MAKALAH KONSEP DASAR MATEMATIKA III
ROTASI DAN TRANSLASI
Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Perkuliahan
pada Universitas Kristen Satya Wacana
Disusun oleh:
Akbar Alvian (292013288)
Ali Ikhsani (292013511)
Cahya Romana Putra (292013283)
PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2015
KATA PENGANTAR
Segala Puji serta Syukur kita panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha
Esa karena atas rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas
makalah yang berjudul Rotasi dan Translasi yang bermanfaat bagi kita
semua. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Konsep
Dasar Matematika III pada Universitas Kristen Satya Wacana dan dapat
digunakan sebagai bekal untuk melaksanakan pembelajaran di Sekolah
Dasar khususnya sebagai tugas profesional.
Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada semua pihak yang
telah membantu baik secara moril maupun materiil, sehingga penyusunan
makalah ini dapat terselesaikan, yaitu kepada :
1. Wahyudi, selaku dosen pembimbing yang telah memberikan
bimbingan selama ini kepada kami.
2. Yohana Setiawan , selaku asisten dosen pembimbing yang telah
memberikan bimbingan selama ini kepada kami.
3. Orang tua yang telah memberikan dukungan doa dan motivasi pada
kami.
4. Teman-teman kelas I angkatan 2013 yang telah memberi bantuan,
masukan dan dukungan dalam proses pembelajaran.
Kami menyadari makalah ini bukanlah karya yang sempurna karena
memiliki banyak kekurangan baik dalam hal isi maupun sistematika dan
teknik penulisan. Oleh sebab itu penulis mengharapkan kritik serta saran
yang membangun demi kesempurnaan makalah yang kami buat.
Besar harapan kami makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua
yang membaca.
Salatiga, 9 April 2015
Daftar Isi
Kata Pengantar ii
Daftar isi ii
Bab 1 Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang Transformasi Geometri 1
1.2 Tujuan dan Manfaat Rotasi dan Translasi 2
Bab 2 Pembahasan 3
2.1 Pengertian Translasi 3
2.2 Contoh Gambar Translasi 4
2.3 Contoh masalah dalam Translasi dan Penyelesaiannya 5
2.4 Translasi Titik 6
2.5 Translasi Ruas Garis 7
2.6 Translasi Bidang Datar 8
2.7 Pengertian Rotasi 9
Bab 3 Penutup 10
3.1 Kesimpulan 10
3.2 Saran 10
Daftar Pustaka 11
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman
babilonia, yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15
dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-18 sampai dua
decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola
member dorongan untuk mempelajari bagaiman dan apa yang tak
berubah oleh suatu transformasi. Transformasi geometri adalah
suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan
suatu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar
atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap
sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y). secara aljabar transformasi ini
ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks
𝑇 (𝑥𝑦) = (
1 00 −1
) (𝑥𝑦) = (
𝑥−𝑦)
Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu
konfigurasi geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu
transformasi. Transformasi geometri meliputi translasi (pergeseran),
rotasi(perputaran) Namun, pada makalah ini penulis mengkhususkan
pada translasi (pergeseran). Dimana Suatu titik atau sistem
mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap
titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Bagaimana definisi dari suatu translasi?
1.2.2 Bagaimana penerapan translasi dalam kehidupan sehari-hari?
1.3 Tujuan Penulisan
1.3.1 Mengetahui definisi dari suatu translasi
1.3.2 Mengetahui apa itu rotasi
1.3.3 Mengetahui apa itu translasi
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Transalasi
a. Definisi translasi
Sebelum kita mendefinisikan translasi kita harus tahu definisi
transformasi lebih dulu. Transformasi adalah aturan secara
geometris yang dapat menunjukkan bagaimana suatu bangun dapat
berubah kedudukan dan ukurananya berdasarkan rumus
tertentu.Translasi itu sendiri merupakan suatu transformasi yang
memindahkan setap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru
sepanjang ruas garis dan arah tertentu.
b. Contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari
Salah satu contoh translasi yang bisa kita lihat adalah pergeseran
atau perpindahan orang pada eskalatot dan lift. Peralatan yang
biasa dipakai mal-mal ini berguna untuk memindahkan orang dari
satu lantai ke lantai lain.
Selain itu, penggunaan konsep translasi sering digunakan
programmer game dalam membuat games. Penerapan translasi
terlihat pada pergerakan objek saat mengikuti visualisasi dari
persamaan garis
2.2 Contoh Gambar Translasi
Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3,
9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:
Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat
digunakan rumus sebagai berikut :
dimana :
a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)
2.3 Contoh masalah dalam Translasi dan Penyelesaiannya
1. Translasi
q
pT1 memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)
a. Tentukan translasi tersebut !
b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2),
B(3, 4), dan C( 5, 6) oleh translasi tersebut.
c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan
lagi dengan
1
12T Tentukan bayangannya!
d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah
jawabannya dengan jawaban c?
Jawaban
a. 6,42,12,1 1'1
AqpAAq
pT
Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3
2+q = 6 sehingga q = 4
Jadi translasi tersebut adalah
4
31T
b. translasi
4
31T artinya artinya memindahkan suatu titik 3
satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan
mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC
dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai
berikut
10,2'46,35'6,5
8,6'44,33'4,3
6,4'42,31'2,1
4
3
4
3
4
3
1
1
1
CCC
BBB
AAA
T
T
T
Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik
A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)
2.4 Translasi Titik
Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di
kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang
minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris
kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan
perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.
Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat
berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri
dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai
2
2
Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan.
Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke
kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai
1
2
Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada
koordinat Cartesius. Dengan translasi
2
2, diketahui tempat
duduknya inggu ini pada titik N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan
translasi ini sebagai berikut
2,2',2
2
baNbaN
Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan
b
aT1
maka diperoleh bayangannya byaxP ,' . Secara matematis, ditulis
sebagai berikut.
byaxPyxPb
aT
,, '1
Contoh
bayangan titik P (3,5) ditranslasikan
3
2 adalah…..
jawab:
55),2(35,3 '3
21
PPT
= P’(1,8) Jadi bayangan titik P (3,5) adalah
P’(1,8)
2.5 Translasi Ruas Garis
Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan konsep
translasi titik di atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan untuk
menyelesaikan translasi ruas garis. Cara pertama yaitu dengan memandang
garis tersebut dipandang sebagai himpunan titik.
Sedang cara kedua adalah dengan menggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-
a)+b dengan a,b >0 dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan
dan b satuan ke atas.
Contoh :
Tentukan peta dari garis y = 2x + 1 yang digeser menurut vektor (2,1)
Jawab:
Cara pertama
Garis y = 2x + 1 dapat dipandang sebgai himpunan titik (x, 2x + 1),
x ∈ R. Jika titik ini digeserkan menurut vektor (2,1) maka
diperoleh
𝑇 (𝑥
2𝑥 + 1) = (
𝑥 + 2(2𝑥 + 1) + 1
) (𝑥 + 22𝑥 + 2
) = (𝑡
𝑓(𝑡))
Untuk menentukan peta garis ini, misalkan t = x + 2 , maka x = t -2,
Sehingga 2𝑥 + 2 = 2(𝑡 − 2) + 2 = 2𝑡 − 2 ganti kembali t dengan x, maka peta
garis y = 2x + 1 yang ditranslasikan menurut vektor (2,1) adalah garis y =
2x + 2
Cara kedua
Gunakan sifat bahwa grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b >0 diperoleh
dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke
atas. Jika grafik y = 2x + 1 digeserkan sejauh 2 satuan kekanan dan I
satuan ke atas, maka hasilnya adalah grafik : 𝑦 = (2(𝑥 − 2) + 1) + 1 = 2𝑥 −
4 + 2 = 2𝑥 − 2
5,3''16,14''6,4'1
12
AAAT
9,3''110,12''6,4'
7,5''18,16''8,6'
1
1
1
1
2
2
AAA
BAA
T
T
Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5),
B''(5,7) dan C''(-3,9)
Translasi Ruas Garis Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan
konsep translasi titik di atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan
untuk menyelesaikan translasi ruas garis. Cara pertama yaitu dengan
memandang garis tersebut dipandang sebagai himpunan titik.
Sedang cara kedua adalah dengan menggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-
a)+b dengan a,b >0 dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan
dan b satuan ke atas.
Contoh :
Tentukan peta dari garis y = 2x + 1 yang digeser menurut vektor (2,1)
Jawab:
Cara pertama
Garis y = 2x + 1 dapat dipandang sebgai himpunan titik (x, 2x +1),x ∈ R.
Jika titik ini digeserkan menurut vektor (2,1) maka diperoleh
𝑇 (𝑥
2𝑥 + 1) = (
𝑥 + 2(2𝑥 + 1) + 1
) (𝑥 + 22𝑥 + 2
) = (𝑡
𝑓(𝑡))
Untuk menentukan peta garis ini, misalkan t = x + 2 , maka x = t -2,
Sehingga 2𝑥 + 2 = 2(𝑡 − 2) + 2 = 2𝑡 − 2 ganti kembali t dengan x, maka peta
garis y = 2x + 1 yang ditranslasikan menurut vektor (2,1) adalah garis y =
2x + 2
Cara kedua
Gunakan sifat bahwa grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b >0 diperoleh
dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke
atas. Jika grafik y = 2x + 1 digeserkan sejauh 2 satuan kekanan dan I
satuan ke atas, maka hasilnya adalah grafik : 𝑦 = (2(𝑥 − 2) + 1) + 1 = 2𝑥 −
4 + 2 = 2𝑥 − 2
2.6 Translasi Bidang Datar
Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan
dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.
Contoh :
Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5).
Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T
=
3
1 jawab :
titik O (0,0)
31
T
O’(0+1, 0+3) = O’(1,3)
titik A (3,0)
31
T
A’(3+1, 0+3) = A’(4,3)
titik B (3,5)
31
T
B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)
1. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan
2
5T !
Jawab
Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4
sehingga diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4
Translasikan titik P dengan
2
5T sehingga diperoleh
2,5'',2
5
baPbaP
Jadi titik P'(a-5, b+2)
Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.
b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.
Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan
Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4
(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4
Jadi bayangan dari (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan dengan
2
5T adalah (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4
2.7 Pengertian Rotasi
a) Definisi Rotasi
Rotasi (perputaran) Perubahan posisi dalam rotasi diperoleh dengan
cara memutar obyek dengan mengacu pada pusat perputaran tertentu.
Rotasi berbeda dengan translasi karena perubahan posisi pada translasi
tidak mengacu pada suatu titik tertentu. Keistimewaan dari rotasi
adalah jarak antara titik pusat dengan masing-masing bagian dari obyek
yang diputar akan selalu tetap, seberapa jauh pun obyek itu diputar.
Sifat - sifat rotasi
a. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar
sama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
b. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan
perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan
sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini
disebut transformasi isometri.
b) Contoh Rotasi dalam kehidupan sehari hari
Salah satu contoh rotasi yang bisa kita lihat adalah perputaran pda
jarum jam dinding atau ada pada waktu saat kita memutar sebuah
benda .
Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:
+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga
A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga
A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga
A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)11
BAB III
PENUTUP
3.1 KESIMPULAN
Translasi merupakan suatu transformasi yang memindahkan setap titik
dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah
tertentu.
Salah satu contoh translasi yang bisa kita lihat adalah pergeseran atau
perpindahan orang pada eskalatot dan lift. Selain itu, penggunaan konsep
translasi sering digunakan programmer game dalam membuat games.
Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan
b
aT1
maka diperoleh bayangannya byaxP ,' . Secara matematis, ditulis
sebagai berikut.
byaxPyxPb
aT
,, '1
Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan konsep translasi titik di
atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan
translasi ruas garis. Cara pertama yaitu dengan memandang garis tersebut
dipandang sebagai himpunan titik. Sedang cara kedua adalah dengan
menggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b >0 dengan mengeser
fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke atas.
Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapatdilakukan
dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.
3.2 SARAN
Setelah membahas materi mengenai translasi penulis mengharapkan agar
kedepan materi translasi dikembangkan lebih jauh terutama mengenai
sifat-sifat dari translasi itu sendiri. Selanjutnya penulis juga sendiri
mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun.
Daftar Pustaka
https://deking.wordpress.com/2007/12/14/transformasi/
http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/
Top Related