1
Рассеяние на PT-симметричных δ-потенциалах
Галимзянов Р. М.
Физико-технический институт АН РУз
“Актуальные проблемы теоретической и ядерной физики” , НУУз, 25 - 26 октября 2013 г.
Ташкент - 2013
2
Структура доклада
• Введение• Квантовая задача рассеяния на δ-потенциалах • Проблема собственных значений • Численное моделирование солитона НУШ на
РТ потенциале• Выводы
3
Использование комплексных потенциалов имеет давнюю история, - они, например, использовались в квантовой теории для фено-менологического описания различных ядерных реакций.
Самое первое Взрыв интереса к системам с PT-симметричным гамильтонианом, наблюдаемый в последние годы, был вызван работой Bender (PT-Symmetric Quantum Mechanics Phys. Rev. Lett., 80, (1998) 5243), которому предшествовала важная работа математика Caliceti (Perturbation theory of odd anharmonic oscillators Commun. Math. Phys. 75, 51-66 (1980)), где автор развил теорию возмушения ангармонического осциллятора с чисто мнимой ангармоничностью.
Бендер рассмотрел PT-симметричные Гамильтонианы видаH = р2 + x2 (ix)ε . Оказалось, что их спектр дискретен и вещественен,
что является следствием РТ-симметрии. Это позволило ему усомниться в одном из постулатов квантовой механики о том, что операторы, ставящиеся в соответствие каждой физической величине должны быть эрмитовыми.
По определению РТ-симметричные операторы являются неэрмитовыми и формулировка канонической квантовой механики, по мнению Бендера, должна быть расширена, заменой условия эрмитовости на условие РТ-симметрии.
Введение
4
Это и вызвало резко повышенный интерес к задачам с РТ симметрией.
Прежде чем идти дальше, сделаем несколько замечаний по нашей терминологии.
1) Мы рассматриваем одномерные системы. 2) Под РТ-симметрией понимается инвариантность по отношению к
одновременному обращению времени и изменению четности прстранства.
P: – изменение четности: x => -x, p => -p;T: – обращение времени x => x, p => -p, i => -i.3) Определение РТ-симметричного собственного состояния φn(x) РТ φn(x) = φ*
n(-x) = φn(x)
Введение
5
В данной работе основы квантовой механики не затрагиваются и рассматривается решение задачи рассеяния для уравнения
Iψt (x,t) = -1/2ψxx(x,t) + VPT(x) ψ (x,t) - γ|ψ (x,t) |2ψ (x,t),
которое может описывает динамику различных физических систем,- например, плотность конденсата, огибающую электромагнит-ного поля (при t<=>x). При γ=0 по форме оно совпадает с уравнением Шредингера. Положительная мнимая часть в потенциале соответствует поглощению поля, а отрицательная – источнику полей. Одной из причин интереса является необычная динамика процессов в системах с PT-симметрией, где вследствие неэрмитовости (наличие источника и поглотителя поля) не соблюдаются некоторые законы сохранения.
Здесь мы рассмотрим простейшую линейную задачу (γ=0) рассея-ния на δ-потенциалах, раскрывающую основные особенности систем с PT-симметрией.
PT-симметричный комплексный потенциал: VPT(x) = Vs(x) + i Va(x) Vs(-x) = Vs(x), Va(-x) = -Va (x)
Рассеяние на δ-потенциалах
6
Рассеяние на δ-потенциалах
V(x)
eikx + Be-ikx eikx + F eikx
Область взаимодействия
Стационарное уравнение Шредингера
-1/2ψ (x)xx + [-iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)] ψ (x) = Eψ(x),
E = k2 /2
7
Рассеяние на δ-потенциалах
iβδ(x-d)
eikx + Be-ikx C-eikx + D-e-ikx C+e-ikx + D+eikx eikx + F eikx
-d 0 +d
I II III IV
-iβδ(x+d)
-αδ(x)
Vs(x) = -αδ(x), Va(x) = -iβδ(x+d) + iβδ(x-d)
Другая запись проходящей волны eikx + F eikx = T eikx ,
Рассеяние на δ-потенциалахРассеяние на δ-потенциалах
8
Рассеяние на δ-потенциалах
Сшивка волновых функций
Пусть x=x0 , тогда ψ(x0+ε)= ψ(x0-ε).
ψx(x0+ε) - ψx(x0-ε) =
e-ikd + Beikd = C-e-ikd + D-eikd
ik(C-e-ikd - D-eikd ) – ik(e-ikd - Beikd ) = -2iβ(e-ikd + Beikd )
C- + D- = C+ + D+
ik(-C+ + D+) – ik(C- - D-) = -2α(C- + D-)
C+e-ikd + D+eikd = Teikd
ik Teikd– ik(- C+e-ikd + D+eikd ) = 2iβ Teikd
0
0)(
x
xdxxV
9
Рассеяние на δ-потенциалах
Решая эти 6 уравнений относительно B, C+/-, D+/- , T найдем
Амплитуда рассеяния
Амплитуда прохождения
)2exp())cos()sin()(sin(4
)1))(cos()sin()(sin(4
ikdk
kdkkdkdk
ik
kkdkkdkd
kB
)2exp())cos()sin()(sin(4
ikdk
kdkkdkdk
ik
ikT
10
Рассеяние на δ-потенциалахрезультаты расчетов
R = |B|2 , P = |1+F|2
V(x) = -αδ(x), B = -α/(α+ik) , T = ik/(α+ik)
B ≡ F, 1 + F = T, 1 = |B|2 + |1+F|2 = |B|2 + |T|2
V(x) = -iβδ(x) , B = - β/(β+k) , T = k/(β+k)
V(x) = -iβδ(x+d) + iβδ(x-d)
k = 0 : R = 1, P = 0k = +β : R = 0, P = 1
V(x) = -iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)
k = α : B = -α/(α+ik) , T = ik/(α+ik)
11
Связанные состояния
Спектр связанных состояний определяется полюсами амплитуды рассеяния B
При E < 0 (вспомним, что E = k2/2) вводим новую переменную κ= -ik. Тогда собственные значения будут определяться нулями выражения
Это же выражение будет получено, если с самого начала решать задачу на собственные значения.
)2exp())cos()sin()(sin(4
)1))(cos()sin()(sin(4
ikdk
kdkkdkdk
ik
kkdkkdkd
kB
0))()()((4
)2exp()( 2
2
dcshdshdshd
12
Связанные состояния
Комплексные собственные значения
Re(E) = -1/2[Re(κ)2 - Im(κ) 2],
Im(E) = - Re(κ)*Im(κ)
Область значений параметров α,β , где собственное значение E = 0 задается следующим соотношением между параметрами:
αd = 4 (βd)2 / (1 + 4(βd)2
Здесь d – расстояние между потенциалами
13
Связанные состояния
14
Связанные состояния
Волновые функции при различных значениях параметров
РТ-симметричный случай
α = 0.75, β = 0.5,
k = 0.6273462 (E=-0.197)
Нарушение РТ-симметрии
α = 0.75, β = 0.9,
k = 0.1253+0.1110i
(E=-0.0017-0.0014i)
15
Связанные состояния
Волновые функции при различных значениях параметров
Локализованное резонансное
состояние
α = 0.4, β = 0.5,
k = 0.7464393 - 2.0771768i
(E=1.8787459+1.5504864i)
Состояние с чисто
Положительной энергией
α = 0.2, β = 0.535,
k = 0.6322792i
(E=+0.2)
16
Рассеяние солитона НУШ на потенциале
iψt + 1/2ψxx - [-iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)] ψ + |ψ|2ψ = 0
v = 0.5, α = 0.6, β = 0
17
Рассеяние солитонов
v = 2, α = 0.6, β = +/-0.5
18
Рассеяние солитонов
v = 0.1, α = 0.5, β = +/-0.5
19
Рассеяние солитонов
v = 0.2, α = 0.2, β = -0.5
20
Выводы
• Решена квантовая задача рассеяния на РТ-симметричном потенциале, составленном из δ-потенциалов
• Получена область значений параметров потенциала, при которых система РТ-симметрична (собственные значения вещественны)
• Получено решение при положительной энергии с разными амплитудами рассеяной и падающей волны
• При численном моделировании рассеяния солитона на РТ потенциале показана неравнозначность падения солитона на РТ-потенциал слева и справа
•
21
Солитон НУШ
•
22
Рождение комплексных собственных значений при изменении β
α = 0.2• Физическим состояниям с правильной ассимптотикой |ψ| => 0
при |x| => ¥ соответствуют значения k>0.
23
Top Related