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江中和胡希伟刘明海

Huazhong University ofScience and Technology

华中科技大学电气与电子工程学院华中科技大学电气与电子工程学院

主题电磁波在等离子体中的传播

时域有限差分法（ FDTD ）的基本思想

电磁波在等离子体传播的 FDTD 模拟计算方法

大气压下二维电磁波在等离子体中的传播特性

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电磁波在等离子体中的传播一维波动方程以及耦合电子运动方程求解

二维情形下波动方程求解的困难

应用 FDTD 进行电磁波在等离子体中传播的数值模拟计算

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一维波动方程以及耦合电子运动方程求解

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2 2

2 2 2 2

1 40, e e

E E JJ en u

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波动方程：

电子流体方程：

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差分方程的边界条件金属边界条件

入射边界条件

(0, ) 0E t ��

当入射边界取距离入射点足够远时，使得反射回来的电磁波在等离子体边界面附近经过自由空间一个或者几个周期还没有到达起始点，可以不考虑入射边界对电磁波传播的影响。

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二维波动方程求解的困难

2 2 2

2 2 2 2 2

1 40z z z z

E E E un e

z y c t c t

差分格式要采用二维的差分格式，这决定差分得到的方程较为复杂。

为了避免边界截断造成的非物理型反射影响，使得整个计算域的空间要取得足够大，这对计算机软硬件都存在很大的依赖，最明显的是计算机内存要足够大。

2 2 2

2 2 2 2 2

1 40y y y y

E E E un e

z y c t c t

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FDTD 算法进行等离子体数值模拟 FDTD 算法，其空间节点采用 Yee 元胞的方法，

电场和磁场节点空间与时间上都采用交错抽样，因而使得麦克斯韦旋度方程离散后构成显式差分方程，相比较与前面的波动方程求解，计算得到大大简化。

由于 FDTD 采用吸收边界条件的方法，使得计算可以在有限的空间范围内进行，这样就可以降低程序对计算机硬件的要求。

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时域有限差分法（ FDTD ）基本思想 FDTD 算法是 K.S.Yee 于 1966 年提出的、直接对麦克斯

韦方程作差分处理、来解决电磁脉冲在电磁介质中传播和反射问题的算法。基本思想是： FDTD计算域空间节点采用 Yee元胞的方法，同时电场和磁场节点空间与时间上都采用交错抽样；把整个计算域划分成包括散射体的总场区以及只有反射波的散射场区，这两个区域是以连接边界相连接，最外边是采用特殊的吸收边界，同时在这两个边界之间有个输出边界，用于近、远场转换；在连接边界上采用连接边界条件加入入射波，从而使得入射波限制在总场区域；在吸收边界上采用吸收边界条件，尽量消除反射波在吸收边界上的非物理性反射波。

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FDTD 示意图

吸收边界

输出边界

连接边界等离子体层

金属板层

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二维 TM 波的麦克斯韦方程组

yzHE

x t

z xE H

y t

y x zz

H H EJ

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吸收边界条件由于计算机容量的限制， FDTD 只能在有限区域进行，为了能

够模拟开域的电磁散射过程，在计算区域的外边要求给出吸收边界条件，我们采用被广为应用的二阶 Mur 吸收边界条件， TM 波其吸收边界条件在边界上为：

2z z z

E E c H

x c t y

下边界：＋

y b

2z z zE E c H

x c t y

上边界：＋

2z z z

E E c H

x c t y

右边界：＋＋

2z z z

x a

E E c H

x c t y

左边界：

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二维 TM 角点的吸收条件在二维矩形 FDTD 计算域内的角点，上述的吸收边界条件无法应用，根据一阶 Mur 吸收条件可以得到在角点时吸收边界条件的差分格式：

n+1 n n+1 n0 0 0 0 0 0 0 0

2E ( , ) E ( 1, 1) E ( 1, 1) E ( , )

2z z z z

c ti j i j i j i j

c t

式中 Δt 、 Δδ 分别为时间步长与空间步长。

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二维 TM 波的连接边界条件

连接边界条件的目的就是要使得在散射场区域内只存在反射波，而在总场区域则入射波与反射波同时存在，因此连接边界条件就是对于总场区域的节点，如果其差分格式中有散射区域的节点，需要在散射场节点加上入射波，而对于散射场区域的节点在差分格式中有总场节点，则总场节点要扣除入射波值。因此对于前面提到的 TM 波的麦克斯韦方程的差分格式在连接边界附近作上述修正。此即为连接边界条件。

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平面波的加入

吸收边界

输出边界

连接边界

金属板层

..p+1p

入射波是加在连接边界附近上，由于是平面波，故而采用一维 FDTD 随时间逐步推进地在总场区引进入射波，这样可以减小散射场入射波的泄漏。对于与底边成 θ角平面波，可以通过连接边界上向一维平面波作垂线，根据平面波特性以及插值方法得到边界上的入射波。

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电磁波在等离子体传播的 FDTD 模拟计算方法

虽然目前的 FDTD 算法可以解决给定介电系数和磁导率的介质对入射电磁波的响应（包括传播、反射、吸收和透射），但无法正确地反映大气环境中等离子体对入射电磁波的响应。在这种等离子体中，电子与中性原子（分子）的弹性碰撞频率将等于或大于入射电磁波的频率，因此仅用复介电常数已经不能真实地反映等离子体的介电性质。使用将等离子体视为复介电常数介质的传统 FDTD 算法、以及其它时域算法已经很难保证计算结果的可靠性与合理性。正确的作法是将等离子体的电子流体运动方程直接和麦克斯韦方程组耦合求解，由此得出电磁场在这种特殊等离子体中的传播特性。

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麦克斯韦方程以及电子流体方程组

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x t

z xE H

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二维 TM 波的差分格式1 1 , 1 ,2 2

1 1, ,2 2

n nn n z j k z j kx xj k j k

E EtH H

1 1 1, ,2 21 1, ,2 2

n nn n z j k z j ky yj k j k

E EtH H

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 1 1, , , ,1 2 2 2 2 2, , ,( )

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H H H HtE E J

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数值实验应用 FDTD 方法进行数值计算，要验证计算结果

的有效性，需要进行数值实验，数值实验主要有以下几个方面：

连接边界上加入射波，不加入等离子体以及金属板散射体，计算散射场区以及总场区的电场强度。

连接边界上加入射波，有金属板散射体，不加入等离子体计算散射场区以及总场区的电场强度。

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FDTD 算例参数

根据 FDTD 思想进行算例计算，其中电磁波频率在2GHz 至 20GHz范围，空间步长取 Δh=0.25mm ，时间步长根据计算稳定性要 (Δt<Δh/c )Δt=0.5Δh/c (c 为真空中光速 )，吸收边界为830×160 ，连接边界为 810×140 ，金属板层尺寸为 800×10 ，等离子体电子密度随等离子体厚度为双曲正切上升函数，等离子体厚度变化范围为10mm 至 30mm 。

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FDTD 数值实验结果当不加入等离子体以及金属板散射体，散射场区电场场强

很小可看成 0 ，总场区的电场强度随时间变化与入射波随时间变化一致。说明连接边界条件起到很好的防止入射波泄漏到散射场作用。

有金属板散射体，不加入等离子体计算散射场区以及总场区的电场强度，数值实验结果表明，在垂直入射时沿 x轴方向，在靠近金属板两端面附近的散射波振幅较小，而在Y轴附近电场的散射波振幅基本保持不变，随着入射角变小，靠近入射端的散射波振幅变小区域变大，而出射端的散射波振幅变小区域变小，这是由于金属板全反射引起的。

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FDTD 示意图

吸收边界

输出边界

连接边界等离子体层

金属板层

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数值实验计算结果－ 900 入射角

0 200 400 600 800 1000 1200-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

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0.0

0.2

0.4

0.6

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Time

0 200 400 600 800 1000 1200-1.2

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-0.8

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-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

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c F

ield

Time

(-400,-95) (-350,-95) (-300,-95) (-250,-95) (-200,-95)

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数值实验计算结果－ 600 入射角

0 200 400 600 800 1000 1200-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Ele

ctri

c F

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Time

0 200 400 600 800 1000 1200-1.2

-1.0

-0.8

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Time

(-400,-95)(-350,-95) (-300,-95) (-250,-95) (-200,-95) (-150,-95) (-100,-95)

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数值实验结果－ 450 入射角

0 200 400 600 800 1000 1200-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

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Time

(-400, -95) (-350, -95) (-300, -95) (-250, -95) (-200, -95) (-100, -95) (0, -95) (250, -95) (400, -95)

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电磁波在等离子体中传播特性

当等离子体厚度为 30mm 时，在不同入射角情况下散射场中电场强度随入射波频率衰减图

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

atte

atio

n(d

f(GHz)

30mm90degree 30mm60degree 30mm45degree

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电磁波在等离子体中传播特性

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

atte

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n(d

f(GHz)

20mm90degree 20mm60degree 20mm45degree

当等离子体厚度为 20mm 时，在不同入射角情况下散射场中电场强度随入射波频率衰减图

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

atte

atio

n(d

f(GHz)

10mm90degree 10mm60degree 10mm45degree

电磁波在等离子体中传播特性

当等离子体厚度为 10mm 时，在不同入射角情况下散射场中电场强度随入射波频率衰减图

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电磁波在等离子体中传播特性

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

atte

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n(d

f(GHz)

30mm90degree 20mm90degree 10mm90degree

当入射角为 90 时，在不同等离子体厚度情况下散射场中电场强度随入射波频率衰减图

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

atte

atio

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f(GHz)

30mm60degree 20mm60degree 10mm60degree

当入射角为 60 时，在不同等离子体厚度情况下散射场中电场强度随入射波频率衰减图

电磁波在等离子体中传播特性

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电磁波在等离子体中传播特性

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

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30mm45degree20mm45degree10mm45degree

当入射角为 45 时，在不同等离子体厚度情况下散射场中电场强度随入射波频率衰减图

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电磁波在等离子体中传播特性

当等离子体厚度为 20mm 时，电子碰撞频率为 23.6GHz在不同入射角情况下散射场中电场强度随入射波频率衰减图

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 220

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20mm90degree 20mm60degree 20mm45degree

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电磁波在等离子体中传播特性在大气条件下，电磁波在一定厚度的等离子体传播，在频率较低时（小于 10GHz ），随着斜入射角度的变化反射的电磁波衰减相差不大，当频率较高时斜入射角度越小，电磁波衰减的越大，

等离子体的厚度对电磁波反射的衰减存在较大的影响，在等离子体厚度为 10mm 时，电磁波衰减的较小，而在等离子体厚度为 20mm 和 30mm 时存在较大衰减峰值，峰值的位置随等离子体厚度以及斜入射角变化而发生改变。这是由于当等离子体厚度与其波长相比拟时等离子体对电磁波就有比较明显的吸收效果，斜入射角越大，电磁波在等离子体中传播的距离就越大。

电子碰撞频率对电磁波在等离子体中的吸收有较大的影响。