x+y+=0, 0 0
(-)
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 1 -
. . .. . . . , , , , , ... , . 17 , - . , . : i. ii.
ernoulli
K
x, y C, C, , . (x , y)=0
C, : A (x1,y1) C ,
(x1 , y1)=0 ( , )=0 , ( , )
C
x
y
x
y
x
y
C
M
N
x1 y1
(,)
( , )
C : (x,y)=0
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 2 -
=
xx
xx xx . , xx 00 .
00 1800 0 .
xx .
: , xx , . xx , xx xx 900, xx , .
900
=00
=900
, .
: . xx : .
//
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
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- 3 -
y
y
2
1x x1 2
A
B
12
1
2
.
)(//
(x1,y1) B(x2,y2)
21 xx 12
12
xxyy
: (x1,y1) B(x2,y2) , AB .
)yy,xx( 1212 ,
12
12
xxyy
=. : 12
12
xxyy
x y.
1 2
1 2 , :
2121 // 12121 :
1 ,2 1 2
1 , 2 1 ,2 , :
212121 ////
1212121
=+
1 2
1 2
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 4 -
: y-y0=(x-x0) :
Oxy A(x0,y0 ) . M(x,y) A(x0,y0 ) , AM
, AM . )yy,xx(AM 00 ,
0
0AM xx
yy
. , M(x,y)
0
0
xxyy
y-y0=(x-x0).
A(x0,y0 ).
1: A(x0,y0 ) : x=x0
( )
2:
.
)xx(
xxyy
yy
1
12
12
1
21 xx x=x1 x1=x2
A(x ,y )00
M(x,y)
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 5 -
(0,)
yy (0,) y=x+
, y=x.
xOy xyO
y=x y=-x .
A(x0,y0 ) xx , , y=y0.
Ax+y+=0 0A 0B (1)
, (1) .
: . yy (0,) , y=x+,
x+(-1)y+=0 (x0,y0), x=x0
x+0y+(-x0)=0
, , Ax+y+=0 0A 0B
(0,)
=
=
(0,0)
y
y
450
y=x
y
y
0135
y=-x
y000(x ,y )
00(x ,y )
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- 6 -
Ax
+By+
=0
=(,-)
, Ax+y+=0 0A 0B
0B ,
xBA
y ,
BA
yy
,0 .
=0, , , 0A
x ,
xx
0,P .
Ax+y+=0 0A 0B .
Ax+y+=0 ),( .
: Oxy Ax+y+=0 . : 0B ,
BA
),( . =0,
yy
),( .
Ax+y+=0 ),( .
:
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 7 -
00 (x ,y )0
d
x+By+=0
),(
),(
0ABAB)B,A()A,B( .
, Ax+y+=0 )y,x(M 000 . 0 :
22
000
Byx,Md
(x1,y1), B(x2,y2), (x3,y3), . :
A,ABdet21
1: y=x+1 2: y=x+2
2
2121
1),(d
Ax+B
y+=
0
=(,)
1 1
B(x2 y2),
(x ,y )
(x ,y )3 3
1
2
1
2
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- 8 -
f(x,y)=0 (c) :
(x,y)
(x0,y0) (c)
. ,
(x,y) :
xx (x,-y)
yy (-x,y)
(-x,-y)
1 3 (y,x)
f(x,y)=f(x,-y) (x,y) f xx
f(x,y)=f(-x,y) (x,y) f yy
f(x,y)=f(-x,-y) (x,y) f
f(x,y)=f(y,x) (x,y) f 1 3 .
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 9 -
,
.
: . xx . . . : 0xx// yy//
0900
0900
21 1=0 2 :
0
()
1 ,2
1 ,2 : 2121 // 12121
x y. , , , ..
, ,
//
>0
=0
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- 10 -
() : . . :
y-y0=(x-x0)
)xx(xxyy
yy 112
121
21 xx
x=x1 x1=x2 (,0)
(0,) : 1yx
P(x0,y0) , P(x0,y0) : : x=x0 : y-y0=(x-x0), IR i. : x=x0 ii. () IR
yy x=x0 xx y=y0 yy (0,) y=x+
Ax+y+=0 , , , , , , .
Ax+y+=0 x+y+k=0
Ax+y+=0
x-y+k=0
Ax+y+=0 0 0
A
=0
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 11 -
: 1+2=0, (1) IR : 1 : . , , (1). , (1) . 2 : ( ). , 1 , , .
(1) , .
1 , 2 1 , 2 .
21, :
11//
22//
21,
: |||| 21
21
.
),( 21
),( 12
21
12
21
1
),(
-
2 1
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 12 -
x2 +Bxy +y
2 +x +Ey+Z=0 , . 2 x y ( )
. , , .
(x,y) x y , . , , . , : (x,y) x y . . , .
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 13 -
, , , .
1,2 . (x,y) . : d(M,1)=d(,2)
. 1
2 yy . . ( ) ( )
21
.
1 2
, .
2
2121
1),(d
1: y=x+1 2: y=x+2.
.
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 14 -
1.1. . (1,3) , (2,6), (-5,-15) . (5,-4), (-2,3), (t,1-t), IRt . (1,3), (1,-2), (1,1). 1.2. y=(22 ++1)x++4 y=(2-+4)x+-5 . i. ii. , . iii. // 1.3. , (-3,7) (3,1) 1: 3x-y+2=0 2: 2x+y-7=0 . : i. , xx . ii. iii. . iv. . 1.4. (-3,1) : 4x+y-6=0 i. ii. . 1.5. (-1,2). : x+2y-4=0 : x-y+1=0 1.6. (2,3)
21
.
:
1
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 15 -
2.1. IR : y=(2-10)x+2010 xx 1350. 2.2. (x1,y1) (x2,y2)
y=x+. : 221 1|xx|)( 2.3. (1,2) 1: x-3y+1=0 2: y=1. . 2.4. (1,2) . y=x-5 x=2 . . 2.5. (1,3)
xx yy : 2
2.6. : y=3x+10 , 2. 2.7. : x+y-4=0 (-1,1) . . . . . .
2.8. )3,2(
j4
. (-1,3)
21
3v .
2.9. yy (0,3)
xOy .
:
2
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 16 -
3.1. (2-1)x+(+1)y+(2-3+2)=0 , IR (1) . (1) . . xx yy ; . ; 3.2. (2+2)x-(+2)y+5=0 . . . , (1,2). 3.3. (3-1)x+(-1)y +4-8=0. : . IR . IR.
3.4. ( (x)1
01y)1
, .
3.5. x-y+1=0 (+1)x-(1-)y+4=0 . IR . 1 1: 4x-2y+3=0 . 2 2: x-3y+4=0 . 1 2 IR . 1 2 . 2 IR
3.6.
2 04y||x|| 22
.
: 3
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 17 -
4.1. x-2+(2x+3y-1)y=0 , IR (1) . : i. IR (1) ii. (1) .
. : y= 3x21
;
4.2. : . 6x2-xy-y2=0 . 450 4.3. 1: x-y=+1 2: x-y=2 , IR 4.4. . (3+1, 2), IR . (2+, 3+5), , IR +=1 . x+(-1)y=2 (+1)x+y=2+1, IR . 4.5. : . (x+y+2)2-4=0 . |x|-|y|=0 . x2-2xy+y2-5x+5y+6=0 4.6. 1 : 1x+1y+1=0 2 : 2 x+2y+2=0 :
. 0//22
1121
. 0212121 4.7. 1 2 1 : x+y+1=0 2 : x+y+2=0 . . . 4.8. y=x. : x+2y+1=0 y=7x+2
: 4
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 18 -
5.1. 1: 3x+ 4y -7 = 0 2: 3x + 4y -16=0. . 1 2. . 1 2. 5.2. (3-1, 2+3) (2, -) (,4) . . (= ) . ;
5.3. . (2,4) : y=3x+2.
.
. .
. : 5()2 8
. :
x+y+1=0 x+y+2=0
N :
22
221 )(E
5.4. )6,4(
)8,2(
.
.
. A
. (3,1)
5.5. (-2,-1) (2,2)
. (2,6)
.
()=() .
:
5
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 19 -
6.1. x2+y2+2xy-2x-2y-3=0 . 1 2 . 1 2 . 1 2
6.2. : 2x-y+3=0 : x+2y-1=0 (2,-1). .
.
,
. . . . . .
6.3. (,0) (0,) 0
4111
. . . , 4 .. . ,
. 54
.
6.4. (-2,1) , (3,5) (2,4) . , , . ()=3(). .
6.5. : x-y-1=0 : x+y-=0 , >0 . , yy >0 . () . : ()(1)
:
6
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 20 -
7.1. (8,0) (0,4) Oxy. . . . () . . ().
: 222
2 1999. 7.2. xy, ( - 1)x + ( + 1)y - - 3 = 0, , . . . . (2, 2), (-1, 5) (1, 3). , . . . . . 2000 7.3. (2,1) xy . . . xx . . . 2000 7.4. x2-y2+6x+9=0. . 2 1 2. . 2 1 2 . . (, ) >0 >0 ),3(
1 2
)4,16(
. 2001
7.5. (2-1,3+2), (1,2) (2,3) 2,IR . , IR . =1 2003
:
7
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 21 -
1. () () xx.
2.
(x1, y1) (x2, y2) = 12
12
x- xy - y
.
3. (x1, y1) (x1, y2) .
4. 1, 2 - 1, 2 1 = 2 1 . 2 = - 1.
5. y = 1
x y = - x 0.
6. 2x + y = 1 x - 2y = 1 .
7. y = 3x + 1 3x - y = 4 .
8. y = - 3
x + 1 y = - x + 2 . = 3.
9. y = 2x + 1 4x - 2y + 5 = 0 .
10. xx, yy y = x
y= - x .
11. y = 2 y = 2x .
12. 5x + y = 1 x - 5y - 1 = 0 .
13. (- 2, - 1), (1, 4) (- 4, 2) .
14. (, ), (, ), (, ) .
15. ( + , ), ( + , ), ( + , )
.
16. (x1, y1) (x2, y2)
: y - y2 = 21
21
x- x
y - y (x - x2) (x1 x2).
17. (x0, y0)
.
: 8
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 22 -
18. (1, 2)
y = - 3x + 4, y - 2 = - 3 (x - 1).
19. (1, - 4) (- 1, - 5)
y = 21
x + 3
20. (- 3, - 1), (2, 2), (- 3, 4) (3, - 6).
.
21. (1, 1)
xx 135 x + y = 0.
22. x
+ y
= 1 , 0 (, 0)
(0, ).
23. 2y - 3x + 4 = 0 xx (34 , 0).
24. ,
x = x0.
25. x + y = 0 xx 45.
26. 3x + 3 y + 1 = 0 xx
120.
27. x + By + = 0 0 .
28. , x + By + = 0 .
29. x + By + = 0
. = 0.
30. x + By = 0.
31. n =(- 2, 1) x + y + 2 = 0.
32. x + By + = 0 = (, - ).
33. Ax + By + = 0 n =(,- ).
34. 1 = (, ) 2 = (- , ) .
35. = (, ) 0
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 23 -
: x + By + = 0.
36. d (0, ) 0 (x0, y0) (): Ax + By
+ = 0 By Ax 0 0 = d (0, ) 22 .
37. det ( , ).
38.
.
39. y = 2x + 1 xx
0.
40. x + (x - y) - = 0 xOy
.
41. 1: y = 2x + 1, 2: y = 2x - 1, 3: x + 2y + 1 = 0 4: x + 2y + 2 =
0 .
42. 1: y = x + 1 2: y = x + 2
: d (1, 2) = 2
21
1
.
43. : x + 3 = 0
(3, 2), y = 3.
44. 2x - 3y = 11 4y + 3x + 9 = 0 (- 1, 3).
45. y = x + 3 xx
R.
46. ( + 1) x - y = 0 3x + y - 7 = 0 ,
=2
47. 1: 7x + 3y + 2 = 0 2: 2x + 5y - 3 = 0 .
48. xy = x .
49. 3x+5+2=0 )3,5(
50. 2x+3-1=0 )3,2(
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 24 -
-
1 1.1. . . x=1 1.2. i. =22++1 ,=2--4 ii. =5 iii. =-3 =1 1.3. i. =-1,=1350, :y=x-4 ii. A(1,5) iii. AM: y=x+4, iv. y=2x-5
1.4. i. 47
x41
y
ii. (5,3)
1.5. )35
,32
(B (2,1)
1.6. 1:y=x+1 2:23
x49
y
2 2.1. = 3 2.2.
221
221 )yy()xx()AB( =
. 2.3. (-1,0) , (6,1) 2.4. (2,-3) , (3,-2) 2.5. y=-6x+9 2.6. 6 2.7. . (1,3) . (3,5) . (3,1),(-1,5) (-1,5) (3,1) 2.8. 6x-7y+27=0 2.9. y=-x+3 3 3.1. . 1--R . =1, yy . =1 =2 3.2. . 0 0 . =1, =2 3.3. . (2,2)
3.4. 1 1 (1/2,-1/2) 3.5. . =2 . =2 . . =450 . (-2,2) 3.6.
02)y-x2(2y)x2)((22
(-1/2,1) 4
4.1. .ii )35
,2(
. 6x+3y=-7 4.2. . 2o y 4.3. 1 (1,-1) =1 4.4. . : 2x-3y-2=0 . : y=-2x+7 . (+1,), x+y=1 4.5. . x+y=0, x+y+4=0 . y=x ,y=-x . x-y=2, x-y=3 4.6. ),( 111 , ),( 222 .
4.7. . 22
1221
||),(d
. 0 , x+By+ 02
21
=0, x=
2
21
5 5.1. . 6x+8y-23=0 5.2. . 2x-3y+11=0
5.3. A. . 5102
),A(d
. () d ..
http://www.perikentro.blogspot.gr/ :
- 25 -
. d =d2. 5.4. . )7,1(AM . =22. . >0 . (-1,-5) (5,-7) x+3y+16=0 5.5. . =8 . . 3x-4y-14=0, 3x-4y+18=0 6 6.1. . x+y-3=0, x+y+1=0 . x+y-1=0 6.2. . .x-3y+4=0 ,3x+y+2=0 . (-1,1) . x-3y-5=0, 3x+y-5=0 6.3. . x+y-=0 . (4,4) . =2,=-4 =-4,=2 . ==8 . =1 =-4/3 6.4. . .x-y-1=0, x-y+5=0 . x-y+2=0
6.5. . . 1
2E
2
. (1)=1 ()(1)
7 7.2. . (-1,2) . :y=2. : x=-1 : x-2y+5=0 . . ()=3. 7.4. . x+y+3=0, x-y+3=0 . . (3,4) 7.5. . 3x-2y+7=0 (-5,-4) . ()=3/2 .. 8 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
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