第五章 滤波和滤波器设计第五章 滤波和滤波器设计计算机图像处理计算机图像处理
第五章 滤波和滤波器设计
线性系统理论
经典数字滤波方法
魏纳滤波器极其设计方法
MATLAB线性滤波器设计
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系统 系统输入 x(t) 输出 y(t)
tytxtytx 2211 ,
tytytxtx 2121
dxtfty ,
(实体)
§5.1 线性系统理论一 . 概述系统:
输入、输出可以是一维、二维和更高维数。 一维线性系统:
如果:且满足:
则称该系统为线性系统,线性系统输入与输出的函数表达式为:
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二 . 一维卷积 为找到一个一元函数来描述线性系统,引入移不变约束,即:如果 有: 如果输入信号沿时间轴平移 T ,那么输出信号除平移同样长度之外,其他性质不变,则称该系统为线性移不变系统。 对于线性移不变系统有: 令: 得: 函数 f 对于 T 必须满足: 于是定义: 则: 简单记为:
tytx TtyTtx
dTxtfTty ,
TtTt ,
dxTTtfty ,
TTtftf ,,
,tftg
dxtgty xgy
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一维函数卷积过程为:一维函数卷积过程为:
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一维函数卷积的离散形式为:
其矩阵形式为:
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dudvvyuxgvufgfyxh ,,,
矩阵形式为:
1
0
1
0
,,,M
m
N
n
njmiGnmFjiH
1,,1,0;1,,1,0 NnMm
11
312
21
GGG
GGG
GGG
G
NN
N
b
fGh B
三、二维函数卷积 将上述讨论推广到二维空间,则二维函数卷积的表达式为:
其离散形式为:
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边缘增强示意图:
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函数卷积定理指出了傅立叶变换的重要性质,即时域中的卷积相当于频域中的相乘:
F 且: F-1
时域中复杂的卷积运算可以在频域中通过简单的相乘来实现,其步骤为: 1 )对两个函数进行傅立叶变换; 2 )求变换后两函数的乘积; 3 )求出乘积的傅立叶逆变换。
sGsFtgtf
tgtfsGsF
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五 . 滤波与滤波器设计 对图像进行滤波,修改或增强图像,从而提高图像的 信息量。 假设线性系统: 若 x(n) 、 y(n)的傅立叶变换存在,则输入、输出的频域关系是:
其滤波原理图如下:
nhnxny
jjj eHeXeY
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§5.2 经典数字滤波方法 一 . 低通滤波器 最简单的低通滤波器有: 1 )矩形滤波器
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2 )三角形滤波器
高频截止滤波器是一种较为粗略的低通滤波方法,该法首先计算信号或图像的傅立叶变换,然后将傅立叶变换幅值谱的高频部分强行设计为零,再求出傅立叶反变换得到滤波后的图像。
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二 . 带通和带阻滤波器 理想带通滤波器的传递函数为:
理想带通滤波器的冲击响应的傅立叶为:
00 sssss
ssG
tsst
ststg 02cossin
2
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理想带阻滤波器的传递函数为:
理想带阻滤波器的冲击响应为:
001 sssss
ssG
tsst
ststtg 02cossin
2
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高斯带通滤波器的传递函数为:
高斯带通滤波器的冲击响应为: 00
2/ 22
ssssAesG as
tseA
tg t0
2/
22cos
2
2 22
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三 . 高通滤波器(高频增强滤波器) 高通滤波器的冲激响应为:
对上式进行傅立叶变换,并令 s=0 ,则 tgtgtg 21
21210 AAdttgdttgdttgG
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§5.3 魏纳滤波器及其设计方法 一 . 随机变量 为了分析处理随机变量,引入期望算子:
假设已知信号 x(t) 的自相关函数:
则 x(t) 的功率谱为 :
Pn(s)=F{Rn(τ)}
dttxtx
dttxtxRn
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二 . 魏纳滤波原理 定义误差信号: 则均方误差为: 魏纳滤波原理:给定 s(t) 和 n(t) 的功率谱,选择一个均方误差最小的冲激响应 h(t) ,使得输出:
y(t)=x(t)*h(t)的误差最小。 用变分法求取 h(t) ,通过运算得魏纳滤波器的传递函数为: H0(S)=PXS(S)/ PX(S)
tytste
dtteteMSE 22
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三 . 魏纳滤波器设计步骤 1) 对输入信号 s(t) 的样本进行数字化 . 2) 求输入样本的自相关函数 , 得到 Rx(τ) 的一个估计值 . 3) 计算 Rx(τ) 的傅立叶变换 , 得到 Px(s) 。 4 )在无噪声情况下对输入信号的一个样本进行数字化。 5)求信号样本与输入样本的互相关函数,估计出 Rxs(τ )。 6)计算 Rxs(τ )的傅立叶变换,得出 Pxs(s) 。 7) 利用 H0(S)=PXS ( S ) / PX ( S )计算魏纳滤波器的传递函数 H0(S) 。
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魏纳滤波器传递函数和均方误差曲线
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§5.4 MATLAB 线性滤波器设计 一 . 频率变换方法 函数 ftrans2 可以实现频率变换滤波器的设计,在缺省情况下该函数将生成一个几乎完全中心对称的滤波器,也可指定变换矩阵从而获得其他对称方式的滤波器。 二 . 频率采样方法 频率采样方法是根据所需频率响应创建滤波器的方法,若给出一个指定频率响应幅值的点阵,频率采样方法将创建一个相应的滤波器,该滤波器的频率响应将经过所有给定点。 三 . 窗口方法 将理想的脉冲响应与窗口函数相乘来获得滤波器的方法,频率采样方法类似,窗口方法将产生一个频率响应近似于所需频率响应的滤波器。但是窗口方法得到的结果比频率采样方法要好。
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%%ch5%%f5.11_1i=imread('saturn.tif');j=imnoise(i,'gaussian',0,0.005);[K noise]=wiener2(j,[5 5]);noisesubplot(1,2,1),imshow(j);subplot(1,2,2),imshow(K);%%f5.11_2i=imread('c1513.tif');j=imnoise(i,'gaussian',0,0.005);[K noise]=wiener2(j,[5 5]);subplot(1,2,1),imshow(j);subplot(1,2,2),imshow(K);
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%%f5.12i=imread('saturn.tif');j=imnoise(i,'gaussian',0,0.005);[K noise]=wiener2(j,[5 5]);[B noise]=wiener2(j,0.005);noiseimshow(j);figure,imshow(K);figure,imshow(B);%%f5.13b=remez(10,[0 0.4 0.6 1],[1 1 0 0]);h=ftrans2(b);[h,w]=freqz(b,1,64,'whole');
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colormap(jet(64));subplot(1,2,1),plot(w/pi-1,fftshift(abs(h)));subplot(1,2,2),freqz2(h,[32 32]);%%f5.14h=[0.1667 0.6667 0.1667 0.6667 -3.3333 0.6667 0.1667 0.6667 0.1667];freqz2(h);%%f5.15Hd=zeros(11,11);Hd(4:8,4:8)=1;[f1,f2]=freqspace(11,'meshgrid');mesh(f1,f2,Hd),colormap(jet(64));h=fsamp2(Hd);figure,freqz2(h,[32 32]),axis([-1 1 -1 1 0 1.2]);
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%%f5.16[f1,f2]=freqspace(25,'meshgrid');Hd=zeros(25,25);d=sqrt(f1.^2+f2.^2)<0.5;Hd(d)=1;mesh(f1,f2,Hd);%%f5.17_a_bHd=zeros(11,11);Hd(4:8,4:8)=1;[f1,f2]=freqspace(11,'meshgrid');h=fwind1(Hd,hamming(11));subplot(1,2,1),freqz2(h,[32 32]);h1=fwind1(Hd,hamming(11),hanning(11));
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subplot(1,2,2),freqz2(h1,[32 32]); %%f5.18[f1,f2]=freqspace(21,'meshgrid');Hd1=ones(21);r=sqrt(f1.^2+f2.^2);Hd1((r<0.1)|(r>0.5))=0;win=fspecial('gaussian',21,2);win=win./max(win(:));h3=fwind2(Hd1,win);figure,freqz2(h3); %%xiti_2[f1,f2]=freqspace(25,'meshgrid');Hd=ones(25);d=exp(0-f1.*f2/0.5);
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Hd(d<0.6)=0;
win=fspecial('gaussian',25,0.5);
win=win./max(win(:));
h=fwind2(Hd,win);
Hd1=zeros(25);
Hd1(d>0.4)=1;
h1=fwind2(Hd1,win);
subplot(1,2,1),freqz(h);
subplot(1,2,2),freqz(h1);
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