Zufallsmatrizen in stürmischen Zeiten - uni-muenster.delemm/seminarSS08/StaWo2006... · Mantegna &...
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Zufallsmatrizen in stürmischen Zeiten
Uwe Jaekel
NEC Europe LtdC&C Research Laboratories
Sankt Augustin
Gemeinsame Arbeit mit Gabriel FrahmUniversität Köln, Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Statistische Woche, Dresden, 20. September 2006
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Gliederung
1 MotivationRisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
2 Zufallsmatrizen (Schönwetterversion)Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
3 Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
4 Zusammenfassung
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Risikostreuung bei Investitionen
Mit welchem Aktienportfolio kann man ruhiger schlafen?
Anlagebetrag [e] Portfolio A Portfolio B100 000 Air France Air France100 000 Lufthansa Deutsche Telekom100 000 United Airlines WalMart100 000 American Airlines Microsoft100 000 All Nippon Airways Toyota
Diversifikation! Investition in möglichst unterschiedliche Aktien,verschiedene Sektoren,verschiedene Regionen.
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Risikostreuung bei Investitionen
Mit welchem Aktienportfolio kann man ruhiger schlafen?
Anlagebetrag [e] Portfolio A Portfolio B100 000 Air France Air France100 000 Lufthansa Deutsche Telekom100 000 United Airlines WalMart100 000 American Airlines Microsoft100 000 All Nippon Airways Toyota
Diversifikation! Investition in möglichst unterschiedliche Aktien,verschiedene Sektoren,verschiedene Regionen.
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Risikostreuung bei Investitionen
Mit welchem Aktienportfolio kann man ruhiger schlafen?
Anlagebetrag [e] Portfolio A Portfolio B100 000 Air France Air France100 000 Lufthansa Deutsche Telekom100 000 United Airlines WalMart100 000 American Airlines Microsoft100 000 All Nippon Airways Toyota
Diversifikation! Investition in möglichst unterschiedliche Aktien,verschiedene Sektoren,verschiedene Regionen.
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Gleicher Sektor, gleiche Region: Lufthansa – AirFrance
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Verschiedene Sektoren und Regionen: Lufthansa –IBM
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Portfolio-Optimierung nach Markowitz
Bestimmung des optimalen Gewichtsvektors w fürInvestition in die Einzelwerte.µ′w : Erwartungswert des Portfoliogewinns – Funktion desRenditevektors µ.w ′Σw : Portfolio-Risiko – Funktion der Kovarianzmatrix Σ.Maximiere erwarteten Gewinn bei festgehaltenem Risiko.Problem: Schätzung des Renditevektors und derKovarianzmatrix aus historischen Daten gefährlich.
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Korreliert? Unkorreliert?
Erste 100 Tage für einige aus insgesamt 1000 Zeitreihen
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Lösung: Alle unkorreliert!
Unkorrelierte synthetische Daten. Die gleichen Zeitreihen über1000 Tage:
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen
Probleme bei Finanzmarktdaten
Im allgemeinen hochdimensional.
Bei d Risikofaktoren gibt es d(d−1)2 Korrelationen. Hohes
Risiko zufälliger Korrelationen.Größe n der Stichprobe oft nicht viel größer als d .Asymptotische Betrachtungen können auch für“große” n problematisch sein!Hier: n →∞,d →∞, n
d → Q ≡ const.
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Was tun gegen zufällige Korrelationen?
Theorie der Zufallsmatrizen (Random Matrix Theory).Zufällige Korrelationen zeigen sich in einercharakteristischen Verteilung im Eigenwertspektrum derKorrelationsmatrix.Ursprünge in der mathematischen Statistik, 1930er Jahre(Hsu, Wishart).Erste ernsthafte Anwendung der RMT: Energiespektren inder Kernphysik (Wigner, 1955).Viele weitere Anwendungen (Physik, Nachrichtentechnik,Zahlentheorie, . . . )
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Theorie der Zufallsmatrizen (Random Matrix Theory –RMT)
Kernphysik vs. Ökonomie
Mulhall, PhD thesis Plerou et al., 2002
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Beispiel
n = 10 Beobachtungen von d = 5 multivariat normalverteilten,unkorrelierten Risikofaktoren.
Theoretische Stichproben-Korrelationsmatrix korrelationsmatrix SSS
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
1.00 −0.44 0.19 0.22 0.23−0.44 1.00 −0.51 0.12 0.02
0.19 −0.51 1.00 0.28 0.500.22 0.12 0.28 1.00 0.610.23 0.02 0.50 0.61 1.00
Eigenwerte von SSS: 0.1935, 0.3703, 0.8256, 1.4275, 2.1831.
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Eigenwertspektren von zufälligen Korrelationen
d = 5,n = 10.λ = 0.1935,0.3703,0.8256,1.4275,2.1831.
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Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Eigenwertspektren von zufälligen Korrelationen
d = 50,n = 100.
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Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Eigenwertspektren von zufälligen Korrelationen
d = 200,n = 400.
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Eigenwertspektren von zufälligen Korrelationen
d = 500,n = 1000.
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Satz von Marcenko & Pastur
Für d →∞, n →∞, aber n/d = Q = const konvergiert fürnormalverteilte unkorrelierte Daten die Verteilungsfunktionder Eigenwerte der Korrelationsmatrix gegen eineFunktion, die nur von Q abhängt.Die Eigenwerte liegen zwischen λmin und λmax mit
λmin,max = (1±√
1/Q)2
mit Dichte ρ(λ) =Q√
(λmax−λ)(λ−λmin)
2πλ .
Folgerung: Eigenwerte > λmax stammen nicht auszufälligen Korrelationen. Trennung von Signal undRauschen (PCA).
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
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Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Beispiel für Aktien aus S&P 500
Plerou et al., 2002
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Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung
Zuordnung Eigenvektoren – Sektoren
Plerou et al., 2002
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Probleme
Renditen sind nicht normalverteilt . . . sind die Annahmen derRMT gerechtfertigt?
Mantegna & Stanley, 1995
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Stilisierte Fakten
1 Tagesrenditen sind nicht normalverteilt (“heavytails”/leptokurtisch).
2 Extreme Verluste treten gleichzeitig auf (“tail dependence”,Bsp.: Crash).
3 (Zeitreihen zeigen oft Volatilitätscluster, Gedächtniseffekteund Sprünge.)
Mit diesen Fakten vereinbares Modell in diesem Vortrag:Verallgemeinert elliptische Verteilungen.
Uwe Jaekel Korrelationen
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verallgemeinerte elliptische Verteilungen
Definition (Verallgemeinerte elliptische Verteilungen)
Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinertelliptisch verteilt genannt, wenn
ein k -dimensionaler Zufallsvektor U(k), gleichförmig verteiltauf der Einheitssphäre,eine skalare (generierende) R die von U(k) abhängen darfundein Vektor µ ∈ Rd , und eine Matrix Λ ∈ Rd×k existieren, sodass gilt:
X d= µ+RΛU(k).
G. Frahm, dissertation, 2004.Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verallgemeinerte elliptische Verteilungen
Definition (Verallgemeinerte elliptische Verteilungen)
Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinertelliptisch verteilt genannt, wenn
ein k -dimensionaler Zufallsvektor U(k), gleichförmig verteiltauf der Einheitssphäre,eine skalare (generierende) R die von U(k) abhängen darfundein Vektor µ ∈ Rd , und eine Matrix Λ ∈ Rd×k existieren, sodass gilt:
X d= µ+RΛU(k).
G. Frahm, dissertation, 2004.Uwe Jaekel Korrelationen
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verallgemeinerte elliptische Verteilungen
Definition (Verallgemeinerte elliptische Verteilungen)
Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinertelliptisch verteilt genannt, wenn
ein k -dimensionaler Zufallsvektor U(k), gleichförmig verteiltauf der Einheitssphäre,eine skalare (generierende) R die von U(k) abhängen darfundein Vektor µ ∈ Rd , und eine Matrix Λ ∈ Rd×k existieren, sodass gilt:
X d= µ+RΛU(k).
G. Frahm, dissertation, 2004.Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verallgemeinerte elliptische Verteilungen
Definition (Verallgemeinerte elliptische Verteilungen)
Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinertelliptisch verteilt genannt, wenn
ein k -dimensionaler Zufallsvektor U(k), gleichförmig verteiltauf der Einheitssphäre,eine skalare (generierende) R die von U(k) abhängen darfundein Vektor µ ∈ Rd , und eine Matrix Λ ∈ Rd×k existieren, sodass gilt:
X d= µ+RΛU(k).
G. Frahm, dissertation, 2004.Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verallgemeinerte elliptische Verteilungen
Definition (Verallgemeinerte elliptische Verteilungen)
Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinertelliptisch verteilt genannt, wenn
ein k -dimensionaler Zufallsvektor U(k), gleichförmig verteiltauf der Einheitssphäre,eine skalare (generierende) R die von U(k) abhängen darfundein Vektor µ ∈ Rd , und eine Matrix Λ ∈ Rd×k existieren, sodass gilt:
X d= µ+RΛU(k).
G. Frahm, dissertation, 2004.Uwe Jaekel Korrelationen
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Simulation einer elliptischen Verteilung
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Simulation einer elliptischen Verteilung
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Simulation einer elliptischen Verteilung
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Simulation einer elliptischen Verteilung
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Eigenschaften
Sehr große Klasse, die die elliptischen Verteilungenumfasst.Insbesondere
Multivariate Normalverteilungen.Multivariate t-Verteilungen.Multivariate symmetrische verallgemeinert-hyperbolischeVerteilungen.
Für elliptische Verteilungen ist die DispersionsmatrixΣ = ΛΛ′ proportional zur Kovarianzmatrix.Asymmetrien, “heavy tails” und “tail dependence” könnendurch geeignete generierende Verteilung beschriebenwerden.
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
RMT für elliptische Verteilungen?
Bekannte Verallgemeinerung des Satzes von Marcenko &Pastur (Normalverteilung & unkorrelierte Komponenten):MP-Verteilung gilt auch für Zufallsvektoren mit paarweiseunabhängigen Komponenten mit Mittelwert 0 und Varianz1 (Yin, 1986).Unabhängigkeit und Unkorreliertheit sind nur fürNormalverteilungen äquivalent.Unkorrelierte Komponenten sind bei elliptischenVerteilungen i.d.R. nicht unabhängig. Bsp.: gleichförmigeVerteilung auf dem Einheitskreis.
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes I
ExampleMultivariate Verteilung(n = 1000, d = 500), wobeijede VektorkomponenteStandard-t-verteilt mit 5Freiheitsgraden ist, und dieKomponenten paarweisestochastisch unabhängig sind.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortJa!
Uwe Jaekel Korrelationen
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes I
ExampleMultivariate Verteilung(n = 1000, d = 500), wobeijede VektorkomponenteStandard-t-verteilt mit 5Freiheitsgraden ist, und dieKomponenten paarweisestochastisch unabhängig sind.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortJa!
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes I
ExampleMultivariate Verteilung(n = 1000, d = 500), wobeijede VektorkomponenteStandard-t-verteilt mit 5Freiheitsgraden ist, und dieKomponenten paarweisestochastisch unabhängig sind.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortJa!
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes I
ExampleMultivariate Verteilung(n = 1000, d = 500), wobeijede VektorkomponenteStandard-t-verteilt mit 5Freiheitsgraden ist, und dieKomponenten paarweisestochastisch unabhängig sind.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortJa!
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes II
ExampleElliptische Verteilung (n = 1000,d = 500) mit t-verteilter (5Freiheitsgrade) generierenderVariablen, und paarweiseunkorrelierten Komponenten.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortNein!
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes II
ExampleElliptische Verteilung (n = 1000,d = 500) mit t-verteilter (5Freiheitsgrade) generierenderVariablen, und paarweiseunkorrelierten Komponenten.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortNein!
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Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes II
ExampleElliptische Verteilung (n = 1000,d = 500) mit t-verteilter (5Freiheitsgrade) generierenderVariablen, und paarweiseunkorrelierten Komponenten.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortNein!
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes II
ExampleElliptische Verteilung (n = 1000,d = 500) mit t-verteilter (5Freiheitsgrade) generierenderVariablen, und paarweiseunkorrelierten Komponenten.
FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?
AntwortNein!
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Lösungsansatz für RMT bei elliptischen Verteilungen
[Frahm & Jaekel, 2005, 2006]Unkorreliertheit impliziert i.a. nicht Unabhängigkeit.Ursprung des Problems: “heavy tails” in der generierendenVerteilung!
Extremwert der radialen (generierenden) Variablen wirktsich selbst für sphärisch verteilte (unkorrelierte) Daten auffast alle Komponenten aus (tail dependence).Dadurch große artifizielle Beiträge extremer Ereignisse zurStichprobenkovarianzmatrix.
Lösung: Verteilungsfreie Schätzung der Kovarianzmatrix(in der Klasse der verallgemeinert elliptischenVerteilungen).
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Elimination der generierenden Variablen
Frage
Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für dieDispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinertelliptischen Verteilungen gewinnen?
Hinweis
Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig vonder generierenden Verteilung.
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Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Elimination der generierenden Variablen
Frage
Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für dieDispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinertelliptischen Verteilungen gewinnen?
HinweisSei P (R = 0) = 0, r (Λ) = d , und µ bekannt. Ein verallg. el-liptisch verteilter Zufallsvektor kann per Definition geschriebenwerden als
X d= µ+RΛU(k).
Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig vonder generierenden Verteilung.
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Elimination der generierenden Variablen
Frage
Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für dieDispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinertelliptischen Verteilungen gewinnen?
HinweisDamit gilt:
X − µ
||X − µ||2d=
RΛU(k)
||RΛU(k)||2a.s.= ± ΛU(k)
||ΛU(k)||2=: ±S.
Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig vonder generierenden Verteilung.
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Elimination der generierenden Variablen
Frage
Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für dieDispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinertelliptischen Verteilungen gewinnen?
HinweisDamit gilt:
X − µ
||X − µ||2d=
RΛU(k)
||RΛU(k)||2a.s.= ± ΛU(k)
||ΛU(k)||2=: ±S.
Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig vonder generierenden Verteilung.
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Idee des Spektralschätzers
Die Spektraldichte ψ der projizierten Zufallsvektoren ist:
s 7−→ ψ (s) =Γ
(d2
)2πd/2 ·
√det
(Σ−1
)·√
s′Σ−1s−d, ‖s‖2 = 1,
mit positiv definitem Σ = ΛΛ′.Maximum Likelihood-Schätzer mit projizierten Daten si(i = 1 . . .n) führt zur Fixpunktgleichung
ΣS =dn·
n∑j=1
sjs′js′j Σ
−1S sj
.
Äquivalent zu Tyler´s M-Schätzer.
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Vergleich Stichproben- und Spektralschätzer
Farbkodierte Darstellung der “wahren” Kovarianzmatrix (links) und derStichprobenkovarianzmatrix (rechts) für eine multivariat t-verteilteStichprobe (ν = 3).
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Der Spektralschätzer bei der Arbeit
Farbkodierte Darstellung der “wahren” Kovarianzmatrix (links) und desSpektralschätzers (rechts) für eine multivariat t-verteilte Stichprobe(ν = 3).
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Der Spektralschätzer in der RMT
Vermutung: Der Spektralschätzer führt für beliebigeVerteilungen bei unkorrelierten Daten zuEigenwertverteilung konsistent mit demMarcenko-Pastur-Gesetz.Die Ergebnisse können für einen Spektralschätzer aufunvollständigen Daten erweitert werden.
Uwe Jaekel Korrelationen
MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
RMT bei “Fat tails”
Simulation (n = 1000,d = 500) für gemeinsam t-verteilte(ν = 5), unkorrelierte Daten: Stichproben-Kovarianzmatrix führtzu „falschen“ Eigenwerten > MP-Limit.
Stichprobenschätzer Spektralschätzer
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen
Beispiel mit unvollständigen Daten
Simulation (n = 100,d = 50) für gemeinsam t-verteilte (ν = 5),unkorrelierte Daten mit 20% fehlenden Daten.
(Gaußscher) EM-Schätzer verallgemeinerter Spektralschätzer
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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)
Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung
Die Theorie der Zufallsmatrizen (RMT) wurde alsInstrument zur Trennung von Signal- und Rauschanteilenin hochdimensionalen Finanzzeitreihen vorgeschlagen.Die Voraussetzungen der “klassischen” Theoriewidersprechen den bei Finanzzeitreihen beobachteten“stilisierten Fakten”.Die RMT ist bei Verwendung gewisser “robuster” Schätzerdennoch anwendbar.
Uwe Jaekel Korrelationen