متتالية مرات ثالث النقود قطعة رمي عند
هو : التجربة هذه في العينة فضاءS = { HHH , HHT , HTH , THH , TTT , THT , TTH , HTT }
هو : التجربة هذه في العينة فضاء
كان نقطة Hظهور = Xاذا كل فيهو : التجربة هذه في العينة فضاء
S = { HHH , HHT , HTH , THH , TTT , THT , TTH , HTT }
22 23 0 111
X{ الحقيقية األعداد مجموعة و العينة فضاء عناصر بين {0,1,2.3يربطX عشوائي متفير بـــ تسمى حقيقية دالة
العينة = فضاء عناصر 8 =2³عدد
العشوائية 4-1 Random Variableالمتغيرات •: العشوائي المتغير تعريف
العشوائي العينة ) ( Xالمتغير فضاء على يعرف حقيقية دالة حقيقي اقتران أن, Sهو أي. الحقيقية األعداد من جزئية مجموعة مداه و العينة فضاء تعريفه اقتران هو العشوائي المتغير
العينة • فضاء عناصر من عنصر لكل وحيدة حقيقية قيمة يعطي العشوائي Sالمتغيرالعشوائي • العينة Xالمتغير فضاء مجالة طبيق االعداد Sهو مجموعة المقابل ومجاله
R . R X: Sالحقيقية
هما نوعين منها نذكر العشوائية للمتغيرات أنواع عدة :هناكمتقطعة • أو منفصلة عشوائية Discrete Random متغيرات
Variables مستمرة • أو متصلة عشوائية Continuous Randomمتغيرات
Variables 4-2 المنفصلة االحتمالية التوزيعاتالمنفصل :• العشوائي المتغير تعريف
العشوائي المتغير له Xيكون الممكنة القيم مجموعة كانت إذا متقطع متغيرعشوائي) المدى)
X(S) . ,) ومنتهية ) للعد قابلة متقطعة مجموعة هيأوالد أربع من المكونة األسرة في الذكور األوالد Xعدد ، X:{x=0,1,2,3,4
المنفصل ) ( :• االحتمالي االقتران االحتمالي التوزيع تعريفمع عشوائي متغير يأخذها أن يمكن التي القيم جميع تعطي معادلة أو جدول كل هو
منها قيمة كل احتمالاالحتمالي ) ( :• االقتران التوزيع شروط
االحتماالت =• 1مجموع• P(x) >= 0
( :1مثال )متزنة نقود قطعة رميت العشوائي , 3اذا المتغير عرف الظهور = Xو Hعدد
للمتغير , الممكنة القيم أوجد العينة فضاء ارتبطت , Xأوجد التي الفضاء نقاط جميع احتمال اوجدالمتغير قيم من قيمة Xبكل
العينة( 1 فضاء نوجدS= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
للمتغير( 2 الممكنة القيم XنوجدX={0,1,2,3}
من( 3 قيمة بكل ارتبطت التي الفضاء نقاط جميع احتمال نوجدالمتغير Xقيم
P(X=0 )= 1/8P(X=1)= 3/8P(x=2)= 3/8P(x=3)= 1/8P(HHH)=1/8P(X<1)=1/8
القيمة 1 3P(Y=y) 6/8=3/
42/8=1/
4
العينة( 1 فضاء نوجدS= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
للمتغير( 2 الممكنة القيم YنوجدY={1,3}
الجدول : باستخدام
المعادلة( : 1مثال ) باستخدامP(x)= P(X=x)= 3 1
X 2( ( ( (3
مثال : متزنة نقود قطعة لرمي العينة فضاء أوجد , 3من للفرق= Yمرات المطلقة القيمة
عدد عدد Hبين Tو
التكراري المدرج باستخدام
P(X)
3/8
2/8
1/8
0 1 2 3
مثال نعرف , متتاليتين مرتين النرد حجر رمي على Xعند
الظاهرين الرقمين مجموع أنههو : التجربة هذه في العينة العينة =فضاء فضاء عناصر 36=6²عدد
6 5 4 3 2 1
(6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,1)
1
(6,2) (5,2) (4,2) (3,2) (2,2) (1,2)
2
(6,3) (5,3) (4,3) (3,3) (2,3) (1,3)
3
(6,4) (5,4) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4)
4
(6,5) (5,5) (4,5) (3,5) (2,5) (1,5)
5
(6,6) (5,6) (4,6) (3,6) (2,6) (1,6)
6
X معرفعلى عشوائي {11,12,……….,2,3,4مداه , }Sمتغير
احتمال العددين X=4 ماهو مجموع يكون ان احتمال أي ؟4بالنقطة = X= 4 ({ النقاط ({1,3(, )2,2(, )3,1عند
P(X=4) = 3/36 =0.0833
( : 3مثال)االقتران P(x)= X/10 ; X= 1,2,3,4هل
ذلك ؟ , P(X)=0غير Y احتماليا Y توزيعا يمثل
p(X)= 1∑: 1الشرط ∑p(X)= ∑x/10=1/10+2/10+3/10+4/10 = 1
P(X)>=0 : 2الشرط القيم لهذه أنه القيم , x=1,2,3,4الواضح هذه p(x)=0لغير
الشرط يحقق إذن
الرياضي 4-3 Mathematical Expectationالتوقع الرياضي :• التوقع تعريف
كان االحتمالي Xاذا توزيعه كان و Y منفصًال عشوائيا توقعه P(X)متغيرا فإنيكون ) ) : وسطه الرياضي
أوالنسبي * التكرار الممكنة النتيجة =E(X)عدد
مثال : نقود قطع ثًالثة لرمي الرياضي مرات 10التوقع
النسبي التكرار بداللةالنسبيه 2/10,3/10,3/10,2/10التكرارات
الممكنه ) (0,1,2,3النتائج(0*2 + 1*3 + 2*3 + 3*2/ )10 = 1.5
: 133صفحة( 4مثال )
مثال كان اذا الحاسوب لجهاز االسبوع في االعطال عدد معدل أوجد
الجدول في كما االسبوعية لالعطال االحتمالي االقتران
P(X) X
0.60 0
0.20 1
0.10 2
0.07 3
0.03 4
المجموع
X P(X)
0.00
0.20
0.20
0.21
0.12
Xp(x)= 0.73∑
منفصل • عشوائي متغير القتران الرياضي التوقع :H(X)تعريف
E( H(X) )= ∑H(x) p(x)توزيع X االحتمالي حيث P(X) هو
X العشوائي للمتغير األصل نقطة H(X)= X k فيسمىE( H(X) ) =E(Xᵏ) العزم , K حول اذا و كان
مثال اصالح تكلفة كانت اذا السابق المثال جدول اعطال Xمن من
بالمعادلة تعطى توقع , Y=H(X)= X²+7Xالحاسوب هو ؟Yفما
P(X) X
0.60 00.20 10.10 20.07 30.03 4
المجموع
H(X)=X²+7X
08
183044
H(X) P(X)
0.001.601.802.101.32
(x)) (= p x6.82∑
الرياضي • التوقع خواص• E(a) =a•E(X±b) = E(X) ±b• E(aX) =a E(X)• E(aX±b) = aE(X) ±b
التوقعين = • مجموع عشوائي لمتغير اقترانين لمجموع الرياضي التوقع : أي لًالقتران الرياضين
E( f(X) +g(X) ) = E(f(X) ) + E (g(X) )
•A=0E(aX±b) = E(b) =b
•B=0E(aX±b )= a E(x)
التباين • :Varianceتعريف
العشوائي المتغير معدلة Xتباين :µالذي هو
توزيع P(X)حيث منفصل , Xهو التوزيع أن بفرض و االحتماليالمعياري االنحراف يعرف و
أن : أي للتباين الموجب التربيعي بالجذر
=)∑X-µ )p)X) 2
التباين • خواص•Var(a) =0• Var (X±b) = Var (X)
( 6مثال)تباين لجهاز Xأوجد االسبوع في االعطال المعياري االنحراف و
كما االسبوعية لالعطال االحتمالي االقتران كان اذا الحاسوبالجدول في
P(X) X
0.60 00.20 10.10 20.07 30.03 4
P(X) X
0.60 0
0.20 1
0.10 2
0.07 3
0.03 4
المجموع
X P(X)
0.00
0.20
0.20
0.21
0.12
X-µ
-0.073
0.27
1.27
2.27
3.27
X-µ²
0.5329
0.0729
1.6129
5.1529
0.1210.6929
( X-µ²)P)x)
0.31974
0.01458
0.16129
0.36070
0.32079
1.177
1.177))∑==X-µ)² )P)X)
=√ 1.177 = 1.08=√
التباين
االنحراف المعياري
نظرية •عشوائي متغير كان Xلكل وضعنا b,aاذا و ثابتين
Y= aX+b فإنتباين xحيثYتباين
=a 2
: 137صفحة( 7مثال )
: 138صفحة( 9مثال )
نظرية :•كان معدله Xإذا عشوائيا فإن µمتغيرا تباينه و
=E)x ) - µ 22
: 138صفحة( 8مثال )
جواب احتمالالطالبعلى
من اختياري سؤالخيارت ¼ اربع
طرح فقرات 7عند
صح
خطا
احتمال كان اذاطالبة حضور
و , ¼ للمحاضرةتابعتحضورها
محاضارات 5في
حاضرة
غائبة
احتمال كان اذارقم ظهور حضور
النرد 6 و, 1/6فيالنرد 5رميتمرات
يظهر
يظهر ال
جميع هذه
التجارب تحقق
لي الشروط
التالية
احد 1. هي محاولة كل نتيجةفشل أو نجاح إما ناتجين
عن 2. مستقلة محاولة كل نتيجةاخرى محاولة أي
محاولة 3. كل في النجاح احتمالثابت pثابت الفشل احتمال وq=P-1
المرات 4. من عدد التجربة تجريالمستقله nأي المحاوالت من
وفيه) , متعدد من 7اختارعلى االجابة جربت اذان فقرات
مرات ( سبع االختياري
هذه تسمىتجربة التجربة
الحدين ذات
كان • بيرنوللي n=1إذا تجربة تسمى فالتجربةوجود • احتمال نجد التوزيع هذا المحاوالت Xاليجاد في النجاحات نجد nمن أي
P(X)=P(X=x)
( : 12)مثالمتزنة نقود االقتران , 4رميتقطعة أوجدي مرات
لعدد .Hاالحتمالي فيها الظاهر
افترضنا محاوالت xإذا في نجاح عدد ذات xفإن nتمثل متغير يسمىلـ , االحتمالي التوزيع و حيث , xالحدين الحدين ذات توزيع =xيسمى
0,1,2,3……,
الحدين ذات تجربة اجراء نفترضأن , 5عند Xمرات. الحدين ذات متغير
النجاح = الفشل , = pاحتمال q=1-pاحتمال
من النجاح احتماالت ايجاد طريقة لتوضيح التالية الرموز نستخدمالمكرره التجربة
النجاح Pيمثل
الفشل qيمثل
احتمال أوجد مني طلب P(x=3)لونجاحات عدد أن يعني المحاوالت 3ما عدد 5من
عددالطالباتفي رقم 405قاعة
45 :12الساعه
على الكلمات عدداللوح
األخطاء عددفي المطبعية
صفحة
جميع التجار
ب السابق
ة تحقق الشرو
ط التالية
التي 1. النجاحات عدد معدلأو معينة زمنية فترة في تحدث
معلوم محددة منطقةفي 2. واحد نجاح حدوث احتمال
منطقة او قصيرة زمنية فترةتلك طول مع تتناسب صغيرة
المنطقة تلك مساحة او الفترةاكثر 3. أو نجاحين حدوث احتمال
او القصيرة الزمنية الفترة فيمهمل الصغيرة المنطقة
زمنية 4. فترات عدد اعتبرنا اذاالبعضفان بعضها عن منفصلةفترة أي في النجاحات حدوثالنجاحات حدوث عن مستقل
اخرى فترة أي في
السيارات عددفي تمر التي
فهد الملك طريقالسبت يوم
عدد النجاحاتفي فترة زمنية
أو معينةمنطقة محددة
هذه تسمىتجربة التجربةبواسون
النجاحات عدد ونمثل , xيعتبر بواسون عشوائي متغير بواسون تجربة فيباالقتران االحتمالي P( x: )اقترانه
بواسون عشوائي لمتغير االحتمالي عدد Xالتوزيع يمثل الذيهو : محددة منطقة أو معينة زمنية فترة في النجاحات
,e=2.7182
مثال اشارة عند السيارات حوادث عدد حدوث معدل كان إذا
أي . 3ضوءية حدوث عدم احتمال ما االسبوع فياحتمال ما ؟ معين اسبوع في االشارة تلك عند حادث
؟ معين أسبوع في أقل أو حادثين حدوث
اسبوع= Xافترض في الحوادث عددالحوادث = =3معدل
: حادث أي حدوث عدم احتمال
P(X=0)=
: يعني أقل أو حادثين حدوث احتمالP(x<=2)= p(X=0)+ p(X=1) + p(X=2)
[ = + + =1 +3 + 9/2 = ] 8.5 * = 0.423
التوقع الرياضي
التباين
E(X)=
=
كان االحتمالي Xإذا اقترانه و بواسون عشوائي متغيرفإن المعينة الزمنية الفترة في الحوادث عدد معدل حيث
و , • ما فترة في القيم جميع تأخذ التي العشوائية بعضالمتغيرات هناكمتصل متغير تسمى
تلك • عد يمكن ال فإنه محدده فنرة في القيم كل يأخذ المتصل المتغير كونتقريبي , تقاسبشكل لكنها القيم
عمر • في الطالب سنة 16طولمن الفتره اخذ افترضنا احد 170.2الى 150.5لو طول يكون ان احتمال فإنه
واحدة محددة قيمة صفر = 160.9الطالبالمنحنى تحت المساحة عن عبارة هنا االحتمال المحور F(X)ألان فوق و
معينتين نقطتين بين المحصورة a,bاالفقيمعينة = • قيمة ألي مساواته احتمال المتصل العشوائي المتغير صفات من
صفر
a bتعريف:•كان • وكان , Xاذا hمتصال hعشوائيا hمتغيراF(X) بحيث سالبة غير حقيقية دالة
تحته = المساحة التوزيع ” ” F(x)فان 1تكون أي االحتمالية الكثافة يسمىللمتغير المتصل .Xاالحتمالي
وقوع • احتمال قيميتن Xأما المنحى X=a, X=bبين تحت المساحة فيساويf(X) بين المحصورة و األفقي المحور فوق a,bوأو • الهندسية النظريات طريق عن المساحة نوجد االحتمال هذا اليجاد و
الخاصة . لبعضالدوال خاصة جداول باستعمال أو التكامل
المتصلة : 4-5 االحتمالية التوزيعات
المتصل • العشوائي للمتغير االحتمالي التوزيع منحنى على الحصول يمكنالفئات ذي النسبي التكراري التوزيع منحنى على الحصول بطريقة hعمليا
كان دالة Xإذا مستمرا عشوائيا متغيرا،فإن : هي االحتمالية Fx(X)كثافته
•fX(x) ≠ P(X=x) •P(X=x) = 0 , x ∀ ∈R•P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b)
=P(a < X < b)•fX(x) ≥ 0 , x ∀ ∈R
• تحتى الكلية المساحة1المنحنى =
الطبيعي 4-5-1 : The Normal Distributionالتوزيع• h تطبيقيا و hنظريا المتصلة االحتمالية التوزيعات أهم من يعتبربمعرفة , • hتماما تتعين وهي منحناه تحدد رياضية بمعادلة الطبيعي التوزيع يوصف
التباين ” ” ” ” و التوقع من كلرمزه •
المستقسم , • الخط حول متماثل الجرس شكل يشبه منحنى X=µلهعندما • الجهتين على الصفر يتقارب عندما-<∞ xو -< -∞ Xوتغيير • و µعند معها ينتقل التوزيع مركز فان يسارا او يمينا
المنحنى شكل اليتغيريكبر ” , • و صغرت كلما يقل المنحنى تباعد التوزيع تشتت
كبرت كلما
Z:N(µ, )=>Z:N)0,1)
الطبيعي :• خواصالتوزيعالوسط 1. على المقام العمود حول متماثل الطبيعي يشبه µالتوزيع شكله و
الجرس شكل.2 = = = : المنوال الوسيط المتوسط فإن الطبيعي µللتوزيعالطبيعي = 3. التوزيع منحنى تحت 1المساحةعندما 4. الصفر من الطبيعي التوزيع منحنى طرفا -< -∞ x->∞ ,Xيتقارباالنحرافات 5. من عدد أي ضمن الواقعة المساحة من معينة نسب هناك
يلي : كما الوسط عن المعياريةالمساحة = • الوسط عن واحد معياري انحراف ضمن المساحة
الفتره على - (µ+ , µ (الواقعةتساوي %86.26و
ونص • واحد معياري انحراف ضمن عن 1.5المساحة معياري انحرافالفترة = على الواقعة المساحة ( ( µ+1.5 , µ- 1.5الوسط
تساوي %86.64والوسط = • عن معياري انحراف معياري انحراف ضمن المساحة
الفترة على الواقعة المساحةµ+2 , µ-2) )
تساوي الكلية 95.44و المساحة من
المعياري 4-5-2 الطبيعي : Standard Normal Distributionالتوزيعالمعياري :• الطبيعي التوزيع تعريف
تباينه ) ( و صفر وسطه معدله الذي الطبيعي التوزيع رمزه 1هو والعشوائي المتغير كان أن Zفإذا يعني ذلك فإن المعياري الطبيعي للتوزيع يخضع
معدله Zتوزيع الذي الطبيعي التوزيع تباينه µ=0هو =1 ونظرية :•
للمتغيرالعشوائي االحتمالي التوزيع كان الطبيغي Xاذا التوزيع هوالمعدل العشوائي µذو المتغير توزيع فإن التباين و
Z = x-µ
المعياري الطبيعي التوزيع هومن” • قيمة قيم Xكل من قيمة بالطبع التحويل Zيقابلها حسب
قيم , وتسمى لقيم Zالسبق المقابلة المعيارية Xالقيم
الجدول = P(Z < z) = Φ(z) .1مالحظات• منمباشرة2. P(Z > z) = 1 − P(Z < z) = 1 − Φ(z)3. P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) − P(Z < z1)= Φ(z2) − Φ(z1)4. P(Z < 0 ) = P(Z > 0) = Φ(0) = 0.55. P(Z = z) = 0
Z:N(µ, )=>Z:N)0,1)
150صفحة( 16مثال )•151صفحة( 17مثال )•152صفحة( 18مثال )•153صفحة( 19مثال )•154صفحة( 20مثال )•155صفحة( 21مثال )•155صفحة( 22مثال )•
ايجاد • الجدول P(Z<z) طريقة قيمة 464,465صفحة 3من مقربة zبافتراضانعشريتين قيمتين a.bcالى
بعد ماهو كل الجدول , 3.4منقبل - صفر = 3.4او Y تقريبا هو
الطبيعي 4-7 التوزيع : Application on the Normal Distributionتطبيقات
Z:N(µ, )
Z = x-µ Z=
المتوسط= الوسطالمعدل= = التوقع
4-8: الطبيعي التوزيع غير متصلة توزيعات
:t t-Distributionتوزيع 4-8-1تعريف :•
العشوائي للمتغير االحتمالي الكثافة توزيع بالمعادلة tإذاكان معطى
توزيع يسمى التوزيع هذا :tفإن حيث Ʋ الحرية درجات
C على يعتمد ثابتة المنحنى =Ʋقيمة تحت المساحة 1ليجعل
توزيع • :tخصائصالجرس 1. شكل منحناه يشبهتقابل , 2. قيمة له المنوال t=0احاديعلى 3. المقام العمود حول t =0متماثلالجرس 4. شكله يشبهعندما 5. الصفر من طرفيه و -<tيتقارب ∞t >-∞.6 Y انخفاضا أكثر انه اال المعياري الطبيعي التوزيع شكل يشبه
منه التوزيع 7. منحنى الحرية tيعتمد درجات معلمة Ʋعلى
المنحنى شكل لتحديدالحرية 8. درجات زادت توزيع Ʋكلما التوزيع tيقترب من
المنحنى , ارتفاع يزداد الحالة هذه وفي المعياري الطبيعيعلى ينطبق النهاية وفي Y تشتتا أقل أي Yا مدبب أكثر ويصبح
. المعياري الطبيعي التوزيع منحنى
توزيع • تحت االحتماالت تحت tنحسب المساحات بحسابالحرية درجات معرفة مع التوزيع ذلك Ʋمنحنى
المساحات • لهذه خاصة جداول هناك
درجات tقيم الحرية
المساحة الواقعة
على اليسار
قيمة ” 0.95القيمة • يسار المساحة االفقي الخط ”tعلىالحرية • درجات االيسر 7و العمود في
قيمة t= 1.895فإنأن يعني قيمة t =1.895مما الحرية tهي درجات التي 7ذييسارها المساحة 0.95يقع من
يسار الى المساحة درجات 3ذي tقيمة 4.541 اليجادƲحرية
القيمة 1. عن الجدول داخل افقيا من , t=4.541نبحث بدايةƲ=3
تقاطعها 2. التي قيمة عن للبحث عموديا اطلعالقيمة يسار الى المساحة 0.99 هي t=4.541هنا
t (α ;m ) = −t (1−α ;m ) فإن الصفر على المقام العمود T حولتوزيع منحنى تماثل بسبب
قيمة • عن قيمتها tنعبر معينة مساحة يسارها يكون التيتوزيع منحنى حرية tتحت درجات بالرمز :mذي
t [ ; m]من قريبة قيم أن نجد الجدول 1ومن
• Y جدا صغيرة تكون عندما 0.01 ,0.05أما
قيمة • يكون tأما التي نعبر يمينهاالجدولية معينة مساحةبالرمز : عنها
; m] (m)= t[1- t
يعطي الجدول النيمين طلب xقيم وهنا
يسار اعمل : اذن
0.01=1-0.99من القيمة اجيب و
مع بالتقاطع الجدولالحرية درجة
1-0.975=0.025
20.483
1-0.025=0.975
Top Related