مدل سينماتيکی روبات متحرک چرخدار
ارائه دهنده : احسان ا.. غالمی
فهرست مطالب
مقدمه
طبقه بندی چرخها
( روبات متحرک چرخدارWMR)
مدل سينماتيکیMuir, Newman
تعريف روبات متحرک چرخدار (WMR)
( روباتی است که فقط از طريق حرکت کردن چرخواره هاwheel assembly های )تعبيه شده بر روی آن که در تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود.
چرخواره : وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح که يک نقطه( با آن دارد را امکانپذير می سازد.rolling contactمشترک و يا يک تماس غلتان )
(Muir and Newman, 1986)
مقدمه
)روباتهای صنعتی ثابت )استفاده از نوار نقاله، دسترسی محدود
: روشهای غلبه بر مشکل دسترسی محدود روشflexible manufacturing cellاحاطه روبات توسط ماشينهای ديگر، اندازه ماشينها : استفاده از ريل )مسير شناخته شده، مدل کردن و کنترل L متحرک کردن روبات : مثال
ساده تر
انتقال فرآورده ها در کارخانجات توليدی انتقال مواد در بينwork cellها AGV (Automated Guided Vehicle)مسير های از پيش تعيين شده : روباتهای متحرک : حرکت آزادانه در محيط، ادراک محيط، کنترل حرکت روبات در محيط
مثالهايی از روباتهای متحرک
چرخه کاوشگر مريخ6روبات
چرخه برای 4روبات زمينهای نا هموار
AGVروباتهای
روبات چندسويه
چرخ سوئدی
پيشينه کار
مدل کردن سينماتيکیWMRها بر روی سطح هموار (Muir & Neuman, 1987; Alexander and Maddocks, 1989)
مسأله لغزش سينماتيکی در طراحی های موجود
(Waldron, 1995; Sreenivasan & Waldron, 1996 )
وسيله نقليه با قابليت حرکت بدون لغزش(Choi and Sreenivasan, 1999)
( محور با طول متغيرVLAو محدوديتهای آن )(Sreenivasan et.al. 1996, 1997,1999)
سينماتيک برخورد(Montana 1988)
فهرست مطالب
مقدمه
طبقه بندی چرخها
( روبات متحرک چرخدارWMR)
مدل سينماتيکیMuir, Newman
چرخها
حرکت غلتشی
لغزش جانبی
چرخهای هدايت شونده
( چرخ هدايت شوندهsteered wheel).جهت محور چرخشی قابل کنترل است
چرخ غلتنده ايده آل
حرکت به صورت غلتش بدون لغزش
مفروضات•
روبات از مکانيزمهای صلبی ساخته •شده است.
هيچ لغزشی در جهت عمود بر •غلتش انجام نمی شود.
هيچگونه لغزش انتقالی )سر •خوردن( بين چرخ و زمين رخ نمی
دهد )غلتش محض(.
روبات به ازای هر چرخ حداکثر يک •لينک هدايتگر دارد.
همه محورهای هدايتگر عمود بر •سطح زمين می باشند.
پارامترهای چرخ
در سرعتهای پايين، مدل غلتشی برای چرخ، قابل قبول میباشد.
اين مدل در اکثر مواقع در مدلسازی سينماتيکیWMR ها به کارمی رود.
پارامترهای چرخrشعاع چرخ :
vسرعت خطی چرخ :
wسرعت زاويه ای چرخ:
tسرعت هدايتگر:
انواع چرخ
چرخ ثابت
چرخ قابل جهت گيری از غير (castor wheelمرکز)
چرخ قابل جهت گيری از مرکز
چرخ سوئدی)دارای خاصيت چند سويه(
چرخ ثابت
سرعت نقطهP
می باشد.(X ) که بردار يکه در راستای محور محدوديت بر تحرک روبات
نمی تواند در راستای عمود بر صفحه چرخ حرکت داشته باشد.Pنقطه
xi xiwrV )(
چرخهای قابل جهت دهی از مرکز
سرعت نقطهP
می باشد.(X بردار يکه در راستای محور )که
x
y
xw)i(rV xi
چرخهای قابل جهت دهی از غير مرکز
سرعت نقطهP
می باشد.X، بردار يکه در راستای محور محور که می باشد.Y ، بردار يکه در راستای محور و
x
y
yx atdawrv )()(
xi
yi
چرخ سوئدی
سرعت نقطهP
که بردار يکه در راستای حرکت غلتک می باشد.خاصيت چند سويه بودن
sx Uaawrv )(
x
y
sa
فهرست مطالب
مقدمه
طبقه بندی چرخها
( روبات متحرک چرخدارWMR)
مدل سينماتيکیMuir, Newman
WMRمثالهايی از
حرکت صاف و روان•احتمال لغزش•-rollerدر بعضی مواقع استفاده از •
ballبرای ايجاد تعادل
L مستقيم• حرکت کامالمقاوم در برابر لغزش•مدل کردن غير دقيق دور زدن•
حرکت آزاد•ساختار پيچيده•ضعف قالب•
حرکت روبات متحرک
( مرکز لحظه ای چرخشICRنقطه تالقی همه محور های چرخها : )
درجه تحرک
درجه تحرک : درجه آزادی حرکت روبات
0درجه تحرک = 1درجه تحرک =
2درجه تحرک = 3درجه تحرک =
ناتوان از حرکت )بدون
ICR)
حرکت قوسی ثابت )دارای فقط يک
ICR)
حرکت قوسی متغير)خطی از
ICR)ها
L آزاد حرکت کامال(ICR می تواند
هر نقطه ای باشد.(
درجه قابليت هدايت
،درجه قابليت هدايت : تعداد چرخهای قابل جهت دهی از مرکزکه به طورمستقل قابل هدايت می باشند.
بدون چرخ قابل هدايت از مرکز
0درجه قابليت هدايت = دارای يک چرخ قابل هدايت از
مرکز
1درجه قابليت هدايت =
دارای دو چرخ قابل جهت دهی ازمرکز
وابسته
دارای دو چرخ قابل جهت دهی ازمرکز
مستقل
2درجه قابليت هدايت =
Maneuverabilityدرجه
درجهManeuverability.مجموع درجات آزادی که يک روبات می تواند اداره کند :
)مثالهايی از روبات )درجه تحرک، درجه قابليت هدايت
smM
Maneuverabilityمثالهايی ديگر از
smM
فهرست مطالب
مقدمه
طبقه بندی چرخها
( روبات متحرک چرخدارWMR)
مدل سينماتيکیMuir, Newman
بر روی سطح هموارWMRمدل کردن
سينماتيکWMR :
سينماتيک داخلی : ارتباط بين لينکها در روبات
)سينماتيک خارجی : ارتباط بين روبات و بقيه جهان )خط سير روبات
تفاوت با سينماتيکManipulator: مدل کردن به صورتmultiple closed link chain
مدل کردن به صورتhigher order pair
درWMR به حرکت در نمی آيند و يا بعضی درجات آزادی L ، بعضی چرخها اصالL فعال نمی شوند. بر روی آنها اصال
هنگام کنترل خط سير يکWMR احتياج به اندازه گيری موقعيت، سرعت و ،شتاب هر درجه آزادی برای هر چرخ نيست.
تعريف روبات متحرک چرخدار
( روباتی است که فقط از طريق حرکت کردن چرخواره هاwheel assembly های )تعبيه شده بر روی آن که در تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود.
چرخواره : وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح که يک نقطه( با آن دارد را امکانپذير می سازد.rolling contactمشترک و يا يک تماس غلتان )
(Muir and Newman, 1986)
تعاريف و مفروضات
تعريفMuir و Newman از WMR:
های تعبيه شده بر آن که در wheel assemblyروباتی که فقط از طريق حرکت کردن تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود.
wheel assembly وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح :که يک نقطه مشترک و يا يک تماس غلتان با آن دارد، را امکانپذير می سازد.
مفروضات ديگر برای ساده سازی معادالت.روبات از مکانيزمهای صلبی ساخته شده است.روبات برای هر چرخ حداکثر يک لينک هدايت کننده دارد.همه محورهای هدايت عمود بر سطح زمين می باشند.زمين، يک سطح صاف می باشد.هيچگونه خطای انتقال بين چرخ و زمين رخ نمی دهد اصطکاک چرخشی در نقطه تماس برای چرخ به اندازه کافی کوچک است که
در جهت يک محور عمودی از طريق آن نقطه گردانده شود.
تخصيص چارچوب های مختصات
در يک زنجيرهclosed-link چند گانه، قرارداد D-H برای تخصيص چارچوب های ها مشخص نيست.jointمختصات، منجر به ماتريسهای تبديل مبهم می شود، زيرا ترتيب
قراردادSheth-Uicker( 1971 برای تخصيص چارچوب های مختصات:) مدل می کنيم.planar pairهر چرخ را در نقطه تماس به صورت يک
دو درجه انتقال و يک درجه چرخش دارد.(planar pair)يک درجات آزادی حرکت چرخ بدون ابهام در ماتريسهای تبديل می توانند مدل شوند.
چارچوب های مختصات در دو انتهای هر لينک تخصيص داده می شوند.، دو چارچوب وجود دارد که وقتی اين دو چارچوب بر هم منطبق می شوند، jointدر هر
، صفر می شود.jointمتغير : زمين، بدنه روبات و لينک های هدايت گرWMRلينک های يک
به هم متصلند : چرخ، محور هدايت گر و نقطه مرکزی روبات jointاين سه لينک با سه (!)
که در نقطه تماس چرخ و کف واقع شده، مدل می planar pairچرخ به صورت يک شود.
همه چارچوب ها عمودی است و در تحليل دو بعدی ناديده گرفته می شود.zمحور
1شکل
2شکل
Newtروبات
يک چرخ منفرد دارای سه لينک، سهjoint و سه چارچوب مختصات خواهد بود.
: سيستم های مختصات منطبق لحظه ای يک چارچوب مختصات ثابت می باشد که در لحظه مشاهده، در همان نقطه
چارچوب مختصاتی که حرکت می کند، قرار گرفته است..يک چارچوب مختصات زمين در همان مکان چارچوب حرکت کننده قرار دهيم تبديل موقعيت بين دو چارچوب صفر است، اما تبديل های سرعت و شتاب
صفر نيستند. برای اين معرفی شدند که محاسبه سرعتها و شتابهای اين سيستم مختصات را
که به صورت چند بعدی حرکت می کند، به صورت مستقل از موقعيت روبات، امکانپذير کنند.
: سيستم مختصاتبرای مشخص کردن سرعتها و شتابهای روبات، مستقل از موقعيت روبات در
لحظه مشاهده شده استفاده می شود.
: سيستم مختصاتبرای مشخص کردن سرعت و شتاب چرخ استفاده می شود.
FR
FC
3شکل
ماتريسهای انتقال
چرخشها فقط حول محورz.می توانند انجام شوند
ω = سرعت زاويه ایα = شتاب زاويه ایv = سرعت خطیa = شتاب خطیθ = زاويه چرخش بين چارچوب ها
1000
100
0
0
z
y
x
NR P
PCS
PSC
T
0000
0000
0
0
y
x
RN
VSC
VCS
V
0000
0000
0
022
22
y
x
RN
aCSSC
aSCCS
a
: تبديل از مرکز مرکز روبات به نقطه تماس چرخ
،در روباتهايی که لينک هدايتگر ندارند، محور لينک هدايتگر و محور نقطه تماسمنطبق بر هم هستند و تبديل بين اين محورها به ماتريس يکه تقليل می يابد. از آنجا که چارچوب های منطبق لحظه ای، بر چارچوب های متناظر در هر لحظه
منطبق هستند، پس در اندازه گيری موقعيت، تبديل بين دو چارچوب، تبديل يکه می باشد :
با استفاده از اين معادله، مکان هر نقطه ديگر مانندp نيز به صورت زير بدست می آيد:
برای يک روبات با سه چرخ، مدل سينماتيکی با يک گراف تبديل موازی با چهارمسير، يکی برای هر چرخ و يک مسير بازگشت مشترک نشان داده می شود، که
L تشريح می کند. معادالت تبديل برای سينماتيک داخلی يک روبات سه چرخه را کامالاين روبات عبارتند از :
TTTTT CLCF
SLCL
SBSL
RBSB
RBCF
TTTT SLCL
SBSL
RBSB
RBCF
PTP NRN
R
TTTTTT
TTTTTT
TTTTTTT
FRF
CFF
CLCF
SLCL
SBSL
RBSB
FRF
CFF
CLCF
SLCL
SBSL
RBSB
FRF
CFF
CLCF
SLCL
SBSL
RBSB
RFRB
333
33
333
222
22
222
111
11
111
4شکل
در مورد روبات L ، با استفاده از اين تکنيک، از آنجا که چرخهای پيشران Newtمثالنسبت به بدنه ثابت هستند، چارچوب های پيشران نسبت به چارچوب بدنه روبات يا
چارچوب تماس چرخ حرکتی ندارند. اگر آنها به طور منطبق بر چارچوب های تماس چرخ قرار بگيرند، تبديل بين چارچوب پيشران و چارچوب تماس، ماتريس يکه
خواهد بود. :
بنابراين تبديالت بين مرکز روبات و نقاط تماس چرخهای پيشران به صورت زيرخواهد بود :
از طرف ديگر قرقره نسبت به روبات حرکت می کند و تبديل آن به صورت زيراست :
ISLCL
SBSL
SLCL
SBSL TTTT 2
222
11
11
1000
100
0010
001
11e
a
RBSL
RBCL l
l
TT
1000
100
0010
001
2e
a
RBCL l
l
T
1000
100
3033
3033
1000
100
010
0001
1000
0100
0033
0033
1000
100
010
0001
33
3333
e
cb
c
d
c
de
b
SLCL
SBSL
RBSB
RBCL
l
CllCS
SlSC
l
lCS
SC
ll
l
TTTT
5شکل
سرعت و ژاکوبين
)(
)()(
)()(
Tdt
dT
TTdt
dTTT
dt
dT
TTdt
dTTTT
dt
d
SBSL
FSB
SBSL
RBSB
FRB
RBSL
RFRB
FRF
RFSL
FRF
SBSL
RBSB
RFRB
FRF
pTTTTdt
dvp
dt
d SLSBSL
RBSB
RFRB
FRFp
FF )(
pTdt
dv NR
NpR
pTTTTp SLSBSL
RBSB
RFRB
FRF
F
بر روی روبات نسبت به يک چارچوب مرجع، با مشتق گيری pسرعت يک نقطه مانند •از تبديل موقعيت به دست می آيد :
، نسبت به 6برای مثال با استفاده از موقعيت يک نقطه بر روی لينک هدايتگر در شکل • می توانيم سرعت اين نقطه را نسبت به چارچوب زمين پيدا کنيم. تبديل SLچارچوب
موقعيت اين نقطه به صورت زير است :
پس تبديل سرعت عبارتست از :•
)(
)(
Tdt
dTT
TTTdt
dTT
dt
d
SBSL
RBSB
FRB
SBSL
RBSB
RFRB
FRF
FSL
)بازوی lower pairهرچند مشتق گيری از معادالت تبديل در مکانيزمهای •manipulator ممکن است، اما در معادالت تبديل مکانيزمهای )higher pair اين کار ،
Velocity Cascade يک روش Newman و Muirمجاز نيست. برای غلبه بر اين مشکل، ارائه کردند که سرعت را به صورت حاصلضرب تبديالت بيان می کرد و معادله باال از
آن به دست آمده است.
که RFبعضی از جمالت معادله باال قابل حذف شدن هستند. ابتدا سرعت چارچوب • می باشد، نسبت RBبر روی زمين واقع شده و به طور لحظه ای منطبق با چارچوب
L جمله به چارچوب زمين صفر است. به همين علت جمله اول حذف می شود. ثانيا می باشد. از آنجا که اين دو چارچوب RB نسبت به SBسوم شامل سرعت چارچوب ثابت است، اين جمله نيز حذف می RB نسبت به SBمتصل به روبات می باشند و
شود. و معادله حاصل عبارتست از :
سرعت روبات =
مکان هدايتگر می باشد و مشتق آن سرعت هدايتگر است =
موقعيت روبات است =
= robot-to-hipتبديل
TRBSB
robotFF
RB pT
robotFRF
RB vTdt
d)(
TSBSL
6شکل
steeringBRB
RBrobotFRB
SLrobotF
robotFF
CL vTpTvpv 3
TTTTIIT FRF
CFF
CLCF
RBSB
RFRB
1111
robotF
wheelF
wheelFRB
SB
FRF
CFF
CLCF
RBSBrobot
RFRB
ppvT
TTTdt
dTvT
dt
d
11
1111
نسبت به زمين، بايد مقاديری Pبرای حل معادالت باال و به دست آوردن سرعت نقطه تابعی از طراحی روبات بوده و robot-to-hipرا به اين جمالت نسبت دهيم. تبديل
L تغيير نمی کند. موقعيت و سرعت هدايتگر توسط سنسورها اندازه گيری می معموالشود و سرعت روبات از اندازه گيری سرعت چرخ محاسبه می شود و موقعيت روبات با جمع کردن اطالعات سنسورها توسط يک نقشه بدست می آيد. برای مثال، سرعت
عبارتست از :Newtلحظه ای نقطه تماس بين قرقره آزاد و زمين در روبات
دو تا از تبديالت در اين معادله از رابطه ای که برای انتقال قرقره نسبت به روبات به اندازه گيری می شود. پارامترهای ديگر θ3دست آورديم، به دست آمده و مقدار زاويه
با اندازه گيری به دست می آيند. از طرف ديگر سرعت روبات از اندازه گيريهای موقعيت چرخ و سرعت چرخ، قابل محاسبه است. اگر يکی از چرخهای پيشران را در
Newt: در نظر بگيريم، معادله موقعيت روبات به فرم زير در می آيد
با مشتق گيری از اين معادله، معادله ای برای سرعت روبات بدست می آوريم :
وقتيکه روبات در يک خط مستقيم سير می کند، سرعت روبات، سرعت خطی چرخ •می باشد و موقعيت چرخ، فاصله طی شده می باشد. هنگامی که روبات می چرخد،
و Muirبرای محاسبه سرعت روبات، سرعت هر دو چرخ بايد در نظر گرفته شود. Newman: يک ژاکوبين چرخ برای بيان اين رابطه ارائه دادند
سرعت لحظه ای روبات نسبت به چارچوب منطبق زمين
بردار سرعت مصنوعی Vn و n، ماتريس ژاکوبين مصنوعی برای چرخ Jnpseudoکه • می باشد. اين ژاکوبين با مشتق گيری از معادله تبديل به دست می آيد. nبرای چرخ
ژاکوبين حاصل عبارتست از :
1100
cossin
sincos
SBnxRB
SBnyRB
CLnxRB
CLnRB
CLnRB
CLnyRB
CLnRB
CLnRB
npseudo p
p
p
p
J
nnpseudoRFRB vJv
Tzyx vv ),,(
NR
CLSL
SLSB
SBRB
CLRB
SL
RBCLy
SLSL
RBCLx
SLSBy
RBSL
RBCLx
SLSL
RBCLx
SLSBx
RB
CLRB
spnpp
npppp
cosi
sicos
CLnSB
CLnCF
CLnyCF
CLnxCF
npseudo
v
v
v
مجموع زوايای بين دو چارچوب =
= L برداری از مبدأ يک چارچوب به چارچوب ديگر، مثال
بردار سرعت مصنوعی يک چرخ شامل چهار مؤلفه است :
نسبت به زمين = nسرعت لحظه ای خطی چرخ
حول نقطه تماس =nسرعت لحظه ای چرخ
hip joint= SLnسرعت زاويه ای لينک هدايتگر حول SB
CLnCFv
CLnCF
nphysicalnnpseudo vWv
nnpseudonphysical WJJ
( يک چرخ نوعی شامل همه مؤلفه های بردار سرعت Vnبردار سرعت فيزيکی )L کمتر از چهار متغير چرخ دارند. برای مثال، يک مصنوعی نيست، زيرا چرخها معموال
ندارد. همچنين يک چرخ قراردادی حول يک Xچرخ قراردادی، سرعت خطی در جهت محور چرخش می کند و سرعت خطی از سرعت زاويه ای چرخ محاسبه می شود
)که قابل اندازه گيری است(. بردار سرعت مصنوعی می تواند به بردار سرعت ( مرتبط شود :Wn * 4( توسط يک ماتريس چرخ با اندازه )Wn*1فيزيکی )با اندازه
( به روش مشابهی به دست می آيد :Wn * 3و ژاکوبين چرخ فيزيکی )
با استفاده از رتبه اين ژاکوبين )تعداد بردارهای سطری يا ستونی مستقل(، تعداد درجات آزادی چرخ را تعيين می کنيم. اگر تعداد درجات آزادی کمتر از تعداد
می باشد. به عنوان يک مثال ژاکوبين يک redundantمتغيرهای چرخ باشد، چرخ چرخ بدون هدايتگر نوعی، اغلب به عنوان چرخ راندن در روباتها استفاده می شود. اين چرخ دارای دو درجه آزادی است : حرکت در جهتی که چرخ با توجه به چرخش
حول محورش به آن اشاره می کند، و خطای چرخشی حول نقطه تماس.
00
10
0
00
rW
CLnCF
CLnyCF
npseudo
vv
wnzCF
wnxCF
nphysicalv
wx
wz
و داريم :
که : سرعت زاويه ای چرخ حول محورش می باشد.
: سرعت زاويه ای لغزش چرخشی می باشد.
عبارت است از :Wماتريس چرخ
شعاع چرخ می باشد.(r )که
و ژاکوبين فيزيکی عبارت است از :
( در نظر گرفته می شود زيرا ژاکوبين دارای معکوس degenerateاين چرخ، منحط )نيست. بنابراين با وجود اينکه سرعت روبات از سرعت چرخ قابل محاسبه است،
چرخ از سرعت روبات قابل محاسبه نيست. بنابراين يک روبات متحرک چرخدار که شامل چرخهای قراردادی بدون هدايتگر می باشد، در سه درجه آزادی قابل کنترل
نيست، يعنی نمی تواند حرکت به پهلو داشته باشد.
10
cos
sin
CLnxRB
CLnRB
CLnyRB
CLnRB
pr
pr
J
physicalzw
xwa
RZ
RY
RX
RBRF
robotRF vJlRv
v
vv 111
1
10
00
10
00
2 alRJ
به صورت زير به دست می آيد:Newtژاکوبين برای دو چرخ بدون هدايتگر در روبات
مراجع
Introduction to Robotics, Phillip John McKerrowON THE KINEMATICS OF WHEELED MOBILE ROBOTS, J. C. Alexanderyand. H. Maddocksz
با تشکر از توجه شما