiri sebaliknya, sedangkan bila simetris
berarti kondisi ke kanan dan kiri seimbang, biasanya nilai mean, median dan modus
berdekatan bahkan kadang sama. Kondisi kurva yang simetris tersebut sering
disebut membentuk kurva distribusi normal. Kemiringan kurva dapat dihitung
berdasarkan rumus Koefisien Kemiringan Pearson, yaitu :
67
Bila hasil kemiringan negatif, maka kurva miring ke kiri, bila hasil
kemiringan positif, Maka kurva miring ke kanan, sedangkan pada hasil
kemiringan nol, maka kurva normal. Pada kurva normal biasanya data cenderung
berdistribusi norma. Secara visual gambar sebagai berikut:
MIRING KEKANAN MIRING KEKIRI SIMETRIS
1.1 CONTOH SOAL
Contoh kasus hasil pengukuran kebisingan pada tempat-tempat umum didapat
data sebagai berikut:
68
1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL UJI
KEMIRINGAN / KEMENCENGAN.
Xi merupakan nilai tengah suatu data (kebisingan) ( ex: 70 + 79 / 2 = 74,5, dst )
Fi x Xi, frekuensi (Fi) dikalikan dengan data ke-i (Xi) misalnya pada baris
pertama,
9 x 74,5 = 670,5 dan seterusnya
X yaitu rata-rata, untuk mencarinya yaitu jumlah Fi x Xi dibagi jumlah frekuensi.
Misalnya pada baris pertama 670,5/50 = 91,5
Xi – X, yaitu data ke-i di kurangkan dengan jumlah rata-rata (X), Misalnya pada
baris pertama 74,5 - 91,5 = -17
Pada Fi. (Xi – X), frekuensi dikalikan dengan hasil pengurangan data ke-i.
Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5) = 153
(Xi – X)2, jumlah pengankatan dari (Xi – X), Misalnya pada baris pertama (74,5 -
91,5)2 = 289
Begitu juda dengan Fi. (Xi – X)2, merupakan hasil perpangkatan dari Fi. (Xi –
X), Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5)2 = 2601
69
Nilai kemiringan 0,44 atau 0,29, berarti miring ke kanan, tidak simetris.
Rumus lainnya yang dapat digunakan untuk membutikan kenormalan data, yaitu
Koefisien Kurtosis Persentil, sebagai berikut :
70
Keterangan : κ = kappa (Koefisien Kurtosis Persentil)
SK = rentang semi antar kuartil
P = persentil
K = kuartil
Bila nilai Koefisien Kurtosis Persentil mendekati 0,263, maka dapat disimpulkan
data berdistribusi normal. Berdasarkan kurva normal, untuk membuktikan data
Berdistribusi normal atau tidak, dapat dihitung berdasarkan rumus Koefisien
Kurtosis, yaitu:
Keterangan : a4 = koefisien kurtosis
: m = moment sekitar rata-rata, berdasar rumus di bawah
Keterangan
: mr = moment ke r = 1 , 2, 3, dst
: Xi = data ke i = 1, 2, 3, dst, (titik tengah interval kelas)
: n = banyaknya angka pada data
: X = rata-rata
71
: fi = frekuensi
Bila nilai a4 sama dengan 3, maka data berdistribusi normal, bila a4 kurang dari
3, maka bentuk kurva normal platikurtik, bila nilai a4 lebih besar dari 3, maka
bentuk kurva leptokurtic. Secara visual gambar sebagai berikut:
Contoh data tinggi badan masyarakat kalimas
Dihitung Koefisien Kurtosis Persentil sebagai berikut :
72
Hasil Koefisien Kurtosis Persentil 0,265 ≠≈ 0,263, distribusi normal.
Selanjutnya dihitung Koefisien Kurtosis.
73
Hasil Koefisien Kurtosis ≈ > 3, mendekati normal.
2. METODE KERTAS PELUANG NORMAL
Metode kertas peluang normal membutuhkan kertas grafik khusus yang
disebut Kertas Peluang Normal. Berikut langkah-langkah Dalam metode kertas
peluang normal:
2.1 CONTOH SOAL
2.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL KERTAS
PELUANG NORMAL
1. Langkah pertama dalam mempergunakan metode kertas peluang normal,
yaitu data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi relatif (data
disajikan dalam bentuk prosentase). Contoh data sebagai berikut:
74
2. Selanjutnya tabel diubah dalam bentuk distribusi frekuensi komulatif
relatif kurang dari, sehingga terbentuk tabel sebagai berikut :
3. Berikutnya data komulatif relatif ditampilkan pada kertas peluang
normal. Sumbu horisontal tempat meletakkan interval kelas dan sumbu
vertikal tempat untuk angka komulatifnya. Pertemuan kelas dan angka
komulatif ditandai dengan titik-titik. Jika titik-titik tersebut dihubungkan
membentuk garis lurus, berarti data berdistibusi normal.
75
Contoh untuk penyajian data di atas pada kertas peluang normal menjadi
sebagai berikut :
76
3. METODE CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT DISTRIBUSI
NORMAL)
Metode Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi
Normal, menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi
tiap kelas dengan nilai yang diharapkan.
Adapun langkah-langkahnya:
1. Rumus X2
Keterangan :
X2 = Nilai X2
Oi = Nilai observasi
Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal
dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N
N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi)
Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan berdasarkan pada
hasil transformasi data distribusi frekuensi yang akan diuji normalitasnya, sebagai
berikut:
77
Keterangan :
Xi = Batas tidak nyata interval kelas
Z = Transformasi dari angka batas interval kelas ke notasi pada distribusi normal
pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel normal
Oi = Nilai observasi
Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal
dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N
2. Persyaratan
a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi.
b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )
c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.
3. Signifikansi
Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square)
√ Jika nilai X2 hitung kurang dari nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha
ditolak.
√ Jika nilai X2 hitung lebih besar dari nilai X2 tabel, maka Ho ditolak; Ha diterima.
Tabel X2 (Chi-Square)
78
3.1 CONTOH SOAL
TINGGI BADAN MASYARAKAT KALIMAS TAHUN 1990
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi
normal ?
3.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL UJI CHI-
SQUARE:
a. Hipotesis
Ho : tidak beda dengan populasi normal
Ha : Ada beda populasi normal
b. Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
c. Rumus Statistik penguji
79
d. Hitung rumus statistik penguji.
Telah dihitung Mean = 165,3 ; Standar deviasi = 10,36
Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang
dikonfirmasikan dengan tabel distribusi normal (Lampiran 2). Proporsi dihitung
mulai dari ujung kurva paling kiri sampai ke titik Z, namun dapat juga
menggunakan sebagian ujung kiri dan sebagian ujung kanan, sehingga hasil pi
sebagai berikut.
0,0064– 0,0630= 0,0566 ujung kurve kiri
0,0630– 0,2877= 0,2247 ujung kurve kiri
80
0,2877– 0,3409= 0,3714 melalui tengah titik nol
0,3409– 0,0853= 0,2556 ujung kurve kanan
0,0853– 0,0096= 0,0757 ujung kurve kanan
0,0096– 0,0005= 0,0091 ujung kurve kanan
e. Df/db/dk
Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2
f. Nilai tabel
Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square)
g. Daerah penolakan
1). Menggunakan gambar
81
2). Menggunakan rumus 0,1628 < 5,991 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
h. Kesimpulan
Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
4. METODE LILLIEFORS (N KECIL DAN N BESAR)
Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam
tabel distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung
luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal. Probabilitas ersebut
dicari bedanya dengan probabilitas komultaif empiris. Beda terbesar dibanding
dengan tabel Lilliefors Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal
1. Rumus
Keterangan :
Xi = Angka pada data
82
Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal
F(x) = Probabilitas komulatif normal
S(x) = Probabilitas komulatif empiris
F(x) = komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung
dari luasan kurva normal mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Zi.
2. Persyaratan
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.
3. Signifikansi
Signifikansi uji, nilai F (x) - S (x) terbesar dibandingkan dengan nilai tabel
Lilliefors. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar kurang dari nilai tabel Lilliefors, maka
Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar lebih besar dari nilai tabel
Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Lilliefors , Tabel Harga Quantil
Statistik Lilliefors Distribusi Normal
4.1 CONTOH SOAL
Berdasarkan penelitian tentang intensitas penerangan alami yang dilakukan
terhadap 18 sampel rumah sederhana, rata-rata pencahayaan alami di beberapa
ruangan dalam rumah pada sore hari sebagai berikut ; 46, 57, 52, 63, 70, 48, 52, 52,
54, 46, 65, 45, 68, 71, 69, 61, 65, 68 lux. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data
tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?
83
4.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL UJI
LILLIEFORS:
a. Hipotesis
Ho : tidak beda dengan populasi normal
Ha : Ada beda populasi normal
b. Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
c. Rumus Statistik penguji
84
d. Hitung rumus statistik penguji.
Nilai F(x) - S(x) tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu
0,1469
85
Cara Hitung rumus statistik penguji.
1. Cari Sx dengan cara Zi dibagi dengan jumlah data. Dalam contoh baris pertama di atas adalah 1 : 18 = 0.0556, demikian seterusnya sampai selesai untuk setiap frekuensi.
2. Cari nilai Zx dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai rata-rata dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah ( 45-58,44)/9,22=-1,4577 . untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang sama.
3. Cari nilai Fx tabel (Zt) dengan melihat Tabel Kurva Normal baku (Tabel Z ) berdasarkan nilai Zx –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel dilihat dalam baris 1,4577 , diperoleh nilai Z sebesar 0.0721,
4. nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai Fr yang sejajar, contoh untuk baris pertama 0.0721 – 0.0556 = 0.0165.
5. setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І, diperoleh nilai 0,1469, kemudian bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 18, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh nilai 0,2000 , karena І Fr –Fs І lebih kecil dari nilai tabel berarti distribusi normal.
e. Df/db/dk
Df = φ = tidak diperlukan
f. Nilai tabel
Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,2000. Tabe
Lilliefors pada lampiran 4.
g. Daerah penolakan
Menggunakan rumus 0,1469 < 0,2000 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
h. Kesimpulan
Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
86
5. METODE KOLMOGOROV-SMIRNOV
Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors.
Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada
signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov
menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode
Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.
Langkah-langkah penyelesaiannya:
1. Rumus
Keterangan :
Xi = Angka pada data
Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal
FT = Probabilitas komulatif normal
FS = Probabilitas komulatif empiris
FT = komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung
dari luasan kurva mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Z.
87
2. Persyaratan
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.
3. Siginifikansi
Signifikansi uji, nilai Fr - Fs terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov
Smirnov.
Jika nilai Fr - Fs terbesar kurang dari nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka
Ho diterima ; Ha ditolak.
Jika nilai Fr - Fs terbesar lebih besar dari nilai tabel Kolmogorov Smirnov,
maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Kolmogorov Smirnov, Harga Quantil
Statistik Kolmogorov Distribusi Normal.
5.1 CONTOH SOAL
Untuk perhitungan normalitas distribusi, dimisalkan terdapat sekelompok data dengan skala pengukuran interval dengan dua variabel bebas dan satu variabel terikat sebagai berikut :
Tabel skor Variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y)
X1 X2 Y
4 1 7
4 2 12
9 8 17
12 8 20
88
12 10 21
Dari tabel tersebut misalkan kita ingin menguji normalitas variabel Y , maka untuk memudahkan diperlukan tabel bantu sebagai berikut :
Tabel bantu Perhitungan Normalitas
Xi zx Fr Fs І Fr –Fs І
7 -1.43 0.08 0.2 0.12
12 -0.58 0.28 0.4 0.12
17 0.27 0.61 0.6 0.01
20 0.78 0.79 0.8 0.01
21 0.96 0.83 1.0 0.17
77 0 - - -
5.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN UJI KOLMOGOROV-
SMIRNOV
Hipotesis
Ho : tidak beda dengan populasi normal
Ha : Ada beda populasi normal
Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
Cara Hitung rumus statistik penguji.
Setelah data dimasukan dalam kolom pertama dan dihitung frekuensinya, kemudian dilakukan perhitungan sebagai berikut :
a. Cari Fs dengan cara Zi dibagi dengan jumlah data. Dalam contoh baris pertama di atas adalah 1 : 5 = 0.2, demikian seterusnya sampai selesai untuk setiap frekuensi.
89
b. Cari nilai Zx dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai rata-rata dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah (7 – 15.4)/5.86 = - 1.43. untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang sama.
c. Cari nilai Z tabel (Zt) dengan melihat Tabel Kurva Normal baku (Tabel Z ) berdasarkan nilai Zx –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel dilihat dalam baris 1,4 dan kolom 3, diperoleh nilai Z sebesar 0.4236, karena nilai Zx – nya bernilai minus maka nilai Z tabel yang diisikan adalah 0.5 - 0.4236 = 0.0764 (0.08). bila Zx bernilai positif maka nilai Z tabel yang diisikan adalah ditambah 0.5.
d. nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai Fr yang sejajar, contoh untuk baris pertama 0.08 – 0.2 = 0.12.
e. setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І, diperoleh nilai 0.17, kemudian bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 5, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh nilai 0.510, karena І Fr –Fs І lebih kecil dari nilai tabel berarti distribusi normal.
6. METODE SHAPIRO WILK
Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel
distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk
dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai
Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal.
Langkah-langkah penyelesaiannya:
1. Rumus
Keterangan :
D = Berdasarkan rumus di bawah
ai = Koefisient test Shapiro Wilk
90
X n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada data
X i = Angka ke i pada data
Keterangan :
Xi = Angka ke i pada data yang
X = Rata-rata data
G = Identik dengan nilai Z distribusi normal
T3 = Berdasarkan rumus di atas bn, cn, dn = Konversi Statistik Shapiro-Wilk
Pendekatan Distribusi Normal
2. Persyaratan
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Data dari sampel random
3. Signifikansi
Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3
dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk dilihat posisi nilai
probabilitasnya (p).
Jika nilai p lebih dari 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.
91
Jika nilai p kurang dari 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima, Tabel Harga
Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal
Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal.
6.1 CONTOH SOAL
Berdasarkan data usia sebagian balita yang diambil sampel secara random
dari posyandu Mekar Sari Wetan sebanyak 24 balita, didapatkan dat
sebagai berikut : 58, 36, 24, 23, 19, 36, 58, 34, 33, 56, 33, 26, 46, 41, 40
37, 36, 35, 18, 55, 48, 32, 30 27 bulan. Selidikilah data usia balita tersebut
apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal pad
α = 5% ?
6.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELASAIAN CONTOH SOAL UJI
SHAPIRO WILK :
a. Hipotesis
Ho : tidak beda dengan populasi normal
Ha : Ada beda populasi normal
b. Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
c. Rumus statistik penguji
92
d. Hitung rumus statistik penguji
Langkah pertama dihitung nilai D, yaitu :
93
Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu :
94
e. Df/db/dk
= n
f. Nilai tabel
Pada lampiran 6 dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) =
0,963
g. Daerah penolakan
Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10
dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak
h. Kesimpulan
Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
Cara lain setelah nilai T3 diketahui dapat menggunakan rumus G, yaitu
95
Hasil nilai G merupakan nilai Z pada distribusi normal, yang selanjutnya
dicari nilai proporsi (p) luasan pada tabel distribusi normal . Berdasarkan nilai G
= -1,2617, maka nilai proporsi luasan = 0,1038. Nilai p tersebut di atas nilai α = 0,05
berarti Ho diterima Ha ditolak. Data benar-benar diambil dari populasi normal.
7. METODE UJI Z
Dalam kehidupan sehari-hari tidak jarang kita dihadapkan oleh data yang
bervariasi dan fluktuatif, contohnya nilai mahasiswa, tinggi badan mahasiswa,
pemasukan, pengeluaran, keuntungan, dsb. Seringkali kita mengira-ngira besarnya
rata-rata dari data tersebut, namun tidak jarang pula perkiraan tersebut meleset dari
rata-rata sebenarnya. Untuk pengujian rata-rata pada sampel dengan rata-rata yang
diperkirakan sebelum dilakukan pengujian oleh peneliti dapat dilakukan dengan uji Z.
Dengan Uji Z dapat diketahui apakah perkiraan awal peneliti dapat diterima
(hipotesis diterima) atau tidak (hipotesis ditolak).
Penaksir titik rataan populasi μ diberikan oleh statistik . Distribusi berpusat di
μ dan umumnya variansinya lebih kecil dari penaksir μ lainnya. Karena itu rataan
sampel akan dipakai sebagai taksiran titik untuk rataan populasi μ. Menurut teorema
limit sentral, distribusi sampel dapat diharapkan secara hampiran, berdistribusi
normal dengan rataan dari simpangan baku
P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 – α
di mana :
μ = rataan sampel
ĩ = rataan populasi
σ = standar deviasi populasi
n = jumlah sampel
96
RUMUS:
KET:
_
X = mean data sampel
µ = mean data populasi
α = standar deviasi data populasi
n = jumlah sampel yang diteliti
7.1 CONTOH SOAL
Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan melalui
ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1% , ujilah :
apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM kurang dari $500 per bulan ?
7.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAI CONTOH SOAL METODE UJI
Z::
1. Menetukan populasi
2.Menetukan sampel dari populasi dengan menggunakan mathcad, yaitu
menggunakan fungsi Random Number Diskrit
3. Mengambil data berdasarkan sampel yang telah ditentukan
4. Menetukan H0
5. Menetukan H1
6. Memilih nilai level of significance (α)
7. Memilih statistik uji yang sesuai berdasarkan apa yang akan diuji, kondisi data, dan
asumsi
8. Perhitungan daerah kritis atau daerah penolakan
97
Untuk H1 : μ < μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα
Untuk H1 : μ > μo, maka daerah kritisnya adalah Z> Zα
Untuk H1 : μ ≠ μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα/2 dan Z> Zα/2
9. Perhitungan nilai Z sampel
10. Penarikan kesimpulan
JAWAB:
Diketahui: x = 495 s = 45 n=100 µ0 =500 α=1%
1. H0 : µ = 500 H1 : µ < 500
2. statistik uji : z → karena sampel besar
3. arah pengujian : 1 arah
4. Taraf Nyata Pengujian = α = 1% = 0.01
5. Titik kritis → Z < - Z001→ Z < - 2.33 .
6. Statistik Hitung
7. Kesimpulan : z hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500
98
D. SOAL-SOAL LATIHAN
1. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kemiringan/Kemencengan
Berikut adalah data nilai ujian mid mahasiswa pada mata kuliah ekonomi pembangunan.
no data Fi
1 61 - 65 8
2 66 - 70 10
3 71 - 75 16
4 76 - 80 20
5 81 - 85 19
6 86 - 90 17
7 91 - 95 6
8 96 - 100 4
jumlah 100
Dari data di atas, tentukan apakah berdistribusi normal atau bergambar simetris?
2. Soal Latihan Kertas Peluang Normal
Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS
dari angkatan 2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara
sampel . Di mana datanya adalah sbb:
noumur mahasiswa
jumlah (Oi) PROSENTASI
1 17 - 18 18 0,182 19 - 20 19 0,193 21 - 22 20 0,24 23 - 24 21 0,215 25 - 26 22 0,22
99
jumlah 100 1
Apakah temasuk dalam dalam data berdistribusi normal?
3. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square
Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS
dari angkatan 2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara
sampel . Di mana datanya adalah sbb:
noumur mahasiswa
jumlah (Oi)
1 17 - 18 182 19 - 20 193 21 - 22 204 23 - 24 215 25 - 26 22 jumlah 100
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ?
Telah dihitung Mean = 20 ; Standar deviasi = 1,581...
4 Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Lillifors
Berikut adalah hasil penelitian yang dilakukan oleh salah satu mahasiswa tentang
daftar nilai 16 siswa SMA di kota Jambi.
5,8 7,3 8,9 7,1 8,8 6,4 7,2 5,2
10,1 8,6 9,0 9,3 6,4 7,0 9,9 6,8
100
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi
yang berdistribusi normal ? jika diketahui = 7,735, SD = 1,4966.
5. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov
Suatu penelitian tentang berat badan peserta pelatihan kebugaran
fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random,
didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78,
77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%,
apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?
6. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk
Berikut adalah data nilai 18 mahasiswa Pendidikan Ekonomi pada mata kuliah
Matematika Ekonomi: 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 12, 12, 12, 12,
12, 12. Selidikilah data usia balita tersebut apakah data tersebut diambil dari populasi
yang berdistribusi normal pada α = 5% ?
7. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z
rikut adalah data nilai prestasi kerja karyawan yang mendapat training dengan yang
tidak mendapat training.
Dengan taraf nyata 5 % ujilah : Apakah perbedaan rata-rata nilai prestasi kerja µ 1−
µ 2 > 0?
101
E. JAWABAN SOAL LATIHAN
1. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kemiringan/Kemencengan
Penyelesaian:
no data Fi Xi Fi x Xi Xi - X Fi.(Xi -X) (Xi - X)2 Fi. (Xi - X)2
1 61 - 65 8 63 504 -16,35 -130,8 267,323 2138,582 66 - 70 10 68 680 -11,35 -113,5 128,823 1288,2253 71 - 75 16 73 1168 -6,35 -101,6 40,3225 645,164 76 - 80 20 78 1560 -1,35 -27 1,8225 36,455 81 - 85 19 83 1577 3,65 69,35 13,3225 253,12756 86 - 90 17 88 1496 8,65 147,05 74,8225 1271,98257 91 - 95 6 93 558 13,65 81,9 186,323 1117,9358 96 - 100 4 98 392 18,65 74,6 347,823 1391,29 jumlah 100 644 7935 9,2 5,4E-13 1060,58 8142,75
Modus = 75,5 +(4 / (4 + 1)) (5)
= 75,5 + (0,8) (5)
= 75,5 + 4
= 79,5
Median = 80,5 + )(100/2)- 54)/17 (5)
= 80,5 + ((-4)/17) (5)
= 80,5 + (1,18)
= 81,68
Rata-rata = ∑ (Fi . Xi)/Fi
102
= 7935 / 100
= 79,35
SD2 = ∑ Fi. (Xi - X)2 / Fi
= 8142,75 / 100
= √ 81,4275
= 9,024
Kemiringan = (79,35 – 79,5)/9,024 ≈ 3 (79,35 – 81,68)/9,024
= (0,017) ≈ (0,775)
Nilai kemiringan 0,017 atau 0,775, berarti miring ke kiri, tidak simetris
2. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kertas Peluang
Normal
no
umur mahasiswa
KOMULATIF %
1 16,5 0
2 18,5 0,18
3 20,5 0,37
4 22,5 0,57
5 24,5 0,78
26,5 1
103
Selanjutnya Masukan Data Diatas Kedalam Kertas Peluang Normal
3. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square
Penyelesaian:
104
nobatas kelas bawah
Z Pi Oi Pi - OiOi - Ei
(Oi - Ei )2 (Oi-Ei)/Ei
116,5 - 18,5
-2,21 – (-0,95)
0,0122 – 0,1469 = -0,1347 18 18,135 -0,135 0,0181441 0,001000518
218,5 - 20,5
-0,95 – 0,32
0,1469 – 0,3632 = 1,1058 19 17,894 1,1058 1,2227936 0,068334636
320,5 -22,5
0,32 – 1,58
0,3632 – 0,1056 =0,2576 20 19,742 0,2576 0,0663578 0,00336118
422,5 -24,5
1,58 – 2,85
0,1056 – 0,0016 =0,1040 21 20,896 0,104 0,010816 0,000517611
524,5 - 26,5
2,85 – 4,11
0,0016 – 0,0001 =0,0015 22 21,999 0,0015 0.0000025 0
100 1,3181115 0,073213945
Hipotesis
Ho : tidak beda dengan populasi normal
Ha : Ada beda populasi normal
Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
Hitung rumus statistik penguji.
X2 = 0,073213945
105
Df/db/dk
Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2
Nilai tabel
Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991.
Daerah penolakan
Menggunakan rumus 0,073213945 < 5,991 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
Kesimpulan
Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
4. Jawaban Soal Latihan Uji Normolitas Dengan Metode Uji Lilliefors
Penyelesaian:
Hipotesis
Ho : tidak beda dengan populasi normal
Ha : Ada beda populasi normal
Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
Tabel Uji normalitas dengan metode uji Lilliefors
i xi z F0(xi) S(xi) |S(xi) – F0(xi)|
1 5,20 -1,70 0,0446 0,0625 0,0179
2 5,80 -1,29 0,0985 0,1250 0,0265
106
i xi z F0(xi) S(xi) |S(xi) – F0(xi)|
3 6,40 -0,89 0,1867 0,1875 0,0008
4 6,40 -0,89 0,1867 0,2500 0,0633
5 6,80 -0,63 0,2643 0,3125 0,0482
6 7,00 -0,49 0,3121 0,3750 0,0629
7 7,10 -0,43 0,3336 0,4375 0,1039
8 7,20 -0,36 0,3594 0,5000 0,1406
9 7,30 -0,29 0,3859 0,5625 0,1766
10 8,60 0,58 0,7190 0,6250 0,0940
11 8,80 0,71 0,7611 0,6875 0,0736
12 8,90 0,78 0,7823 0,7500 0,0323
13 9,00 0,84 0,7995 0,8125 0,0130
14 9,30 1,04 0,8508 0,8750 0,0242
15 9,90 1,44 0,9251 0,9375 0,0124
16 10,10 1,58 0,9429 1,0000 0,0571
nilai Dhitung terbesar, yaitu 0,1766.
Nilai tabel
Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,213.
Daerah penolakan
Menggunakan rumus 0,1766 < 0,213 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
Kesimpulan
Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
5. Jawaban soal latihan uji Normalitas dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov
107
Penyelesaian:
Hipotesis
Ho : tidak beda dengan populasi normal
Ha : Ada beda populasi normal
Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
108
Hitung rumus penguji
Nilai FT − FS tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu
0,1440
109
Nilai tabel
Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α = 0,05 ; N = 27 ; ≈ 0,254. Tabel Kolmogorov
Smirnov
Daerah penolakan
Menggunakan rumus 0,1440 < 0,2540 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
Kesimpulan
Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
6. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk
no Xi X (Xi – X) (Xi – X)2
1 7 10,19 -3,19444 10,2042 7 10,19 -3,19444 10,2043 9 10,19 -1,19444 1,42674 9 10,19 -1,19444 1,42675 9 10,19 -1,19444 1,42676 9 10,19 -1,19444 1,42677 9 10,19 -1,19444 1,42678 10,5 10,19 0,305556 0,09349 10,5 10,19 0,305556 0,093410 10,5 10,19 0,305556 0,0934
11 10,5 10,19 0,305556 0,0934
12 10,5 10,19 0,305556 0,0934
13 12 10,19 1,805556 3,26
14 12 10,19 1,805556 3,2615 12 10,19 1,805556 3,2616 12 10,19 1,805556 3,2617 12 10,19 1,805556 3,26
110
18 12 10,19 1,805556 3,26 183,5 47,569
D = 47,569
Menghitung T:
NO ai (X(n-i+1) – Xi) Ai( X(n-i+1) – Xi)
1 0,4886 12 - 7 = 5 2,443
2 0,3253 12 - 7 = 5 1,6265
3 0,2553 12 - 9 = 3 0,7659
4 0,2027 12 - 9 = 3 0,6081
5 0,1587 12 - 9 = 3 0,4761
6 0,1197 12 - 9 = 3 0,3591
7 0,0837 10,5 - 9 = 0,5 0,04185
8 0,0496 0 0
9 0,0163 0 0
jumlah 6,32055
T3 = 1/47,569 (6,32055)2
111
= 0,021 ( 39,949)
= 0,839
Df/db/dk = n
Nilai tabel
nilai α (0,10) = 0,914 ; nilai α (0,50) = 0,956
Daerah penolakan
Nilai T3 terletak di bawah 0,914 dan 0,956, atau nilai p hitung terletak di bawah 0,10
dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak
Kesimpulan
Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.
7. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z:
Penyelesaian:
α = 5 % d0 = 0
2* statistik uji : z → karena sampel besar
3* arah pengujian : 1 arah
4* Taraf Nyata Pengujian = α = 5%
5. Titik kritis → Z>Z5%→ Z > 1.645
6. Statistik Hitung
112
7. Kesimpulan : Z hitung = 4 ada di daerah penolakan H0
H0 ditolak, H1 diterima → beda rata-rata prestasi kerja > 0
113
114
UJI HOMOGENITAS (UJI KESAMAAN DUA VARIANS)
A. PENGERTIAN UJI HOMOGENITAS
B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI HOMOGENITAS
Uji homogenias atau uji kesamaan dua varians digunakan untuk menguji
apakah kedua data tersebut homogen yaitu dengan membandingkan kedua
variansnya. Jika kedua varians sama besarnya, maka uji homogenitas tidak perlu
dilakukan lagi karena datanya sudah dapat dianggap homgen. Namun untuk varians
yang tidak sama besarnya, perlu diadakan pengujian pengujian homogenitas melalui
uji kesamaan dua varians ini.
Uji homogenitas dapat di lakukan apabila datanya bersivat normal.
FUNGSI UJI HOMOGENITAS
Fungsi dari uji homogenitas yaitu untuk membuktikan apakah kelompok data-data
tersebut bersifat homoge atau tidak.
CARA PENGUJIAN HOMOGENITAS
1. Varians terbesar dibandingkan varians terkecil.
2. Varians terkecil dibandingkan varians terbesar.
3. Uji barlett (untuk lebih dari dua kelompok.
C. BAGIAN-BAGIAN UJI HOMOGENITAS
1. PENGUJIAN DENGAN RUMUS FARIANS F
Pengujian homogenitas data dengan menggunakan rumus farians dilakukan untuk
menguji 2 kelompok varians. Pada rumus fariasn kita dapat melakukan uji
homogenitas apabila telah melakukan penelitian. Terdapat dua rumus farians sebagai
berikut:
1. VARIANS TERBESAR DIBANDINGKAN VARIANS TERKECIL
115
- Cari Fhitung dengan menggunakan rumus:
- Tetapkan taraf signifikasi (α)
- Hitung Ftabel dengan rumus
Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel
- Tentukan kriteria pengujian Ho yaitu:
Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)
- Bandingkanlah Fhitung dengan Ftabel
- Buatlah kesimpulan.
1.1 CONTOH SOAL
Didalam suatu kelompok pengujian terdapat 2 kelmpok yang memiliki varians-
varians sebagai berikut:
Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14
Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15
Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen?
α = 10%
1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL
Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2
H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians
2
116
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)
F =
Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus
yaitu:
Kelompok 1:
=
=
= = 9,7
xi (xi - ) (xi - )
10 0,3 0,09
3 -6,7 44,89
12 2,3 5,29
5 -4,7 22,09
7 -2,7 7,29
10 0,3 0,09
8 -1,7 2,89
14 4,3 18,49
14 4,3 18,49
14 4,3 18,49
97 138,10
Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :
S2 =
117
S2 =
S2 =15,344444
Kelompok ke 2:
=
=
= = 7,9
xi (xi - ) (xi - )
3 -4,9 24,01
5 -2,9 8,41
7 -0,9 0,81
8 -0,1 0,01
1 -6,9 47,61
1 -6,9 47,61
12 4,1 16,51
13 5,1 26,01
14 6,1 37,21
15 7,1 50,41
79 258,6
Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :
118
S2 =
S2 =
S2 = 28,73333333333
Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:
Varians terbesar: 28,733333333333 atau 28,73
Varians terkecilnya: 15,344444 atau 15,34
F=
F = 1,87288
Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1)
Ftabel = F0,05 (9, 9)Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)
1,87288 ≤ 3,18
Maka Ho diterima (homogen)
2. VARIANS TERKECIL DIBANDINGKAN VARIANS TERBESAR
119
F =
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)
Langkah-langkahnya: untuk langkah-langkahnya sama seperti di atas, tetapi
sedikit ada perbedaan
Rumusnya:
Lalu mencari Ftabel kanan dengan rumus:
Atau
Setelah itu barulah dibandingkan nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan
2.1 CONTOH SOAL
Didalam suatu kelompok pengujian ter dapat 2 kelmpok yang memiliki varians-
varians sebagai berikut:
Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14
Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15
Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen?
α = 10%
2.1 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIN CONTOH SOAL
Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2
H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians
2
120
Fkini =
Ftabel kanan = F1/2α (dk varians terkecil – 1, deka varians terbesar -1)
Ftabel kiri =
Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus
yaitu:
Kelompok 1:
=
=
= = 9,7
xi (xi - ) (xi - )
10 0,3 0,09
3 -6,7 44,89
12 2,3 5,29
5 -4,7 22,09
7 -2,7 7,29
10 0,3 0,09
8 -1,7 2,89
14 4,3 18,49
14 4,3 18,49
14 4,3 18,49
97 138,10
Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :
S2 =
121
S2 =
S2 =15,344444
Kelompok ke 2:
=
=
= = 7,9
xi (xi - ) (xi - )
3 -4,9 24,01
5 -2,9 8,41
7 -0,9 0,81
8 -0,1 0,01
1 -6,9 47,61
1 -6,9 47,61
12 4,1 16,51
13 5,1 26,01
14 6,1 37,21
15 7,1 50,41
79 258,6
Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :
122
S2 =
S2 =
S2 = 28,73333333333
Dengan menggunakan rumus yang sebaliknya kita akan mendapatkan F kini
Fkini =
Fkini = 0,533936651 atau 0,53Setelah dapat F kini barulah kita mencari F kanan dengan rumus:
Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1)Ftabel kanan = F 5% (9, 9)Ftabel kanan = 3,18
Selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:
Ftabel kiri =
Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314
Setelah didapat semua barulah kita menguji kriteria pengujianya, yaitu:nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan
-0,314 ≤ 0,53 ≤ 3,18
H0 diterima (homogen)
123
Fkini =
Ftabel kanan = F1/2α (dk varians terkecil – 1, deka varians terbesar -1)
Ftabel kiri =
3. UJI BARLET
Uji barlet digunakan apabila pengujian homogenitas dilakukan terhadap tiga
kelompok varians atau lebih.
Langkah-langkah yang harus dilakukan sebagai berikut:
- Menghitung S2 dengan menggunakan rumus:
- Hitung log S2
- Hitung B dengan rumus
- Cari hitung dengan rumus:
- Tetapkan taraf signitifnya (α)
- Cari tabel dengan rumus:
Dimana dk = banyaknya kelompok -1
Dengan menggunakan tabel didapat hitung
124
B = (log S2 ) ∑(n1 – 1)
hitung = (2,3026) B - ∑ (n1 –
tabel = (1-α)
(dk)
- Bandingkan hitung dengan tabel
2.1 CONTOH SOAL
Kelompok varians
1 dengan anggota 7 20, 21, 22, 35, 31, 45, 12
2 dengan anggota 9 12, 22, 25, 22, 30, 32, 26, 27, 24
3 dengan anggota 5 17, 20, 23, 29, 27
Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau
0,01
2.2LANGKAH-LANKAH PENYELESAIAN:
Ha = terdapat perbedaan varians
H0 = tidak terdapat perbedaan varians
Kelompok 1:
Xi =
Xi =
Xi = 26,5714 atau 26,6
xi (xi - ) (xi - )
20 -6,6 43,56
21 -5,6 31,36
22 -4,6 21,16
35 8,4 70,56
31 4,4 19,36
45 18,4 338,56
12 -14,6 213,16
125
186 738,72
S2 =
S2 =
S2 = 123,12
Kelompok ke 2:
Xi =
Xi = Xi = 24,44444444 atau 24,4
xi (xi - ) (xi - )
12 -12,4 153,76
22 -2,4 5,76
25 0,6 0,36
22 -2,4 5,76
30 5,6 31,36
32 7,6 57,76
26 1,6 2,56
27 2,6 6,76
24 -0,4 0,16
220 264,04
126
S2 =
S2 =
S2 = 33,005
Kelompok ke 3:
Xi =
Xi =
Xi = 23,2
xi (xi - ) (xi - )
17 -6,2 38,44
20 -32 10,24
23 -0,2 0,04
29 5,8 33,64
27 3,8 14,44
116 96,8
S2 =
S2 =
S2 = 24,2
127
Kelompok varians S2
1 dengan anggota 7 20, 21, 22, 35, 31, 45, 12 123,12
2 dengan anggota 9 12, 22, 25, 22, 30, 32, 26, 27,
24
33,005
3 dengan anggota 5 17, 20, 23, 29, 27 24,2
Tabel barlet
Kelompok
ke
Dk (n-1) log dk dk log
1 6 0,16 123,12 2,09 738,72 12,54
2 8 0,12 33,005 1,52 264,04 12,16
3 4 0,25 24,2 1,39 96,8 5,56
jumlah 18 0,53 - - 1099,58 30,26
Hitung dengan menggunakan rumus:
=
= 61,03
log = log 61,03 = 1,785
B = (1,785) (18) = 32,13
128
hitung = 2,3026 (32,13 – 30,26) = 4,305862 atau 4,305
Taraf signifikansi (α) = 0,01
tabel (1 – α)(dk) = 0,99 (2)
Dk = 3 – 1
= 2
Dengan menggunakan tabel didapat tabel = 9,21
hitung ≤ tabel = 4,30 ≤ 9,21
Jadi H0 diterima (homogen)
129
D. SOAL LATIHAN
1) Terdapat dua macam pengukuran prosedur kerja di sebuah kantor:
Kelompok 1: 5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2
Kelompok 2: 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2
Diketahui α = 0,10 (10%)
Pertanyaanya:
Apakah kedua kelompok varians tersebut memiliki varians yang homogen?
Buktikan dengan menggunakan rumus:
a. Varians terbesar dibagi varians terkecil
b. Varians terkecil dibagi varians terbesar
2) Terdapat empat kelompok penelitian yaitu:
Kelompok 1: 3, 10, 12, 1, 5, 7
Kelompok 2: 6, 4, 13, 11, 1
Kelompok 3: 5, 5, 9, 10, 11, 16
Kelompok 4: 2, 1, 4, 3, 10
Diketahui α = 0,01(1%)
130
E. JAWABAN SOAL LATIHAN
1) A
Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2
H0 = tidak dapat perbedaan varians 1 dan varians 2
KELOMPOK VARIANS
Kelompok ke 1 5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2
Kelompok ke 2 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2
Kelompok 1:
=
=
= = 4,9
xi (xi - ) (xi - )
5 0,1 0,01
2 -2,9 8,41
5 0,1 0,01
1 -3,9 15,21
6 1,1 1,21
7 2,1 4,41
3 -1,9 3,61
6 1,1 1,21
131
6 1,1 1,21
2 -2,9 8,41
49 43,7
Setelah itu baru lah cari simpangan baku dengan rumus :
S2 =
S2 =
S2 =4,855555556 atau 4,85
Kelompok ke 2:
=
=
= = 5,3
xi (xi - ) (xi - )
3 -2,3 5,29
3 -2,3 5,29
6 0,7 0,49
9 3,7 13,69
8 2,7 7,29
6 0,7 0,49
7 1,7 2,89
132
5 -0,3 0,09
4 -1,3 1,69
2 -3,3 10,89
53 48,01
Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :
S2 =
S2 =
S2 = 5,334444444
Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:
Varians terbesar: 5,334444444 atau 5,33
Varians terkecilnya: 4,855555556 atau 4,85
F=
F = 1,098969072
Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1)
Ftabel = F 5%(9, 9)Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)
1,098969072 ≤ 3,18
133
F =
Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)
Maka Ho diterima (homogen)
B. Dengan meggunakan rumus yang ke 2 kita tidak perlu lagi mengulang rumus
pertama untuk mencari F tabel tapi kita langsung saja mencari F kini dengan rumus:
Fkini =
Fkini = 0,909943714 atau 0,91Setelah dapat F kini barulah kita mencari F kanan dengan rumus:
Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1)Ftabel kanan = F 5% (9, 9)Ftabel kanan = 3,18selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:
Ftabel kiri =
Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314
Setelah didapat semua barulah kita menguji kriteria pengujianya, yaitu:nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan
-0,314 ≤ 0,91 ≤ 3,18
H0 diterima (homogen)
No 2.
Kelompok varians
134
Fkini =
Ftabel kanan = F1/2α (dk varians terkecil – 1, deka varians terbesar -1)
Ftabel kiri =
1 dengan jumlah varians 6 3, 10, 12, 1, 5, 7
2 dengan jumlah varians 5 6, 4, 13, 11, 1
3 dengan jumlah varians 6 5, 5, 9, 10, 11,16
4 dengan jumlah varans 5 2, 1, 4, 3, 10
Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau
0,01
Jawab:
Ha = terdapat perbedaan varians
H0 = tidak terdapat perbedaan varians
Kelompok 1:
Xi =
Xi =
Xi = 6,333333333 atau 6,3
xi (xi - ) (xi - )
3 -3,3 10,89
10 3,7 13,69
12 5,7 32,49
1 -5,3 28,09
5 -1,3 1,69
7 0,7 0,49
48 87,34
S2 =
135
S2 =
S2 = 17,468
Kelompok ke 2:
Xi =
Xi =
Xi = 7
xi (xi - ) (xi - )
6 -1 1
4 -3 9
13 6 36
11 4 16
1 -6 36
35 98
S2 =
S2 =
S2 = 24,5
Kelompok ke 3:
Xi =
136
Xi =
Xi = 9,333333333 atau 9,3
xi (xi - ) (xi - )
5 -4,3 18,49
5 -4,3 18,49
9 -0,3 0,09
10 0,7 0,49
11 1,7 2,89
16 6,7 44,89
56 85,34
S2 =
S2 =
S2 = 17,068
Kelompok ke 4:
Xi =
Xi =
Xi = 4
137
xi (xi - ) (xi - )
2 -2 4
1 -3 9
4 0 0
3 -1 1
10 6 36
20 50
S2 =
S2 =
S2 = 12,5
Kelompok varians S2
1 dengan jumlah varians 6 3, 10, 12, 1, 5, 7 17,468
2 dengan jumlah varians 5 6, 4, 13, 11, 1 24,5
3 dengan jumlah varians 6 5, 5, 9, 10, 11,16 17,068
4 dengan jumlah varans 5 2, 1, 4, 3, 10 12,5
Tabel barlet
Kelompok
ke
Dk (n-1) log dk dk log
1 5 0,2 17,468 1,24 22,468 6,2
2 4 0,25 24,5 1,39 98 5,56
3 5 0,2 17,068 1,23 85,34 6,15
4 4 0,25 12,5 1,10 50 4,4
jumlah 18 0,9 - - 255,808 22,31
138
Hitung dengan menggunakan rumus:
=
= 1,24
log = log 1,24 = 0,093
B = (0,093) (18) = 1,674
hitung = 2,3026 (1,674 – 22,31) = -20,636
Taraf signifikansi (α) = 0,01
tabel (1 – α)(dk) = 0,99 (3)
Dk = 4 – 1= 3
Dengan menggunakan tabel didapat tabel = 11,3
hitung ≤ tabel = -20,636 ≤ 11,3
Jadi H0 diterima (homogen)
139
140
REGRESI & KORELASI LINIER SEDERHANA
1. PENGERTIAN REGRESI KORELASI
• Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911)
• Persamaan regresi :Persamaan matematik yang memungkinkan peramalan nilai
suatu
peubah takbebas (dependent variable) dari nilai peubah bebas (independent
variable)
• Diagram Pencar = Scatter Diagram
Diagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah takbebas dan peubah
bebas.
Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal)
Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal)
Nilai peubah takbebas ditentukan oleh nilai peubah bebas
Anda sudah dapat menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas?
Contoh 1:
Umur Vs Tinggi Tanaman (X : Umur, Y : Tinggi)
Biaya Promosi Vs Volume penjualan (X : Biaya Promosi, Y : Vol. penjualan)
2. BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN REGRESI :
A. Regresi Linier
- Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana Y = a + bX
Keterangan:
Y : peubah takbebas
X : peubah bebas
a : konstanta
b : kemiringan
141
- Bentuk Umum Regresi Linier Berganda
Y = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn
Y : peubah takbebas a : konstanta
X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1
X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2
Xn : peubah bebas ke-n bn : kemiringan ke-n
B. Regresi Non Linier
- Bentuk umum Regresi Eksponensial
Y = abx
log Y = log a + (log b) x
1. REGRESI LINIER SEDERHANA
• Metode Kuadrat terkecil (least square method): metode paling populer untuk
menetapkan persamaan regresi linier sederhana
- Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana : Y = a + bX
Ket:
Y : peubah takbebas
X : peubah bebas
a : konstanta b : kemiringan
Nilai b dapat positif (+) dapat negartif (-)
142
: positif → Y b : negatif → Y
Y = a+bX Y= a - bX
•
Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana
n : banyak pasangan data
yi : nilai peubah takbebas Y ke-i
xi : nilai peubah bebas X ke-i
1.1 CONTOH SOAL
Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan
Minyak Goreng.
Tahun x
Biaya
Promosi
(Juta
Rupiah)
y
Volume
Penjualan
(Ratusan
Juta Liter)
xy x² y²
1992 2 5 10 4 25
143
1993 4 6 24 16 36
1994 5 8 40 25 64
1995 7 10 70 49 100
1996 8 11 88 64 121
Σ Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346
1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Bentuk umum dari regresi linier sederhana : Y = a + bX
Peramalan dengan Persamaan Regresi
Contoh soal
Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan
dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut
Y = 2.530 + 1.053 X
Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta ?
Jawab : Y = 2.530 + 1.053 X
X = 10
Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter)
144
Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter
2. REGRESI LINIER BERGANDA
• Pembahasan akan meliputi regresi linier dengan 2 Variabel Bebas (X1 dan X2) dan 1
Variabel Tak Bebas (Y).
• Bentuk Umum : Y = a + b1 X1 + b2 X2
Y : peubah takbebas a : konstanta
X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1
X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2
• a , b1 dan b2 didapatkan dengan menyelesaikan tiga persamaan Normal berikut:
n : banyak pasangan data yi : nilai peubah takbebas Y ke-i x1i : nilai peubah bebas X1 ke-i x2i : nilai peubah bebas X2 ke-i
2.1 CONTOH SOAL:
Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel
biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris
(X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit)
x1 X2 y x1 x2 x1y x2y x1² x2² y²
2 3 4 6 8 12 4 9 16 3 4 5 12 15 20 9 16 25 5 6 8 30 40 48 25 36 64 6 8 10 48 60 80 36 64 100
145
7 9 11 63 77 99 49 81 121 8 10 12 80 96 120 64 100 144 xΣ1=31 xΣ2=
40 yΣ=50 xxΣ12=
239 xyΣ1= 296
xyΣ2=379
xΣ12= 187
xΣ22= 306
yΣ2= 470
2.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESIAN
Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1 X1 + b2 X2
Masukan notasi-notasi ini dalam persamaan normal
Sehingga didapat persamaan berikut:
146
Sehingga Persamaan Regresi Berganda
a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai 0.75 + 0.50 X1 + 0.75 X2
147
148
UJI LINEARITAS
1. PENGERTIAN UJI LINEARITAS ( REGRESI )
Uji Linearitas merupakan lanjutan dari Regresi. Regresi adalah hubungan
fungsional antara variabel – variabel. Sedangkan analisa regresi adalah mempelajari
bagaimana antar variabel saling berhubungan. Hubungan antar varibel pada
umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang dikenal dengan
hubungan fungsional antar variabel.
Dalam analisis regresi dibedakan dua jenis variabel, yakni variabel bebas atau
predictor tak bebas / terikat atau variabel respon. Variabel yang sering mudah didapat
digolongkan ke dalam variabel bebas, sedangkan variabel yang terjadi karena variabel
bebas merupakan variabel tak bebas / terikat. Untuk keperluan analisis variabel bebas
dilambangkan dengan X1, X2……., Xk, sedangkan untuk variabel tak bebas
dinyatakan dengan Y.
Untuk keperluan analisis registrasi dibedakan : registrasi linear sederhana dan
registrasi linear ganda. Registrasi linear sederhana adalah bentuk hubungan
fungsional antara satu variabel bebas dengan variabel terikat. Sedangkan registrasi
linear ganda adalah bentuk hubungan fungsional antara dua variabel terikat atau lebih
dengan variabel bebas.
2. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI LINEARITAS
Uji linearitas dipergunakan untuk melihat apakah model yang dibangun
mempunyai hubungan linear atau tidak. Uji ini jarang digunakan pada berbagai
penelitian, karena biasanya model dibentuk berdasarkan telaah teoretis bahwa
hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikatnya adalah linear. Hubungan
antar variabel yang secara teori bukan merupakan hubungan linear sebenarnya sudah
tidak dapat dianalisis dengan regresi linear, misalnya masalah elastisitas.
149
Jika ada hubungan antara dua variabel yang belum diketahui apakah linear
atau tidak, uji linearitas tidak dapat digunakan untuk memberikan adjustment bahwa
hubungan tersebut bersifat linear atau tidak. Uji linearitas digunakan untuk
mengkonfirmasikan apakah sifat linear antara dua variabel yang diidentifikasikan
secara teori sesuai atau tidak dengan hasil observasi yang ada.
3. BAGIAN – BAGIAN DARI UJI LINERARITAS
Bagian – bagian dari Uji Lineraritas yaitu :
uji linear sederhana
Uji linearitas berganda
A. UJI LINEAR SEDERHANA
1. CONTOH SOAL UJI LINEAR SEDERHANA
Contoh 1 :
Karena kita melanjutkan bahasan dari kelompok 7, maka contoh soalnyapun diambil
dari kelompok 7, Contoh soal yang pertama adalah :
Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan
Minyak Goreng.
Tahun x
Biaya
Promosi
(Juta
Rupiah)
y
Volume
Penjualan
(Ratusan
Juta Liter)
xy x² y²
1992 2 5 10 4 25
1993 4 6 24 16 36
1994 5 8 40 25 64
1995 7 10 70 49 100
150
1996 8 11 88 64 121
Σ Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346
2. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL
Dari penghitungan yang telah dilakukan oleh kelompok 7 maka diketahui persamaan
Y = 2.530 + 1.053 X
Maka langkah selanjutnya kita akan menghitung nilai r :
Nilai r = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume
penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi
Rr=2=098572...= 0.97165....= 97 % . y= yy
151
Nilai R = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume
penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) melalui hubungan
linier.
Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain.
B. UJI LINIER BERGANDA
• Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi notasi sebagai berikut :
.12
2. LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL
152
1. CONTOH SOALData diambil berdasarkan data dari kelompok 7:
Nilai = 99.53% menunjukkan bahwa 99.53% proporsi keragaman nilai peubah Y
(volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) dan
XRy.1222 (biaya aksesoris) melalui hubungan linier. Sisanya sebesar 0,47 dijelaskan
oleh hal-hal lain.
153
4. SOAL LATIHAN
Seperti yang sebelumnya, untuk uji linier berganda inipun kita melanjutkan dari
kelompok 7, maka contohnya pun diambil dari kelompok 7.
Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel
biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris
(X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit).
x1 x2 y x1 x2 x1y x2y x1² x2² y²
2 3 4 6 8 12 4 9 16 3 4 5 12 15 20 9 16 25 5 6 8 30 40 48 25 36 64 6 8 10 48 60 80 36 64 100 7 9 11 63 77 99 49 81 121 8 10 12 80 96 120 64 100 144 xΣ1=31 xΣ2=
40 yΣ=50 xxΣ12=
239 xyΣ1= 296
xyΣ2=379
xΣ12= 187
xΣ22= 306
yΣ2= 470
154
5. JAWABAN SOAL LATIHAN
Dari contoh Regresi (kelompok 7), maka akan dilakukan penghitungan linearitasnya.
155
156
UJI BEDA (UJI-T)
1. PENGERTIAN UJI BEDA (UJI-T)
Sesuai dengan namanya, maka uji ini dipergunakan untuk mencari perbedaan,
baik antara dua sampel data atau antara beberapa sampel data, dimana uji ini
menggunakan beberapa persyaratan tertentu, yaitu diantaranya :
a. Sampel penelitian harus diambil secara random (secara acak) dari suatu
populasi yang berdistribusi normal.
b. Gejala data yang didapat harus berskala interval atau rasio.
c. Variabel – variabel penelitian tidak lebih dari satu (satu variabel dengan
data berskala nominal dengan satu variabel dengan data interval atau rasio,
atau sebaliknya).
2. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI BEDA (uji-t)
Kegunaan t-test sebagai alat analisis data, dapat dipakai untuk menguji
satu sampel atau dua sampel. Khusus untuk pengujian dua sampel, uji-t dapat
dipakai untuk menguji dua sampel yang bebas dan atau sampel yang
berkorelasi. Sedangkan untuk pengujian sampel bebas, uji-t dapat dipakai
untuk menganalisis varians yang bersifat homogen ataupun heterogen.
Penggunaan uji-t untuk kepentingan analisis data, bertolak pada harga rata –
rata ( mean ) alam upaya menentukan apakah perbedaan rerata tersebut adalah
perbedaan nyata, dan bukan karena kebetulan. Khusus untuk penggunaan t-tes
pada satu sampel, maka dua merata yang hendak dibandingkan, adalah rerata
dari sampel dan rerata dari populasiny
3. BAGIAN – BAGIAN UJI BEDA
1. Uji Beda mean untuk sampel besar (>30)
157
Untuk uji beda rerata dimana jumlah kasus dalam sampel – sampel
yang dikenai penelitian lebih besar dari 30, maka t-test (uji-t) tidak dapat
dipakai lagi. Adapun formulasi rumusan yang disarankan dipakai untukk
menganalisis kasus ini adalah uji-Z yang formulasi rumusannya adalah
sebagai berikut :
Z =
Keterangan:
Z = koefisien Z
S12 = Varians sampel pertama
S22 = Varians sampel kedua
= Rerata Sampel Pertama
= Rerata sampel kedua
n1 = jumlah kasus pada sampel pertama
n2 = jumlah kasus pad sampel kedua.
2. Analisis t-test (uji-t) untuk satu kasus sampel
Penggunaan t-tes untuk satu kasus sampel ini, skala data yang
diperkenankan adalah data yang berskala interval dan biasanya digunakan
untuk uji batas keyakinan (confidence limits) atau uji batas keyakinan
interval (confidence interval). Sedangkan WS. Gossett dengan
menggunakan nama samara student’s memakai formulasi t-test ini untuk
uji kebalikan (goodness of fit) pada sampel kecil yang diambil dari suatu
populasi, sehingga rumusan tersebut juga dikenal dengan nama uji student.
158
Formulasi rumusan t-tes untuk kasus satu sampel yang diambil secara
random dari suatu populasi adalah sebagai berikut :
t =
keterangan :
t : Koefisien t
X : Mean (rerata) sampel
u : Mean (rerata) populasi
S : Standars kesesatan mean.
Adapun rumusan untuk mencari standars kesesatan mean, dapat
digunakan rumusan sebagai berikut:
Sx =
Keterangan:
S : standar deviasi sampel
N : Jumlah kasus
3. T-test untuk analisa dua kasus sampel yang saling berhubungan
Kondisi sampel yang berhubungan ini, dapat berupa dua sampel yang
bervalidasikan (berkondisi sama) terlebih dahulu sebelum dibeeri
perlakuan, dapat pula dau sampel ini datanya berpasang – pasangan, dan
kemungkinan sampel dalam hal ini hanya satu, namun diberi perlakuan
159
dua kali, sehingga uji beda meannya dikenakan pada sampel dengan
perlakuan (treadment) X dan sampel yang sama namun mendapatkan
perlakuan Y. T-tes untuk dua sampel yang berhubungan (correlated
sample) formula rumusnya adalah sebagai berikut:
t =
keterangan:
t : koefisien t
Xt :rerata atau mean sampel pertama
X2 : rerata atau mean sampel kedua
D : beda antara skor sampel pertama dan kedua
N : jumlah pasangan sampel.
4. CONTOH SOAL UJI BEDA
1) Contoh perhitungan Uji Beda Mean untuk sampel besar (>30)
Peneliti ingin membuktikan apakah ada pembedaan tingkat pertumbuhan
balita yang diberi ASI dan yang diberi susu kaleng, pada tahun
pertumbuhan pertama. Setelah dilakukan pengumpulan data diperoleh
besaran-besaran sebagai berikut: Balita yang mengkonsumsi ASI:
ni = 44
= 78.09
S12 = 304.15
Balita yang mengkonsumsi susu kaleng :
ni = 49
160
= 68.14
S22 = 325.15
5. LANGKAH – LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL
Untuk mencari besarnya koefisien Z. dengan formulasi rumus 15.0 dapat
dilakukan dengan mengikuti prosedur sebgai berikut :
Z =
Z =
Z =
Z =
Z =
Z = 2.67
161
Tes signifikansi dapat dilihat pada tabel asumsi perkiraan distribusi
normal, prosedurnya adalah sebagi berikut :
1. Berdasar pada besaran Z = 2.67 lalu lihat tabel “area kurvanormal dan
ordinat dari kurva normal “ ditemukan separoh daerah kurva normal
sebesar 0.4962 atau 49.62% hal berarti untuk seluruh daerah kurva
mencakup 2 x 49.62% = 99.24%
2. Dalam kurva normal daerah penerimaan perbedaan rerata yang disebabkan
karena kesalahan sampling adalah sebgai berikut:
a. Taraf kepercayaan 95%
≥1.65 atau≤-1.65 (one - tailed test)
≥1.96 atau ≤-1.96 (two – tailed test)
b. Taraf kepercayaan 99%
≥ 2.23 atau ≤ -2.33 (one – tailed test)
≥2.58 atau ≤ (two – tailed test)
3. Jika dalam menggunakan taraf kepercayaan 95% maupun 99% untuk two-
tailed test, 99.24% berada di luar daerah penerimaan perbedaan rerata
(mean) sebab 99.24% lebih besar dari 1.96% maupun 2.58%
4. Kesimpulan adalah bahwa perbedaan rerata mean dari sampel-sampel
diatas bukan karena kesalahan sampling, untuk itu hipotesis nihilnya yang
di ajukan ditolak dari hipoteisi kerja atau hipotesis alternatifnya diterima,
baik pada taraf kepercayaan 95% maupun 99%. Jika peneliti dalam
persoalan ini megajukan hipotesis nihil :
“tidak ada perbedaan tingkat pertumbuhan pada tahun pertama, bagi
belita yang diberi ASI dan diberi susu Kaleng”
2) Contoh Perhitungan Uji-t
a) T-test untuk analisis satu kasus sampel
162
Contoh:
Seorang peneliti ingin melakukan kajian tentang kemampuan
ujian peserta pencari surat izin mengemudi (sim) kendaran bermotor di
SAMSAT di Jember. Untuk keperluan penelitian diambil sampel
sebanyak 50 peserta, yang dipilih secra acak (random). Standar
kelulusan yang di tentukan oleh SAMSAT adalah skor 60 (sebagai
rata-rata populasi).
Dari sampel diperoleh rata-rata skor ujian sebesar 55 dengan
(S) simpangan baku (standar deviasi) sebesar 15. Berdasarkan data ini
KASAD lantas membuat pernyataan bahwa:
“semua peserta ujian mencari SIM dijember mempunyai kemampuan
menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan”.
Berdasarkan data di atas, berikut ini dapat dilakukan perhitungan t-tes
atau uji-t nya.
=
=
Berdasarkan hasil perhitungan diatas, maka besarnya standar kesesatan
meannya adalah 2.14, dari besaran ini maka koefisien t nya dapat
dicari dengan rumusan t-tes, sebgai berikut:
t =
t =
163
t = -2.34
jika pernyataan KASAD Lantas diatas diformulasikan kedalam
hipotesis nihil maka akan berbunyi pernyataan sebagai berikut :
“tidak semua peserta ujian mencari SIM dijember mempunyai
kemampuan menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan”
Untuk melakukan pengujian hipotesis ini terlebih dahulu dicari derajat
kebebasannya (db) terlebih dahulu yaitu dengan rumus db = N-1, jika
N = 50 maka db = 50-1 =49. Bila besaran derajat kebebasan ini di
konsultasikan pada tabel kritik untuk uji-t, maka diperoleh harga kritik
untuk taraf kepercayaan 99% = 2.704 dan harga taraf kepercayaan
95% = 2.021
b) T-test untuk analisis dua kasus sampel
Contoh :
Seorang peneliti ingin mengetahui perbedaan kemampuan
penguasaan materi penataran, untuk penelitian ini diambil sampel
secara acak sebanyak 20 responden, yang dibagi menjadi 2 kelompok,
masing-masing beranggotakan 10 responden.pada kelompok pertama,
dalam penyajian materi tatar dipakai metode ceramah, sedangkan pada
kelompok kedua, penyajian materi tatar dipakainya metode diskusi.
Setelah penyajian materi pada dua kelompok tersebut lalu diadakan
tes, dan hasilnya terlihat pada tabel berikut :
TABEL 31
Rekapitulasi Data Penguasaan Materi Tatar
Dua Kelompok Peserta dengan Dua Metode Penyajian
Skor kelompok
I dg. Ceramah
Skor kelompok
II dg. diskusi
D D2
164
beda skor beda skor
8 7 1 1
8 7 1 1
5 7 -2 4
7 6 1 1
6 6 0 0
6 5 1 1
8 5 3 9
9 8 1 1
9 7 2 4
8 8 0 0
74 66 8 22
Berdasarkan rekapitulasi data diatas, selanjutnya dapat dicari
besarannya rerata masing-masing kelompok, sebagai berikut:
1 = 74/10 = 7.4
2 = 66/10 = 6.6
∑D = 8
∑D = 22
N = 10 Pasang
t =
t =
165
t = 1.9
tes signifikansi dapat dilakukan dengan berpijak pada derajat
kebebasan (db) N = N-1 = 10-1= 9 dalam tabel kritik t diperoleh
harga sebesar 2.262 (untuk kepercayan 95%) dan 3.250 (untuk taraf
kepercayaan 99%).
166
6. SOAL LATIHAN UJI BEDA JAWABANNYA
1. Diambil sampel penelitian secara random dari populasi sebanyak 20
peserta. Pada pelatihan pertama digunakan prosedur deduktif dan pada
penelitian kedua diberi prosedur pelatihan induktif. Selesai pelatihan
dilakukan evaluasi program, untuk mengetahui tingkat keterampilan
peserta pelatihan. Data tingkat keterampilan tersajikan pada tabel berikut :
TABEL
REKAPITULASI DATA HASIL EVALUASI PROGRAM PELATIHAN
DENGAN MENGGUNAKAN PROSEDUR DEDUKTIF DAN INDUKTIF
No. Urut
Responden
Skor Dg.
Prosedur
Deduktif
Skor Dg
Prosedur
Induktif
D
Beda Skor
D2
Beda Skor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7
8
5
6
6
6
6
7
8
8
8
8
9
6
6
6
7
7
8
8
8
5
5
5
4
4
1
2
-1
-1
-1
-2
-2
-1
3
3
3
4
5
1
4
1
1
1
4
4
1
9
9
9
16
25
167
14
15
16
17
18
19
20
8
9
9
7
7
8
6
6
6
7
8
7
7
6
2
3
2
1
0
1
0
4
9
4
1
0
1
0
N = 20 146 126 22 104
Berdasarkan data tabel rekapitulasi diatas, selanjutnya dapat dicari
misalnya rerata skor dari dua prosedur dalam pelatihan, sebagai berikut :
Jawab :
1 = 146/20 = 7.3
2 = 126/20 =6.3
∑D = 22
∑D2 = 104
N = 20 Pasang
t =
t =
t = 2.22
168
2. Seorang ketua RT ingin mendata usia anak dibawah 10 tahun. Untuk
penelitian ini diambil sampel secara acak sebanyak 30 anak, yang nantinya
dibagi menjadi 2 kelompok, satu kelompok anak laki – laki dan satu
kelompok anak perempuan.
Anak
laki –laki
Anak
perempuan
D
Beda skor
D2
Beda skor
9
7
5
7
6
5
8
7
8
10
6
7
6
8
10
6
7
8
6
7
9
6
7
7
7
6
6
7
8
7
-3
0
3
-1
1
4
-2
0
-1
-3
0
-1
-1
0
-3
9
0
9
1
1
16
4
0
1
9
0
1
1
0
9
109 104 -5 61
Jawab :
1 = 109/10 = 10.9
2 = 104/10 =10.4
∑D = -5
∑D2 = 61
169
N = 15 Pasang
t =
t =
t = 0.94
170
LAMPIRAN-LAMPIRAN UJI NORMALITAS
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
DAFTAR PUSTAKA
Darwyansyah, Dkk. 2007. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: Gaung Persada
Press
Hasan, M. Iqbal. 2003. Pokok-Pokok Materi Statitik 2 (statistik inferensif). Jakarta:
PT Bumi Aksara
http://www.goole.com/uji normalitas.html. diakses 13 Desember 2009
Murray R, Spiegel dan Larry J, Stepens. 2007. Statistik Edisi 3. Jakarta. Erlangga
Ps, Djarwanto dan Subagyo, Pangestu. 1996. statistik induktif. Yogyakarta: BPFE-
Yogyakarta
Saefudin, Asep dkk. 2009. Statistik Dasar. Jakarta: PT Grasindo
Soepomo, Bambang.2002.Statistik Terapan; dalam Penelitian Ilmu Sosial dan
Pendidikan. Jakarta: PT Rineka Cipta
Suharyadi. 2008. Statistik untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Salemba Empat
Supranto, J. 2001. statistik dan aplikasi. Jakarta: PT Glora Aksara Pratama
Tri Cahyono. 2006. Uji Normalitas. online (http://scribd.com /uji normalitas.html.
diakses 13 Desember 2009)
Walpope, Ronald E.1995. Pengantar Statistika Edisi ke-3.
181