Math. Ann. 276, 467-485 (1987) �9 Springer-Verlag 1987

Zur Faltung von Distributionen

Peter Wagner

lnstitut ftir Mathematik und Geometrie, Universit/it Innsbruck, TechnikerstraBe 13, A-6020 Innsbruck, Osterreich

1. Einleitung

Ausgehend von der allgemeinen Faltungsdefinition fiir Distributionen von Schwartz und Horv/tth (vgl. [9, 19, 20]) betrachten wir im ersten Teil die Faltbarkeit und Faltung mit Exponentialpolynomen und GauBschen Kernen. Dies liefert insbesondere die K1/irung zweier often gelassener Fragen aus der ,,Th~orie des distributions" von L. Schwartz.

Im AnschluB an Untersuchungen yon Horv~th, [10], und Ortner, [13], wird irn zweiten Teil der Arbeit die Faltung mit homogenen Distributionen behandelt. Dabei werden einige Fragen yon J. Horwith beantwortet.

2. Bezeichnungen und Grundlagen

N bezeichnet die Menge der natiJrlichen Zahlen, 0 eingeschlossen. Der Buchstabe n bleibt f/Jr die Dimension des Raumes R" reserviert; r = (x~ + . . . + x2) 1/2 = Ixl ist der euklidische Abstand zum Ursprung.

Alle R/iume der Distributionentheorie werden wie in [18] bezeichnet. Zwei Distributionen S und T heiBen faltbar, wenn eine der beiden folgenden/iquivalen- ten Bedingungen erf/illt ist (vgl. [19, Expos~ no. 22], [20, 9, 16]):

(F1) q , ( x + y ) ( S x | ' 2n

V~o e ~(Rn): (~o �9 ~)- T~ ~;,(Rn). (F2)

(g bezeichnet dabei die am Ursprung gespiegelte Distribution zu S: (~, 7) Z ( ~ ( - x ) , S ) ftir ~ p ~ ; die tiefgestellten Buchstaben x bzw. y geben in

weifelsffillen butlonenraumes an Wenn F 1 F2 erfiillt . " '" dieVariablendesDistr i " .) ( ),( ) " stud, so ist S * T durch

definiert. (tp, S * T ) = (1 ~, y, q~(x + y) (Sx | Ty)) = (1, (q~ * ~)- T)

bezeichnet immer einen Multiindex, ~ die entsprechende Ableitung in ~'(R"), x �9 zugeh6rige Monom. S._ 1 ist die Einheitskugel im R ~. Sie wird mit

468 P. Wagner

dem rotationsinvarianten Oberflfichenmal3 do- versehen, fiir das gilt:

I lda=2~"]ZF ~ �9 S n - i

Dies gibt auch die Einbettung

LI(S._ 1)---*~'(S._ 1):f~~ OP ~ ~ tp(co)f(eo)da(co)).

Eine Distribution T � 9 ~ ' (R" ) wird homogen vom Grad 2 �9 C genannt, wenn sie in R"\{0} homogen ist, d. h.

Vc > 0 : supp [T(cx)- caT(x)] C {0}

(supp bezeiehnet den Tdtger einer Distribution.) Naeh [4, 12] lfil~t sich T schreiben als T = k. r a + To, wobei k �9 ~ ' ( S , _ 1), supp To C {0} und k. r x durch (~o, k. r~) ~--- ( (q ) ( tO) ) , k ) , t~+ +n -- 1 ) ffir ~o �9 ~ definiert ist. Hierbei ist ta+ +~- ~ �9 ~ ' ( R , ~ ) wie in [5, Kap. I, Abschn. 3.2, S. 56, 92] zu verstehen. Wenn k = 1, so schreibe ich fiir k. r ~ einfach r x (in [8, I0, 13] wird diese Distribution mit P f r a bezeichnet). Umgekehrt ist T=k. r a, k �9 ~'(S,_ ~) in unserem Sinne immer homogen, k nennt man die Charakteristik yon T T heil3e in ganz R" homogen vom Grad 2, wenn gilt: T(cx) =caT(x) fiir c > 0 . Wenn 2 nicht einer der kritischen Exponenten - n , - n - l , - n - 2, ... ist, so ist k. r x sogar in ganz ]R ~ homogen.

Die Fouriertransformation ~ : 6 a ' - - , : T ' wird wie in [18, Ch. VIII definiert, d. h. also ~'r = ~ e - 2~i"r fiir r �9 L ~. Man beachte, dal3 ~- T fiir homogene Tim allgemeinen nicht homogen ist. N u t wenn T in ganz R" homogen vom Grad 2 ist, so ist ~,a~T homogen vom Grad - 2 - n. Ebenso ist fiir homogene und faltbare S, T i m allgemeinen S * T nicht homogen (vgl. Abschn. 7). Wenn hingegen S, T faltbar und in ganz R" homogen vom Grad 2 bzw. # sind, so ist S * T in ganz g~ homogen vom Grad 2 + # + n, wie eine Homothetiefiberlegung zeigt.

Mit Pf T~ wird der Wert in Zo des regulfiren Teils der Laurentreihe urn z0 ~=~o

einer distributionswertigen, meromorphen Funkt ion z~--, T~ bezeichnet (vgl. [8, p. 84]).

3. Faltung mit Exponentialpolynomen

Ist P(x) ein Polynom im R", c �9 ~n, so betrachten wir in diesem Abschnitt die Faltbarkeit yon Distributionen mit Exponentialpolynomen T:=P(x)e% Der folgende Satz charakterisiert die Faltung mit Exponentialpolynomen und zeigt, dab das Fal tungsprodukt einer beliebigen Distribution mit einem Exponentialp0" lynom wieder ein Exponentialpolynom (h5chstens gleichen Grades) ist.

Satz 1. a) S �9 ~'(I~"). Aquivalent sind: i) S, T faltbar

ii) Va: (d~i~)e-cxS �9 ~'L, iii) u �9 R": g(y-x)e-cxSx �9 ~ , ( R ~ ) . b) Es sei L : = {~a~x'e'X: a~�9 a~=0 flit d~P=0}. Dann ist die Abbildung

{ S � 9 S mit T fahbar}~ L

S ~-r S * T= eCX(ly, P(x - y)e-cYSy) wohldefiniert und surjektiv.

Zur Falttmg von Distr ibut ionen 469

Beweis. Ist ~o ~ 9 , so liefert die Taylorentwicklung yon P:

q~ �9 ~(x) = ~ cp(y)e ~ty- ~)P(x - y)dy = e- ~ ~ 1 (0=p) (x) ~ ~o(y)e'r ( - y)~dy .

Da die Distributionen e~r(- y)~ fiir verschiedene ct linear unabh/ingig sind, k6nnen wir ~0~ E ~ finden, so dab

~o~(y)e~Y(-y)~dy=~,a.ct!, Jill<Grad yon e .

Daher erhalten wir aus (F2) in 2. die ~quivalenz yon i) und ii). ii) und iii) sind/iquivalent wegen

P ( y - x) = P ( x - y) = ~ 1 ( ~ ) (x)( - y)~.

Wenn ii) und iii) gelten, so folgt f~ir q~ e 9 :

(q~, S * T) = (1, S(r * T))

( l r , St" I ~o(x) e c ~ - ' P ( y - x)dx)

= ~ 1 (1,, (O~P)(y)e-"S,) �9 S qJ(x)eCX(-x) ~dx

= ~ ~o(x)eC~(1 r, P(x - y)e-~rS,)dx ,

was b) beweist.

Bemerkungen. 1) Insbesondere erhalten wir: x ~ ist mit S faltbar genau dann, wenn gilt: Vfl<a: XaS~ 'L , .

Nur im R 1 ist dies/iquivalent zu x~S e 9~, , im R 2 liefern etwa S = 6~ | lx: und x~ = Xl ein Gegenbeispiel.

2) Aus Satz 1 ergibt sich auch, dab die Faltungsgleichung S * P(x)e ~ = t5 keine L6sung, d. h. P(x)e r keine Fundamentall6sung besitzt.

Im folgenden betrachte ich die Faltbarkeit mit Klassen von Polynomen.

Satz 2. Es seien S E ~'(R"), m e N. Dann sind dquivalent: i) S ist mit allen Polynomen eines Grades ~ m faltbar,

ii) S ist mit x~ '~, i= 1 . . . . . n, faltbar, iii) (1 +r2)'~J2S e ~ , .

Beweis. i) ~ ii) ist evident. ii) =~ iii): Es sei zun~ichst m gerade. Nach Satz 1 ist

(xlm+ ... +x , '~+ 1 ) S e ~ .

Wegen

und Wegen

(1 d-r2)m/2(Xlm-I - . . . - ] - X n m q - 1) - 1 E ~LOO

folgt daraus iii). ~ L ~ . ~ , = ~ Z , ,

470 P. Wagner

Fiir ungerades m hat man lediglich x~" durch Ix~l m. z(x~), wobei ~ e ~, X(t) =0 bei t = 0 und Z(t)= 1 fiir groBes Itl, zu ersetzen.

iii) ~ i): P(x) sei vom Grad < m. Dann ist P(x)(1 + r z)-"/2E ~Loo und i)folgt wieder durch Multiplikation.

Korollar. Es sei S ~ @'(R') . ]t'quivalent sind: i) S ist mit alien Polynomen faltbar,

ii) S e d)~, iii) V m ~ N : ( l+r2)~ 'Se~ 'z , .

Beweis. i) r iii) folgt aus Satz 2. ii) => i): Wenn S ~ 6~, so ist S mit jeder temperierten Distribution faltbar und

insbesondere gilt i). i) ~ ii): Nach Satz 1 ist P(x)S ~ ~ '~ fiir jedes Po lynom P(x). Aufgrund der

Charakterisierung der Distributionen in ~ gilt:

VPo lynom P: q f ~ L ~ : qPo lynom Q" P ( x ) S = Q ( O ) f .

Folglich mit Fourier transformation:

P ( i 2 ~ ) ~ S = Q ( 2 7 z i x ) ~ f ~ c g ( R ~ ) .

Daher ist die Funk t ion ~-S beliebig oft differenzierbar und wachsen alle ihre Ableitungen langsam, d. h. ~-S e d)~ und somit S e d);.

Bemerkuny. In [18] wird definiert

~ ; = { S e ~ ' ( R D : V m ~ N : (1 +r:)mS ~ ' ~ } .

4. Faltung mit Gaul~hen Kernen

Im folgenden werden die Faltbarkeit und die Fal tung mit dem GauBschen Kern e "~, a ~ R , a #0 , betrachtet.

Definition. 1) M : = { S ~ ~ ' ( R n) : V N > 0: cosh N r . S ~ 6a "} , M a " = e - ar~ . M. 2) A " = { f e ~(C~c+~): i) f ist analytisch, ii) V K c R ~ k o m p a k t : 3 N >O: V ~ eK:

Vt/~ R ' : If(~ + it/)[ < N(1 + I~lZ)N}.

-4reon:=(f l , - : f ~ A } , aa '=e~

Bemerkun#. Fftr S e M gilt e-~e+i")~S~ ~ ~ ( R ~ ) , vgl. 1-18, Ch. VIII]. WJe dort definieren wir die Laplace-Transformation:

. Y : M ~ A : S~-. (1~,, e-~e+~)xs~) .

Satz 3. Es seien a e IR, a 4= O, S ~ ~'(11~). a) S ist mit e ~'~ oenau dann faltbar, wenn S ~ M a , d .h . VN~ 0:

c o s h N r . e ~ . S ~ ~ ' . b) Die Abbilduno M~--* A a : S ~ S * e ~'~

ist wohldefiniert und bijektiv. Weiters gilt: Vr ~ R~: (S * e a'~) ( 0 = ealil~'~(e*'~S) (2ar

gut Faltung yon Distributionen

coshNr Beweis. a) Wegen cosh2Nr ~ ~ fiir N > 0 und ~ . ~ ' ( (9" gilt

M = {S ~ ~ ' : V N > 0 : coshNr . S e (9~}

= { S ~ ' : V N > 0 : coshNr. Se~'r:}.

~) Es sei S ~ M~ gegeben und ~p e ~ .

cp * e a'~ = e ~'~ ~ ~p(y)e ~ 2aXydy

und

f ( x ) := ~ tp(y)e ~lyl~- 2 ~ d y . (coshNr)- ~ ~ ~ |

fiir N>2asup{lYl: ~p(y), 0}. Folglich ist (tp * e~ S =f(x) . coshNr , e ~: . S e ~ 1 , d.h. S

f~ltbar. [~) Nun seien umgekehrt S u n d e ~'~ als faltbar vorausgesetzt,

04=~p ~ , ~p(y) > O, V y ~ R " , U : = { y ~ R " : ~p(y) 4= 0}.

Dann ist

~p(y)e alyl:- 2~ >= j cp(y)eatYl~dy, inf e - 2~xy yeU

-> c- exp ( - 2a sup xy~ \ yeU J

mit c >0. Fiir festes Xo E R" und e > 0 k6nnen wir tp so w~hlen, dab

U={y: ly-xol<~) =~ supxy=XXo+er y~U

und

Daher ist

S cP(Y) ealyl2- 2a~YdY >= ce- 2~O~o + ~ v ~ ) .

f ( x ) : = e - 2 . ~ o + ~ 1 [ ~ ~o(y)eOJyl~- 2 .~dy ] - 1 e L ~

und liegt, wie man durch Betrachtung der Ableitungen sieht, sogar in ~L~

=~ e - 2a~ '~ =f(x)(r * ear2)S e ~ 'v

fiir alle x o ~ R" und e > O. Damit ist auch

cosh(xox)e-~lVi-~+a:Se~'z~ fiir x 0 ~ R n, e > 0 .

Wegen

coshNr<eN'<e = +'~-')<= ~ eNn'~'l<2 ~ cosh(x")x) i=1 f = l

mit x~O~lt, ' x} o = nN~.j, liegt coshNr, cosh(x~~ in NL|

471

und e ~ sind

472 P. Wagner

Dies ergibt

coshNr.e-"ICi--~+"'~S~N~l fiir N > 0 , e>0 ,

woraus nun leicht folgt, dab S e M,. b) Nach [18, Ch. VIII, Proposition 6, p. 306] ist Ae bijektiv. Daher geniigt es,

die Formel

S * e'~(~) = e~lr fiir S e M,

zu zeigen. Dies rechnet man zun/ichst speziell fiir S e N leicht nach. Wie in [18, Ch. VIII

Par. 2] versehen wir M mit der gr6bsten Topologie, fiir die alle Abbildungen

M~?'~:S~-~S .coshNr , N > 0 ,

stetig sind und M. rnit tier durch den Isomorphismus

M ~ M , : S ~ e - ' ~ S

gegebenen Topologie. Fiir festes r e ~ ist dann

M. ~Ir, : S ~-. (q~(~), e"l~l~ ~(e"~S)( 2a~) )

stetig nach [18, Ch. VIII, Par. 3, Proposition 5]. Andererseits gilt

( e , S , e"'~)= (1,(~p . e '~)S)

= (1r ~(q)e'~)(2a~)ealr162

und auch

M ~ ' ~ : T~-* Ae(e'2~p)(2a~)T~

ist stetig, da .o~(e'2rp)(2ax)(coshNr) - l e 6 a fiir gen/igend groges N nach dem Beweis yon a).

Somit ist auch

M,~ t~ : S ~ (q~, S * e "r2)

stetig und die gesuchte Gleichung folgt aus der Dichtheit yon ~ in Ma.

Bemerkung. Satz 3 beantwortet die Frage in [18, Ch. VII, Par. ll), p. 283 bzw. 292], ob der Faltungskern e x p ( - nr 2) eine nichttriviale L6sung bzw. eine Fundamental" 16sung hat, negativ bei Zugrundelegung der Faltungsdefinition in [9].

L. Schwartz hat brieflich darauf hingewiesen, dag bei (ad hoc-) Definition der Faltung mit dem speziellen Kern e "2 durch die Formel in Satz 3, b), beide Fragen auch mittels der Theorie der Laplace-Transformation behandelt werden kSnnen.

Beispiel. F/Jr a, b e 11 erhalten wir, dab e "2 und e b': genau dann faltbar sind, wenn a + b < 0. Unter dieser Bedingung gilt:

earZ * ebr2 : ( __ 7C ~n/2 e abr2/(a +b) \

Zur Faltung yon Distributionen 473

5. G a ~ s c h e Kerne mit imaginiirem Exponenten

Nun untersuche ich die Faltung mit dem Kern e/'2, a e R, a ~0. Ich ben6tige folgendes distributionentheoretische

l.emma. J f sei einer der Rdume 8', 0~, ~'Lp (1 < p < 00), ~ ' , 6:', S e ~ ' . Dann sind iiquivalent :

i) S ~ J : , ii) V e E r : q ~ * S e ~ .

Beweis. i) =~ ii) ist trivial. ii) => i): Nach 1-17, Theorem 3, p. 553-1 gilt:

r y e S : 9 N E N : 9ft . . . . . f~,qh ..... q~se~: ~ P = f ~ * q h + . . . + f s * q ~ N

und daher l p * S = f l *(qh * S ) + ... +fN*(tpN*S) . Wegen ii) ist fiir j = 1, ..., N:

wobei d / e i n e r der R/iumr ~ , S:, ~L~ (1 < p < oo), ~ , (9 u ist. Folglich gilt: V~pe~: v2* Se ~ . Dies bedeutet abet nach den entsprechenden Sfitzen in [18], dab S e .,~f. Zum Beweis des folgenden Satzes ben6tige ich das Lemma im Fall ~ = ~ ' .

Satz 4. Es seien a e R , a :t = O, S e ~'(R"). a) S ist mite ~'* genau dann faltbar, wenn Seine temperierte Distribution ist, d. h.

Se5 ~'. b) Die Abbildung

~ ' ~ ~ " : S ~ S * e ~"'~

ist wohldefiniert und ein Isomorphismus. Welter gilt:

S*eiar2=eiar~..~(eiarZs)(a-~). Beweis. a) Da i,,~ , e e d~, ist jede temperierte Distribution m i t e ~"'~ faltbar.

Sei umgekehrt S m i t e *"': faltbar. Dann gilt:

=> Vee. .~: (e*~ ' )e ia"~e~ '

=r V e e ~ : e * S e S:' (denn e- i,,,-, e 6u )

~ e ~ ' (nach dem Lemma)

=~ S e ~ ' .

ei" '2-ei~ '~ r e i~ welche auch die Isomorphie der b) Die Formel S * - ( rr

ina Satz angegebenen Abbildung zeigt, folgt\/wieder aus einem Dichteargument.

474 P- Wagner

6. ~ber die Faltbarkeit mit homogenen Distributionen

Hier untersuche ich die Faltbarkeit mit einer Distribution T, welche vom Grad 2 e C in 1~\{0} homogen ist. Nach [-4, 12] l~13t sich T schreiben als T= k- r a + To, wobei k e ~ '(Sn- t), supp To C {0}.

In [10, Theorem 3, p. 185] wurde die Faltbarkeit von S mit T i m Fall k ~ L~ 1) unter der Bedingung

(1 +r2)vJ2S E ~ 1 , #=Re2, (F3)

gezeigt. Im Fall k(co)= 1 ist diese Bedingung auch notwendig nach [13, Satz 4, p. 29]. (F3) ist jedoch fiirn => 2 nicht hinreichend, falls wir k(co) lediglich integrabel voraussetzen, wie das folgende Beispiel zeigt. Dies beantwortet eine Frage v0n J. Horvfith aus dem Jahr 1977.

Beispiel. Es sei n=2 , 2=0, T= [/~.-~-7, d.h. k(co)=[o~l] -1/2 und 1 f i x , t]

S = 6 x i @ 1 "{-[X2] 312 "

Dann gilt: i) k(co)ELt(S),

ii) S e ~ , ( R 2 ) , iii) S, T nicht faltbar. i) und ii) sind evident. W/iren die positiven MaIM S und T faltbar, so w/iren sic nach [1, p. 63], auch

als MaBe faltbar, d. h. es wiirde gelten:

v N > O: J I I S(y) T(x)dxay < oo. ]xt+ytl<N Ix2 + Yz[ <-N

Fiir I x d < l ist

dy2 C II s(v)ay= I >

Ixt+jql<l Ix2+y2I<t 1 +ly21 a/2 = 1+1X213/2 IX2 +Y21 < 1

fiir ein geeignetes c > 0 und alle x 2 ~ R. Somit ist

~ / r dxidx 2 ~IJ S(y)T(x)dxdy~-~C]x![~<l i~ 1 + ]X2] 3]2

Ixt+Yt[<l Ix2 + Yzl < 1

~-~C i dXl ~ (x12 "+X22)I/4dx2

- - - 1 -co 1 +iX2] 312 '

das innere Integral ergibt aber fiir alle xt unendlich. Folglich sind S und T nicht faltbar.

Im folgenden betrachte ich homogene Distributionen, deren Charakteristik k(co) ein (signiertes) RadonmaB auf S , - t ist. Der n/ichste Satz gibt eine hinreichende Bedingung fiir die Faltbarkeit mit solchen Distributione~' k(co) = J`0o, coo e S~_ t fest, wird durch (~o, 6,00) = ~(mo), u ~ ~(S~_ ~), definiert.

zur Faltung yon Distributionen 475

Satz 5. Es seien 2e ta , g = R e 2 , k(eg) ein Radonmafl auf S,-1, O9oeS.-1, T:=k .rX~ '.

a) Fails (1-t-r2) <u+"- 1)/2S e ~ , , so sind S und T faltbar. b) Es existiert ein S ~ ~', sodafl #ilt: i) (1 +r2)~S~'L1 fiir alte v<(l~+n-1)/2,

ii) S und 6,oor* sind nicht faltbar.

newels, a)Sei ~oE~, N:=sup( Ix l : ~o(x)4:0}, C:=max{ko(x)l : x e R " ) . Fiir r > N + 1 gilt:

I(tp* ~P)(x)l= ( ,S_ q~(x-teg)k(-to),t~+ +"-1)

r + N

< C $ Ik(o~)l [ t~+"-ldt S n - 1 r - N

= ~ c r p + n - 1 ,

wobei c eine yon k, ~o und # abh~ingige Konstante ist. Folglich ist (~0 * T)(1 + rZ) ~1 -~-")/2 eine beschr/inkte Funktion, welche sogar in ~r.~ liegt, wie durch Differenzieren folgt.

Wenn (1 + r2) ~'§ 1) /2S ~ ~L1, SO ergibt sich also durch Multiplikation, dab (~ * ~ S ~ 9 ~ , d. h., nach (F2), S und T faltbar sind.

b) Es sei S = (1 + x 12) - ~ + ,)j 2 | t~,, wobei x' = (x 2,..., x,). Dann ist

(1 + rZ)~S = (1 " ~ - X 1 2 ) v - ( g + n ) / 2 ( ~ 6 x , E LI|

fiir v < ~ + n-- 1)/2, d. h. i) ist effiillt. Ohne Einschrhnkung der Allgemeinheit k6nnen wir 09o = (1,0 . . . . . 0) voraus-

setzen. Dann ist ,~ --~-- a+, - 1| ~OJo r - - .A, 1 +

Die Faltbarkeit von S mit 6,,o r~ ist daher /iquivalent zur Faltbarkeit yon (1 +t2)-t~§ mit t~+ +"- ~ in R~.

In R,~\(0) gilt: Pf Itl ~ +" -1 = t~++, -1 + (t~++ , - i f . Daher sind (1 + t 2)-{z +,)/2 und ta+ +"- 1 genau dann faltbar, wenn (1 + t2) -{z+"}/2

und pfltla+,-~ faltbar sind. Die zwei letzteren Distributionen sind aber nicht faltbar, da sonst aufgrund yon [13, Satz 4, p. 29] die Bedingung (F3) ergiibe, dab (1 + t~) - ~/z~ ~ . Dies ist wegen ~ ( L ~ o ~ ) + =L~+ [15] absurd.

Bemerkung. Nach der Aussage in b) des Satzes ist zwar

(1 + r2) (~ + "- ~/2S e ~ (F 4)

die beste Bedingung dieser Art fiir die untersuchte Klasse von Distributionen T. .Man beachte jedoch, dab (F4) ebenso wie (F 3) fiir festes T zwar eine hinreiehende,

allgerneinen aber keine notwendige Bedingung fiir die Faltbarkeit darstellt. Zuna Beispiel ist fiir T= Y(x)= Heavisidefunktion im ~,~ die Menge der mit T faltbaren Distributionen durch ~ + 9'+ gegeben. (Hierbei ist ~'+ = {S e ~ ' (R~): S=0 in x <0}.)

Fiir die Faltbarkeit zweier homogener Distributionen kann man explizitere Bedingungen angeben.

476 P. Wagner

Koroilar. 2t, ,~2 ~ , #~:= Re2~, 04: ki(co) seien Radonmafle auf Sn- t , T~:=ki. r ~ a) 7"1, T2 sind faltbar, wenn #~ +~2 < 1 - 2 n . b) Wenn kl ~ L ~ ~ 1), so ~ilt:

7"1, T2 sind faltbar, wenn /.lt--{-fl2 <~ -Y/.

c) Wenn k~ = 1, so Oitt:

Tt, T 2 sind faltbar genau dann, wenn #x +/~2 < - n .

Beweis. a) Nach Satz 5 ist (1 + r2ff ~ § ~- 1)/2 T2 �9 ~ nachzuweisen. Es s e i ~p �9 W=I bei 0, Z : = I - w .

Wegen ~1 + ~2 + n - 1 < - n ist )~(l + r2) ("1 + n- 1)/2r,~. 2 r ein integrierbares Mag, liegt also in N~ , womit aUes gezeigt ist.

b) Nach 1-10, Theorem 3, p. 185] ist fiir die Faltbarkeit mit T~ die Bedingung (1 +r2)"~/2T2 �9 N'L~ hinreichend. Diese folgt wie oben aus/al + #2 < - n .

c) r ~' und k2" r a~ = T2 seien faltbar. Wir haben daraus gl + ~2 < - n abzuleiten. Nach [13, Satz 4, p. 29] folgt aus der Faltbarkeit mit r ~~,

dab (1 + r2) "a2 T2 s Nj : . Nach Multiplikation mit der Funktion xrV,(1 + r 2) -t~t/2r~2 - ~2 �9 ~ L ~ und Addition von ~pr "~ + ~ - k2(o) ) e ~'/ ergibt sich: r m + u2. k2(09) ~ ~ , . S ' = ~-(r ut +~'2k2(c0)) ist also stetig.

W/ire #1 +/*2 > - n , so w~ire S homogen vom Grad - n - # ~ - # 2 <0, was der Stetigkeit widerspricht.

So bleibt nur noch der F a l l / ~ +#2 = - n zu betrachten. Da r -~. k2(to)im allgemeinen nicht homogen in ganz R n ist, betrachten wir r -n+ ik2(~o). Wie oben ergibt sich aus der Faltbarkeit von r a~ mit T2, dab S ' : = #-(r "~ +~+~-k2(o)) stetig ist. Weiters ist for #~ + ~ 2 = - n S ' ho~ogen vom Grad i, d.h. S'(cx)=c~S'(x)f~ir c > 0. Daraus erhalten wit

S'(0) = lim S'(cx) = lim c~S'(x) c ~ O c-c0

fiir alle x ~ R n =~ S'(x) = 0 ~ k 2 = O. Somit ffihrt auch #1 + #2 = - n zu einem Widerspruch.

7. Ein konkretes Beispiel

F r ( ( n - z)/2) n7 Wenn R4= r ~ L2:nn/2F(z/2) r j , 2 e C, die Rieszschen Kerne bezeichnet (vgl.

1-10, p. 180]), so gilt nach 1-13, Satz 9, p. 40] fiir alle [ndizes 2, v, f/Jr die R~, R, faltbar sind, die Kompositionsformel R a * R, = Rx+ ~. Dies liefert auch das Faltungspr0" dukt ra* r ' , solange nicht 2 oder v einen der singul/iren Indizes - n , - n - 2 , - n - 4 . . . . darstellt. Diese F/ille will ich im folgenden untersuchen.

d z Definition. Ffir Z r . . . . } sei Ta:= ~-j(r ); in den Punkter~ 2 ----n'

- n - 2 . . . . bezeichne Ta den endlichen Teil der ansonsten analytischen Funktion.

Zur Faltung yon Distributionen 477

1.emma. a) In R"\{0} ist Tx dutch die unendlich oft differenzierbare Funkt ion r z logr gegeben.

b) Ffw Rr - n ist T ~ L ~ o c. r T~ ist analytisch in ff~\{ - n, - n - 2, - n - 4 . . . . } und hat Pole zwei ter

Ordnung rnit verschwindendem Residuum in - n , - n - 2 . . . . .

Dcr Beweis ergibt sich aus den allgemeinen S/itzen in [8].

Bezeichnuag. I m folgenden schreibe ich wieder rXlogr ffir Tx.

Satz 6. Es seien l ~ N , 2 e ~ , 2~ {2 l -n , 2 1 - n - 2 , ...}, Re,~<2I. Dann sind r -n-21 und r ~ fa l tbar und es gilt:

f ~ 21 ~ 2l F / 2 \

Beweis. Die Faltbarkeit folgt aus [10, Corollary, p. 189]. Die nun folgende Berechnung entspricht dem Beweis der Kompositionsformel R~ * R~ = R~§ fiir v=n+2m in [-14].

Es sei/~ = Re2. Der Distributionenraum

~LI,/I/ : : {S e ~ / : (1 + r2)~[//25 e NL1 }

wird mit der durch die Bijektion

~Lt,gt ~L ' : S ~--~ (1-4- r2)~/zS

yon ~[~ iibertragenen Topologie versehen. Nach [13, Satz 2, p. 25] ist dann die Abbildung

/ t , ~L, ~ 6 e . S~--~ r z * S

stetig. Weiters ist r ~ im Bereich R e v < - # - n eine meromorphe Funktion mit Werten in ~ , , ~ (siehe etwa [8, Corollary (1.2.6), p. 64]). Wenn wir zur Abk/irzung

R : = R e s r - n - 2 t + z z=O

setzen, so gilt also

r - ~- 2z = lim (r- ~ - 21 + ~ _ z- 1 R) 7,"*0

nicht nut in ~ ' , sondern auch in ~ , . , . Damit erhalten wir

r-~-2Z , r ~ = l i m ( r - . - z l + ~ _ z - l R ) , r a z"* O

= lim (r -~- zl+~, r a - z - IR * r a) = Pf (r -~- 2t+~, ra). z~O z=O

478 P. Wagner

In der letzten Gleichung wurde verwendet, dab r-"-2~ + =, r a analytisch in 0 < 14 < rain {2, 21-#} ist. Dies folgt aus der Darstellung, die wir aus der Kompositions. formel R a * R v = R a + v erhalten:

."2r(r l) ' t, - - - 7 - )

Die rechte Seite besitzt einen einfachen Pol

F ( 2 - - I ) . Wir k6nnen also die Formel

in z = 0 aufgrund des Faktors

pf d �9 =o T,= ~zz (zT,) [,=o

verwenden.

A u s z F ( 2 - 1 ) = ~tz ( - 1 ) l und der Definition der ~-Funkti0n:

sm~- F I + I -

F' u = ~- ergibt sich dann das Resultat des Satzes.

Nun bliebe noch das Faltungsprodukt r - " - 2 t . r - "+ 2~- 2.,, l, m e lq, zu berech- hen. D e r E i n f a c h h e i t h a l b e r beschr~ inke i ch m i c h a u f d e n Spez ia l fa l l I = m = 0.

S a t z 7 . r - ~ ist mit sich selbst faltbar und es 9ilt: 4 n n / 2 " " - - lp"

Beweis. Aus der Stetigkeit der Abbildung # r . ~L1, - , ~ o cg �9 S ~ r-" * S

folgt wie im Beweis yon Satz 6, dab

r - " * r - " = Pf (r-n*r -*+z) Z = O

27~nl 2 71:a/2 = ~ r - " l o g r -

Ffir zwei meromorphe Funktionen f u n d 0 mit je einem einfaehen Pot bei 0 gilt:

Pf (f" O) = Resf . P f o ' + Reso- P f f ' + Pff" Pf 9.

Zur Faltung yon Distributionen 479

Alle Residuen und endlichen Teile sind hier und im folgenden im Punkt z = 0 zu nehmen.

Wegen Pf~o (2) = Pf [~ (1 + 2) - ~] =~(1) ist

Welters ist

Res~ = - 2 ,

n + z 21~n/2 Pf(r-"+z)'=r-"logr, Resr- = ---f-n~ ~,

pflp (2), = pfElp (14_ 2) _ !1, = I ' ~2

nach [6, 8.366.8]. Damit erhalten wir die Formel des Satzes.

Bemerkung. Man beachte, dab nach [6, 8.366] gilt:

~2 n-- - 1 j]~. :

n-1 re2 4 2 1 . 2 - - (2j-1)

n gerade

n ungerade.

8. [3her die 6e'-Faltbarkeit in ganz IR ~ homogener Distributionen

Zwei temperierte Distributionen S, T heil3en 6e'-faltbar, wenn eine der folgenden beiden ~iquivalenten Bedingungen erfiillt ist [7, 20, 2]:

V ~ e 5e(R"): , 2. e(x + y)Sx| Ty e ~L,(Rx.y), (F 1')

Vq~ e S,a(R"): (q~ * ;~)Te ~,(1~"). (F2') [ha allgemeinen folgt aus der Faltbarkeit zweier temperierter Distributionen nicht ihre 6~'.Faltbarkeit, siehe etwa [2, 15]. Fiir homogene Distributionen ist dies anders. (Man beachte, dab homogene Distributionen temperiert sind, vgl. [3, P. 154].)

Satz 8. Wenn zwei in ganz R" homogene Distributionen faltbar sind, so sind sie auch 5~'-faltbar.

~eweis. a) Es sei Z e ~ ( ~ t ) gew~ihlt mit i) V teR : Z(t)=>0, ii) suppzc [_],{] '

iii) VteR: ~. Z(t-j)=l.

480 P. Wagner

Fiir j = 1, 2,... sei weiters ipj ~ ~ ( N n) durch

~pj(x) : = z(Ixl - j + 1) definiert. Dann gilt auch:

VX ERn: ~ lpj(X)---- 1 , j= l

b) S, T seien in ganz R n homogen vom Grad 2 bzw. p e C und faltbar, ~ ~ ~ Nach (F 1') ist zu zeigen:

P 2n q~(x + y)(S| T) e ~ , , (R~,) .

Dies bedeutet: 3m__>0: 3 C > 0 : V~p eN(l~.~r):

]Qp(x, y), ~o(x + y) (S| T))[_-< C max {[d~'#lp(x, y)[: ](e, fl)] __< m, (x, y) ~ R2n}.

Qp(x, y), q~(x + y)(S| T) ) = (~(x, y)q)(x + y), S| T ) ,

~;(x, y)~o(x + y) = ~ ~p(x, y)(~o~;~)(x + y), j = l

die Summe ist in Wirklichkeit endlich wegen ~p ~ 9 . c)

](~p(x, y), q~(x + y)(S| T))[

< ~ [(W(x, y)" (~W~)(x + y), S| Z)] j= l

oo = y" jE"l(~(jx, jy). (tp~pj)(jx+jy),(S| jy))[

j = l

= ~, j2n+R~la+~')](~p(jx, jy). (~o~p~)(jx +jy), S| T)]. j= l

supp [(~;~)(ju)] c {u ~ Rn: : lu l - j + 1 ~ supp Z}

C{ueR~: ]j lul- j+ l l~~}

c{u~R~: lul<2}.

Daher laBt sich [10, Proposition 1, p. 185] anwenden:

3 m e N : 3 C > 0 :

[( u jy) " (~olp j)(jx + jy), S| T)I

< C max {l~'#[~p(jx, jy). (q~tpj) (ix + JY)]I: I(0~, ~)1 < m, (x, y) E R 2n}

< C'. jm max {Id ~' #ip (x, Y) I: I(~, fl)[ < m, (x, y) E R 2n}

x max {Id~o(v)[: lal =< m, v ~ supp~pj}.

Hierbei h/ingt C' yon Z und m, nicht aber yon ~p, j und ~ ab. Daher ist alles gezeigt, wenn wir noch die Endlichkeit von

oo =~1 "2n+ Re(~ +/ t ) + m J= j max {IO~q)(v)l:[~l<m, [ I v l - j + l l < l }

nachweisen.

Zur Faltung yon Distributionen 481

Diese folgt aus der Endlichkeit von

max ([8"go(v)l �9 (1 + Iv12) x+"+CR~ I~1 < m, v ~ R"},

welcher Ausdruck ja eine 6"-Norm yon tO darstellt.

Bemerkuna. Satz 8 ist insofern nicht trivial, als man auch temperierte Distributio- hen S, T konstruieren kann, so dab S, T faltbar sind und S * T s 5:', jedoch S, T nicht 5:'-faltbar sin& Ein Beispiel ist:

S:=e-lXll ex~ ' T~ : = e-iCx~| ~ 5e'(R2).

2e - icxl + x2 Ffir 0=~ce~. gilt: S* T~= cZ+eZX 2 ~L~ jedoch sind S, T~ nicht 6P'-faltbar, da

ansonsten auch S, To = e icxl T~ S:'-faltbar w~iren wegen e ic~' e ~Lo~(R2), andererseits aber S * To = 2e -~2 ~ 6r

Unter Verwendung der Austauschformel von Hirata und Ogata [7, Theorem, p. 151] k6nnen wir nun den folgenden Satz beweisen.

Satz 9. S, T seien in ganz F, ~ homogen, faltbar und beliebig oft differenzierbar auflerhalb des Ursprungs. Dann ist auch S * T beliebig oft differenzierbar auflerhalb des Ursprungs.

Beweis. Nach Satz 8 sind S, T 5r so dab [7, Theorem, p. 151] ergibt: S* T = ~ - 1(~-S �9 ~-T).

Die Multiplikation von ~-S mit ~ T ist dabei im Sinn yon [71 zu verstehen. ~S, ~-T sind wieder homogen (vgl. 13, p. 154]) und aufgrund des nachfolgenden Lemmas rg~ in x =t = 0. Daher sind ~ S , ~ -T in x ~= 0 im fiblichen Sinn multiplizierbar und ist ~ S . ~ T homogen und cg~ in x=~0. Eine neuerliche Anwendung des Lemmas liefert die Behauptung.

Lemma. S ~ ~ ' ( R ~) sei homogen und cg~ in x ~= O. Dann ist auch ~ S cgo~ in x ~ O.

Beweis. S sei homogen vom Grad 2. a) Da ~ - S = ~-(-2nix)~S, geniigt es, die Stetigkeit von ~-S auBerhalb des

Nullpunkts zu zeigen. b) Ffir R e 2 < - n ist S e S ' + L 1 ~ 'L~ und daher ~ S stetig. c) Ffir m e N ist A.,S homogen vom Grad 2 _ 2m und ~fO~ in x + O => A"S e N'L ,

fiir Re2 < - n + 2m => r2m~s ist stetig ftir groBes m =~ ~ 'S ist stetig augerhalb des Ursprungs.

13ernerkuno. Satz 9 best/itigt eine Vermutung yon J. Horwlth. Man kann das Ergebnis auch so formulieren: Wenn S, T in ganz R" homogen und faltbar sind und weiter ihre Charakteristiken in cg~(S._ 1) liegen, so liegt auch die Charakteri- stik yon S , T in :g~(S._ ~). Die entspreehende Aussage fiir L~ _ 1) an Stelle yon

M ($"- ~ ) gait nicht, wie das Beispiel (Y(x) | ly) �9 r - 3 = _ 2vp | 1 r im ~ ~ zeigt. an beachte, dab r -3 in ganz R 2 homogen ist.

~eeTnrk.uno zum Lemma. Falls der S d.h. S Homogenit/itsgrad v o n gleich e~nes singulfiren Integraloperators ist, findet sich die Aussage schon in [21,

P. 167, Theorem 2.1.7], der allgemeine Fall entspricht Proposit ion 5.2 in [22,

482

p. 128]. Der dort angegebene Beweis Pseudodifferentialoperatoren.

verwendet allerdings

P. Wagner

die Theorie der

9. Eine Bedingung f'fir die Faltbarkeit homogener Distributionen mit differenzierbarer Charakteristik

Die bisher bekannten konkreten Bedingungen ftir die Faltbarkeit homogener Distributionen sind zum gr6Bten Tell hinreichend, nicht aber notwendig (vgl. Abschn. 6). Im Fall

Ti=k~(co)r a' , i = 1 , 2 , 2 ~ C , ki ~ cg~~ t)

ist es jedoch m6glich, eine notwendige und hinreichende Bedingung ffir die Faltbarkeit zu geben.

Satz 10. Ti seien wie oben. Dann sind dquioalent: 1) T 1, T 2 sind faltbar; 2) Re(21 +22)< - n oder V c o ~ S , _ l : kl(co)" k2(-co)=0.

Beweis. 1) =~ 2): Es sei ~ e ~ , Z(x) = 1 bei x = 0, S~: = (1 - x)Ti e 8(R~).

T~,T 2 faltbar => S~,S 2 faltbar =~ V~oe~: ( c p * S ~ ) - S 2 ~ .

Durch Multiplikation mit den Funktionen (1 - z)r- a' + R,a~ ~ ~ / ~ sehen wir welter, dab wir 2~ ~ R voraussetzen k6nnen. Es sei m ~ N mit 21 + 22 - m < - n ~ Wt mit 10tl = ra gilt:

a~t[((~*'l).S2]=. ~~.<=a(;)((p*~'8'l)Oct-~gS2~L1, da

und

d.h.

IO#~,(x)l __< c1(1 + Ixl2P ~- lal)/2

]~-~S~(x)l ~ cz(1 + Ixl2P 2- I~- m 2

la~[(~ o * -~1) S2]l __<cdl + Ixl2Y ~' + a2- m~:2

Nach [15, Proposition 5, p. 362] ist eine Funktion in ~ , , deren Ableitungen integrabel sind, selbst integrabel, m-malige Anwendung dieses Satzes liefert: Vtp e 9 : (r * g~). $2 ~ L 1. Ich fiihre nun folgende Annahme zum Widerspruch:

21+22__>-n und ] c o o e S , - l : k l ( -coo)Je0 , k2(O90)~ 0"

Wit k6nnen kl( - COo) = k2(COo) = 1 voraussetzen. Fiir e > 0 sei U~:={co~S._l: ICO-~ool <6}.

Da die k~ stetig find, existiert 0 < e < l , so daB:

Vco~U,: Ik l ( - co ) - l l< �89 Ik2(~o)l __> �89

Es sei nun tp ~ D mit cp(x) > 0 fiir x ~ R" und I : = ~ cp(x)dx 4= 0, co e S , - t, r > 0.

~o*;~(rco)=~Sl(-rco+y)tp(y)dy; - rco + ) , = - tco',

Zar Faltung von Distributionen 483

wobei t > 0 und co ' eS ._ l yon r, co und y abh/ingen. Ffir r > R mit geniigend grol3em R, co e U~/2 und y ~ supp cp ist co' e U v Weiter kann ffirjedes c > 1 R so groB gcws werden, dab ffir r > R und y e suppcp gilt:

1 t - < - < c und S l ( - t c o ' ) = k t ( - c o ' ) . t ~I. c r

Damit gilt ffir r > R, co ~ U~/2:

Itp* Sl(rco) - r~'I[ < S [kt( - co')t ~ - r ~ q cp(y)dy

< S ( Ik l ( - c9 ')- lira, + It ~ -r~q)cp(y)dy

< ~ (�89 + (c Ixd _ 1)rXOcp(y)dy

< (~2 c l~l_ 1)r~lI < 2r~'I fiir geeignetes c > 1.

Welter ist JS2(rco)t > �89 x2 ffir co e U v Somit erhalten wir ffir x = rco, co e Ua2, r > R:

[(tP * ~1)" S2(x)[ > -~r ~ + ~ I und

I I d =oo, e~U, /2 r= R R U,/2

Dies liefert einen Widerspruch zu (q~ * $1)" $2 e L 1 und damit zur Annahme.

2) ~ 1). a) Wenn Re(21+22)< - n , so sind 7"1 und T2 naeh [10, Corollary, p. 189] faltbar.

b) Nun sei kl(o~)k2( - co) = 0 fiir alle co e S ._ 1. Ffir x + 0 sei ki(x) : = ki -~1 "Es geniigt zu zeigen, dab ~'N > 0:

I I IxlX~]y[a~lk,(x)l Ik2(y)ldxdy < oo. I x + y l < / v + 1 1 < Ixl, 1 < lyl

(Wic oben k6nnen wir 2~ e P, voraussetzen.) l)cnn dann ist die Bedingung (13) in [10, p. 185] mit m = 0 erfiiUt fiir die Funktionen Si = Y(Ixl - 1) T~ (Y bezeichnet die Heavisidesche Sprungfunktion).

~ Ixlx'lylXflkl(x)l Ikz(y)Jdxdy I x + y l < J v + 1

1 < l x J < / ~ + 2 , 1 <1~1

ist jedenfalls endlich, da fiber einen beschr/inkten Bereich in p2.~ integriert wird. Ab nun sei r : = Ixl > N + 2 , ki(x)4:0 und Ix+yl < N + 1 vorausgesetzt.

k2(y) = k2 ( - x) + ~ (xf + yi)0gk2( - x + ~/(x, y). (x + y)) mit 0<~/<1. ~=t

Wegen k~(x)4:0 verschwindet k2 in einer Umgebung von - x , d .h . O'k~( - x)= 0, V~. Wenn wir daher weiterhin den Mittelwertsatz der Differential- rechnung anwenden, erhalten wit: V l e bl: 3 c > 0: Vx, y wie oben:

Ik2(y)J<__clx+yllsup{[O~k2(z) [: [0~]=/, z = - x + q . (x+y) , 0 < q < l } .

484 P. Wagner

Wei te r gilt:

lyl x2 = l - x + x + yl a2 ~ (2N + 2)la'llxl ~= .

Somi t ergibt sich fiir I e gq:

J lYla~lk2(y)ldy<clxlX2sup(ld'k2(z)l: [El=l, I x+z l<N+l} , I x + y l < N + l

l < Irl

wobei c nur yon N, I u n d 22 abh~ingt. D a k2 h o m o g e n v o m G r a d 0 ist, ist ~:k2 h o m o g e n yore G r a d -I~1 und Id~k2(z)l<cxlz[ -I~1 fiir Izl > 1. D a h e r ist

sup{lt~'k2(z)l: [ctl=l, Ix + z l<N + l} <c~ sup{lzl-~: ]x + z l<N + a}

=< c i ( 2 N + 2)~lxl -

Mit e inem neuen, von N, l, 22, k2 abh/ ingigen c ergibt sich:

f $ IxlaqylX~lkl(x)l lk2(Y)ldxdy< c S IxlX~+ a~-'lkl(x)l dx < ~ , Ix+y l<N.+ 1 I x t > N + 2

N + 2 < l x l , l < l y l

wenn wir l > 2~ + 22 + n w/ihlen.

Koroi lar . P 4: O, Q 4:0 seien homogene Polynome im R ~, 2, # e r Dann sind P(c0)r a, Q(o~)r" genau dann faltbar, wenn gilt Re(2 + #) < - n.

Beweis. P(to) �9 Q ( - 09) = 0 fiir alle 09 e S~ _ ~ wfirde implizieren, d a b P . 0 = 0, d. h. P = 0 oder Q = 0, und ist d a h e r unm6gl ich .

Bemerkung. M a n vergleiche die e twas schw/ichere Vers ion dieser Aussage in [11].

Danksaguno. Fiir das Lesen des/Vlanuskriptes ulad ftir wertvolle Diskussionen danke ich den Herren J. Horv~th und N. Ortner.

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Received September 28, 1985; in revised form August 21, 1986