CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht Deel 2 : Vraagstukken
CTB2210
December 2016 C. Hartsuijker en J.W. Welleman
MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT
COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN Civiele Techniek TU-Delft
December 2016
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CTB2210
Voorwoord
Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van CTB2210 ConstructieMechanica 3.
De theorie en voorbeelden in dit dictaat zijn zo uitgewerkt dat dit onderdeel in zelfstudie
bestudeerd kan worden.
Op het college worden de hoofdzaken aan de hand van voorbeelden toegelicht. De
student wordt geacht zelf deze onderwerpen nader te bestuderen. De zelfstudie wordt
met behulp van de COZ ondersteund. Daarnaast zijn de sheets die op het college
worden gebruikt te downloaden van het internet. Ook extra oefenmateriaal kan hier
worden verkregen. Deze site is te vinden op:
http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/index.shtml
Voor vragen bij het bestuderen van de stof en/of assistentie bij opdrachten kan gebruik
gemaakt worden van de service van de studentassistenten van ConstructieMechanica.
Voor meer informatie wordt verwezen naar de onderstaande web-site:
http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/SAs/Overons/
Ondanks de grootste zorgvuldigheid bij het samenstellen van dit dictaat zijn
onvolkomenheden niet uit te sluiten. Wij stellen het zeer op prijs dat fouten en
onduidelijkheden worden gemeld.
De auteurs,
Coen Hartsuijker en
Hans Welleman,
December 2016
Inhoudsopgave
LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT ..................................... iii
1. Stabiliteit van het evenwicht ............................................................................ 1
2. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad .................................. 3
3. Knik van gekoppelde starre staven ................................................................ 19
4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden ............................ 33
5. Knik van buigzame staven – basisknik-gevallen ........................................... 39
6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven.............................................. 51
7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame staven ...................... 67
8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen ...................................... 69
9. Formule van Rayleigh * ................................................................................. 77
10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen)...................................................... 85
11. Vergrotingsfactor (buigzame staven) ........................................................... 101
12. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag .............................................. 117
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman iii
LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT
STABILITEIT
Deze leeswijzer geeft een overzicht van de te bestuderen onderdelen van het dictaat
ConstructieMechanica 3 : Stabiliteit van het Evenwicht. Het nieuwe dictaat is opgezet
als een compleet overzicht van de basismechanica die over het onderwerp stabiliteit
handelt. Dit gaat verder dan de leerdoelen die getoetst worden op het tentamen
ConstructieMechanica 3. Het dictaat is in vergelijking tot het oude dictaat hierdoor in
omvang toegenomen maar dit komt met name door de vele zeer uitgebreide
voorbeelden. Hierdoor is dit dictaat veel beter geschikt als modern leermiddel. In deze
leeswijzer zal per hoofdstuk worden aangegeven welke onderdelen getoetst worden en
welke delen verrijkingsstof zijn. Een ruime hoeveelheid opgaven is opgenomen in dit
tweede deel. Het is beslist niet de bedoeling alle opgaven te bestuderen. Maak een
selectie aan de hand van de in deze leeswijzer genoemde opgaven. De
antwoorden/uitwerkingen van genoemde opgaven in deze leeswijzer zijn te vinden op
BlackBoard / internet.
Hoofdstuk 1 In dit hoofdstuk wordt het kader en de begrippen uiteengezet. Deze stof is essentieel
voor het herkennen van stabiliteitsproblemen. De theorie kan op het tentamen worden
getoetst met theorievragen. Belangrijke constatering van de kennismaking met
“stabiliteit van het evenwicht” is dat een stabiel evenwicht een evenwicht is waarbij
de belaste constructie bij een kleine verplaatsing t.o.v. de evenwichtsstand terugkeert
naar deze evenwichtsstand. Zie hiervoor ook de introductie-video op BlackBoard.
Hoofdstuk 2 Dit hoofdstuk start met de stabiliteit van het evenwicht van starre staafsystemen met 1
vrijheidsgraad. Aan de hand van deze eenvoudige systemen is de kern van een
stabiliteitsprobleem uit een te zetten. Paragraaf 2.1 en de voorbeelden behandelen de
standaard aanpak:
• zet de constructie in de verplaatste stand
• maak de constructie vrij en geef alle verbindingskrachten aan
• stel de evenwichtsvoorwaarde(n) op in de verplaatste stand
• onderzoek de aard van dit evenwicht en bepaal bij welke belasting er nog juist
evenwicht is
Bij het oplossen van de gelineariseerde evenwichtsvergelijking blijkt dat de
verplaatsing van de vrijheidsgraad er niet toe doet (onder de aanname dat deze klein
is)
Paragraaf 2.2 over het naknikgedrag is geen tentamenstof. Het begrip naknikgedrag
moet je wel kennen, het bepalen ervan valt buiten het bestek van deze BSc-cursus.
Paragraaf 2.3 behandelt een aantal essentiële voorbeelden. Van voorbeeld 1 en 9 is het
naknikgedrag op blz 43 en 63 leesstof.
LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
iv
Hoofdstuk 3 In dit hoofdstuk worden gekoppelde staafsystemen behandeld met 1 vrijheidsgraad. In
paragraaf 3.1 wordt de essentie hiervan weergegeven. De standaard aanpak van
hoofdstuk 2 is ook hier van toepassing. Bij het opstellen van de
evenwichtsvergelijkingen moet er echter op gelet worden dat het evenwicht wordt
beschouwd van ieder vrijgemaakt deel en dat tussen deze vrijgemaakte delen
verbindingkrachten kunnen zitten. Belangrijk bij de oplossingsfase is om de
evenwichtsvergelijkingen zodanig te combineren dat deze verbindingkrachten worden
geëlimineerd. In het voorbeeld op blz 65-68 wordt dit verder verduidelijkt. De
generalisatie naar systemen met meer dan twee gekoppelde staven is louter ter
toelichting. De afgeleide formules zijn niet bedoeld om te onthouden. De essentie is
dat de belasting op een gekoppeld systeem kan worden vervangen door een
aanpendelende belasting die extra op het geschoorde element wordt geplaatst. Zie
hiervoor ook de sheets over dit onderwerp. Dit onderdeel wordt veelal getoetst op het
tentamen en keert terug in hoofdstuk 8. De theorie wordt in paragaaf 3.3 verder
verduidelijkt aan de hand van voorbeelden waarbij voorbeeld 1, 2, 5, 8 en 9 de
belangrijkste zijn.
Hoofdstuk 4 Na constructies met 1 vrijheidsgraad wordt in dit hoofdstuk de complexiteit verhoogd
door te kijken naar constructies met 2 vrijheidsgraden. Dit is in feite een tussenstap
naar het onderzoeken van continue systemen van hoofdstuk 5.
Paragraaf 4.1 introduceert de aanpak voor systemen met 2 vrijheidsgraden. Essentieel
is dat er t.o.v. de systemen met 1 vrijheidsgraad nu een stelsel van
evenwichtsvergelijkingen ontstaat. Dit stelsel is een homogeen stelsel (rechterlid is
nul) waarvoor alleen een niet-triviale oplossing kan worden gevonden indien de
determinant van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan nul. Dit levert twee kniklasten.
De laagste kniklast is maatgevend. Ook nu blijkt dat de grootte van de verplaatsingen
van de vrijheidsgraden niet kunnen worden bepaald. De verhouding tussen de
verplaatsingen kunnen wel worden bepaald. Net als bij systemen met 1 vrijheidsgraad
is de uitbuigingsvorm wel bekend, de grootte ervan echter niet. Op blz 113 wordt in
een variantuitwerking de relatie gelegd met het eigenwaarde probleem in de
wiskunde. Deze aanpak behoort tot de tentamenstof. Bestudeer voorbeeld 2 bekijk
voorbeeld 3 en 4.
Hoofdstuk 5 Na de starre systemen wordt in dit hoofdstuk gekeken naar buigzame staven. Dit leidt
tot een continue beschrijving m.b.v. de differentiaalvergelijking voor buigingsknik.
Belangrijke paragrafen zijn 5.1 en 5.2. In paragraaf 5.1 wordt voor een eenvoudige
staaf de Eulerse knikkracht bepaald m.b.v. een 2e orde D.V. Belangrijk bij deze
afleiding is om in te zien dat dit mogelijk is aangezien de verticale oplegreacties nul
zijn waardoor in iedere snede de verticale component van de snedekrachten Sz ook nul
moet zijn. In paragraaf 5.2 is voor de algemene op druk belaste buigzame staaf niet
voldaan aan deze eis en leidt de complete aanpak van het evenwicht in de verplaatste
stand tot een 4e orde D.V. waarvan de algemene oplossing in paragraaf 5.3 wordt
bepaald. Als de continue belastingen in x- en z-richting afwezig zijn geldt:
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman v
EI
FCxCxCxCxw
FwMS
FwEIw
z
=+++=
−=
=+
2
4321 :metsincos)(
''
0''''''
ααα
Van dit theoriegedeelte is het belangrijk de modelstappen te (her)kennen en met de
differentiaalvergelijking de basisknikgevallen te kunnen onderzoeken. Met name het
omgaan met de randvoorwaarden is hierbij essentieel. De resultaten van deze aanpak
leidt tot de vijf basisknikgevallen die op blz 146 en 148 grafisch zijn weergegeven.
Het oordeelkundig kunnen toepassen van deze basisgevallen is essentieel.
De voorbeelden illustreren deze aanpak. Let vooral op voorbeeld 10. Bij het
gelijktijdig uitknikken van de twee op druk belaste staven kunnen de staven geen
stijfheid (weerstand) aan elkaar ontlenen en heeft de starre verbinding tussen de beide
staven feitelijk geen betekenis. Nog een belangrijk aspect dat in dit hoofdstuk aan de
orde komt is het onderscheid tussen globale instabiliteit en locale instabiliteit. Ook is
het onderkennen van verschillende knikvormen een belangrijk element. Voorbeelden
hiervan zijn ook in het college behandeld met name of de starre knikvorm (globale
knik) dan wel de locale (Eulerse knik) maatgevend is.
Hoofdstuk 6 Dit hoofdstuk handelt over verend ingeklemde op druk belaste buigzame staven. De
veren zijn rotatieveren. In dit hoofdstuk worden drie basissystemen behandeld:
paragraaf 6.1 : Enkelzijdig verend ingeklemde staaf
paragraaf 6.2 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, ongeschoorde constructie
paragraaf 6.3 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, geschoorde constructie
In paragraaf 6.1 wordt gestart met de enkelzijdig verend ingeklemde staaf. Met de 4e
orde D.V. en vier randvoorwaarden wordt een homogeen stelsel vergelijkingen
opgelost waarmee de kniklast uit een transcendente vergelijking kan worden opgelost.
Deze oplossingmethode is weliswaar exact maar niet erg praktisch. Aangetoond wordt
dat een zeer nauwkeurige benaderingsformule kan worden gevonden voor deze
enkelzijdig verend ingeklemde staaf.
2
2
)2(
1
/
11
l
EIlrFk π+=
De alternatieve benaderingen van dit probleem in paragraaf 6.1.2 en 6.1.3 zijn geen
tentamenstof.
De tweezijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6.2 is zodanig opgelegd dat de
steunpunten loodrecht t.o.v. de oorspronkelijke staafas kunnen verplaatsen. Deze
situatie komt voor in ongeschoorde raamwerken. Door handig gebruik te maken van
de plek van het buigpunt in de uitbuigingsvorm kan een formule worden opgesteld
voor de kniklast.
LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de
enkelzijdig verend ingeklemde staaf !
LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
vi
( )( )
EI
lr
EI
lr
l
EIF
22
2
2
11
1
1
2
2
2121
2
21k
;10
4
;10
4
:met
4
=+=
=+=
×−+
+=
ρρ
η
ρρ
η
π
ηηηη
ηη
In deze paragraaf wordt tevens aangetoond dat de kniklast voor de enkelzijdig verend
ingeklemde staaf uit paragraaf 6.1 ook met deze formule kan worden gevonden.
In paragraaf 6.3 komt het laatste basisgeval voor verend ingeklemde buigzame staven
aan bod. De staaf is nu geschoord hetgeen inhoudt dat de beide steunpunten loodrecht
op de staafas niet t.o.v. elkaar verplaatsen. Aangetoond wordt dat voor deze situatie
een kniklast kan worden gevonden met de onderstaande formule:
( )( )( )( )
EI
lr
EI
lr
l
EIFk
22
11
2
2
21
21
:met
.55
2525
==
++
++=
ρρ
π
ρρ
ρρ
In paragraaf 6.4 is het geheel nog een keer samengevat met een overzicht van de
gebruikte formules voor diverse configuraties van rotatieveren. De formules worden
op het tentamen allemaal gegeven op een bijgevoegd formuleblad.
In paragraaf 6.5 worden diverse voorbeelden behandeld. Bestudeer met name
voorbeeld 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en de uitbreiding van blz 222 en 222a.
Hoofdstuk 7 : Bijzondere verende ondersteuningen In hoofdstuk 7 zijn diverse voorbeelden gegeven van mogelijke verende
ondersteuningen. Dit kunnen zowel rotatie als translatieveren zijn. Van dit hoofdstuk
is alleen van belang om de stappen in de modelvorming te herkennen. Met name het
formuleren van de randvoorwaarden en het uitwerken van de randvoorwaarden m.b.v.
de D.V. zijn hierbij belangrijke stappen.
Hoofdstuk 8 : Aanpendelende belasting voor buigzame knikstaaf Hoofdstuk 8 gaat nogmaals in op de aanpendelende belasting zoals geïntroduceerd in
hoofdstuk 3. Voor diverse buigzame knikstaven wordt gekeken naar de kniklast. In de
sheets wordt een iets andere benadering gekozen, Voor een aantal voorbeelden wordt
onderzocht in hoeverre de exacte maximale belasting zich verhoudt tot het eenvoudige
model dat in hoofdstuk 3 is gevonden.
1
1
1k
F
mlF
l
=
+
Uit het onderzoek blijkt dat deze aanpak conservatief is en een goede afschatting geeft
van de maximale belasting op een gekoppeld systeem waarbij het schorende element
een op druk belaste buigzame staaf is (les7.pdf).
LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de
verend ingeklemde ongeschoorde staaf !
LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de
verend ingeklemde geschoorde staaf !
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman vii
Hoofdstuk 9 Dit hoofdstuk behoort niet tot de tentamenstof.
Hoofdstuk 10 In dit hoofdstuk wordt het begrip vergrotingsfactor geïntroduceerd. Dit onderwerp
komt terug bij de construerende vakken en is buitengewoon belangrijk voor de
ingenieurspraktijk. Het blijkt dat initieel scheef staande constructies die op druk
worden belast, door de excentrisch aangrijpende drukkracht, schever gaan staan. De
uiteindelijke scheefstand kan worden uitgedrukt in de initiële scheefstand d.m.v. een
zgn. vergrotingsfactor. Voor starre staafsystemen geldt:
F
Fnw
n
nw k
0 :met1
=−
=
vergrotingsfactor
Naarmate de belasting F dichter in de buurt ligt van de kniklast neemt de
vergrotingsfactor steeds meer toe. Om constructies dus min of meer ongevoelig te
maken voor het 2e orde effect (d.w.z. gevoelig voor het schever gaan staan door
invloed van de excentrische kracht in combinatie met de initiële scheefstand) is het
dus noodzakelijk de vergrotingsfactor niet te groot te laten worden. Een factor 1,1
betekent dat de verplaatsingen en ook de krachtsverdeling in de constructie met 10%
toeneemt. Vaak is dit al onacceptabel. Om een vergrotingsfactor kleiner dan 1,1 te
verkrijgen moet de factor n groter zijn dan 11. Hetgeen inhoudt dat de werkelijke
belasting één-elfde-deel van de kniklast mag zijn. !
Het onderdeel op blz 312 betreffende de exacte oplossing die ook geldig is bij grote
verplaatsingen is geen tentamenstof. Aardig detail van dit onderdeel is overigens wel
dat de starre staaf met translatieveer een naknikgedrag heeft dat niet stabiel terwijl het
systeem met een rotatieveer wel een stabiel naknikgedrag heeft.
Een initiële scheefstand kan ook worden veroorzaakt door horizontaal aangrijpende
belastingen (netjes dwarsbelasting genoemd). Paragraaf 10.2 behandelt dit onderwerp.
De initiële scheefstand ten gevolge van alleen de dwarsbelasting is in feite een
eerstejaars mechanica-uitdaging en kan worden bepaald met een zgn. eerste orde
berekening.
LET OP : Bestudeer grondig de begrippen die in dit hoofdstuk aan de orde
komen, met name de begrippen 1e en 2
e orde zijn van belang !
Hoofdstuk 11 In hoofdstuk 11 wordt onderzocht of de vergrotingsfactor uit hoofdstuk 10 ook geldig
is voor buigzame staven. Het blijkt in het algemeen niet zo te zijn maar de praktische
formule geeft over het algemeen prima resultaten. In de college sheets wordt met
behulp van voorbeelden de procedure uiteengezet hoe de exacte vergrotingsfactor kan
worden bepaald. Ook hier geldt dat alleen de modelstappen van belang zijn. Op het
tentamen wordt zeker niet gevraagd om voor een bijzonder geval de exacte
vergrotingsfactor te bepalen. Paragraaf 11.3 is extra verrijkingstof en geen
tentamenstof.
LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
viii
Hoofdstuk 12 Het laatste onderwerp behandelt de invloed van plasticiteit op het bezwijkgedrag van
constructies. Hiervoor is het noodzakelijk om uit deel 3 Toegepaste Mechanica van
Hartsuijker en Welleman hoofdstuk 3 (blz 383) en met name paragraaf 3.1.3 (blz 390)
te bestuderen. Een samenvatting van het meest relevante onderdeel van dit hoofdstuk
is hieronder weergegeven.
ACTIE : Loop zelf deze samenvatting na aan de hand van de genoemde passages !
Door plastisch gedrag van de doorsnede in combinatie met een initiële scheefstand
kan veel eerder instabiliteit ontstaan. De kniklast is dan helemaal niet maatgevend. Op
blz 385 is in figuur 12.3 dit grafisch weergegeven. De kritieke belasting waarbij
bezwijken door instabiliteit ontstaat wordt aangegeven met Fc . Als wp de verplaatsing
is waarbij plasticiteit optreedt kan eenvoudig een verband worden gevonden tussen de
kritieke belasting Fc, de kniklast Fk, de initiële scheefstand wo en de verplaatsing wp :
1p
o
k
C =+w
w
F
F formule van Merchant
Als de initiële scheefstand wordt veroorzaakt door b.v. een horizontale belasting Hc
dan kan deze formule worden herschreven tot :
1p
C
k
C =+H
H
F
F
Hierin is Hp de kracht waarbij volgens een eerste orde berekening voor het eerst de
doorsnede volplastisch wordt.
LET OP : 1e orde betekent dus zonder de invloed van de excentrisch aangrijpende
drukkracht want dat is juist de 2e orde component in het geheel !
ACTIE : Bestudeer de uitgewerkte tentamenopgaven, maak deze ook zelf en
maak de opgaven achter in het boek waarvan de antwoorden en veelal de
uitwerkingen van zijn gegeven.
Hier wordt voor een op buiging belaste doorsnede gekeken naar het maximale moment dat de doorsnede kan
opnemen als we toestaand dat overal in de doorsnede vezels de trek en druk spanningen mogen toenemen tot
de (maximale) vloeispanning van het materiaal.
Voor een rechthoekige doorsnede kan eenvoudig worden gevonden dat geldt:
y
2
p4
fbh
M =
Waarbij Mp staat voor het volplastisch moment van de doorsneden. Als alleen in de uiterste vezels de
vloeispanning wordt toegestaan geldt de bekende elastische grenswaarde voor het moment in de doorsnede:
y
2
e6
fbh
M =
Voor de rechthoekige doorsnede geldt dat deze volplastisch 1,5 keer het elastisch moment kan dragen. Er zit
dus boven de elastische grens voor deze doorsnedevorm nog flink wat reserve draagvermogen in de
doorsnede. De factor 1,5 wordt de vormfactor genoemd en veelal aangeduid met de letter α.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
ix
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
1
1. Stabiliteit van het evenwicht
1.1
Wat verstaat men onder “stabiel evenwicht”?
1.2
Waarom dient men te spreken over de “stabiliteit van het evenwicht” en is het
onjuist te spreken over de “stabiliteit van een constructie”?
1.3-1/2
Gegeven twee buigzame staven.
Gevraagd:
Schets voor elke staaf twee “kinematisch mogelijke configuraties” in de
omgeving van de evenwichtsstand.
1.4
Wat is het essentiële verschil tussen een geometrisch lineaire berekening en een
geometrisch niet-lineaire berekening?
1.5
Iemand vraagt u naar het verschil tussen neutraal en instabiel evenwicht. Hoe
zou u deze vraag kunnen beantwoorden?
1.6
Gevraagd de aard van het evenwicht van een kogeltje met gewicht G dat zich in
0x = op het vlak 3
z ax= bevindt. De z-richting is evenwijdig aan de richting
van de zwaarteveldsterkte.
1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
2
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
3
2. Knik van starre-staaf-systemen met één
vrijheidsgraad
Opmerking vooraf:
Staven waarbij geen stijfheid wordt vermeld moeten als oneindig stijf worden
opgevat.
2.1
Een homogene prismatische staaf met een massa van 1 200 kgm = is
scharnierend opgelegd in A. Onder aan de staaf hangt aan een koord een
homogeen blok met een massa van 2 1100 kgm = . De staaf wordt bovenin
belast door een verticale kracht F. De zwaarteveldsterkte bedraagt 10 N/kg.
Gevraagd:
De knikbelasting kF .
2.2-1/2
Starre staaf AB is in A scharnierend opgelegd en in B opgehangen aan een
draad. Het systeem wordt belast door het gewicht van de massa’s 1m en 2m en
is in evenwicht.
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
4
Gevraagd:
De verhouding 1 2/m m waarbij het evenwicht stabiel is voor:
1. 0θ = .
2. 180θ = �.
2.3-1/2
Een massieve homogene kubus met gewicht G wordt in de getekende stand in
evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid k. De veren zijn op twee
verschillende manieren gepositioneerd.
Gevraagd:
Het blokgewicht waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt.
2.4-1/2
Een massieve homogene kubus met gewicht 300 kNG = wordt in de
getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid
50 kN/mk = . De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd.
Op de top grijpt een verticale kracht F aan.
Gevraagd:
Bij welke kracht F wordt het evenwicht instabiel?
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
5
2.5-1/2
Gegeven twee verend ingeklemde oneindig stijve staven.
Gevraagd:
a. De kniklast kF .
b. Als de staaflengte groter wordt, neemt de kniklast dan toe of af?
2.6-1 t/m 3
Gegeven drie door translatieveren gesteunde oneindig stijve kolommen.
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. Als de kolomlengte groter wordt, en de veren blijven op dezelfde hoogte,
neemt de knikkracht dan toe of af?
c. Als de veren lager worden geplaatst, neemt de knikkracht dan toe of af?
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
6
2.7-1/2
Houd in de berekening aan 24500 kNmEI = .
Gevraagd:
De kniklast kF .
2.8-1/2
Houd in de berekening aan 230 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
7
2.9-1 t/m 4
De op druk belaste kolom is oneindig stijf. Houd voor de buigstijfheid van de
regels in de berekening aan 2
1 8 MNmEI = en 2
2 16 MNmEI = .
Gevraagd:
a. De kniklast kF .
b. De richting waarin de oneindig stijve kolom in werkelijkheid uitknikt.
2.10-1 t/m 4
Een oneindig stijve kolom is ingeklemd in een ligger met buigstijfheid 22000 kNmEI = die op vier verschillende manieren in de uiteinden is
opgelegd.
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
8
Gevraagd:
De knikkracht kF .
2.11-1 t/m 3
Het evenwicht van de drie oneindig stijve constructies is bij de gegeven
belasting stabiel.
Gevraagd:
De vereiste stijfheid k van de translatieveren.
2.12
Spant ABCD heeft een gewicht G dat men geconcentreerd mag denken in B.
De twee even zware blokken die aan de staven AE en CF en deels in het water
hangen zijn even zwaar en hebben een horizontale doorsnede van 21 m .
Gevraagd:
Het spantgewicht kG waarbij het evenwicht instabiel wordt.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
9
2.13
In de getekende constructie is BCDG onvervormbaar. Van AB en DE is de
buigstijfheid EI; de wringstijfheid is verwaarloosbaar klein. De hoekverbin-
dingen in B en D zijn volkomen stijf.
Bij de aangegeven belasting kan knik optreden door rotatie van BCDG om
BCD, maar ook door rotatie van BCDG om een as door C loodrecht op BCDG.
Gevraagd:
a. De verhouding /a b waarbij de knikkracht voor beide gevallen gelijk is.
b. De grootte van deze kniklast.
2.14
In een hanggebouw dragen alle vier verdiepingen dezelfde gelijkmatig
verdeelde volbelasting q. De benodigde gegevens kunnen aan de figuur worden
ontleend.
Gevraagd:
De belasting kq waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt.
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
10
2.15-1/2
Gegeven twee oneindig stijve verend ingeklemde constructies.
Gevraagd:
De knikbelasting kF .
2.16-1 t/m 4
Gevraagd:
De knikbelasting kF .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
11
2.17-1/2
Gegeven twee oneindig stijve constructies in evenwicht gehouden door
translatieveren. De stijfheid van de veren is uitgedrukt in 250 kN/mk = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
2.18-1 t/m 4
Vier oneindig stijve op druk belaste staven worden in evenwicht in evenwicht
gehouden door translatie en rotatieveren waarvan de stijfheden in de figuur zijn
gegeven.
Gevraagd:
De knikkracht kF .
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
12
2.19-1 t/m 3
De resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting q op de oneindig stijve
kolom AB is Q.
Gevraagd:
De knikbelasting kQ .
2.20-1/2
Gegeven hetzelfde spant op twee verschillende manieren belast door een kracht
F. De stijlen zijn oneindig stijf; de regel heeft een buigstijfheid EI.
Gevraagd:
De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
2.21-1/2
De op druk belaste kolommen zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening
aan 29 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
13
2.22-1 t/m 3
Dezelfde gegevens als in opgave 2.21.
Gevraagd:
De knikkracht kF .
2.23-1/2
Gegeven twee symmetrische spanten met oneindig stijve kolommen. Houd
voor de buigstijfheid van de regels aan 2
1 10 MNmEI = en 2
2 2 MNmEI = .
Gevraagd:
De belasting waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
2.24
De knikbelasting van het getekende raamwerk met oneindig stijve kolommen is
k 2000 kNF = .
Gevraagd:
De lengte ℓ van de regels.
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
14
2.25-1 t/m 3
In de getekende constructies en hebben alle buigzame delen een buigstijfheid
EI, zoals in de figuur is aangegeven. Alle andere delen zijn oneindig stijf. De
linker kolom wordt belast door een drukkracht F en de rechter door een
drukkracht Fλ .
Gevraagd:
a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, uit te drukken in
EI, ℓ en λ .
b. In welke mate beïnvloedt de verdeling van de belasting over beide
kolommen de grootte van de totale belasting ( )F Fλ+ waarbij bezwijken
door instabiliteit optreedt?
2.26-1/2
Houd in de berekening aan 227000 kNmEI = en t 1000 kN/mk = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
2.27
In welk geval kan men in opgave 2.26 spreken van een systeem met
a. parallel geschakelde veren?
b. in serie geschakelde veren?
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
15
2.28-1 t/m 4
Houd in de berekening aan 225000 kNmEI = , t 600 kN/mk = en
r 2700 kNm/radk = . De delen waar geen stijfheid staat bijgeschreven zijn
oneindig stijf.
Gevraagd:
De knikkracht kF .
2.29
In welke gevallen kan men in opgave 2.28 spreken van een systeem met
a. in serie geschakelde veren?
b. parallel geschakelde veren?
2.30
Een starre staaf wordt aan de top in evenwicht gehouden door twee horizontale
draden die alleen trekkrachten kunnen overbrengen. In onbelaste toestand is de
constructie spanningsloos. De draden hebben een rekstijfheid EA.
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
16
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. Naar welke kant zal de staaf uitknikken?
2.31
Als opgave 2.30, maar nu heerst in beide draden een voorspankracht 0S .
2.32-1 t/m 3
Een starre mast is onder scharnierend opgelegd en boven afgetuid met draden.
In de draden heerst een voorspankracht 0S .
Gevraagd:
a. Wat is de aard van het evenwicht: stabiel, labiel of neutraal?
b. Motiveer uw antwoord.
2.33
Een homogeen driehoekig blok ABC met gewicht G is in A scharnierend
opgelegd en in B en C door middel van draden spanningsloos verbonden met
twee ingeklemde kolommen met buigstijfheid 236 MNmEI = . De draden
kunnen alleen trekkrachten overbrengen en mogen voor dat geval worden
geschematiseerd tot translatieveren met een stijfheid t 500 kN/mk = .
Gevraagd:
Het kritische gewicht kG van het blok.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
17
2.34-1/2
Een starre mast is afgetuid met draden. In onbelaste toestand is de constructie
spanningsloos. De rekstijfheden van de draden zijn uitgedrukt in EA.
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. Naar welke kant zal de mast uitknikken?
2.35-1/2
In de getekende constructie zijn AB, CD en AD oneindig stijf. BC is een
buigzame staaf met buigstijfheid 22250 kNmEI = . Houd verder in de
berekening aan 3 m=ℓ . De constructie wordt op twee verschillende manieren
belast.
Gevraagd:
De knikkracht kF bij de aangegeven belasting.
2 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
18
2.36-1 t/m 3
Een starre staaf met lengte ℓ is op drie verschillende manieren verend
opgelegd.
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. Leid uit het onder a gevonden resultaat de knikkracht af voor het extreme
geval een van beide veerstijfheden oneindig groot, respectievelijk nul is
(vier mogelijkheden).
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
19
3. Knik van gekoppelde starre staven
Opmerkingen vooraf:
• Gebruik de afgeleide formules bij de vraagstukken uitsluitend als controle
op de door u uitgevoerde berekeningen.
• Gebruik de afgeleide formules verder alleen als u ze begrijpt en ook zelf
kunt afleiden.
3.1-1/2
De stabiliteit van de getekende constructies wordt verzekerd door een
translatieveer met stijfheid tk .
Gevraagd:
De waarde van tk waarvoor het evenwicht bij de gegeven belasting instabiel
wordt.
3.2-1/2
De stabiliteit van de constructie wordt ontleend aan een verend ingeklemde
kolom. De stijfheid van de verende inklemming is r 4 MNm/radk = . Alle
staven zijn verder oneindig stijf.
Gevraagd:
De knikbelasting kF .
3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
20
3.3-1/2
De stabiliteit van de getekend constructies wordt ontleend aan een ingeklemde
kolom met eindige buigstijfheid. Alle andere staven zijn oneindig stijf. Houd in
de berekening aan 2
1 7200 kNmEI = en 2
2 4 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikbelasting kF .
3.4
Alle staven in de getekende constructie zijn oneindig stijf.
Gevraagd:
a. De knikbelasting kF , uitgedrukt is a, b, tk en ℓ .
b. De verhouding /a b waarvoor het evenwicht altijd stabiel is.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
21
3.5-1 t/m 3
De stabiliteit van de constructies wordt ontleend aan ligger AB met
buigstijfheid 236 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikbelasting kF .
3.6
Op de getekende constructie werken de aangegeven krachten 1F , 2F en 3F . λ
is een belastingfactor waarmee men de krachten 1F t/m 3F geleidelijk kan laten
aangroeien van 0 ( 0)λ = tot de waarde waarbij bezwijken door instabiliteit
optreedt k( )λ λ= .
Gevraagd:
a. Bereken kλ als functie van 1F , 2F , 3F , EI en ℓ .
b. De kniklast k k1F F= als 2 3 0F F= = .
c. De met betrekking tot instabiliteit gevaarlijkste plaats van een enkele
kracht F (in A, B of C) en de grootte van de bijbehorende kniklast kF .
d. De kniklast kF in het geval 1 2 3F F F F= = = .
3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
22
3.7-1 t/m 3
De oneindig stijve staven AS en BS zijn in S scharnierend met elkaar
verbonden.
Gevraagd:
De knikkracht kF .
3.8-1/2
Beide constructies zijn opgebouwd uit oneindig stijve staven.
Gevraagd:
De knikbelasting kq .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
23
3.9-1/2
Houd in de berekening aan: 2
1 3200 kNmEI = , 2
2 2400 kNmEI = en
r 2400 kNm/radk = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
3.10-1/2
Houd in de berekening aan r1 2000 kNm/radk = , r2 3200 kNm/radk = en
r3 1800 kNm/radk = .
Gevraagd:
De waarde van 2F waarbij het evenwicht instabiel wordt.
3.11-1/2
Houd in de berekening aan r1 6000 kNm/radk = , r2 5400 kNm/radk = en
r3 3600 kNm/radk = .
3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
24
Gevraagd:
De knikkracht kF .
3.12
Houd in de berekening aan r1 36 MNm/radk = en r2 8 MNm/radk = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
3.13
Als F in A staat geldt k 2000 kNF = . Staat F in B dan geldt k 600 kNF = .
Gevraagd:
De knikkracht kF bij de in de figuur aangegeven positie.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
25
3.14
Gegeven het getekende een spant opgebouwd uit starre staven met verende
verbindingen en verder scharnierend opgelegd. Houd voor de stijfheid van de
rotatieveren aan r 7200 kNm/radk = .
Gevraagd:
Voor welke combinaties van 1F en 2F is het evenwicht stabiel?
3.15
Houd voor de stijfheid van de drie rotatieveren aan r 18 MNm/radk = .
Gevraagd:
Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van 1F en 2F
is het evenwicht stabiel?
1F (kN) 2F (kN)
a. 14500 1800
b. 13000 2400
c. 12500 3000
d. 11500 3600
3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
26
3.16
Houd voor de stijfheid van de vier rotatieveren aan r 4000 kNm/radk = .
Gevraagd:
Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van 1F en 2F
is het evenwicht instabiel?
1F (kN) 2F (kN)
a. 4200 200
b. 3200 700
c. 2200 1500
d. 900 2000
3.17-1/2
In de getekende constructies zijn de oneindig stijve staven AB, BC en CD
onderling scharnierend verbonden en wordt de vormvastheid van de constructie
ontleend aan de twee draden AC en BD die een rekstijfheid EA hebben. In
onbelaste toestand zijn de constructies spanningsloos.
Houd in de numerieke uitwerking aan 5 m=ℓ en 7 MNEA = .
Gevraagd:
a. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
b. De richting waarin constructie uitknikt, naar links of naar rechts?
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
27
3.18
Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en
verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: 3 ma = en
B 8 MN/radk = .
Gevraagd:
a. De vereiste veerstijfheid Ck , opdat er lokale instabiliteit optreedt.
b. De vereiste veerstijfheid Ck , opdat er globale instabiliteit optreedt.
c. De knikkracht kF waarbij lokale en globale instabiliteit gelijktijdig
optreden.
3.19
In de getekende constructie heeft de centrale ingeklemde kolom een
wringstijfheid 2
w 120 MNmGI = . De pendelkolommen zijn oneindig stijf.
Gevraagd:
De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.
3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
28
3.20
Twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen verzorgen de stabiliteit van
de twee op druk belaste pendelkolommen. De buigstijfheid van de kolommen is
EI; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd.
Gevraagd:
De verhouding /a b waarbij rotatie- en translatie-instabiliteit onder dezelfde
belasting optreden.
3.21
In de getekende constructie zijn de pendelkolommen 3 m lang en de in de
fundering ingeklemde kolommen 4 m. Voor de ingeklemde kolommen zijn
ronde buizen toegepast met buigstijfheid 232 MNmEI = ; de wringstijfheid
mag worden verwaarloosd.
Gevraagd:
a. De waarde van F waarbij translatie-instabiliteit optreedt.
b. De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.
c. Welke vorm van instabiliteit is maatgevend?
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
29
3.22-1/2
Van een gebouwtje met een regelmatige zeshoek als plattegrond wordt het dak
in het midden gedragen door een wringstijve kolom en aan de omtrek door zes
pendelstijlen in de hoekpunten. De kolom is ingeklemd in zowel het dak als de
fundering en heeft een wringstijfheid wGI . Kolom en pendelstijlen hebben
verschillende lengten. De dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht, is
gelijkmatig verdeeld. De totale dakbelasting is Q.
Gevraagd:
De dakbelasting kQ waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.
3.23
Een vierkant dak wordt in de hoeken gedragen door vier pendelkolommen en in
het midden door een wringstijve kolom.
Gevraagd:
a. Uit onderstaande tabel de combinatie van a en h te kiezen die het gunstigst
is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie.
3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
30
a (m) h (m)
1. 8 4
2. 7 5
3. 6 6
4. 5 7
b. Bij de gekozen combinatie van a en h de verdeelde belasting kq te
berekenen waarbij de stabiliteitsgrens met betrekking tot torsie wordt
bereikt.
3.24
Een cirkelvormig dak met straal r wordt langs de omtrek gedragen door een
aantal pendelkolommen en in het midden door een wringstijve buis.
Gevraagd:
a. De combinatie van r en h die het gevaarlijkst is met betrekking tot de
rotatiestabiliteit van de constructie.
r (m) h (m)
1. 5 3
2. 10 4
3. 15 5
4. 15 6
b. Bij de gekozen combinatie van r en h de verdeelde belasting kq te
berekenen waarbij torsie-instabiliteit optreedt.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
31
3.25
De translatie- en rotatiestabiliteit van een gebouw moet worden verzorgd door
vier in hun vlak oneindig stijve wanden die dak en fundering met elkaar
verbinden.
Gevraagd:
Bij welk van de getekende oplossingen lukt dat?
3.26
In een hoogbouwskelet wordt de translatie- en rotatiestabiliteit ontleend aan
drie in hun vlak oneindig stijve wanden, die over de volle hoogte doorlopen en
op verschillende manieren in de plattegrond kunnen worden gesitueerd.
Gevraagd:
Welke situering werkt het meest doelmatig.
3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
32
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
33
4. Knik van starre-staaf-systemen met twee
vrijheidsgraden
4.1
Gegeven twee door translatieveren gekoppelde oneindig stijve kolommen. De
kolommen worden verschillend belast. Houd in de berekening aan: 4 m=ℓ en
625 kN/mk = .
Gevraagd:
a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.
b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.
c. De knikbelasting kF .
4.2-1/2
Gegeven twee door translatieveren gekoppelde starre drukstaven. De rekstijf-
heden verschillen en worden uitgedrukt in k.
Gevraagd:
a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.
b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.
c. De knikbelasting kF .
4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
34
4.3-1/2
In de getekende constructies hebben de liggers een buigstijfheid EI en zijn de
kolommen oneindig stijf.
Gevraagd:
a. Een voorspelling omtrent de knikvorm (zonder te rekenen).
b. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.
c. De bijbehorende uitbuigingsvormen.
d. De knikbelasting kF .
4.4-1 t/m 4
Gegeven vier portalen met oneindig stijve kolommen. De regels hebben een
buigstijfheid EI.
Gevraagd:
a. De knikbelasting kF
b. De bijbehorende knikvorm.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
35
4.5-1/2
Gegeven twee gelede knikstaven, samengesteld uit de oneindig stijve delen AB
en BC.
Gevraagd:
a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.
b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.
c. De knikkracht kF .
4.6-1 t/m 3
Gegeven dezelfde constructie op drie verschillende manieren belast. In de
constructie gedraagt de buigzame staaf met buigstijfheid EI zich als een veer.
Maak voor het veergedrag gebruik van wat werd afgeleid in hoofdstuk 4,
voorbeeld 3.
Gevraagd:
a. De belastingen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.
b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.
c. De knikbelasting.
4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
36
4.7-1/2
In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de
liggers een eindige buigstijfheid EI.
Bij de gegeven belasting zijn er twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in
uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische
uitbuigingsvorm.
Gevraagd:
a. De kracht 1F F= die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm.
b. De kracht 2F F= die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm.
c. De knikkracht kF .
4.8-1/2
In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de
liggers een eindige buigstijfheid EI.
In de linker constructie worden beide kolommen verhinderd naar links te
verplaatsen; in de rechter constructie wordt een verplaatsing naar rechts
verhinderd.
Gevraagd:
a. Bij welke uitbuigingsvormen is er evenwicht in uitgebogen stand mogelijk?
b. Bereken bij elke uitbuigingsvorm de bijbehorende waarde van F.
c. De knikkracht kF .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
37
4.9-1/2
De gelede knikstaven zijn opgebouwd uit onderling verend verbonden starre
staven. Houd in de berekening voor de veerstijfheden aan:
r1 3000 kNm/radk = , r2 1200 kNm/radk = en r3 2400 kNm/radk = .
Er zijn bij de gegeven belasting twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in
uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische.
Gevraagd:
a. De kracht 1F F= die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm.
b. De kracht 2F F= die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm.
c. De knikkracht kF .
4.10-1/2
Houd in de berekening aan 23000 kNmEI = en r 1500 kN/radk = .
a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.
b. De bijbehorende uitbuigingsvorm(en).
c. De knikkracht kF .
d. Is de grootte van de veerstijfheid rk van invloed op de grootte van de
knikkracht?
4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
38
4.11
Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en
verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: 2 ma = , B 12 MN/radk =
en C 4 MN/radk = .
Gevraagd:
a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is.
b. De bijbehorende uitbuigingsvormen.
c. De knikkracht kF .
4.12
Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan B 9 MN/radk = en
C 2 MN/radk = .
4.13
Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan B 15 MN/radk = en
C 3 MN/radk = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
39
5. Knik van buigzame staven – basisknik-gevallen
Opmerkingen vooraf:
• Het eigen gewicht van de constructie wordt verwaarloosd, tenzij anders is
aangegeven.
• Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als
oneindig buigstijf worden opgevat.
• Tenzij anders is aangegeven zijn alle constructiedelen oneindig rekstijf en
is er geen normaalkrachtvervorming.
• Alle staven zijn prismatisch tenzij anders is aangegeven.
• Houd ter vereenvoudiging van de berekeningen aan 102π = .
5.1
Staaf AB heeft een buigstijfheid 25 MNmEI = .
Gevraagd:
De kracht F waarbij knik optreedt.
5.2
In het getekende vakwerk hebben alle staven dezelfde buigstijfheid EI. Er
treedt bezwijken door instabiliteit op als 640 kNH = .
Gevraagd:
De buigstijfheid EI.
5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
40
5.3-1 t/m 5
Gevraagd:
a. Wat verstaat men onder “kniklengte”?
b. Schets de knikvorm.
c. De kniklengte van de op druk belaste buigzame kolom.
5.4
Gegeven de vijf constructies uit opgave 5.3.
Gevraagd:
a. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte daarvan.
b. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte daarvan.
5.5-1 t/m 4
De regel is oneindig stijf. De kolom heeft een buigstijfheid 21280 MNmEI = .
Gevraagd:
a. Een schets van de knikvorm.
b. De kracht kF waarbij het evenwicht instabiel wordt.
c. De kniklengte kℓ .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
41
5.6
Houd in de berekening aan 22 MNmEI = .
Gevraagd:
a. De waarde van 1kF , respectievelijk 2kF , waarbij een van de staven
uitknikt.
b. Verklaar het relatief grote verschil tussen deze waarden.
5.7-1 t/m 3
In de getekende constructies zijn de regels oneindig stijf en heeft de kolom een
buigstijfheid 22800 kNmEI = .
Gevraagd:
a. Een schets van de knikvorm.
b. De kniklengte kℓ .
c. De knikkracht kF .
5.8
In de figuur hebben alle vier kolommen dezelfde buigstijfheid. De regels zijn
oneindig stijf. Let op: de kolomlengten zijn verschillend.
5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
42
Gevraagd:
Rangschik de constructies naar toenemende kniklengte. Vermeld daarbij de
kniklengte.
5.9
Zie de gegevens in opgave 5.8. Als extra is de buigstijfheid van de kolommen
gegeven: 3920 kNEI = .
Gevraagd:
Rangschik de constructies naar toenemende knikkracht. Vermeld daarbij de
grootte van de knikkracht.
5.10
Een prismatische kolom krijgt aan de top een uitwijking 0 20 mmw =
tengevolge van de kracht 30 kNH = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
43
5.11-1 t/m 3
Houd voor de buigstijfheid van de kolommen aan 25000 kNmEI = . De regels
zijn oneindig stijf.
Gevraagd:
De verticale oplegreactie in A op het ogenblik van bezwijken door instabiliteit.
5.12-1 t/m 4
Alle vakwerkstaven hebben dezelfde buigstijfheid 23 MNmEI = .
Gevraagd:
De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
5.13
Gegeven een scharnierend opgelegde en op druk belaste houten balk met
elasticiteitsmodulus 15 GPaE = . De balkdoorsnede is rechthoekig.
5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
44
Gevraagd:
De knikkracht kF .
5.14
Een stalen strip moet een belasting van 50 kNF = dragen. De waarde van
k/n F F= mag niet kleiner zijn dan vier. Houd in de berekening aan
200 MPaE = en 102π = .
Gevraagd:
De maximum lengte ℓ die de strip mag hebben.
5.15
Een stalen staaf wordt in de slappe richting op halve hoogte gesteund. De
elasticiteitsmodulus is 3 2210 10 N/mmE = × .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
45
5.16-1/2
In de getekende constructie zijn de liggers oneindig stijf en heeft de kolom een
eindige buigstijfheid 224 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
5.17
Een gebouw wordt in het verticale vlak geschematiseerd tot een oneindig stijve
wand die draagt op twee kolommen. De kolommen zijn volledig ingeklemd in
de wand en in de oneindig stijf veronderstelde fundering.
Gevraagd:
De kniklengte van beide kolommen.
5.18
Gevraagd:
De maximum kracht F die de constructie kan dragen alvorens bezwijken door
instabiliteit optreedt en de richting (0 /2)β β≤ ≤ π waarin deze kracht werkt.
5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
46
5.19-1 t/m 4
Houd in de berekening aan: 2
1 4000 kNmEI = , 2
2 3000 kNmEI = , 2
3 7200 kNmEI = en 2
4 2500 kNmEI = .
Gevraagd:
De belasting kq waarbij het evenwicht instabiel wordt.
5.20-1/2
In de linker constructie is DE oneindig stijf. In de rechter constructie is CDE
oneindig stijf. Alle andere staven zijn buigzaam en hebben een buigstijfheid EI.
Gevraagd:
De kracht waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
47
5.21
In de getekende constructie is de ligger oneindig stijf. De kolommen hebben bij
dezelfde buigstijfheid verschillende rekstijfheden.
Gevraagd:
a. De pendelstijl die bij de gegeven rekstijfheden het eerst uitknikt.
b. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.
5.22
Van de op druk belaste ligger is het middendeel oneindig stijf.
Gevraagd:
a. De knikkracht.
b. Een schets van de knikvorm.
5.23
Alle kolommen hebben over de gehele lengte ℓ dezelfde buigstijfheid EI. Alle
regels zijn oneindig stijf.
Gevraagd:
a. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte hiervan.
b. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte hiervan.
5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
48
5.24-1/2
Van de kolommen zijn de buigstijfheden in de figuur bijgeschreven.
Gevraagd:
a. Op welke manieren kan de constructie bezwijken door instabiliteit?
b. De knikkracht kF .
5.25
Houd in de berekening aan, 2
1 2000 kNmEI = , 2
2 240 kNmEI = en
r 800 kNm/radk = .
Gevraagd:
a. De knikkracht bij partiele instabiliteit.
b. De knikkracht bij globale instabiliteit.
c. Welke van de twee is maatgevend.
5.26-1/2
Gevraagd:
Welke relatie bestaat er tussen de buigstijfheid 1EI van de pendelkolom en de
buigstijfheid 2EI van de ingeklemde kolom als knik van de pendelkolom
(lokale of partiele instabiliteit) samenvalt met knik van de constructie in zijn
geheel (globale instabiliteit)?
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
49
5.27
Gevraagd:
Aan welke eis moet de buigstijfheid 2EI van de pendelkolom voldoen opdat de
constructie niet zal bezwijken door partiele instabiliteit.
5.28
Gegeven en met tuien afgespannen mast. De tuien zijn spanningsloos in
onbelaste toestand. De rekstijfheid van de tuien is 2500 kNEA = . De
buigstijfheid van de mast is 22500 kNmEI = .
Gevraagd:
a. Welke knikvormen zijn mogelijk?
b. De kracht kF waarbij het evenwicht de stabiliteitsgrens bereikt.
5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN – BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
50
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
51
6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven
Opmerkingen vooraf:
• Tenzij anders is aangegeven zijn alle staven prismatisch.
• Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten,
tenzij anders is aangegeven.
• Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als
oneindig buigstijf worden opgevat.
• Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven.
• Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms
verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins
kunnen afwijken.
• Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden 102π = .
6.1-1 t/m 6
Gegeven zes verend ingeklemde prismatische knikstaven met lengte ℓ en
buigstijfheid EI.
Gevraagd:
a. De randvoorwaarden te formuleren in de grootheden w, w′ , M, zS en de
veerstijfheden.
b. De randvoorwaarden uit te werken tot vergelijkingen in de constanten 1C
t/m 4C (dit zijn de constanten in de algemene oplossing van de
differentiaalvergelijking voor buigingsknik, zie paragraaf 5.3, uitdrukking
5.21).
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
52
6.2
Een gedeeltelijk in de grond geslagen paal mag als verend ingeklemd worden
beschouwd.
Gevraagd:
Voor de kniklengte van de paal geldt:
A. k 4 m=ℓ
B. k4 m < < 8 mℓ
C. k 8 m=ℓ
D. k > 8 mℓ
6.3
In geval (1) is de knikkracht k1 2000 kNF = . In geval (2) is de knikkracht
k2 500 kNF = .
Gevraagd:
De knikkracht k3F in geval (3).
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
53
6.4-1/2
Gegeven twee verend ingeklemde kolommen met een lengte 5 m=ℓ .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
6.5-1/2
Houd in de berekening aan 254 MNmEI = en t 500 kN/mk = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
54
6.6
Gevraagd:
De kniklengte kℓ van kolom AB.
6.7
Een kolom is in A ingeklemd in een rotatieveer met stijfheid
r 5,4 MNm/radk = . De kniklast bedraagt 300 kN.
Gevraagd:
De knikkracht als de kolom volledig in A is ingeklemd.
6.8
Dezelfde gegevens als in opgave 6.7.
Gevraagd:
a. De knikkracht van de verend ingeklemde kolom als de stijfheid van de
rotatieveer wordt verdubbeld.
b. De procentuele toename van de knikkracht.
6.9
Dezelfde gegevens als in opgave 6.7.
Gevraagd:
De stijfheid van de rotatieveer opdat de knikkracht van de kolom 400 kN
bedraagt.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
55
6.10
Gegeven een kolom op een paalfundering. De paalfundering kan worden
opgevat als een verende inklemming met een rotatiestijfheid van 4800
kNm/rad. Als de kolom oneindig stijf is ingeklemd bedraagt de knikkracht 300
kN.
Gevraagd:
De knikkracht van de kolom op de paalfundering.
6.11
Een 6 m lange kolom is op vier verschillende manieren ingeklemd in andere
staven. Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid EI.
Gevraagd:
De gevallen te rangschikken van de grootste naar de kleinste knikkracht.
6.12-1 t/m 4
Dezelfde gegevens als in opgave 6.11. Alle staven hebben dezelfde
buigstijfheid 27,08 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
56
6.13
Alle staven hebben dezelfde buigstijfheid 215,4 MNmEI = .
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. De kniklengte kℓ .
6.14
Kolom ABC, met buigstijfheid EI, wordt door oneindig stijve schoren
verhinderd in B te verplaatsen.
Gevraagd:
De kolom knikt uit bij de kracht kF die het best wordt benaderd door de
waarde:
A. k 2
EIF
2π=ℓ
B. k 24
EIF
2π=ℓ
C. k 27
EIF
2π=ℓ
D. k 212
EIF
2π=ℓ
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
57
6.15
Gegeven vier op druk belaste staven AB.
Gevraagd:
a. De staaf die het eerst door instabiliteit bezwijkt.
b. De bijbehorende knikkracht.
6.16-1 t/m 4
Dezelfde gegevens als in opgave 6.15.
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. De kniklengte kℓ .
6.17
Op de verend ingeklemde prismatische staaf werkt alleen het eigen gewicht met
resultante G. Houd in de berekening aan 2100 MNmEI = en r 5 MNm/radk = .
Gevraagd:
De belasting kG waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
58
6.18
Gegeven een verend ingeklemde prismatische kolom met een gelijkmatig
verdeelde verticale belasting q.
Gevraagd:
De knikbelasting kq .
6.19-1/2
Op de kolommen werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting q.
Houd in de berekening aan 2
1 64 MNmEI = en 2
2 32 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikbelasting kq .
6.20
Op de drie getekende kolommen werkt dezelfde gelijkmatig verdeelde verticale
belasting q. De resultante van deze belasting is Q. De knikbelasting is kQ .
De factor n wordt gedefinieerd als k /Q Q .
Voor de oneindig stijf ingeklemde buigzame kolom geldt 20n = .
Voor de verend ingeklemde buigzame kolom geldt 4n = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
59
Gevraagd:
De factor k /n Q Q= als de verend ingeklemde kolom oneindig stijf is.
6.21
De knikkracht van kolom AB is k 3000 kNF = .
Gevraagd:
Hoe groot zal ongeveer de verplaatsing in B zijn tengevolge van een
horizontale kracht 10 kNH = aldaar?
6.22-1 t/m 3
Van drie verend kolommen is de verplaatsing in de top gegeven tengevolge van
een horizontale kracht aldaar.
Gevraagd:
Hoe groot is ongeveer de knikkracht kF van de kolom?
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
60
6.23
Een prismatische hoogbouw heeft een doorsnede van 240 40 m× en een hoogte
van 220 m. Het gebouwgewicht (inclusief inhoud) bedraagt 32,5 kN/mq = .
Tengevolge van alleen een horizontale windbelasting van 22 kN/m loodrecht
op een van de gevelvlakken is de uitwijking 0,5 m.
Gevraagd:
De factor k /n q q= .
6.24
Gegeven een verend ingeklemde kolom waarvan de bovenste helft oneindig
buigstijf is.
Gevraagd:
Benader de knikkracht met de formule k 0/F H w= ℓ .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
61
6.25
Gegeven vier op druk belaste kolommen met buigstijfheid EI. De regels zijn
oneindig stijf.
Gevraagd:
a. De kolommen te rangschikken van de kleinste naar de grootste kniklengte
kℓ .
b. De grenzen aan te geven waartussen de kniklengten liggen.
6.26
Dezelfde gegevens als in opgave 6.25.
Gevraagd:
De kolommen te rangschikken van de kleinste naar de grootste knikkracht kF .
6.27
Een in A verend ingeklemde prismatische mast AB wordt in B door tuien
verhinderd horizontaal te verplaatsen.
Gevraagd:
Wat zou de kniklengte van de mast kunnen zijn?
A. 0,5ℓ
B. 0,6ℓ
C. 0,9ℓ
D. 1,0ℓ
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
62
6.28-1 t/m 6
Gegeven zes op druk belaste kolommen met lengte ℓ .
Gevraagd:
Voor de kniklengte van de kolom geldt:
A. k0,5 < < 0,7ℓ ℓ ℓ E. k < < 2ℓ ℓ ℓ
B. k0,5 < < ℓ ℓ ℓ F. k > ℓ ℓ
C. k0,7 < < ℓ ℓ ℓ G. k 2=ℓ ℓ
D. k =ℓ ℓ H. k > 2ℓ ℓ
6.29-1 t/m 6
Dezelfde gegevens als in opgave 6.28. Houd verder in de berekening aan
6 m=ℓ en 2
1980 kNmEI = .
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. De kniklengte kℓ .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
63
6.30-1/2
Een spant met een oneindig stijve pendelkolom wordt op twee manieren belast.
Houd in de berekening aan 2
7,2 MNmEI = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
6.31-1/2
Dezelfde constructie wordt op twee manieren belast. Houd in de berekening
aan 2
1800 kNmEI = .
Gevraagd:
De knikkracht.
6.32-1/2
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
64
Gevraagd:
1. De knikkracht kF uit te drukken in EI en ℓ in het geval 0β = .
2. De knikkracht kF uit te drukken in EI en ℓ in het geval 90β = �.
6.33-1 t/m 4
Houd in de berekening aan 2
1 1800 kNmEI = en 2
2 3625 kNmEI = .
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. De kniklengte kℓ .
6.34-1/2
In beide constructies hebben alle staven dezelfde buigstijfheid 2
2050 kNmEI = .
Gevraagd:
De knikkracht kF .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
65
6.35-1 t/m 3
Alle staven hebben een eindige buigstijfheid uitgedrukt in EI, met uitzondering
van de kolom in constructie (1) die oneindig stijf is.
Gevraagd:
De knikkracht kF uitgedrukt in EI en ℓ .
6.36-1 t/m 3
Gegeven drie symmetrische spanten met symmetrische belasting. Houd in de
berekening aan 2
1800 kNmEI = . De spanten kunnen zowel symmetrisch als
keersymmetrisch uitknikken.
Gevraagd:
a. Een schets van de symmetrische en keersymmetrische knikvorm.
b. De maatgevende knikvorm. Motiveer het antwoord.
c. De knikbelasting.
6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
66
6.37
Gegeven een spant in de vorm van een gelijkzijdige driehoek. Alle staven
hebben dezelfde lengte 5 m=ℓ en buigstijfheid 2
2335 kNmEI = . Het spant
kan zowel symmetrisch als keersymmetrisch uitknikken.
Gevraagd:
a. Een schets van de symmetrische en keersymmetrische knikvorm.
b. De maatgevende knikvorm. Motiveer het antwoord.
c. De knikbelasting.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 7 KNIK VAN DOOR TRANSLATIEVEREN ONDERSTEUNDE BUIGZAME STAVEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
67
7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame
staven
Van dit hoofdstuk zijn geen opgaven beschikbaar.
7 KNIK VAN DOOR TRANSLATIEVEREN ONDERSTEUNDE BUIGZAME STAVEN
CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
68
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
69
8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen
Opmerkingen vooraf:
• Alle staven zijn prismatisch.
• Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten,
tenzij anders is aangegeven.
• Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als
oneindig buigstijf worden opgevat.
• Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven.
• Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms
verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins
kunnen afwijken.
• Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden 102π = .
8.1-1/2
Gegeven een (verend) ingeklemde kolom met drie aanpendelende kolommen
met de daarop aangrijpende belasting. Houd in de berekening aan 2
37,5 MNmEI = en r 15 MNmk = . Er treedt geen lokale instabiliteit op door
het uitknikken van één van de pendelkolommen.
Gevraagd:
a. De factor n waarmee de belasting moet worden vergroot om bezwijken
door instabiliteit te bewerkstelligen.
b. De minimaal vereiste buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat
er geen partiele knik optreedt.
8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
70
8.2-1/2
De constructie bestaat uit een volledig ingeklemde kolom met een aantal
aanpendelende kolommen. De ingeklemde kolom heeft een buigstijfheid 2
24,8 MNmEI = . Er treedt geen lokale instabiliteit op.
Gevraagd:
a. De knikbelasting kF .
b. De minimaal vereiste buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat
er geen partiele knik optreedt.
8.3-1/2
Dezelfde gegevens en vragen als opgave 8.1, alleen moet de volledig stijve
inklemming nu worden vervangen door een verende inklemming met stijfheid
r 49,6 MNmk = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
71
8.4-1 1 t/m 4
De buigstijfheid van de volledig ingeklemde kolom is 2
33,6 MNmEI = . Er
treedt geen lokale instabiliteit op.
Gevraagd:
a. De factor n waarmee de belasting moet worden vergroten om bezwijken
door instabiliteit te bewerkstelligen.
b. De minimaal vereiste buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat
er inderdaad geen lokale instabiliteit optreedt.
8.5-1 t/m 4
Dezelfde gegevens en vragen als opgave 8.3, alleen moet de volledig stijve
inklemming nu worden vervangen door een verende inklemming met stijfheid
r 48 MNmk = . Er treedt geen knik op van de aanpendelende kolommen.
8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
72
8.6-1/2
De kolommen AB zijn in A scharnierend opgelegd en in B volledig ingeklemd
in de oneindig stijve regel. Op de regel werkt een gelijkmatig verdeelde
volbelasting q. Er treedt geen partiële knik op. Houd in de berekening aan 2
1 27,5 MNmEI = en 2
2 29,7 MNmEI =
Gevraagd:
a. De knikbelasting kq .
b. De buigstijfheid van de aanpendelende kolommen opdat er geen partiële
knik optreedt.
8.7
Gegeven drie constructies.
Gevraagd:
In welk van de drie gevallen knikt kolom AB het eerst uit?
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
73
8.8-1 t/m 3
Dezelfde constructies als in opgave 8.7. Houd in de berekening aan 2
4050 kNmEI = en rk = ∞ (volledige inklemming in A).
Gevraagd:
De knikkracht kF .
8.9-1 t/m 3
Dezelfde constructies als in opgave 8.7. Houd in de berekening aan 2
4050 kNmEI = en r 8750 kNmk = (verende inklemming in A).
Gevraagd:
De knikkracht kF .
8.10-1/2
Een dakconstructie rust op twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen
en twee pendelkolommen. De buigstijfheid van de ingeklemde kolommen is 2
11,75 MNmEI = ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. Houd verder
in de berekening aan: 2 ma = , 6 mb = en 4 mh = .
8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
74
Gevraagd:
a. De belasting waarbij translatie-instabiliteit optreedt.
b. De belasting waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.
c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is.
d. De minimaal vereiste buigstijfheid van de pendelkolommen opdat er geen
lokale instabiliteit optreedt.
8.11-1/2
Een dakconstructie rust op twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen
en twee pendelkolommen. De buigstijfheid van de ingeklemde kolommen is 2
15 MNmEI = ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd.
Gevraagd:
a. De belasting waarbij translatie-instabiliteit optreedt.
b. De belasting waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.
c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is.
d. De minimaal vereiste buigstijfheid van de pendelkolommen opdat er geen
lokale instabiliteit optreedt.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
75
8.12-1/2
Een betonnen dak in de vorm van een gelijkzijdige driehoek is vrij opgelegd op
drie pendelkolommen en drie stijf in de fundering ingeklemde kolommen. Alle
kolommen hebben een cirkelvormige dwarsdoorsnede. De buigstijfheid van de
in de fundering ingeklemde kolommen is EI. De pendelkolommen zijn
oneindig stijf. In constructie (1) hebben alle kolommen dezelfde lengte; in
constructie (2) zijn de pendelkolommen half zo lang als de ingeklemde
kolommen.
De totale dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht van het dak, is Q. De
dakbelasting is gelijkmatig verdeeld. Voor het berekenen van de
kolombelastingen mag men het dak opgebouwd denken uit vier vrij opgelegde
driehoeken.
Gevraagd:
a. De belasting Q waarbij translatie-instabiliteit optreedt.
b. De belasting Q waarbij rotatie-instabiliteit optreedt.
c. De vorm van instabiliteit die maatgevend is en de knikbelasting kQ .
8 BUIGZAME KNIKSTAAF MET AANPENDELENDE KOLOMMEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
76
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH *
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
77
9. Formule van Rayleigh *
Opmerking vooraf:
• De knikkracht RF is een benadering van de werkelijke knikkracht kF met
behulp van de formule van Rayleigh.
• Formules:
2
2
sin 2sin d
4 2
sin 2cos d
4 2
x
x
α αα
α αα
= − +
= + +
∫
∫
9.1
Gevraagd:
a. Wat is de achtergrond van de formule van Rayleigh voor het berekenen van
de knikbelasting.
b. Geeft de formule van Rayleigh een te grote of te kleine waarde voor de
knikbelasting. Motiveer het antwoord.
9.2-1 t/m 3
Gegeven een volledig ingeklemde ligger met lengte ℓ en buigstijfheid EI.
Voor de knikvorm kan worden gekozen:
1. 2( )w x Cx=
2. 2 3( ) (3 )w x C x x= −ℓ
Opmerking:
Deze knikvorm is affien met de doorbuiging van de ligger tengevolge
van een kracht in het vrije einde x = ℓ , loodrecht op de liggeras.
3. ( ) (1 cos )x
w x Cπ
= −2ℓ
Gevraagd:
a. De knikkracht RF .
b. De afwijking ten opzichte van de exacte waarde van de knikkracht.
9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
78
9.3-1/2
Gegeven dezelfde ingeklemde ligger als in opgave 9.2. De knikkracht wordt
benaderd met de formule van Rayleigh. Voor de uitbuigingsvorm bij knik kan
worden gekozen:
1. 2 3( )w x ax bx= +
2. 2 4( )w x ax bx= +
Hierin zijn a en b vrije parameters.
Gevraagd:
a. De knikkracht RF .
b. De verhouding /a b waarbij RF optreedt.
c. De afwijking van RF ten opzichte van de exacte waarde van de knikkracht.
9.4
Gegeven in figuur (a) de taps verlopende strip met constante dikte a. Voor de
buigstijfheid in het x-z-vlak geldt:
( ) (1 )x
EI x EI= −ℓ
Hierin is EI de buigstijfheid ter plaatse van de inklemming.
In figuur (b) is de strip geschematiseerd tot een lijnelement, op centrische druk
belast door de kracht F.
Gevraagd:
De knikkracht RF bij uitknikken in het x-z-vlak. Stel daarbij voor de knikvorm:
2
2( )
xw x C=
ℓ
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH *
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
79
9.5-1 t/m 3
Gegeven drie eenzijdig ingeklemde prismatische staven met lengte ℓ en
buigstijfheid EI, op verschillende manieren op centrische druk belast1. De
knikkracht wordt benaderd met de formule van Rayleigh waarbij voor de
knikvorm wordt aangehouden:
2( )w x Cx=
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9.6-1 t/m 3
Als opgave 9.5, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden:
2 3( ) (3 )w x C x x= −ℓ
Opmerking:
De gekozen knikvorm is affien met de doorbuiging van de ligger tengevolge
van een kracht in het vrije einde x = ℓ , loodrecht op de liggeras.
9.7-1 t/m 3
Als opgave 9.5, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden:
( ) (1 cos )x
w x Cπ
= −2ℓ
1 Om de figuur duidelijk te houden zijn de krachten die in het midden van de staaf aangrijpen
excentrisch getekend
9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
80
9.8-1 t/m 3
Gegeven dezelfde drie liggers als in opgave 9.5. Voor de knikvorm wordt
aangehouden:
2 3( )w x ax bx= +
Hierin zijn a en b vrije parameters.
Gevraagd:
a. De knikkracht RF .
b. De verhouding /a b waarbij RF optreedt.
9.9-1 t/m 3
Gegeven drie eenzijdig ingeklemde niet-prismatische liggers met lengte ℓ en
op verschillende manieren op centrische druk belast2. De buigstijfheden zijn
bijgeschreven in de figuren. De knikkracht wordt benaderd met de formule van
Rayleigh waarbij voor de knikvorm wordt aangehouden:
2( )w x Cx=
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9.10-1 t/m 3
Als opgave 9.9, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden:
2 3( ) (3 )w x C x x= −ℓ
Opmerking:
Deze knikvorm is affien met de doorbuiging van een prismatische ligger
tengevolge van een kracht in het vrije einde x = ℓ , loodrecht op de liggeras.
2 Om de figuur duidelijk te houden zijn de krachten die in het midden van de staaf aangrijpen
excentrisch getekend
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH *
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
81
9.11-1 t/m 3
Als opgave 9.9, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden:
( ) (1 cos )x
w x Cπ
= −2ℓ
9.12
Gegeven een op druk belaste prismatische ligger die aan de ene kant volledig is
ingeklemd en aan de andere kant vrij is opgelegd. De knikkracht wordt
benaderd met de formule van Rayleigh. Hierbij wordt aangenomen dat de
knikvorm affien is met de doorbuigingsvorm tengevolge van een gelijkmatig
verdeelde belasting:
2 2 3 4( ) (3 5 2 )w x C x x x= − +ℓ ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9.13-1 t/m 3
Gegeven drie vrij opgelegde staven die in het midden van de overspanning ℓ
worden belast door een centrische drukkracht F. De buigstijfheden zijn
uitgedrukt in EI en in de figuur bijgeschreven. Voor de knikvorm wordt
aangehouden:
2
2( ) (1 4 )
xw x C= −
ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
82
9.14-1 t/m 3
Als opgave 9.13, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden:
( ) cosx
w x Cπ
=ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9.15-1 t/m 3
Gegeven drie vrij opgelegde staven die worden belast door twee drukkrachten
F. Voor de knikvorm wordt aangehouden:
2( ) ( )w x C x x= −ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9.16-1 t/m 3
Als opgave 9.15, maar nu wordt voor de knikvorm aangehouden:
( ) sinx
w x Cπ
=ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9.17-1 t/m 3
Als opgave 9.15, maar nu wordt voor de (symmetrisch veronderstelde)
knikvorm aangehouden:
2 3 12
( ) (3 4 ) voor w x C x x x= − ≤ℓ ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 9 FORMULE VAN RAYLEIGH *
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
83
9.18-1 t/m 4
Gegeven vier over drie steunpunten doorgaande liggers. De veldlengte is ℓ .
Buigstijfheden en belasting kunnen uit de figuren worden afgelezen. Voor de
knikvorm wordt aangehouden:
( ) sinx
w x Cπ
=ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
9.19
De gegeven constructie bestaat uit drie gekoppelde kolommen, zie figuur (a).
De kolommen verschillen in lengte en hebben verschillende buigstijfheden.
Gevraagd:
Toon met de formule van Rayleigh aan dat voor de knikbelasting (bij
benadering) geldt:
31 2
k1 k2 k3
1FF F
F F F+ + =
Hierin is kiF ( 1,2,3)i = de knikkracht in het geval alleen kolom i wordt belast
en de overige kolommen onbelast zijn.
9 FORMULE VAN RAYLEIGH * CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
84
Voor de uitbuiging van kolom i ( 1,2,3)i = kan men bijvoorbeeld aanhouden,
zie figuur (b):
1 cosi
xw C
π −= 2 ℓ
9.20-1 t/m 6
Gegeven zes over drie steunpunten doorgaande liggers. De veldlengte is ℓ .
Buigstijfheden en belasting kunnen uit de figuren worden afgelezen. Voor de
knikvorm wordt aangehouden:
( ) sinx
w x Cπ
=ℓ
Gevraagd:
De knikkracht RF , uitgedrukt in EI en ℓ .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
85
10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen)
Opmerkingen vooraf:
• Tenzij anders is aangegeven wordt gevraagd naar de verplaatsingen,
rotaties, krachten en momenten volgens een geometrisch niet-lineaire
berekening.
• Staven waarvan de stijfheid niet is gegeven moeten als oneindig stijf
worden opgevat.
• Translatieveren kunnen zowel trek- als drukkrachten overbrengen.
• De deelvragen mogen worden beantwoord in een volgorde naar eigen
keuze.
• Tenzij anders is aangegeven wordt het eigen gewicht van de constructie
verwaarloosd (buiten beschouwing gelaten).
• De figuren zijn niet altijd op schaal getekend.
10.1-1/2
Beide staven staan in onbelaste toestand volkomen verticaal.
Gevraagd:
a. De eerste-orde scheefstand.
b. De tweede-orde scheefstand.
c. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
d. Het tweede-orde inklemmingsmoment.
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
86
10.2-1/2
Voer een geometrisch niet-lineaire berekening uit.
Gevraagd:
a. De uitwijking aan de top.
b. De veerkrachten.
10.3
Gegeven een prismatische kolom met een eigen gewicht van 100 kN, die wordt
belast door een horizontale en een verticale kracht van respectievelijk 45 kN en
150 kN. Houd voor de stijfheid van de translatieveer aan r 300 kN/mk = .
Gevraagd:
a. De uitwijking aan de top.
b. De kracht in de veer.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
87
10.4-1/2
Op de verend ingeklemde kolommen AB werkt over de volle lengte een
gelijkmatig verdeelde verticale belasting en in de top B een horizontale kracht.
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing in B.
b. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A.
c. De tweede-orde verplaatsing in B.
d. Het tweede-orde inklemmingsmoment in A.
e. De knikbelasting.
10.5-1/2
Op de verend ingeklemde kolommen werkt over de volle lengte een horizontale
en verticale gelijkmatig verdeelde belasting.
Gevraagd:
a. De eerste-orde uitwijking aan de top.
b. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
c. De tweede-orde uitwijking aan de top.
d. Het tweede-orde inklemmingsmoment.
e. De knikbelasting.
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
88
10.6
Op de kolom werkt over de volle lengte een gelijkmatig verdeelde verticale en
horizontale belasting, respectievelijk vq en hq . Voor de verticale belasting
geldt v 80 kN/mq = .
Gevraagd:
a. De horizontale belasting hq waarbij de tweede-orde uitwijking aan de top
200 mm bedraagt.
b. Het tweede-orde inklemmingsmoment bij de onder (a) berekende
horizontale belasting hq .
10.7
Voor de stijfheid van de rotatieveren geldt r 12 MNm/radk = .
Gevraagd:
a. De verplaatsing van de regel.
b. Het buigend moment in de rotatieveren.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
89
10.8
De horizontale kracht H veroorzaakt in combinatie met de verticale kracht van
250 kN een scheefstand van 0,02 rad. Voor de stijfheid van de rotatieveren
geldt: r1 4000 kNm/radk = en r2 2000 kNm/radk =
Gevraagd:
De grootte van de kracht H.
10.9-1 t/m 3
Drie rechte kolommen zijn scheef gemonteerd. In onbelaste scheefstand zijn de
veren spanningsloos. Door de aangegeven belasting zal de initiële scheefstand
0ϕ toenemen met een bedrag 0ϕ∆ .
Gevraagd:
a. De toename 0ϕ∆ .
b. Het inklemmingsmoment.
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
90
10.10-1/2
Gegeven twee kromme kolommen die voordat de horizontale en verticale
belasting is aangebracht een initiële uitwijking van respectievelijk 30 mm en 20
mm aan de top hebben. In onbelaste scheefstand zijn de veren spanningsloos.
De grootte van de belasting is uit de figuren af te lezen.
Gevraagd:
a. De uitwijking aan de top.
b. Het moment in de veer.
10.11-1/2
Twee oneindig stijve kolommen hebben, voordat de horizontale en verticale
belasting is aangebracht, aan de top een initiële uitwijking van respectievelijk
60 mm en 20 mm. In de figuren is verder de grootte van de knikkracht kF
gegeven.
Gevraagd:
Het buigend moment in A bij de aangegeven belasting.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
91
10.12-1 t/m 3
In de getekende schuine stand van de kolom is de veer spanningsloos. In deze
stand worden de krachten aangebracht.
Gevraagd:
a. De kracht in de veer met de vermelding of dit een trek- of drukkracht is.
b. De scheefstand van de kolom in radialen.
10.13-1 t/m 6
Gegeven zes verschillende kolommen.
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
92
Gevraagd:
a. De uitwijking aan de top.
b. De krachten in de translatieveren.
c. De momenten in de rotatieveren.
d. De knikkracht.
10.14
Een constructie wordt in evenwicht gehouden door twee translatieveren veren
met stijfheid t 4000 kN/mk = . Neem aan dat de constructie zelf gewichtloos is.
Gevraagd:
a. De uitwijking aan de top.
b. De veerkrachten.
10.15-1/2
Gegeven twee constructies die door translatieveren in evenwicht worden
gehouden. Houd in de berekening aan t1 1000 kN/mk = en t2 2000 kN/mk = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
93
Gevraagd:
a. De uitwijking aan de top.
b. De krachten in de translatieveren.
c. De oplegreacties in A.
10.16-1/2
Gegeven twee kolommen met een excentrisch aangrijpende verticale belasting.
Houd in de berekening aan t1 500 kN/mk = , t2 750 kN/mk = en
r 12 MNm/radk = .
Gevraagd:
a. De factor n.
b. De eerste-orde uitwijking aan de top.
c. De tweede-orde uitwijking aan de top.
d. De eerste-orde veerkracht(en).
e. De tweede-orde veerkracht(en).
10.17
AB heeft een eindige buigstijfheid 2
1000 kNmEI = . De rest van de constructie
is oneindig stijf.
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
94
Gevraagd:
a. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in A in grootte en richting.
b. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in B in grootte en richting.
10.18-1/2
AB heeft een eindige buigstijfheid 2
500 kNmEI = . BCD is oneindig stijf.
Gevraagd:
a. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in A in grootte en richting.
b. De eerste- en tweede-orde oplegreacties in B in grootte en richting.
10.19-1 t/m 3
Twee bollen met massa,s 1 3000 kgm = en 1 9000 kgm = zijn via draden van
ongelijke lengte opgehangen aan een oneindig stijve verend ingeklemde mast.
De stijfheid van de rotatieveer is r 3600 kNm/radk = . De zwaarteveldsterkte is
10 N/kgg = .
Gevraagd:
a. De eerste-orde uitwijking aan de top.
b. De tweede-orde uitwijking aan de top.
c. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
d. Het tweede-orde inklemmingsmoment.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
95
10.20
De vrij opgelegde ligger ACB heeft in C een verende verbinding. De ligger
wordt in C belast door een verticale kracht P en in B door een drukkracht F.
Gevraagd:
a. De eerste-orde verticale verplaatsing 0w in C, uitgedrukt in P, ℓ en rk .
b. De knikkracht kF .
c. Toon aan dat voor de tweede-orde verplaatsing w in C geldt:
01
nw w
n=
−
d. Toon aan dat voor het tweede-orde moment M in C geldt:
01
nM M
n=
−
10.21-1 t/m 4
Ligger ACB draagt een gelijkmatig verdeelde volbelasting 16 kN/mq = en
wordt in B belast door een drukkracht 800 kNF = . De stijfheid van de
rotatieveren is uitgedrukt in r 7200 kNm/radk = .
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
96
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing in C.
b. Het eerste-orde moment in de verende verbinding(en).
c. De knikkracht.
d. De tweede-orde verplaatsing in C.
e. Het tweede-orde moment in de verende verbinding(en).
f. Teken de eerste- en tweede-orde momentenlijn in één figuur.
10.22-1 t/m 3
Houd in de berekening aan 2
1 3 MNmEI = en 2
2 3 32 MNmEI EI= = .
Gevraagd:
a. De tweede-orde verplaatsing van de regel.
b. De eerste-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.
c. De tweede-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.
d. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
e. Het tweede-orde inklemmingsmoment.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
97
10.23-1/2
Alle staven zijn oneindig stijf en beide rotatieveren hebben dezelfde
veerstijfheid r 7200 kNm/radk = .
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing van de regel.
b. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
c. De eerste-orde inklemmingsmomenten.
d. De knikkracht.
e. De tweede-orde verplaatsing van de regel.
f. De tweede-orde inklemmingsmomenten.
g. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
10.24
Alle staven zijn oneindig stijf en alle rotatieveren hebben dezelfde veerstijfheid
r 15 MNm/radk = .
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 10.23.
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
98
10.25-1 t/m 3
Alle staven zijn oneindig stijf. De stijfheden van de rotatieveren zijn
r1 9 MNm/radk = en r2 4,5 MNm/radk = .
Gevraagd:
a. Beargumenteer (zonder uitvoerige berekeningen) of de normaalkracht in de
regel volgens een tweede-orde berekening een trek- of drukkracht is.
b. De eerste-orde verplaatsing van de regel.
c. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
d. De eerste-orde inklemmingsmomenten.
e. De factor n
f. De tweede-orde verplaatsing van de regel.
g. De tweede-orde inklemmingsmomenten.
h. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
10.26-1/2
Houd in de berekening aan t1 1000 kN/mk = en t2 500 kNm/radk = .
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing van de regel.
b. De tweede-orde verplaatsing van de regel.
c. De eerste-orde kracht in de translatieveer.
d. De tweede-orde kracht in de translatieveer.
e. De eerste-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.
f. De tweede-orde normaalkracht in de regel, met het goede teken.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
99
10.27-1/2
Houd in de berekening aan r1 2000 kNm/radk = en r2 10 MNm/radk = .
Gevraagd:
a. Beargumenteer (zonder uitvoerige berekeningen) of de normaalkracht in de
regel volgens een tweede-orde berekening een trek- of drukkracht is.
b. De eerste-orde verplaatsing van de regel.
c. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
d. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
e. De factor n
f. De tweede-orde verplaatsing van de regel.
g. Het tweede-orde inklemmingsmoment.
h. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
10.28-1/2
Alle staven zijn oneindig stijf. Houd voor de stijfheid van de verende
inklemmingen aan r 13,5 MNm/radk = .
10 VERGROTINGSFACTOR (STARRE-STAAF-SYSTEMEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
100
Gevraagd:
a. Beargumenteer (zonder uitvoerige berekeningen) of de normaalkracht in de
regel volgens een tweede-orde berekening een trek- of drukkracht is.
b. De eerste-orde verplaatsing van de regel.
c. De eerste-orde inklemmingsmomenten.
d. De eerste-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
e. De factor n
f. De tweede-orde verplaatsing van de regel.
g. De tweede-orde inklemmingsmomenten.
h. De tweede-orde normaalkracht in de regel met het juiste teken.
10.29-1 t/m 4
Alle staven zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening aan
r1 12 MNm/radk = en r2 18 MNm/radk = .
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 10.28.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
101
11. Vergrotingsfactor (buigzame staven)
Opmerkingen vooraf:
• Alle op druk belaste staven hebben een eindige buigstijfheid tenzij anders
is aangegeven.
• Translatieveren kunnen zowel trek- als drukkrachten overbrengen.
• De deelvragen mogen worden beantwoord in een volgorde naar eigen
keuze.
• Tenzij anders is aangegeven wordt het eigen gewicht van de constructie
verwaarloosd.
• De figuren zijn niet altijd op schaal getekend.
• Tenzij anders is aangegeven wordt gevraagd naar de verplaatsingen,
rotaties, krachten en momenten volgens een geometrisch niet-lineaire
berekening.
• Voor het berekenen van de hiervoor genoemde grootheden zijn soms
verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling kunnen
afwijken.
• Ter vereenvoudiging mag in de berekeningen worden aangehouden
102π = .
• Beantwoord de deelvragen in een volgorde naar eigen keuze.
• Bij opgaven of deelvragen voorzien van een asterisk (*) dient men gebruik
te maken van de benaderingsformule k 0/F H w= ℓ , zie paragraaf 6.1.3.
11.1
Tengevolge van alleen de kracht H is de uitbuiging aan de top 10 mm. De
kniklast van de kolom bedraagt 1000 kN.
Gevraagd:
De uitbuiging aan de top als op de kolom ook nog een verticale kracht van 200
kN werkt.
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
102
11.2
Tengevolge van alleen de kracht H buigt de kolom aan de top 30 mm uit. De
kniklast van de kolom bedraagt 2400 kN.
Gevraagd:
De bijkomende uitbuiging aan de top tengevolge van een verticale kracht van
400 kN.
11.3
Bij de gegeven belasting door H en F is de tweede-orde verplaatsing aan de top
40 mm. De knikkracht van de kolom bedraagt 4000 kN.
Gevraagd:
De eerste-orde verplaatsing aan de top.
11.4
De eerste-orde verplaatsing aan de top bedraagt 20 mm. De tweede-orde
verplaatsing is 28 mm.
Gevraagd:
De knikkracht.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
103
11.5-1/2
Gegeven twee volledig ingeklemde kolommen. Buigstijfheden en belasting zijn
in de figuur aangegeven.
Gevraagd:
a. De uitwijking aan de top.
b. Het inklemmingsmoment.
11.6
De getekende prismatische kolom heeft een buigstijfheid EI en is volledig
ingeklemd. De eerste-orde verplaatsing aan de top bedraagt 60 mm.
Gevraagd:
a. De buigstijfheid EI.
b. De verplaatsing aan de top.
c. Het inklemmingsmoment.
11.7-1/2*
Gegeven twee verend ingeklemde knikstaven. De verplaatsing aan de top
tengevolge van een eerste-orde berekening is in beide gevallen 12 mm.
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
104
Gevraagd:
a. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing aan de top.
b. Een schatting van het tweede orde inklemmingsmoment van de kolom.
11.8*
Van de verend ingeklemde kolom is gegeven dat de knikkracht 2400 kN
bedraagt.
Gevraagd:
a. Bij benadering de verplaatsing in de top.
b. Een schatting van het inklemmingsmoment.
11.9
In geval (a) bedraagt het tweede-orde inklemmingsmoment van de kolom 150
kNm.
Gevraagd:
Een schatting van de uitwijking aan de top in geval (b).
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
105
11.10
Gegeven de verplaatsing aan de top voor dezelfde kolom onder invloed van
twee verschillende belastingen.
Gevraagd:
a. De knikkracht.
b. De toename van het inklemmingsmoment onder invloed van de verticale
kracht.
11.11
Gegeven de verplaatsing aan de top voor dezelfde kolom onder invloed van
twee verschillende belastingen.
Gevraagd:
a. De knikkracht.
b. Het inklemmingsmoment voor de rechter kolom.
11.12
De knikkracht van de kolom bedraagt 1600 kN.
Gevraagd:
Een schatting van het inklemmingsmoment.
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
106
11.13
Bij de gegeven belasting bedraagt het tweede-orde inklemmingsmoment 150
kNm.
Gevraagd:
Een schatting van knikkracht.
11.14-1 t/m 3
Gegeven drie verend ingeklemde kolommen waarvan de knikkrachten in de
figuur zijn bijgeschreven.
Gevraagd:
Het buigend moment in de kolomvoet.
11.15*
Een toren ondervindt tengevolge van een gelijkmatig verdeelde horizontale
belasting van 40 kN/m in de top een eerste-orde verplaatsing van 0,20 m. De
verticale belasting van de toren bedraagt 220 MN en is gelijkmatig verdeeld
over de hoogte.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
107
Gevraagd:
a. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing aan de top.
b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment.
11.16*
Gegeven een prismatische hoogbouw met een doorsnede van 2
35 35 m× en een
hoogte van 200 m. De verticale belasting, inclusief eigen gewicht, bedraagt 3
2,2 kN/m . Tengevolge van een horizontale windbelasting van 2
2 kN/m is de
eerste uitbuiging aan de top 0,4 m.
Gevraagd:
a. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing aan de top.
b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment.
11.17
De knikkracht van de excentrisch belaste kolom bedraagt 500 kN.
Gevraagd:
a. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment.
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
108
11.18
Een volledig ingeklemde kolom met buigstijfheid 2
10,8 MNmEI = wordt
belast door een excentrisch aangrijpende drukkracht.
Gevraagd:
a. De verplaatsing aan de top.
b. Het inklemmingsmoment.
11.19
Een verend ingeklemde kolom blijkt enigszins krom getrokken. De uitwijking
aan de top bedraagt 30 mm. De knikkracht van de kolom bedraagt 2 MN. De
kolom wordt belast door een verticale kracht van 500 kN. In de figuur is de
kolom in onvervormde stand getekend.
Gevraagd:
a. De bijkomende uitwijking aan de top.
b. Het eerste- en tweede-orde inklemmingsmoment
11.20-1/2
Gegeven twee verend ingeklemde kolommen waarvan de knikkrachten in de
figuur zijn bijgeschreven. De kolommen zijn niet recht maar hebben een
kromming, respectievelijk een knik, waardoor zij in de top een initiële
uitwijking van respectievelijk 80 mm en 50 mm hebben. De kolommen zijn in
onvervormde stand getekend.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
109
Gevraagd:
Het inklemmingsmoment van de kolom.
11.21
In het raamwerk zijn alle staven prismatisch en hebben zij dezelfde
buigstijfheid. Uit symmetrieoverwegingen kan een kwart van het raamwerk
worden bekeken. Zie voor verdere informatie de figuur.
Gevraagd:
a. Een schatting van de buigende momenten in de hoekpunten.
b. Een schatting van de verplaatsing van de bovenregel*.
11.22
Bij de gegeven belasting bedraagt de doorbuiging in het midden van de
prismatische ligger 6 mm. De eerste-orde doorbuiging is 4 mm.
De grootte van ℓ , EI en P zijn niet gegeven.
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
110
Gevraagd:
a. De knikkracht van de ligger.
b. Het eerste-orde buigend moment onder de puntlast.
c. Het tweede-orde moment onder de puntlast.
11.23*
De ligger is symmetrisch ten opzichte van het midden, maar hoeft niet
prismatisch te zijn. De eerste-orde doorbuiging in het midden bedraagt 30 mm.
Gevraagd:
a. Een schatting van de tweede-orde doorbuiging in het midden.
b. Een schatting van het tweede-orde buigend moment in het midden.
11.24
Op een gevelkolom werkt drukkracht van 250 kN en een windbelasting van 3
kN/m. De buigstijfheid van de kolom is 2
2 MNmEI = .
Gevraagd:
a. De maximum eerste-orde uitbuiging.
b. De maximum tweede-orde uitbuiging.
c. Het maximum eerste-orde buigend moment.
d. Het maximum tweede-orde buigend moment.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
111
11.25
Gegeven een op excentrische druk belaste ligger met buigstijfheid 2
360 MNmEI = .
Gevraagd:
a. Een schatting van de maximum doorbuiging.
b. Een schatting van het maximum buigend moment.
11.26
Gegeven een op excentrische druk belaste prismatische ligger waarvan de
knikkracht is k 500 kNF = . De lengte ℓ en buigstijfheid EI zijn niet gegeven.
Gevraagd:
a. Een schatting van de maximum doorbuiging.
b. Een schatting van het maximum buigend moment.
11.27-1/2
In beide constructies is de regel oneindig stijf en heeft de kolom een
buigstijfheid 2
1500 kNmEI = .
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing van de regel.
b. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing van de regel.
c. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A.
d. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment in A.
e. De verticale oplegreactie in B
f. De verticale oplegreactie in A.
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
112
11.28
De kolom heeft een buigstijfheid 2
36 MNmEI = . Beide regels zijn oneindig
stijf.
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 11.22.
11.29
De kolommen hebben een buigstijfheid 2
16 MNmEI = . De regel is oneindig
stijf.
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing van de regel.
b. Een schatting van de tweede-orde verplaatsing van de regel.
c. Het eerste-orde inklemmingsmoment in A.
d. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment in A.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
113
11.30-1/2
In de getekende constructies hebben de regels dezelfde buigstijfheid. De
knikkracht van de kolom is in de figuur bijgeschreven.
Gevraagd:
Volgens een eerste orde berekening:
a. Het buigend moment in A.
b. De verticale oplegreacties in A en B.
Volgens een tweede orde berekening:
c. Het buigend moment in A.
d. De verticale oplegreacties in A en B.
11.31-1/2
In de getekende constructies hebben alle staven dezelfde buigstijfheid. Houd in
de berekening aan: 2
1 10,5 MNmEI = en 2
2 13,81 MNmEI = .
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 11.30
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
114
11.32
De constructie is opgebouwd uit twee volledig ingeklemde kolommen AB en
CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. Beide
kolommen zijn prismatisch met buigstijfheid 2
6,4 MNmEI = .
Gevraagd:
Volgens een eerste-orde berekening:
a. De normaalkracht in staaf BC.
b. De verplaatsing van staaf BC.
c. Het inklemmingsmoment in A.
d. Het inklemmingsmoment in D.
Volgens een tweede-orde berekening:
e. Een schatting van de normaalkracht in staaf BC.
f. Een schatting van de verplaatsing van staaf BC.
g. Een schatting van het inklemmingsmoment in A.
h. Een schatting van het inklemmingsmoment in D.
11.33-1/2
De constructie is opgebouwd uit twee volledig ingeklemde kolommen AB en
CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. De
buigstijfheden van de kolommen zijn uitgedrukt in 2
9 MNmEI = .
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 11.32.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN)
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
115
11.34-1/2
De constructie is opgebouwd uit twee volledig ingeklemde kolommen AB en
CD, die onderling zijn gekoppeld door de oneindig stijve staaf BC. De
kolommen zijn prismatisch met verschillende buigstijfheden, uitgedrukt in 2
12,8 MNmEI = .
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 11.32.
11.35
In het getekende spant hebben alle kolommen dezelfde buigstijfheid 2
2048 kNmEI = .
Gevraagd:
a. De eerste-orde inklemmingsmomenten.
b. Een schatting van de tweede-orde inklemmingsmomenten.
11.36-1/2
Gegeven een (verend) ingeklemde kolom met drie aanpendelende kolommen
met de daarop aangrijpende belasting. Houd in de berekening aan 2
37,5 MNmEI = en r 15 MNmk = . Er treedt geen lokale instabiliteit op door
het uitknikken van één van de pendelkolommen.
11 VERGROTINGSFACTOR (BUIGZAME STAVEN) CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
116
Gevraagd:
a. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment.
11.37-1 t/m 4
De buigstijfheid van de volledig ingeklemde kolom is 2
33,6 MNmEI = . Er
treedt geen lokale instabiliteit op.
Gevraagd:
a. Het eerste-orde inklemmingsmoment.
b. Een schatting van het tweede-orde inklemmingsmoment.
11.38-1 t/m 4
Dezelfde gegevens en vragen als opgave 11.37, alleen moet de volledig stijve
inklemming nu worden vervangen door een verende inklemming met stijfheid
r 48 MNmk = . Er treedt geen knik op van de aanpendelende kolommen.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
117
12. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag
Opmerkingen vooraf:
• Maak de deelvragen in een volgorde naar eigen keuze.
• In de berekening mag het eigen gewicht van de constructie worden
verwaarloosd.
• Er wordt aangenomen dat de grootte van het volplastisch moment pM
onafhankelijk is van de grootte van de in de staaf aanwezige
normaalkracht.
• Het wordt aanbevolen de vergrotingsfactor /( 1)n n − alleen te gebruiken als
men deze voor het betreffende vraagstuk ook kan afleiden.
• Gebruik de regel van Merchant alleen ter controle van de gevonden
resultaten.
12.1
Starre staaf AB is ingeklemd in buigzame ligger BC. Ligger BC gedraagt zich
elasto-plastisch met buigstijfheid 2
1800 kNmEI = en volplastisch moment
p 180 kNmM = . Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven.
Gevraagd:
a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van
AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van:
b. De knikkracht kF .
c. De eerste-orde bezwijklast pH .
d. De eerste-orde verplaatsing van A als 20 kNH = en 200 kNF = .
e. De tweede-orde verplaatsing van A als 20 kNH = en 200 kNF = .
f. Teken voor 20 kNH = het - -diagramF w voor A, zowel in het elastische
als plastische gebied.
g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
20 kNH = .
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
150 kNF = .
i. Controleer de juistheid van de onder g en h berekende waarden met behulp
van de formule van Merchant.
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
118
12.2
Een oneindig stijve mast met lengte 6 m=ℓ is afgetuid met twee draden en
wordt in de top A belast door de verticale kracht 220 kNF = . De mast staat
scheef met aan de top een uitwijking 0 12,5 mmw = . De draden hebben een
rekstijfheid 2500 kNEA = en een vloeikracht p 7,5 kNN = . In de onbelaste
constructie zijn de draden spanningsloos.
Figuur 12.1
Gevraagd:
a. Stel (in symbolen) de vergelijking op voor het momentenevenwicht van
AB in scheefstand. Leid hieruit de grootte af van:
b. De knikkracht kF .
c. De eerste orde verplaatsing van A.
d. De tweede-orde verplaatsing van A.
e. De kracht cF waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit.
f Verifieer de onder e berekende waarde met behulp van de formule van
Merchant.
g. Het - -diagramF w voor A, zowel in het elastische als plastische gebied.
12.3
De oneindig stijve kolom AB is in B stijf verbonden met ligger BC. BC heeft
een buigstijfheid 2
1250 kNmEI = en een volplastisch moment p 53 kNmM = .
Houd verder in de berekening aan 3,15 m=ℓ .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
119
Gevraagd:
a. AB in B vrij te maken van BC en te tekenen in de toestand dat B een
horizontale verplaatsing w heeft ondergaan, met alle krachten die er in B op
werken.
b. In deze stand de vergelijking (in symbolen) op te stellen voor het
momentenevenwicht van AB om A.
c. De verplaatsing pw waarbij in B het volplastisch moment wordt bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van B als 125 kNF = en 4,8 kNH = .
e. De tweede-orde verplaatsing van B als 125 kNF = en 4,8 kNH = .
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
4,8 kNH = .
g. De kniklast kF .
h. De eerste-orde bezwijklast pF .
i. De onder f berekende waarde te controleren met behulp van de formule van
Merchant.
j. Het - -diagramF w te tekenen voor 4,8 kNH = , zowel in het elastische als
het plastische gebied.
12.4
AEB is een volkomen stijve staaf, die zijdelings wordt gesteund door staaf CD
met buigstijfheid 2
25,6 MNmEI = en volplastisch moment p 64 kNmM = .
Houd verder in de berekening aan: 4 m=ℓ , 6 kNH = en 800 kNF = .
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
120
Gevraagd:
a. De uitwijking in B volgens een eerste-orde berekening.
b. De uitwijking in B volgens een tweede-orde berekening.
c. De knikkracht kF .
d. De waarde van cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als
6 kNH =
e. Controleer de onder d gevonden waarde met de formule van Merchant.
f. Teken het - -diagramF w voor B als 6 kNH = , zowel in het elastische als
het plastische gebied.
12.5
Een verticaal opgestelde starre staaf wordt op halve hoogte gesteund door twee
horizontale draden. De draden hebben een rekstijfheid 3
10,8 10 kNEA = × en
een vloeikracht p 120 kNN = . Afmetingen en belasting zijn in de figuur
aangegeven. In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
121
Gevraagd:
a. De knikkracht.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c De eerste-orde verplaatsing in A tengevolge van 450 kNF = .
d. De tweede-orde verplaatsing in A tengevolge van 450 kNF = .
e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. Controleer
deze waarde met de regel van Merchant.
f. Het - -diagramF w voor A, zowel in het elastische als plastische gebied.
12.6
De oneindig stijve staaf AB is in C stijf verbonden met ligger CD. CD heeft
een buigstijfheid 2
4500 kNmEI = en een volplastisch moment
p 150 kNmM = . Houd verder in de berekening aan: 3 m=ℓ .
Gevraagd:
a. De waarde van cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als
10 kNH = .
b. De waarde van cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit plaats vindt als
100 kNF = .
c. De waarde van cF F= en cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit
plaats vindt als 6F H= .
d. Controleer de onder a, b en c gevonden waarden met de formule van
Merchant.
12.7
De oneindig stijve kolom AB is stijf ingeklemd in de ligger BC met een
buigstijfheid 3 2
25 10 kNmEI = × en een volplastisch moment p 120 kNmM = .
De kolom wordt belast door een drukkracht F, die aangrijpt met een
excentriciteit 10 mme = . Kolom en ligger hebben beide een lengte 5 m=ℓ .
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
122
Gevraagd:
a. De eerste-orde momentenlijn als 600 kNF = .
b. De tweede-orde momentenlijn als 600 kNF = .
c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze
waarde te controleren met de formule van Merchant.
d. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de verticale
kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische
als plastische gebied.
12.8
In de getekende constructie zijn AB, BC en BD starre staven. Staaf DE heeft
een eindige buigstijfheid 2
37,5 MNmEI = en een volplastisch moment
p 135 kNmM = . De staven zijn in B en D scharnierend met elkaar verbonden.
De constructie is in A scharnierend opgelegd, in C opgelegd op een rol met
verticale rolbaan en in B volledig ingeklemd. De belasting bestaat uit de
verticale kracht 750 kNF = in C en de horizontale kracht 9 kNH = in D.
Houd verder in de berekening aan: 5 ma = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
123
Gevraagd:
a. De eerste-orde verplaatsing van C.
b. De tweede-orde verplaatsing van C.
c. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening.
d. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening.
d. De knikkracht kF .
f. De eerste-orde bezwijklast pH .
g. De kracht cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
9 kNH = .
h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F
en de horizontale verplaatsing w van C in het geval 9 kNH = . Schrijf de
waarden er bij.
i. De kracht cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
750 kNF = .
j. Controleer de onder g en i gevonden waarden met de formule van
Merchant.
12.9
In de getekende constructie zijn AC, CD en DB starre staven, die in C en D
scharnierend met elkaar zijn verbonden. De constructie is in A en B
scharnierend opgelegd en in C en D via de tuidraden EC en GD verbonden met
de opleggingen in E en G. De afmetingen kunnen uit de figuur worden
afgelezen.
Op CD werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting 36 kN/mq = . De
constructie wordt tevens in C belast door een horizontale kracht 2,7 kNH = .
De rekstijfheid van de tuidraden is 5000 kNEA = . De vloeikracht in de
tuidraden is p 12 kNN = . In de onbelaste constructie zijn de tuidraden
spanningsloos.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
124
c. De verplaatsing van C waarbij in een tuidraad de vloeikracht wordt bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van C.
e. De tweede-orde verplaatsing van C.
f. De eerste-orde normaalkracht in CD.
g. De tweede-orde normaalkracht in CD.
h. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
2,7 kNH = .
i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor C als 2,7 kNH = , in
zowel het elastische als plastische gebied.
j. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
36 kN/mq = .
k. Controleer de onder h en j berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.10
De oneindig stijve kolom AB is in C stijf verbonden met de buigzame ligger
DCE. Deze ligger heeft een buigstijfheid 2
15 MNmEI = en een volplastisch
moment p 105 kNmM = . Afmetingen en belasting volgen uit de figuur.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van B waarbij in de verende inklemmingen het
vloeimoment wordt bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van B ten gevolge van 21 kNH = en
1200 kNF = .
e. De tweede-orde verplaatsing van B ten gevolge van 21 kNH = en
1200 kNF = .
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
21 kNH = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
125
g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor B als 21 kNH = , in
zowel het elastische als plastische gebied.
h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
/40H F= .
i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor B als /40H F= , in
zowel het elastische als plastische gebied.
j. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.11
In de getekende constructie zijn de verbindingen in A en D scharnierend en die
in B en C volkomen stijf. AB, AD en CD zijn oneindig stijf. BC heeft een
buigstijfheid 2
9000 kNmEI = en een volplastisch moment p 18 kNmM = .
Houd verder in de berekening aan 3 m=ℓ .
De constructie wordt belast door een verticale kracht 240 kNF = in A en een
horizontale kracht 4 kNH = in D.
Gevraagd:
a. De verplaatsing van A volgens een eerste-orde berekening.
b. De normaalkracht in AD volgens een eerste-orde berekening.
c. De verplaatsing van A volgens een tweede-orde berekening.
d. De normaalkracht in AD volgens een tweede-orde berekening.
e. De knikkracht kF .
f. De eerste-orde bezwijklast pF .
g. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
4 kNH = .
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
240 kNF = .
i. Controleer de onder g en h gevonden waarden met de formule van
Merchant.
j. Het - -diagramF w voor A als 4 kNH = , zowel in het elastische als het
plastische gebied.
k. Het - -diagramF w voor A als 9,6 kNH = , zowel in het elastische als het
plastische gebied.
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
126
12.12
In de getekende constructie heeft ACB een eindige buigstijfheid EI en een
volplastisch moment pM . Alle andere staven zijn oneindig stijf.
Houdt in de berekening aan: 4 m=ℓ , 2
16 MNmEI = , p 50 kNmM = ,
9 kNH = en 600 kNF = .
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van D waarbij in ACB het volplastisch moment wordt
bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van D.
e. De tweede-orde verplaatsing van D.
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
9 kNH = .
g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor D als 9 kNH = , in
zowel het elastische als plastische gebied.
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
600 kNF = .
i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.13
In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met
uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en
BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met
buigstijfheid 2
72 MNmEI = . Deze staaf heeft een volplastisch moment
p 81 kNmM = . Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen.
Houd in de berekening aan 10,8 kNH = en 300 kNF = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
127
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting.
c. De eerste-orde verplaatsing van B.
d. De tweede-orde verplaatsing van B.
e. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening.
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
10,8 kNH = .
g. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
300 kNF = .
h. Controleer de onder f en g berekende waarden met de regel van Merchant.
12.14
In de getekende constructie zijn AD, BE, CG, DE en EG oneindig stijve staven,
die scharnierend met elkaar zijn verbonden. Ligger BC heeft een eindige
buigstijfheid EI en een volplastisch moment pM . De staven BE en CG zijn stijf
verbonden met ligger BC. De constructie is in A, B en C scharnierend
opgelegd. Op DEG werkt een gelijkmatig verdeelde belasting q. Verder werkt
in D een horizontale kracht H.
De horizontale uitwijking van regel DEG wordt aangeduid met w. De daarbij
behorende rotatie van stijl CG wordt aangeduid met ϕ .
Houd in de berekening aan: 2
2100 kNmEI = , p 350 kNmM = en 2 m=ℓ .
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
128
Gevraagd:
a. De knikbelasting kq .
b. De eerste-orde bezwijklast pH .
c. De eerste-orde hoekverdraaiing in C als 90 kN/mq = en 70 kNH = .
d. De tweede-orde hoekverdraaiing in C als 90 kN/mq = en 70 kNH = .
e. De belasting cq waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
70 kNH = .
f. Controleer dit antwoord met de regel van Merchant.
g. Teken voor 70 kNH = het verband tussen de belasting q en de rotatie ϕ
van stijl CG, zowel voor als na het bezwijken door instabiliteit.
12.15
Tweescharnierenspant ABCD bestaat uit de twee oneindig stijve stijlen AB en
CD die stijf verbonden zijn met de buigzame regel BC. BC heeft een
buigstijfheid 2
2400 kNmEI = en een volplastisch moment p 180 kNmM = .
Stijlen en regel hebben dezelfde lengte 4 m=ℓ .
De constructie wordt belast door de verticale krachten: 2F in B en F in C.
Daarnaast werkt er in B een horizontale kracht H.
Gevraagd:
a. De verplaatsing van B volgens een eerste-orde berekening als 18 kNH =
en 100 kNF = .
b. De verplaatsing van B volgens een tweede-orde berekening als 18 kNH =
en 100 kNF = .
c. De knikkracht kF .
d. De eerste-orde bezwijklast pF .
e. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
18 kNH = .
f. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
100 kNF = .
g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van
Merchant.
h. Verwerk de hiervoor gevonden resultaten in een last-verplaatsing-diagram.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
129
12.16
De getekende constructie is opgebouwd uit de stijlen AC en BD, de horizontale
regel CD en de kabels AD en BC. De buig- en rekstijfheid van stijlen en regel
is oneindig groot. De beide kabels hebben een eindige rekstijfheid 7 MNEA =
en een vloeikracht p 21 kNN = . In onbelaste toestand zijn alle constructie
delen spanningsloos.
De constructie wordt in E belast door een verticale kracht F en in C door een
horizontale kracht H.
Gevraagd:
a. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F
en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het geval 0 kNH = ,
zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in een aantal punten de
waarden er bij.
b. De eerste-orde normaalkracht in CD als 1500 kNF = en 3 kNH = .
c. De tweede-orde normaalkracht in CD als 1500 kNF = en 3 kNH = .
d. In het last-verplaatsing-diagram uit vraag a ook het verband te schetsen
tussen de kracht F en de horizontale verplaatsing w van regel CD in het
geval 3 kNH = , zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf in
een aantal punten de waarden er bij.
e. De kracht cF waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als 3 kNH = .
f. Controleer de onder e gevonden waarde met de formule van Merchant.
12.17
Portaal ABCD heeft oneindig stijve kolommen AB en CD en een buigzame
regel die in B en C stijf met de kolommen is verbonden. Regel BC heeft een
buigstijfheid 2
12 MNmEI = en een volplastisch moment p 100 kNmM = .
Kolommen en regel hebben dezelfde lengte 3 m=ℓ . A en D zijn scharnier-
opleggingen. Het portaal wordt boven kolom CD belast door een excentrisch
aangrijpende verticale kracht F. De grootte van de excentriciteit is 50 mme = .
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
130
Gevraagd:
a. De knikkracht kF .
b. De eerste-orde bezwijkbelasting pF .
c. In een last-verplaatsing-diagram voor 0e = het verband na uitknikken te
schetsen tussen de kracht F en de afstand w van de werklijn van F tot
scharnieroplegging D, zowel in het elastische als plastische gebied. Schrijf
op markante plaatsen de waarden er bij.
d. Voor 50 mme = een betrekking af te leiden tussen de kracht F en de
afstand w van de werklijn van F tot scharnieroplegging D, zowel in het
elastische als plastische gebied.
e. De kracht cF , waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit, als
50 mme = . Deze waarde te controleren met de formule van Merchant.
f. De onder d afgeleide betrekking te schetsen in het onder b gevraagde last-
verplaatsing-diagram, met vermelding van de waarden op markante punten.
12.18
In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend, met
uitzondering van de volkomen stijve verbinding ter plaatse van B, tussen AB en
BC. Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC met
buigstijfheid 2
72 MNmEI = . Deze staaf heeft een volplastisch moment
p 90 kNmM = . Afmetingen en belasting zijn uit de figuur af te lezen.
Houd in de berekening aan 3 kNH = en 90 kNF = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
131
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting.
c. De eerste-orde verplaatsing van B.
d. De tweede-orde verplaatsing van B.
e. De normaalkracht in BD volgens een eerste-orde berekening.
f. De normaalkracht in BD volgens een tweede-orde berekening.
g. De M-lijn volgens een eerste-orde, respectievelijk tweede-orde berekening.
h. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
3 kNH = .
i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
90 kNF = .
j. Controleer de onder h en i berekende waarden met de regel van Merchant.
12.19
In de getekende constructie zijn de (doorgaande) stijlen oneindig stijf en
hebben de regels een buigstijfheid 2
3600 kNmEI = en een volplastisch
moment p 60 kNmM = . Alle hoekverbindingen zijn volledig stijf. Afmetingen
en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd in de berekening aan: 3 m=ℓ ,
12 kNH = en 400 kNF = .
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting.
c. De eerste-orde verplaatsing van de bovenste regel.
d. De tweede-orde verplaatsing van de bovenste regel.
e. De maximum kracht H die de constructie nog kan dragen als 400 kNF = .
f. De maximum kracht F die de constructie nog kan dragen als 12 kNH = .
g. Controleer de onder e en f gevonden waarden met de formule van
Merchant.
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
132
12.20
In de getekende constructie zijn alle verbindingen scharnierend met
uitzondering van de volkomen stijve verbinding tussen de AB en BC.
Alle staven zijn oneindig stijf, met uitzondering van staaf BC. BC heeft een
buigstijfheid 2
7200 kNmEI = en een volplastisch moment p 90 kNmM = .
Afmetingen en belasting zijn in de figuur gegeven. Houd daarbij in de
berekening aan 3 kNH = en 20 kN/mq = .
Gevraagd:
a. De knikbelasting kq .
b. De eerste-orde bezwijkbelasting pH .
c. De eerste-orde verplaatsing van knooppunt C.
d. De tweede-orde verplaatsing van knooppunt C.
e. De normaalkracht in CE volgens een eerste-orde berekening.
f. De normaalkracht in CE volgens een tweede-orde berekening.
g. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
3 kNH = .
h. Een schets van het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w betrokken op
de verplaatsing van knooppunt C, voor en na bezwijken door instabiliteit.
i. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
20 kN/mq = .
j. Controleer de onder g en i berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.21
De getekende constructie bestaat uit de starre staven AB en CD die in
respectievelijk B en C stijf zijn verbonden met ligger BC. Ligger BC heeft een
buigstijfheid 2
1800 kNmEI = en een volplastisch moment p 180 kNmM = .
Alle staven hebben een lengte 3 m=ℓ .
De constructie wordt belast door de horizontale kracht D 40 kNH = , zoals in
de figuur aangegeven, en verder door een verticale kracht F in A.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
133
Gevraagd:
a. De eerste-orde momentenlijn als 200 kNF = .
b. De tweede-orde momentenlijn als 200 kNF = .
c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze
waarde te controleren met de formule van Merchant.
d. Voor D 40 kNH = in een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen
tussen de verticale kracht F en de horizontale verplaatsing w in A, zowel
voor het elastische als plastische gebied.
12.22
Gegeven dezelfde constructie als in opgave 12.21. De belasting bestaat nu uit
de horizontale krachten A 20 kNH = en D 10 kNH = , zoals aangegeven in de
figuur, en verder een verticale kracht F in A.
Gevraagd:
a. De eerste-orde momentenlijn als 150 kNF = .
b. De tweede-orde momentenlijn als 150 kNF = .
c. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. Deze
waarde te controleren met de formule van Merchant.
d. Bij de gegeven horizontale krachten in A en D in een last-verplaatsing-
diagram het verband te schetsen tussen de verticale kracht F en de
horizontale verplaatsing w in A, zowel voor het elastische als plastische
gebied.
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
134
12.23
In de getekende constructie zijn AD en CE draden met een rekstijfheid 3
27,78 10 kNEA = × en een vloeikracht p 40 kNN = . Alle andere
constructiedelen zijn oneindig stijf en onderling scharnierend verbonden. De
afmetingen zijn in de figuur aangegeven.
De constructie wordt in A belast door een horizontale kracht 18 kNH = . Op de
regels AB en BC werkt een gelijkmatig verdeelde verticale belasting
40 kN/mq = . In de onbelaste constructie zijn de draden spanningsloos.
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van A waarbij vloeien optreedt
d. De eerste-orde verplaatsing van A.
e. De tweede-orde verplaatsing van A.
f. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
18 kNH = .
g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor A als 18 kNH = , zowel
in het elastische als plastische gebied.
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
40 kN/mq = .
i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.24
In de getekende constructie zijn alle staven oneindig stijf. Alle verbindingen
tussen de staven zijn scharnierend. A en B zijn verende inklemmingen. C is een
scharnieroplegging. De verende inklemmingen hebben beide dezelfde
veerkarakteristiek: tot het vloeimoment pM is het gedrag lineair elastisch met
veerstijfheid rk .
Afmetingen en belasting zijn in de figuur aangegeven. Houdt in de uitwerking
de volgende waarden aan: 3 m=ℓ , r 13,5 MNmk = en p 54 kNmM = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
135
Gevraagd:
a. De knikbelasting kq .
b. De eerste-orde verplaatsing van D als 6 kNH = en 100 kN/mq = .
c. De tweede-orde verplaatsing van D als 6 kNH = en 100 kN/mq = .
d. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
6 kNH = .
e. In een - -diagramq w het verband tussen de belasting q en de verplaatsing w
van D te tekenen als 6 kNH = .
f. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
100 kN/mq = . Teken dit punt in het onder e gevraagde - -diagramq w .
g. De eerste orde bezwijkbelasting pH .
h. Controleer de onder d en f berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.25
In onderstaande constructie zijn AD, DE, BEG, GK en CK starre staven.
AB en BC zijn buigzame staven met buigstijfheid EI en volplastisch moment
pM . AB en BC zijn in respectievelijk A, B en C stijf verbonden met AD, BEG
en CK. Afmetingen en belasting kunnen uit de figuur worden afgelezen.
Houd in de uitwerking aan: 6 m=ℓ , 3 2
10,8 10 kNmEI = × , p 72 kNmM = ,
50 kN/mq = en 9 kNH = .
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
136
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van D waarbij in ABC het volplastisch moment wordt
bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van D.
e. De tweede-orde verplaatsing van D.
f. De eerste-orde normaalkracht in GK.
g. De tweede-orde normaalkracht in GK.
h. De waarde van q waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
9 kNH = .
i. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)q w voor D als 9 kNH = , in
zowel het elastische als plastische gebied.
j. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
50 kN/mq = .
k. Controleer de onder h en j berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.26
In de getekende constructie zijn alle staven oneindig stijf. De verbindingen
tussen de staven zijn scharnierend. A en B zijn verende inklemmingen, C is een
scharnieroplegging. De verende inklemmingen hebben beide dezelfde
veerkarakteristiek: tot het vloeimoment p 105 kNmM = gedragen zij zich
lineair elastisch met veerstijfheid r 35 MNm/radk = . Afmetingen en belasting
zijn in de figuur aangegeven.
Houd in de berekening aan: 14 kNH = en 500 kNF = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
137
Gevraagd:
a. De knikbelasting.
b. De eerste-orde bezwijklast.
c. De verplaatsing van D waarbij in de verende inklemmingen het
vloeimoment wordt bereikt.
d. De eerste-orde verplaatsing van D.
e. De tweede-orde verplaatsing van D.
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
14 kNH = .
g. Het last-verplaatsing-diagram ( - -diagram)F w voor D als 14 kNH = ,
zowel in het elastische als plastische gebied.
h. De waarde van H waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
500 kNF = .
i. Controleer de onder f en h berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.27
In de getekende constructie zijn alle staven scharnierend met elkaar verbonden.
Afmetingen en belasting kunnen uit de figuur worden afgelezen. De staven AB,
BC en CD zijn oneindig stijf. De schoorstaven AC en BD kunnen uitsluitend
trekkrachten overbrengen. Deze staven hebben een eindige rekstijfheid EA een
vloeikracht pN . In onbelaste toestand zijn alle staven spanningsloos.
Houd in de berekening aan 1 ma = ; 3
125 10 kNEA = × , p 80 kNN = ,
16 kNH = en 3
19,2 10 kNF = × .
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
138
Gevraagd:
a. De horizontale verplaatsing van B volgens een 1e orde berekening.
b De kracht in staaf BC volgens een 1e orde berekening.
c. De horizontale verplaatsing van B volgens een 2e orde berekening.
d. De kracht in staaf BC volgens een 2e orde berekening.
e. De knikbelasting kF .
f. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
16 kNH = . Teken dit punt in last-verplaatsing-diagram.
g. Controleer de onder f gevonden waarden met de formule van Merchant.
h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te schetsen tussen de kracht F
en de horizontale verplaatsing w van B voor 16 kNH = , zowel in het
elastische als plastische gebied.
12.28
In de getekende constructie zijn AB, BD en CDE starre staven. AC is een
buigzame staaf met buigstijfheid EI en volplastisch moment pM . Afmetingen
en belasting zijn in de figuur aangegeven. λ is een belastingfactor.
Houd in de uitwerking de volgende waarden aan: 3 m=ℓ , 2
2250 kNmEI = ,
p 63 kNmM = , 15 kNH = , 1 200 kNF = en 2 150 kNF = .
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
139
Gevraagd:
a. De waarde kλ λ= waarbij de knikbelasting wordt bereikt.
b. De eerste-orde bezwijkbelasting pH .
c. De eerste-orde verplaatsing van B als 1λ = .
d. De tweede-orde verplaatsing van B als 1λ = .
e. De eerste-orde normaalkracht in BD als 1λ = .
f. De tweede-orde normaalkracht in BD als 1λ = .
g. De waarde cλ λ= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
h. In een last-verplaatsing-diagram het verband te tekenen tussen de
belastingfactor λ en de verplaatsing van B, zowel in het elastische als
plastische gebied.
i. De waarde van cH H= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
1λ = .
j. Controleer de onder g en i berekende waarden met de formule van
Merchant.
12.29
BCD is oneindig stijf en in B stijf verbonden met de buigzame ligger AB. AB
heeft een buigstijfheid EI en een volplastisch moment pM . De constructie
wordt in C en D belast door de verticale krachten 1Fλ en 2Fλ . λ is een
belastingfactor. De afmetingen zijn in de figuur bijgeschreven. Houd verder in
de berekening aan: 2
3000 kNmEI = , p 60 kNmM = , 1 50 kNF = en
2 25 kNF = .
Gevraagd:
a. De eerste-orde rotatie van BCD als 1λ = .
b. De tweede-orde rotatie van BCD als 1λ = .
c. De waarde kλ λ= waarbij de knikbelasting wordt bereikt.
d. De waarde pλ λ= waarbij de eerste-orde bezwijkbelasting wordt bereikt.
e. De waarde cλ λ= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
f. Controleer de onder d berekende waarde met de formule van Merchant.
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
140
12.30-1/2
Een initieel gekromde kolom, met buigstijfheid 2
63 MNmEI = en volplastisch
moment p 360 kNmM = , heeft aan de top een uitwijking 80 mme = . Houd
verder in de berekening aan: 5 m=ℓ en, voor de stijfheid van de verende
inklemming, r 30 MNmk = .
Gevraagd:
a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, als bij
benadering het tweede-orde buigend moment mag worden berekend uit het
eerste-orde buigend moment met behulp van de vergrotingsfactor /( 1)n n − .
b. Controleer de gevonden waarde met de formule van Merchant.
12.31-1/2
De getekende kolom, met buigstijfheid 2
40 MNmEI = en volplastisch
moment p 200 kNmM = , wordt in het vrije einde belast door een horizontale
kracht 12 kNH = . Houd verder in de berekening aan: 5 m=ℓ en, voor de
stijfheid van de verende inklemming, r 5 MNmk = .
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 12.30.
CONSTRUCTIEMECHANICA 3 12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
141
12.32-1/2
De getekende kolom, met buigstijfheid 2
53,76 MNmEI = en volplastisch
moment p 560 kNmM = , wordt in het vrije einde belast door een verticale
kracht F en een horizontale kracht /15F . Houd verder in de berekening aan:
4 m=ℓ en, voor de stijfheid van de verende inklemming, r 20,16 MNmk = .
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 12.30.
12.33
De getekende vrij opgelegde ligger heeft een buigstijfheid 2
54 MNmEI = en
een volplastisch moment p 375 kNmM = . Afmetingen en de wijze van belasten
zijn in de figuur aangegeven.
Gevraagd:
Dezelfde vragen als in opgave 12.30.
12.34
Onderstaande in A volledig ingeklemde ligger AB met een lengte 2 m=ℓ
wordt in het vrije einde B belast door de krachten F en P. Ligger AB is
prismatisch met een buigstijfheid 2
4000 kNmEI = en een volplastisch
moment p 58 kNmM =
Maak gebruik van het feit dat de verplaatsing van B volgens een tweede orde
berekening goed kan worden benaderd door de eerste orde verplaatsing te
vermenigvuldigen met de vergrotingsfactor /( 1)n n − .
12 INSTABILITEIT DOOR NIET-LINEAIR MATERIAALGEDRAG CONSTRUCTIEMECHANICA 3
© 2016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman
142
Gevraagd:
a. Het maximum buigend moment in de ligger als 500 kNF = en 12 kNP = .
b. De waarde cP P= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt als
500 kNF =
c. De waarde cP P= berekend met de formule van Merchant.
d. Verklaar het verschil tussen de onder b en c gevonden waarden.
12.35
AB is een in A ingeklemde prismatisch ligger met een lengte 2 m=ℓ , een
buigstijfheid 2
4000 kNmEI = en een volplastisch moment p 75 kNmM = . De
belasting is in de figuur aangegeven.
De verplaatsing van B volgens een tweede orde berekening kan goed worden
benaderd door de eerste orde verplaatsing te vermenigvuldigen met de
vergrotingsfactor /( 1)n n − .
Gevraagd:
a. Het maximum buigend moment in de ligger als 270 kNF = .
b. De waarde cF F= waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
c. De waarde cF F= berekend met de formule van Merchant.
d. Verklaar het verschil tussen de onder b en c gevonden waarden.
Top Related