Решение заданий Решение заданий
В3 В3 (площади многоугольников)(площади многоугольников)
по материалам открытого банка по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 годазадач ЕГЭ по математике 2014 года
Теорема ПикаПусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
S = L + B/2 – 1
Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
1см
Теорема Пика
Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтомуS = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.
1см
Площадь прямоугольного треугольника
Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.
Тогда справедливы формулы:
21
S = ab
a
b
21
S = ch
c
h
Площадь произвольного треугольника
Пусть а − сторона треугольника, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
21
S = aha
a
ha
a
ha
Площадь параллелограмма
Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
S = aha
a
ha
haa
Площадь трапеции
Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции.
Тогда справедлива формула:
b
h
2a + b
S = h
a
b
h
a
Площадь четырехугольника
Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
21
S = d1d2 sin α
d2
d1
d2
d1
Задания открытого банка задач1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 10,5.
Решение:
abS2
1=
7
3
1см
.,S 510732
1 =⋅⋅=
Задания открытого банка задач2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
aahS2
1=
8
4
1см
.S 16842
1 =⋅⋅=
ha
Задания открытого банка задач3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS2
1=
.S 12832
1 =⋅⋅=
81см
ha3
Задания открытого банка задач4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS2
1=
.S 12642
1 =⋅⋅=4
6
1см
ha
Задания открытого банка задач5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS2
1=
.S 12832
1 =⋅⋅=
3
8
1см
ha
Задания открытого банка задач6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33.
Решение:
−= п/уΔ SS
.33827472 =−−−=
1см
18
9
8
6
8
2
−1ΔS −
2ΔS3ΔS
−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 182
1
−⋅⋅− 692
1 =⋅⋅ 282
1
Задания открытого банка задач7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 15,5.
Решение:
п/уΔ SS =
.,, 515452143672 =−−−−=
1см
7
9
8
1
5
1ΔS−
2ΔS−3ΔS−
−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 982
1
−⋅⋅− 472
1 −⋅⋅ 152
1
4
=⋅14
1у/пS−
Задания открытого банка задач8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 50.
Решение: 2aS =
1см
17
5014917 222 =+=+=а
по теореме Пифагора:
а
а
50=S
Задания открытого банка задач9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 20.
Решение:
abS =
1см
2
6
4043626 222 =+=+=а
по теореме Пифагора:
а
204001040 ==⋅=S
b
1
3101913 222 =+=+=b
40=а
10=b
Задания открытого банка задач10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
1см
212
1ddS ⋅=
4
8
16482
1 =⋅⋅=S
Задания открытого банка задач11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 17,5.
Решение:
1см
5
( ) 5172
35345
2
1,S ==+⋅⋅=
43
+= 12
1ahS
=S +1ΔS
2ΔS
( )212
1hhaS +=
22
1ah
Задания открытого банка задач12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 8.
Решение:
1см
6
( ) 84682
1 =−⋅⋅=S
−= 12
1ahS
=S −1ΔS
2ΔS
( )212
1hhaS −=
22
1ah4
8
Задания открытого банка задач13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 30.
Решение:
1см
hba
S ⋅+=2
5
4
3052
48 =⋅+=S
8
Задания открытого банка задач
Ответ: 36.
Решение:
1см
hba
S ⋅+=2
7
2
3682
27 =⋅+=S
8
14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задания открытого банка задач15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 28.
Решение:
1см
72874 =⋅=S
4
aahS =
Задания открытого банка задач17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 25,5.
Решение: −= п/уΔ SS
.,, 52552851372 =−−−=
1см
5
9
8
3
7
−1ΔS −
2ΔS3ΔS
−⋅= 98ΔS −⋅⋅ 932
1
−⋅⋅− 872
1 =⋅⋅ 252
1
2
Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (1 способ)
1см
7
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2
3( ) 513
2
27273
2
1,S ==+⋅⋅=
+= 12
1ahS
=S +1ΔS
2ΔS
( )212
1hhaS +=
22
1ah
Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (2 способ)
1см
hba
Sтрапеции ⋅+=2
7
53872
291 ,S =⋅+=
9
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
2
1
2224
2
292 =⋅+=S
2222
13 =⋅⋅=S
1122
14 =⋅⋅=S
51312225384321 ,,SSSSS =−−−=−−−=
S2
S3
S4
Задания открытого банка задач19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 51.
Решение: −= п/уSS
.5166972 =−−−=
1см
6
9
8
2
3
−1ΔS −
2ΔS у/пS
−⋅= 98S −⋅⋅ 632
1
−⋅⋅− 262
1 =⋅23
6
Задания открытого банка задач20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 31.
Решение:
−= п/уSS
.3153672 =−−=
1см
9
8
2
−1ΔS
2ΔS
−⋅= 98S −⋅⋅ 982
1 =⋅⋅ 252
15
Задания открытого банка задач21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33,5.
Решение:
−= п/уSS
.,, 533785756 =−−−=
1см
7
8
2−
1ΔS −2ΔS
−⋅= 78S −⋅⋅ 352
1
282
1 ⋅⋅−5
3ΔS
3
=⋅⋅− 272
1
2
Задания открытого банка задач22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24.
Решение:
−= кв.б.SS
.24251564 =−−=
1см
8
8
3−ΔS2 .кв.мS
−⋅= 88S −⋅⋅⋅ 352
12 =⋅55
5
5 3
Задания открытого банка задач23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14,5. 1см
7
8
3
4
53
Решение:
−= п/уSS
.,, 514151651056 =−−−=
−1ΔS −
2ΔS
−⋅= 78S −⋅⋅ 372
1
482
1 ⋅⋅−
у/пS
=⋅− 35
Задания открытого банка задач24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 18. 1см
7
8
Решение:
=S
.181028 =−=
−ΔS
−⋅⋅= 782
1S =⋅+
22
73
3
трапецииS
2
Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
1см 4
4
4
4
Решение: (1 способ)Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.
4√2
4√2
Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16. 1см
Решение: (2 способ)
L = 15 (красные точки),
B = 4 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 15 + 4/2 – 1 = 16
Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5. 1см
Решение: (1 способ)
9
9
54
5
3
5
4
6
−= кв.SS
.,, 51916512181581 =−−−−=
−1ΔS −
2ΔS
−⋅= 99S −⋅⋅ 652
1−⋅⋅ 49
2
1
−3ΔS
552
1 ⋅⋅− 42
53 ⋅+−
.трапS−
Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5. 1см
Решение: (2 способ)
L = 16 (красные точки),
B = 9 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5