Cálculo Aplicado I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 17
5 de julho de 2013
Parte 17 Cálculo Aplicado I 1
Limites
Parte 17 Cálculo Aplicado I 2
Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 3
Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 4
Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 5
Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 6
Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 7
Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 8
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 9
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 10
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 11
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 12
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 13
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 14
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 15
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 16
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 17
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
7 x + 1x − 2
= limx→+∞
7 x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
7 +1x
1− 2x
= 7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 18
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
7 x + 1x − 2
= limx→+∞
7 x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
7 +1x
1− 2x
= 7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 19
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x2 + 1x − 2
= limx→+∞
x2 + 1x
x − 2x
= limx→+∞
x +1x
1− 2x
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 20
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x2 + 1x − 2
= limx→+∞
x2 + 1x
x − 2x
= limx→+∞
x +1x
1− 2x
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 21
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 22
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 23
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 24
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 25
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 26
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 27
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 28
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3 = lim
x→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 29
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3 = lim
x→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 30
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3 = lim
x→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 31
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 32
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 33
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 34
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 35
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 36
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 37
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 38
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 39
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 40
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 41
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 42
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 43
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 44
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 45
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 46
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 47
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 48
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 49
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 50
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 51
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x
= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 52
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x
= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 53
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x
= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 54
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 55
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 56
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 57
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 58
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 59
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 60
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 61
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 62
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 63
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 64
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 65
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 66
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 67
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 68
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 69
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 70
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 71
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 72
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 73
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 74
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 75
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 76
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 77
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 78
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 79
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 80
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 81
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 82
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 83
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 84
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 85
A regra de L’Hôpital
Parte 17 Cálculo Aplicado I 86
A regra de L’Hôpital
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis (deriváveis)e que g′(x) 6= 0 em uma vizinhança do ponto p. Suponhatambém que
limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0
ou que
limx→p
f (x) = +∞ (ou −∞) e limx→p
g(x) = +∞ (ou −∞).
Então
limx→p
f (x)g(x)
= limx→p
f ′(x)g′(x)
se o limite do lado direito existir (ou se ele é −∞ ou +∞).
Teorema
Parte 17 Cálculo Aplicado I 87
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 88
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 89
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 90
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 91
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 92
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 93
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 94
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 95
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 96
A regra de L’Hôpital
A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igualao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,desde que as condições dadas estejam satisfeitas. É importanteverificar que as condições com respeito aos limites de f e g antes deusar a regra de L’Hôpital.
A regra de L’Hôpital também é válida para limites laterais ou para limitesno infinito, isto é, “x → p” pode ser trocado por qualquer dos símbolos aseguir: x → p+, x → p−, x → +∞, x → −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 97
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 98
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 99
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 100
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 101
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 102
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 103
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 104
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 105
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 106
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 107
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 108
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 109
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 110
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 111
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 112
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 113
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 114
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 115
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 116
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 117
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 118
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 119
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 120
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 121
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 122
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 123
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 124
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 125
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 126
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 127
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 128
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 129
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 130
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 131
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 132
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 133
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 134
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 135
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 136
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 137
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 138
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 139
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 140
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 141
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 142
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 143
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 144
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 145
Produtos indeterminados
Parte 17 Cálculo Aplicado I 146
Produtos indeterminados
Para usar a regra de L’Hôpital para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x) · g(x)]
com limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = +∞ (ou −∞), basta reescrevê-lo em
limx→p
[f (x) · g(x)] = limx→p
f (x)1/g(x)
ou limx→p
[f (x) · g(x)] = limx→p
g(x)1/f (x)
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 147
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 148
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 149
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 150
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 151
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 152
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 153
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 154
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 155
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 156
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 157
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 158
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 159
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 160
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 161
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 162
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 163
Diferenças indeterminadas
Parte 17 Cálculo Aplicado I 164
Diferenças indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)− g(x)]
com
limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞,
é necessário converter a diferença em um quociente(usando um denominador comum ou racionalização)
oucolocar algum fator comum em evidência.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 165
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 166
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 167
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 168
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 169
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 170
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 171
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 172
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 173
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 174
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 175
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 176
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 177
Potências indeterminadas
Parte 17 Cálculo Aplicado I 178
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 179
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 180
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 181
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 182
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 183
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 184
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 185
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 186
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 187
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 188
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 189
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 190
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 191
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 192
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 193
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 194
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 195
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 196
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 197
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 198
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 199
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 200
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 201
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 202
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 203
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 204
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 205
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 206
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 207
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 208
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 209
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 210
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 211
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 212
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 213
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 214
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 215
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 216
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