Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Παράδειγμα
1•
Γίνεται
μια
μελέτη
για
τους
τραυματισμούς
στο
μάτι
(σοβαροί
ή
όχι
τόσο
σοβαροί) κατά
τη
διάρκεια
αγώνων τέννις, squash, badminton και
ρακέτας.
Ηλικία Άντρας Γυναίκα Άντρας Γυναίκα< 30 7 1 4 5
30-50 9 10 10 27> 50 4 0 4 1
Σύνολο 20 11 18 33
Σοβαρός Τραυματισμός Επιπόλαιος Τραυματισμός
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Παράδειγμα
2
•
Πραγματοποιείται
μια
μελέτη
για
την
επίδραση
του
αλκοόλ στα
επίπεδα
χοληστερόλης.
•
Χ
μετράει
το
ποσό
του
αλκοόλ
το
οποίο
μετριέται
ανά εβδομάδα
και
ανά
άτομο.
i Όρια f i F i F i /n1 0 - 2.5 201 201 0.2182 2.5 - 5.0 372 573 0.6213 5.0 - 7.5 260 833 0.9024 7.5 - 10 80 913 0.9895 ≥10 10 923 1.000
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΓΡΑΦΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.
Κυκλικά
Διαγράμματα
(Pies)2.
Ραβδογράμματα
3.
Ιστογράμματα
f i f i /nA 19 0.543B 16 0.457 A
B
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΓΡΑΦΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.
Κυκλικά
Διαγράμματα
(Pies)2.
Ραβδογράμματα
3.
Ιστογράμματα
f i f i /nA 19 0.543B 16 0.457
0.400
0.420
0.440
0.460
0.480
0.500
0.520
0.540
0.560
A B
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΓΡΑΦΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.
Κυκλικά
Διαγράμματα
(Pies)2.
Ραβδογράμματα
3.
Ιστογράμματα
Τάξεις f i f i /n%0 - 9 5 7.7%
110 - 19 11 16.9%20 - 29 20 30.8%30 - 39 9 13.8%40 - 49 13 20.0%50 - 59 7 10.8%
0
5
10
15
20
25
0 -- 9 10 -- 19 20 -- 29 30 -- 39 40 -- 49 50 -- 59
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΓΡΑΦΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.
Κυκλικά
Διαγράμματα
(Pies)2.
Ραβδογράμματα
3.
Ιστογράμματα
(Πολύγωνο
Συχνοτήτων)
Τάξεις f i f i /n%0 - 9 5 7.7%
110 - 19 11 16.9%20 - 29 20 30.8%30 - 39 9 13.8%40 - 49 13 20.0%50 - 59 7 10.8%
0
5
10
15
20
25
0 -- 9 10 -- 19 20 -- 29 30 -- 39 40 -- 49 50 -- 59
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΓΡΑΦΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.
Κυκλικά
Διαγράμματα
(Pies)2.
Ραβδογράμματα
3.
Ιστογράμματα
(Κατανομή)
Τάξεις f i f i /n%0 - 9 5 7.7%
110 - 19 11 16.9%20 - 29 20 30.8%30 - 39 9 13.8%40 - 49 13 20.0%50 - 59 7 10.8%
0
5
10
15
20
25
0 -- 9 10 -- 19 20 -- 29 30 -- 39 40 -- 49 50 -- 59
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Σχέση
Μέσου
-
Διαμέσου
-
Κορυφής
x
x
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
Αν
η
κατανομή
είναι
συμμετρικήτότε
αυτά
συμπίπτουν
2 4 6 8 10 12 14
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Αν
η
κατανομή
είναι
θετικάΑσύμμετρη
(Μ < m <
)
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Αν
η
κατανομή
είναι
αρνητικάΑσύμμετρη
(Μ >
m > )
x
x
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Ποσοστημόρια
(Percentiles)
ΟρισμόςΕίναι
εκείνη
η
τιμή
των
διατεταγμένων
δεδομένων, όπου
τουλάχιστον
το
100 p% αυτών
των
δεδομένων
είναι
κάτω
από αυτήν
την
τιμή
και
το
100 (1-p)% είναι
τουλάχιστον
πάνω
από
αυτήν
την
τιμή.
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Ποσοστημόρια
(Percentiles)
Ειδικές
Περιπτώσεις1.
Πρώτο
τεταρτημόριο
(quartile)
Q1
αφήνει
δεξιά
το
75% των
παρατηρήσεων2.
Τρίτο
τεταρτημόριο
Q3
αφήνει
δεξιά
το
25% των
παρατηρήσεων3.
Διάμεσος
(Q2
)4.
Δεκατημόρια
(Dk )
5.
Εκατοστημόρια
(Pk )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
41n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
4)1(3 n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
10)1(nk
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
100)1(nk
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Ποσοστημόρια
(Percentiles)
Παράδειγμα
1 4, 6, 7, 15, 18, 20, 25n= 7,
Q1 = 6
Q3 = 20
24
17=
+
64
)17(3=
+
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Ποσοστημόρια
(Percentiles)
Παράδειγμα
2
4, 6, 7, 15, 18, 20, 23, 25n= 8,
Q1 = 6.25 (Πάω
στη
2η
παρατήρηση και
παίρνω
το
25% της
απόστασής
της
από
την
3η
.)
Q3 = 22.25
(Πάω
στη
6η
παρατήρηση και
παίρνω
το
75% της
απόστασής
της
από
την
7η
.)
25.24
18=
+
75.64
)18(3=
+
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Ομαδοποιημένα
Δεδομένα
Το
q ποσοστημόριο
εντοπίζεται
στην
κλάση
που περιέχει
την
qn παρατήρηση, δηλαδή
εάν,
Fi-1
< q n ≤
Fi
τότε
το
ποσοστημόριο
βρίσκεται
στην
i-τάξη
και δίνεται
από
τον
τύπο:
)( 11 −− −+= ii
ii Fqn
fhaP
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΠαράδειγμαΤάξεις f i f i /h i F i
0 - 5 3 0,6 315 - 10 7 1,4 10
110 - 20 16 1,6 2620 - 35 18 1,2 4435 - 60 12 0,8 56
60 -100 4 0,1 60
Να
υπολογιστούν
η διάμεσος, Q3
, d7
, P5
.
Q2
= m , q = , q n = 60 = 30
Q2
= 20 + (30 -
26) = 23.33
21
21
1815
)( 11 −− −+= ii
ii Fqn
fhaP
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΠαράδειγμαΤάξεις f i f i /h i F i
0 - 5 3 0,6 315 - 10 7 1,4 10
110 - 20 16 1,6 2620 - 35 18 1,2 4435 - 60 12 0,8 56
60 -100 4 0,1 60
Να
υπολογιστούν
η διάμεσος, Q3
, d7
, P5
.
q = , q n = 60 = 45
Q3
= 35 + (45 -
44) = 37.08
43
43
1225
)( 11 −− −+= ii
ii Fqn
fhaP
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΠαράδειγμαΤάξεις f i f i /h i F i
0 - 5 3 0,6 315 - 10 7 1,4 10
110 - 20 16 1,6 2620 - 35 18 1,2 4435 - 60 12 0,8 56
60 -100 4 0,1 60
Να
υπολογιστούν
η διάμεσος, Q3
, d7
, P5
.
q = , q n = 60 = 42
d7
= 20 + (42 -
26) = 33.3
107
1815
107
)( 11 −− −+= ii
ii Fqn
fhaP
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
ΠαράδειγμαΤάξεις f i f i /h i F i
0 - 5 3 0,6 315 - 10 7 1,4 10
110 - 20 16 1,6 2620 - 35 18 1,2 4435 - 60 12 0,8 56
60 -100 4 0,1 60
Να
υπολογιστούν
η διάμεσος, Q3
, d7
, P5
.
q = , q n = 60 = 3
P5
= 0 + (3 -
0) = 5
1005
35
1005
)( 11 −− −+= ii
ii Fqn
fhaP
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Ασυμμετρία (skewness)
x
2 4 6 8 10 12 14
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Αν
g1
> 0 → θετική ασυμμετρία
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Πολλές
φορές
μας
ενδιαφέρει
να
ελέγξουμε
την
ασυμμετρία
της
κατανομής
( ) 23
23
1
2
1
3
'2
'3
1
)(1
)(1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−==
∑
∑
=
=
n
ii
n
ii
xxn
xxn
mmg
Αν
g1
< 0 → αρνητική
ασυμμετρία
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Κύρτωση (Kurtosis)
Αν
g2 » → οι
ουρές
της
κατανομής
είναι
πλατιές. (outliers)
Αν
g2 « → οι
ουρές
της
κατανομής
είναι
κοντές.-4 -2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
-4 -2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
( ) 3)(1
)(1
3 2
1
2
1
4
2'2
'4
2 −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=−=
∑
∑
=
=
n
ii
n
ii
xxn
xxn
mmg
Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Box Plots-100 36 42 -5
2 35 38 54 38 53 -116 34 -23 -38 29 -33 -2
12 9 -15 9515 10 -16 9213 30 -17 -6025 27 -9 3323 100 -4 -33
StatisticsvarMean 12.08Median 9.50Variance 1,428.328
Skewness -0.080Kurtosis 1.898Minimum -100Maximum 100Percentiles 25 -8.00
50 9.5075 33.75
Top Related