第三章 一维定常流动的基本方程

3.1 描述流体运动的两种方法及基本概念 3.2 流体微团运动分析 3.3 适合于系统的基本方程及雷诺输运定理 3.4 连续方程 3.5 动量方程 3.6 动量矩方程 3.7 能量方程 3.8 柏努利方程

3.1 描述流体运动的两种方法及基本概念

• 研究流体运动的两种方法

• 流体运动分类

拉格朗日法（体系）

欧拉法（控制体）

定常流与非定常流一维流与多维流等熵流与非等熵流有旋流与无旋流轴对称与非对称流

3.1.1 系统和控制体 在分析流体运动时 , 主要有两种方式：第一种是描述流场中每一个点的流动细节，另一种是针对一个有限区域，通过研究某物理量流入和流出的平衡关系来确定总的作用效果，如作用在这个区域上的力，力矩，能量交换等等。其中前一种方法也称为微分方法而后者被称为积分方法或“控制体”方法。 流体力学是以体系（ System ）为研究对象就。所谓体系，是指某些确定的物质集合。体系以外的物质称为环境。体系的边界定义为把体系和环境分开的假想表面，在边界上可以有力的作用和能量的交换，但没有质量的通过。体系的边界随着流体一起运动。

实际研究中，人们往往需要研究的是某一个特定的流动区域，在这个区域中流体和所研究的对象发生作用，例如，建筑物受到的风载、活塞受到的流体的压力、飞行物的升力和阻力等等因此提出了控制体的分析方法。所谓控制体 (Control Volume) ，是指被流体流过的、固定在空间的一个任意体积，占据控制体的流体

是随时间改变的，控制体的边界叫做控制面，它总是封闭的表面。通过控制面，可以有流体流入或流出。在控制面上可以有力的作用和能量的交换。控制体主要有三种类型，他们分别为静止、运动和可变形，其中前两种控制体为固定形状，如图 3.1 所示。本书仅考虑刚性的、没有运动的控制体。

(a) 固定控制体 (b) 以船速运动的控制 (c) 汽缸内的变形控制体

图 3.1 固定、运动和可变形的控制体

3.1.2 描述流体运动的两种方法 目前，研究流体运动有两种不同的观点，因而形成两种不同的方法：一种方法是从分析流体各个质点的运动着手，即跟踪流体质点的方法来研究整个流体的运动，称之为拉格朗日法；另一种方法则是从分析流体所占据的空间中各固定点处的流体的运动着手，即设立观察站的方法来研究流体在整个空间里的运动，称其为欧拉法。 1 ．拉格朗日 (Lagrange) 法

该方法着眼点是流体质点。即研究个别流体质点的速度、加速度、压强和密度等参数随时间的变化，以及由某一流体质点转向另一流体质点时这些参数的变化，然后再把全部流体质点的运动情况综合起来，就得到整个流体的运动情况。此法实质上就是质点动力学研究方法的延续。 通常利用初始时刻流体质点的坐标来标注不同流体质点的坐标。设初始时刻流体质点的坐标是 (a,b,c), 不同的 (a,b,c) 代表不同

的流体质点。显然质点的空间位置不但与时间有关，而且还与该质点起始时刻的空间位置有关。于是时刻任意流体质点的位置在空间的坐标可表示为

1

2

3

( , , , )

( , , , )

( , , , )

x f a b c t

y f a b c t

z f a b c t

式中 (a,b,c) 称为拉格朗日坐标， (a, 　 b, 　 c ， t) 称为拉格朗日变数。拉格朗日变数是各自独立的，质点的初始坐标 (a,b,c)与 t 无关，仅影响运动坐标、速度和加速度。显然流体质点不管什么时候运动到哪里，拉格朗日坐标并不改变。 当 (a,b,c) 一定时，上式代表某个流体质点的运动轨迹，代表时刻流体质点所处的位置。因此任一流体质点的速度和加速度可表示为 1

2

( , , , )

( , , , )

x

y

f a b c txV

t tf a b c ty

Vt t

（ 3.2）

（ 3.1 ）

3( , , , )z

f a b c tzV

t t

21

2

22

2

23

2

( , , , )

( , , , )

( , , , )

xx

xy

zz

V f a b c ta

t t

V f a b c ta

t t

f a b c tVa

t t

（ 3.3 ）

2 ．欧拉（ Euler) 法 该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从而得出整个流体的运动情况。可见，欧拉法不需要注意各个流体质点的运动过程，而是研究运动流体所占空间各点的流体参数的变化。研究一切描述流体运动的物理参数在空间的分布，即研究各流动参数的场。如速度场、压强场、密度场等向量场和标量场。

在欧拉法中用流体质点的空间坐标 与时间变量 来表达流体的运动规律， 叫欧拉变数，欧拉变数不是各自独立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 有关，不同的时间 ，流体质点有不同的空间坐标 。因此对于任一个流体质点的位置变量 、 、 是时间 的函数，即

, ,x y z t

, , ,x y z t

x y z, ,x y z

t

t

, ,x y z

t

( )

( )

( )

x x t

y y t

z z t

设 、 和 分别代表流体质点的速度在 轴上的分量，则 xV yV zV

, , ,

, , ,

, , ,

x x

y y

z z

dxV V x y z t

dtdy

V V x y z tdtdz

V V x y z tdt

(3.4)

(3.5)

上式表示在空间点 处 时刻的流体速度。这个速度是某一流体质点的速度，即在 时刻运动到空间点 处的那个流体质点的速度。

, ,x y z t

, ,x y zt

同样，压强、温度和密度等物理量都可以表示成 的函数。 , , ,x y z t

3.1.3 随流导数 一、随流导数

在流动过程中，流体质点的各物理量随时间的变化率称为相应物理量的随流导数，也称为随体导数或质点导数。 在拉格朗日法中，物理量的随流导数是跟随质点（ a,b,c ）的物理量随时间的导数，这时（ a,b,c ）是不变的。如速度是矢径 对时间的偏导数，加速度是速度对时间的偏导数，即

( , , , )( , , , )

r a b c tV a b c t

t

( , , , )( , , , )

V a b c ta a b c t

t

r

(3.6)

在欧拉法中，随流导数必须是跟随时刻位于空间点（ ）上的那个点的物理量随时间的变化率（该物理量是同一流体质点而非同一空间点）。

, ,x y z

若该物理量用 表示，则的随流导数为 ( , , , )N x y z t

( , , , ) , , , , , , , , , , , ,

=

=

= ( )

x y z

d dN x y z t N x a b c t y a b c t z a b c t t

dt dtN x N y N z N

x t y t z t t

N N N NV V V

x y z t

NV N

t

x y z

dV V V

dt t x y z

i j kx y z

式中

（ 3.8）

式（ 3.8 ）表明，用欧拉法求质点物理量的随流导数由两项构成，一项是表示在给定点上物理量 N 随时间的变化率 ，称为局部导数或当地导数，它是由于流动的非定常性引起的，对定常流，该项等于零。第二项 表示物理量 N 在空间分布不均匀的情况下，流体质点运动时引起 N 的变化率，称为对流导数或迁移导数。它表示在非均匀的流场中（有梯变 ），由空间位置变化引起的。该项反映了流场的非均匀性，对于均匀流场，该项为零。

N

t

( )V N

N

有以上可知随流导数在拉格朗日法中是偏导数 ，在欧拉法中是全导数。还可以看出流动参数的随流导数把该参数的瞬时变化率与流场中该参数的导数联系起来。欧拉法描述中，特性场是直接可以利用的，所以随流导数把拉格朗日法与欧拉法之间建立了一种联系。由以上讨论可知，随流导数是对流体质点的，它反映了流体质点物理量随时间的变化率，因此随流导数本质上是拉格朗日观点下的概念。

二、速度的随流导数（加速度） 将式（ 3.8 ）中 N的用流体质点的速度代入得到流体质点运动的加速度。它表示流体质点沿迹线运动时的速度变化率。加速度的矢量形势的表达式为

( )dV V

a V Vdt t

（ 3.9）

由上式可见，速度的随流导数有两部分组成 1． 叫局部加速度或当地加速度，它表示在固定空间点上（流体质点没有空间位置变化）流体质点的运动速度对时间的变化率，它是由流场的非定常性引起的，显然对于定常流动，该项等于零。

V t

2． 叫对流加速度或迁移加速度，它表示流体质点经过时间运动到不同的位置时，质点速度对时间 的变化率，即流体质点位置改变引起的速度变化率，它是由流场的不均匀性引起的。对于均匀流动该项等于零。

( )V V

t

同样质点的其它物理量如压强、温度和密度等都有其相应的随流导数。

对于直角坐标系，流体质点运动速度可表示为 x y zV V i V j V k

根据速度的随流导数（或从多元函数微分法）可知，通过流场中某点的流体质点的加速度在直角坐标系表示为

x x x x xx x y z

y y y y yy x y z

z z z z zz x y z

dV V V V Va V V V

dt t x y z

dV V V V Va V V V

dt t x y z

dV V V V Va V V V

dt t x y z

例 已知用欧拉法表示的速度为 , x yV x V y

当 时， ，求拉格朗日法描述的速度和加速度。 0t , x a y b

解： , x y

x yV x V y

t t

由

积分得 1 2 , t tx c e y c e

利用初始条件 得，因而有 ，代回已知关系式可得流体质点的速度和加速度分别为

1 2,c a c b , t tx ae y be

,

,

t tx y

yt txx y

V x ae V y be

VVa ae a be

t t

3.1.4 迹线、流线、流管和脉线

• 迹线：流体质点的运动轨迹。• 流线：定义流线上一点的速度向量与曲线在该点的切线重合。• 流线特性 1. 定常流，流线与迹线 重合； 2. 一般流线不会相交； 驻点，奇点除外

翼型PLAY

理想流体的流线

流线方程

• 流线方程的矢量形式

• 流线方程直角坐标形式

• 流线方程的柱坐标形式

• 流管与流面

0Vrd

x y z

dx dy dz

V V V

r z

dr rd dz

V V V

任取一条非流线的曲线C，通过 C上的每一个点做该瞬 t 时的流线，这些无限多条流线就构成了一个曲面，称其为流面。如果曲线C是条封闭的非流线，则该流面形成为流管。如果流管的横截面积足够小，则这条流管就叫基元流管。基元流管的任一截面上流体参数都是均匀的。并且流体质点不能穿越流管。

对无粘性流体，其固体壁面即可视为流面。

例 设已知流体运动的速度分量为 ， ，试求过点 M （ 1 ， 1 ）的流线方程。解 : 这是平面定常流动。按流线定义，将速度分量代入流线方程

2 2y

yV

x y

2 2x

xV

x y

x y

dx dy

V V 0ydx xdy

ln lnx y 常数

y x y Cx

积分

3. 脉线 所谓脉线是指在一段时间内，将相继通过某一空间固定点的不同流体质点，在某一瞬时（即观察的瞬时）连成的曲线。如果该空间固定点是释放染色的源，则在某一瞬时观察到一条染色线，故脉线也称为染色线。染色线也是同一时刻不同流体质点的连线。经过烟头和烟囱冒出的烟都是形成脉线的例子。

3.1.5流体运动分类 一、 定常与非定常流动 在任意空间点上，流体质点的全部流动参数都不随时间而变化，或随时间变化不大，这种流动称为定常流动。

在任意空间点上，流体质点的流体参数（全部或一部分）随时间发生变化的流动称为非定常流动，用数学表示为 。 0t

二、 一维流动与多维流动

如果流体在流动中，其流动参数仅是一个空间坐标的函数，则这样的流动称为一维流动，如果流动参数是两个空间坐标的函数，就称为二维流动，二维流动又称为平面流动。如果流动参数是三个空间坐标的函数，就叫三维流，二维和三维流动就称为多维流动。如果把时间也考虑进去，则有一维定常流、一维非定常流，二维定常流和二维非定常流，三维定常和三维非定常流动等等。

在圆柱坐标系中，轴对称流动属于二维流动，它的特点是流动参数仅是坐标的 函数，而与 无关，即 。如空气沿着一个圆锥物体的对称轴线方向流动，流动参数仅仅沿轴线方向（ z轴）和垂直于轴线方向（ r轴）发生变化。

,r z 0

三 有旋和无旋流动 PLAY

3.2 流体微团运动分析 3.2.1直角坐标系中流体微团的速度分解

在运动流体中取一流体微元体，设其中心点 在某一随时的速度为 ，流体微元体上邻近的另一点 在同一随时的速度用泰勒级数展开，略去二阶以上的小量得

( , , )M x y z

x y zV V i V j V k

1( , , )M x x y y z z

1

1

1

x x xx x

y y yy y

z z zz z

V V VV V x y z

x y z

V V VV V x y z

x y z

V V VV V x y z

x y z

在第一式中人为地增加四项，即 ，然后将第一式改写为

1 1

2 2y zV V

y zx x

1

1 1( ) ( )

2 2

1 1 ( ) + ( )

2 2

yx x xzx x

y x x z

VV V VVV V x y z

x y x x z

V V V Vy z

x y z x

（ 3.16 ）

同理可以对 x和 y方向的速度进行改写并引入x

x

yy

zz

V

xV

y

V

z

1( + )

2

1( + )

2

1( + )

2

yzx

x zy

y xz

VV

y z

V V

z xV V

x y

1( )

2

1( )

2

1( )

2

yzx

x zy

y xz

VV

y z

V V

z xV V

x y

则可得亥姆霍茨（ Helmholts ）速度分解定理为

1

1

1

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

x x x z y y z

y y y x z z x

z z z y x x y

V V x y z z y

V V y z x x z

V V z x y y x

用矢量表示为

1 [ ]V V r dr

式中，第一项为平移速度，第二项为变形（包括线变形和角变形）引起的速度增量，第三项为旋转引起的速度增量。

（ 3.17）

（ 3.18）

（ 3.19）

（ 3.20a）

（ 3.20b）

图 3.9 流体微团的一般运动

a)平移 b) 线变形 c) 角变形

d)旋转 图 3.10 流体微团运动的分解

1．平移 式（ 3.20b ）中，若 ， 则 ，表示流体微团上各点上的速度都相等，经过时间 后，流体微团运动到新的位置，其大小、形状、方位等均没有发生变化。流体微团作。

[ ] 0 0

1V V

dt

动画演示PLAY

平移运动如图 3.10a2．线变形（体变形）

当式（ 3.21 ）中的 ，且变形速度矩阵 中除 不为零外，其余各项均为零。即如果速度变化仅有 ，则此时如图 3.11a 所示

0V

[ ]x

x

V

x

xV

x

图 3.11a流体微团的线变形 由于速度的不同将会引起流体边线的拉伸， 时间内在 x方向的拉伸量为 ，则在方向流体边线的相对伸长量为

txV x tx

1 ( ) 1x

xx

Vx t Vd x x

x dt x dt x

同理如果考虑体积的变化可得到

divV yx zx y z

VV VV

x y z

����������������������������

即得到流体微团三个线变形速度之和等于流体微团的体积膨胀率，也等于流体运动速度的散度 的结论。其中 为

3 ．剪切变形（角变形）

x y z

x y z

x y z

当流体微团速度的变化率 时，则伴随有流体微团的旋转和剪切变形，导致流体微团的形状发生变化。剪切变形用剪切变形角速度来表示。定义为流体微团上任意两条相互垂直的流体边线的夹角的时间变化率的一半。

yxVV

y x

由下图可知，经过时间 之后，流体微团的边线 和 分别转过的角度为 和

dt AB AD

图 3.11b 流体微团的角变形与旋转

( ) /yV x t xx

( ) /xV y t yy

剪切变形角速度的定义，剪切变形角速度为

0

1 1lim

2 2y x

z t

V V

t x y

并可推得流体微团的剪切变形速度为

x y zi j k

4．转动 即定义流体微团的旋转角速度为微团上两条相互垂直的流体

（ 3.21 ）

线的平均旋转角速度。或者说两条相互垂直的流体线角平分线的旋转角速度。考察微团上相互垂直的流体边线 线和 线，并规定逆时针旋转角速度为正，顺时针为负。则 线和 线的旋转角速度分别为

AB AD

AB AD

0 0lim , lim y x

t t

V V

t x t y

定义流体微团绕 z轴的旋转角速度为 线和 线的旋转角速度的平均值，即

AB AD

1( )

2y x

z

V V

x y

同理可得 x,y轴方向上旋转角速度，并可得到

x y zi j k

x y z

j

1 2

V V V

i k

x y z

1 1 1

2 2 2rotV V

由场论知识其表示为 （ 3.22）

式中，

x y z

j

V V V

i k

Vx y z

称为速度的旋度，它构成了一个矢量场称为 涡旋场，称 为涡量。 rotV V

3.3 适合于系统的基本方程及雷诺输运定理 3. 3.1 适合于系统的基本方程

其主要包含连续方程、动量方程、角动量（或动量矩）方程和能量方程。这些方程都包含热力学参量，所以在研究某些具体流动时还要补充完全气体状态方程 。

3. 3.2 雷诺输运定理 在流体力学中为了便于研究，常常采用控制体的方法，因此就需要将描述系统的力学基本方程转化成对控制体的方程，这个过程就是通过雷诺输运定理来完成的。为方便起见我们首先推导一维流动的雷诺输运方程，然后再推广到一般形式。

图 3.12 一维流动的雷诺输运公式推导

图 3.12 表示速度场 V=V(s) 的一维流动，选取控制体（ ， 区）如图所示，其体积为 。选 t 时刻占据该控制体的流体为系统，经过 dt 时间后系统运动到 （ ， 区）位置，流入、流流出控制体的流体体积分别为

I IIIcv

' ' '11' 2 2 III II

1 1 1=A V dtdv2 2 2=A V dtdv

令Φ为与流体质量有关的任意随流物理量（能量、动量等）、 =d /dm 。为Φ的密度，表示单位质量流体所具有的Φ，整个控制体内流体所具有的Φ应为：

cv cv cvdm dv

系统移动到新的位置，不再与控制体重合，计算ΦS 随时间的变化率，即

0

( ) ( )lims s s

t

d t t t

dt t

t t

0

( ) ( )lims s cv

t

d t t t

dt t

即可得

( ) ( )s cvt t 又

根据时间导数的定义可以得出：

0

0

1 1 1 2 2 2

0

2 2 2 1 1 1

( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( ) = lim

= ( ) ( )

s s cv

t

cv I II cv

t

cv cv

t

cvout in

d t t t

dt tt t v v t

tt t AV t AV t t

td

AV AVdt

如果控制体是静止的，则

2 2 2 1 1 1( ) ( )s cvout in

dAV AV

dt t

式（ 3.25 ）即为一维运动的雷诺输运定理数学表达式，式中右边三项分别为：第一项表示控制体内Φ随时间的变化率；第二项表示流出控制面的Φ流率；第三项表示流入控制面的Φ流率；式中，右边后两项称为流率项（ Flux-Term），代表流体通过控制面时物理量Φ值的净通量率。

（ 3.25）

图 3.13 给出了一个任意形状的控制体，在控制面上的每个微元面 dA 上，都有相应的流速 V，与 dA 的外法线夹角为 θ，在控制面

的有些部分流体流入控制体，其体积流量为（ VAcosθ） in dt，有的部分为流体流出控制体，其体积流量为（ VAcosθ） out dt，有些部分为流线或固壁（ V=0） ,没有流体流入或流出控制体。因此对于任意固定形状的控制体，方程（ 3.25）可推广为

cos coss cv

out incs cs

d dV dA V dA

dt dt

cv

outn n incs cs

dV dA V dA

dt

, ,

cv

m out m incs cs

ddq dq

dt

对静止控制体，则 s cv

outn n incs cs

dV dA V dA

dt t

（ 3.26）

该式还可以写成另外一种形式，用 n 表示控制面的外法向单位向量，则 V·n =Vn 表示流出控制体， V·n =－ Vn 表示流入控制体。因此流率项可以写成

(V n)dAoutn n incs cs csV dA V dA （ 3.2

7）

式（ 3.26 a ）可以改写为：

(V n)dAs cv

cs

d d

dt dt

对于固定的控制体，其空间坐标是不变的，所以有 ( )

cv cv

cv

ddv

dt t t

最后得出 ( ) (V n)dAs

cv cs

ddv

dt t

同时对于多进口的控制体有

(V n)dA

= ( ) ( )cs

i i i i out i i i i inV A V A

（ 3.29）

（ 3.30）

3.4 连续方程质量流量

推导连续方程用图

1 2

m

dm Adx AVdtq VA

dt dt dtdm dm

dt dt

在雷诺输运表达式中，令Φ＝ m ，则 可得 ： / 1dm dm

0 (Vr n)dAs

cv cs

dm ddv

dt dt

对于静止的控制体有 (V n)dA 0cv cs

dvt

如果控制体只有若干个进出口，且流动为一维，则上式可以写成

( ) ( ) 0i i i out i i i incvi i

dv V A V At

（ 3.32）

（ 3.31 ）

（ 3.33 ）

如果控制体内的流动是定常，则，由（ 3.32 ） , （ 3.33 ）可得出

(V n)dA=0cs

对于定常流动，流入和流出控制体的质量流量恒等。进一步，如果控制体只有若干个一维进出口，则连续方程为

( ) ( )i i i out i i i ini i

V A V A （ 3.35）

（ 3.34）

质量流率或称为质量流量常常用 表示，其 SI 制单位为： 千克 /秒（ kg/s）。

mq

式（ 3.35 ）还可以写成如下形式 ( ) ( )i im out m in

i i

q q 对于不可压缩流动 , 又因为 由式（ 3.32） 可得： 0t 0

(V n)dA=0 cs

如果进出口均为一维流动，有

( ) ( )i i out i i ini i

V A V A 或 ( ) ( )vi out vi in

i i

q q

称为通过某截面的体积流量 viq

(V n)dAv csq

我们可以定义平均速度 Vav

av

1V = (V n) dA vq

A A

如果密度在进出口截面上是变化的，则可以按同样的方式定义平均密度：

1av cs

dAA

（ 3.36）

（ 3.37）

（ 3.38）

连续性方程讨论

2 2 2 1 1 1 V A V A

mq A V 常数

Q 常数

常数VA

0d

A

dA

V

dV

dVVdAAdVA

图 3-1 推导连续方程的控制体

mQ VA

( )dW d

G g m g m g VAdt dt

(3.39)

(3.41)

(3.40)

(342)

不可压流体注：以上各式均为连续性方程。

11 1 1 1 1

1

52.05 10 0.19 28845.1

287.4 865

m

pq A V A V

RT

kg s

因为 1 21 1 2 2

1 2m

p pq AV AV

RT RT

所以

1 1 22 1

2 2 1

5

5

0.19 2.05 10 766288

0.1538 1.143 10 865565.1

A p TV V

A p T

m s

例 3-1 ：某涡轮喷气发动机在设计状态下工作时，已知在尾喷管进口截面 1 处的气流参数为： ， ，

。在出口截面 2 处的气流参数为： ， ，及 。试求通过尾喷管的燃气流量和尾喷管的出口流速。给定燃气的气体常数 。

Pap 51 1005.2 KT 8651

21 19.0 mA

52 1.143 10 ap P KT 7662 2

2 1538.0 mA

KkgJR 4.287

解：通过尾喷管的燃气流量为

1V =288 m/

图 3-3 推导动量方程用图

3.5 动量方程

在瞬时 和 ，体系所具有的动量分别以 和 表示，根据牛顿第二定律，对于定常流体有：

t dtt M I III

�������������� M II III

��������������

2 1 2 2 1 1

2 12 1 2 1

( ) ( )

II I

m

M II III M I III M II M IF

dt dt

dm V dm V dm V dm V

dt dtdm dm

V V q V Vdt dt

���������������������������� ����������������������������

��������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

2 1

2 1

2 1

x m x x

y m y y

z m z z

F q V V

F q V V

F q V V

即 2 1mF q V V

所以

对于任意定常流动的控制体，只要其进出口截面上流动参数是均匀的，则动量方程为：

m mF q V q V ������������������������������������������

出 入

（ 3.43 ）

将雷诺输运定律表达式 (3.26) 中的 Φ换为动量 mV ，则 ，根据牛顿第二定律 /d dm V

s( ) = = ( ) ( n)dAcv cs

d dm dv

dt dt V F V V

上式即为动量方程。关于此式需要强调以下 3 点：

（ 3.44）

1.V 是流体相对于某一惯性坐标系的速度，如果坐标系运动则应考虑相对速度，而且，在非惯性系中必须要考虑惯性力。 2. 是作用在控制体上所有力的矢量和，包括表面力以及质量力（体积力）。

F

3. 整个方程为矢量关系式，在直角坐标系中有三个分量式，其分量式为：

( ) ( )x x x xcv cs

dF V dv V n dA

dt V

同理可得到， x,y方向的分量方程。 （ 3.45）

我们称式（ 3.44 ）右边第二项为动量通量 ( n)dA

cs csM V V

（ 3.46）

如果控制体的所有进出口都是一维流动，则有 ：( ) ( ) ( )mi i out mi i incv

ddv q V q V

dt F V （ 3.4

7）

• 质量力• 表面力

1 1 2 2 2 1

2 1 1 1 2 2

( )

( ) ( )

i b m

i m b

F p A p A F F q V V

F q V V p A p A F

����������������������������

����������������������������

b

v

F R dv

(- )dAcspbF n

例 3-3 ：水在水平放置的 U 型管内流动如图 3-4 所示， U 型管的截面积为 A 。进、出口的压强均为 P ，流速为 V 。不计粘性摩擦，求水对管子的作用力。

解：取 U 型管的侧壁和进、出口截面为控制体。作用在控制体上流体的力沿 y 方向的力抵消；沿 x 方向的力有 ，假设向右为正；作用在进、出口截面上的力为 pA ，方向指向作用面。沿 x 方向的动量方程为

xF

图 3-4 例 3-3 用图

v

v

2xF pA VA V V

22xR F A p V 作用力的方向沿 x 方向。

因此，水对管子的作用力为

22xF A p V 即

VmdVVm

FdAdp

pdAAdpppAAgdz f

2

dAdp

pdAdp

p

2sin

sin2

AdVVFAgdzdpA f

3.5.2 微分形式的动量方程

图 3-6 推导微分形式的动量方程

作用在流管侧表面上的压强的合力在 S 方向上的分量为

则沿 S 方向的动量方程为：

略去高阶无限小量，得微分形式的动量方程：

（ 3-48 ）

注： 为作用在流管侧表面上的摩擦力在 S 方向的分量。fF

式（ 3-48 ）可以写成力的平衡形式：0f mA dp Agdz F q dV

0mA dp Agdz q dV

0 dzgVdVdp

0 VdVdp

对于无粘性的理想流体，则可写成

或写成

对气体来讲，重量很小，通常可以不计重力，则欧拉运动微分方程为

这就是无粘性流体的一维定常流动的运动微分方程式， 也称一维流动的欧拉运动方程式。

（ 3-49 ）

（ 3-50 ）

（ 3-51 ）

观察发动机的内部结构，思考如何表达推力（推力公式）

解：取与发动机相同速度的相对坐标系，并取控制体如图 3-5 中的虚线所示，则各力在 x 方向的合力为

例：利用动量方程式推导空气喷气发动机的推力公式。

图 3-5 推导空气喷气发 动机的推力公式

ap

epmq

bgmqfm

燃油

aeeeeeeaa ppAFApAApApF 0

bgm e mq V q V

bge a e m e mF p p A q V q V

eaeebg AppVmVmF

bgm e m e a eR q V q V p p A

m e e a eR q V V p p A

x 方向的动量变化率为

由动量方程得

即

则发动机对控制体内气流的作用力 ：

忽略 有：fm

q

bg fm m mq q q

例：运用动量定理导出火箭向上垂直加速飞行（图 3.22 ）的加速度公式（设火箭内气体的运动相对火箭是定常的）。

解： 取火箭本身的外壳表面和喷管的出口平面为控制面。对此控制面沿火箭飞行方向（ z 方向）写动量方程。为方便起见，取与火箭以同样速度运动的相对坐标系。因为火箭作加速运动，故该坐标系为非惯性系。在本节开始的时候曾强调 ，对于非惯性坐标系，在运用动量方程时，要将惯性力考虑到合力中，并把速度改为相对速度。由此，对所取的控制面沿 z 方向的动量方程可以写为：

图 3.22 推导火箭向上垂直加速飞行的加速

R e a d R ,M g+(p p )Ae F M m bg e

dVq V

dt

式中，第一项为作用在控制体的重力（ MR

为火箭整体的瞬时质量）； 火箭运动受力分析PLAY

第二项为作用在控制面上的压强的合力在 z 轴上的投影（ pe 为喷管出口处的压强， pa 为大气压强， Ae 为喷管出口处的截面积）； 第三项为作用在控制面上的全部阻力的合力在 z 轴上的投影； 第四项为火箭的惯性力，方向与火箭的加速度相反（ V 为火箭飞行的瞬时速度）； 第五项为从控制面 ee气体动量的流出率（为燃气的流量， Ve 为气体相对于所取坐标的速度）。将上式整理后得：

,[ ( ) ]( )R m bg e e a e d R

dVM q V p p A F M g

dt

3.6 动量矩方程 取雷诺输运定律表达式（ 3.26 ）中的Φ为动量矩 H。对于流体系统，关于某一轴 O的动量矩为

O = ( )dmsys

H r V

其中 r 是流体微元质量 dm距 O 点的位矢， V 是微元流体的速度。则单位质量的角动量为：

Od /dm=( ) H r V代入雷诺输运定理表达式得

sys( / ) = [ ] ( )( )cv cs

dd dt dv dA

dt OH r V r V V n

根据动量矩方程，系统关于某一轴的动量矩的变化率应等于该时刻系统所受所有外力对同一轴的力矩之和。即：

/ = ( ) Od dt O OH M r F

代入式（ 3.54 ）得： ( ) ( ) )O

cv

ddA

d

cs

r F r V (r V)(V n

52

53

54

55

56

如果控制体的进出口为一维流动，则动量矩流率为：

, ,(r )( ) ( ) ( )out m out in m in

cs

dA V q q V V n r r V

[ ( ) ] 0cv

ddv

dt r V对于固定控制体， 。因此，流动定常且进出口一维

的动量方程为：

, ,( ) ( )O m out m inout inM r V q r V q

图 3.23 动量矩方程推导

在对叶轮机械的研究中，经常采用圆柱坐标系，而且主要应用于对旋转轴的动量矩方程。参照左图，对于 z轴的动量矩方程可写为：

2 2 1 1( ) Z m u uq V r V r M

57

58

59

3.7 能量方程 将雷诺输运定理运用到热力学第一定律，我们可以得出控制体形式的能量方程。令雷诺输运定律表达式（ 3.26b ）中的Φ为能量 E ，则单位质量流体所具有的能量为 . 对固定的控制体，其能量方程形式为：

/ dE dm e

(V n)dAcv cs

dQ dW dE de dv e

dt dt dt dt

正的 Q 表示传给系统热量，正的 W 表示系统对外做功。 单位质量流体所具有的能量 e 由内能、动能、势能及其它形式的能量几部分组成，其中其它形式能量主要包括：化学反应、核反应、电磁场作用等形式的能量。其中其它形式能量主要包括：化学反应、核反应、电磁场作用等形式的能量。

21

2e u V gz

为了简便以上加“·” 表示对时间的导数，将做功分为三部分：

shaft press viscous s p vW W W W W W W

60

61

62

分别为轴功、压力做功和粘性切应力做功。

通过对上式在整个控制面上积分便得到流体对外作的压力功 ( )dAp

cs

W p V n

粘性切应力做功也是发生在控制面上，其值应为粘性力与速度的点积：

dAvdW V

v

cs

W dA V

( ) ( )p ndW pdA V p dA V n

对于控制面上的某一微元面积，压力做功应为微元面上的压力乘以微元面速度的法向分量

对于控制面为流面的情况，如果流动无粘，则无粘性力之功，否则应计入该项作用。 经过上述讨论得出做功率项为

( )s

cs cs

W W p n dA dA V V

63

64

65

66

( ) ( ) ( ) ( )s v ss cv cs

pQ W W e dv e dA

t

V n

出控制体的能量方程为：

已知焓 ，代入上式得出对于固定控制体一般形式的能量方程：

h u p

2 21 1( ) ( ) ( )

2 2s v

cv cs

Q W W u V gz dv h V gz dAt

V n

对于流动定常、进出口一维的固定控制体，能量方程为： 2 2

, ,

1 1( ) ( )

2 2s v out m out in m inQ W W h V gz q h V gz q

67

68

69

70

对于只有一个进口（ 1截面）和一个出口（ 2截面）的控制体 .根据连续方程 ，上式可以写成 1 2m m mq q q

2 21 1 1 2 2 2

1 1( )

2 2 s vh V gz h V gz q w w

当研究对象为气体时，在高度变化不是很大的情况下，可以略去位能的变化，如果所选控制面使得粘性力做功为零，这

2 22 1 2 1

1( ) ( )

2sq w h h V V

样上式可以写成如下形式：

该式为一维定常流动的能量方程式，又叫热焓形式能量方程式。并且该式对流动是否可逆过程都适用。 对于一个微元控制体上式为： 2

( )2s

Vq w d dh

对于绝能流动过程，因为 ( ) ，能量方程可化简化为：

0 0q q 0( 0)s sw w

2 21 1 2 2

1 1

2 2h V h V const

2

( ) 02

Vd dh

对于定比热容的完全气体，气体的焓，代入上面两个方程式中得 2 2

1 1 2 2

1 1

2 2p pc T V c T V const 2

( ) 02 p

Vd c dT

71

72

73 74

7576

能量方程讨论

图 3-8 推导能量方程

WdEQ

2 22 1 2 1 2 1 2 2 1 1

1

2 sQ dm V V g z z u u p p W

1 1 2 2 1122 1 1 22 222 2 111 1 1 1 22

222 2 111 1

2 22 1 2 1 2 12

k h e

dE E E E E E E

E E E E dE dE dE

dmV V dm g z z dm u u

2 2 2 1 1 1

2 12 1

2 12 2 1 1

2 1

pW p AV dt p AV dt

dm dmp p

p pdm dm p p

ps WWW

2 22 1 2 1 2 1 2 2 1 1

1

2 s

QQ m V V g z z u u p p W

dt

注：上式即为单位时间内的能量守恒方程式 。

功率，W 外界对流体作功时为正，

流体对外界作功时为负。

对于单位质量的气体的能量方程式可写成

112212122

12

22

1 ppuuzzgVVwq s

2 22 1 2 1 2 1

1

2sq w V V g z z h h

dhV

dWq s

2

2

02

2

dh

Vd

引入热力学中气体的焓的概念 ，上式为

22

22

2

21

1

Vh

Vh 对于绝能流动，能量方程则为

能量方程式的微分形式为

对于绝能流动则为

图 3-9 计算喷管出口 截面上的参数

例 3-5 ：空气从图 3-9 所示的收缩喷管流出时，稳定段中空气压强 ，温度 。喷管出口气流的压强等于外界大气压强 。忽略气体的粘性。假设喷管出口直径比进口直径小得多，即截面 1 处气流速度比 小得多，可忽略不计，求喷管出口截面上空气的流速和温度？

251 1047.1 mNp KT 2931

25100133.1 mNpa

2V

解：由是（ 3-28）得

1 22 1 2 1 2

1

2 2 2 11 1p

kRT TkRV c T T T T

k k T

k

k

p

p

T

T1

1

2

1

2

1.4 15 1.4

2 5

1.4 1.0133 102 287 293 1 244

1.4 1 1.47 10V

米 秒

Kp

pTT 7.263

1047.1

100133.1293

4.1

14.1

5

54.1

14.1

1

212

又流动等熵有

（ a ）

代入（ a) ：

3.8 柏努利方程

图 沿流管所取的微元控制体 上图为沿流管所取的微元控制体，长度为 ds ， s 为流线方向，流动参量（ ）随 s 及时间变化，并且在各个垂直于 s 的截面上是均匀的。根据质量守恒有：

, ,V p

, , 0m out m in

cv

ddv q q

dt

对于固定形状的控制体，时间导数可放在积分号内，且对时间的导数可以用偏导数表示，因此上式可表示为

0mdv dqt

mq AV dv Ads式中， ， ，因此有

( )mdq d AV Adst

( ) ( ) ( ) ( )s m out m in mcv

ddF V dv q V q V V Ads d q V

dt t

流线方向的动量方程为

如果忽略粘性力作用，即对于理想流体，流体受到的力为压力和重力，重力在流线方向的分量为

. sin sins gdF dW Ads Adz

77

78

79

80

81

求整个控制面的压强在沿流向的合力时，可以将所有部分的压强都减去 p ，然后再求和，有图示可得：

,

1( )

2s pdF dpdA dp A dA Adp

将上述两个力项代入流线方向的动量方程式 ( ) ( )s mdF Adz Adp V Ads d q Vt

m m

VVAds Ads q dV Vdqt t

上式两边除以 并考虑到式 (3.79)得

81

82

A

0V dpds VdV gdz

t

上式即为非定常、无粘流动，沿流线方向的微分形式动量方程，又称为一维流动的欧拉运动微分方程。

83

如果流动为定常，则式 (3.83) 可改写为

0dp

VdV gdz 84

对于气体，由于重度很小，通常忽略重力势能，则式 (3.85b) 为

对于气体，由于重度很小，通常忽略重力势能，则式 (3.84) 为 0

dpVdV

85

此式说明，当为正值时，则必为负值，也就是说，当压强增加时，流体的速度必定要减小，而在压强减小时，速度一定要增加。这是气体流动时的重要规律之一。 对式 (3.83) 从点 1 到点 2进行积分得

2 2 2 22 1 2 11 1

1( ) ( ) 0

2

V dpds V V g z z

t

86

对于定常不可压流动，上式变为 2 22 1

2 1 2 1

1( ) ( ) 0

2

p pV V g z z

2 21 1 2 2

1 22 2

p V p Vgz gz const

或

上式两端同时除以 g 得 2 2

1 1 2 21 22 2

p V p Vz z const

g g

上式即为定常不可压无粘流动沿流线的柏努利方程 柏努利方程是能量守恒与转换定律的另一种表现形式，它与热焓形式的能量方程式的不同点是，热焓形式能量方程式表示气流的各种能量（包括热能和机械能）的守恒与转换关系，突出了气流的速度与温度之间的关系；柏努利方程式却表示流体的各种机械能的守恒与转换关系，突出了流体的速度与压强之间的关系，所以柏努利方程又叫做机械能形式的能量方程。

柏努利方程 (Bernoulli’s Equation )的讨论

1 、不可压流体的柏努利方程；2 、可压流体的柏努利方程；3 、推广的柏努利方程。

2

2

dp Vg z C

将动量方程沿流管积分，得

上式适用与无粘形流体的一维定常流动，式中 C 为柏努利常数，对上式分以下三种情况分析：

一、不可压流体的柏努利方程

2

2

p Vgz C

由 ρ＝常数，有

2

2

p Vz C

g

2*

2

Vp C p

两边同除以 g ，得不可压流体的柏努利方程：

如果流动在同一水平面，或者坐标 z 的变化与其它流动参量相比可以忽略不计，则有

2

2

V上式中 、 、 分别为静压，动压和总压，可见，流管每个截面上的总压相等。

p *p

二、可压流体的柏努利方程

此时，重力可以忽略，将一维管流动量方程在流管的任意两个截面之间积分，得 2 2

22 1

10

2

V Vdp

12 2

2 2 11

1

1 01 2

k

kp V VkRT

k p

常数Cpppkkk

2

2

1

1

由等熵过程的关系式 ，得

上式的限制条件是一维定常绝能等熵流动。

其积分也可写为2

2

dp VC

将等熵关系式 代入上式，得k

pC

2

1 2

Vk pC

k

又1 1 p

k p kRT c T h

k k

则，上式又可写为2

2

Vh C

2 2

1 2

a VC

k

2

2

p Vu C

以上 3 式的限制条件是完全气体的一维定常绝能等熵流动。

可见，在流体流管任一截面上单位质量流体的内能、压强势能和动能之和保持不变。

三、推广的柏努利方程

当实际的粘性流体流过叶轮机时，如果忽略重力位能的变化，柏努利方程将具有如下的形式

2 22

2 1

1 2s f

V VdpW W

式中 是单位质量流体克服摩擦阻力所消耗的功（流动损失）； 是单位质量流体通过也轮叶机对外所作的机械功（涡轮内的情况），规定为正，或外界通过叶轮机对质量流体所作的机械功（压气机内的情况），规定为负。 上式是柏努利方程在具有摩擦及机械功条件下的推广，称为推广的柏努利方程。

fW

sW

Wf称为摩擦损失，永远为正，单位 J/kg

图 3-7 文氏管示意图

例 3-5 ：用文氏管测流速和流量。设图 3-7 中的文氏管（先收缩后扩张的流管），其截面 1-1 和 2-2 的面积分别是 和 。用型管压差计测出 。设流体为不可压的，且不计摩擦损失。求流体在截面 2 处的流速和质量流量？

1A 2A

1 2p p p

解：不可压流的连续方程为1 1 2 2V A V A

2 21 2 2 12p p V V

2 1 2 21 2

2 pV A

A A

2 2 1 2 2 21 2

2m

pq A V A A

A A

'

1 2 2 21 2

2m

hq A A

A A

由柏努利得

将（ a ）式代入（ b ）式后解得

'1 2p p h 又 ，得

（ a ）

（ b ）

总压管

柏努力方程的应用

• 在压气机中

• 在涡轮中

• 进气道、尾喷管等绝能部件，有

2 22

2 1

1 2s f

V VdpW W

2 22

2 1

1 2s f

V VdpW W

2 22

2 1

10

2

V Vdp

小 结

本章主要讨论了流体动力学的基本方程，包括积分形式的和微分形式的动力学方程。这些方程是以后各章要用到的，是分析动力学的基本数学工具。除此之外，本章介绍了描述流体运动的两种方法、流体微团运动的分解以及有关动力学的基本概念。介绍雷诺输运定理的目的主要是为了更方便地导出基本方程，把适合于体系的方程转化成适合于控制体的方程。