第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分
§1 复积分的概念及其简单性质
§2 柯西积分定理
§3 柯西积分公式及其推论
§4 解析函数与调和函数的关系
第第 11 节 复积分的概念及其简单性质节 复积分的概念及其简单性质1. 复变函数积分的定义 : 逐段光滑的简单闭曲线简称为围线 .
定义 3.1 设有向曲线 C: 以 为起点 , 为终点 , 沿 C 有定义 . 顺着 C 从 a 到 b的方向在 C 上取分点 : 把曲线 C 分成若干个弧段 ( 图 3.1)
其中
图 3.1
( ), ( )z z t t
( )a z ( )b z ( )f z
bzzzzza nn ,...,,, 1210
1k k kz z 在从 到 (k=1, 2, , n)的每一弧段上任取一点 ,作成和数
1
( )n
n k kk
s f z
1k k kz z z .
当分点无限增多 , 而这些弧段长度的最大值趋于零时 , 如果和数 的极限存在且等于 J, 则称 沿 C( 从 a 到 b) 可积 , 而称 J 为 沿 C( 从 a 到 b) 的积分 ,
并以记号 : 表示 :
C 称为积分路径 . 表示沿 C 的正方向的积分 , 表示沿 C 的负方向的积分 . 定理 3.1 若 沿曲线 C 连续 , 则 沿 C 可积 , 且
(3.1)
ns( )f z ( )f z
( )dCf z z
( )dC
J f z z( )d
Cf z z
( )dCf z z
( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y ( )f z
( )c c cf z dz udx vdy i vdx udy
证 : 设
上式右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数 . 在定理的条件下 ,必
有 沿 C 连续 , 于是这两个曲线积分都是存在的 , 因此 , 积分
存在 , 且有公式 (3.1)
1 1
11 1 1
, ,
, ( , ) , ( , )
: ( )( ) )( ) ( ) ( )
k k k k k k k k k
k k k k k k k k k
n n n
n k k k k k k k k k k k k k kk k k
z x iy x x x y y y
i u u v v
s f z z iv x i y u x v y i u y v x
n
kk=1
得 (u
( , ) ( , )u x y v x y及
( )dCf z z
例 3.1 命 C 表连接点 a 及 b 的任一曲线 , 试证 :(1) (2) 证 : (1) 因
(2) 因
取 由定理 3.1 可知积分 存在 , 且应与
的极限相等 , 从而应与 的极限相等 , 今
dCz b a 2 21
d ( ).2C
z z b a 1
1 max| | 0
( ) 1, ( ) , lim ,k
n
n k k nx
k cz
f z s z z b a s b a dz b a
故 即
1 1 11
( ) , , : 1 ( )n
k k k k kk
f z z z z z z
选 则得
11
, : 2 ( )n
k k k k kk
z z z z
则得 dCz z
1 2 及 12 ( 1 2)
2 2 2 2 21 2
1
1 1 1 1( 1 2) ( ) ( ), d ( ).
2 2 2 2
: , 0, 0
n
k k Ck
c c
z z b a z z b a
C dz zdz
故
注 当 为闭曲线时
2. 复变函数积分的计算问题 设有光滑曲线 C:
'
' ' '
' '
( ) ( ) ( )( ), ( ) [ , ]
( ) ( ) ( ). ( ) , [ ( )] [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( ) ( )
(3.1) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
[ ( )
c c c
z z t x t iy t t z t
z t x t iy t f z C f z t u x t y t iv x t y t u t iv t
f z dz udx vdy i udy vdx u t x t v t y t dt
i u t y
这就表示 在 上连续且有不为零的导数
又设 沿 连续 今
由公式 有
' ' '
' '
( ) ( ) ( )] , ( ) [ ( )] ( ) ,(3.2)
( ) Re{ [ ( )] ( )} Im{ [ ( )] ( )} , (3.3)
c
c
t v t x t dt f z dz f z t z t dt
f z dz f z t z t dt i f z t z t dt
即
或
例 3.2
这里 C 表示以 a 为心 ,p 为半径的圆周 ( 注 : 积分值与 a,p 无关 )证 : C 的参数方程为 :
2 , ( 1)d
0, ( 1 )( )nC
i nz
nz
的整数
ieaz
(3.2) 2 2
0 0
(3.2) 2 2 ( 1)10 0
2 2
1 0 0
d2 .
1
( )
[ cos( 1) sin( 1) ] 0
i
iC
ii n
c n n in n
n
z i e di d i
z e
n n
dz i e d ie d
z a e
in d i n d
当 为整数且 时
3. 复变函数积分的基本性质 : 设 f(z),g(z) 沿曲线 C 连续 , 则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性质 :
为复常数)azzfazzafCC
()()().1( dd
(2). [ ( ) ( )]d ( )d d C C Cf z g z z f z z g(z) z
1 21 2(3). ( )d ( )d d ( )
C C Cf z z f z z f(z) z C C C 其中 由曲线 和 衔接而成
dd CC
zzfzzf )()().4(
2 2
1 1
(5). | ( )d | | ( ) || | | ( ) |
( ) ( )
(5) , :
| ) | | ( ) || | | ( ) |
c cC
n n
k k k k kk k
f z z f z dz f z ds
dx dy ds
z f z f s
n
kk=1
这里| dz|表示弧长的微分,即: | dz| =
要得到 式只要对下列不等式取极限
f (
定理 3.2( 积分估值 ) 若 f(z) 沿曲线 C 连续 , 且有正数 M>0 使L 为 C 之长 , 则 :
证 : 由不等式 : 取极限即可 .
| ( ) |f z M
| ( )d |Cf z z ML
1
| ) | | |
n
k kk
z M z ML
n
kk=1
f (
例 3.3 计算积分 :
解 : (1) 连接 o 及 1+i 的直线段的参数方程为 :
(2) 连接 o 与 1 的直线段的参数方程为 :连接点 1 与 1+i 的直线段的参数方程为:
Re , (
(1)
c zdz C
o
其中积分路径 图3. 2)为:
连接由点 到点1+i的直线段(2)连接由点o到点1的直线段及连接由点1到点1+i的直线段所成的折线
(1 ) (0 1),z i t t
1 1
0 0
1Re {Re[(1 ) ]}(1 ) (1 )
2c
izdz i t i dt i tdt
故
(0 1)z t t
(1 ) (1 ) (0 1) 1 (0 1)z t i t t z it t 即
1 1 1 1
0 0 0 0
1Re Re [Re(1 )]
2c zdz tdt it idt tdt i dt i 故
ͼ3.2
1
y
x
1+i
O
§§ 2 柯西积分定理2 柯西积分定理
1. 柯西积分定理定理 3.3 设 在 Z 平面上的单连通区域 D 内解析, C 为 D 内任意一条围
线,则
证明:令 ,由公式 (3.1) 得 由假设 在 D 内连续,从而 在 D 内连续,且 C-R 满足条件: 根据格林( Green )定理有 , 因此
( ) 0Cf z dz
, ( ) ( , ) ( , )z x iy f z u x y iv x y
( )C C Cf z dz udx vdy i vdy udx
( )f z
( )f z
, , ,x y x yu u v v
,x y y xu v u v 0Cudx vdy
0Cvdx udy ( ) 0
Cf z dz
定理 3.4 设 在单连通区域 D 内解析, C 为 D 内任意一条闭曲线( C 不必为简单闭曲线),则
推论 3.5 设 在单连通区域 D 内解析,则对于 D 内任意两点 与 ,积分值 与连接起点 与终点 的路径无关.
证明:设 与 是 D 内连接 与 的两条曲线,则正方向曲线与负方向曲线 就连接成 D 内的一条闭曲线 C , 从而由柯西积分定理及 § 1的性质(3)有 :
因此
( )f z
( ) 0Cf z dz
( )f z 0z 1z1
0
( )z
zf z dz 0z 1z
1C 2C 0z 1z 1C
2C
1 2
0 ( ) ( ) ( )C C Cf z dz f z dz f z dz
1 2
( ) ( )C Cf z dz f z dz
2.不定积分定理 3.6 设 在单连通区域 D 内解析,则由 (3.5) 定义的函数 在 D 内解析,且
证明: 作一个以 Z 为心,以充分小的 为半径的圆 ,使得 在 内 取动点 ,则
由于积分与路径无关,因而我们可取 的积分路径为由 沿 与相同的路径到 Z , 再从 Z 沿直线段到 , 从而有
于是
图 3.3
( )f z ( )F z( ) ( )F z f z
z D C C D C
( 0)z z z
0 0
( ) ( ) 1[ ( ) ( ) ]
z z z
z z
F z z F zf d f d
z z
0
( )z z
zf d
0z
0
( )z
zf d z z
0
( ) ( ) 1( )
z z
z
F z z F zf d
z z
0
( ) ( ) 1( ) ( ) ( )
z z
z
F z z F zf z f d f z
z z
0 0 0
1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
z z z z z z
z z zf d f z d f d f z d
z z z
但已知 在 D 内连续,所以对 ,可取上述的 充分小,使得在 内的一切点 均有 , 从而由定理 3.2 有
即
定理 3.7 设 (1) 在单连通区域 D 内连续.(2) 沿区域 D 内任一条围线 C 的积分为零,则函数( 为 D 内一定点)在 D 内解析,且 ( )
定义 3.2 设 在区域 D 内连续,则称满足 条件( )的函数 为 的一个原函数.定理 3.8 (牛顿-莱布尼兹公式)在定理 3.6 或定理 3.7 的条件下,
(3.7)
( )f z 0 C
( ) ( )f f z
0
( ) ( ) 1( ) [ ( ) ( )]
z z
z
zF z z F zf z f f z d
z z z
0
( ) ( )( ) lim ( )
z
F z z F zF z f z
z
( )f z
( )Cf d
0
( ) ( )z z
zF z f d
0z ( ) ( )F z f z z D
( )f z [ ( )] ( )z f z z D ( )z( )f z
00( ) ( ) ( )
z
zf d z z 0 ,z z D
例 3.5
解:因为 在 z 平面上解析, 为 的一个原函数,故由( 3.7 )式即得
例 3.6 求
解:因为 在平面上解析,且 为它的一个原函数,故
2 3
0
iz dz
3z
4
4
z3z
42 3 2 4
00
1(2 )
4 4
i izz dz i
2cosb
az z dz
2cosz z21
sin2
z
2 2 2 21 1cos sin (sin sin )
2 2
b baa
z z dz z b a
3.柯西积分定理的推广
定理 设 C 是一条围线, D 是 C 的内部, 在闭区域 上解析, 则
定理 3.9 设 C 是一条围线, D 是 C 的内部, 在 D 内解析,在 上连续,则
3.3 ( )f z D D C
( ) 0Cf z
( )f z D D C
( ) 0Cf z dz
§§ 3 柯西积分公式及其推论3 柯西积分公式及其推论
1.柯西积分公式定理 3.10 (柯西积分公式)设围线 C 是区域 D 的边界, 在 D 内解析, 在 上连续,则 ( )( 3.9 )
证明:对于任意固定一点 ,则函数 作为 的函数在 D 内除点 z 外解析.现以点 z 为心,充分小的 为半径作圆周 ,使 对于复围线 及函数 ,应用定理 3.10 的( 3.8 )式有
而由例 3.2 知
( )f z
D D C 1 ( )( )
2 C
ff z d
i z
z D
z D( )
( )f
Fz
0 L L D
C L ( )F
( ) ( )C L
f fd dz z
( )2
L
fd iz
因此
又 根据的连续性知对 ,只要 时,就有 ( )
于是由定理 3.2 知 由的任意性即知,有 ( 3.10 )
故有
( ) ( )2 ( ) 2 ( )
C L
f fd if z d if zz z
( ) ( ) ( ) ( )C L L
f f f f zd d dz z z
( )f 0, 0 z
( ) ( )2
f f z
L
( ) ( ) ( )2 ( )
C L
f f f zd if z dz z
22
( )2 ( )
C
fd if zz
z D
1 ( )( )
2 C
ff z d
i z
例 3.7 求 ,其中 C 为圆周 解:因为在闭圆上解析.所
以满足定理 3.11 的条件,故由( 3.10 )式有
又知 这是因为 在 z 平面上解析
定理 3.12 若函数 在圆 内解析,在闭圆 上连续,则
即 在圆心 的值等于它在圆周上的值的算术平均值.
2(9 )( )Cd
i
2
2
2 2
(9 )2
(9 )( ) ( ) 9 5iC Cd d i
i i
0
1 sin 1 sin2 2 sin 0
2 2 0 zz z
z zdz dz z
i z i z sin z
( )f z0z R
0z R
2
0 00
1( ) ( Re )
2if z f z d
( )f z
0z
2. 解析函数的无穷可微性我们将柯西积分公式( 3.10 )形式地在积分号下求导后得: ( 3.14 )
再求导一次得 由此我们推得定理 3.13 在定理 3.10 的条件下,函数 在区域 D 内有各阶导数,且有
( ) ( 3.15 )
证明:首先,当 时,我们证明( 3.14 )式成立,应用( 3.10 )我们有( )因此
2
1 ( )( )
2 ( )C
ff z d
i z
z D
3
2! ( )( )
2 ( )C
ff z d
i z
( )f z
( )1
! ( )( )
2 ( )n
nC
n ff z d
i z
, 1, 2,z D n
1n
0z ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( )[ ]2 2C C
f z z f z f fd d
z z i z z i z
1 ( )
2 ( )( )C
fd
i z z z
2
( ) ( ) 1 ( )
2 ( )C
f z z f z fd
z i z
2
1 ( ) 1 ( )
2 ( )( ) 2 ( )C C
f fd d
i z z z i z
2
1 ( )
2 ( ) ( )C
zfd
i z z z
由定理 3.11 的条件知 ,使得 均有 ,从而
因此由定理 3.2 知
故对 ,只要 ,有
即有 于是( 3.14 )式成立
0M C ( )2
df
2
dz z z z
2 32
1 ( )
2 ( ) ( ) 22
C
z z MLzf MLd
di z z z dd
3
0, min( , ) 02
d d
ML
z
2 3
( ) ( ) 1 ( )
2 ( )C
z MLf z z f z fd
z i z d
20
( ) ( ) 1 ( )( ) lim
2 ( )Cz
f z z f z ff z d
z i z
例 3.8 计算 其中是绕一周的围线
解:因为 在 z 平面上解析,故应用公式( 3.15 )得
定理 3.14 设 在区域 D 内解析,则 在 D 内具有各阶导数,并且它们也 都在 D 内解析.
证明: ,则我们作一个以 为心,以充分小 的为半径的圆使得
此闭圆全含于 D 内,则由定理 3.13 和 在此圆内有各阶导数,特别地
在 有各阶导呼,再由 的任意性即推得 在 D 内有各阶导数.
3
cos
( )C
zdz
z i
cos z
1
3
cos 2(cos ) cos
( ) 2! 2nz iC
z i e edz z i i i
z i
( )f z ( )f z
0z D 0z 0
( )f z
( )f z0z 0z D
( )f z
3.柯西不等式与刘维定理定理 3.15 (柯西不等式)设 在区域 D 内解析, 为 D 内一点,区域 包含于 D ,则有 ( )其 中 .
证明:应用定理 3.13 于 上,则有
由柯西不等式,我们又可得到:
刘维尔定理: z 平面上解析且有界的函数 必为常数.
( )f z a
:k a R ( ) ! ( )( )n
n
n M Rf a
R 1,2,n
( ) max ( )z a R
M R f z
k
( )1 ( 1)
! ( ) ! ( ) ! ( )( ) 2
2 ( ) 2n
n n na
n f n M R n M Rf a R R
i a R R
1,2,n
( )f z
代数基本定理 在 z 平面上, n次多项式 ( )至少有一个零点.证明:(反证法)假设 在 z 平面上无零点,由于 在平面上解析,从 而 在 z 平面上也是解析的.其次,由于
所以 于是 ,使得 , 又因为 在 上连续,故 ,
使得 ( )从而在 z 平面上有
即 在 z 平面上解析且有界,因此根据刘维尔定理, 为常数,故
亦为常数,与已知 为多项式矛盾,定理得证.
11 1 0( ) n n
n np z a z a z a z a
0na
( )p z ( )p z
1
( )p z
1 011
lim ( ) lim ( )n nn n nz z
a aap z z a
z z z
1lim 0
( )z p z
0R 1
1( )p z
z R1
( )p z z R 0M
1
( )M
p z z R
11
( )M
p z
1
( )p z1
( )p z
( )p z ( )p z
4.摩勒拉定理
柯西积分定理说明,只要 在单连通区域 D 内解析,则对 D 内任一围线均有 ,我们现在证明其逆也是正确的.
摩勒拉定理 设函数 在单连通区域 D 内连续,且对 D 内任一围线 C ,有 ,则 在 D 内解析.
证明:在假设条件下,由定理 3.7 知,函数 ( )在 D 内解 析,且 ( )再由定理 3.14 知 在 D 内还是解析
的,此即说明 在 D 内解析的.
( )f z
( ) 0Cf z dz
( )f z( ) 0
Cf z dz ( )f z
0
( ) ( )z
zF z f d 0z D
( ) ( )F z f z z D ( )F z
( )f z
§4 §4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 定义 3.5 如果二元实函数 在区域 D 内有二阶连续偏导数,且满 足拉普拉斯方程 , 则称 为区域 D 内的调和函数 .
定义 3.6 在区域 D 内满足 C-R 条件 的两个调和函数 中 , 称为 在区域 D 内的共轭调和函数 .
u v u v
x y y x
, ,
vu, v u
yxH ,
0H yxH ,
定理 3.18 若 在区域 D 内解析 , 则在区域 D 内 必为
的共轭调和函数 . 假设 D 是一个单连通区域, 是区域 D 内的调和函数,则 在 D 内有二
阶连续偏导数,且
即 : 在 D 内有一阶连续偏导数,且
由数学分析的定理,知道 是全微分, (3.21)
则 ( 3.22 )
, ,f z u x y v x y ,v x y
,u x y
,u x y ,u x y
2 2
2 2
u u
x y
=0
u
y
- u
x
,u u
y y x x
,u v
y x
-u udx dyy x
-
0
,
,
x y
y
u udx dyy x
0x
v x, y = - +C
定理 3.19 设 是在单连通区域 D 内的调和函数 , 则存在由( 3.22 )式所确定的函数 , 使 是 D 内的解析函数 .
注 (1) 如单连通区域 D包含原点 , 则( 3.22 )式中的 显然可取成原点 (0,0);如 D非单连通区域,则积分( 3.22 )可能规定一个多值函数 . (2) 公式( 3.22 )不必强记 , 可以先如下去推( 3.21 ):由 , 然后两端积分之。
(3) 类似地,
然后两端积分,有
,u x y
,v x y u iv f z
0, 0x y
, . .x y y xdv x y v dx v dyC Ru dx u dy
, . .x y y xdu x y u dx u dyC Rv dx v dy
0
,
,
x y
y xyu v dx v dy
0xx, y = +C
例 3.15 验证 是 z 平面上的调和函数 , 并求以 为实部的解析函数 , 使合
解 因在 z 平面上任一点 , , 故 在平面 z 上为调和函数 .
法一
故
要合必 故
3 2, 3u x y x xy ,u x y
f z 0f i
2 23 3xu x y 26 , 6 , 6y xx yyu x u x u x ,u x y
,0 2 2
0,0
, 2 2
,0
2 2
0
2 2
0
2 3
, 3.22 6 3 3
6 3 3
3 3
3 3
3
x
x y
x
y
y
uv x y xydx x y dy
xydx x y dy C
x y dy C
x y dy C
x y y C
33 2 2 3 33 3f z u iv x xy i x y y C x iy iC z iC
0f i 3f z z i
法二 先由 C.-R 条件中的一个得 故 再由 C.-R 条件中的另一个得
故 即
因此 ( 下同法一 )
2 23 3y xv u x y
2 33v x y y x
6 6x yv xy x u xy
' 0x x C
2 3, 3v x y x y y C