20. Reihen
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
1 + 2 + 3 + ... + 100
100 + 99 + 98 + ... + 1
101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
= 5050
Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn
- (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q
= 1 - qn+1
1 + q + q2 + ... + qn =
Schach: 264 - 1 = 21019 Reiskörner
Erdoberfläche: 51018 cm2
1 + q + q2 + ... = für IqI < 1
unendlich viele Zahlen, endliche Summe:
q1q1 1n
q11
...16
1
8
1
4
1
2
1
1
1)
2
1(
0
n
n
1/2
1/2 + 1/4 = 3/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1
unendlich viele Zahlen
endliches Ergebnis
Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q
qn
1
1
Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q
qn
1
1
(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 - qn
Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q
qn
1
1
(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 - qn
s = q1
1 für IqI < 1
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 10/9
1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + ... = 3
1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... = 3/4
0,123123123... = 0,123(1 + 1/1000 + 1/1000000 + ...)
= 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999
Alle periodischen Dezimalzahlen
Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen
Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch.
2, e, , ln2
Sei 2 = p/q, teilerfremd
2q2 = p2
p ist gerade
q ist gerade
?...81
71
61
51
41
31
21
11
0...16
1,
8
1,
4
1,
2
1,
1
1
2161
81
41
21
11
...
0...,51
,41
,31
,21
,11
Nicole von Oresme (1323 - 1382)
Vorahnung der Analysis und des heliozentrischen Systems Gebrochene Potenzen:43 = 64 = 82 8 = 43/2
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4)+ (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16)+ (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/21 + ... + 1/30 + 1/31 + 1/32)+ ...
unendlich viele Zahlenunendliches Ergebnis
Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?
klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1
n1
k
1
k
1n
k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28
S = 100 k = 1043
....)81
71
61
51
()41
31
()21
(11
Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?
klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1
n1
k
1
k
1n
k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28
?...8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
S = 100 k = 1043
bei 106 Additionen in der Sekunde werden 1037 Sekunden gebraucht. Das Alter des Universums beträgt ca. 1017 s.
100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums.
Werden alle Zahlen, die eine Ziffer 9 enthalten,entfernt, so ist die Reihe konvergent. (Frank Irvin, 1916)
3,23...10
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
14,22
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe.
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme
1 2 31
…k
k n kn
s a a a a a
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme
1 2 31
…k
k n kn
s a a a a a
Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent.
(sk) s
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme
1 2 31
…k
k n kn
s a a a a a
Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent. Der Grenzwert der Partialsummenfolge heißt dann Wert oder Summe s der Reihe
1 1
lim limk
k n nk k
n n
s a a s
(sk) s
Ist 1
nn
a
konvergent, so gilt lim n
na
= 0.
Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben.
Die Umkehrung gilt nicht, z. B. ist 1
1
n n
divergent.
Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern
1nna konvergiert (sk) = (
k
nna
1) ist beschränkt.
Majorantenkriterium: Sei bn ≥ an für n ≥ n0.
Konvergiert
1nnb , dann konvergiert auch
1nna .
Quotientenkriterium: Für n und 0 < q < 1 gelten
n
a
a 1 ≤ q, dann
konvergiert
1nna . Man beachte, dass q echt kleiner als 1 sein muss.
Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
Man bestimme eine konvergente Majorante für
a)
132
1
n nnn
b)
12 3ln3
1
nnn
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Sei (an) eine monoton
fallende Nullfolge. Dann konvergiert
1
1)1(n
nn a .
Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe konvergiert
...4
1
3
1
2
11
1)1(
1
1
n
n
n
Definition.
1nna heißt absolut konvergent, wenn ||
1
nna konvergiert.
Definition. Eine Reihe konvergiert unbedingt, wenn jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert.
1nna konvergiert absolut
1nna konvergiert unbedingt.
2ln...8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
2ln2
1...
8
1
6
1
4
1
2
1
2ln2
3...
4
1
7
1
5
1
2
1
3
1
1
1
Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt:
halbiert
und addiert
Es sind aber dieselben Glieder!
Satz: Eine absolut konvergente Reihe läßt sich beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu ändern. Eine nicht absolut konvergente Reihe besitzt eine divergente Umordnung.
1 - 12 +
13 -
14 + -... = ln2
712 < s <
56
(1 + 13 -
12 ) + (
15 +
17 -
14 ) + (
19 +
111 -
16 ) + (
113 +
115 -
18 ) +...
5/6 + 13/140 + + > 5/6 Man kann diese Reihe auch so umordnen, daß immer erst dann ein negatives Glied (-1/k) eingeschaltet wird, wenn die Summe der p direkt davor stehenden positiven Glieder größer als 2/k ist. Divergenz
Top Related