第七章特徵值與特徵向量
7.1 特徵值與特徵向量7.2 對角化7.3 對稱矩陣與正交對角化
7 - 2
7.1 特徵值與特徵向量 特徵值問題 (eigenvalue problem)
若 A 為一 nn 矩陣,在 Rn 中是否存在著非零向量 x,使得 Ax與 x之間存在著倍數關係?
特徵值 (eigenvalue) 與特徵向量 (eigenvector)
A : nn 矩陣:純量x: Rn 中的非零向量
xAx
特徵值
特徵向量
幾何表示
7 - 3
範例 1 : 證明特徵值與特徵向量
10
02A
01
1x
11 20120
201
1002 xAx
特徵值
22 )1(1011
010
1002 xAx
特徵值
特徵向量
特徵向量
10
2x
7 - 4
定理 7.1 : 特徵空間 (eigenspace)
若 A 為一 nn 矩陣,且為 A 的一個特徵值,則對應於的所有特徵向量與零向量可構成一個Rn 的子空間,稱為特徵空間 證明:
x1 與 x2 為特徵值所對應的特徵向量) , ..( 2211 xAxxAxei
) ..( )()( )1(
21
21212121
的特徵向量為對應於λxxeixxxxAxAxxxA
) ..( )()()()( )2(
1
1111
的特徵向量為對應於
cxeicxxcAxccxA
7 - 5
範例 3 :平面中的特徵空間 求下列矩陣的特徵值及所對應的特徵空間
1001
A
yx
yx
A 1001
v
假設 ) ,(v yx
0
100
1001 xxx
位於 x 軸的向量 特徵值為 11
解:
7 - 6
位於 y 軸的向量
yyy0
100
1001
特徵值為 12
就幾何上來說,矩陣 A 與在 R2中的向量的乘積為對稱於 y 軸的映射對應於 的特徵空間為 x 軸 對應於 的特徵空間為 y 軸
11
12
7 - 7
定理 7.2 :求矩陣 AMnn的特徵值與特徵向量當 時有非零解,若且唯若 0)I( xA 0)Idet( A
0)I( xAxAx
0)Idet( A(1) 為 A 的一個特徵值,使得(2) A 對應於的特徵向量為 的非零解0)Idet( A
AMnn的特徵多項式 (characteristic polynomial)
011
1)I()Idet( cccAA nn
n
A 的特徵方程式 (characteristic equation)
0)Idet( A
)(齊次系統
7 - 8
範例 4 :求特徵值與特徵向量
51
122A
解:特徵方程式:
0)2)(1(23
51122
)I(
2
A
特徵值為: 2 ,1 21
2 ,1
7 - 9
2)2( 2
0 ,133
00
31124
)I(
2
1
2
12
tttt
xx
xx
xA
1)1( 1
0 ,144
00
41123
)I(
2
1
2
11
tttt
xx
xx
xA
7 - 10
200020012
A
解:特徵方程式:0)2(
200020012
I 3
A
特徵值為: 2
範例 5 :求特徵值、特徵向量與每個特徵值所對應特徵空間的維度
7 - 11
對應於 的特徵向量為:2
000
000000010
)I(3
2
1
xxx
xA
0, ,100
001
03
2
1
tsts
t
s
xxx
的特徵空間為對應於 2,100
001
Rtsts
故特徵空間的維度為 2
7 - 12
注意:(1) 若特徵值 1為特徵多項式的 k個重根, 則 1的重數 (multiplicity)為 k
(2) 特徵值的重數往往會大於或等於其特徵空間的維度
7 - 13
範例 6 :求 A 之特徵值與其對應特徵空間的一組基底
30010201105100001
A
解:特徵方程式:
0)3)(2()1(
30010201
105100001
I
2
A
特徵值為: 3 ,2 ,1 321
7 - 14
1)1( 1
0000
20010101
105000000
)I(
4
3
2
1
1
xxxx
xA
0, ,
1202
0010
2
2
4
3
2
1
tsts
tt
st
xxxx
1202
,
0010
為 時所對應特徵空間的一組基底 1
7 - 15
2)2( 2
0000
10010001
105100001
)I(
4
3
2
1
2
xxxx
xA
0 ,
0150
0
50
4
3
2
1
tttt
xxxx
0150
為 時所對應特徵空間的一組基底 2
7 - 16
3)3( 3
0000
00010101
105200002
)I(
4
3
2
1
3
xxxx
xA
0 ,
105
0
050
4
3
2
1
tt
t
t
xxxx
105
0
為 時所對應特徵空間的一組基底 3
7 - 17
定理 7.3 :三角矩陣的特徵值若 A 為一個 nn 的三角矩陣,則其特徵值為其主對角線上的元素
範例 7 :求對角矩陣及三角矩陣的特徵值
335011002
)( Aa
3000004000000000002000001
)( Ab
解:)3)(1)(2(
335011002
I )(
Aa
3 ,1 ,2 321
3 ,4 ,0 ,2 ,1 )( 54321 b
7 - 18
線性轉換的特徵值與特徵向量
稱為特徵空間包含零向量的特徵向量集合量,而所有的一個特徵向對應於稱為的特徵值,向量稱為線性轉換,則,使得若存在一非零向量
)( :
)(
TVVTTx
xxx
7 - 19
範例 8 :線性轉換的特徵值與特徵空間
求其特徵值與特徵空間
的矩陣為相對的標準基底線性轉換
200013031
: 33
A
BRRT
)}1 ,0 ,0(),0 ,1 ,0(),0 ,0 ,1{(B標準基底:
解:
200
013031
AI
)4()2()82)(2(]9)1)[(2(
22
2
2 ,4 21 特徵值為
7 - 20
的基底的基底
分別為兩個特徵值的特徵空間
2 )}1 ,0 ,0(),0 ,1 ,1{(4 )}0 ,1 ,1{(
22
11
BB
注意:
)}1 ,0 ,0(),0 ,1 ,1(),0 ,1 ,1{('
33
B
AA'B'TA'RT:RB'
特徵值的主對角線的元素為的矩陣,且相對於基底為
對角矩陣的一組非標準基底,則 為令
200020004
'A的特徵向量A
的特徵值A
7 - 21
摘要與復習 (7.1 節之關鍵詞 )
eigenvalue problem: 特徵值問題 eigenvalue: 特徵值 eigenvector: 特徵向量 characteristic polynomial: 特徵多項式 characteristic equation: 特徵方程式 eigenspace: 特徵空間 multiplicity: 重數
7 - 22
7.2 對角化 對角化問題 (diagonalization problem)
對一方陣 A ,是否存在一可逆矩陣 P 使得 P-1AP 為對角矩陣 可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)
一方陣 A 稱為可對角化矩陣,若存在一可逆矩陣 P 使得 P-1AP為對角矩陣 (P 對角化 A)
注意:(1) 若存在一可逆矩 P 使得 ,則 A 與 B 兩
方陣稱為相似矩陣 (similar matrix)APPB 1
(2) 特徵值問題與對角化問題兩者關係密切
7 - 23
定理 7.4 :相似矩陣具有相同的特徵值若 A 與 B 為 nn 相似矩陣,則他們具有相同的特徵值
證明:APPBBA 1為相似矩陣與
A
APPAPPPAP
PAPAPPPPAPPB
I
III
)I(III111
1111
故 A 與 B 具有相同的特徵值
7 - 24
範例 1 :可對角化矩陣
200013031
A
解:特徵方程式:0)2)(4(
200013031
I 2
A
2 ,2 ,4 321 特徵值為:
特徵向量為4)1(
011
1p
7 - 25
特徵向量為 2)2(
100
,01
132 pp
200020004
100011011
][
1
321
APP
pppP
使得
,
200040002
100011011
][
1
312
APP
pppP 注意:當
7 - 26
定理 7.5 :可對角化的條件一 nn 的矩陣 A 為可對角化,若且唯若它有 n 個線性獨立的特徵向量
證明:可對角化A)(
),,,(][ 2121
1
nn diagDpppPAPPDP
及令為對角矩陣使得存在一可逆矩陣
][
00
0000
][
2211
2
1
21
nn
n
n
ppp
pppPD
7 - 27
PDAPApApApAP n
][ 21
) ..( ,,2 ,1 ,的特徵向量為的行向量 ApPei
nipAp
i
iii
線性獨立為可逆矩陣 npppP ,,, 11
個線性獨立的特徵向量具有故 nA
n
npppnA
,,
,,)(
21
21
分別對應於特徵值個線性獨立的特徵向量具有
nipAp iii ,,2 ,1 ,
][ 21 npppP 令
7 - 28
PDppp
pppApApAppppAAP
n
n
nn
nn
00
0000
][
][][][
2
1
21
2211
2121
可對角化
為可逆矩陣線性獨立
ADAPP
Pppp n
1
11 ,,,
7 - 29
範例 2 :不可對角化為不可對角化矩陣證明
200013031
A
解:特徵方程式:0)1(10
21I 2
A
11 特徵值為:
0
10010~00
20I 1pAIA 特徵向量為
A 沒有兩個線性獨立的特徵向量故 A 不可對角化
7 - 30
nn 方陣對角化步驟
步驟二:令 ][ 21 npppP
步驟一:找出 n 個線性獨立的特徵向量 nppp ,, 21
步驟三:
n
DAPP
00
0000
2
1
1
nipAp iii ,,2 ,1 , 其中,
7 - 31
範例 5 :矩陣對角化
為對角矩陣使得求矩陣 APPP
A
1
113131111
解:特徵方程式:0)3)(2)(2(
113131
111I
A
3 ,2 ,2 321 特徵值為:
7 - 32
21
000010101
~313111
111I1 A
101
0 1
3
2
1
pt
t
xxx
特徵向量
22
0001001
~113151
113I 4
141
2 A
41
1 24
141
3
2
1
pt
tt
xxx
特徵向量
7 - 33
33
000110
101~
413101
112I3 A
111
3
3
2
1
pttt
xxx
特徵向量
300020002
141110111
][
1
321
APP
pppP
使得
,
7 - 34
注意:
kn
k
k
k
n d
dd
D
d
dd
D
00
0000
00
0000
)1( 2
1
2
1
1
11
)2(
PPDA
PAPDAPPDkk
kk
7 - 35
定理 7.6 :可對角化的充份條件若 nn 矩陣 A 有 n 個不同的特徵值,則對應的特徵向量為線性獨立且 A 為可對角化矩陣
範例 7 :判斷 A 是否可對角化
300100121
A
解:因為 A 為三角矩陣,其特徵值為3 ,2 ,2 321
因為三個特徵值均不同故 A 為可對角化矩陣
7 - 36
範例 8 :求線性轉換的對角矩陣
解:的矩陣為一對角矩陣相對於使得中的基底求
為線性轉換
BTBR
xxxxxxxxxxxxTRRT
3
321321321321
33
)3 ,3 ,(),,(:
113131111
A
T的標準矩陣為
BA
組基底立的特徵向量來形成一中三個線性獨可對角化,因此以範例可知由範例 5 5
7 - 37
)}1 ,1 ,1(),4 ,1 ,1(),1 ,0 ,1{( B
300020002
D
D為一對角矩陣陣則對應於這組基底的矩
7 - 38
摘要與復習 (7.2 節之關鍵詞 )
diagonalization problem: 對角化問題 diagonalization: 對角化 diagonalizable matrix: 可對角化矩陣
7 - 39
7.3 對稱矩陣與正交對角化 對稱矩陣 (symmetric matrix)
方陣 A 若相等於自己的轉置矩陣,則稱 A 為對稱矩陣TAA 即
範例 1 :對稱矩陣
502031210
A
13
34B
501041123
C
為對稱矩陣A
為對稱矩陣B
為不對稱矩陣C
7 - 40
對稱矩陣的特徵值若 A 為一 nn 的對稱矩陣,則以下的性質為真 (1) A 可對角化 (2) A 的所有特徵值均為實數 (3) 若 A 的特徵值具有重數 k ,則具有 k 個線性獨
立 的特徵向量。亦即的特徵空間的維度為 k
7 - 41
範例 2 :證明對稱矩陣為可對角化
bc
caA
證明:特徵方程式:0)( 22
cabbabc
caAI
22
222
22222
4)(
42
442)(4)(
cba
cbaba
cabbabacabba
二項式的判斷式:
0
7 - 42
04)( )1( 22 cba
0 , cba
為對角矩陣 00
aaA
04)( )2( 22 cba
會有兩個實數根二項式 0)( 22 cabba
有兩個實數特徵值A
為可對角化矩陣A
7 - 43
正交矩陣 (orthogonal matrix)
一方陣 P 為正交若 P 為可逆且 TPP 1
定理 7.8 : 正交矩陣的性質 一nn矩陣P為正交若且唯若它的行向量可形成一單 範正交集
定理 7.9 : 對稱矩陣的性質 令 A 為一 nn 的對稱矩陣。若 1及 2為 A 的不同特徵值, 則其相對的特徵向量 x1與 x2為正交
7 - 44
範例 5 : 證明 P 為正交矩陣
535
534
532
51
52
32
32
31
0P
解:若 P 為正交矩陣,則 I 1 TT PPPP
I100010001
00
535
32
534
51
32
532
52
31
535
534
532
51
52
32
32
31
TPP
535
32
3
5345
132
2
53252
31
1 0 , , ppp令
7 - 45
1 0
321
323121
ppppppppp則
為單範正交集} , ,{ 321 ppp
7 - 46
定理 7.10 : 對稱矩陣的基本定理令 A 為一 nn 的矩陣,則 A 為正交可對角化矩陣且具有實數的特徵值若且唯若 A 為對稱矩陣
對稱矩陣的正交對角化 (orthogonal diagonalization)令 A 為一 nn 的矩陣。(1) 找出 A 的特徵值並找出每個特徵值的重數 (2) 對於每個重數為 1 的特徵值,選出一個單位特徵向量 (3) 對於每個重數為 k2 的特徵值,找出一組有 k 個線性獨立的特徵向量集。若這個向量集並非單範正交,利用 Gram-Schmidt 單範正交過程將之單範正交化 (4) 由 (2) 與 (3) 的結果產生一組有 n 個特徵向量的單範正交集。利用這些特徵向量來做為矩陣 P的行向量
7 - 47
範例 7 :可正交對角化
111101111
1A
081812125
2A
102
0233A
2000
4A
可正交對角化對稱矩陣
7 - 48
範例 9 : 正交對角化
對角化將求正交矩陣 AP
A
142412222
解:0)6()3( )1( 2 AI
)2( 3 ,6 21 具重數
) , ,( )2 ,2 ,1( ,6 )2( 32
32
31
1
1111
vvuv
)1 ,0 ,2( ),0 ,1 ,2( ,3 )3( 322 vv
線性獨立
7 - 49
Gram-Schmidt 過程 )1 , ,( ),0 ,1 ,2( 5
452
222
233322
wwwwvvwvw
) , ,( ),0 , ,(53
553
453
2
3
335
15
2
2
22
wwu
wwu
535
32
534
51
32
532
52
31
0P
300030006
1APP
7 - 50
摘要與復習 (7.3 節之關鍵詞 )
symmetric matrix: 對稱矩陣 orthogonal matrix: 正交矩陣 orthonormal set: 單範正交集 orthogonal diagonalization: 正交對角化
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