Automation Systems Group E183-1Institute of Computer Aided Automation
Vienna University of Technologyemail: [email protected]
01 - ZahlendarstellungTechnische Grundlagen der Informatik
bersicht
2
Zahlensysteme Der ideelle Zahlenbegriff Zahlenumwandlungen Rechnen im binren System Potenzieren Darstellung negativer Zahlen
1. Zahlensysteme
3
Das dezimale Zahlensystem (Zehnersystem) ist ein sogen. Stellenwertsystem
Es wurde von den Indern um 600 n.Chr. entwickelt 750 n.Chr. wurde es nach Persien gebracht und verbreitete sich dann
im gesamten arabisch beeinflussten Raum Eine Zahl wird dargestellt im Zahlensystem mit der Basis (-res
Zahlensystem) durch
. . . 3210. 12. . .
33 22 11 00 11 22. . .
beliebige, positive Zahl grer 1 ganze Zahlen im Intervall 0 bis 1 (= Ziffern)
1. Zahlensysteme
4
Bsp.: 123.1210ist ident mit der gewohnten Notation 123.12 fr das gelufige Zehnersystem:
Bsp.:
2 10 . 1 2 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2
1 2 3 . 1 2 10 1 102 2 101 3 100 1 101 2 102
100 20 3 0.1 0.02
123.1210
5 2 0 . 3 6 5 62 2 61 0 60 3 61 180 12 0 0.5
192.510
1. Zahlensysteme
5
Unterschied zwischen Ziffer und Zahl: Im Zehnersystem ist z.B. 27 eine Zahl, die aus den Ziffern 2und 7 besteht
Zahlensystem mit Basis 2 binres Zahlensystem Zahlensystem mit Basis 16 hexadezimales Zahlensystem Eine Arbeit aus dem Jahre 1703 von G.W. Leibniz gilt als
Geburtsstunde des binren Zahlensystems
Darin wurde die Durchfhrung der vier Grundrechnungsarten im binren Zahlensystem ausfhrlich behandelt
1. Zahlensysteme
6
Beispiele von binren Zahlen und ihrem dezimalen quivalent
Statt der Ziffern 0, 1 schreibt man auch (Low), (High)
binr - dezimal
binr 2
dezimal 10
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
1001 9
1111 15
10001 17
10101 21
1. Zahlensysteme
7
Das hexadezimale Zahlensystem besteht aus 16 Ziffern, aber im Zehnersystem existieren nur die Ziffern 0 bis 9
Daher erweitert man die Dezimalziffern zu 0,1,2, , 8,9, , , , , ,
Beispiele von hexadezimalen Zahlen und ihrem dezimalen quivalent
hexadezimal - dezimal
hexadezimal 16
dezimal 10
10 161A 261F 31FF 255
7FFF 32767
1. Zahlensysteme
8
binr hexadezimal - dezimal
binr 2
hexadezimal 16
dezimal 10
0 0 01 1 1
10 2 211 3 3
100 4 4101 5 5110 6 6111 7 7
1000 8 81001 9 9
binr 2
hexadezimal 16
dezimal 10
1010 A 101011 B 111100 C 121101 D 131110 E 141111 F 15
10000 10 1610001 11 1710010 12 18
2. Der ideelle Zahlenbegriff
9
Unterschied zwischen dem eigentlichen, ideellen Zahlenbegriff und der Darstellung einer Zahl
Welches ist die richtige Zahl: 19 oder ?
Der Unterschied zwischen ideellen Zahlen und ihrer Darstellung lsst sich am einfachsten anhand einiger Eigenschaften illustrieren Eine Zahl 1ist eine Primzahl (= nur durch 1 und teilbar) Diese Eigenschaft ist unabhngig von der Darstellung und daher eine
Eigenschaft der ideellen Zahl Eine ganze Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre Einerstelle gleich 0 ist Diese Regel ist abhngig von der Darstellung der Zahl im Zahlensystem Bsp.: 5206 5 62 2 61 0 60 19210
Einerstelle der Zahl bei Basis 6 gleich 0Aber die Zahl 19210ist nicht durch 1010teilbar
3. Zahlenumwandlungen
10
Prinzipiell unterscheidet man zwischen Konversion von ganzen Zahlen und Konversion von Zahlen mit Nachkommastellen.
Man kann jede reelle Zahl als Summe einer ganzen Zahl und einer Zahl, deren Vorkommateil gleich 0 ist, darstellen
Wir beschrnken uns im Folgenden darauf, Vor und Nachkommateil getrennt umzurechnen (gehen also davon aus, dass jeweils der Voroder Nachkommateil 0ist)
3. Zahlenumwandlungen
11
Rechnen im Quellsystem oder Zielsystem
Quellsystem ZielsystemZahl Basis
Zahl Basis
10. 12 10. 120 0
3. Zahlenumwandlungen
12
Bsp.: 610in das binre Zahlensystem umrechnen Das Stellenwertsystem der binren Zahlendarstellung lautet
. . . 3210 2 323 222 121 020
3 2 2 2 1 2 0
Man erkennt, dass 0durch 2 teilbar sein muss d.h., dass 0 als Rest bei der Division von durch 2 auftritt
Fr 610: 0 0 Wir definieren weiter 1 , dann gilt analog zu vorher, dass 1 als
Rest bei der Division von 1 durch 2 ermittelt werden kann
Fr 610: 1 3und 1 3: 2 1und die letzte Stelle 2 1
610 1102 Diese berlegungen lassen sich fr das -re Zahlensystem
verallgemeinern
Dezimal in binr umrechnen (Vorkommateil)
3. Zahlenumwandlungen
13
Die Zahl habe die Quelldarstellung . . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl . . . Vorgehensweise
Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von in Zieldarstellung Berechnung von
oder Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von b in Zieldarstellung Hornerschema. . .
Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem
3. Zahlenumwandlungen
14
Quelldarstellung:10110111 Gesucht: Zieldarstellung Umwandeln der Ziffern 0, 1 in Zieldarstellung 0, 1 Umwandeln der Basis 10 in Zieldarstellung 2 Variante 1:
Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem: Beispiel 1 (1 von 2)
1 0 1 1 0 1 1 121 27 0 26 1 25 1 24 0 23 1 22 1 21 1 20 18310
3. Zahlenumwandlungen
15
Variante 2: HornerschemaKonversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem: Beispiel 1 (2 von 2)
1 0 1 1 0 1 1 12
1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1
2 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1
5 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1
11 2 0 2 1 2 1 2 1
22 2 1 2 1 2 1
45 2 1 2 1
91 2 1
18310
3. Zahlenumwandlungen
16
Quelldarstellung:17 Gesucht: Zieldarstellung 10 Umwandeln der Ziffern 116, 16, 716in Zieldarst. 110,1210, 710
Umwandeln der Basis 10 in Zieldarstellung 16 Variante 1:
Variante 2: Hornerschema
Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Zielsystem: Beispiel 2
1 7161 16 12 161 7 160 45510
1 716
1 16 12 16 7
28 16 7 45510
3. Zahlenumwandlungen
17
Die Zahl habe die Quelldarstellung . . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl . . . Vorgehensweise:
Umwandeln der Basis B in Quelldarstellung b Berechnung von
0
1
2
. . .
Wobei der Vorgang abzubrechen ist, wenn. . . //. . ./ 0
Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Quellsystem
steht fr grte ganze Zahl
Rest von
3. Zahlenumwandlungen
18
Quelldarstellung: 2910 Gesucht: Zieldarstellung 2 Umwandeln der Basis 102in Quelldarstellung b 210 Berechnung:
0 292 1
1 142 0
2 72 1
3 32 1
4 12 1
Ergebnis: 2910 111012
Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Quellsystem: Beispiel 1
LSB
MSB
3. Zahlenumwandlungen
19
Quelldarstellung: 2910 Gesucht: Zieldarstellung 16 Umwandeln der Basis 1016in Quelldarstellung b 1610 Berechnung:
0 2916 13
1 116 1
1310 110 116 Ergebnis: 2910 1
Konversion von ganzen Zahlen Rechnen im Quellsystem: Beispiel 2
LSB
MSB
3. Zahlenumwandlungen
20
Die Zahl habe die Quelldarstellung 0. 12. . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl 0. U12. . . n Vorgehensweise
Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von b i in Zieldarstellung Berechnung von 11 22
oder Umwandeln der Ziffern in Zieldarstellung Umwandeln von b in Zieldarstellung Hornerschema. . . / 1/ 2/ 1/
Konversion vom Nachkommteil - Rechnen im Zielsystem
3. Zahlenumwandlungen
21
Quelldarstellung: 0.11012 Gesucht: Zieldarstellung 0. 10 Umwandeln der Ziffern 02, 12in Zieldarstellung 010, 110 Umwandeln der Basis 10in Zieldarstellung 2 Variante 1:
Variante 2: Hornerschema
Konversion vom Nachkommteil - Rechnen im Zielsystem: Beispiel
0. 1 1 0 121 21 1 22 0 23 1 24 0.812510
14)0(3) 1(2) 1(1)1/2 0/2 1/2 1/2
0.5/2 1/2 1/2
1.25/2 1/2
1.625/2 0.812510
3. Zahlenumwandlungen
22
Die Zahl habe die Quelldarstellung 0. 12. . . Gesucht: Zieldarstellung der Zahl 0. U12. . . n Vorgehensweise
Umwandeln der Basis in Quelldarstellung Berechnung von1
2
3
. . .
Abbruch bei 0oder gem Vorgabe (falls keine endliche Entwicklung; also z.B. auf 4 Nachkommastellen)
Konversion vom Nachkommteil Rechnen im Quellsystem
3. Zahlenumwandlungen
23
Quelldarstellung: 0.812510 Gesucht: Zieldarstellung 0. 2 Umwandeln der Basis 102 in Quelldarstellung 210 Berechnung:
1 0.8125 2 1.625 1
2 0.625 2 1.25 1
3 0.25 2 0.5 0
4 0.5 2 1 1
5 0 2 0 Abbruch
Ergebnis:0.812510 0.11012
Konversion vom Nachkommteil Rechnen im Quellsystem: Beispiel 1
LSB
MSB
3. Zahlenumwandlungen
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Quelldarstellung: 0.81510 Gesucht: Zieldarstellung 0. 2 bis zur fnften Nachkommastelle Umwandeln der Basis 102 in Quelldarstellung 210 Berechnung:
1 0.815 2 1.63 1
2 0.63 2 1.26 1
3 0.26 2 0.52 0
4 0.52 2 1.04 1
5 0.04 2 0.08 0
Ergebnis:0.81510 0.11010 2
Konversion vom Nachkommteil Rechnen im Quellsystem: Beispiel 2
LSB
MSB
3. Zahlenumwandlungen
25
Aus den Bits Viererblcke vor und nach dem Komma bilden (jeweils vom Komma weg)
Viererblcke einzeln ins hexadezimale System umwandeln Gegebenenfalls sind fhrende Nullen zu ergnzen oder Nullen am
Ende der Zahl anzuhngen Die Konversion in umgekehrter Richtung ist genauso leicht zu
realisieren Wegen der leichten Konversion und der kompakten Darstellung ist das
hexadezimale Zahlensystem in der Informatik weit verbreitet
Konversion zw. binrer und hexadezimaler Darstellung
3. Zahlenumwandlungen
26
Konversion zw. binrer und hexadezimaler Darstellung: Beispiele
(0010 1001 1111 . 1100 0110 2 2 9 . 6 16
10 1010 1110 . 1111 0001 1 2 0010 1010 1110 . 1111 0001 1000 2 2 . 1 8 16
bin hex0000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 71000 81001 91010 A1011 B1100 C1101 D1110 E1111 F
4. Rechnen im binren System
27
Die Ziffern werden von rechts nach links Stelle fr Stelle aufaddiert Das Zwischenergebnis wird unten notiert, jedoch nur die letzte Stelle. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so entstehen bertrge, die
beim Abarbeiten der jeweils nchsten Spalte bercksichtigt werden mssen.
Vgl. z.B. Dezimalsystem (Basis: 10):
Im Binrsystem funktioniert das sehr hnlich
Die Addition im dezimalen Zahlensystem
3 2 4 5
11 9 2
3 4 3 7
4. Rechnen im binren System
28
Im binren Zahlensystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1 Entsprechend einfach sind die Additionsregeln:
Es bleibt nur mehr ein Fall zu behandeln, nmlich: 1 1 ?
Problem hnlich wie im dezimalen System, bei den Rechnungen wo es zu einem bertrag kommt (5 5 ?oder 7 8 ?)
Daher:
Die Addition im binren Zahlensystem
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 10
4. Rechnen im binren System
29
Die Addition im binren Zahlensystem Beispiel 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1 0
0 0 00 1 11 0 11 1 10
4. Rechnen im binren System
30
Die Addition im binren Zahlensystem Beispiel 2
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 11 10 1 1
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 11 11 10 1 1 10 11 11 10 1 1 10 11 11 10 1 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1
0 0 00 1 11 0 11 1 10
Hier tritt ein bertrag auf, der dadurch entsteht, dass 12 12 12 102 12 112berechnet werden muss
4. Rechnen im binren System
31
Die Addition im binren Zahlensystem Beispiel 3
1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 1 11 1 1 1 11 11 1 1 11 11 11 1
0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
11 11 11 11 1 11 11 11 11 1
0 1 0 0
0 0 00 1 11 0 11 1 10
4. Rechnen im binren System
32
Falls bei der Subtraktion zweier Ziffern die Ziffer des Minuenden kleiner ist als die des Subtrahenden: Von der hherwertigen Stelle (eins weiter links) eine Zahl in der Hhe der
Basis ausborgen. Der Minuend wird um diesen Wert erhht. Der hherwertige Subtrahend wird um eins erhht
Vgl. z.B. Dezimalsystem (Basis: 10):
Im Binrsystem funktioniert das sehr hnlich
Die Subtraktion im dezimalen Zahlensystem
3 2 4 5
11 9 2
3 0 5 3
1 0 0 0 112 12 02 1 1 1 1 1
0
Wir borgen uns eine Zahl von der nchsten Stelle und berechnen 102 12 12; Bei der nchsten Stelle mssen wir 12zum Subtrahenden addieren
1 0 0 0 1 11 1 1
1 0
1 0 0 0 1 Wir borgen uns eine Zahl von der nchsten Stelle und erhalten daher 102 102 02
11 11 1 10 1 0
1 0 0 0 1 Fr die letzte Stelle borgen wir uns wieder eine Zahl von der nchsten Stelle und berechnen 102 12 12
11 11 11 1 11 0 1 0
1 0 0 0 112 12 02 11 11 11 1 1
0
4. Rechnen im binren System
33
Die Subtraktion im binren Zahlensystem Beispiel 1
0 0 00 1 11 0 11 1 0
4. Rechnen im binren System
34
Die Subtraktion im binren Zahlensystem Beispiel 2
0 0 00 1 11 0 11 1 0
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
1 0 1 10 1 1 0 11 10 1 1 10 11 10 1
1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
1 10 11 10 1 1 1 10 11 10 1 1 1 10 11 10 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 0
4. Rechnen im binren System
35
Bei der Multiplikationsmethode fr Dezimalzahlen wird zuerst der Multiplikand ziffernweise mit dem Multiplikator multipliziert und die Ergebnisse jeweils um eine Stelle nach rechts verschoben untereinander geschrieben. Dann werden die Zwischenergebnisse addiert.
Zum Beispiel:
Im Binrsystem sind die Multiplikationsregeln aufgrund der kleineren Anzahl von Ziffern bei weitem einfacher als im Dezimalsystem.
Die Multiplikation im dezimalen Zahlensystem
1 4 5 2 4 32 9 0
5 8 0
1 1 4 3 53 5 2 3 5
4. Rechnen im binren System
36
Die Multiplikationsregeln lauten:
Man kann dieselbe Methode wie bei Dezimalzahlen verwenden, z.B.:
Die Multiplikation im binren Zahlensystem
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Zeilen, die durch Multiplikation mit 0entstehen, knnen auch weggelassen werden
1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1
0 0 0 01 0 0 1
1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 1 1
4. Rechnen im binren System
37
Es erweist sich aber fr die Implementierung in einem Rechner als gnstiger, bei der ziffernweisen Multiplikation mit der am weitesten rechts stehenden Ziffer des Multiplikators zu beginnen, und die Teilergebnisse nach links zu verschieben (a).
Dabei mssen nicht alle Zwischenergebnisse gespeichert werden, jedes Teilergebnis kann sofort zum schlielichen Endergebnis addiert werden, was zu effizienterer Implementierung genutzt werden kann (b).
Die Multiplikation im binren Zahlensystem
1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1
1 0 0 11 10 10 11 1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 1 1
0 0 00 1 01 0 01 1 1
1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1
1 0 0 11 1 0 1 1
1 10 10 11 1 0 0 0 1 1
(a) (b)
bzw.
4. Rechnen im binren System
38
Bei der Multiplikation mit einer Zweierpotenz im Binrsystem tritt derselbe Effekt auf wie bei der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz im Dezimalsystem.
Verschiebung des Multiplikanden um drei Stellen nach links; weil 8 23
Allgemein gesprochen spiegelt sich eine Multiplikation mit 2 in einer Verschiebung des Multiplikanden um Stellen nach links wider. engl.: shift
Die Multiplikation im binren Zahlensystem
0 0 00 1 01 0 01 1 1
5 7 1 1 0 0 05 7 1
0 0 00 0 0
0 0 05 7 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 01 0 0 1
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 01 0 0 1 0 0 0
4. Rechnen im binren System
39
Division im Dezimalsystem:
Im Dezimalsystem ist ein wesentlicher Bestandteil des Dividierens das Erraten einer Quotientenziffer.
Betrachtet man zum Beispiel die Division 568: 63 ?
so sieht man zwar, dass 63 nicht mehr als 9-mal in 568 enthalten ist; Aber ob 63 nun 9-mal oder vielleicht nur 8-mal oder etwa noch
weniger oft in 568 enthalten ist, bedarf eines geschulten Blickes (oder eines Taschenrechners)
Im Binrsystem kommen als mgliche Quotientenziffern nur 0 oder 1in Frage.
Die Division im dezimalen Zahlensystem
7 4 3 1 : 3 2 4 7 71 42 32 1
4. Rechnen im binren System
40
Es gengt, zu entscheiden, ob der Divisor kleiner gleich ist als ein bestimmter Teil des Dividenden
In diesem Fall ist die Quotientenziffer gleich 1, anderenfalls ist sie gleich 0
Beispiel:
Die Division im binren Zahlensystem
1 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 0 1 10 1 0 1 10 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1
1 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 0 1 1 10 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 10 1 0
0 0 1 1
5. Potenzieren
41
effizient berechnen Angenommen wir wollen berechnen Eine Mglichkeit wre, mit zu beginnen und es 15-mal mit zu
multiplizieren Eine andere, mit beginnend, fortlaufend zu quadrieren und so , , , zu erhalten (nur vier Multiplikationen)
Diese Idee lsst sich auch fr allgemeines anwenden. Sei in Binrdarstellung gegeben (ohne fhrende Nullen). Dann
ersetzen wir jede 1 durch die zwei Buchstaben QX und jede 0 durch Q.
5. Potenzieren
42
Wir streichen das am weitesten links stehende QX-Paar Die resultierende Buchstabenfolge kann jetzt als Anweisung zur
Berechnung von verwendet werden, indem Q als Quadrieroperation interpretiert wird, und X dahingehend, dass mit multipliziert wird.
Sei zum Beispiel 23 10111 gegeben Wir bekommen dann zuerst die Buchstabenfolge QX Q QX QX QX,
entfernen das erste QX und erhalten die Anweisung QQXQXQX. Das bedeutet also, dass wir sukzessive , , , , , ,
berechnen. Diese Methode des Potenzierens wird bereits um 200 v.Chr. im
indischen Chanda-sutra erwhnt und wurde spter von den Arabern verfeinert.
5. Potenzieren
43
Warum funktioniert dieser Algorithmus berhaupt?
Vergleicht man diese Rechnung nun mit unserer Anweisung QQXQXQX, so sieht man, dass sie genau bereinstimmt.
5. Potenzieren
44
Diese Methode ist aber nicht optimal So gibt es Beispiele, wo man mit weniger Multiplikationen auskommt. Die binre Methode bentigt fr 15 insgesamt sechs
Multiplikationen. Es ist aber mglich, in zwei Multiplikationen und in
drei weiteren zu berechnen.
6. Darstellung negativer Zahlen
45
Vorzeichen wird getrennt von der Zahl gehalten positives Vorzeichen 0 negatives Vorzeichen 1
-te Bit: Vorzeichen (VZ) restliche Bits: Betrag der darzustellenden Zahl Das Vorzeichen ist bei arithmetischen Operationen und bei
Vergleichsoperationen getrennt zu behandeln. Bsp. fr 6:
Darstellung durch Vorzeichen und Betrag
VZ Betrag
1 2 2 1 0
27 0 0 1 1 0 1 1
27 1 0 1 1 0 1 1
6. Darstellung negativer Zahlen
46
Ordnungsrelation gilt nur innerhalb der positiven Zahlen Die negativen Zahlen kommen hinter den positiven
Die Zahl 0 besitzt zwei Darstellungen (+0/-0) Bsp.: m=3
Darstellung durch Vorzeichen und Betrag - Ordnungsrelation
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110
0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111
6. Darstellung negativer Zahlen
47
Bezeichnet man die Binrzahl mit , so erhlt man dadurch zum Beispiel folgende Zahlendarstellungen fr die Zahlen
Darstellung durch Vorzeichen und Betrag
0 0 000 00
1 1 000 01
2 1 2 1 011 11
0 2 100 00
1 2 1 100 01
2 1 2 1 111 11
6. Darstellung negativer Zahlen
48
Eine negative Zahl unterscheidet sich von der entsprechenden positiven Zahl mit demselben Betrag dadurch, dass Nullen und Einser vertauscht sind.
Ausgangspunkt: positiver Betrag der Zahl Bsp. fr 7:
Diese Darstellung kann auch dahingehend gedeutet werden, dass negative Zahlen durch Ergnzung auf 2+1 1ermittelt werden.
Zahl 0 besitzt 2 Darstellungen 000000 0 111111 0
Positive und negative Zahlen knnen am fhrenden Bit unterschieden werden.
Einerkomplementdarstellung
27 0 0 0 1 1 0 1 1
27 1 1 1 0 0 1 0 0
6. Darstellung negativer Zahlen
49
Ordnungsrelation gilt (getrennt) innerhalb der positiven und negativen Zahlen Die negativen Zahlen kommen hinter den positiven
Die Zahl 0 besitzt zwei Darstellungen (+0/-0) Bsp.: m=3
Einerkomplementdarstellung - Ordnungsrelation
0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0
0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110
0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111
6. Darstellung negativer Zahlen
50
Einerkomplementdarstellung
0 0 000 00
1 1 000 01
2 1 2 1 011 11
2 1 2 100 00
2 2 2 1 100 01
1 2 2 11110
0 2 1 111 11
6. Darstellung negativer Zahlen
51
Die Addition kann man sich als Rechnung 2+1 1 vorstellen Denkt man sich dementsprechend
die Zahlen auf einem Kreis angeordnet, erkennt man, dass es aufgrund der zwei-fachen Darstellung der 0bei einem berlauf not-wendig ist, 1 zum Ergebnis zu addieren
Einerkomplementdarstellung
1 0 0 1 1 025 1 0 0 1 1 025
0 1 0 0 1 1 19 0 1 010 1 1 19
1 0 1
1 0 0 1 1 025 1 0 0 1 1 025
0 11010 1 1 19 0 11010 1 1 19
0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 25 1 0 0 1 1 025
0 11010 1 1 19 0 11010 1 1 19
1 1 0 0 1 6
6. Darstellung negativer Zahlen
52
Addition in Einerkomplementdarstellung - Beispiel 1 (m = 5)
0 0 00 1 11 0 11 1 10
0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25
1 0 1 1 0 0 19 1 0 1 1 0 0 19
1 0 1
0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25
1 0 1 1 0 0 19 1 10 1 1 0 0 19
1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25
11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19
0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1
10 1
6
6. Darstellung negativer Zahlen
53
Addition in Einerkomplementdarstellung - Beispiel 2 (m = 5)
0 0 00 1 11 0 11 1 10
1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6
1 0 1 1 0 0 19 1 0 1 1 0 0 19
1 0 1
1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6
1 0 1 1 0 0 19 1 10 1 1 0 0 19
1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6 1 1 1 0 0 1 6
11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19 11 10 1 1 0 0 19
0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1
10 1
25
6. Darstellung negativer Zahlen
54
Addition in Einerkomplementdarstellung - Beispiel 3 (m = 5)
0 0 00 1 11 0 11 1 10
6. Darstellung negativer Zahlen
55
Eine tatschliche berschreitung des Zahlenbereiches kann durch einen Plausibilittstest des Vorzeichens erkannt werden, z.B.:
Da die Summe zweier negativer Zahlen nicht positiv sein kann, ist bei der Addition ein wirklicher berlauf entstanden.
Richtig ist also 44.
Addition in Einerkomplementdarstellung
1 0 0 1 1 0 25
1 10 11 1 0 0 19
1 0 1 0 0 1 0
1
0 1 0 0 1 1 19
44
0 0 00 1 11 0 11 1 10
6. Darstellung negativer Zahlen
56
Negative Zahlen werden im Zweierkomplement durch Ergnzung auf 2+1 dargestellt
Ausgangspunkt: Einerkomplement der Zahl Berechnung negativer (!) Zahlen: 1 dazu addieren
Alternativ: die binren Ziffern der positiven Zahl von rechts nach links bis inkl. zur ersten 1 kopieren und die restlichen Ziffern zu komplementieren.
Zweierkomplementdarstellung
27 0 0 0 1 1 0 1 1
27 1 1 1 0 0 1 0 1
von rechts bis zur ersten 1 kopiertrestliche Ziffern komplementiert
27 0 0 0 1 1 0 1 1Einerkomplementdarst.: 27 1 1 1 0 0 1 0 0Zweierkomplementdarst.:27 1 1 1 0 0 1 0 1
1 dazu addieren
6. Darstellung negativer Zahlen
57
Ordnungsrelation wie beim Einerkomplement Ordnung (getrennt) innerhalb der positiven und negativen Zahlen Die negativen Zahlen kommen hinter den positiven
Die Zahl 0 hat eine eindeutige Darstellung Bsp.: m=3
Zweierkomplementdarstellung - Ordnungsrelation
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1
0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110
0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111
6. Darstellung negativer Zahlen
58
Positive und negative Zahlen knnen am fhrenden Bit unterschieden werden.
berlufe bei Rechnungen kann man ignorieren, da die 0 eine eindeutige Darstellung besitzt
Zweierkomplementdarstellung
0 0 000 00
1 1 000 01
2 1 2 1 011 11
2 2 100 00
2 1 2 1 100 01
1 2 1 111 11
0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25
1 0 1 110 1 19 1 0 1 110 1 19
0 1 0
0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25
1 0 1 110 1 19 110 1 110 1 19
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 25 0 1 1 0 0 1 25
1110 1 110 1 19 1110 1 110 1 19
0 0 1 1 0 1 6
6. Darstellung negativer Zahlen
59
Addition in Zweierkomplementdarstellung - Beispiel 1 (m = 5)
X
0 0 00 1 11 0 11 1 10
1 0 0 1 1 1 25 1 0 0 1 1 1 25
0 1 0 011 1 19 0 1 01011 1 19
0 1 0
1 0 0 1 1 1 25 1 0 0 1 1 1 25
0 11010 11 1 19 0 110 1011 1 19
0 1 0 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1 25 1 0 0 1 1 1 25
0 11010 11 1 19 0 110 1011 1 19
1 1 0 1 0 6
6. Darstellung negativer Zahlen
60
Addition in Zweierkomplementdarstellung - Beispiel 2 (m = 5)
0 0 00 1 11 0 11 1 10
1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 1 0 6
1 0 1 1 0 1 19 1 0 1 1 0 1 19
1 1 1
1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 1 0 6
1 0 1 1 0 1 19 110 1 1 0 1 19
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 1 0 6
1110 1 1 0 1 19 1110 1 1 0 1 19
0 0 1 1 1 1 25
6. Darstellung negativer Zahlen
61
Addition in Zweierkomplementdarstellung - Beispiel 3 (m = 5)
X
0 0 00 1 11 0 11 1 10
6. Darstellung negativer Zahlen
62
Da die Multiplikation zweier -stelliger Zahlen ein 2-stelliges Ergebnis produzieren kann, mssen die Faktoren vor Durchfhrung der Rechenoperation auf 2 Stellen erweitert werden.
Dabei ist zu beachten, dass positive Zahlen mit Nullen, negative mit Einsern ergnzt werden mssen, um das Vorzeichen nicht zu zerstren.
Bsp. 1:
Multiplikation in Zweierkomplementdarstellung (1 von 2)
610 310 18100000002 1111112 1011102
Ergnzende Nullen Ergnzende Einser
6. Darstellung negativer Zahlen
63
Bsp. 2:
Die Bits werden ber den linken Rand hinausgeschoben, berlauf kann vernachlssigt werden
Multiplikation in Zweierkomplementdarstellung (2 von 2)
1 1 1 1 1 0 0 1 710 mit Vorzeichenerweiterung 1 1 1 1 1 1 0 1 310 mit Vorzeichenerweiterung1 1 1 1 1 0 0 1 (11111001 1, um null Stellen nach links verschoben)0 0 0 0 0 0 0 0 (11111001 0, um eine Stelle nach links verschoben)1 1 1 0 0 1 0 0 (11111001 1, um zwei Stellen nach links verschoben)1 1 0 0 1 0 0 0 (11111001 1, um drei Stellen nach links verschoben)1 0 0 1 0 0 0 0 (11111001 1, um vier Stellen nach links verschoben)0 0 1 0 0 0 0 0 (11111001 1, um fnf Stellen nach links verschoben)0 1 0 0 0 0 0 0 (11111001 1, um sechs Stellen nach links verschoben)
1 0 0 0 0 0 0 0 (11111001 1, um sieben Stellen nach links verschoben)0 0 0 1 0 1 0 1 2110
6. Darstellung negativer Zahlen
64
Bei dieser Darstellung wird zur Zahl ein so bemessener Exzess addiert, dass das Ergebnis nicht negativ ist.
Der Exzess muss daher gleich dem Betrag der kleinsten negativen Zahl gewhlt werden.
Ausgangspunkt: Zweierkomplement der Zahl Berechnung: nur das Vorzeichen invertieren
Exzess muss bei arithmetischen Operationen bercksichtigt werden. Addition: Exzess von der Summe subtrahieren Subtraktion: Exzess zur Summe addieren
Exzessdarstellung
6. Darstellung negativer Zahlen
65
Die Abbildung ist ordnungserhaltend in dem Sinne, dass kleineren Zahlen auch in der Maschinendarstellung kleinere Zahlen entsprechen.
Die Zahl 0 hat eine eindeutige Darstellung Bsp.: m=3, Exzess 2 2 8
Exzessdarstellung - Ordnungsrelation
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110
0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111
6. Darstellung negativer Zahlen
66
Zum Beispiel sei 2:Exzessdarstellung
2 0 000 00
2 1 1 000 01
1 2 1 011 11
0 2 100 00
1 2 1 100 01
2 1 2 1 111 11
6. Darstellung negativer Zahlen
67
Die Zahl 502soll in Vorzeichen und Betrag, Einerkomplement, Zweierkomplement und Exzessdarstellung fr ein binres System mit 12 Bit umgerechnet werden.
Beispiel
50210 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2
Vorzeichen & Betrag: 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2
Einerkomplement: 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2
Zweierkomplement: 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2
Exzessdarstellung: 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2
mit 0en auffllen undVorzeichenbit 1 (weil neg. Zahl)
Bits invertieren
1 dazu zhlen
VZ-Bit invertieren