MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -1 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
MATEMATIKA
1 – Statistika A. Data Tunggal
No. Jenis Rumus Rumus
1. Rata-rata (rataan) hitung
n
xxxx n
21
_
Keterangan: _
x : rata-rata
nx : data ke-n
n : banyaknya data
2. Modus Modus (Mo) merupakan data yang paling sering muncul atau data
yang memiliki frekuensi terbesar.
3 Median 2
1
nxMe , untuk n ganjil
2
1
nnxx
Me , untuk n genap
4 Jangkauan J = datum terbesar-datum terkecil
= minXXmaks
5
Kuartil Kuartil )(i
Q adalah nilai yang membagi sekumpulan data yang telah
disusun berurutan menjadi 4 bagian sama besar.
1Q : Kuartil bawah
2Q : Kuartil tengah (Median)
3Q : Kuartil atas
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -2 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
6 Simpangan Quartil
)(
2
113
QQQd
7
Simpangan rata-rata
xxxxxxn
SRn
21
1
Keterangan:
SR : Simpangan rata-rata _
x : rata-rata
nx : data ke-n
n : banyaknya data
Perhatikan bahwa xx 1
merupakan nilai mutlak data ke-1
dikurangi rata-rata. Sehingga hasilnya selalu positif.
8
Ragam atau Variansi
22
2
2
1
2 )()()(1
xxxxxxn
SRn
Keterangan: 2SR : Simpangan rata-rata
_
x : rata-rata
nx : data ke-n
n : banyaknya data
9
Simpangan Baku atau
Deviasi Standar
22
2
2
1
2 )()()(1
xxxxxxn
SSn
Keterangan:
S : Simpangan baku _
x : rata-rata
nx : data ke-n
n : banyaknya data
B. Data Berkelompok
No. Jenis Rumus Rumus
1. Rataan
i
ii
fff
xfxfxfx
21
2211
Keterangan: _
x : rataan
if : frekuensi ke-i
ix : titik tengah interval kelas i
2. Modus p
dd
dLMo
21
1
Keterangan:
Mo : Modus
L : tepi bawah kelas modus (ditentukan dari yang memiliki
frekuensi tertinggi)
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -3 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
p : panjang interval kelas
d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
3. Kuartil bawah
pf
fkn
LQ
1
1
11
4
1
Keterangan:
1Q : kuartil bawah
1L : tepi bawah kuartil ke-i
n : banyaknya data
1fk : jumlah semua frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
1f : frekuensi kelas kuartil ke-i
p : panjang interval kelas
Untuk menentukan kelas kuartil ke-i gunakan rumus .4
1n
4. Kuartil tengah atau Median
pf
fkn
LMeQ
2
2
22
2
1
Keterangan:
2Q : kuartil tengah
Me : Median
2L : tepi bawah kuartil ke-i
n : banyaknya data
2fk : jumlah semua frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
2f : frekuensi kelas kuartil ke-i
p : panjang interval kelas
Untuk menentukan kelas kuartil ke-i gunakan rumus .2
1n
5. Kuartil atas
pf
fkn
LQ
3
3
33
4
1
Keterangan:
3Q : kuartil atas
3L : tepi bawah kuartil ke-i
n: banyaknya data
3fk : jumlah semua frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
3f : frekuensi kelas kuartil ke-i
p : panjang interval kelas
CONTOH
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Dalam tabel di bawah ini, nilai rata-rata ujian matematika adalah 6. Oleh karena itu,
nilai a = ....
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -4 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Nilai 4 5 6 8 10
Frekuensi 20 40 70 a 10
A. 0
B. 5
C. 10
D. 20
E. 30
Penyelesaian:
Rata-rata = a
a
140
10.10870.640.520.4
6a
a
140
8800
aa 77808800
20a
Jawaban: D
2. Modus dari data dalam tabel di bawah ini adalah ....
Interval f
61 – 65 8
66 – 70 12
71 – 75 18
76 – 78 14
A. 72,5
B. 72,75
C. 73,5
D. 73,75
E. 74,5
Penyelesaian:
Kelas modus pada interval 71-75, sehingga tepi bawah kelas modusnya = 71-0,5=70,5.
546
65,70
Mo
35,70
5,73
Jawaban: C
3. Median dari data pada tabel di bawah ini adalah ...
Nilai f
50 – 54 7
55 – 59 10
60 – 64 21
65 – 69 18
70 – 74 4
A. 54,5
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -5 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
B. 55,5
C. 56,5
D. 57,5
E. 58,5
Penyelesaian:
15604
1
4
160 nf . Kelas kuartilnya adalah 55-59. Sehingga, tepi bawah kelas kuartil = 54,5.
5,5845,54510
7602
1
5,54
Me
Jawaban: E
Latihan 1
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1.
Nilai f
4
5
6
7
8
9
2
3
6
12
8
5
Simpangan baku data diatas:
A. 2
B. 3
4
C. 231
D. 341
E. 3
5
2. Berikut data nilai 100 orang siswa
Nilai frekuensi
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
4
6
16
24
28
18
4
Jika akan dipilih 10 % siswa terbaik, batas
Nilai terendah yang akan dipilih…
A. 78, 6
B. 77, 4
C. 78,1
D. 76,9
E. 77,6
3. Untuk mempermudah perhitungan, setiap data dibagi
3 kemudian ditambah 50. Data baru menghasilkan
rata – rata 73, median 86, simpangan kuartil 12 dan
simpangan baku 5. Berarti, data asli mempunyai:
(1) rata – rata 69
(2) median 108
(3) simpangan kuartil 12
(4) ragam 225
Pernyataan yang benar:
A. (1), (2) D. (1), (2), (454)
B. (1), (2), (3) E. (2), (3)
C. (1), (4)
4. Nilai modus dari data dibawah adalah 52,5 nilai p
sama dengan…
Berat (kg) f
36 – 40
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
6
8
12
p
8
A. 16 D. 18
B. 19 E. 20
C. 22
5. Nilai kuartil bawah pada tabel dibawah ini adalah..
Berat badan (kg) f
47 – 49
50 – 52
53 – 55
56 – 58
69 – 61
3
6
8
7
6
A. 50.25 D. 51,75
B. 53,25 E. 54,75
C. 54,0
6. Rata – rata hitung dari n data tunggal adalah 6 dan
jumlah kuadrat n data sama dengan 100 serta
simpangan bakunya sama dengan 2, maka banyaknya
data ( n) sama dengan…
A. 10 D. 9
B. 8 E. 7
C. 6
7. Diketahui simpangan baku dari data x, (x + 1), (x+2),
(x + 3), (x + 4) adalah S, maka simpangan baku dari
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -6 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
data (x + 2), (x + 4), (x + 6), (x + 8), (x + 10)
adalah…
A. S D. 2S + 1
B. S + 1 E. 2S – 1
C. 2S
8. Kelas A terdiri dari 35 murid, kelas B terdiri dari 40
murid. Nilai rata – rata kelas B adalah 5 tinggi dari
nilai rata – rata kelas A. Apabila nilai rata – rata
gabungan antara kelas a dan B adalah 3257 , maka
nilai rata – rata untuk kelas A adalah…
A. 50 D. 65
B. 55 E. 60
C. 75
9. Tes matematika diberikan kepada tiga kelas siswa
berjumlah 100 orang. Nilai rata – rata kelas I, II, III
adalah 7, 8, 721 . Jika banyaknya siswa kelas I adalah
25 orang dan kelas III lima orang lebih banyak dari
kelas II, maka nilai rata – rata seluruh siswa adalah…
A. 7,6
B. 7,45
C. 7,55
D. 7,3
E. 7,4
10. Jangkauan antar kuartil dari data: 100,115, 110, 105,
110, 130, 135, 120, 125, 120, 140,145,130 adalah…
A. 25,0
B. 15,0
C. 22,5
D. 11,25
E. 15,0
11. Sebuah kumpulan data memiliki nilai rataan 20
dengan jangkauan 4, jika tiap nilai dalam kumpulan
data itu dikali dengan a kemudian dikurangi dengan b,
maka diperoleh kumpulan data baru dengan rataan 25
dan jangkauan 6. Nilai dari 2a + b sama dengan…
A. 4
B. 7
C. 5
D. 8
E. 6
Latihan 2
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Diketahui data 12, 12, 14, 10, 16, 17, 18, 16, 14, 12.
Simpangan kuartil data adalah…
A. 2
B. 11
C. 4
D. 14
E. 8
2. Untuk mempermudah perhitungan, setiap data
dikurangi 15. Data baru menghasilkan rataan 23,
jangkauan 31 dan simpangan baku 8. Rataan,
jangkauan dan simpangan baku data mula – mula
adalah…
A. 8, 16, 7
B. 38, 31, 8
C. 8, 31, 8
D. 38, 46, 23
E. 8, 31, 22
3. Rataan hitung nilai 12 siswa adalah 6,3. Jika siswa
dengan nilai terendah dikeluarkan, rataannya menjadi
6,6. Nilai siswa yang terendah tersebut adalah…
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
4.
NILAI FREKUENSI
4
5
6
7
8
9
10
5
6
2
11
7
5
4
Berdasarkan pada tabel diatas.
Simpangan rata – ratanya ….
A. 7
6
B. 1,5
C. 1341
D. 3,25
E. 1, 45
5.
Jumlah NEM F
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
7
10
23
25
20
12
3
Data pada tabel diatas adalah jumlah NEM siswa yang
akan masuk ke perguruan tinggi “NTAY”. Jika 45%
siswa diterima, nilai terendah siswa yang diterima = …
A. 43, 5
B. 44, 7
C. 43, 7
D. 45
E. 44
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -7 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
6. Kuartil bawah dari tabel diatas adalah…
A. 37,2
B. 48
C. 37,8
D. 48,5
E. 46
7. Sekumpulan data mempunyai rata-rata 12 dan
jangkauan 6. Jika setiap nilai data dikurangi a
kemudian hasilnya dibagi b ternyata menghasilkan
data baru dengan rata- rata 2 dan jangkauan 3, maka
nilai a dan b masing-masing adalah…
A. 8 dan 2
B. 10 dan 2
C. 4 dan 2
D. 6 dan 4
E. 8 dan 4
8.
Nilai F
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
2
6
10
15
20
15
7
5
Tabel di samping merupakan hasil tes calon pegawai
pada suatu perusahaan. Jika hanya diambil 70 % untuk
diangkat menjadi pegawai maka nilai terendah yang
dinyatakan lulus tes adalah…
A. 64,5
B. 65,2
C. 66,2
D. 66
E. 68,5
9.
Umur (tahun) Frekuensi
12
13
14
15
7
8
7
8
Tabel disamping ini menunjukkan umur dari 30 remaja
didesa “ TELADAN” pada 5 tahun yang lalu. Kalau
pada tahun ini ada 2 orang berumur 17 tahun, 3 orang
berumur 18 tahun, 3 orang berumur 19 tahun dan 2
orang ber-umur 20 tahun pindah keluar dari desa
“TELADAN”, maka rataan umur dari 30 orang yang
masih tinggal didesa “TELADAN” itu pada saat ini
adalah…
A. 18,55 tahun
B. 18,55 tahun
C. 18 tahun
D. 18,6 tahun
E. 18,5 tahun
10. Simpangan baku dari data: 20, 20, 22, 24, 26, 24, 24,
28, 28 adalah…
A. 3
52
B. 52
C. 3
112
D. 52
E. 22
11.
Nilai 4 5 6 7 8 9
Frek 2 4 13 17 8 6
Jika batas kelulusan adalah yang nilainya satu
kurangnya dari nilai rata – rata. Maka banyak siswa
yang lulus adalah…
A. 14
B. 31
C. 31
D. 46
E. 33
12.
Nilai Frekuensi
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
1
7
10
5
2
Jika x = 65, 5 maka s = …
A. 27
B. 91
C. 64
D. 86
E. 36
13.
Data 18 19 20 21 22 23
Frek 19 11 36 4 7 23
Jangkauan kuartil dari data diatas adalah…
A. 1, 5
B. 2
C. 3
D. 0,5
E. 1
Latihan 3
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -8 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Gaji rata-rata karyawan Bank xyz Rp 720.000,00.
Gaji rata-rata karyawan prianya Rp 750.000,00,
sedangkan gaji rata-rata karyawan wanitanya Rp
675.000,00. Perbandingan banyaknya karyawan pria
dan wanitanya adalah…
A. 4 : 3
B. 3 : 2
C. 3 : 4
D. 1 : 3
E. 2 : 3
2. Diketahui data 12, 13, 10, 14, 17, 18, 16, 14, 12, 14.
Simpangan baku data diatas adalah:
A. 553
B. 2
C. 1553
D. 325
E. 1,8
3. Untuk mempermudah perhitungan, setiap data dibagi
18 kemudian ditambah 3. Data baru menghasilkan
rataaan hitung 42 dan ragam 16. Rataan hitung dan
simpangan baku data mula-mula berturut-turut…
A. 315 dan
9
8
B. 702 dan 12 2
C. 315 dan 3
92
D. 702 dan 72
E. 666 dan 288
4. Diketahui IQ rata-rata siswa kelas 2.8 yang terdiri dari
40 orang adalah 115. Jika 4 siswa dikeluarkan, rata-
ratanya menjadi 114. Maka IQ rata-rata ke-4 siswa
yang dikeluarkan…
A. 114, 5
B. 124
C. 118
D. 127, 5
E. 119
5.
Tinggi badan Frekuensi
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
7
10
23
25
20
12
3
Dengan menggunakan rata-rata sementara,
pada tabel dibawah, mempunyai rata – rata..
A. 42,45
B. 42, 89
C. 42,55
D. 43,55
E. 42,56
6. Rata-rata ulangan pada tabel dibawah ini adalah 6,
maka nilai a sama dengan…
Nilai ulangan Frekuensi
4
5
6
8
10
20
40
70
a
10
A. 30
B. 5
C. 20
D. 5
E. 10
7. Perhatikan data berikut:
50 55 72 55 62 43
44 45 53 63 45 62
60 51 55 75 68 51
Jangkauan antar kuartil dari data tersebut
adalah…
a. 12 d. 15
b. 13 e. 16
c. 14
8. Jika rataa dari data x , 3, x2, 9 dan 10 adalah
315
maka nilai x =…
A. 2
B. 3
C. 612
D. 312
E. 4
9.
Nilai F
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
4
8
14
35
27
9
3
Modus dari data diatas sama dengan…
A. 66, 12
B. 67, 62
C. 66, 62
D. 68, 12
E. 67, 12
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -9 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
10. Nilai rataan hitung pelajaran matematika di suatu
kelas adalah 5. Jika ditambah nilai siswa baru
besarnya 7, rataannya menjadi 5, 1. Maka banyaknya
siswa mula-mula dikelas itu adalah…
A. 20
B. 23
C. 19
D. 40
E. 38
11.
Nilai Frekuensi
47 – 49
50 – 52
53 – 55
56 – 58
59 – 61
1
6
6
7
4
Median dari data diatas adalah …
A. 55, 6
B. 53,5
C. 55, 0
D. 53, 0
E. 54, 5
12. Nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa sebagai
berikut:
Nilai f
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
2
3
8
25
20
19
3
Jika diambil 40 % siswa terbaik maka nilai
terendah adalah…
A. 67,1
B. 67,5
C. 74,5
D. 75,0
E. 75,5
13. Pada ujian bahasa Inggris yang diikuti 40 murid, rata-
rata nilainya 32 dengan simpangan baku 25, karena
rata-rata terlalu rendah, maka nilai dikatrol, masing-
masing nilai dikalikan 2 kemudian dikurangi 10.
Kesimpulan yang benar adalah…
A. Rata-rata nilai menjadi 64
B. Rata-rata nilai menjadi 4363
C. Simpangan baku tetap = 25
D. Simpangan baku menjadi 50
E. Simpangan baku menjadi 40
Soal Latihan dan Tugas Mandiri
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Simpangan kuartil dari data 6, 7, 7, 3, 8, 4, 6, 5, 5, 9,
10, 10, 4, 4, 3 adalah . . .
A. 1
B. 2
C. 2
13
D. 4
E. 7
2. Simpangan kuartil dari data 83, 53, 54, 78, 78, 57, 59,
65, 62, 69, 75, 72, 69, 71 adalah . . .
A. 6
B. 7
C. 8
D. 12
E. 16
3. Median dari data 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7 adalah . . .
A. 7
B. 8,9
C. 9
D. 10,5
E. 15
4. Median dari data pada tabel di bawah ini adalah . . .
Umur f
4 – 7 6
8 – 11 10
12 – 15 18
16 – 19 40
20 – 23 16
24 – 27 10
A. 16,5
B. 17,1
C. 17,3
D. 17,5
E. 18,3
5. Median dari data berkelompok pada tabel di bawah
ini adalah ....
Nilai F
50 – 54 4
55 – 59 8
60 – 64 14
65 – 69 35
70 – 74 27
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -10 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
75 – 79 9
80 – 84 3
A. 67,93
B. 68,33
C. 68,63
D. 68,93
E. 69,33
6. Diagram di bawah ini menyajikan data berat badan
(dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . .
A. 46,1
B. 46,5
C. 46,9
D. 47,5
E. 48,0
7. Modus dari data pada gambar adalah . . .
A. 25,5
B. 25,8
C. 26
D. 26,5
E. 26,6
8. Nilai rataan dari data pada diagram berikut adalah . . .
A. 23
B. 25
C. 26
D. 28
E. 30
9. Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan
histogrram seperti pada gambar berikut ini.
Rataan berat badan tersebut adalah . . .
A. 64,5 kg
B. 65 kg
C. 65,5 kg
D. 66 kg
E. 66,5 kg
10. Perhatikan tabel berikut !
Berat (kg) Frekuensi
31 – 36 4
37 – 42 6
43 – 48 9
49 – 54 14
55 – 60 10
61 - 66 2
67 – 72 2
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -11 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Modus data pada tabel tersebut adalah . . .
A. 49,06
B. 50,20
C. 50,70
D. 51,33
E. 51,83
11. Perhatikan data berikut !
Berat (kg) Frekuensi
50 – 54 4
55 – 59 6
60 – 64 8
65 – 69 10
70 – 74 8
75 – 79 4
Kuartil atas dari data pada tabel adalah . . .
A. 69,50
B. 70,00
C. 70,50
D. 70,75
E. 71,00
12. Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8
adalah . . .
A. 2
12
B. 3
C. 2
13
D. 4
E. 2
14
13. Simpangan kuartil dari data pada tabel di bawah
adalah . . .
Data Frekuensi
1 – 10 2
11 – 20 4
21 – 30 25
31 – 40 47
41 – 50 17
51 – 60 5
A. 1,2
B. 2,5
C. 3,4
D. 4,8
E. 5,9
14. Media dari distribusi frekuensi di bawah ini adalah . .
.
Skor f
26 – 30 8
31 – 35 6
36 – 40 10
41 – 45 9
46 – 50 7
A. 36,5
B. 37,5
C. 38,5
D. 39,5
E. 40,5
15. Modus dari data pada distribusi frekuensi di bawah
ini adalah . . .
Tinggi (cm) f
130 – 134 2
135 – 139 7
140 – 144 12
145 – 149 10
150 – 154 14
155 – 159 8
160 – 154 7
A. 149,5 cm
B. 150,5 cm
C. 151,5 cm
D. 152,0 cm
E. 156,3 cm
16. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata
kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk
siswa prianya adalah 65 dan untuk siswa wanitanya
adalah 54, maka perbandingan jumlah siswa pria dan
wanitanya pada kelas tersebut adalah . . .
A. 11 : 7
B. 4 : 7
C. 11 : 4
D. 7 : 15
E. 9 : 2
17. Jika modus dari data 2, 3, 3, 4, 5, 4, x, 4, 2, 3 adalah
3, median dari data tersebut adalah . . .
A. 2
B. 2
12
C. 3
D. 2
13
E. 4
18. Pada suatu ujian yang diikuti oleh 50 siswa, diperoleh
rata-rata nilai ujian adalah 35, median 40, dan
simpangan baku 10. Karena rata-rata terlalu rendah,
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -12 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
maka simpangan semua nilai dikalikan 2, kemudian
dikurangi 15. Akibatnya . . .
A. Rata-rata nilai menjadi 70
B. Rata-rata nilai menjadi 65
C. Simpangan baku menjadi 20
D. Simpangan baku menjadi 5
E. Median menjadi 80
19. Dari data distribusi di bawah ini, dapat disimpulkan
bahwa rata-rata distribusi adalah . . .
Kelas interval f
2 – 6 2
7 – 11 3
12 – 16 4
17 – 21 5
22 – 26 6
A. 16,50
B. 17,00
C. 15,50
D. 15,75
E. 17,75
20. Data berikut adalah hasil ujian matematika suatu
kelas di SMU yang nilai rata-ratanya adalah x .
Nilai 3 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 4 8 12 12 4
Siswa dinyatakan lulus, jika nilainya lebih besar
atau sama dengan .1x Banyaknya siswa yang
lulus ujian ini adalah ....
A. 20
B. 28
C. 32
D. 36
E. 40
21. Nilai rata-rata kimia dalam suatu kelas adalah 6,5.
Jika ditambah nilai siswa baru yang besarnya 9 maka
rata-rata menjadi 6,6. Banyak siswa semula dalam
kelas tersebut adalah ….
A. 20
B. 25
C. 30
D. 35
E. 40
22. Perhatikan tabel berikut!
Nilai Ujian 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 5 8 11 4
Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilai
ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata kelas. Dari
tabel diaas jumlah siswa yang lulus adalah . . .
A. 20
B. 23
C. 15
D. 7
E. 4
23. Nilai rata-rata 20 bilangan adalah 12. Dari ke-20
bilangan tersebut, nilai rata-rata 9 bilangan pertama
adalah 15 dan nilai rata-rata 7 bilangan berikutnya
adalah 13. Nilai rata-rata bilangan yang lain adalah . .
.
A. 3,5
B. 2,5
C. 3
D. 4
E. 2
24. Nilai rata-rata sekelompok siswa yang berjumlah 50
siswa adalah 64. Jika seorang siswa yang mendapat
nilai 88,5 tidak dimasukkan dalam perhitungan rata-
rata nilai sekelompok siswa, maka nilai rata-rata
menjadi . . .
A. 62
B. 63,5
C. 66,5
D. 65
E. 67,5
25. Dua kelompok anak dengan jumlah masing-msing
kelompok adalah 10 orang mempunyai rata-rata
tinggi badan berturut-turut 164 cm dan 170 cm. Jika
seorang anak dari masing-masing kelompok
ditukarkan ternyata rata-rata tinggi badab kedua
kelompok tersebut adalah sama. Selisih tinggi badan
kedua anak yang ditukar adalah . . .
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
E. 35
26. Suatu kelas terdiri dari 12 siswa laki-laki dan 18
siswa perempuan. Rata-rata nilai ulangan matematika
siswa laki-laki adalah 68 dan rata-rata nilai ulangan
matematika siswa perempuan adalah 74. Nilai rata-
rata ulangan matematika kelas tersebut adalah . . .
A. 70,8
B. 71,6
C. 73,2
D. 72,9
E. 75,1
27. Diketahui suatu data yang terdiri dari tiga datum
mempunyai rata-rata 15, median 15 dan jangkauan
10. Nilai datum terbesar adalah . . .
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
E. 22
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -13 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
28. Ujian Fisika diberikan kepada tiga kelas siswa yang
berjumlah 120 orang. Jika banyaknya siswa kelas
kedua 43 orang dan kelas ketiga 5 orang lebih banyak
dari kelas pertama, maka jumlah siswa pada kelas
ketiga adalah . . .
A. 47
B. 41
C. 45
D. 42
E. 46
29. Berdasarkan soal diatas jika nilai rata-rata kelas
pertama, kedua dan ketiga adalah 7,8 ; 7,2 dan 7,6,
maka nilai rata-rata seluruh siswa adalah . . .
A. 7,2
B. 7,3
C. 7,4
D. 7,5
E. 7,6
30. Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata
kelas adalah 58. jika rata-rata nilai matematika untuk
siswa putra adalah 65, sedangkan untuk siswa putri
rata-ratanya 54, maka perbandingan jumlah siswa
putri dan putra pada kelas tersebut adalah . . .
A. 3 : 4
B. 5 : 4
C. 6 : 5
D. 4 : 7
E. 7 : 4
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -14 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
2 – Peluang A. RUMUS-RUMUS
1. Faktorial
Bentuk umum rumus faktorial:
123)3()2()1(! nnnnn
Perhatikan bahwa 1!1 dan .1!0
2. Permutasi
Permutasi merupakan urutan yang mungkin dari elemen-elemen himpunan dengan memperhatikan urutan.
Permutasi n elemen berbeda disusun r elemen didefinisikan:
)!(
!
rn
nP
rn
, nr 0
3. Kombinasi
Kombinasi urutan yang mungkin dari elemen-elemen himpunan tanpa memperhatikan urutan.
Kombinasi n elemen berbeda disusun r elemen didefinisikan:
,)!(!
!
rnr
nC
rn
nr 0
4. Peluang
Peluang kejadian A didefinisikan sebagai;
)(
)()(
Sn
AnAP
dengan )(An merupakan banyak anggota dalam himpunan A dan )(Sn merupakan banyak anggota dalam ruang
sampel S.
5. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan kejadian A didefinisikan sebagai:
)()( APnAFh
dengan n merupakan banyaknya percobaan dan )(AP merupakan peluang kejadian A.
B. CONTOH
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Suatu tim bulu tangkis terdiri dari 10 orang putra
dan 5 orang putri. Dari tim ini akan dibuat
pasangan ganda, baik ganda putra, ganda putri,
maupun ganda campuran. Banyaknya pasangan
ganda yang dapat dibuat adalah ....
A. 45
B. 50
C. 55
D. 95
E. 105
Penyelesaian:
Diketahui jumlah putra = 15 dan jumlah putri =
5. Gunakan kombinasi untuk menyelesaikan soal
ini.
Banyaknya pasangan ganda yang dapat dibuat
= pasangan ganda putra + pasangan ganda putri +
pasangan ganda campuran
= 210C + 25 C + 15110
CC
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -15 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
= !4!1
!5
!9!1
!10
!3!2
!5
!8!2
!10
= 105
Jawaban: E
2. Dua buah dadu dilempar satu kali secara
bersamaan. Peluang muncul kedua mata dadu
berjumlah 9 adalah ....
A. 12
1
B. 9
1
C. 6
1
D. 3
1
E. 4
1
Penyelesaian:
Jumlah (4, 5); (5, 4); (3, 6); (6, 3) n = 4.
Peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 9
= 9
1
36
4
Jawaban: B
3. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih dan 3
bola hijau. Dari kotak itu diambil 3 bola
sekaligus secara acak. Peluang terambil
sekurang-kurangnya 1 bola hijau adalah ....
A. 28
5
B. 28
7
C. 28
13
D. 28
23
E. 28
27
Penyelesaian:
Dalam kotak terdapat 5 bola putih dan 3 bola
hijau. Jumlah total bola = 8. Gunakan kombinasi
untuk menyelesaikan soal ini. Karena syaratnya
minimal ada 1 bola hijau, maka kemungkinan-
kemungkinannya: 1 hijau 2 putih, 2 hijau 1 putih,
3 hijau.
Sehingga peluangnya:
P 1 hijau 2 putih + P 2 hijau 1 putih + P 3 hijau
= 38
3315232513
C
CCCCC
56
11530
56
46
28
23
Jawaban: D
Latihan
1. Suatu proyek penghijauan akan menanam 4 jenis
pohon di 3 kota yang berlainan. Berapakah banyak
pasangan jenis pohon dan kota yang dapat disusun?
2. Dalam suatu penelitian tentang kependudukan,
dilakukan pengelompokan berdasarkan pada jenis
kelamin (l,w), jenis pekerjaan (p1, p2, p3, p4), dan
tempat tinggal (t1, t2, t3, t4, t5, t6). Berapa banyak cara
susunan kelompok yang dapat dibentuk?
3. Misalkan dari Jakarta ke London ada 2 jalur
penerbangan dan dari London ke Washington ada tiga
jalur penerbangan. Berapa banyak cara untuk
bepergian dari Jakarta ke Washington melalui
London?
4. Seseorang hendak bepergian dari kota A ke kota C.
Dari kota A ke kota C, ia dapat melalui kota p dan
kota Q. Misalkan bahwa dari kota A ke kota P ada 3
jalan dan dari kota P ke kota C ada 4 jalan, sedangkan
dari kota a kekota Q ada 2 jalan dan dari kota Q ke
kota C ada 5 jalan. Diketahui pula bahwa dari kota P
ke kota Q atau sebaliknya, tidak ada jalan. Berapa
banyak jalur jalan yang dapat ditempuh orang itu
untuk bepergian dari kota A ke kota C melalui kota P
atau kota Q?
5. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf M,
O, R, A, dan L jika:
a) Huruf pertama dimulai dengan huruf hidup
(vocal)?
b) Huruf pertyama dimulai dengan huruf mati
(konsonan)?
6. Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun
suatu bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa
banyak bilang yang dapat disusun, jika:
a) Angka-angka itu boleh berulang?
[500]
b) Angka-angka itu tidak boleh berulang?
7. Diketahui enam bilangan 2, 3, 5, 6, 7, 9. Tentukanlah:
a) Berapa banyak cara menyusun bilangan 3 angka
yang kurang dari 400, jika pengulangan tidak
diperbolehkan?
b) Berapa banyak cara menyusun bilangan 3 angka
yang genap, jika pengulangan tidak
diperbolehkan?
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -16 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
8. Hitunglah:
!8
!10)a b)
!2!19
!20
9. Perlihatkan bahwa :
a) !2
!66543
b) !52108642 5
10. Hitunglah:
a) 4P2 c) 7P5
b) 5P4 d) 7P7
11. Berapa banyak susunan yang terdiri atas 4 huruf
yang diambil dari huruf-huruf S, E, M, P, R, U, dan
L?
12. Berapa banyak cara memilih pengurus kelas yang
terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika
tersedia sepuluh orang calon untuk dipilih?
13. Terdapat 5 buku matematika, 4 buku fisika, dan 3
buku kimia akan disusun dalam rak. Berapa banyak
susunan yang mungkin jika buku sejenis harus
berdampingan?
14. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata
LITERATUR ?
15. Carilah banyak permutasi berikut ini:
a) 8 unsur yang 2 unsur yang sama dan 4 unsur
lainnya sama
b) 10 unsur yang memuat 2 unsur sama, 3 unsur
lainnya sama, dan 4 unsur lainnya lagi sama.
16. Dari 10 buah bola, 5 buah berwarna hitam, 3 buah
berwarna merah, dan 2 buah berwarna putih. Berapa
banyak cara untuk menyusun kesepuluh bola itu
secara berdampingan?
17. Berapa banyak cara 9 buah kue yang berbeda dapat
disusun melingkar di atas sebuah meja?
18. Sembilan orang yang terdiri atas 2 orang partai PDI,
3 orang partai PKB, dan 4 orang dari partai PAN
akan melakukan perundingan dengan duduk
melingkar. Berapa macam posisi duduk mereka jika
setiap anggota dari partai yang sama harus duduk
berdekatan?
19. Berapa banyak susunan dua huruf yang diambil dari
huruf-huruf B, I, L, A, jika unsur-unsur yang tersedia
itu boleh berulang?
20. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka
yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika
angka–angka yang tersedia boleh ditulis berulang?
Hitunglah:
a) 4C2 c) 10C5
b) 6C3 d) 12C7
21. Berapa banyak cara memilih 3 huruf yang diambil
dari huruf-huruf S, O, F, I, A, T, U, dan N?
22. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Berapa
banyak himpunan bagian dari A yang terdiri dari 3
unsur?
23. Ada 12 orang, 7 di antaranya adalah wanita dan 5
orang lainnya adalah pria. Dari 12 orang itu akan
ditentukan suatu delegasi yang terdiri atas 4 orang.
Berapa banyak cara untuk memilih delegasi tersebut,
jika:
a) Semua orang mempunyai hak yang sama untuk
dipilih?
b) Delegasi itu harus terdiri atas 2 orang pria dan 2
orang wanita?
24. Jabarkanlah:
a) (2x + 3y)6 b) (2x – 3y)
7
25. Carilah koefisien x12
dari perpangkatan (x2 + 3x)
10.
26. Carilah koefisien suku ke-7 pada (4x – y3)
9.
Latihan 2
1. Misalkan A adalah kejadian munculnya kejadian
munculnya angka genap pada percobaan melempar
sebuah dadu bersisi enam. Berapakah frekunsi nisbi
munculnya kejadian A?
2. Sebuah bilangan asli diambil secara acak (random)
dari bilangan asli 1 sampai dengan 9. Misalkan B
adalah kejadian munculnya bilangan prima. Berapa
peluang kejadian B?
3. Suatu kotak berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.
Dari kotak itu diambil sebuah bola secara acak.
Berapa peluang yang terambil itu:
a) Sebuah bola putih?
b) Sebuah bola merah?
4. Suatu kotak berisi 10 buah manik, 6 buah
diantaranya berwarna merah dan 4 buah lainnya
berwarna putih. Dari kotak tersebut diambil 3 buah
manik secara acak. Berapa peluang yang terambil
itu:
a) Semuanya merah,
b) Semuanya putih,
c) 2 manik merah dan 1 manik putih, serta
d) 1 manik merah dan 2 manik putih.
5. Misalkan A adalah kejadian munculnya bilangan
prima pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi
enam. Berapa peluang kejadian A?
6. Dua buah dadu (satu berwarna merah dan satunya
lagi berwarna putih) dilempar bersamaan sebanyak 1
kali.
a) Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah
mata dadu sama dengan 7. Berapa peluang
kejadian A?
b) Misalkan B adalah kejadian munculnya jumlah
mata dadu sama dengan 9. Berapa peluang
kejadian B?
7. Tiga keping uang logam dilempar secara bersamaan
sebanyak satu kali. Berapa peluang yang muncul:
a) ketiganya sisi gambar G?
b) ketiganya sisi tulisan T?
c) satu sisi gambar G dan dua sisi tulisan T?
d) dua sisi gambar G dan satu sisi tulisan T?
8. Sebuah dadu bersisi enam dilempar sebanyak 300
kali. Berapa frekuensi harapan munculnya angka 4?
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -17 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
9. Dalam suatu percobaan ditarik sebuah kartu secara
acak dari satu set kartu remi, kemudian
mengembalikannya. Tentukanlah frekuensi harapan
yang terambil adalah kartu sekop jika percobaan
dilakukan sebanyak 92 kali?
10. Dalam percobaan mengetos dua keping uang logam
secara bersamaan, tentukan frekuensi harapan
muncul sedikitnya satu gambar jika percobaan
dilakukan 100 kali?
11. Dua puluh kartu diberi nomor 1,2,3,….,20. Kartu
dikocok kemudian diambil satu kartu secara acak.
Tentukan peluang bahwa kartu yang terambil bukan
angka prima?
12. Tentukan peluang paling sedikit memiliki satu anak
laki-laki dalam satu keluarga yang memiliki 4 anak?
13. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu
kurang dari 10 pada percobaan pelemparan dua buah
dadu sebanyak satu kali?
14. Dua buah dadu bersisi enam (satu berwarna putih
dan satunya berwarna merah) dilemparkan
bersamaan sebanyak satu kali. Kejadian A adalah
munculnya bilangan ≤ 3 untuk dadu putih,
sedangkan kejadian B adalah munculnya bilangan ≤
2 untuk dadu merah. Berapa peluang kejadian
munculnya bilangan ≤ 3 pada dadu putih atau
bilangan ≤ 2 pada dadu merah?
15. Dari hasil penelitian yang dilakukan pada suatu
wilayah terhadap kepemilikan TV dan radio,
diperoleh data sebagai berikut.
20% penduduk memiliki TV
40% penduduk memiliki radio, serta
15% penduduk memiliki TV dan radio
Jika dari wilayah itu diambil satu orang penduduk secara
acak, berapa peluang ia memiliki radio atau TV?
16. Sebuah dadu bersisi enam dilemparkan sekali.
Berapa peluang munculnya bilangan ≤ 2 atau
bilangan ≥ 5?
17. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu
brigde. Berapa peluang yang terambil itu kartu sekop
atau kartu berwarna merah?
18. Dua keping mata uang logam dilempar secara
serentak sebanyak sekali. Kejadian A adalah
munculnya sisi gambar pada mata uang pertama,
sedangkan kejadian B adalah munculnya sisi yang
sama untuk kedua mata uang logam itu. Tunjukkan
bahwa kejadian A dan B merupakan kejadian yang
saling bebas?
19. Dua buah dadu bersisi enam (satu berwarna merah
dan yang lainnya berwarna biru) dilemparkan sekali.
Kejadian C adalah munculnya bilangan 4 pada dadu
merah, sedangkan kejadia D adalah munculnya
jumlah bilangan dadu merah dan biru sama dengan
9. Tunjukkan apakah kejadian C dan D merupakan
dua kejadian yang saling bebas?
20. Kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas
tetapi tidak saling lepas. Kalau P(A) = 1/3 dan
P(AB) = 3/5, carilah P(B).
21. Dua buah dadu (satu berwarna putih dan lainnya
berwarna merah) dilempar sekali. Berapa peluang
munculnya bilangan 1 untuk dadu putih kalau telah
diketahui bahwa munculnya jumlah mata dadu
merah dan putih kurang dari 4?
22. Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Berapa
peluang munculnya bilangan genap jika telah
diketahui muncul bilangan prima?
23. Dalam suatu kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola
putih yang identik. Dari kotak tersebut dilakukan 2
kali pengambilan dengan pengembalian dan tiap
pengembalian diambil tepat sebuah bola. Tentukan
peluang terambilnya bola merah pada pengambilan
pertama dan bola putih pada pengambilan kedua?
24. Dari satu set kartu brigde dilakukan 2 kali
pengambilan dengan pengembalian dan tiap
pengembalian diambil tepat satu kartu. Tentukan
peluang terambilnya kartu As pada pengambilan
pertama dan kartu king pada pengambilan kedua?
25. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola hitram dan 3
bola putih. Dari dalam kotak itu diambil sebuah bola
secara berurutan sebanyak dua kali. Setelah bola
pertama diambil, bola itu tidak dikembalikan
melainkan langsung mengambil bola yang kedua.
Berapa peluang yang terambil itu:
a) Bola hitam pada pengambilan pertama dan
kedua?
b) Bola putih pada pengambilan pertama dan
kedua?
c) Bola hitam pada pngambilan pertama dan bola
putih pada pengambilan kedua?
d) Bola putih pada pengambilan pertama dan bola
hitam pada pengambilan kedua?
Soal Latihan dan Tugas Mandiri
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Masing-masing kotak A dan B berisi 12 lampu pijar.
Setelah diperiksa, ternyata pada kotak A terdapat 2
lampu rusak dan pada kotak B terdapat 1 lampu
rusak. Dari masing-masing kotak diambil 1 lampu
pijar secara acak. Peluang terambilnya sebuah lampu
pijar rusak adalah . . .
A. 72
1
B. 48
1
C. 8
1
D. 9
2
E. 4
1
2. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Kotak II
berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing-
masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak.
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -18 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2
bola biru dari kotak II adalah . . .
A. 10
1
B. 28
3
C. 15
4
D. 8
3
E. 140
57
3. Banyak bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat
disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan tidak ada
angka yang sama adalah . . .
A. 1680
B. 1470
C. 1260
D. 1050
E. 840
4. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang
anak, peluang keluarga tersebut mempunyai paling
sedikit dua anak laki-laki adalah . . .
A. 8
1
B. 3
1
C. 8
3
D. 2
1
E. 4
3
5. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang
munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah . . .
A. 36
5
B. 36
7
C. 36
8
D. 36
9
E. 36
11
6. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak
II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari
masing-masing kotak diambil sebuah bola secara
acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama
adalah . . .
A. 8
1
B. 16
5
C. 16
7
D. 16
9
E. 8
7
7. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang
muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5
adalah . . .
A. 6
1
B. 36
5
C. 9
1
D. 12
1
E. 36
1
8. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan, 4 bola biru dan
3 bola kuning. Dari kotak diambil 3 bola sekaligus
secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dan 1
bola biru adalah . . .
A. 10
1
B. 36
5
C. 6
1
D. 11
2
E. 11
4
9. A, B, C dan D akan berfoto secara bersama
berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan
adalah . . .
A. 12
1
B. 6
1
C. 3
1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -19 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
D. 2
1
E. 3
2
10. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3
kelereng putih, dan katong II terdapat 4 kelereng
merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong
diambil satu kelereng secara acak. Peluang
terambilnya kelereng putih dari kantong I dan
kelereng hitam dari kantong II adalah . . .
A. 40
39
B. 13
9
C. 2
1
D. 20
9
E. 40
9
11. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak
satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu
9 atau 11 adalah . . .
A. 2
1
B. 4
1
C. 6
1
D. 8
1
E. 12
1
12. Suatu kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng
putih. Dua kelereng diambil satu persatu dimana
kelereng pertama yang diambil dikembalikan lagi
dalam kotak. Peluang terambilnya kelereng pertama
dan kedua berwarna merah adalah . . .
A. 64
9
B. 64
15
C. 64
25
D. 8
3
E. 8
5
13. Diketahui empat angka 4, 5, 6, dan 7. Banyaknya cara
untuk menyusun bilangan-bilangan yang terdiri dari
empat angka dengan syarat bahwa bilangan-bilangan
itu tidak mempunyai angka yang sama, adalah . . .
A. 8
B. 12
C. 16
D. 18
E. 24
14. Dua buah dadu bermata enam dilemparkan satu kali
secara bersamaan. Peluang muculnya jumlah mata
dadu 5 atau jumlah mata dadu 10 adalah . . .
A. 36
11
B. 36
10
C. 36
9
D. 36
8
E. 36
7
15. Sebuah kotak berisi 10 bola, 4 berwarna merah dan 6
berwarna putih. Peluang bahwa kedua bola yang
terambil atas 1 bola merah dan 1 bola putih adalah . . .
A. 15
8
B. 12
5
C. 15
6
D. 9
2
E. 24
1
16. Dari sebuah kotak yang berisi 5 kelereng berwarna
putih dan 3 kelereng berwarna merah, diambil 2 buah
kelereng secara acak. Peluang terambil kedua-duanya
berwarna putih adalah . . .
A. 64
25
B. 14
5
C. 28
9
D. 4
1
E. 32
5
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -20 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
17. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra
dan 3 orang putri, akan dibentuk tim yang
beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim
tersebut paling banyak 2 orang putri, banyaknya tim
yang dapat dibentuk adalah . . .
A. 168
B. 189
C. 210
D. 231
E. 252
18. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4
perempuan akan dibentuk kelompo kerja yang
beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja
ini terdapat paling sedikit 2 pria, banyaknya cara
membentuknya ada . . .
A. 442
B. 448
C. 456
D. 462
E. 468
19. Bilangan yang terdiri dari tiga angka disusun dari
angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9. Banyaknya bilangan
dengan angka-angka yang berlainan dan lebih kecil
dari 400 adalah . . .
A. 20
B. 35
C. 40
D. 80
E. 120
20. Dari tiga huruf A, B, C dan tipe angka 1, 2, 3 akan
dibuat plat nomor yang dimulai dengan satu huruf.
Karena khawatir tidak ada yang mau memakai,
pembuat plat nomor tidak diperbolehkan membuat
plat nomor yang memuat angka 13. Banyaknya plat
nomor yang dapat dibuat adalah . . .
A. 11
B. 27
C. 45
D. 54
E. 72
21. Sebuah dadu dilempar sekali, peluang munculnya
bilangan genap prima adalah . . .
A. 6
5
B. 2
1
C. 6
1
D. 3
1
E. 3
2
22. Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah dan 5
kelereng biru, diambil tiga sekaligus secara acak.
Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan satu
kelereng biru adalah . . .
A. 143
70
B. 143
35
C. 143
33
D. 143
30
E. 143
13
23. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng merah dan 6
kelereng biru. Jika diambil dua kelereng berturut-
turut tanpa pengembalian, maka probabilitasnya agar
kelereng yang diambil pertama biru dan kedua juga
biru adalah . . .
A. 9
2
B. 3
1
C. 15
4
D. 15
1
E. 15
3
24. Pada pelemparan dua buah dadu satu kali, peluang
munculnya mata dadu berjumlah 8 atau 5 adalah . . .
A. 19
2
B. 26
5
C. 9
1
D. 9
2
E. 4
1
25. Tiga uang logam dilempar bersama-sama. Jika A
adalah kejadian muncul tepat dua angka, maka P(A)
adalah . . .
A. 4
3
B. 8
1
C. 8
2
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -21 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
D. 8
3
E. 8
5
26. Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang muncul
mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah . .
.
A. 36
6
B. 36
5
C. 36
4
D. 36
3
E. 36
1
27. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang
munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah . . .
A. 36
5
B. 36
7
C. 36
8
D. 36
9
E. 36
11
28. Kotak pertama berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
Kotak kedua berisi dua bola merah dan 6 bola kuning.
Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara
acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama
adalah . . .
A. 8
1
B. 16
5
C. 16
7
D. 16
9
E. 8
7
29. Jika berlaku nn PC34
maka nila n adalah . . .
A. 9
B. 12
C. 15
D. 27
E. 35
30. Diketahui kejadian A dan B adalah kejadian yang
saling bebas tetapi tidak saling lepas. Jika3
1)( AP
dan5
2)( BAP maka )(BP adalah . . .
A. 5
2
B. 15
14
C. 15
3
D. 5
3
E. 15
4
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -22 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
3 – Trigonometri A. RUMUS-RUMUS DASAR TRIGONOMETRI
1. Rumus-rumus Dasar
c
asin
a
cec cos
c
bcos
b
csec
b
atan
a
bcot
2. Rumus Kebalikan
eccos
1sin atau
sin
1cos es
sec
1cos atau
cos
1sec
cot
1tan atau
tan
1cot
3. Rumus Perbandingan
cos
sintan
sin
coscot
4. Identitas Trigonometri
1cossin 22
1tan1 2
1cot1 2
5. Persamaan Trigonometri Dasar
a. Penyelesaian Persamaan 00 sinsin x
Jika 00 sinsin x , maka:
0360 kx atau 0360)180( kx , Rx dan Bk (bulat)
b. Penyelesaian Persamaan 00 coscos x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -23 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Jika 00 coscos x , maka
0360 kx atau
0360 kx , Rx dan Bk (bulat)
c. Penyelesaian Persamaan 00 tantan x
Jika 00 tantan x , maka
0360 kx , Rx dan Bk (bulat)
6. Persamaan cxbxa sincos
Bentuk cxbxa sincos dapat diubah menjadi ),cos( xk k merupakan konstanta positif dan
.3600 0
Bentuk )cos(sincos xkxbxa dengan 22 bak dan .tan
a
b
Karena cxbxa sincos , maka .)cos( cxk
Persamaan cxbxa sincos memiliki penyelesaian jika .222 cba
7. Aturan Sinus dan Kosinus
Pada segitiga ABC berlaku hubungan: .1800 CBA
Aturan sinus:
Dalam setiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu
mempunya nilai sama.
SinC
c
B
b
A
a
sinsin
Aturan Kosinus:
Dalam setiap segitiga ABC berlaku:
ACosbccba 2222
BCosbccab 2222
CCosabbac 2222
B. RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI LANJUT
1. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
tantan1
tantan)tan(
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -24 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
2. Rumus Sudut Rangkap
cossin22sin
1cos22cos 2 atau 2sin212cos
2tan1
tan22tan
Rumus untuk sudut 3 :
sin3sin43sin 3
cos3cos43cos 3
Rumus untuk sudut 2
1:
2
cos1
2
1sin
2
cos1
2
1cos
cos1
cos1
2
1tan
atau
cos1
sin
2
1tan
atau
sin
cos1
2
1tan
3. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
)sin()sin(cossin2
)sin()sin(sincos2 B
)sin()cos(coscos2
)]cos()[cos(sinsin2
4. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus
)(2
1cos)(
2
1sin2sinsin
)(2
1sin)(
2
1cos2sinsin
)(2
1cos)(
2
1cos2coscos
)(2
1sin)(
2
1cos2coscos
C. CONTOH
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Diketahui segitiga ABC, panjang sisi a = 3 cm, c = 8, dan sudut B = 60o, maka panjang sisi b adalah ....
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 7cm
D. 8 cm
E. 10 cm
Penyelesaian:
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -25 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Gunakan aturan kosinus untuk menyelesaikan soal ini.
Baccab cos2222
ob 60cos83283 222
2
148732 b
492 b 7 b
Karena panjang sisi selalu positif, maka panjang sisi b = 7 cm.
Jawaban: C
2. Himpunan penyelesaian dari ,12cos2 oxox 3600 adalah ....
A. {15o}
B. {15o, 30
o}
C. {30o, 150
o}
D. {30o, 150
o, 210
o, 330
o}
E. {30o, 150
o, 240
o, 330
o}
Penyelesaian:
2
12cos x
Kemungkinan I Kemungkinan II oo kx 360602
oo kx 18030 oxk 300 (memenuhi)
oxk 2101 (memenuhi) oxk 3902 (tidak memenuhi)
oo kx 360602 oo kx 18030
oxk 300 (tidak memenuhi) oxk 1501 (memenuhi)
oxk 3302 (memenuhi)
Jadi, HP = {30o, 150
o, 210
o, 330
o}
Jawaban: D
3. Jika ,1
49cota
o maka o4sec . . .
A. 1
)1(2 2
a
a
B. 1
)1(2 2
a
a
C. 1
)1(2 2
a
a
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -26 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
D. )1(2
1
2
a
a
E. )1(2
1
2
a
a
Penyelesaian:
aa
o 049tan1
49cot
)445tan(49tan ooo
oo
oo
a4tan.45tan1
4tan45tan
o
o
a4tan.11
4tan1
ooaa 4tan14tan
14tan4tan aa oo
1)1(4tan aao
1
14tan
a
ao
Karena 1
14tan
a
ao , maka .1
)1(24sec
2
a
ao
Jawaban: A
Latihan 1
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Jika sin x – cos x = 2p, maka nilai sin 2x = …
a. 14 2 p d. 241 p
b. 24 p e. 14 2 p
c. )1( 2
41 p
2. Jika 5
4sin dan
13
5cos , ( sudut tumpul
dan sudut lancip ), maka ...)cos(
a. 65
63 d.
65
33
b. 65
33 e. 65
63
c. 65
48
3. Jika nilai 15
56tantan dan
13
3cos.cos
maka nilai sin = …
a. 65
63 d. 65
16
b. 65
56 e. 65
33
c. 65
33
4. Bila )cos()cos(244 xx maka pernyataan
yang benar adalah…
a. 21sin x d. 3tgx
b. 2sin21x e.
31tgx
c. 3cos21x
5. Jika 1082sin A dan A2
2 maka nilai ...2 Atg
a. 34 d.
43
b. 43
e. 34
c. 41
6. Nilai dari oo
oo
75cos75sin
15sin75sin 33
adalah…
a. 2341
41 d. 23
41
b. 43 e.
4
3
c. 3241
7. Jika 25
26cottan dan
5
2cos maka nilai
...sincos2
a. 13
5 d.
5
18
b. 13
10 e.
2
5
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -27 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
c. 10
13
8. Jika sudut lancip dan x
x
2
1sin
21
maka
...tan
a. x
x 12 d.
x
x 1
b. 12 x e. x
c. x
1
9. Jika diketahui a cossin dan
b sincos maka hubungan antara a dan b
adalah…
a. 122 ba d. 22 ba
b. 122 ba e. 21ab
c. 222 ba
10. Nilai dari 00 75sin195sin sama dengan …
a. 241 d. 3
21
b. 221 e.
c. 341
11. Bentuk sederhana dari ...20tan70tan oo
a. o50sin d. o50tan2
b. o50cos e.
c. o50tan
12. A dan B adalah sudut lancip, jika pA tan dan
21
cos
p
pB
maka besar BA
a. 135o
d. 75o
b. 105o
e. 60o
c. 90o
13. Jika lancip dan p
q
21cot , ( p, q R , 0q ).
Maka nilai ...sin
a. 22 qp
pq
d.
22
2
qp
pq
b.
22
2
qp
q
e.
22
2
qp
p
c.
22 qp
pq
14. Jika a sudut tumpul dan 2cot21 A maka nilai dari:
...sin2)cos()(sin21
21
21 AAA
a. 52
1 d. 551
b. 551 e. 5
52
c. 0
15. Jika cos A = pq2 dan p – q = sin A, maka
...22 qp
a. – 1 d. 2
1
b. 0 e. 1
c. 4
1
16. Cos ( A – B) = 541 dan 3sinsin
41BA nilai tan
A.tanB = …
a. 31521 d. 315
31
b. 31521 e. 315
41
c. 31531
17. Nilai cos ...24sin12tan24 ooo
a. 2 d. -1
b. 1 e. – 2
c. 0
18.
3sinsin
3cos5cos= …
a. 2cos d. 2sin2
b. 2sin e. tan
c. 2sin2
Latihan 2
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. oooo 6sin42sin66sin78sin 2222 = …
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
2. sin20.sin60.sin100.sin140 = …
a. 4
1 d. 14
3
b. 8
1 e. 4
1
c. 16
3
3. Jika 16
maka
8sin12sin
5sin25sin = …
a. 1 d. -2
b. –1 e. 4
c. 2
4. Hitung cos ...7
6cos
7
4cos
7
2
a. 2
1 d. 2
11
b. 2
1 e. 2
641
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -28 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
c. 2
11
5. Jika cos4
3 maka 32
2
5
2
1 sinsin = …
a. 12 d. 8
b. 11 e. 6
c. 10
6. Nilai dari oo
oo
75sin15sin
195cos225cos
= …
a. 132
1 d. 232
1
b. 232
1 e. 2
1
c. 132
1
7. sinx + sin3x + sin5x + sin7x = …
a. 4cos4xsin2xsinx
b. 4sin4xcos2xcosx
c. –4cos4xsin2xsinx
d. –4sin4xcos2xcosx
e. –4sin4xsin2xcosx
8. Jika tan 20o = x maka tan 50
o = …
a. x2
12 d. 21
2
x
x
b. 2
2
1
1
x
x
e. x
x
2
1 2
c. x
x
2
1 2
9. Jika ao 20sin , maka oo 40sin70sin 22 =…
a. 2
2
1 1 a d. 2
2
1 a
b. 12
2
1 a e. 12
2
1 a
c. a2
1
10. Jika cosx
x
4
622
1 maka tan = …
a. 3
12
x d.
3
92 x
b. 3
42
x e.
2
42 x
c. 3
92 x
11. ...24cos24sin
14cos4sin2
xx
xx
a. tan x d. tan2x
b. tan3x e. 1
c. tan4x
12. Jika tgA = m maka cos 3A = …
a. 2
2
2
1)1(
31m
m
m
d. 2
2
2
1)1(
31m
m
m
b. 2
21
)1(
31m
m
m
e. 2
2
2
11
31m
m
m
c. 2
22
2
1)1(
31m
m
m
13. , dan adalah sudut – sudut sebuah segitiga.
Jika tan2tantan , maka tan.tan =
…
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
14. ...7cos5cos3coscos
7sin5sin3sinsin
xxxx
xxxx
a. tan 2x d. tan 8x
b. tan 4x e. tan 16x
c. tan 6x
15. Jika cos ( A + B) = 4
1
4
1 3 dan
4
1
4
1 3 )BAcos( , maka ...BtanAtan
BtanAtan
1
1
a. 32 d. 3
b. 32 e. 32
c. 2
Latihan 3
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. A, B dan C adalah sudut – sudut sebuah segitiga. Jika
A – B = o30 dan sin C = 6
5 , maka cos A. sin B = …
a. 6
1 d. 3
2
b. 3
1 e. 1
c. 2
1
2. Diketahui px 21tan , maka cos x = …
a.
1
2
2 p
p d.
2
2
1 p
p
b.
1
1
2
2
p
p e.
1
2
2 p
p
c. 2
2
1
1
p
p
3. Nilai dari 00 75sin15sin adalah…
a. 621 d. 2
21
b. 321 e. 6
21
c. 221
4. Jika , dan adalah sudut – sudut suatu segitiga,
pernyataan dibawah ini yang salah adalah…
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -29 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
a. sin)sin(
b. 2
3cos
2
)(3sin
c. 2
sin2
cos
d. 3
2cos
3cos
e. tan)2tan(
5. Pada ABC , A adalah sudut lancip dan 1715sin
. Nilai tan ( A + B) = …
a. 871 d.
871
b. 158 e.
172
c. 158
6. Diketahui 43tg dan 2tg maka
...3 tg
a. 11
2 d. 3
b. 7
2 e. 4
11
c. 1
7. Sudut x dan y lancip. Jika 21
21sin x dan 2
21 ytg
, maka ...)cos( yx
a. )343(101 d. )356(
81
b. )334(81 e. )334(
101
c. )334(101
8. 25
36cottan an dan
18
5sin.cos maka
nilai ...)cos(
a. 3
1 d.
5
4
b. 5
2 e.
3
2
c. 4
3
9. Tanpa menggunakan tabel nilai dari:
oooo 70sin50sin30sin10sin = …
a. 2
1 d. 8
1
b. 3
1 e. 16
1
e. 4
1
10. Jika diketahui mo 213sin , nilai o32cos ...
a. 12 m
b. 2221
c. 22 2
21 mm
d. 2212 mm
e. 2
21 22 mm
11. 81cos65cos77cos47sin68sin52sin =..
a. 0 d. 4
3
b. 4
1 e. 2
3
c. 2
1
12. Jika tan A = t, maka cos 2A = …
a.
1
1
2
2
t
t d.
12
2
t
t
b.
1
1
2
2
t
t e.
1
1
2 t
c.
12
2
t
t
13. cos x + 2cos 3x + cos 5x = …
a. 2cos 3x cos 2x d. 6sin 3x cos x
b. 4 sin 3x cos 3x e. 6cos 3x sin x2
c. 4 cos 3x cos x2
14. Jika px 21tan , maka harga
x
x
2cos1
sin….
a. 2
2
1
1
p
p
d.
p
p
4
1 2
b. 21
2
p
p
e. p
p
2
1 2
c.
15. Pada ABC berlaku 2)tan1)(tan1( BA
maka besar sudut C = …
a. 6
d.
3
2
b. 4
e.
4
3
e. 3
2
2
1
2
p
p
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -30 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Soal Latihan dan Tugas Mandiri
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Ditentukan .10
9sin2 A Untuk ,2
2
A nilai
A2tan . . .
A. 3
4
B. 4
3
C. 4
3
D. 5
4
E. 3
4
2. Diketahui .900,10
8sin 00 xx Nilai
xx cos3cos . . .
A. 25
18
B. 25
18
C. 125
42
D. 25
6
E. 25
12
3. Nilai 00 15cos105sin adalah . . .
A. )26(2
1
B. )23(2
1
C. )26(2
1
D. )23(2
1
E. )26(2
1
4. Nilai dari 00
00
40sin50sin
40cos50cos
adalah . . .
A. 1
B. 22
1
C. 0
D. 32
1
E. -1
5. Jika 1tan dan 3
1tan dengan dan sudut
lancip, maka )sin( . . .
A. 53
2
B. 55
1
C. 2
1
D. 5
2
E. 5
1
6. Diketahui .25
8cossin Nilai
cos
1
sin
1. .
.
A. 25
3
B. 25
9
C. 8
5
D. 5
3
E. 8
15
7. Diketahui 5
4)cos( yx dan .
10
3sinsin yx Nilai
yx tantan . . .
A. 3
5
B. 3
4
C. 5
3
D. 5
3
E. 3
5
8. Diketahui .2
1
2
1cos
x
xA
Nilai Asin adalah . . .
A. x
x 12
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -31 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
B. 12 x
x
C. 12 x
D. 12 x
E. x
x 12
9. Ditentukan persamaan ,01cot2tan 00 xx untuk
.18090 00 x Nilai 0sin x . . .
A. 55
2
B. 22
1
C. 33
1
D. 2
1
E. 55
1
10. Himpunan penyelsaian 01sin2cos xx untuk
20 x adalah . . .
A.
6
5,
6,0
B. 2,,0
C.
2,,6
5,
6,0
D.
2,2
3,
6
5,
6,0
E.
2,,6
5,
3,0
11. Himpunan penyelesaian dari ,2
12sin 0 x untuk
00 1800 x adalah . . .
A. }7515|{ 00 xx
B. }150|{ 00 xx
C. }15030|{ 00 xx
D. 015|{ xx atau }750x
E. 030|{ xx atau }1500x
12. Penyelesaian persamaan 32
1)45sin( 0 x untuk
3600 x adalah . . .
A. 10575 x
B. 16575 x
C. 165105 x
D. 750 x atau 360165 x
E. 1050 x atau 360165 x
13. Himpunan penyelesaian xx 20 sin2)360cos(3
untuk 00 3600 x adalah . . .
A. }18060{ x
B. 60{ x atau }180x
C. 600{ x atau }360300 x
D. 600{ x atau }360300 x
E. }18060{ x
14. Himpunan penyelesaian
3600;2cos3sin 00 xxx adalah . . .
A. }285,15{
B. }165,75{
C. }195,105{
D. }255,165{
E. }285,195{
15. Batas-batas nilai p agar persamaan
2cos)1(sin pxpxp dapat diselesaikan
adalah . . .
A. 1p atau 3p
B. 1p atau 3p
C. 3p atau 1p
D. 31 p
E. 31 p
16. Agar persamaan 5sincos4 oo xpx dapat
diselesaikan untuk ,Rx maka batas-batas p adalah .
. .
A. 33 p
B. 44 p
C. 55 p
D. 3p atau 3p
E. 5p atau 5p
17. Diketahui seitiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm,
dan .1200BCA Keliling segitiga ABC = . . .
A. 14 cm
B. 15 cm
C. 16 cm
D. 17 cm
E. 18 cm
18. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10
cm, dan sudut A = 600. Panjang sisi BC = . . .
A. 192
B. 193
C. 194
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -32 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
D. 292
E. 293
19. Dari segitiga PQR, ditentukan panjang sisi 7PQ
cm, 4PR cm, dan 5QR cm. Nilai PRQtan
adalah . . .
A. 26
B. 24
C. 19
D. 24
E. 26
20. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cn, sudut
MAB = 600 dan sudut ABM = 75
0. Maka AM . . .
A. )31(150 cm
B. )32(150 cm
C. )33(150 cm
D. )62(150 cm
E. )63(150 cm
21. Luas segitiga ABC adalah )323( cm2. Panjang
sisi )326( AB cm dan .7BC Nilai
)sin( CA . . .
A. 7
1
B. 37
4
C. 2
1
D. 346
7
E. 343
7
22. Diketahui A dan B adalah titik-titik terowongan yang
dilihat dari C dengan sudut .450ACB Jika jarak
pCB meter dan 22pCA meter, maka panjang
terowongan itu adalah . . .
A. 5p meter
B. 17p meter
C. 23 meter
D. 4p meter
E. 5p meter
23. Dalam segitiga ABC diketahui 22
1sin A dan
.2
1cos B Nilai Ctan . . .
A. 2)31(2
B. 2)31(2
1
C. 2)13(
D. 2)13(
E. 2)13(2
1
24. Jika adalah sudut lancip yang memenuhi
,0tan
42tan
maka cos . . .
A. 22
1
B. 55
1
C. 33
1
D. 62
1
E. 63
1
25. Jika axx cossin untuk ;4
0
maka x2tan .
. .
A. )1( 2a
a
B. )1( 2a
a
C. )41(
2
2a
a
D. )41(
2
2a
a
E. 22a
26. Jika ,cossin pxx maka xx cossin . . .
A. )1(2
1p
B. )1(2
1p
C. )1(2
1 2 p
D. )1(2
1 2p
E. 2
2
1p
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -33 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
27. Dalam segitiga ABC, AC = 5, AB = 8, dan CAB
60o. Jika ACB maka cos . . .
A. 37
1
B. 37
3
C. 37
4
D. 7
1
E. 7
3
28. Nilai dari
2tan1
tan2. . .
A. cossin2
B. cossin2
C. sin21
D. sin2
E. cos2
29. Dalam segitiga ABC diketahui 8AB cm, BC = 11
cm dan CA = 5 cm. Jika sudut di hadapan sisi BC,
maka sin10 . . .
A. 212
B. 21
C. 212
1
D. 21
E. 21
30. Jika ,0tan 3
42tan dan ,1)tan(
maka 22 tantan . . .
A. 13
B. 5
C. 36
13
D. 36
5
E. -5
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -34 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
4 – Lingkaran A. PERSAMAAN LINGKARAN
1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0, 0) dan Jari-jari r
222 ryx
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat A(a, b) dan Jari-jari r 222 )()( rbyax
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
022 CByAxyx , A, B, C bilangan real
Pusatnya: )2
1,
2
1( BAP dan jari-jari CBAr 22
4
1
4
1
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran
a. Persamaan garis singgung melalui titik ),(11
yxP pada lingkaran 222 ryx adalah 2
11ryyxx .
b. Persamaan garis singgung melalui titik ),(11
yxP pada lingkaran 222 )()( rbyax adalah 2
11))(())(( ryybyaxax .
c. Persamaan garis singgung melalui titik ),(11
yxP pada lingkaran
022 CByAxyx adalah .0)()(1111
CyyBxxAyyxx
2. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu
a. Persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx dengan gradien m adalah
12 mrmxy .
b. Persamaan garis singgung lingkaran 222 )()( rbyax dengan gradien m adalah
1)()( 2 mraxmby .
c. Persamaan garis singgung lingkaran 022 CByAxyx dengan gradien m adalah
1)2
1()
2
1( 2 mrAxmBy .
Rumus-rumus lain yang berhubungan dengan persamaan lingkaran:
a. Persamaan garis lurus dengan gradien m yang melalui titik ),(11
yx
)(11
xxmyy
b. Persamaan garis lurus melalui titik ),(11
yxA dan ),(22
yxB
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
c. Jarak titik ),(11
yxA ke garis 0 cbyaxg
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -35 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
22
11
ba
cbyaxd
C. Contoh Soal
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Jika titik (k, -1) terletak pada lingkaran
,0215222 yxyx nila k . . .
A. -3 atau 6
B. 2 atau -3
C. -7 atau -3
D. 5 atau -3
E. -5 atau 3
Penyelesaian:
Titik (k, -1) terletak pada lingkaran maka
memenuhi persamaan
0152021521 22 kkkk
0)3)(5( kk
35 kk
Jawaban: E
2. Lingkaran dengan persamaan
0,0222 pqpxyx dan berjari-jari
2akan menyinggung garis 0 yx jika p . . .
A. 2
B. 22
C. 4
D. 81
E. 162
Penyelesaian:
Pusat lingkaran (p, 0). Karena lingkaran
menyinggung garis xy maka jari-jari
lingkaran sama dengan jarak pusat lingkaran ke
garis singgung.
22
11
ba
cbyaxd
2211
02
p
p
Jawaban: B
3. Persamaan garis lurus yang melalui pusat
lingkaran 024222 yxyx dan sejajar
garis 052 yx adalah ....
A. 042 yx
B. 032 yx
C. 0 yx
D. 02 yx
E. 02 yx
Penyelesaian:
Pusat lingkaran (1, 2). Garis lurus sejajar garis
052 yx maka .2m
Sehingga persamaan garis lurusnya:
)1(22 xy
02 yx
Jawaban: D Latihan 1
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan
jari jari 5.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O
dan melalui titik A (-3, 4)
3. Diketahui titik A (2, -1) dan titik B (-2, 1). Tentukan
persamaan lingkaran, jika AB merupakan
garis tengah (diameter) lingkaran itu.
4. Diketahui sebuah persegi yang sisi – sisinya
dinyatakan dengan persamaan x = -2, x = 2, y = -2 ,
dan y = 2. Tentukan persamaan lingkaran :
a. yang menyinggung sisi – sisi persegi itu, dan
422 yx
b. yang melalui titik – titik sudut persegi itu.
5. Sebuah lingkaran berpusat di O dan menyinggung
garis g 01543 yx . Tentukan
persamaan lingkaran itu.
6. Diketahui titik A (2, 0) dan B (8, 0). Tentukanlah
tempat kedudukan dari titik – titik P (x, y) yang
memenuhi hubungan PAPByxP 2|),( .
7. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-1, 2)
dan jari – jari 3.
8. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di A (3,
1) dan melalui titik B (6, -3).
9. Diketahui titik P (4, -1) dan titik Q (-2, 5). Tentukan
persamaan lingkaran, jika PQ adalah garis
tengah (diameter) dari lingkaran itu.
10. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di (1, 3)
dan
a. menyinggung sumbu X
b. menyinggung sumbu Y
11. Sebuah lingkaran dengan pusat A (-1, 1) dan
menyinggung garis g 01143 yx .
Tentukan persamaan lingkaran itu.
12. Diketahui titik – titik A (1, 1), B (5, 1), dan C (5, 3).
a. Lukiskan titik – titik A, B, dan C pada sebuah
bidang Cartesius, kemudian perlihatkan bahwa
ABC siku – siku .
b. Selanjutnya tentukan persamaan lingkaran yang
melalui titik –titik A, B, dan C.
13. Nyatakan bentuk umum persamaan lingkaran, jika
diketahui :
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -36 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
a. pusat (-3, 5) dan jari – jari 6
b. pusat 2
1,1 dan jari – jari 2
14. Diantara persamaan berikut ini, manakah yang
merupakan persamaan lingkaran .
a. 04 yx
b. 2342 yxyx
c. 044622 yxyx
d. 0322 yxxyyx
e. 084532 22 yxyx
15. Diketahui bentuk umum persamaan lingkaran
dituliskan sebagai 082822 yxyxL
Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran itu.
16. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran dengan
persamaan 0412699 22 yxyxL .
17. Tentukan kedudukan titik – titik P(1, 2), Q(3, 4) dan
R (2, 5) terhadap masing – masing lingkaranberikut
ini :
a. 2522 yx
b. 9)2()1( 22 yx
c. 042422 yxyx
18. Diketahui lingkaran dengan persamaan
082822 yxyxL
a. Tentukan nilai kuasa titik A (1, 3), B (7, 5), dan
C (9, 2) terhadap L.
b. Tanpa melukiskan sketsanya, dapatkah kamu
menentukan kedudukan titik A, B, dan C
terhadap L ? Di dalam, pada, ataukah di luar L ?
19. Diketahui lingkaran 0215222 yxyxL
a. Tentukan nilai kuasa titik P (a, 6) terhadap L.K =
a2 + 2a– 15
b. Berapakah nilai a, jika titik P (a, 6) terletak pada
L.
20. Diketahui lingkaran
044222 yxyxL dan titik P (3, -1).
a. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran L.
Pusat (-1, 2), r = 3
b. Gambarkan lingkaran L dan titik P pada sebuah
diagram Cartesius.
c. Dari titik P buatlah garis singgung pada
lingkaran. Jika titik singgungnya adalah S,
berapakahpanjang garis singgung PS ?
21. Diketahui garis g dan lingkaran L dengan persamaan
1 yxg dan 422 yxL
a. Lukiskan garis g dan lingkaran L pada sebuah
bidang Cartesius. Apakah garis g memotong
lingkaran L di dua titik yang berlainan?
b. Tentukan persamaan kuadrat gabungan antara
garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai
Diskriminan.
22. Diketahui lingkaran 022222 yxyxL .
Tentukan kedudukan garis – garis berikut
initerhadap L, tanpa menggambarkan sketsanya.
12 yxg 3 yh
033 yxk
23. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran :
a. 522 yxL di titik (-2, 1)
b. 25)1()3( 22 yxL di titik (7, 2)
c. 0276422 yxyxL
24. a. Tentukan persamaan – persamaan garis singgung
yang dapat ditarik melalui titik (-1, 7)
kelingkaran 2522 yxL .
b. Misalkan titik – titik singgungnya adalah A dan
B, tentukan koordinat titik A dan titik B.
c. Selanjutnya tentukan persamaan garis AB.
25. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
1622 yxL yang mempunyai gradien 3.
Latihan 2
1. Lingkaran yang melalui titik – titik (5, 0), (0, 5), (-
1,4) mempunyai jari – jari sebesar...
A. 22 D. 132
B. 24 E. 134
C. 26
2. Lingkaran dengan pusat (-1, 3) serta menyinggung
sumbu y mempunyai persamaan……………
A. 016222 yxyx
B. 016222 yxyx
C. 01322 yxyx
D. 096222 yxyx
E. 096222 yxyx
3. Lingkaran dengan persamaan
09522 yaxyx menyinggung sumbu x,
maka nilai a adalah……………..
A. – 9 atau 9 D. – 4 atau 4
B. – 6 atau 6 E. – 3 atau 3
C. – 5 atau 5
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -37 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
4. Persamaan setengah lingkaran yang berpusat di O
dinyatakan dengan )( 2xay . Harga a
merupakan salah satu akar persamaan
0432 xx . Jari – jari lingkaran di atas
adalah…………..
A. 22
1 D. 32
B. 3 E. 4
C. 2
5. Jarak titik A (7, 2) ke lingkaran
015141022 yxyx adalah……..
A. 52 D. 58
B. 54 E. 512
C. 56
6. Pusat dan jari – jari lingkaran
082822 yxyx adalah…………
A. (- 4, 1) dan 5
B. (4, -1 ) dan 5
C. (-8, 2) dan 3
D. (8, -2) dan 5
E. (8, -2) dan 3
7. Lingkaran 020422 yaxyx melalui titik
(5, 1). Jari – jari lingkaran itu adalah r =
……………….
A. 4 D. 5
B. 52 E. 102
C. 62
8. Lingkaran 012422 byxyx melalui titik
(1, 7). Pusat lingkaran itu adalah………
A. (-2, -3) D. (2, 4)
B. (-2, 3) E. (2, 6)
C. (2, 3)
9. Persamaan dari lingkaran yang berpusat di (2, -3)
dan menyinggung garis 0743 yx
adalah………………….
A. 0124622 yxyx
B. 0124622 yxyx
C. 0126422 yxyx
D. 0126422 yxyx
E. 0126422 yxyx
10. Diketahui lingkaran 063444 22 xyx
jari – jarinya adalah…………………..
A. 4
12 D. 8
B. 4 E. 67
C. 622
1
11. Koordinat titik pusat dan jari – jari lingkaran
062622 yxyx berturut – turut
adalah………………………
A. (3, -1) dan 16 D. (-3, 1) dan 4
B. (3, -1) dan 4 E. (-3, 1) dan 6
C. (-3, 1) dan 16
12. Diketahui titik A (5, -1) dan B (2, 4). Lingkaran yang
berdiameter AB mempunyai
persamaan…………………
A. 033322 yxyx
B. 067322 yxyx
C. 063322 yxyx
D. 063722 yxyx
E. 063722 yxyx
13. Lingkaran yang berpusat di (-3, 2) dan menyinggung
garis 843 yx , persamaannya
adalah………………
A. 0384622 yxyx
B. 0124622 yxyx
C. 0384622 yxyx
D. 0124622 yxyx
E. 0124622 yxyx
14. Diberikan lingkaran 1022 yx , A (4, -3) dan B (-
8, 1). Persamaan garis singgung dari lingkaran yang
tegak lurus dengan garis AB adalah……..
A. 103 xy
B. 10103 xy
C. 103 xy
D. 10103 xy
E. 103
xy
15. Persamaan garis singgung lingkaran 522 yx
yang sejajar dengan garis 172 yx
adalah………….
A. 172 xy
B. 52 xy
C. 12 xy
D. 22 xy
E. 102 xy
16. Persamaan garis singgung pada
16)2()3( 22 yx yang sejajar garis
724 yx adalah……………
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -38 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
A. 542 xy
B. 5442 xy
C. 5482 xy
D. 582 xy
E. 5442 xy
17. Jika lingkaran 2122 axyx melalui titik A (-2,
3), maka persamaan garis singgung pada lingkaran di
A adalah………….
A. 1223 yx
B. 1332 yx
C. 532 yx
D. 1734 yx
E. 134 yx
18. Persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada
lingkaran 0106222 yxyx
adalah………………….
A. 15252 xydanxy
B. 15252 xydanxy
C. 1022 xydanxy
D. 1022 xydanxy
E. 14262 xydanxy
19. Diketahui titik A (-2, 3) dan B (4, 5). Persamaan
garis singgung lingkaran
0686422 yxyx yang tegak lurus AB
adalah…………..
A. 10993 xy
B. 1093 xy
C. 1033
11
3
xy
D. 1033
7
3
xy
E. 1093
11
3
xy
20. Supaya titik A (1, a) terletak di luar lingkaran
082822 yxyx , haruslah……….
A. -5 <a< 3
B. 53 aataua
C. 35 aataua
D. 53 aataua
E. 35 aataua
21. Jika garis 42 yx memotong lingkaran
2522 yx di titik P (p, q) dan Q ( r, s), maka
nilai (p + r) =……………..
A. -3,2
B. -3,0
C. 3,0
D. 3,2
E. -1,8
22. Supaya garis axy menyinggung lingkaran
022622 yxyx , maka haruslah……
A. a = -6 atau a = 1
B. a = -5 atau a = 2
C. a = 5 atau a = 2
D. a = -6 atau a = 2
E. a = 6 atau a = -2
Soal Latihan dan Tugas Mandiri
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Lingkaran 012422 byxyx melalui titik (1,
7). Pusat lingkaran itu adalah . . .
A. (-2, -3)
B. (-2, 3)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
E. (2, 6)
2. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran
,0215222 yxyx maka nilai k = . . .
A. -1 atau 2
B. 2 atau 4
C. -1 atau 6
D. 0 atau 3
E. 1 atau -6
3. Lingkaran 046222 ypxyx mempunyai
jari-jari 3 dan menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran
tersebut adalah . . .
A. (-2, 3)
B. (2, -3)
C. (2, 3)
D. (3, -2)
E. (-3, 2)
4. Diketahui lingkaran dengan persamaan
025622 ybxyx dan b < 0 menyinggung
sumbu X. Nilai b yang memenuhi persamaan tersebut
adalah . . .
A. -3
B. 6
25
C. -5
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -39 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
D. 4
25
E. -10
5. Persamaan lingkaran yang pusatnya (-2, 3) dan
menyinggung sumbu X adalah . . .
A. 046422 yxyx
B. 094622 yxyx
C. 096422 yxyx
D. 044622 yxyx
E. 046422 yxyx
6. Garis singgung lingkaran 2522 yx di titik (-3, 4)
menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5) dan jari-
jari r. Nilai r . . .
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
E. 11
7. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0, 4)
pada lingkaran 422 yx adalah . . .
A. 4 xy
B. 42 xy
C. 4 xy
D. 43 xy
E. 42 xy
8. Jarak antara titik pusat lingkaran
044 22 yxx dari sumbu X adalah . . .
A. 3
B. 2
12
C. 2
D. 2
11
E. 1
9. Diketahui sebuah lingkaran ),8,0(),0,0( AO dan
).0,6(B Persamaan garis singgung pada lingkaran
tersebut adalah . . .
A. 03243 yx
B. 03243 yx
C. 03243 yx
D. 03234 yx
E. 03234 yx
10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan
menyinggung garis 0243 yx adalah . . .
A. 024322 yxyx
B. 036422 yxyx
C. 088222 yxyx
D. 088222 yxyx
E. 0168222 yxyx
11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran
2522 yx yang tegak lurus garis 032 xy
adalah . . .
A. 52
5
2
1 xy
B. 52
5
2
1 xy
C. 552 xy
D. 552 xy
E. 552 xy
12. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran
2522 yx yang ditarik dari titik (0, 10) adalah . . .
A. 103 yx
B. 253 yx
C. 503 yx
D. 103 yx
E. 503 yx
13. Garis 2 yx menyinggung lingkaran
02622 qyxyx untuk q . . .
A. -8
B. 4
C. 6
D. 8
E. 16
14. Persamaan garis singgung pada lingkaran
076222 yxyx di titik yang berabsis 5
adalah . . .
A. 0184 yx
B. 044 yx
C. 0104 yx
D. 044 yx
E. 0154 yx
15. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada
garis ,0442 yx serta menyinggung sumbu X
negatif dan sumbu Y negatif adalah . . .
A. 044422 yxyx
B. 084422 yxyx
C. 042222 yxyx
D. 044422 yxyx
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -40 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
E. 042222 yxyx
16. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran
13)1()2( 22 yx di titik berabsis 1 adalah . . .
A. 0323 yx
B. 0523 yx
C. 0923 yx
D. 0923 yx
E. 0523 yx
17. Persamaan garis singggung melalui titik )1,2( A
pada lingkaran 01361222 yxyx adalah . . .
A. 052 yx
B. 01 yx
C. 042 yx
D. 0423 yx
E. 032 yx
18. Lingkaran 017210: 22
1 yxyxL dan
07228: 22
2 yxyxL merupakan dua
lingkaran yang memiliki hubungan . . .
A. tidak berpotongan
B. bersinggungan dalam
C. bersinggungan luar
D. berpotongan di dua titik
E. mempunyai jari-jari yang sama
19. Lingkaran 066622 yxyx mempunyai
kekhususan sebagai berikut . . .
A. menyinggung 0y
B. menyinggung 0x
C. berpusat di O(0, 0)
D. titik pusatnya pada 0 yx
E. berjari-jari 3
20. Jika lingkaran 06422 cyxyx yang
berpusat di titik (2, 3) menyinggung garis ,1 xy
nilai c . . .
A. 0
B. 4
C. 5
D. 9
E. 10
5 - Suku Banyak
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -41 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Pengertian Suku Banyak
Suku banyak atau Polinom dalam x berderajat n dapat dituliskan dalam bentuk:
i. 021 ,,,...,, aaaaa nn adalah koefisien – koefisien dari 021 ,,,...,, xxxxx nn
ii. n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak
Nilai Suku Banyak
♣ Cara Substitusi
Nilai suku banyak 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxf n
n
n
n
untuk x = k ( kR) adalah 012
21
1 ...)( akakakakakf nn
nn
♣ Cara Bagan (Skema)
Misalkan suku banyak f (x) berderajat 4,
01
2
2
3
3
4
4)( axaxaxaxaxf
Operasi Antar Suku Banyak
♣ Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Sukubanyak
Misalkan f(x) dan g(x) berturut – turut adalah sukubanyak berderajat m dan n
(1) f(x) g(x) adalah sukubanyak berderajat maksimum m atau n
(2) f(x) g(x) adalah sukubanyak berderajat tepat sama dengan (m + n)
Kesamaan Suku banyak
Misalkan dua buah sukubanyak f (x) dan g (x) yang dinyatakan dalam
bentuk umum sebagai :
012
21
1 ...)( axaxaxaxaxf nn
nn
dan
012
21
1 ...)( bxbxbxbxbxg nn
nn
Jika f (x) sama dengan g (x) (ditulis : f(x) g (x)), maka dapat
disimpulkan bahwa :
Pembagian Suku Banyak
Pembagian sukubanyak dengan cara pembagian skematik dikenal sebagai cara pembagian sintetik atau cara Horner .
012
21
1 ... axaxaxaxa nn
nn
k 4a 3a 2a 1a 0a
4a 34 aka 23
24 akaka
122
33
4 akakaka 012
23
34
4 akakakaka
)(kf
kakaka 2
2
3
3
4 kaka 32
4 kakakaka 1
2
2
3
3
4
4 ka4
+ + + +
Tandamenyatakan “kalikan dengan k” ( A )
0011222211 ,,,....,,, badanbababababa nnnnnn
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -42 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Misalkan sukubanyak 01
2
2
3
3
4
4)( axaxaxaxaxf dibagi dengan (x – k) memberikan hasil bagi H(x) dan
sisa S. f(x) dapat dituliskan:
Teorema Sisa
Dengan :
f (x) merupakan sukubanyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat n.
P(x) merupakan pembagi, misalnya berderajat m (mn).
H(x) merupakan hasil bagi, berderajat n – m atau derajat sukubanyak yang
dibagi dikurangi dengan derajat pembagi.
S(x) merupakan sisa, berderajat maksimum m – 1 atau berderajat
Maksimum sama dengan derajat pembagi dikurangi satu.
Teorema Faktor
Bentuk Yang Habis Dibagi
Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak, f(x) habis dibagi dengan (x – k) jika dan hanya jika f (k) = 0.
Pembagian Istimewa
Hasil Pembagian pada pembagian istimewa dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Akar – Akar Rasional Dari Persamaan Suku Banyak
Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak, (x – k) faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan f(x) = 0.
Persamaan Suku Banyak Berderajat Tiga : 023 dcxbxax
Misalkan 321 ,, xdanxx adalah akar – akar persamaan 023 dcxbxax maka:
f (x) = (x – k) . H (x) + S
k 4a 3a 2a 1a 0a
+ + + +
4a
kb3
kba 33
kb2
kba 22
kb1
kba 11
kb0
kba 00
|| || || || ||
3b 2b 1b 0b S
Tandamenyatakan “kalikan dengan k”
012
23
3)( bxbxbxbxH
)()(.)()( xSxHxPxf
Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak, (x – k) merupakan
Faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
(1) 122321 ...
nnnnnnn
aaxaxaxxax
ax
(2) 1222232221222
...
nnnnnnn
aaxaxaxxax
ax
(3) nnnnnnn
aaxaxaxxax
ax 2122221221212
...
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -43 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Persamaan Suku Banyak Berderajat Empat : 0234 edxcxbxax
Misalkan 4321 ,,, xdanxxx adalah akar – akar dari persamaan sukubanyak 0234 edxcxbxax , maka:
Latihan
1. Sebutkan peubah, derajat dan koefisien – koefisien
dari tiap suku banyak berikut :
a. 41025 23 xxx
b. 234 234 yyyy
c. 2)1()1( xx
d. )3()2()1( 2 ttt
2. Hitunglah nilai sukubanyak
53)( 23 xxxxf untuk tiap nilai x
berikut:
a. x = 0 c. x = m ( mR)
b. x = - 1 d. x = m – 2 ( mR
3. Sukubanyak dalam dua peubah (peubah x dan
peubahy) dinyatakan oleh
243),( 22 yxxyyxyxf , hitunglah :
a. f (4, y) c. f (-2, 3)
b. f (x, -2)
4. Dengan menggunakan cara bagan, hitunglah nilai
sukubanyak :
a. 1043)( 234 xxxxxf ,untuk x = 5
b. 23),( 2232 yxyxyxyxf , untuk
x = 2.
5. Misalkan dua buah sukubanyak f (x) dan g(x)
dinyatakan oleh persamaan 4)( 23 xxxf
dan 22)( 23 xxxxg , tentukanlah :
a. f (x) + g(x) serta derajatnya
b. f (x) g(x) serta derajatnya, dan
c. f (x).g(x) serta derajatnya
6. Tentukan nilai k, jika diketahui
kxxxx 3)2()1(1432
7. Diketahui kesamaan sukubanyak
13)1()1( xxqxp . Hitunglah nilai p
dan q.
8. Ditentukan kesamaan pecahan :
23
26
21 2
xx
x
x
n
x
m. Hitunglah nilai m
dan n.
9. Hitunglah nilai A, B, dan C yang memenuhi
kesamaan: 3
2
4
865
22 xx
xx
x
C
x
B
x
A
10. a. Tentukan hasil bagi dan sisa, jika suku banyak
532)( 23 xxxxf dibagi dengan (x – 2 ).
b. Bandingkan sisa yang Anda peroleh pada
soal a) dengan f (2).
( i ) a
bxxx 321
( ii ) a
cxxxxxx 313221
( iii ) a
dxxx 321
( i ) a
bxxxx 4321
( ii ) a
cxxxxxxxxxxxx 434232413121
( iii ) a
dxxxxxxxxxxxx 214143432321
( iv ) a
exxxx 4321
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -44 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
11. Dengan menggunakan cara pembagian sintetik atau
cara Horner, tentukan hasil bagi dan sisa pada
pembagian 532)( 23 xxxxf dengan x –
2.
12. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku
banyak 22)( 234 xxxxxf dengan x +
2.
13. Misalkan sukubanyak 22)( 23 pxxxxf
habis dibagi dengan (x + 1). Carilah nilai p.
14. Sukubanyak 4)2(2)( 23 xaxxxf
dibagi dengan (x – 1) memberikan sisa 10. Carilah
nilai a, kemudian tentukan hasil baginya.
15. Dengan cara pembagian sintetik, tentukan hasil bagi
dan sisa pembagian sukubanyak
10872)( 23 xxxxf dengan (2x – 1).
16. a. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian
sukubanyak 23)( 23 xxxxf dengan (3x
– 2 )
b. Tunjukkan bahwa sisa yang Anda peroleh
pada soal a) itu sama dengan 32f
17. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian
sukubanyak 102)( 23 xxxxf dengan
32 xx
18. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak
653)( 234 xxxxxf dengan
22 xx
19. Tunjukan bahwa sukubanyak
12143)( 24 xxxxf habis dibagi dengan
322 xx . Tentukan pula hasil baginya.
Latihan 2
1. Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak yang
berikut ini
6866)( 234 xxxxxf dibagi x – 2
2. Misalkan sukubanyak
3)2(3)( 234 xaaxxxxf dibagi
dengan (x + 2) memberikan sisa 15. Hitunglah nilai
a.
3. Jika suku banyak 653)( 25 axxxxf dan
suku banyak 342)( 234 xaxxxxg dibagi
dengan (x – 1) memberikan sisa yang sama.
Hitunglah nilai a.
4. Tentukan sisa pada pembagian yang berikut ini :
a. )6( 8 a dengan )2( 2 a
b. 1043 3612 aaa dengan )1( 3 a
5. Tentukan sisa pembagian sukubanyak
)33( 3223 yxyyxx dengan (x – y)
6. Hitunglah sisa pada pembagian sukubanyak
4752)( 234 xxxxf dengan 2x – 5 .
7. Pembagian sukubanyak
9)1(103)( 34 xaxxxf dengan (3x + 1)
akan menghasilkan sisa 7. Hitunglah nilai a.
8. Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak
653)( 234 xxxxxf dengan 22 xx .
9. Misalkan sukubanyak f (x) dibagi (x – 1) sisanya 3,
sedangkan jika dibagi (x + 2) sisanya 6. Tentukan
sisanya, jika f (x) dibagi oleh )2( 2 xx .
10. Misalkan sukubanyak f (x) dibagi 12 x sisanya 2x –
5 dan jika f (x) dibagi 42 x sisanya 3x .
Tentukan sisanya jika f (x) dibagi dengan
232 xx .
9. Tunjukkan bahwa (x + 2) merupakan faktor dari
8843)( 234 xxxxxf .
10. Tentukan nilai a untuk sukubanyak di bawah
125)( 234 xaxxxxg mempunyai faktor
(x + 1)
13. Tentukan nilai a dan b agar pecahan :
204
1017
23
23
xbxx
xaxx dapat disederhanakan
menjadi bentuk pecahan linear.
14. Jika )32( yx merupakan faktor dari
)3115( 22 yxcybxyax , hitunglah nilai
dari a, b, dan c.
15. Tunjukkan bahwa:
144)( 235 xxxxf habis dibagi oleh
(x – 1)
15. Jika sukubanyak axxxxf 452)( 23 habis
dibagi dengan (x + 4), Tentukan nilai dari a.
16. Tentukan nilai – nilai dari a supaya
65
62
2
2
xx
axx
dapat disederhanakan.
17. Tentukan sukubanyak hasil bagi pada tiap pembagian
istimewa berikut.
a. )(:)( 33 baba
b. )(:)( 44 baba
c. )(:)( 33 baba
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -45 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
18. Tentukan suku kesembilan pada pembagian istimewa
1414 ba dengan a – b .
19. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
sukubanyak 03452)( 23 xxxxf .
20. Tentukan akar – akar dari persamaan suku banyak :
a. 02223 xxx
b. 0296 23 xxx
Latihan Soal dan Tugas Mandiri
Pilihlah salah satu jawaban yang benar !
1. Suku banyak 2476 3 pxxx habis dibagi oleh
32 x . Nilai p = ....
A. -24
B. -9
C. -8
D. 9
E. 24
2. Jumlah akar-akar dari persamaan
061132 22 xxx adalah ....
A. 2
3
B. 2
1
C. 2
1
D. 2
3
E. 3
3. Suku banyak )(xf dibagi )3( x bersisa 5, dan
dibagi oleh )4( x bersisa -23. Sisa pembagian
)(xf oleh )4)(3( xx adalah ....
A. 43 x
B. 174 x
C. 143 x
D. 105 x
E. 74 x
4. Suatu suku banyak )(xP dibagi oleh )1( 2 x
sisanya )2312( x dan jika dibagi )2( x sisanya
1. Sisa pembagian suku banyak oleh )23( 2 xx
adalah ....
A. 2312 x
B. 112 x
C. 110 x
D. 124 x
E. 2724 x
5. Suku banyak kxxxxP 643)( 23 habis
dibagi ).2( x Sisa pembagian )(xP oleh
222 xx adalah ....
A. 2420 x
B. 1620 x
C. 2432 x
D. 248 x
E. 1632 x
6. Diketahui suku banyak )(xf jika dibagi )1( x
bersisa 8 dan dibagi )3( x bersisa 4. Suku banyak
)(xg jika dibagi )1( x bersisa -9 dan jika dibagi
)3( x bersisa 15. Jika ),()()( xgxfxh maka
sisa pembagian )(xh oleh )32( 2 xx adalah ....
A. 7 x
B. 36 x
C. 216 x
D. 1311 x
E. 3933 x
7. Suatu suku banyak dibagi )5( x sisanya 13,
sedang jika dibagi )1( x sisanya 5. Suku banyak
tersebut jika dibagi 562 xx sisanya adalah ....
A. 22 x
B. 32 x
C. 13 x
D. 23 x
E. 33 x
8. Suatu suku banyak bila dibagi )2( x bersisa 11,
dibagi )1( x sisanya -4. Suku banyak tersebut bila
dibagi oleh 22 xx bersisa ....
A. 5x
B. 5x
C. 215 x
D. 15 x
E. 15 x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -46 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
9. Jika )(xf dibagi )2( x sisanya 24, sedangkan
jika )(xf dibagi )32( x sisanya 20. Jika )(xf
dibagi dengan )32)(2( xx sisanya adalah ....
A. 88 x
B. 88 x
C. 88 x
D. 88 x
E. 68 x
10. Salah satu faktor suku banyak
nxxxxP 1015)( 24 adalah ).2( x
Faktor lainnya adalah ....
A. 4x
B. 4x
C. 6x
D. 6x
E. 8x
11. Salah satu akar persamaan
01037 234 xxpxx adalah 1. Jumlah
akar-akar persamaan tersebut adalah ....
A. -10
B. -7
C. -5
D. 3
E. 5
12. Akar-akar persamaan 044 23 xxx adalah
,1x 2x dan 3x . Nilai 2
3
2
2
2
1 xxx ....
A. 2
B. 14
C. 15
D. 17
E. 18
13. Suku banyak 12136 23 qxxx mempunyai
faktor ).13( x Faktor linear yang lain adalah ....
A. 12 x
B. 32 x
C. 4x
D. 4x
E. 2x
14. Suku banyak )653( 234 xxxx dibagi
)2( 2 xx sisanya sama dengan ....
A. 816 x
B. 816 x
C. 168 x
D. 168 x
E. 248 x
15. Jika suku banyak 4753)( 3 kxxf dibagi
oleh kx dengan k > 0 sisanya 4, maka nilai k = ....
A. -5
B. 0
C. 3
D. 4
E. 5
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -47 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
6 – Fungsi dan Komposisi Sifat – sifat Aljabar fungsi
Diketahui fungsi f (x) dan g(x), dan n adalah bilangan rasional.
Operasi Aljabar fungsi dapat ditetapkan sebagai berikut:
a. )()())(( xgxfxgf d. 0)(,)(
)()(
xg
xg
xfx
g
f
b. )()())(( xgxfxgf e. nnxfxf )()(
c. )().())(.( xgxfxgf
1 Definisi :
Misalkan fungsi:
g : A B ditentukan dengan aturan y = g (x)
f : B C ditentukan dengan aturan y = f (x )
Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan aturan:
h(x) = (f o g) (x) = f(g(x))
2 Definisi :
Misalkan fungsi:
f : A B ditentukan dengan aturan y = f (x)
g : B C ditentukan dengan aturan y = g(x )
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan aturan:
h(x) = (g of) (x) = g(f(x))
3 Sifat – sifat Komposisi Fungsi
a. ))(())(( xgofxfog
b. ))()(()))((( xohfogxgohfo
c. )())(())(( xfxIofxfoI dengan I(x) fungsi identitas
1 Definisi:
Jika fungsi BAf : dinyatakan dengan pasangan terurut:
),{(: baf a A dan b B }
maka invers dari fungsi f adalah 1
f : B A ditentukan oleh:
1f : {(a,b) b B dan a A }
2 Menentukan fungsi invers
Misalkan diketahui fungsi )(xfy
Langkah – langkah:
(i). Ubahlah persamaan )(xfy dalam bentuk x sebagai fungsi x
(ii). Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinami dengan )(1
yf
(iii). Gantilah y pada )(1 yf dengan x untuk mendapatkan )(
1xf
)(1
xf
adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x)
Sifat – Sifat Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
a. ))(()()(111
xofgxfog
b. ))(()()(111
xogfxgof
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -48 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan 1
1. Misalkan fungsi – fungsi f dan g ditentukan dengan
rumus:
1)( xxf dan 216)( xxg
Carilah fungsi – fungsi berikut ini, kemudian
tentukan domain alaminya:
a. (f +g )(x) d. xg
f
b. ))(( xgf e. )(3 xf
c. ))(.( xgf
2. Misalkan fungsi RRf : dan RRg :
ditentukan dengan aturan 13)( xxf dan
xxg 2)( . Tentukanlah:
a. ))(( xfog b. ))(( xgof
3. Misalkan fungsi RRf : dan RRg :
ditentukan dengan aturan 14)( xxf dan
2)( 2 xxg . Tentukan:
a. )(xfog e. )2(fog
b. ))(( xgof f. )2)((gof
c. )(xfof g. )2(fof
d. )(xgog h. )2(gog
4. Misalkan fungsi – fungsi f dan g dinyatakan dengan
pasangan terurut:
f = {(-1, 4), (1, 6), (2, 3), (8,5)}
g = {(3,8), (4,1), (5,-1), (6,2)}
Tentukanlah:
a. (fog) b. (gof) c. (fog) (1)
d. (gof) (-1) e. (fog) (3) f. (gof) (3)
5. Misalkan fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk
pasangan terurut
)5,4(),1,3(),4,2(),1,0( f dan
)7,6(),3,5(),2,1(),0,2(g
Tentukan:
a. )( fog b. )(gof
6. Diketahui fungsi RRf : dan RRg :
ditentukan dengan rumus
1)( xxf dan xxg )(
a. Tentukanlah:
(i) ))(( xfog (ii). ))(( xgof
b. Carilah:
(i) daerah asal ))(( xfog dan daerah hasil ))(( xfog
(ii) daerah asal ))(( xgof dan daerah hasil ))(( xgof
7. Misalkan RRf : dan RRg : ditentukan
dengan rumus 23)( xxf dan 1)( 2 xxg
a. carilah ))(( xfog dan ))(( xgof
b. Dari hasil a, apakah ))(())(( xgofxfog
8. Misalkan RRf : , RRg : dan
RRh : ditentukan dengan rumus :
1)( xxf , xxg 2)( , dan 2)( xxh
a. carilah:
(i) )))((( xgohfo (ii) ))()(( xohfog
b. Dari hasil a) apakah )))((( xgohfo = ))()(( xohfog
9. Diketahui 14)( 2 xxxf dan xxI )(
a. carilah (i). ))(( xfoI (ii) ))(( xIof
b. Dari hasil a), apakah ))((( xfoI = ))(( xIof
10. Misalkan fungsi komposisi 32))(( xxfog dan
14)( xxf
Carilah fungsi g(x)
11. Misalkan fungsi komposisi xxfog 24))(( dan
16)( xxg
Carilah fungsi f(x)
12. Misalkan fungsi komposisi 36))(( 2 xxxfog
dan fungsi 1)( xxg
Carilah fungsi f(x)
13. Misalkan A = { -2, -1, 0, 1} dan B = { 1, 3, 4}. Fungsi
BAf : ditentukan oleh :
)}4,1(),3,0(),1,1(),1,2{( f
Carilah invers fungsi f, kemudian selidikilah apakah
invers fungsi f itu merupakan fungsi.
14. Misalkan A = {0, 2, 4} dan B = {1, 3, 5, 7}. Fungsi
BAg : ditentukan oleh )}5,4(),3,2(),1,0{(g
Carilah invers fungsi g, kemudian selidikilah apakah
invers fungsi g itu merupakan fungsi.
15. Misalkan A = { -1, 0, 1, 2} dan B= {1, 2, 3, 4}.
Fungsi h : A B ditentukan oleh
)5,2(),3,1(),2,0(),1,1(h
Carilah invers fungsi h, kemudian selidikilah apakah
invers fungsi h itu merupakan fungsi.
16. Tiap fungsi berikut adalah pemetaan dari R ke R.
Carilah rumus fungsi inversnya.
a. )(xf 2x -1 b. )(xf = 3x + 6
c. f (x) = 2x -1 d. f (x) = x3 – 1
17. Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus
x
xxf
1)(
a. Carilah rumus ).(1 xf
b. Carilah : (i). daerah asal fungsi f (x)
(ii) daerah asal fungsi )(1 xf
18. Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus
1)( 2 xxf
a. Tentukan domain fungsi f agar fungsi tersebut
mempunyai invers
b. Untuk tiap domain yang diperoleh pada a) tentukan
rumus )(1 xf
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -49 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
19. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 1 mempunyai fungsi
invers )1()(211 xxf
a. Tunjukkan bahwa
)())(())(( 11 xIxoffxfof , dengan
xxI )( adalah fungsi identitas
b. Gambarlah grafik fungsi f (x ) dan fungsi invers
)(1 xf pada sebuah bidang Cartesius.
20. Misalkan RRf : dan RRg : ditentukan
dengan rumus 2)( xxf dan xxg 24)(
Carilah : a. )(1
xfog
b. )(1
xgof
21. Misalkan fungsi – fungsi f dan g ditentukan dengan
rumus:
3
9)(
xxf , x R dan x -3
2)( xxg , x R dan x 0
a. Carilah: (i) )()( 1 xfog
(ii) )()( 1 xgof
b. Carilah: (i) daerah asal alami )()( 1 xfog
(ii) daerah asal alami )()( 1 xgof
Latihan 2
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Diketahui fungsi kuadrat:
382)( 2 xxxf dengan daerah asal
Rxxx ,41 . Daerah hasil fungsi f
adalah…
a. Ryyy ,117
b. Ryyy ,37
c. Ryyy ,197
d. Ryyy ,113
e. Ryyy ,193
2. Fungsi f dengan rumus 1
)(2
x
xxxf
terdefinisikan pada himpunan…
a. {x x ≥ -1 } d. {x -1 ≤ x ≤ 0 atau x ≥ 1}
b. {x x ≥ 0 } e. {x -1 < x ≤ 0 atau x ≥ 1}
c. {x x ≥ 1 }
3. Jika f (x) = - x + 3, maka )(2)()(22 xfxfxf
= …
a. 462 2 xx d. 64 x
b. 46 x e. 642 2 xx
c. 642 2 xx
4. Jika 2)( 2 xxf dan 12)( xxg maka
komposisi ))(( xgf = …
a. 24 2 x d. 144 2 xx
b. 32 2 x e. 144 2 xx
c. 122 xx
5. Jika 4)( 2 xxf dan y
yg2
)( maka
))(( tgof =…
a. t
t44 d.
2
2
t
b. t
t22 e.
4
2
2 t
c. t
t2
6. Jika x
xxf1
)( dan x
xxg1
)( maka
))(( xfg adalah…
a. 2
2 1
xx d. 2x
b.
1
1
2
2
x
x
x
x e.
1
1
2
2
2
2
x
x
x
x
c.
1
1
2
2
x
x
x
x
7. Jika 43
12)(
x
xxf dan 15)( 2 xxg maka
))(( xfog ….
a.
515
10
2
2
x
x d.
415
110
2
2
x
x
b.
715
110
2
2
x
x e.
110
715
2
2
x
x
c .
415
310
2
2
x
x
8. Jika 12)( xxf ; 35)( 2 xxg dan
xxh 7)( maka ))(( xfogoh =…
a. 7490 2 x d. 2490x
b. 370 2 x e. 770 2 x
c. 7490 3 x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -50 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
9. Jika 1
)(
x
xxf ; )1()( 2 xfxg , maka
))(( xfg adalah…
a.
1
12
2
x
x d.
2
2 1
x
x
b.
11
2
2
x
x e.
12
2
x
x
c.
11
2
2
x
x
10. Jika xxf )( dan 1)( 2 xxg , maka
sama dengan…
a. x + 1 d. 14 x
b. e. 18 x
c. 1x
11. Diketahui tiga fungsi RRf : , RRg : ,
RRh : yang ditentukan oleh…
2)( xxf
1)( 2 xxf
xxh 2)(
Bentuk sederhana dari ))(( xhogof adalah…
a. 342 xx d. 682 2 xx
b. 682 2 xx e. 682 2 xx
c. 682 2 xx
12. Jika xaxf )( maka untuk setiap x dan y
berlaku…
a. )()().( xyfyfxf
b. )()().( yxfyfxf
c. )()()().( yfxfyfxf
d. )()()( xyfyfxf
e. )()()( yxfyfxf
13. Diketahui 4
32:
x
xxf , 4x dan
87))(( 2 xxxgof . Nilai dari
8
5g =….
a. 8 d. 0
b. 6 e. – 4
c. 4
14. Diketahui fungsi 32)( xxf dan
13)( xxg . Nilai x yang memenuhi:
)(2)()42)(( xgxfxfog adalah…
a. 2
3 d.
2
16
b. 0 e. 2
17
c. 6
15. Fungsi RRf : dan RRg : dengan
1)( xxg dan 23))(( 2 xxxfog maka
...)( xf
a. xx 2 d. 322 xx
b. xx 2 e. 322 xx
c. 32 xx
16. Diketahui 13)( xxg dan
76
29)1)((
x
xxfog . Rumus untuk ....)( xf
a. 32
43
x
x d.
23
34
x
x
b. 43
32
x
x e.
23
34
x
x
c. 43
32
x
x
17. Jika xxf 1)( dan 3
3)(
x
xxg , maka fungsi
komposisi x
gf 1 =…
a. 13
3
x
x d.
x
x
31
3
b. x
x
31
6
e.
x
x
3
31
c. 13
6
x
x
18. Fungsi invers dari 2)1()(5
1
3 xxf adalah
)(1 xf =…
a. 3
1
5)2(1 x d. 3
5
)2(1 x
b. 3
5
)2(1 x e. 3
5
)2( x
))(( xgofof
12 x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -51 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
c. 3
1
5)2(1 x
19. Grafik fungsi kuadrat cbxaxxf 2)(
mempunyai titik balik (-1, 3) dan melalui titik (2, 12).
Nilai a + b + c = ….
a. 3 d. 6
b. 4 e. 7
c. 5
20. Jika 1)( 2 xxf dan
542
1))(( 2
xx
xxfog maka
adalah…
a. d. 3
1
x
b. e. 3
1
x
c. 1
1
x
21. Diketahui 1)( xxf dan 43))(( 2 xxfog .
Rumus )(xg yang benar adalah…
a. 3x + 4 d. )1(3 2 x
b. 3x + 3 e. )3(3 2 x
c. 43 2 x
22. Diketahui fungsi f yang dinyatakan
52
4)3(
x
xxf , untuk
25x dan )(1 xf
adalah invers dari f (x). Rumus fungsi )(1 xf …
a. x
x
21
1
,
21x d.
12
45
x
x,
21x
b. x
x
21
1
,
21x e.
12
45
x
x,
21x
c. 12
1
x
x,
21x
23. Jika 12)( xxf dan 3)( 3 xxg maka
)()( 1 xgof adalah…
a. 3
1
2
5
x d. 1
2
5 3
1
x
b.
3
2
5
x e.
2
1)3(2 3 x
c. 12
3
2
1 3
1
x
24. Fungsi f ditentukan oleh 52
23)(
x
xxf ,
25x
1f merupakan fungsi invers dari f. Jika
12)(1 kf , maka nilai k adalah…
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
25. Jika 42)( xxf dan 12
1)( xxg maka
)10()( 1fog adalah…
a. 6 d. 12
b. 10 e. 20
c. 8
26. Diketahui fungsi 1
12)(
x
xxf , 1x dan
12
13)(
x
xxg ,
21x . Invers dari ))(( xfog
adalah )()( 1 xfog =…
a. 25
14
x
x,
52x d.
25
14
x
x,
52x
b. 45
12
x
x,
54x e.
x
x
54
12
,
54x
c. 4
52
x
x, 4x
27. Diketahui xxf )( , 0x dan 1
)(
x
xxg ,
1x maka ....)()( 1 xgof
a. 2
2
1 x
x
d.
2
2
21 xx
x
b. 2
2
21 xx
x
e.
2
2
1 x
x
c.
12
2
x
x
28. Jika 1)1( 2 xxf dan xxg 2)( maka
))(( xgof = ….
a. xx 42 d. xx 42 2
b. 22 2 x e. xx 22 2
c. 22 2 x
)3( xg
5
1
x
1
1
x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -52 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
29. Fungsi RRg : ditentukan oleh 3)( xxg
dan fungsi RRf : sehingga
433))(( 2 xxxfog maka rumus
....)2( xf
a. 64273 2 xx d. 94333 2 xx
b. 40213 2 xx e. 64213 2 xx
c. 94273 2 xx
30. Diketahui 54
32)(
x
xxf ,
45x dan
13)( xxg . Nilai dari )1()( 1fog adalah…
a. 3
2 d.
3
1
b. 3
2 e.
3
2
c. 3
1
31. Diketahui 22)( xxg dan 12
13))((
x
xxfog
. Nilai dari )2(f adalah…
a. 7 d. 1
b. 6 e. – 1
c. 2
32. Diketahui: 1)( xxf
xxxgof 2))(( 2
158))(( 2 xxxgoh
...)4( xh
a. x + 4 d. x + 8
b. x e. 4x – 8
c. x – 8
33. Diketahui 2
)(
x
axxf , 2x dan 2)7( f
Nilai dari )1()( 1 fofof = ….
a. 7
1 d. – 7
b. 7 e. 5
1
c. 7
1
34. Fungsi f ditentukan oleh 12
34)(
x
xxf ,
21x . Jika )(1 xf invers f , maka
...)1(1 xf
a. 52
2
x
x,
25x d.
42
3
x
x, 2x
b. 22
2
x
x, 1x e.
42
3
x
x, 2x
c. 62
2
x
x, 3x
35. Diketahui fungsi 12)( xxf dan
142)1)(( 2 xxxfog . Nilai )2(g = …
a. – 5 d. 1
b. – 4 e. 5
c. – 1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -53 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
7 - Limit TEOREMA LIMIT UTAMA
k = konstanta
f dan g adalah fungsi – fungsi yang mempunyai limit x
a , maka:
1. Jika kxf )( , maka kxfax
)(lim
2. Jika xxf )( , maka axfax
)(lim
3. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax
4. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax
5. )(lim.)(.lim xfkxfkaxax
6. )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfaxaxax
7. ,)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
untuk 0)(lim
xg
ax
8. n
ax
n
axxfxf
)(lim)(lim , untuk n bilangan bulat
9. nax
n
axxfxf )(lim)(lim
, untuk 2x
10. m
nax
nm
axn
m
axxfxfxf
)(lim)(lim)(lim
RUMUS DASAR
LIMIT TRIGONOMETRI
1. 1sin
limsin
lim00
x
x
x
x
xx
2. 1limlim00
tgx
x
x
tgx
xx
mis u = f(x) 00 ux
3. 1sin
limsin
lim00
u
u
u
u
xx
4. 1limlim00
tgu
u
u
tgu
xx
Note! Hanya berlaku untuk x 0
Rumus Dasar Rumus Praktis
1. 1sin
lim0
x
x
x 1.
b
a
bx
ax
x
sinlim
0
2. 1lim0
x
tgx
x 2.
b
a
bx
tgax
x
0lim
3. 1sin
lim0
tgx
x
x 3.
b
a
tgbx
ax
x
sinlim
0
4. 1lim2
2
0
x
xtg
x 4.
b
a
bx
axtg
x
2
2
2
0lim
5. 1sin
lim2
2
0
x
x
x 5.
b
a
bx
ax
x
2
2
2
0
sinlim
6. 1sin
lim2
2
0
x
xtg
x 6.
2
2
2
2
0 sinlim
b
a
bx
axtg
x
7. 1sin
sinlim
2
2
0
x
x
x 7.
2
2
2
2
0 sin
sinlim
b
a
bx
ax
x
Latihan
1. 21 1
1lim
x
x
x
=
a. 2
1 d. 1
b. 0 e. 4
c. 4
1
2. Nilai
xx
x
x 2
8lim
2
3
2
adalah:
a. 0 d. 6
b. 2 e. 8
c. 4
3.
2
33 2
1 1
12lim
x
xx
x
=
a. 0 d. 7
1
b. 3
1 e.
9
1
c. 5
1
4.
xx
xx
x 0lim
a. 0 d. 2
b. 2
1 e. -5
c. 1
5. Nilai
x
xx
x 93
52lim
2
0
a. 30 d. -1
b. 1 e. -30
c. 0
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -54 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
6.
4
2lim
4 t
t
x
a. 1 d. 2
1
b. 4
1 e.
4
3
c. 3
1
7.
11
11lim
30 x
x
x
a. 0 d. 2
3
b. 3
1 e. 2
c. 3
2
8.
13
1lim
2
2
1 xx
x
x
a. 4 d. -2
b. 2 e. -4
c. 0
9. Jika 4
3
4lim
4
x
xbax
x, maka a +b sama
dengan….
a. 3 d. -1
b. 2 e. -2
c. 1
10.
2
8lim
38 x
x
x. . . .
a. 8 d. 20
b. 12 e. 24
c. 16
11.
x4x
4x3x3xlim
2
3
0x
a. 0 d 3
b. 4
15 e.
4
18
c.
12.
....
3x4
2x3lim
3
3
x
a. 1 d. 27
8
b. 64
27 e.
27
8
c. 64
27
13. ...adalah2
1...
4
1
2
11lim
nx
a. 0 d. 2
b. 1 e.
c. 2
3
14. ....x2x
xtanlim
20x
a. 2 d. 2
1
b. 1 e. 4
1
c. 0
15. ....x
1x2coslim
20x
a. 0 d. 1
b. –2 e. 5
c. 2
16. ....xcosx3
x2sinx4sinlim
0x
a. 4
1 d.
2
3
b. 2
1 e. 2
c. 1
17. Jika 1x
xsinlim
0x
,maka
....
1x
xsinlim
1x
a. 0 d.
1
b. 1 e. 2
c.
18. ...x2cos1
xtanxlim
0x
a. 2
1 d. -1
b. 0 e. 2
c. 2
1
19. ...x2cos1
x3cosxcoslim
0x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -55 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
a. –2 d. 2
b. 0 e. 3
c. 2
3
20. Nilai ...xtan
xcos1lim
20x
a. 8
1 d. 1
b. 4
1 e. 2
c. 2
1
21. ....x2tanx
1x4coslim
0x
a. 4 d. -2
b. 2 e. -4
c. –1
22. Nilai dari ...cxtan
xb
asin
lim0x
a b
ac d. bc
a
b. c
ab e. ac
b
c. a
bc
Latihan 2
Pilih salah satu jawaban yang paling tepat !
1.
4x2
x2x
2x
8x2lim
22
2x= …
a. 5 d. 9
b. 6 e.
c. 8
2. ...2
3x2x23x2x2lim
22
x
a. 0 d. 2
b. 2
1 e.
c. 22
1
3. ...9x
3x2xlim
23x
a. 3
1 d.
2
1
c. 9
1 e. 0
c. 6
1
4.
...x1x2
x2x54limx
a. d. 5
b. 5
1 e.
c. 2
5.
...x2x3x
x6sin1xlim
23
2
0x
a. -3 d. 1
b. -1 e. 6
c. 0
6. ...x2k2)kxsin(
kxlim
kx
a. -1 d. 2
1
b. 0 e. 1
c. 3
1
7. Nilai
20x x5
x3tan.x2tanlim adalah…
a. 1 d. 5
3
b. 5
1 e. 5
6
c. 3
8. xsin
xx2lim
2
0x
adalah…
a. 3 d. 0
b. 2 e. -1
c. 1
9. Jika 1sin
lim0
y
y
y
maka
)12(4
)1(cos1lim
2
2
1 xx
x
x..
a. 0 d. 1
b. 4
1 e.
c.
10. Jika diketahui 1sin
lim0
x
x
x, maka
...2coscos
lim20
x
xx
x
a. 2
1 d. 2
b. 3
2 e. 1
c. 2
3
11. ...24
543lim
23
23
0
xxxx
xxxx
x
a. 4
3 d.
b. 5 e. 2
3
c. 0
2
1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -56 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
12. ...32524lim 2
xxxx
a. 2,5 d. 3,5
b. 0 e. -3,5
c.
13. ...lim55
77
tx
tx
tx
a. t d. 2
6
7 t
b. 2t e. 0
c. 2
5
7 t
14. ...sin.
.sinlim
0
dxtgcx
tgbxax
x
a. c
a d. ab
cd
b. d
b e. 0
c. cd
ab
15. ...2sin
)15(cos3lim
0
x
xxctg
x
a. 24
25 d. 12
25
b. 12
25 e.
c. 24
25
16. 32
64lim
5
6
2
x
x
x= …
a. 0 d. 5
24
b. e. 4
c. 5
12
17.
432
348lim
37
27
xx
xxx
x
=…
a. 0 d. 2
b. 2 e. 4
c. 4
3
18. ...3
9lim
9
x
x
x
a. 3 d. 9
b. 3 e. 12
c. 6
19. xx
x
x 2sin.3
7cos1lim
0
=…
a. 6
7 d. 6
7
b. 4
49 e. 6
49
c. 12
49
20. 5)(lim5
xfx
dan 2)(lim5
xgx
maka
...)(
)(2)(3lim
5
xg
xfxg
x
a. 0 d. 8
b. 1 e. 13
c. 6
14.
h
xxhxhx
h
4)(4lim
22
0
=…
a. x2
+ 4x d 2x
b. 2x + 4 e. 2
c. 2x – 4
15. 30
sintanlim
x
xx
x
a. 2
1 d. 4
1
b. 2 e. -2
c. 3
16. Diketahui f(x) = x3
, nilai x
afxaf
x
)()3(lim
0
adalah…
a. 23a d.
29a
b. 23a e.
2a
c.
17.
33
cos21lim
x
x
x
= …
a. 0 d. 2
b. 1 e. 2
c 3
2x x < 0
18. f(x)= -x 0 1 x
x x > 1
diskontinu di x = …
a. 0 d. -1
b. 1 e. -2
c. 2
19. f(x) = 3
273 2
x
x , untuk x 3
ax untuk x = 3
agar f(x) kontinu di x = 3, maka nilai a = ..
a. 1 d. 6
b. 2 e. 18
c. 3
21. ...)1(
12lim
2
33 2
1
x
xx
x
29a
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -57 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
a. 0 d. 7
2
b. 3
1 e. 9
1
c. 5
1
22.
x
x x
x2
2 4
531lim
=…
a. 2e d.
4e
b. 6e e.
2e
c. e
23. ...1
1lim
32
2
xx
x x
a. e d. 3e
b. 2e e.
5e
c. 1
24. Jika 1sin
lim0
x
x
xmaka
tgxx
x
xx 220
2sin2lim =
a. -2 d. 1
b. -1 e. 2
c. 0
25.
...34
)1sin(32lim
21
xx
xx
x
a. 5 d. 2
1
b. 4
5 e. 0
c. 1
26. ...3cos.4
2sin8sinlim
0
xx
xx
x
a. 1 d. 4
33
b. 4
11 e. 5
c. 4
12
27. Nilai 3
)3)(3(lim
3
x
xx
x
adalah…
a. 0 d. 2
b. 1 e. 3
c. 4
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -58 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
8 – Turunan Pengertian Turunan Fungsi
Laju Perubahan Rata – rata.
Misalkan diketahui fungsi y = f (x)
Laju perubahan rata – rata y = f (x) dalam interval
21 xxx
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y
Laju Perubahan Sesaat
Kecepatan sesaat pada waktu t = 1t
h
tfhtfVtpadaV
hratarata
hsesaat
)()(limlim 11
001
Definisi Turunan
Misalkan fungsi y = f (x) terdefinisi untuk setiap nilai x di
sekitar x = a.
Turunan dari fungsi f (x) pada x = a:
h
afhafxf
h
)()(lim)(
0
/
Misalkan fungsi y = f (x) terdefinisi dalam daerah asal
RxxD f ` .
Turunan dari fungsi f (x) terhadap x ditentukan oleh
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
/
Bentuk Lain Notasi Turunan.
Notasi Leibniz:
h
xfxxf
dx
dy
dx
df
x
)()(lim
0
Rumus – Rumus Turunan Fungsi Aljabar
[1] kxf )( ……… 0)(/ xf ( k konstanta real)
[2] xxf )( …….. 1)(/ xf
[3] naxxf )( ……….
1/ )( nanxxf (a dan n bilangan
real)
[4] )(.)( xukxf ………… )(.)( // xukxf ( k
konstanta real)
[5] )()()( xvxuxf … )()()( /// xvxuxf
[6] a. )().()( xvxuxf ………
)().()().()( /// xvxuxvxuxf
b. )().().()( xwxvxuxf ..
)().().()(.)().()( /// xwxvxuxwxvxuxf
)().().( / xwxvxu
[7] )(
)()(
xv
xuxf ……
2
///
)(
)().()().()(
xv
xvxuxvxuxf
[8] nxuxf )()( …………..
)(.)()( /1/ xuxunxfn
,(n bilanganreal)
Turunan Kedua, Turunan Ketiga, sampai Turunan
ke–n
Notasi yang digunakan
Turunan pertama
/y atau )(/ xf atau
dx
dy atau
dx
df
Turunan kedua
//y atau )(// xf atau
2
2
dx
yd atau
2
2
dx
fd
Turunan ketiga
///y atau )(/// xf atau
3
3
dx
yd atau
3
3
dx
fd
dst ……………..
Rumus – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Fungsi f(x) Turunan fungsi )(/ xf
sin x cos x
cos x xsin
tan x x2sec
cot x xec2cos
sec x sec x. tan x
cosec x xxec cot.cos
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Misalkan fungsi f kontinu (sinambung) dalam interval I
dan diferensiabel di setiap titik dalam interval tersebut.
[1] Jika )(/ xf > 0 untuk Ix , maka fungsi )(xf naik
pada I.
[2] Jika )(/ xf < 0 untuk Ix , maka fungsi f (x) turun
pada I.
[3] Jika )(/ xf = 0 untuk Ix , maka fungsi f (x)
stasioner pada I
Catatan:
(1). a). )(/ xf > 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf
selalu naik semua Rx
b). )(/ xf < 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf
selalu turun semua Rx
(2). a). )(/ xf 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf
tidak pernah turun untuk
semua Rx
b). )(/ xf 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf
tidak pernah naik untuk
semua Rx
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -59 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan 1
1. Persamaan garis singgung pada kurva :
652 23 xxxy di titik yang berabsis 1
adalah:…
a. 5x + y + 7 = 0 d. 5x + y – 7 = 0
b. 5x + y + 3 = 0 e. 3x – y – 5 = 0
c. 5x + y – 7 = 0
2. Fungsi f yang dirumuskan dengan
32435 xxx)x(f turun pada interval..
a. 33
1 x d. 3
1x atau x > 3
b. 3
13 x e. 3
1x atau x > 3
c. 3x atau
3. Diketahui 24
1
x)x(f , maka
t
)x(f)tx(flimt
0 adalah…
a. x8
1 d.
b. 3
8
x e.
32
1
x
c. 3
8
x
4. Nilai stasioner kurva 56 23 xxy adalah…
a. -5 dan 27 d. -5 dan 37
b. -37 dan 5 e. -27 dan 5
c. 0 dan 27
5. Ditentukan xcosxsin
xsin)x(f
dan )x(f 1
adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari
)(f 12
11 adalah…
a. 3
1 d.
2
3
b. 3
2 e. 3
c. 1
6. Akar – akar persamaan 032 ppxx
adalah 1x dan 2x .
Nilai minimum dari 2122
21 2 xxxx dicapai untuk
p = …
a. 16 d. 4
b. 12 e. 2
c. 8
7. Ditentukan kurva dengan persamaan
qpxxy 23 2 , garis y = -5x – 1
menyinggung kurva dititik dengan absis -1.
Maka nilai p = …
a. 2 d. -2
b. 2
1 e. -8
c. 2
1
8. Diketahui fungsi x
x)x(f
62
Turunan pertama fungsi f(x) adalah )x(f 1=..
a. xx
x2
6 d. x
xx
23
1
2
3
b. xx
x2
3 e. x
xx
2
3
2
3
c. xx
x23
1
9. Fungsi f(x) = 142 2 xxx naik pada
interval…
a. 1 < x < 3 d. x < -3 atau x > -1
b. 1 < x < 4 e. x < 1 atau x > 4
c. x < 1 atau x > 3
10. Fungsi 23242 3 xx)x(f dalam interval
13 x memiliki nilai maksimum sama dengan
…
a. 1 d. 41
b. 9 e. 55
c. 39
11. Sebuah roket ditembakkan vertikal keatas, mencapai
tinggi b meter setelah t detik, dirumuskan dengan 25400 tt)t(h
Tentukan tinggi maksimum roket itu…
a. 8000 meter d. 24000 meter
b. 1200 meter e. 36000 meter
c. 1800 meter
12. Diketahui fungsi )x(sin)x(f 322 dan
turunan pertama dari f adalah 1f . Maka )x(f 1
=…
a. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
b. 2 sin (2x +3) cos (2x + 3)
c. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
d. -2 sin (2x + 3 ) cos ( 2x + 3)
e. -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3 )
3
1x
32
1
x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -60 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
13. Jika y = x
cos3
, maka dx
dy = …
a. x
sin3
3 d. x
sinx
332
b. x
sinx
332
e. x
sinx
33
c. x
sinx
33
14. Sketsa garfik fungsi 23 5xxy dinyatakan
seperti gambar dibawah ini. Gradien garis singgung
kurva tersebut di titik P adalah…
P x
a. 1 d. 4
b. 25 e. 27
2500
c. 25
15. Nilai maksimu dari : f(x) = 2 cos 2x + sin x. Untuk
x0 adalah…
a. 2 d. -6
b. 3 e. -12
c. 4
16. Diketahui f(x) = 2
6 2
x
x, x 2 dan
1f adalah
turunan pertama dari f. Nilai )(f 11…
a. -5 d. 3
b. -3 e. 7
c. 2
17. Jika f(x) = 4 + 4 4 3x + 3
3 2x maka nilai
)(f 11…
a. 9 d. 6
b. 8 e. 5
c. 7
18. Diketahui 13
322
x
xy maka
dx
dy adalah…
a.
22
2
13
2186
x
xx d.
22
2
13
2186
x
xx
b.
22
2
13
2186
x
xx e.
22
2
13
21818
x
xx
c.
22
2
13
21818
x
xx
19. Seekor semut merayap pada bidang XOY. Pada saat
berada dititik x(t) dengan x (t) = t2
dan y(t) =
542 tt . Semut itu akan berjarak minimum ke
sumbu X pada saat jarak semut itu dari sumbu y
sama dengan…
a. 2 d. 5
b. 3 e. 6
c. 4
20. Jika x
xy3
12 , maka turunan y terhadap x
adalah..
a. xx
x1
d. xxx 6
11
b. xxx
11 e.
xxx
16
c. xx
x
6
16
21. Bila xxxxx)x(f 3, maka )x(f 1
a. 13
42
2
3 xx
b. 132
3
42
2
3 xxxx
c. 13
3
4
2
3 xxxx
d. 13 xx
e. 13
3
4
2
3 xx
22. Fungsi 1
12
2
x
x)x(f , jenis dan titik ekstrimnya
adalah:…
a. minimium ( -1, 0) c. minimum (0, -1 )
b. maksimum (0, -1) d. maksimum (0, -1)
c. minimum ( -1, 0) dan maksimum (0, -1)
23. 1y adalah turunan pertama dari
xsin
xcosy
4
21 2
maka ...y 1
a. – cosec 2x cot 2x d. sec 2x cosec 2x
b. cosec 2x cot 2x e. ecxcosxtg22
1
c. xcot 22
1
24. Fungsi 13 23
3
54
4
1 xxx)x(f akan
turun pada interval…
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -61 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
a. 0 < x < 2 atau x > 3
b. x < 0 atau 2 < x < 3
c. -3 < x < -1 atau x > 0
d. x < -1 atau 0 < x < 6
e. -1 < x < 0 atau x > 6
25. Koordinat titik balik maksimum dari kurva yang
persamaannya: 403632 23 xxxy
adalah…
a. (3, -12) d. (6, 68)
b. (-3, -13) e. (-2, 4)
c. (2, -116)
26. Apabila garis singgung kurva y = 2x
bax pada (-
1, 1) sejajar garis 4x – y + 65 = 0 maka (a + b ) = …
a. -1 d. 2
b. 0 e. 3
c. 1
27. Jika xxy 43 2 maka yxyyx 22 1112 =
a. -8x d. 0
b. 8x e. 26x
c. 26x
28. Nilai balik maksimum fungsi
842 23 xxx)x(f adalah…
a. 8 d. 20
b. 12 e. 24
c. 16
29. Persamaan garis siinggung kurva 4
12 2 xxy
dititik Q yang tegal lurus garis y = -x + 3 adalah….
a. 12
1 xy d. 2
1 xy
b. 12
1 xy e. 2
1 xy
c. 2
1 xy
30. Turunan dari )x(siny 24 2 adalah…
a. )xsin()x(cosx 223 2216
b. )xcos()x(sinx 223 2216
c. )xcos()x(cosx 223 2216
d. )xsin()x(sinx 223 2216
e. )xcos()x(sinx 223 2216
31. Kurva 793 23 xxx)x(f tak pernah
turun untuk x …
a. 0x d. 3x atau 1x
b. 13 x e. -3 < x < 1
c. 3x atau x 1
32. Jika xsinx)x(f 2432
maka )x(f 1 = ..
a. 6 ( 3x + 4) + 2 cos 2x
b. 2 (3x + 4 ) + 2 cos 2x
c. (3x + 4) { sin 2x + (3x + 4) cos 2x}
d. (3x + 4) { 3 sin 2x + (3x + 4) cos2x}
e. (6x + 8) {3 sin 2x + (3x + 4) cos 2x }
33. xsinxcos)x(f 33 22 maka 6
111f = …
a. – 6 d. 18
b. 0 e. 36
c. 12
34. Jika 2
53 2
x
x)x(f maka )(f)(f 060 1 =
a. 5 d. -3
b. 4 e. -1
c. 3
35. Nilai maksimum fungsi
xcosxsin)x(f 2332
1 )x(2
0
adalah…
a. 34
9 d. 3
4
3
b. 34
7 e. 3
4
1
c. 34
5
36. Persamaan garis singgung pada kurva
3
12xcosy dititik 32
1
4
1 , adalah…
a. 32
1
4
1 xy
b. 32
1
4
1 xy
c. 32
1
8
1
2
1 xy
d. 32
1
4
1 xy
e. 32
1
4
1 xy
37. Grafik fungsi 1033 23 xxx)x(f untuk
x R .
a. Turun pada suatu selang
b. Mempunyai maksimum pada x = 1
c. f(x) mempunyai minimum pada x = 1
d. f(x) mempunyai nilai stasioner pada x = 1
e. semual salah
38. Nilai stasioner fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = 4
cos x – 3 sin x + 2 untuk x0 adalah…
a. 7 d. 5
3
b. 5
23 e. -3
c. 2
39. Nilai minimum dari
724683 234 xxxx)x(f pada
22 x adalah…
a. – 42 d. 1
b. – 26 e. 6
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -62 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
c. – 15
40. Turunan pertama dari
xsinxcosxsinxcosy 2222 22 adalah…
a. -2 ( 2 sin 4x + cos 4x)
b. -4 ( sin 4x + cos 4x )
c. -2 ( 2 sin 2x + cos 2x )
d. – 4 ( sin2x + cos 2x )
e. 2 (2 sin 4x – cos 4x )
Latihan 2
1. Apabila 112 x
x)x(f , maka )x(f 1
adalah…
a. 2xx d.
b. e. 22 xx
c. 12 2 xx
2. Jika y = f(x), maka turunan pertama dari y terhadap x
didefinisikan sebagai:
a. h
)x(f)hx(flimh
0
b. x
h)x(flimh
0
c. x
h)x(flimh
0
d. )h(f
)x(f)hx(flimh
0
e. x
)x(f)hx(flimh
0
3. Jika 12 x)x(f , maka:
p
)x(f)px(flimp
0 sama dengan…
a. 0 d. 2x
b. 1 e. 3x
c. 2
4. ...x
)a(f)xa(flimx
0
a. )a(f 1 d. )x(f 1
b. )a(f 1 e. f(a)
c. )x(f 1
5. Jika xcosx
x)x(f 22
13
2
2 , maka
)x(f 1….
a. xsinx
x 21
63 d. xsin
xx 2
16
3
b. xsinx
x 21
63 e. xsin
xx 2
4
13
c. xsinx
x 24
16
6. Jika xsinxy 32 , maka dx
dy…
a. xcosxxsinx 2232
b. xcosxxsinx 3332 2
c. xcosxxsinx 232
d. xsinxxcosx 223
e. xsinxxcosx 332 2
7. Jika 12
x
xy , maka ....
dx
dy
a. d.
22
2
1
1
x
x
b. 222 12 )x(x e.
x
x
2
1 2
c.
22
2
1
13
x
x
8. Bila xsin
xcosy
1, maka ...
dx
dy
a. xcos
xsin
1 d.
xsin
xcos2
1
b. tgx e. xsin
xcos2
1
c. xsin
xcos2
1
9. Turunan pertama fungsi 232 xxcosy
adalah…
a. 231 2 xxsiny
b. 231 2 xxsiny
c. 2321 226 xxsinxxy
d. 2321 226 xxcosxxy
e. 2321 226 xxsinxxy
12 2 xx2 xx
x2
1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -63 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
10. Turunan pertama dari y = 23xsin sama dengan…
a. 2 sin 3x d. 3 sin 6x
b. sin 6x e. -3 sin 6x
c. 2 cos 3x
11. Turunan pertama dari x
siny1
adalah…
a. cos x d.
b. e. 2
1
x
cosx
c. x
cos1
12. Jika xsin
y1
, maka ....dx
dy
y
1
a. tg x d. cos x
b. –ctg x e. –sin x
c. sin x
13. Jika x
)x(f2
, maka ...)x(xf)x(f 12
a. 0 d. x
b. 1 e. xx
c. x
14. Jika 71045 64 3 xx)x(f , maka
....)(f 11
a. 7 d. 18
b. 10 e. 20
c. 15
15. Jika ditentukan xcosxsin)x(f , maka
....)(f
2
1
a. 0 d. 2
1
b. 1 e. 2
1
e. -1
16. Jika 6
53 2
x
x)x(f maka )(f)(f 060 1
a. 2 d. -1
b. 1 e. -2
c. 0
17. Diketahui 723 2 axx)x(f dan
011 )(f maka ...)(f 21
a. 1 d. 6
b. 2 e. 8
c. 4
18. Diketahui cbxax)x(f 2 dengan
21 )(f , 001 )(f dan 211 )(f .
Fungsi tersebut adalah…
a. 12 x d. 2
12
2
1 xx
b. 322 xx e. 22 xx
c. 322 xx
19. Persamaan garis singgung pada parabola
1225 2 xxy dititik (2, 12) adalah…
a. y = 32 – 22x d. y = 22x – 42
b. y = 22x – 32 e. y = 22x + 32
c. y = 22x – 262
20. Persamaan garis singgung kurva 22 1 xy
dititik dengan absis x = 1 adalah…
a. y = 8x – 4 d. y = 4x
b. y = 8x – 31 e. y = 9x
c. y = x – 1
21. Persamaan garis singgung kurva xy 2 dititik
dengan absis 4 akan memotong sumbu X dititik …
a. (0, 8) d. (-4, 0)
b. (2, 0) e. (4, 0)
c. (-2, 0)
22. Garis singgung terhadap y = xx 23 2 pada titik
aaa 23, 2 dan garis singgung terhadap
xxy 62 2 pada titik aa,a 62 2 sejajar,
maka harga a = …
a. 2
3 d. 2
b. 3
2 e. 1
c. 8
5
23. Grafik fungsi 26 xx)x(f akan naik dalam
interval…
a. x < 0 atau x > 6 d. 2 < x < 6
b. 0 < x < 6 e. x > 6
c. x < 2 atau x > 6
24. Fungsi 23 3xxy turun dalam interval…
a. x > 0 d. 0 < x < 2
b. x > 2 e. x > 3
c. 0 < x < 3
25. Untuk x 0 fungsi 731 xxy adalah…
a. naik pada x < 3 dan turun pada x > 3
b. naik dalam selang x < 3 dan turun pada
x > 7
c. turun pada x < 3 dan naik pada x > 7
d. naik untuk semua nilai x
e. turun pada semua nilai x
xcos
tgx2
2
xsin
1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -64 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
26. Diketahui x + 3y = 4 dan z = x.y
Harga z akan maksimum apabila:
a. x = 2 dan y = 3
2 d. x = 2
7 dan y = 6
1
b. x = 2 dan y = 3
1 e. x = 2
11 dan y = 9
1
c. x = 2
5 dan y = 2
1
27. Untuk memproduksi x unit baranf perhari diperlukan
biaya x.xx 0003002000 23 rupiah. Jika
barang itu harus diproduksikan, maka biaya produksi
per unit yang paling rendah tercapai bila perhari
diproduksi….
a. 1000 unit d. 3000 unit
b. 1500 unit e. 4000 unit
c. 2000 unit
28. Jika y adalah jarak yang ditempuh dalam waktu t dan
dinyatakan dengan 12 23 ttty , maka
kecepatan menjadi 21 pada wakru t = …
a. 3,0 d. 1,5
b. 2,5 e. 1,0
c. 2,0
29. Reaksi terhadap obat serangga t jam setelah
disemprokan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai
bilangan tak negative yang sama dengan 3215 tt .
Reaksi maksimum dicapai..
a. 12 jam sebelum reaksi habis
b. 10 jam sebelum reaksi habis
c. 8 jam sebelim reaksi habis
d. 6 jam sebelum reaksi habis
e. 5 jam sebelum reaksi habis
30. Nilai – nilai stasioner fungsi 4229 xx)x(f
dicapai pada x sama dengan…
a. -1, 0, atau 1 d. -8, 9 atau 3
b. -4 atau 4 e. 8 atau 9
c. -9, 8 atau 9
31. Dua kandang berdampingan ( seperti gambar
dibawah ini )masing – masing dengan ukuran x m, y
m dan luasnya 12 2m
x
y
Agar panjang pagar yang diperlukan
sesedikit mungkin, maka panjang x dan y
berturut – turut adalah…m
a. 2 dan 6 d. 3 dan 4
b. 6 dan 2 e. 32 dan 32
c. 4 dan 3
32. Tentukan letak titik P pada penggal garis OB
sehingga 5
1 panjang AP + 8
1 Panjang PB menjadi
minimum.
A (0, 4
P(x, 0) B(10, 0)
a. 039
15 , d. 039
30 ,
b. 039
20 , e. 039
35 ,
c. 039
25 ,
33. Nilai maksimum dari xxx)x(f 452 23
dalam interval 13 x adalah…
a. 28 d. 12
b. 27 e. 7
c. 19
34. Nilai maksimum dari xpxy 2 adalah 10,
maka nilai p =…
a. 9 d. 18
b. 17 e. 19
c. 10
35. Suatu benda bergerak dengan lintasan
ttt)t(s 223
3
1 maka kecepatan benda
pada saat percepatan nol adalah…
a. 2 d. 5
b. 3 e. 6
c. 4
36. Diketahui f(x)=232 x maka )x(f 11
= ….
a. 2
2
32
9
x
x
b. 222 32329 xxx
c. 222 32329 xxx
d.
22
2
3232
9
xx
x
e.
22
2
3232
9
xx
x
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -65 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
37. Diketahui xcos
xsiny
2
2
, maka =…
a. xcos
xsinxcosxsin4
32
b. xcos
xsinxcosxsin6
32 32
c. xcos
xsinxcosxsin4
32 32
d. xcos
xsinxcosxsin4
32 32
e. xcos
xsinxcosxsin6
32 32
38. Turunan pertama dari : 452 1243 xx)x(F
adalah…
a. )x(xx 2401243342
b. )x()x(x 8301243 342
c. 86181243 2342 xx)x(x
d. 3230361243 2322 xxxx
e. 3230841243 2322 xx)x(x
39. Sebuah garis g dibuat menyinggung kurva 22pxy
pada titik (a, b). Persamaan garis yang melalui (c, d)
dan tegak lurus g adalah ..
a. 4pa(y – d) + (x – c) = 0
b. 2pa(y – d) + (x – c) = 0
c. (y – d) + 4pa (x – d) = 0
d. ( y – d) -4pa (x – c ) = 0
e. ( y – d) – 2pa ( x – c ) = 0
40. Nilai stasioner dari fungsi
101232 23 xxx)x(f adalah…
a. – 17 dan 20 d. 17 dan 20
b. -20 dan 17 e. -10 dan -7
c. -20 dan -17
dx
dy
Top Related