斐波那契数列在初中数学竞赛中的应用
温州新星学校 易永彪 [email protected]
“十秒钟加数”
请用十秒,计算出左边一条加数的答案。
12358
13213455
+ 89??
时间到!
数学活动:
答案是 231.
“十秒钟加数”
换一个试试!
345589
144233377610987
1597+ 2584
????
时间到!答案是 6710 。
数学活动:
细看这两个数列:12358
13213455
+ 89231
345589
144233377610987
1597+ 2584
6710
您有什么发现吗?
问题的提出• 在 1202 年,斐波那契在他的著作中,
提出以下的一个问题:• 假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大
兔,再过一个月就能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔,一年内没有发生死亡,问:一对刚出生的兔子,一年内繁殖成多少对兔子 ?
这就是著名的“兔子问题”
合作探究:
1 月 1 对
1 月 1 对2 月 1 对
合作探究:
1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对
合作探究:
1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对
合作探究:
1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对
合作探究:
1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对
合作探究:
1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对7 月 13 对
合作探究:
• 可以将结果以表格形式列出:1 月 2 月 3 月 5 月4 月 6 月
7 月 8 月 9 月 11 月10 月 12 月
1 1 2 3 5 8
13 21 34 55 89 144
• 因此,兔子问题的答案是 144 对。• 以上的数列,是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全
书》中提出的,亦被称为“斐波那契数列”
归纳小结:
斐波那契数列
这个数列有着十分明显的特点,那是:
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 ,55 ,…数列中的每一个数都被称为斐波那契数。
1 2n n na a a 前面相邻两项之和,构成了后一项。
( n 为正整数)
连续 10个斐波那契数之和,与第 7 个数有什么关系吗?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a a a a a a a a a a 即:
与 有什么关系吗?7a
我们发现:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 711a a a a a a a a a a a
现在你知道“十秒钟加数”的秘密了吗?
1 2n n na a a
“十秒钟加数”的秘密:
• 我们发现: 连续 10个斐波那契数之和,必定等于第 7 个数的 11倍!
12358
13213455
+ 89??
• 所以右式的答案是:21 11 = 231
• 又例如:
• 右式的答案是:
345589
144233377610987
1597+ 2584
????
610 11 = 6710
“十秒钟加数”的秘密:
下图是一个树形图的生长过程,依据图中
所示的生长规律,第 16 行的实心圆点的个
数是 .(迎春杯赛题) 610
一个楼梯共有 10 级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶,从地面到最上面一级台阶,一共可以有多少种不同的走法?分析: 1 级台阶,有 1 种;
2 级台阶,有1 、 1 ;2 ,共 2 种;3 级台阶,有1 、 1 、 1 ;1 、 2 ;2 、 1 ;共 3 种;4 级台阶,有1 、 1 、 1 、 1 ;1 、 1 、 2 ;1 、 2 、 1 ;
2 、 1 、 1 ;2 、 2 ;共 5 种;5 级台阶,若第一次迈 1 级台阶,还剩 4 级,有几种?
若第一次迈 2 级台阶,还剩 3 级,有几种?你有什么发现? 2 1n n na a a
加法原理
一个楼梯共有 10 级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶,最多可以迈三级台阶。从地面到最上面一级台阶,一共可以有多少种不同的走法?分析: 1 级台阶,有 1 种;
2 级台阶,有1 、 1 ;2 ,共 2 种;3 级台阶,有1 、 1 、 1 ;1 、 2 ;2 、 1 ;3 ;共 4 种;4 级台阶,有1 、 1 、 1 、 1 ;1 、 1 、 2 ;1 、 2 、 1 ;
2 、 1 、 1 ;2 、 2 ;1 、 3 ;3 、 1 ;共 7 种;
你又有什么发现呢? 3 2 1n n n na a a a 那 5 级台阶呢?那 6 级台阶呢?那 7 级台阶呢?
2 、有一堆火柴共 12 根,如果规定每次取 1 ~ 3 根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
考考你:
1 、一只青蛙从宽 5 米的水田的一边要跳往另一边 , 它每次只能跳 0.5 米 , 或 1 米 ,
这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法 ?
共有 89种
共有 927 种
3 、如下图,小方和小张进行跳格子游戏,小方从 A 跳到 B ,每次可跳 1 步或 2 步;小张从 C
跳到 D ,每次可跳 1 步、 2 步或 3 步。试比较:谁跳到目标处的不同跳法多?多几种?
A C B D
小方要跳 11 步、小张要跳 9 步。
小方有 144 种,小张有 149 种,
小张的不同跳法多,多 5 种。
斐波那契数列是 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ,……,它的前两项都是 1 ,之后的每一项都等于前两项的和。问题 1 :在斐波那契数列的前 2010 项中,
有多少个偶数?问题 2 :在斐波那契数列的前 2010 项中,
有多少项的末位数等于 2 ?
问题 2 :在斐波那契数列的前 2010 项中,
有多少项的末位数等于 2 ?分析:显然要尝试按模 10 计算,即只考察其个位数 且寻求其重复的循环规律。
1 1 2 3 5 8 3 1 4 5
9 4 3 7 0 7 7 4 1 5
6 1 7 8 5 3 8 1 9 0
9 9 8 7 5 2 7 ……
前一半部分
后一半部分
问题 3 :根据刚才探索的经验,你能尝试提出一个 新的问题吗?让你的同伴进行解决。
本节课你学到什么?
有什么收获?
同学们再见!
谢
谢
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