Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 1
ĐỀ SỐ 01
Câu 1. Cho biểu thức: 2 2
2 ( 1)( 2 )
x xP
x x x x x x x
a. Rút gọn P .
b. Tính P khi 3 2 2x .
c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2. Giải phương trình:
a. 2 10 27 6 4x x x x
b. 2 2 2 4 0x x x x x
Câu 3.
a. Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 0y xy x
b. Cho 1; 0x y , chứng minh:
3
3 3
1 1 1 3 23
( 1) 1
x x x
x y y x y
c. Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002 1A n n là số nguyên tố.
Câu 4.
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác
C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt
đường thẳng CD tại K.
a. Chứng minh: 2 2
1 1
AE AF không đổi
b. Chứng minh: os sin .cos sin .cosc AKE EKF EFK EFK EKF
c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho
khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.
Câu 5.
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 2
Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba
điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng
d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.
ĐỀ SỐ 02
Câu 1 (4 điểm)
1. Rút gọn biểu thức A = 15 6 6 33 12 6 .
2. Cho x = 3 5 7 3 5
2 2
. Tính P(x) = 2 2011( 1)x x .
3. Chứng minh rằng đa thức Q(x) = 2 2010(2010 2009 1)x x chia hết cho đa thức x + 1.
Câu 2 (4 điểm)
1. Giải bất phương trình 2 1
181
x x
x
.
2. Giải hệ phương trình 2 2
1
2
x y xy
x y xy
Câu 3 (4 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4;2), B(–7;0), C(0;–4), D(–6;–3), E(3;–2), F(2;–7).
1. Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng qui.
2. Gọi M là một điểm trên đường thẳng AD và điểm H ( 5; 3 5) . Chứng minh: MH 7.
Câu 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC 0( 90 )B C , Ax là một tia bất kì nằm giữa hai tia AB và AC. Vẽ BD
và CE cùng vuông góc với Ax (D và E cùng nằm trên Ax). Gọi I là giao điểm của Ax và BC.
1. Chứng minh rằng khi Ax là tia phân giác của góc A thì ta có AD ID
AE IE .
2. Xác định vị trí của Ax để BD + CE đạt giá trị lớn nhất.
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 3
3. Chứng minh: 2 2
A asin
bc . Từ đó suy ra:
1. .
2 2 2 8
A B Csin sin sin .
Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Đường tròn (O; R)
tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F. Điểm H di chuyển trên cung nhỏ EF (H khác E, F).
Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
1) Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN. Chứng minh AE= AF= p.
2) Chứng minh hai tam giác MOB và ONC đồng dạng.
3) Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất.
ĐỀ SỐ 03
Câu 1 (4 điểm).
a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy , biết rằng hai chữ số đó hơn kém nhau 5 đơn vị và
2 2
xxyy xx yy .
b) Biết a – b = 7. Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1).
Câu 2 (4 điểm).
a) Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 ab+bc+ca+2 2 2( ) ( ) ( )
2 12 2011
a b b c c a .
b) Với x >0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M= 4x2 – 3x +1
4x+ 2011.
Câu 3 (4 điểm).
a) Giải phương trình: 4 1x – 3 2x = 3
5
x .
b) Cho hệ phương trình: 2
3
2
x my m
mx y m
.
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 – 3x + y > 0.
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 4
Câu 4 (6 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có cạnh BC cố định còn
điểm A thay đổi trên (O). Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tia AO kéo dài cắt (O) tại F. Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì đường thẳng HF luôn đi
qua một điểm cố định.
c) Giả sử AB > AC. Chứng minh AB2 + CE2 > AC2 + BD2.
d) Đường phân giác của góc A cắt BC tại K và (O) tại L. Gọi I là giao điểm của đường trung trực
đoạn AK với AO. Chứng minh rằng (I, IA) tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với BC tại K.
Câu 5 (2 điểm). Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một
tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?
ĐỀ SỐ 4
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: 2 1 1
:21 1 1
x x xP
x x x x x
. Với x > 0, x 1.
a. Rút gọn biểu thức P. b)Tìm x để 2
7P . c) So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
a. Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x = 3 31 23 513 23 513
13 4 4
b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013
và 1 1 1 1
2013a b c thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013.
Bài 3: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: 2 7 6 5 30x x x .
b. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 5
3
2 2 2
( )ab bc ca a b cP
abca b c
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC,
E AB, F AC).
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B.
b. Chứng minh rằng: 3
3
AB BE
CFAC .
c. Chứng minh rằng: 33 32 2 2BC CF BE .
d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.
Bài 5: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số
nguyên.
ĐỀ SỐ 5
Bài 1 ( 5,5 điểm ):
1) Cho biểu thức:3
4.
1
1
1
2 x
xxx
xP
a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P
2) Giải phương trình: 22 3 5 2 3 12 14x x x x
Bài 2 ( 2,5 điểm ): 1) Chứng minh rằng với Nn thì 12 nn không chia hết cho 9.
2) Cho x, y, z thỏa mãn
02
0342
222
23
yyxx
yyx Tính Q = x2 + y2.
Bài 3 ( 3 điểm ): 1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 6
2) Cho a, b, x, y thoả mãn: 122 yx và bab
y
a
x
144
. CMR:
10031003
2006
1003
2006
)(
2
bab
y
a
x
Bài 4 ( 4 điểm ) 1) Cho hệ phương trình
1 2
1 1
x m y
m x y m
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
2
b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y.
2) Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 CMR:
2 2 2
1x y z
y z z x x y
Bài 5 ( 5 điểm ): 1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung ngắn
nhất của (O) đi qua K.
2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và
C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa
đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và
HC.
c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba
điểm I, A, K thẳng hàng.
d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh
rằng MC, AH, EF đồng quy.
ĐỀ SỐ 6
Bài 1: (5,0điểm)
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 7
Cho biểu thức 1 1 2x x 1 2x x x x
A :1 x1 x x 1 x x
1. Tính giá trị của A khi x 17 12 2 . 2. So sánh A với A .
Bài 2 : ( 4,0 điểm )
1. Giải phương trình: 3 28 1 46 10 5 4 1x x x x x
3 28 1 46 10 5 4 1x x x x x
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 28 23 16 44 16 1180 0x y x y xy
3. Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2 2
x y z 16 2 (1)
x y z 8 (2)
x y z 2 2 (3)
Bài 3 ( 4,0 điểm )
1. T ính tổng S =1 1 1
....2 1 1 2 3 2 2 3 2013 2012 2012 2013
2. Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 1 1 1
1.x y z Chứng minh rằng:
.x yz y zx z xy xyz x y z
Bài 4 : ( 5,0 điểm )
Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M
là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
1.Tính 2 2 2 2sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC
2.Chứng minh: 2 (2 )OK AH R AH
3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: ( 2,0 điểm )
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 8
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, góc
ACB bằng α, góc AMB bằng . Chứng minh rằng: sin os 1 sinc
ĐỀ SỐ 7
Bài 1: (6,0 điêm)
Cho biểu thức:
22 3 2 6:
3 5 6 3 2 3
x x x xQ
x x x x x x
1. Tìm x để : 2Q
2. Tìm giá trị của x để: 32 4 . 3 8x P x
Bài 2: (4,0 điêm)
1. Tính.
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1
1 2 2 3 2011 2012 2012 2013S
2. Cho các số thực a,b,c và 3a b c . Chứng minh: 4 4 4 3 3 3a b c a b c
Bài 3: (4,0 điêm)
1. Giải phương trình sau: xxxx 11313 2
2. Tìm x, y là số nguyên dương thỏa mãn: 1 1 1 1 1 1
10 100x yx y
Bài 4 (5,0 điêm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường
tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 9
2. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu
thức 6 6sin cosP . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.
3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và
3
3
BE CE
BF DF .
Bài 5: (1,0 điêm)
Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,….. (Số đứng sau được viết 48
vào giữa số đứng trước). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính
phương.
ĐỀ SỐ 8
Bài 1: (6 điểm)
Cho biểu thức A =
3
5
5
3
152
25:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
1 Tìm số nguyên x để A nguyên
2. Với x 0 , x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5
)16( xA
Bài 2: (4 điểm)
1. Tìm số n nguyên dương thoả mãn 6)223()223( nn
2. Cho a, b là các số dương thoả mãn 21 ba Tìm giá trị lớn nhất của A = a
b
b
a
Bài 3: (4 điểm)
1. Giải phương trình
431532373 2222 xxxxxxx
2. Cho 55)5 22 yyxx Tính giá trị biểu thức E = x + y
Bài 4: (5 điểm)
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 10
Cho đường tròn (0,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên
đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm)
dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Chứng minh H di động trên 1 đường tròn cố định
c) Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ
nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 5: (1 điểm)
Trong các tứ giác lồi có độ dài 3 cạnh bằng nhau và bằng a (a là số dương cho trước).
Hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
ĐỀ SỐ 9
Bài1: (6 điểm).
1. Cho biểu thức: 1 2 1
1 1 1
x x xP
x x x x x
. Tìm giá trị lớn nhất của
2Q x
P
2. Tính giá trị của 2011 2012 20132 3A x x x Với 5 2 5 2
3 2 25 1
x
Bài 2: (4đ)
1. Tìm cặp số ;x y , sao cho y nhỏ nhất và thỏa mãn: 2 25 2 4 3 0x y y xy
2. Cho ; 0x y và thỏa mãn 1x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2
1 24A xy
x y xy
3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x y z và 32 - 3x2 = z2 = 16 - 4y2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức zy + yz + zx
Bài 3: (4đ)
1. Giải phương trình: 2 5 5x x
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 11
2. Giải hệ:
2 2 2 2
2 2 2 2
185
65
x xy y x y
x xy y x y
3. Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho 1
22
4
yx
xlà số nguyên dương.
Bài 4.(5đ) Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC.
Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
a) Chứng minh rằng OMN HAB . Tìm tỷ số đồng dạng.
b) So sánh độ dài AH và OM.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng HAG OMG .
d) Chứng minh ba điểm H,G,O thẳng hàng và 2GH GO .
Bài 5. (1đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC cố định, ˆACB .Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức 3 4S Sin Cos .
ĐỀ SỐ 10
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 12
Câu I. (4,0 điểm): Cho biểu thức P =
x
x
x
x
xx
xx
3
3
1
32
32
3
1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.
Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2222 11051162 xxxxx
b) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn:
115196
42
22
33
yxyx
yxyx
c) Tìm số tự nhiên n để 120022012 nnA là số nguyên tố.
Câu 3. (3,0 điểm) 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i. abcaccbba và ii. 333333333 cbaaccbba
Chứng minh rằng: 0abc .
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4321 pppp là số hữu tỷ.
Câu 4. (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không
chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các
đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường
thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T.
a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC
đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng PQ2 = QR.ST.
2. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 108o. Chứng minh AC
BC là số vô tỉ.
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Cho ba số dương a, b và c thỏa 1 cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang
Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 13
accbba
cabcabcbaA
222
22214
b) Giả sử 1121 ,.....,, aaa là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau
và thỏa mãn 407...... 1121 aaa . Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các
số dư của các phép chia n cho 22 số 11211121 4,.......,4,4,,.....,, aaaaaa bằng 2012 ?
Top Related