专题七
曲线的性质和轨迹问题
【考点搜索】
【考点搜索】 1. 掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质; 2. 求曲线的方程的常见方法: ① 待定系数法,即先确定方程的形式,再确定方程的系数; ② 定义法,即根据已知条件,建立坐标系、列出 x和 y 的等量关系、化简关系 ; ③ 代入法 ; ④ 参数法 .
【课前导引】
【课前导引】
1. 已知 F1、 F2是双曲线
的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 ( )
12
2
2
2
b
y
a
x
)0,0( ba
13D. 2
13C. 13B. 324 A.
[解析 ] 设的中点为 P,依题 意,
,212 aPFPF
1313
2,23
a
ceacc故
[解析 ] 设的中点为 P,依题 意,
,212 aPFPF
1313
2,23
a
ceacc故
[答案 ] D
2. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设 A、 B为两个定点, k为非零常数, ,则动点 P的轨迹为 双曲线;
②过定圆 C上一定点 A作圆的动点弦AB,
O为坐标原点,若
则动点 P的轨迹为椭圆;
kPBPA ||||
),(2
1OBOAOP
③ 方程 的两根可
分别作
为椭圆和双曲线的离心率;
0252 2 xx
有与椭圆 135
1925
2222
yxyx
④双曲线
相同的焦点 .
其中真命题的序号为_________ (写出所有真命题的序号)
[解析 ] ① 的轨迹可能是双曲线
的一支,也可能是一条射线,也可
能无轨迹;② 的轨迹是圆;计算知
③④正确。
【链接高考】
【链接高考】
.||||||,0
,
,
,
,1:
,,)05(
2
21
2
2
2
2
21
OPOBOA
PFPF
OCP
C
BAb
y
a
xC
FF
已知坐标原点
为上一点是椭圆的右顶点和上顶点圆
分别是椭、的左右焦点圆
是椭设如图届长郡月考题
x
y
A
P
F1 F2O
B
[例 1]
(1) 设椭圆的离心率为,证明
(2) 证明:
(3)设
求椭圆的方程 .
;2
12 e
;PAOP
,15 PAx
y
A
P
F1 F2O
B
[解析 ] ,,0 )1( 221 cOFOPPFPF 知由
,,),,(, 22112 rPFrPFyxPcab 设依题设有
221
222
2121 2,4,2 brrcrrarr 有则
.
,2
2
c
by
cyb
由面积相等得
2
12222 ecacbc
by x
y
A
P
F1 F2O
B
( 另:由 ab=c2知:
) 2
1
2
51
,2
1
1
1
1
)(
2
22
24
4222422
e
ee
ee
ccaacba
或解出
x
y
A
P
F1 F2O
B
(2) 由 (1) 有c
by
2
bc
bc
c
bba
c
bc
c
bcycx
22
42244
2
4222
),(),,(22
c
bbaPA
c
bbP 那么则
x
y
A
P
F1 F2O
B
0
)1(
)(
22
2
222
2
222
2
42
2
4
cc
c
bac
c
bbc
c
bbab
c
bbabPAOP
PAOP
x
y
A
P
F1 F2O
B
1515 )3( bPA 即
2
15:
,01
2
242
e
eecab
解得
得由
22
,2
222
2
2
aacbac
b
a
c
有
则x
y
A
P
F1 F2O
B
15264
22
yx
故所求椭圆的方程为
x
y
A
P
F1 F2O
B
15264
22
yx
故所求椭圆的方程为
[说明 ] 本题采用了待定系数法求轨迹方程 .
x
y
A
P
F1 F2O
B
[例 2] 在 ABC中 , 已知 B(-3,0),
C(3,0),
的垂心 H分有向
线段 所成的比为
ABCDBCAD ,于
AD .8
1
(1) 分别求出点 A和点 H的轨迹方程 ;
??
1,
1,
1),0,1(),0,1()2(
为什么能成等差数列吗
那么设QHPQHP
QP
[解答 ] 设 H点的坐标为 (x,y),对应的 A
的坐标为 (x1, y1), 则 D的坐标为 (x1,
0), 由 H 分有向线段知所成的比为
8
1AD
1
1
9
8yy
xx
ACBH 又 133 1
1
x
y
x
y
,13
89
3
x
y
x
y故 ),0(1
89
22
yyx即
此即点 H的轨迹方程 .
得代入上式再将 ,
9
81
1
yy
xx
,18
8164
9
212
1 yx ,1
81
8
921
21 yx即
).0(181
8
92
2
yyx
的轨迹方程为故点A
(2)由 (1)可知 , P, Q分别为椭圆的左右
焦
点 , 设 H(x, y), 且
数列 , 则
能成等差QHPQHP
1,
1,
1
但,112
HQHPPQ
故,3
13,
3
13,2 xHQxHPPQ
27,
31
3
1
31
3
1
2
2 2
xxx化简得
.1
,1
,1
不可能成等差数列故QHPQHP
!,0319
18
22
矛盾但此时 xy
.1
,1
,1
不可能成等差数列故QHPQHP
!,0319
18
22
矛盾但此时 xy
[说明 ] 本题采用了代入法求轨迹方程 .
[例 3] 如图,设抛物线的焦点为F,动点 P在直线上运动,过 P作抛物线 C的两条切线 PA、 PB,且与抛物线 C分别相切于 A、 B两点 .
(1) △求 APB的重心G的轨迹方程 .
(2) ∠证明 PFA=
∠PFB.
AB
P
F
O
y
x
l
[解答 ] (1)设切点 A、 B坐标分别 为 ))((,(),( 01
211
200 xxxxxx 和
;02: 200 xyxxAP的方程为切线
;02: 211 xyxxBP的方程为切线
10
10 ,2
:
xxy
xxx
P
P
P
点的坐标为解得A
B
P
F
O
y
x
l
△所以 APB的重心 G 的坐标为
,310
PP
G xxxx
x
,2
43
3
2
1021
20
10
PP
PG
yx
xxxx
yyyy
AB
P
F
O
y
x
l
).24(3
1
,02)43(
2
2
xxy
xyx
即
:
,
,43 2
迹方程为
的轨从而得到重点上运动直线
在由点所以
Gl
Pxyy GGp
AB
P
F
O
y
x
l
).4
1,(
),4
1,
2(
),4
1,(:1)2(
211
1010
200
xxFB
xxxx
FP
xxFA因为方法
由于 P点在抛物线外,
.0|| FP则
AB
P
F
O
y
x
l
||41
)41
(||
)41
)(41
(2
||||cos
10
220
20
20100
10
FP
xx
xxFP
xxxxxx
FAFP
FAFPAFP
AB
P
F
O
y
x
l
||41
)41
(||
)41
)(41
(2
||||cos
10
221
21
21101
10
FP
xx
xxFP
xxxxxx
FBFP
FBFPBFP
同理有
∴∠AFP= PFB.∠
AB
P
F
O
y
x
l
.04
1)
4
1(
,41
4
1:
;2
||:
),0,2
(,0,0
,,0)1(
1121
1
21
11
100
0101
xyxxx
xx
xyBF
xdAFP
xPyx
xxxx
即的方程为直线
而的距离为点到直线则
点坐标为所以则设
不妨由于时当方法 2:
2
||
41
2||
)41
(
)()41
(
|42
)41
(|
:
1
21
121
21
221
1121
2
x
x
xx
xx
xxx
d
BFP
的距离为点到直线所以
所以 d1=d2 ∠,即得 AFP = PFB.∠
,04
1)
4
1(
),0(041
4
1
:,0)2(
0020
0
20
21
xyxxx
xx
xy
AFxx
即
的方程直线时、当
所以 P点到直线 AF的距离为:
|2
|
41
)41
(|2
|
)41
(
|41
)2
)(41
(|
10
20
20
10
20
220
0120
1020
1
xx
x
xxx
xx
xxxxx
xd
同理可得到 P点到直线 BF 的距离
2
|| 012
xxd
因此由 d1=d2 ∠,可得到 AFP= PFB.∠
同理可得到 P点到直线 BF 的距离
2
|| 012
xxd
因此由 d1=d2 ∠,可得到 AFP= PFB.∠
[说明 ] 本题采用了代入法求轨迹方程 .
[例 4] 如右图 , ⊙已知 A: (x+2)2+y2 = 4
25
⊙B: (x2)2+y2 = , 动圆 P与⊙ A ⊙、 B都相外切 .
4
1
y
xA B
P (1)动圆圆心 P的轨迹方程; (2)若直线y=kx+1与 (1)中的曲线有两个不同的交点P1、 P2,求 k的取值范围 .
[解答 ] (1)依题意, PAPB=
22
1
2
5
故 P的轨迹是双曲线的右支, a=1, c=2,
其方程为:)1(1
3
22 xy
x
y
xA B
P
(2)联立方程组
:1
3
12
2得消yy
x
kxy
(*)042)3( 22 kxxk
在 [1, +)有两不同的解,
012)1(
0)3(164
13
2
22
2
kkf
kk
k
k
则
)3,2
13()3,2(
的范围是解得k
[例 5] A、 B 是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB,
1. 求 A、 B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
2. 求证:直线 AB过定点;
3. 求弦 AB中点 P的轨迹方程;
4. △求 AOB面积的最小值;
5. 求 O在AB上的射影 M轨迹方程 .
[解答 ] (1)设 A(x1, y1), B(x2, y2),中点 P(x0, y0) ,
2
2
1
1 ,x
yk
x
yk OBOA
∵ OA OB kOAkOB=-1⊥ ∴ ,∴ x1x2+y1y2=0
∵ y12 = 2px1, y22 = 2px2 022 21
22
21 yy
p
y
p
y
∵ y1≠0, y2≠0, y1y2=4p2 x1x2=4p2.∴ ∴
(2) y12=2px1∵ , y22=2px2
∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)
2121
21 2
yy
p
xx
yy
21
2
yy
pkAB
)(2
: 121
1 xxyy
pyyAB
直线
21
11
21
22
yy
pxy
yy
pxy
21
2112
1
21
22
yy
yypxy
yy
pxy
2211
21 4,2 pyypxy
21
2
21
42
yy
p
yy
pxy
)2(2
21
pxyy
py
∴ AB过定点 (2p, 0),设M(2p, 0).
(3)设 OA y = kx∶ ,代入 y2=2px 得 : x=0 ,
)2
,2
(2 k
p
k
p
同理, 以代 k得 B(2pk2, -2pk) . k
1
)1
(
)1
(
0
22
0
kk
py
kkpx
2)1
(1 2
22
k
k
kkk
2)( 200 p
y
p
x
即 y02 = px0-2p2,
∴ 中点M 轨迹方程 y2 = px-2p2
|)||(||)||(|||2
12121 yypyyOM
SSS BOMAOMAOB
(4)
221 4||2 pyyp
当且仅当 |y1|=|y2|=2p时,等号成立 .
(5)法一:设 H(x3, y3), 则3
3
x
ykOH
3
3
y
xkAB )(: 3
3
33 xx
y
xyyAB
得代入即 pyxyyx
yx 2)( 2
333
3
,0222
33
23
3
32 pxx
py
x
pyy
由 (1) 知, y1y2=-4p2 , 23
3
23 42
2ppx
x
py
整理得: x32+y32 -2px3=0,
∴ 点 H轨迹方程为 x2+y2-4x=0(去掉 (0,
0)).
∴ H在以 OM为直径的圆上
∴ 点 H轨迹方程为 (x-p)2+y2=p2, 去掉(0, 0).
评注:此类问题要充分利用 (1)的结论 .
∵ ∠法二: OHM=90, 又由 (2)
知 OM为定线段
专题七 曲线的性质和轨迹问 题
第二课时
【考点搜索】
【考点搜索】 1. 在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用; 2. 注意向量与解析几何的密切联系 . 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,使向量与解析几何之间有着密切联系,大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 ; 3. 注意利用曲线系解题 .
【课前导引】
1. 已知反比例函数 的图
像是等轴双曲线,则其焦点坐标是 (
)
xy
3
【课前导引】
A.
B.
C.
D.
)6,6(),6,6(
)3,3(),3,3(
)32,32(),32,32(
)62,62(),62,62(
[解答 ] 双曲线的实轴为直线 x-y =
0, 故
两个顶点坐标为
, 且
)0,3(),0,3(
).6,6(),6,6(,
,3226,623
焦点坐标是图像知
结合ca
[解答 ] 双曲线的实轴为直线 x-y =
0, 故
两个顶点坐标为
, 且
)0,3(),0,3(
).6,6(),6,6(,
,3226,623
焦点坐标是图像知
结合ca
[答案 ] A
2. 已知圆 x2+y2=1,点
A(1, 0) △, ABC内接于此
∠圆, BAC=60o,当 BC在圆上运动
时, BC中点的轨迹方程是 ( )A. x2+y2 =
2
1B. x2+y2 =
4
1
C. x2+y2 = )2
1(
2
1x D. x2+y2 = )
4
1(
4
1x
[解析 ] 记 O为原点,依题意,
且 OB=OC=1, 故原点到直线 BC的距离
为
由图像可知, BC中点的横坐标小于
故选 D.
,3
2BOC
,2
1
,4
1
【链接高考】
【链接高考】
[例 1] 若直线 mx+y+2=0与线段 AB
有交点,其中 A(-2, 3), B(3,
2),求实数 m的取值范围 .
[解答 ] 直线 mx+y+2=0过一定点 C(0, -2), 直线 mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系,因为直线与线段 AB有交
∠点,则直线只能落在 ABC的内部,设BC、 CA这两条直线的斜率分别为k1、 k2,则由斜率的定义可知,直线mx+y+2=0的斜率 k应满足 k≥k1或 k≤k2 ,∵ A(-2, 3) B(3, 2)
2
5
3
421 kk
2
5
3
4
2
5
3
4 mmmm 或即或
C(0, -2)
A
Bx
y
O
[说明 ] 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率 m应为倾角的正切,而当倾角在 (0, 90)或 (90, 180)
内,角的正切函数都是单调递增的,因此∠当直线在 ACB内部变化时, k应大于或
等于 kBC,或者 k小于或等于 kAC,当A、 B两点的坐标变化时,也要能求出 m
的范围 .
[例 2] 根据下列条件,求双曲线方程 .
).2,23(
,1416
)2(
);32,3(
,1169
)1(
22
22
且过点
有公共焦点与双曲线
且过点
有共同渐近线与双曲线
yx
yx
[解答 ] 方法一:
,3
41
169
22
xyyx
的渐近线为双曲线(1)
,
,)0(3
4
)32,3(,432,4,3
轴上双曲线焦点在
轴负半轴之间及在射线
故点因令
x
xxxy
yx
故设双曲线方程为 ),0,0(,12
2
2
2
bab
y
a
x
1)32()3(
3
4
2
2
2
2
ba
a
b
4
4
9
2
2
b
a解之得:
.14
49
22
yx双曲线方程为
)0,0(1)2(2
2
2
2
bab
y
a
x设双曲线方程为
12)23(
20
2
2
2
2
22
ba
ba
则
8
122
2
b
a , 解之得:
.1812
22
yx
双曲线的方程为
方法二: (1) 设双曲线方程为 )0(169
22
yx
4
1,
16
)32(
9
)3( 22
.14
49
22
yx双曲线方程为
(3) 设双曲线方程为 1416
22
k
y
k
x
04
016
k
k
14
2
16
)23( 22
kk
, 解之得: k=4
∴ 双曲线方程为 1812
22
yx
).0
,0(1
1.,0;
,0),0(
1:
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
kb
kakb
y
ka
x
b
y
a
xy
xb
y
a
x
b
y
a
x
共焦点的双曲线为
与双曲线轴上焦点在时当上
轴焦点在时当方程为
共渐近线的双曲线与双曲线评注
比较上述两种解法可知,引入适
当的参数可以提高解题质量,特别是充
分利用含参数方程的几何意义,可以更
准确地理解解析几何的基本思想 .
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x[例 3] 已知直线 l与椭圆
有且仅有一个交点 Q,且与 x轴、 y轴分别交于 R、 S,求以线段 SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点 P的轨迹方程 .
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x[例 3] 已知直线 l与椭圆
有且仅有一个交点 Q,且与 x轴、 y轴分别交于 R、 S,求以线段 SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点 P的轨迹方程 .
[解答 ] 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l的方程为
代入椭圆方程 得
).0( kmkxy
,222222 bayaxb
.)2( 22222222 bamkmxxkaxb
化简后,得关于的一元二次方程
.02)( 222222222 bamamxkaxbka
于是其判别式
).(4
))((4)2(222222
222222222
mbkaba
bamabkamka
△由已知,得 =0 .即 ①
.2222 mbka
在直线方程 y=kx+m中,分别令y=0, x=0,
求得).,0(),0,( mS
k
mR
令顶点 P的坐标为 (x, y) ,由已知,得
.
,
.
,
ymx
yk
myk
mx
解得
① 代入 式并整理,得 ,12
2
2
2
y
b
x
a
即为所求顶点 P的轨迹方程 .
[说明 ] 方程
形似椭圆的
标准方程,但图像当然不是椭圆,你能
知道它有什么几何性质?
12
2
2
2
y
b
x
a
.,3
,3,,
)0(1:
2
21
2
2
2
2
的方程和椭圆求直线
且轴交于点与直线点
两、交于的椭圆
与离心率为的直线一条斜率为
ClRQ
PROQOPRYl
QPbab
y
a
xC
l
[例4]
02243
:1
2
),(),,(,
:,12
2,2
2,
2
2
222
2
2
2
2
2211
2
2
2
2
22
bmmxx
y
mxy
b
y
b
x
yxQyxPmxy
lb
y
b
x
baa
c
得消去由
方程为设所以椭圆方程为
椭圆离心率为[解 ]
0)3(8)22(3416 22222 bmbmm
(*)3 22 mb
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2 2221 bmxx ……( 2 )
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136
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22
2
22
21
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22
yxC
xyxyl
mb
bm
xx
myxymx
RQPRmR
bm
的方程为椭圆
或方程为所以所求直线
适合解得由
得由
从而
又
所以
[说明 ] 向量数量积的坐标表示,构建
起向量与解析几何的密切关系,使向量与
解析几何融为一体 . 求此类问题的关键
是:利用向量数量积的坐标表示,沟通向
量与解析几何的联系 . 体现了向量的工
具性 .
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