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M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK( ultima modifica 11/12/2013)
MULTI-FISICHE DEL PLASMA
1
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Fisica del plasmaIl plasma , conosciuto come il " quarto stato della materia ", è una
sostanza in cui molti degli atomi o molecole sono effettivamente
ionizzati, permettendo alle cariche di fluire liberamente.
I plasmi hanno proprietà fisiche specifiche rispetto ai solidi, liquidi e
gas.
Poiché circa il 99 % dell'universo conosciuto si trova nello stato di
plasma ed è esistente dal Big Bang, il plasma potrebbe essereconsiderato il primo Stato della Materia.
Un gas è completamente ionizzato e diventa plasma quando esso è
interamente composto da ioni ed elettroni , componenti che hanno
molte proprietà comuni ad un normale gas estremamente caldo equesto consente che possano essere descritti per mezzo della
densità delle par ti cel le e della temperatura, utilizzando per diversi
aspetti fisici, gli stessi modelli matematici usati per i gas.
M. Usai 2
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Fisica del plasma
Ma il plasma presenta due proprietà specifiche che lo caratterizzano.
In primo luogo la densità delle particelle non va intesa come densità di
particelle neutre, ma come densità di carica elettr ica degli elettroni e
degli ioni (che separati danno luogo a forze di campo elettrico di
ripristino molto grandi) per cui le densità di carica elettronica degli
elettroni e degli ioni distribuiti in tutto il plasma possono essereconsiderate circa uguali.
La seconda proprietà è la capacità di trasportare corrente in presenza di
un campo elettrico , come risulta dalla velocità di deriva o drift
***degli ioni ed degli elettroni. In particolare nel Tokamak questa
proprietà fa si che la corrente del plasma genera una aliquota
importante del campo magnetico complessivo poloidale B p.
*** velocità di deriva o drift è la velocità del moto ordinato delle cariche che costituiscono la
corrente
M. Usai 3
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Proprietà diamagnetiche del plasma
M. Usai 4
Inoltre ricordando che una barretta
di materiale diamagnetico si dispone
in direzione trasversale rispetto al
campo a cui esse è sottoposta,
riducendo a sua volta il campo,
analogamente nel plasma le orbite giroscopiche delle particelle cariche
inducono una variazione del campo di segno contrario rispetto a quella
del campo principale e quindi lo riducono inducendo gli stessi effetti di un
materiali diamagnetico per cui si può ritenere che↓
i l plasma èdiamagnetico .
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Fisica del plasma
Quando la corrente del plasma attraversa il campo magnetico le
singole particelle sono vincolate nel loro movimento.
Esse si muovono parallelamente al campo magnetico, ruotando nelle
orbite di Larmor perpendicolari al campo.
M. Usai 5
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Fisica del plasma
La concentrazione delle particelle in un Tokamac è circa 1020 m-3.
I plasmi Tokamak tipicamente raggiungono temperature di diversi keV,
(1keV corrisponde a 10 milioni di gradi Kelvin).
Il campo magnetico di base è il campo magnetico toroidale prodotto dalle
bobine esterne al plasma.
Il campo poloidale prodotto dalla stessa corrente del plasma toroidale è
tipicamente 10 volte più piccolo.
Le forze dovute alla pressione del plasma sono equilibrate dal campo
magnetico esterno e la stessa corrente del plasma che attraversa ilcampo magnetico da origine essa stessa a una forza magnetica che può
bilanciare il gradiente di pressione del plasma.
M. Usai 6
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Fisica del plasma
Molti processi nel plasma sono determinati dalle collisioni delle particelle. Le coll isioni tra ioni ed elettroni causano una resistenza
elettr ica, che induce un riscaldamento ohmico del plasma .
Si definisce resistività elettrica ρ del plasma :
La densità di potenza ohmica puntuale o locale è:
M. Usai 7
JρE
plasmadelraggioa
etorodelraggioR
ntoriscaldameditotale potenzalaP
essendo
)(Jρ(r)2)(Jρ(r))( p
0
22
dr r R P r r a
R
a
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Fisica del plasma
La resistività del plasma, che cresce con la temperatura e la densità di
corrente sono limitate dalla stabilità magnetoidrodinamica per cui non
è utilizzato il riscaldamento ohmico per portare il plasma alle
condizioni di ignizione.
Le collisioni producono trasporto di particelle ed energia che possonocausare la perdita di ioni e di elettroni dal plasma.
All’aumentare delle temperatura i tempi di collisione degli elettroni e
degli ioni diminuiscono e conseguentemente aumentano le perdite percollisione e anche il riscaldamento ohmico.
M. Usai 8
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Fisica del plasma
Le instabilità sono classificate in relazione agli effetti prodotti sul plasma,
per esempio instabilità dovute ai profili di pressione ( pression driven )
nella fig.(a) e instabilità dovute alle correnti nella fig (b) ( current
driven ).
Un’altra classificazione è fatta rispetto allo spostamento della superficiedel plasma: f ixed boundary ( hanno effetto all’interno della colonna
del plasma e non incidono sui movimenti della superficie del plasma) e
free-boundary (comportano lo spostamento dell’interfaccia plasma-
vuoto)M. Usai 9
PlasmaPlasma
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Fisica del plasma
Allo stato di plasma è legato alla distanza minima tra elettroni e ioni
necessaria perchési verif ichi una separazione completa tra di loro e
non si abbia la neutralizzazione delle cariche come nei gas, questa
distanza è chiamata lunghezza di Debye .
Uguagliando l’energia Fd , dovuta alla forza F di attrazione tra ioni ed
elettroni, per la distanza d tra ioni ed elettroni, alla energia interna del
plasma si ottiene la lunghezza di Debye:
M. Usai 10
C10×1,602eelettronedell'caricae
volumediunità perelettroniedioninumeroossia
10nelettroniedionideglidensitàn
keVin plasmadelatemperatur T
F/m10 628171878,854=εvuotoneladielettriccostanteε
mm1010λ Tokamacdei plasmii permne
Tελ
19-
320
12-00
12D
1/2
2
0D
m
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Analisi Fisica del Plasma
Lo studio del plasma è molto complesso e comporta l’analisi di fenomenidi natura fisica diversa. I principali campi della fisica da analizzare per
studiare il plasma sono:
• Elettromagnetismo,
• Fluidodinamica e
• Magnetoidrodinamica (dinamica dei fluidi elettricamente conduttori)
• Trasmissione di energia termica (nei solidi, nei liquidi, nei gas, nei plasmi)
• Cinetica dei gas (al variare della pressione e della temperatura)
• Criogenia (studia come ottenere basse temperature e il comportamento dei materialialle basse temperature)
M. Usai 11
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M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK 12
Le equazioni fondamentali relative ai campi elettrici e
magnetici sono le Equazioni di Maxwell.
in forma dif ferenziale vettori ale e in f orma integrale vettori ale
Legge di F araday
Legge di Ampere
Legge di Gauss
tδ
BδE
tδ
DδH J
D
0B
SC
sdd t
BdldE
C S
sdt
DJldH
dvρsdDVS
0 sd BS
Elettromagnetismo
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M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK 13
10998,2μ
1 ;10854,8 ;104μ
HμB Eμ
1 EεD :con
ερE
0B
tδ
Eδ
c
1JμB
tδBδE
ρD
0B
tδ
DδJH
tδ
BδE
E eB difunzioneinevettorialaledifferenziformainMaxwellidiequazioniLe
8
00
120
70
020
0
0
20
s
mc
m
F
m
H
c
Elettromagnetismo
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M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK 14
f A'A
cVV'
:staticicampii perlibertàdigradodelzionetrasformadellaazionegeneralizzf A'A
t
f VV'
:invariatirimangono campiilibertàdigradodelzionetrasformalaconma,E de Bcampi
stessigligenerare possonocheAeV potenzialideivaloridiversiesistono
tδ
AδVE
AB
:cui per,A magneticoevettorial potenzialedel
eVelettricoscalare potenzialedelfunzioneinespressoessere puòEvettoreIl
Elettromagnetismo
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M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK 15
cariche. particellealleenergiadientotrasferimilarappresentJE termineIl
P:Poyntingdivettoredalespresso
netica,elettromagenergiadellaflussodeldivergenzalaètermine primoIl
tδ
Eδ
c
1JμB
tδBδE
temponelenergiadidensitàdellavariazione
dellaeespressionl'trovasiMaxwelldirelazionidalle
21
21
:magneticaeelettricaenergiadidensitàdella
sommaallaugualeèneticaelettromagenergiad'densitàLa
0
0
20
0
2
20
B E
J E B E
t
w
B E εwwwme
Elettromagnetismo
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M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK 16
.EedB campodigrandezzeoeffetti""gli
questidae AeV potenzialii
calcolaredi Jeρ :cause""lenote
consente matematicomodelloQuesto
.-V cheottienesi tδ
AδVE
:relazionedelladivergenzalacalcolando
e A cheottienesi AB
:relazionedellarotoreil calcolando
0,AchetaleAscegliendostatici,campiiPer
0
2
02
J
Elettromagnetismo
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Equazioni della teoria cinetica
M. Usai 17
L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento.
Le equazioni della teoria cinetica descrivono il plasma in movimento in termini
di funzione di distr ibuzione f(x,v,t) che è una funzione di 7 variabili. Per diversi
scopi è adatta per descrivere il plasma in termini di variabili del fluido come ladensità delle particelle n(x,t) , la velocità del fluido v(x,t) e la pressione p(x,t) che
sono funzioni di sole 4 variabili. Le equazioni richieste sono derivate per ciascuna
specie di particella dalla equazione cinetica di coll isione del plasma o
equazione di Fokker- Plank:
fluido.delvelocità' particelladellavelocitàcon
''
: particellasullaagiscechemagneticoeelettricocampodiforzala
Fconindicandoe
j particelladellamassa
j particelladellacarica
vv
t
f
v
f
m
F
x
f v
t
f
Bv E e
m
e
t f
v f Bv E
me
x f v
t f
c j
j
j
j
c j
j
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAKM. Usai 18
Le equazioni cinetiche e quelle più complesse e specifiche che da queste
possono essere derivate, risultano valide solo se sufficientementelocalizzate, ossia se il percorso libero medio delle particelle è
sufficientemente piccolo rapportato alle lunghezze macroscopiche del
sistema in esame.
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAKM. Usai 19
La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei f luidi elettr icamente
conduttori .Essa descrive il comportamento dinamico del fluido del plasma come unico
fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due entità separate.
Idea di base e le condizioni della Magnetoidrodinamica MHD consistno i nel
considerare
la corrente complessivamente neutra che trasporta il plasma ma costituita da:
- ioni che trasportano massa, quantità di moto ed energia e
- elettroni che trasportano corrente ed energia termica.
Magnetoidrodinamica MHD
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
Magnetoidrodinamica MHD
M. Usai 20
Le equazioni della Magnetoidrodinamica sono basate su:
• equazione di conservazione della massa ,
• dalla equazione del moto e
• dalle equazioni di Maxwell e
• dalla equazione delle trasformazioni adiabatiche, considerando il plasma
resistivo.
Quindi da tali equazioni si possono ottenere:
le Equazioni dell’ MHD ideale, che
legano l’effetto ( velocità ) alla causa ( campi elettro-magnetici )
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
Magnetoidrodinamica MHD
M. Usai 21
La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei fluidi elettr icamente
conduttori . Con essa si descrive il comportamento dinamico del fluido del
plasma come unico fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due
entità separate. Dalla equazione di conservazione della massa , dalla equazionedel moto e dalle equazioni di Maxwell e dalla equazione delle trasformazioni
adiabatiche, considerando il plasma resistivo, si possono ottenere le seguenti
Equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto ( velocità ) alla causa ( campi
elettro-magnetici )
) pressioneerenza dia una diff si verificounti quand tra due p(presente
sionete di presal gradienta forza dovu p laessendo
0BvE v pγt
p
Et
B pBJ
t
vρ
μ
BJ vρt
ρ
0
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Plasma in equilibrio
M. Usai 22
Le equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi
elettro-magnetici) possono essere utilizzate per determinare le condizioni econfigurazioni di equilibrio del plasma, imponendo le condizioni di regime
stazionario , per le quali le grandezze non variano nel tempo ossia si
trascurano i termini delle derivate temporali dove compare l’operatore .
Quindi considerando la velocità del plasma costante , si ottengono le
equazioni del plasma in equil ibri o .
0B
JμB μ
BJ
BJ p pBJt
vρ
0
0
t
0
t
v
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Plasma in equilibrio
M. Usai 23
La prima equazione,
stabilisce l’equilibrio delle forze. Essa afferma che quando una corrente fluisce
perpendicolarmente al campo magnetico, essa esercita una forza sull’elementofluido.
In condizioni di equilibrio questa forza bilancia la pressione cinetica del plasma,
ossia in ogni punto nel plasma, il gradiente puntuale o locale della pressione è
bilanciato dalla forza di Lorenz.
In particolare , per
pressione,digradientealdovutafluidosulagenteforzala pessendo
BJ p
forze)dalleliberaregione( dicondizioneunaverificasi
retta)lineastessasulla(giacciono parallelisonoBeJcampii quando0 p
region force free
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Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
M. Usai 24
Si consideri il toro del plasma equivalente a un cilindro di lunghezza pari alla
lunghezza dell’asse del toro, riportando lo studio al caso semplice in cui lacorrente fluisce in un cilindro nella direzione del suo asse, coincidente con l’asse
di riferimento z. Questa configurazione semplifica lo studio dell’effetto pinch
(effetto di compressione del plasma)z
r
B
J
a
z
r
p(r)
J
B
a
BJ p
per a < 0: J = 0→ p = 0
per a > 0: J ≠ 0→ p ≠ 0
2
22
2
12
)(a
r
a
I r p
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Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
M. Usai 25
In regime stazionario la forza delle correnti diamagnetiche bilanciala forza dovuta al gradiente di pressione
BJ p
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Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
M. Usai 26
BJr
p
z
Il campo magnetico è puramente azimutale ( tangente alle linee di forza ossia alle
circonferenze di raggio r, perpendicolari a z) per cui Jz e B sono sempre perpendicolari e il bilancio delle forze è espresso da:
Per calcolare come varia p(r) occorre definire come varia Jz(r).
Supponendo che la densità di corrente Jz= J0 sia costante nel plasma di raggio a enulla all’esterno per r>a, risolvendo l’equazione per una geometria cilindrica si ha:
plasmanelfluiscechecorrentelaèJIdove
ar per2
ar per2
JμB
20
2
0
a
r
I B
r
a
I B
o
o
BJ p
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Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
M. Usai 27
2
22
2
zz
14
)(
dr BJ p(r) BJr
p
a
r
a
I r p
Per determinare p(r) occorre integrare la relazione seguente, utilizzando le
espressioni della induzione trovate:
Questo semplice calcolo dell’equilibrio non contiene una analisi della stabilità .
Mostra che esiste uno stato per δv/ δt = 0, ma non si sa se questa è una soluzione
stabile. In realtà si tratta di una soluzione instabile che può diventare stabileapplicando un campo magnetico nella direzione z.
In questo caso le linee del campo magnetico risultante si avvolgono a spirale intorno
all’asse magnetico.
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
Plasma in equilibrio per una configurazione
cilindrica lineare ( Linear Pinch)
M. Usai 28
2
22
2
2
22
2
22
2
22
42
2
22
zz
14
)(
2
22
2
2
r
2)(
dr r
2
dr r
2
)(
dr BJ p(r) BJr p
a
r
a
I r p
r
a
I
a
I a
a
I
a
I
a
I
a
I r p
a
I
a
I
a
I r p
a
r
a
r
a
r
a
r
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak
M. Usai 29
Se si piega il cilindro per formare un toro si ottiene la geometria del tokamak.
Per un rapporto R/a grande, il Tokamak può essere approssimato a una sequenzacilindri collegati uno di seguito all’altro. Le proprietà delle linee di flusso
risultante sono caratterizzate dal rapporto di sicurezza q:
Dalle condizioni di stabilità risulta che → q >1.
Per es. per il Tokamak ASDEX Upgrade con
dimensioni tipiche: a=0.5m R=165m q = 3 e
questo valore comporta che Bt=10 B p.
toro.nel presentemagneticocampodel
lineealleoriferisconsiche rotazioni
polidalirotazionidinumero
toroidalirotazionidinumeroq
Ra
z
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak
M. Usai 30
I l fattore di sicurezza q,è così chiamato a causa del ruolo che essa svolge nella
determinazione stabilità. In termini generali, i valori più elevati di q portano ad
una maggiore stabilità. In condizioni di equilibrio asialsimmetrico ciascuna linea
del campo magnetico ha un valore di q. La linea del campo segue un percorso
elicoidale come va il giro del toro sulla sua superficie magnetica associato. La
linea del campo segue un percorso elicoidale mentre ruota intorno al toro sulle
sue superfici magnetiche.
La linea del campo segue un percorso elicoidale come va il giro del toro sulla
sua superficie magnetica associato. Se ad un certo angolo toroidale, Ф, la linea
di campo ha una certa posizione nel piano poloidale, tornerà quella posizione
nel piano poloidale dopo una variazione dell'angolo toroidale ΔФ.
Il valore q di queste linee di campo è definito da:
2
q
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak
M. Usai 31
Pertanto, se una linea di campo magnetico ritorna alla sua posizione iniziale dopo
esattamente una rotazione attorno al toro, quindi q = 1.
Se si muove più lentamente nel direzione poloidale ha un valore maggiore di q. I valorirazionali di q svolgono un ruolo importante nella stabilità. Se q = m / n, dove m e n sono
numeri interi, la linea di campo si unisce su se stessa dopo m rotazioni toroidale e n
rotazioni poloidali toro.
La condizione relativa a q = 2 linea è illustrato nella seguente figura:
a) linea di campo superficiale (sulla superficie del toro) per q=2,
b) percorso di integrazione poloidale,c) anello di flusso contenente il flusso toroidale e poloidale.
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak
M. Usai 32
Il fattore di sicurezza plasma, q, è importante nelle geometrie toroidali di
confinamento magnetico. Esso è anche espresso come il numero di volte cheuna linea di campo magnetico gira intorno un toro (percorso lungo toroidale) per
ogni giro di linea di campo poloidale (percorso breve poloidale).
Il fattore di sicurezza è così chiamato perché a valori maggiori corrispondono
rapporti più elevati di campo toroidale rispetto alla corrente di plasma (e quindi
al campo poloidale), e di conseguenza meno rischi di instabilità del plasmadovute alle correnti di deriva.
Se R>>a vale l’approssimazione della configurazione cilindrica
del plasma e risulta che:
e per la sicurezza deve essere q>1
po l
T
B
B
R
r
q
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
The Grad-Shafranov Equation
M. Usai 33
Per un sistema asimmetrico come il Tokamak il modello matematico che descrive
il bilancio delle forze, deve essere adattato e modificato, tenendo conto deiseguenti concetti:
calcolato.statoèflussoilqualenellageometriadallatementeindipendenflusso,divalore
unicounassegnatoessere puòflussodisuperficieciascunaachecomportaCiò.arbitraria
essere puòAdisceltalaquindieCcurvastessadalladelimitataèAarbitrariasuperficielase
costanteun valorehadA,JdA,Bflussodiintergraleogni0,BJ Poichè
scalari.flussodicon valorieetichettatessere possonoe
flussodisuperficichiamatesonosuperficiQueste annulla.siintegralidegli parteogni
superficiequestasugiacionoBeJ poichè,superficiequestasuCcurvaarbitrariauna per
costante pressioneconsuperficisulleun valorehannodAJdA,BflussodelintegraliGli
costante. pressioneasuperficisugiacionoBeJdicampodilineeleQuindi
0B pJ p BJ p Essendo
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10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
The Grad-Shafranov Equation
M. Usai 34
Sul toro si distinguono due tipi di curve di campo: quelle che si avvolgono sul toro
in senso toroidale e quelle avvolgono sul toro in senso poloidale. Considerando una
curva che si avvolge nella direzione toroidale, integrando l’induzione nel dominioo superficie delimitato da questa curva, si ottiene il flusso magnetico poloidale ψ e
la corrente totale poloidale I pol.
R
z
ϕ
Entrambe le funzioni sono costanti sulla
superficie di flusso le componenti del campo
magnetico poloidale e la corrente poloidale
possono essere calcolate come:
.toroidaledirezionein
lunghezzadiunità per poloidaleflusso con
;r 2
IμB ;
z
ψ
2π
1B ;
z
ψ
r 2
1B
po l0
po lzr
m
Vs
Con queste espressioni il bilancio delle forze diventa l’equazione di Grad -Shafranov
: ψ)(ψ)(ψ)'(2
z
ψ
R
ψ1*- '2
202
2
0 po l pol I I p R
R R R
8/18/2019 10c 1 Eaiee Fusione Nucleare Tokamak
35/37
10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
The Grad-Shafranov Equation
M. Usai 35
8/18/2019 10c 1 Eaiee Fusione Nucleare Tokamak
36/37
10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
The Grad-Shafranov Equation
M. Usai 36
8/18/2019 10c 1 Eaiee Fusione Nucleare Tokamak
37/37
10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK
The Grad-Shafranov Equation
M Usai 37
Il bilancio delle forze r isul ta espresso dalle equazione di Grad-Shaf ranov :
L’equazione è non lineare e per risolverla
1. si possono specificare p(ψ) e I pol(ψ) e quindi calcolare ψ(R,z) e inoltre
2. dovranno essere definite le condizioni al contorno.
• Se il plasma è circondato da un contenitore vuoto perfettamente conduttore, esso
costituisce una superficie di flusso e quindi ψ=cost nel contenitore, determina la
forma e la posizione del contorno del plasma.
• Per soddisfare queste condizioni, si deve aggiungere una soluzione della
equazione omogenea cioè una funzione con
Tale campo è prodotto da un avvolgimento esterno, cioè la soluzione della equazione
di Grad-Shafranov con un contorno fissato e funzioni profilo che ci dicono come
definire le correnti esterne di controllo per mantenere il plasma in equilibrio.
ψ)(ψ)(ψ)'(2z
ψ
R
ψ1*- '2
202
2
0 po l pol I I p R
R R R
0- ext
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