19 May 2008 . 10:30
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Determinação numérica de autovalores e autovetoresMétodo das Potências
9 Jun 2008 . 13:05
Método das potências
Objetivo:
Determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz A e o seu correspondente autovetor sem determinar o polinômio característico da matriz.
Por que ?
Aparece naturalmente em aplicações, como estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos, ou convergências etc.
9 Jun 2008 . 13:05
Teorema
9 Jun 2008 . 13:05
Por hipótese: y0 = c1 u1 + c2u2 + ... +cn un. Aui = i ui
Esboço da demonstração
...
9 Jun 2008 . 13:05
Esboço da demonstração
tende a zero com k
9 Jun 2008 . 13:05
Como obter 1?
9 Jun 2008 . 13:05
Como obter 1?
9 Jun 2008 . 13:05
Como obter 1?
9 Jun 2008 . 13:05
9 Jun 2008 . 13:05
9 Jun 2008 . 13:05
Cálculo de 1 (normalização)
Na prática, o cálculo de 1 é feito com a construção de dois outros vetores:
9 Jun 2008 . 13:05
Cálculo de 1 (normalização)
9 Jun 2008 . 13:05
Observaçõesa) No limite, todas as componentes de (zk+1)r/(yk)r tendem a 1. Entretanto, na prática, uma das componentes converge mais rapidamente do que as outras. Assim, quando uma das componentes satisfizer a precisão desejada teremos o auto-valor procurado. Além disso, a velocidade de convergência depende de i /1 . Portanto, quanto maior foi | 1 | quando comparado a | i |, mais rápido será a convergência. b) Para obtermos 1 com uma precisão , em cada passo calculamos aproximações para 1. O teste do erro relativo em cada componente de 1 é usado como um critério de parada:
c) Quando todas as componentes r forem iguais, então o vetor yk dessa iteração é o auto-vetor correspondente ao autovalor 1.
d) se algum vetor resultar no vetor nulo, o método falha. Tal acontecimento deve ocorrer se as hipóteses não foram satisfeitas.
9 Jun 2008 . 13:05
Exemplo- Método das potências
9 Jun 2008 . 13:05
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Método da Potência Inversa
Usando para determinar o autovalor de menor valor absoluto e seu correspondente auto-vetor. Assumimos:
Desejamos determinar n
n| < |i|, i=1,...,n-1
9 Jun 2008 . 13:05
Método da Potência Inversa
E portanto:
9 Jun 2008 . 13:05
Método da Potência Inversa
Exemplo: Determinar o menor autovalor, em módulo, da matriz dada abaixo.
9 Jun 2008 . 13:05
Método da Potência Inversa
Continuando...
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