Zero Puissance Zero Zero to the Zeroth Power
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Transcript of Zero Puissance Zero Zero to the Zeroth Power
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http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur
http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=40&t=26038
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=502604
Pour en finir avec .
Remarque préliminaire : les « objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent
pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’est donc pas
raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition
particulière), on peut, au mieux, les justifier.
Chapitre 1
Prérequis admis : la multiplication des réels entre eux, la récurrence sur .
Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non
nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par
lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs
égaux à x », la réserve n’as plus de raison d’être)).
Définition mathématique (1) : on note le nombre défini par la relation de récurrence suivante :
On voit rapidement qu’avec cette définition ( ), mais que n’est pas pris en compte
par cette définition (donc n'existe pas), pas plus que d’ailleurs.
Extensions possibles : on peut démontrer facilement (et c’est conforme à la définition intuitive) que
, c'est-à-dire que l’application de dans définie par est un
morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il s’agit donc d’un morphisme
de magma (c'est-à-dire que si f est injective ( a les mêmes propriétés que est
alors un isomorphisme). Une idée naturelle de prolongement est de passer de à , c'est-à-dire du
magma au monoïde en ajoutant le 0.
Au niveau intuitif, cela n’a pas beaucoup de sens (cf.supra).
Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification convient :
On peut remarquer que poser est la solution la plus « économique » (elle ne nécessite aucune
modification de la condition de récurrence).
Au niveau du morphisme, c’est un peu plus compliqué : par définition du morphisme, il est obligatoire
que l’image de l’élément neutre soit l’élément neutre.
Pour x un réel différent de 0 et de 1, l’application est injective et l’image de ne contient pas 1
(normal pour un isomorphisme dont la source ne contient pas l’élément neutre), il n’y a donc pas le
choix .
Pour , l’image de est {1}, il n’y a donc aucun problème pour poser .
Pour , l’image de est {0} (dont on peut remarquer que c’est un groupe multiplicatif dont
l’élément neutre est 0 ), il me paraît donc possible de choisir ou , dans les deux cas la
structure de monoïde (et même au-delà) est conservée (cependant, ils ne sont pas isomorphes) ;
néanmoins il y a plusieurs arguments pour choisir :
a) Cohérent avec les autres valeurs de x (argument faible).
b) L’injection canonique du monoïde dans n’envoie pas l’élément neutre sur l’élément
neutre (argument fort)
Dans cette optique, il semble donc plus naturel de poser
On peut se demander s’il est raisonnable d’envisager d’autres prolongements, les idées immédiates
sont vers ou vers , malheureusement, dans ces deux cas, on perd complètement la définition
intuitive et la définition par récurrence et comme on va retrouver la notion de morphisme dans le
chapitre suivant, commençons celui-ci.
Chapitre 2
Pré-requis admis: , il existe un unique isomorphisme continu de groupe entre
et , vérifiant , on notera l’isomorphisme réciproque.
On admettra aussi un certain nombre de résultats analytiques concernant ces fonctions (continuité,
dérivabilité, limites etc.).
Digression: pour a = 0, il faudrait avoir , et donc
et donc ne serait pas injectif. Même chose et même démonstration pour a = 1, ce qui explique
que ces deux cas soient exclus.
On peut remarquer que pour un nombre entier n,
(suivant la définition du
chapitre 1) on peut aussi remarquer que par définition d’un morphisme de groupe.
On peut donc généraliser cette notation et poser (d’autant plus que l’on peut démontrer
que et autres résultats bien connus ; je cite cet exemple car il sera utile plus bas)
Il va de soi qu’avec cette définition, une fois de plus, n’existe pas, cependant on a le
droit de se poser des questions (c’est même souhaitable)
1) L’application peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ?
Pour , la seule façon de prolonger cette fonction constante par continuité est de
poser
Mais on peut compliquer un peu.
2) L’application peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ?
La démonstration dépasse le cadre de ce petit texte, car il faudrait étudier plus en détail les fonctions
exponentielles, mais comme et , pour assurer la continuité il faut, à nouveau,
poser
Soyons fou (j'abandonne la notation , tout le monde à compris j'espère, et cela devient un peu
lourd) :
3) L’application peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ?
(f et g sont des fonctions continues qui tendent vers 0 quand a tend vers 0).
Exemple :
Il est facile de voir que cette dernière fonction est en fait une constante ( ), que la seule façon de
prolonger par continuité est de poser (et en fait on peut choisir n’importe quel réel (et
dans on peut même aller plus loin)).
Si on a le choix, ce cher Ockham nous conseille de nous raser de près et de choisir pour f et g les
fonctions les plus simples possibles :
f(x) = 0 ; g(x) = x impossible n’existe pas
f(x) = x ; g(x) = 0 (c’est le cas 1) donne
f(x) = x ; g(x) = x (c’est le cas 2) donne
On voit donc que le plus raisonnable est de poser
Chapitre 3
Pré-requis : connaissance d’un peu de théorie des ensembles.
D’une façon générale, pour deux ensembles donnés et , il existe un ensemble de toutes les
applications de dans (ce point nécessiterait une connaissance de ZF plus précise), ce nouvel
ensemble, je vais le noter en attendant mieux.
Pour des ensembles finis non vides et le cardinal de est justement
, au sens du chapitre 1, ce qui explique la notation .
Que se passe-t-il en particulier quand l’un voire, les deux ensembles sont vides ?
(démonstration laissée au lecteur, elle est sans
problème par récurrence)
(dans une application, il faut associer un élément de
l’ensemble d’arrivée à chaque élément (et il en existe) de l’ensemble de départ, comme l’ensemble
d’arrivée est vide, c’est impossible, il n’existe donc pas telles applications)
(un peu plus subtile : comme l’ensemble de départ
est vide, il n’y a rien à associer, et comme il n’y a qu’une façon de ne rien faire, le nombre
d’application est 1)
(exactement le même raisonnement que ci-dessus, voir un
peu plus d’explications ci-dessous)
La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :
Soit et deux ensembles finis, une application de vers est un sous-ensemble de
vérifiant : .
Si est vide est vide, et l’ensemble vide (dans le rôle de ) vérifie bien l’axiome ci-dessus,
l’ensemble vide est donc bien une application de dans , et c’est évidemment la seule.
Ici, il n’y a donc aucune ambiguïté (ni aucune convention à ajouter à la définition générale) : .
Pour conclure, on peut remarquer que les trois définitions ci-dessus sont compatibles pour les
domaines communs, que seule la troisième contient intrinsèquement la définition de , que les deux
autres définitions trouvent un prolongement naturel (plus naturel en tout cas) en posant, par
convention, .
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- je trouve l'argument développé dans le chapitre 2 'un peu malhonnête', tous ce qu'on y montre c'est
que 00 est une forme indéterminé, a laquel on peut donner la valeur qu'on veut. n'est ce pas un peu
déplacé de s'appuier la dessu pour dire que "puisque avec certaines fonctions (bien choisit) pas trop
moche on trouve 1, alors autant le prendre comme convention" ? enfin la c'est un point de vue
personelle, peut-etre que d'autres trouveront cette argument convainquant
-je tiens tous de meme à insister que ce fameux 00=1 n'est qu'une bete convention, adopté par
certains auteurs histoire de ne pas avoir à écrire une formule partciliere pour le cas particulier n=0
exactement de la meme facon que certains auteurs ont parfois utilisé la convention 0*l'infinit = 0
pour simplifier l'écriture de certaines formule (qui au fond est tous autant une forme indéterminé que
00... mais je défie quiconque de trouvé une justification objective de cette convention ! )
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en ce qui me concerne c'est toujours l'argument 3, qui ma le plus convaincu (... en allant jusqu’à le
prendre comme définition de mn ...)
Néanmoins cette définition ne permet pas de donner un sens à (les applications d'un ensemble à 1/2
élément dans un ensemble à deux éléments ? )
tous ce qu'on y montre c'est que 00 est une forme indéterminé, a lequel on peut donner la valeur qu'on
veut.
C'est bien ce que je voulais montrer, que le choix te paraisse malhonnête, pourquoi pas, mais pas
moins que n'importe quel choix arbitraire, et ne serait-ce que par compatibilité avec le chapitre 3 que
tu trouves convaincant, ce choix me paraît le meilleur.
je tiens tous de meme à insister que ce fameux 00=1 n'est qu'une bete convention
Justement non, pas pour le chapitre 3, et comme ce résultat est compatible avec les "conventions les
plus naturelles" des deux autres chapitres, cela me paraît une justification objective.
Après relecture des objections de Ksilver, je m’aperçois qu’elles sont parfaitement légitimes et que
quelques points méritent d’être clarifiés. J’en profite pour préciser que dans le post précédent, lorsque
je répond « non justement » à la remarque « n'est qu'une bête convention », ce n’est pas le mot
convention qui me gêne, mais l’adjectif bête .
D’abord, les trois chapitre ne sont pas trois points de vue sur un même objet mathématique, mais bien
trois objets mathématiques différents, il ne serait donc pas révoltant d’utiliser trois notations
différentes, on peut cependant noter que sur leur domaine commun ces trois objets prennent les
mêmes valeurs. Pour être précis a du sens pour les trois chapitres si , et
(il me semble que pour y on peut choisir , la deuxième définition par récurrence du chapitre 1
donnant du sens à y = 0 et y = 0 ayant du sens pour les deux autres définitions), et non seulement
les trois définitions ont du sens mais les résultats numériques sont identiques (c’est bien pour cela que
la même notation est utilisée).
Pour convaincre que nous avons bien trois objet différents, on peut remarquer que
1) n’a de sens que pour la définition 1 ;
2) n’a de sens que pour la définition 2 ;
3) n’a de sens que pour la définition 3.
Curiosité à ne pas oublier : ne veut rien dire au sens du chapitre 2 ( n’est pas un isomorphisme).
Pour me recentrer sur
Au sens du chapitre 1 : avec la première définition par récurrence n’existe pas, la deuxième
récurrence justifie pleinement que , on peut choisir de voir cela soit comme une convention
naturelle à partir de la première définition, ou comme une partie intégrante de la deuxième définition.
Au sens du chapitre 2 : n’existe pas, il est possible de justifier toutes les valeurs (réelles et même
au delà), le choix est donc une pure (mais pas une bête ) convention, justifiée
imparfaitement (et non malhonnêtement re- ) par des considérations de simplicité et beaucoup plus
objectivement par la compatibilité avec les autres définitions.
Au sens du chapitre 3 : sans aucune discussion possible, cela n’a rien de conventionnel.
Pour insister un peu : quand on écrit , rien n’indique que l’on utilise une définition plutôt qu’une
autre (et cela n’a pas d’importance), mais quand on écrit , seule la première définition peut
donner du sens à cette écriture.
J’ai cité 3 objets mathématiques, je ne doute pas que l’on pourrait en trouver d’autres (un exemple
simple serait de considérer la fonction (en choisissant bien le domaine) , avec des
définitions idoines pour les fonctions exp et ln (par les séries entières par exemple) qui donne du
sens à , contrairement à la définition du chapitre 2, alors qu'elle en est très proche).
en fait, je me base beaucoup sur le parallèle avec la convention 0*infini = 0 (on la trouve dans certain
ouvrage, notamment pour construire une théorie de l'intégral, par exemple dans le célèbre Rudin - real
and complexe analysis). bien qu'elle paraissent un peu plus 'choquante', elle peut aussi avoir une
justification ensembliste :
si on définit m*n par la formule : cardE * card F = card (E*F), vu que le produit de vide par un
ensemble infinit est vide, 0*infinit = 0. et c'est en ce sens que je la trouve tous fait identique au 00=1
cependant tout le monde sera d'accord pour dire que cette convention est tous a fait contestable,
et qu'elle n’a été prise que parce que ça arrangé les auteurs de certains livres, en simplifiant les
formules (ca évitais de traiter à part le cas d'une fonction nul sur un ensemble de mesure infinit...).
bref tous ça pour dire que c'est pas parce qu’on peut donner quelque chose qui ressemble à une
justification théorique que 00=1 que ça donne à cette formule une statue plus vrai que la
"bete convention" prise pour simplifier l'écriture d'une formule
d'ailleur, j'aurais aimé trouvé un exemple d'ouvrage ou de formule ou une autre convention est prise
(ou on aurait posé 00=0 par exemple...) pour illustrer ceci... mais je ne suis pas parvenu à en trouver
(ce qui est effectivement un peu troublant)
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La puissance est définit par la multiplication, hors puissance 0 c'est l'absence de multiplication..
l’élément neutre de la multiplication c'est 1.
Ecrire 00, c'est dire j'ai appliqué 0 fois la multiplication par 0 : c'est donc qu'on n'a pas appliqué la
multiplication par 0 et donc que ça fait l'élément neutre 1.
On pourrait dire aussi que x0 est définit par x1 * x-1 = x/x = 1
On tombe alors sur le problème 0 / 0
Et là, on se rend compte que le problème f/g se pose surtout quand f est différent de g.. en effet :
lim (f / f) f->0 = 1
Il devient raisonnable d'extrapoler les infinis à partir de la limite (et ici 0 devient un infini)..
Ce qui étonne c'est la forme de la fonction (0x) pour laquelle on aurait
x dans {R*}=>0 et 0 =>1
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Ca choque personne que 0 soit le seul réél à la fois positif et négatif, alors que 0.00000001 est positif..
n'est ce pas étonnant que 0 soit le seul est unique réél à la fois positif et négatif, en rupture total avec
ces voisins (si j'ose dire) ?
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Je voudrais revenir sur quelques points en faveur de la convention
Si on suppose que notre prolongement respecte toujours la formule suivante :
Pour tous x, y, z on a
En particulier pour tout a et pour tout x on a
En particulier donc ou
Donc pour définir tout en respectant la première formule on a plus que deux choix possibles
(et non plus une infinité)
En ce qui concerne le chapitre 3, on peut généraliser le raisonnement à n'importe quelle catégorie
cartésienne fermée qui possède un objet initial.
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je voudrais remettre le seul problème en cause : le prolongement par continuité de 0x
si 0x tend vers 0 quand x tend vers 0 et donc que =0
alors ça devrait avoir une impacte sur tout un tas de fonction en yf(x)..
admettons que tous les yf(x) tendent vers 1 sauf quand y=0.. on a un prolongement en continuité de
fonction qui tendrait à nous prouver le contraire.. on pourrait appliqué un raisonnement récursif.. :
si g(y)f(x) tendent tous vers 1 quand g et f tendent vers 0, on a un argument qui a infiniment plus de
poids que le reste.. mais j'admets que c'est indiscernable..
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que pensez vous de ce raisonnement..
(0x) * 0 = (0(x+1)) et donc (0(x-1)) * 0 = (0x)
pour x=0 on a donc (1/0) = 1 (ou 0)..
si 1/0 est indéfinit, alors 00 l'est aussi
On cherche une définition cohérente de , pas de 0x avec x < 0.
Or ton raisonnement sous-entend que 0(-1) existe, il ne peut donc pas être utilisé pour affirmer qu'il
n'existe pas de "bonne" définition de .
Pourquoi ne pas utiliser une simple fonction puissance(ax) ?
Sachant que ax = exp(ln(ax)) ax = exp(x(ln(a))
Ainsi quel que soit a appartenant au réel (privé de 0) a0= exp(0) = 1
Puis, il suffit de calculer la limite de a-> 0 de a0= 1
Ou de prendre la dérivé de a0 en fonction de a, qui est une constante. Or, comme 10= 1, donc a0= 1
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(un peu plus subtile : comme l’ensemble de départ est vide, il n’y a rien à associer, et comme il n’y a qu’une façon de
ne rien faire, le nombre d’application est 1)
La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :
Soit et deux ensembles finis, une application de vers est un sous-ensemble de vérifiant :
Faudrait ajouter : Ca ne change rien pour le raisonnement, mais
Si est vide est vide, et l’ensemble vide (dans le rôle de ) vérifie bien l’axiome ci-dessus, l’ensemble vide
est donc bien une application de dans , et c’est évidemment la seule.
Si E est non vide, on aura 1 + card(F)card(E) applications possibles si l'ensemble vide de ExF en définissait une comme
vous dites. D'ou l'importance du
Je ne comprends pas pourquoi c'est dans la formule;
Si x est dans E, et "n'a pas d'image dans F", pour tout y et z dans F on a que
est FAUSSE et donc implique tout ce qu'on veut.
Ya erreur à le calculer simplement comme tel?:
= exp(0*ln|0|) = limn-> -infini( exp(0) )n = limt-> infini( 1 / (1t)) = 1/1 = 1
attention aux limites à l'infini, cela ne se manie pas si simplement Un exemple similaire d'erreur :
Etant donné que 0 = limn-> infini (exp(-n))
0/0 = limn-> infini (exp(-n)/exp(-n))
exp(-n)/exp(-n) = 1
0/0 = limn-> infini (1) =1
ce qui est évidemment faux. Chacun sait que 0/0 est indéterminé.
Ceci dans le contexte habituel. De même pour . Maintenant si on se place dans un contexte
mathématique différent pour lequel on donne à une définition précise et particulière au domaine
limité des mathématiques dont on parle, ce n'est pas la même chose :
EN GROS: Est-ce une question de l'histoire des mathématiques pour ne pas définir 0⁰ comme tel?
As-tu lu l'explication à ce sujet de Mediat (message#1 de cette discussion) ? Ou l'explication très
similaire dans l'article "Zéro puissance zéro" par le lien:
Il y a qqch qui me dérange : est une assertion et ne peut être que vraie ou fausse mais pas les
deux.
Une assertion est vraie, ou fausse ou ni l'un ni l'autre dans une théorie, pas en soi.
Une assertion est vraie ou fausse dans un modèle, pas en soi.
Or on vient de montrer qu'elle était vraie et fausse en même temps, ce qui contredit l'axiome
d'exclusion mutuelle et qui rend les maths incohérentes avec elles-mêmes
Donc on n'a jamais montré qu'elle était vraie et fausse, mais qu'il y avait plusieurs objets
mathématiques (trois ici, mais ce n'est pas limitatif) qui sont notés pour l'un d'entre eux (chap 3)
le résultat ( ) est démontrable, pour un autre, c'est une convention "très naturelle" (chap 1), et
pour un autre, c'est une convention "naturelle" (chap 2).
Je ne vois donc aucune incohérence (cela se saurait )
Encore faut-il que la dite "assertion" contienne TOUTES les définitions et données qui la rende
décidable. S'il lui manque quelque chose, si elle contient une ambiguïté, l'assertion peut être vraie et
fausse en même temps (par exemple : vraie dans certains cas, fausse dans d'autres, la distinction
entre les cas ayant été oubliée dans l'écriture de l'assertion)
Exemple d'assertion :
" avec x positif ou nul, xy tend vers 1 lorsque x et y tendent vers 0"
Cette assertion est indécidable : Ainsi que cela est expliqué dans les articles déjà cité, le résultat
dépend s'il existe ou non une relation entre x et y et quelle est cette relation : ce n'est pas pareil,
d'une part avec x=y tendant vers 0, d'autre part avec x et y tendant vers 0 selon des fonctions
différentes. Il y a plusieurs exemples dans l'article "Zéro puissance zéro" au §.4.
L'assertion est donc vraie dans un cas : x=y tendant vers 0 et fausse dans d'autres cas avec x et y
tendant chacun vers 0, mais en n'étant pas égaux.
Je ne suis pas étonné que ces questions continuent à se poser malgré les explications et exemples
donnés dans les articles cités. Et ce n'est pas près d'être fini. Il ne faut pas croire que les articles que
l'on écrit sont vraiment lus.
La boutade dans la conclusion de l'article :
"Nous tous n’avons pas fini de rencontrer le Monstre du Power Less" reste d'actualité.
Pour tout x positif et pour tout y réel, on a bien xy=ey*ln(x), or je ne vais pas vous apprendre que la
fonction ln est définie pour les réels strictement positifs. Ainsi, 0*0 resterait selon ce raisonnement
indéfinissable.
En revanche, si nous voulions forcer une convention, on admettrait que la limite quand x tend vers
zéro de y*ln(x) est moins l'infini, et que par conséquent, la limite quand x tend vers zéro de
xy=ey*ln(x) serait 1. D'où pour tout y réel, on aurait 0y=1, ce qui n'est pas le cas...
Ce raisonnement me perd complètement.... ! Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait gentil !!!
C'est pourquoi la méthode utilisée est le prolongement par continuuité.
En revanche, si nous voulions forcer une convention, on admettrait que la limite quand x tend vers
zéro de y*ln(x) est moins l'infini
Non, cela dépend de y, par exemple si y = x, la limite vaut 0 et non -∞. Si vous relisez le post N° 1,
vous verrez un exemple où la limite est e-1.
a) Pour , l’image de est {1}, il n’y a donc aucun problème pour poser
N'y a-t-il pas également comme possibilité, tout comme pour , pour conserver la structure
de monoïde sur ?
L'image est {1}, choisir 0*0 = 0 modifierait l'ensemble d'arrivée.
b) L’injection canonique du monoïde dans n’envoie pas l’élément neutre sur l’élément
neutre (argument fort)
Je n'ai pas vraiment compris l'argument : quelle est cette injection exactement ?
L'identité sur l'ensemble de départ.
Pour le chapitre 3 :
La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :
Soit et deux ensembles finis, une application de vers est un sous-ensemble de
vérifiant :
Si est vide est vide, et l’ensemble vide (dans le rôle de ) vérifie bien l’axiome ci-dessus,
l’ensemble vide est donc bien une application de dans , et c’est évidemment la seule.
Il n'y a pas un problème lorsque ? (à cause du )
Non, puisque ce "Il existe" est précédé d'un "pour tout x" qui appartient à l'ensemble vide.
Lorsque vous avez un doute sur la validité d'une proposition quantifiée sur l'ensemble vide, pensez à
envisager son contraire, par exemple
Si x est l'ensemble vide, il est clair que le membre de droite est "Faux".
C'est difficile de parler d'un morphisme vers un ensemble si l'ensemble d'arrivée n'est pas l'ensemble
vers lequel on veut établir un morphisme.
Je ne vois pas vraiment, j'ai dû manquer une étape dans le raisonnement : On a définit
pour , et on a étendu sur pour ; on cherche donc à étendre sur , et
pour cela, on souhaite que soit un morphisme de monoïdes entre et .
Or , donc si on pose , on a bien ce que l'on cherche.
Pourtant, il me semble que c'est bien encore le cas si on décidait de poser ; dans ce cas
serait bien un morphisme de monoïdes entre et .
Qu'est-ce qui m'échappe ?
J'avais mal compris ce que vous vouliez dire, mais le morphisme c'est entre
Si vous posez , cela veut dire que l'image de l'élément neutre (0 pour l'addition dans IN),
n'est pas l'élément neutre (dans ), et donc qu'il ne s'agit pas d'un morphisme.
Définition mathématique (1) : on note le nombre défini par la relation de récurrence suivante :
Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification convient :
On peut remarquer que poser est la solution la plus « économique » (elle ne nécessite aucune
modification de la condition de récurrence).
entre ces deux définition je pense que vous y avez oublier un petit changement:
Dans la deuxième définition on oublie le cas on devrait donc dire
Cependant, on dit toujours que = 1... Arrêtez moi si je me trompe mais c'est faux ! x0 = 1 pour tout
x appartenant à R* pas à R ! En effet, pourquoi dit-on que x0 = 1 ? Pour cela, il faut d'abord se
demander ce qu'est une puissance. a1, c'est simplement a.
a2 = a*a a3 = a*a*a a(x+1) = (ax)*a a(x-1) = (ax)/a C'est pourquoi on dit que a-1 = 1/a
On a donc a1=a a0=(a1)/a=a/a=1 a-1=(a0)/a=1/a, et ainsi de suite.
Donc, comme on vient de le voir, a0... Ne vaut pas vraiment DIRECTEMENT 1, a0=a/a. Comme a/a=1
dans tous les cas sauf dans un unique cas, on simplifie en disant a0=1... MAIS c'est vrai pour tout a
sauf pour 0, car = 0/0 =... RIEN DU TOUT ! Interdit, car une division par 0 est interdit.
Donc quand on dit " =1", la vérité c'est plutot " n'existe pas" non ?
Encore une fois je peux me tromper, je ne suis pas mathématicien, donc mes excuses si j'ai dit
quelque chose d'absurde, ou si ce que j'ai dit a déjà été dit.
Le raisonnement de @zar2 pour qui l'égalité =1 est plus une convention qu'une nécessité logique
est peut-être plus valable. En effet le chiffre 0 lui-même pris tout seul ne représente réellement aucune
quantité. Faire 1 à partir de 0 n'existe finalement qu'en mathématique...
Et cette idée que = 1 n'est peut-être pas si innocente que ça et n'est en réalité que la défense
d'une thèse comme quoi l'on pourrait passer du néant à l'être du rien à quelque chose
ZERO PUISSANCE ZERO
Jean Jacquelin
ZERO TO THE ZEROTH POWER
Translated by Sam Schiavone
Les pages suivantes ( 2 à 6 ) ont été publiées dans le magazine
QUADRATURE n°66, pp.34-36, octobre 2007
Edité par EDP Sciences, 17 av. du Hoggar, PA de Courtaboeuf, 91944 Les ULIS, France
http://www.edpsciences.org/quadrature/
The English version (pages 7-11) was first publishd in Physics Furums, June 4-2011 :
http://www.physicsforums.com/showpost.php?p=3337721&postcount=59
Acknowledgement
Je remercie vivement Dr. S. Schiavone pour la traduction bénévole qui, non seulement
respecte scrupuleusement le contenu mathématique, mais aussi restitue au mieux les quelques
digressions humoristiques.
Jean Jacquelin, ZERO PUISSANCE ZERO, 20 septembre 2006. Updated : June 6, 2011 2
ZERO PUISSANCE ZERO
Jean Jacquelin
1. Prologue :
Sans doute, n’avez-vous jamais vu le monstre du Loch Ness. Par contre, il serait fort
étonnant que celui du Power Less ne vous soit jamais apparu, au détour d’un exercice, ou
qu’un étudiant curieux vous ait posé la question, ou encore qu’un autre, moins bien
intentionné, ait cherché à vous mettre dans l’embarras.
On ne compte plus les apparitions du monstre du Power Less sur la toile, dans les
forums de mathématiques, où il ne cesse de refaire surface, donnant lieu à des questions
toujours renouvelées et à de sempiternelles controverses.
Mais quel est donc ce serpent de mer ? Ce n’est pas 0
0 , trop bien connu maintenant.
Eh oui, il s’agit d’un de ses descendants, l’étrange 00 , le zéro puissance zéro.
Certains diront que 00 est indéterminé. Quelques-uns pensent que 0
0=0 dans certains cas.
D’autres déclareront que 00=1, ou plus prudemment que cette égalité est une « convention ».
Mais, s’il s’agissait seulement d’une convention et non pas d’une propriété générale et
démontrée, comment savoir dans quel contexte elle reste valide ?
2. Le point de vue des ensemblistes :
Considérons deux ensembles N et M comportant respectivement n et m éléments
(cardinal(N)=n et cardinal(M)=m ). Le cardinal de l’ensemble des applications de N vers M
(c'est-à-dire le nombre d’applications) est égal à mn .
Dans le cas très particulier où n=m=0, il s’agit de l’application de l’ensemble vide vers
lui-même, ce qui fait donc une seule application. Conclusion : 00=1.
Encore que ce ne soit pas très intuitif ! Néanmoins, c’est logique et cohérent dans les
calculs d’analyse combinatoire, entre autres.
Ainsi, dans ce contexte, 00=1 est plus qu’une convention, c’est une égalité démontrée.
3. Un point de vue algébrique élémentaire :
Etant donné un réel x différent de 0 et un entier n>0, que signifie xn ? Chacun a appris
en son temps que xn est obtenu en multipliant x par lui-même n fois de suite :
xn = x*x*…*x, dans laquelle x apparaît n fois (sous-entendu : dans le membre de droite).
Soit m entier pouvant être égal à 0. D’après ce qui vient d’être vu, x(n+m)
= x*x*…*x,
dans laquelle x apparaît (n+m) fois, ce qui est correct puisque (n+m)>0. On peut scinder cette
succession de x en deux : l’une (xn) qui en comporte n et l’autre (x
m) qui en comporte m. Cette
Jean Jacquelin, ZERO PUISSANCE ZERO, 20 septembre 2006. Updated : June 6, 2011 3
dernière pouvant n’en comporter aucun dans le cas m=0. Sa valeur, (alors formellement écrite
x0 ) est donc nécessairement égale à 1 puisque l’on a dans ce cas : (x
n)= (x
n)* (x
0)= (x
n)* (1).
Conclusion : x0=1.
On serait tenté d’étendre le raisonnement à x=0, au quel cas on aurait 00=1. Mais si
l’on revient au début de ce paragraphe, xn étant obtenu en multipliant x par lui-même n fois de
suite et dans le cas x=0, on a 01 =0, 0
2 =(0*0)=0, etc, 0
n =0 et cette fois, ce serait 0
0=0 auquel
on s’attendrait !
L’origine du dilemme, 00 =1 ou 0, tient clairement dans la définition élémentaire de
xn , « obtenu en multipliant x par lui-même n fois de suite », qui dans le cas n=0 conduit à un
aphorisme dénué de sens : « x0 est obtenu en multipliant x par lui-même 0 fois de suite ». Que
veut bien pouvoir dire «multiplier zéro fois de suite » ?
Certes, on a vu que l’on peut étendre la définition à x0=1 , avec x différent de 0, ce qui
n’est donc pas une convention, mais une égalité démontrée dans ce cas. Par contre, pour x=0,
la convention pourrait être aussi bien 00=0 que 0
0=1.
4. Point de vue topologique :
L’idée est de définir, si possible, 00 en tant que limite d’une fonction à deux variables
réelles x et y, en les faisant tendre vers 0. On considère donc la fonction :
( )( , ) exp ln( )yf x y x y x= = avec x>0.
- Dans le cas y=0, on a : x0=exp(0)=1.
- Dans le cas y>0 si l’on fait tendre x vers 0, y.ln(x) tend vers −∞ et xy tend vers 0.
- Dans le cas y<0 si l’on fait tendre x vers 0, y.ln(x) tend vers +∞ et xy tend vers +∞ .
On voit déjà que, selon que y est nul ou pas et dans ce cas selon le signe de y ,
l’hypothétique limite 0 y n’est pas toujours la même. Elle saute de 0 à +∞ lorsque y passe de
négatif à positif. Mais elle passe par x0=1 pour y=0, ce qui laisse supposer que 0
0=1.
Cette conjecture se renforce en constatant qu’avec y=x, la limite de xx=exp(x.ln(x)) est
1 lorsque x tend vers 0, car (x.ln(x)) tend vers 0.
Par les exemples précédents, on serait donc tenté de croire que la limite est toujours
00=1. Mais ce n’est pas si simple. La limite dépend aussi de la façon dont on fait tendre x et y
vers 0, soit indépendamment l’un de l’autre, ou simultanément. Par exemple considérons la
fonction :
( )( )
( )( ) ( )2 / ln( )
( ) exp 2 / ln( ) ln( ) exp 2x
f x x x x= = =
Lorsque x tend vers 0, l’exposant y=2/ln(x) tend vers 0. Donc, à la limite, 00=e
2.
Jean Jacquelin, ZERO PUISSANCE ZERO, 20 septembre 2006. Updated : June 6, 2011 4
Et cet autre exemple : 11 1( ) exp exp
y
f y y ey y
− = − = − =
Lorsque y tend vers 0, exp(-1/y) tend vers 0. Donc, à la limite, 00=e
-1.
Ces exemples peuvent sembler outranciers. Néanmoins, lors du calcul de limites de
fonctions compliquées, il n’est pas rare de tomber sur des formes se ramenant à xy avec x et y
tendant vers 0 et dont la limite (formellement 00) n’est ni égale à 1, ni à 0.
Par cette approche, on est conduit à penser que 00 est une forme indéterminée.
5. Et pourquoi pas une approche graphique ?
Ce n’est certes pas la plus élégante et les théoriciens n’apprécieront probablement pas.
Néanmoins, pour ceux à qui un dessin parle mieux que toute démonstration, la figure 1
illustre ce qui vient d’être évoqué dans le paragraphe précédent.
Figure 1 : Représentation de f(x,y) = xy
En fait, cette figure est une sorte d’abaque qui permet de lire la valeur approchée de
f(x,y)=xy correspondant à x et y donnés. Si le point (x,y) ne tombe pas exactement sur l’une
des courbes, la valeur approchée de xy sera obtenue par interpolation. La précision est
Jean Jacquelin, ZERO PUISSANCE ZERO, 20 septembre 2006. Updated : June 6, 2011 5
évidemment bien plus mauvaise qu’avec une calculette électronique, mais c’est sans
importance pour notre propos.
Nous cherchons à voir ce qu’il se passe au voisinage de (0, 0) afin de comprendre la
signification de 00, à la limite. C’est une région (figure 1) où les courbes se concentrent, ce
qui nous laisse dans l’expectative. Il convient de faire un agrandissement de cette zone.
Figure 2 : agrandissement au voisinage de (0, 0)
Le zoom, figure 2, ne nous satisfait pas encore pleinement, mais on comprend que l’on
pourrait poursuivre ainsi, avec des grossissements de plus en plus forts, sans parvenir à
distinguer les courbes au plus près de l’origine.
Il est clair qu’au voisinage immédiat du point (0, 0) toutes les courbes tendent à se
confondre, ce qui, visuellement et par suite intuitivement, nous fait comprendre que, pour x
positif tendant vers 0 et y tendant vers 0, la limite de xy peut prendre n’importe quelle valeur
positive, voire même 0 ou +∞ .
Si ce n’est pas de l’indétermination, alors qu’est-ce donc ?
Jean Jacquelin, ZERO PUISSANCE ZERO, 20 septembre 2006. Updated : June 6, 2011 6
6. Epilogue :
Chacun aura compris que, si le domaine des mathématiques dans lequel on travaille
n’est pas précisé, 00 est indéterminé. Il n’en va pas de même si l’on se place dans un contexte
bien délimité, dans lequel une définition précise et spécifique à ce domaine a été donnée au
formalisme 00.
Très fréquemment la convention 00=1 permet de simplifier la présentation des
formules et d’éviter de devoir traiter à part des cas particuliers dans les exposés.
Le formalisme 00=1 est plus qu’une convention et peut être utilisée en tant qu’identité
démontrée dans un contexte explicite qui s’y prête. Mais il est souvent flou et la prudence
veut alors que l’on considère cette convention comme un moyen commode, mais ne
participant pas effectivement à une démonstration. S’il est un domaine où la méfiance, voire
même la défiance, est de règle, c’est bien celui du calcul des limites et de l’étude du
comportement local au voisinage de points singuliers.
Avons-nous débusqué le dit monstre du Power Less ? Oui, certainement et nous ne
sommes pas les premiers. Tout cela est connu de longue date, ce qui ne le gêne pas dans ses
réapparitions. Débusqué, il l’est et l’a été. Mais disparu, annihilé, que nenni ! Pour cela, il
faudrait que 00 soit aussi commun et connu au niveau moyen des connaissances « populaires »
que ne l’est son ancêtre 0
0 .
Mais, au fait, pourquoi « son ancêtre » ? Et bien, vous allez devoir me pardonner un
beau tour de passe-passe :
Posons t=1/ln(x). Pour x et y tendant vers 0, ln(x) tend vers −∞ et t tend donc vers 0. Nous
avons xy=exp(y.ln(x))=exp(y/t), avec y et t tendant vers 0.
Et voila qu’apparaît en toute lumière le susdit 0
0
y
t= .
Quoi ! 00 et ( )0
0exp seraient-ils donc équivalents ?
Sérieusement, ne rêvons pas : Nous tous, n’avons pas fini de rencontrer le monstre du
Power Less. Quant à moi, je n’ai pas fini d’entendre mes bons amis écossais me reprocher cet
invraisemblable rapprochement de leur célèbre monstre avec un vulgaire 00 affublé ici d’un
nom extravagant.
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ZERO TO THE ZEROTH
POWER
Jean Jacquelin
Translated by Sam Schiavone
1. Prologue
You have probably never seen the Loch Ness monster. On the other hand, it would be
rather surprising if you had never come across the Power Less monster in the course of an
exercise, or when a curious student asked you a question, or when another less well-
intentioned student tried to embarrass you in front of the class.
We no longer bother to count the number of appearances of Power Less on the Web in
mathematical forums, where he surfaces again and again, bringing with him the same
questions and perpetual controversies.
But what is this mysterious sea serpent? No, it is not 0
0 , now only too well known.
Rather, it is one of its close relatives, the strange 00, zero to the zero
th power.
Certain people will tell you that 00 is indeterminate. Others think that 0
0 = 0 in certain
cases. Still others will contend that 00 = 1, or more prudently that this equality is a
"convention". However, if this "equality" is nothing more than a convention and not a proven
statement, how are we to know in which contexts it holds true?
2. A Set Theoretic Point of View
Let us consider two sets N and M consisting of n and m elements, respectively (i.e.,
card(N) = n and card(M) = m). The cardinality of the set of functions from N to M (that is, the
number of functions) is mn.
In the particular case where n = m = 0, we have the number of functions from the empty
set to itself, which yields one single function. Conclusion: 00 = 1.
This is not terribly intuitive! Nevertheless, this conclusion is logical and coherent in the
context of combinatorics, among others. Thus, in this case, 00 = 1 is more than a mere
convention: it is a proven equality.
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3. An Elementary Algebraic Point of View
Given a nonzero real number x and a positive integer n, what is the meaning of x
n ?
Every one of us learned at some point or another that xn is obtained by multiplying x by itself
n times, that is xn = x * x * … * x, where x appears n times on the right-hand side.
Let m be an integer, possibly 0. According to what we just saw, xn+m
= x * x * … * x,
where x appears n+m times, which is permissible since n+m > 0. We may split this product of
x's into two parts, one (xn) containing n copies of x and the other (x
m) containing m copies.
Thus, in the case where m = 0, this second term contains zero copies of x. Its value, formally
written x0, is therefore necessarily 1 because in this case, x
n*1 = x
n = x
n+0 = x
n * x
0.
We might be tempted to use the same reasoning for the case x= 0, which would yield 00
= 1.
However, returning to the beginning of this paragraph where we obtained xn by multiplying x
by itself n times, for x = 0 we have 01 = 0, 0
2 = 0 * 0 = 0, etc. Thus we have 0
n = 0, which
would lead us to expect 00 = 0, contrary to the previous section!
The source of this dilemma clearly lies in our elementary definition of xn being "obtained
by multiplying x by itself n times," which in the case n = 0 leads us to a statement devoid of
meaning: " x0 is obtained by multiplying x by itself 0 times." What could it possibly mean to
multiply something zero times?
Certainly we have seen that we may extend this definition to x0 = 1 for nonzero x, which
is therefore not merely a convention, but a proven equality in this case. On the other hand, for
x = 0, the convention could be 00 = 0 just as well as 0
0 = 1.
4. A Topological Point of View
The idea is to define, if possible, 0
0 as the limit of a function of two real variables x and y
as they both approach 0.
Therefore, we consider the function: f(x, y) = xy = exp(y ln(x)), for x > 0.
● In the case y = 0, we have x0 = exp(0) = 1.
● In the case y > 0, as x approaches 0, y ln(x) approaches -∞ and xy therefore approaches 0.
● In the case y < 0, as x approaches 0, y ln(x) approaches +∞ and thus xy approaches +∞.
We see already that, depending on whether y is positive, negative, or zero, the
hypothetical limit 0y is not always the same. It jumps from 0 to +∞ as y changes from negative
to positive. However, this limit does yield x0 = 1 for y = 0, making us suppose that 0
0 = 1.
This conjecture is reinforced by the fact that, for y = x, the limit of xx = exp(x ln(x)) is 1
as x approaches 0, since x ln(x) tends to 0.
Examining the preceding examples, we may be tempted to believe that an approach
using limits will always yield 00 = 1. However, things are not so simple. This limit also
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depends on the manner in which x and y approach 0, either independently from each other, or
simultaneously. For instance, let us consider the function
( )( )
( )( ) ( )2 / ln( )
( ) exp 2 / ln( ) ln( ) exp 2x
f x x x x= = =
As x tends to 0, the exponent y = 2 / ln(x) approaches 0. Thus, in the limit, 00 = e
2.
And this other example: 11 1( ) exp exp
y
f y y ey y
− = − = − =
As y approaches 0, exp(-1 / y ) tends to 0. Therefore, in the limit, 00 = e
-1.
These examples may seem far-fetched. Nonetheless, while calculating the limit of
complicated functions, it is not uncommon to come across expressions that reduce down to xy
with x and y both approaching 0, yet whose limit (formally 00) is neither 1 nor 0.
Using this approach, we are therefore led to believe that 00 is an indeterminate form.
5. And Why Not A Graphical Approach?
This is certainly not the most elegant approach, and theoreticians will probably not
appreciate it. Nevertheless, for those for whom a picture is worth a thousand words, figure 1
illustrates that which was discussed in the preceding paragraph.
Figure 1
Jean Jacquelin, ZERO PUISSANCE ZERO, 20 septembre 2006. Updated : June 6, 2011 10
In fact, this figure is a kind of abacus which allows us to read off the value approached
by f(x; y) = xy corresponding to given x and y. If the point (x; y) does not fall exactly on one of
these curves, the value approached by xy may be obtained by interpolation. The precision of
this graph is quite obviously not nearly as good as that of a graphing calculator, but this is
unimportant for our purposes.
We are attempting to observe what occurs in the neighborhood of (0; 0) in order to
understand the meaning of 00, in the limit. In this region the curves get closer and closer
together, so much so that they become indistinguishable, leaving us in a state of suspense.
Accordingly, we magnify this region.
Figure 2
The enlarged figure 2 is still not fully satisfactory, and we realize that, even if we were to
pursue this approach further, making larger and larger magnifications, we still would be
unable to distinguish the different curves as they approach the origin.
It is clear that in the immediate neighborhood of the origin, all the curves become
indistinguishable, which, visually and thus intuitively, tells us that, for x positive approaching
0 and y approaching 0, the limit of xy could take on any positive value, even 0 or +∞.
If this isn't indeterminate, then what is?
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6. Epilogue
Hopefully everyone will have understood that, if the branch of mathematics in which we
are working is not specified, then 00 is indeterminate. On the other hand, if we are working in
a specific context, it is often possible to give a rigorous meaning to the symbols 00.
Very frequently the convention 00 = 1 allows us to simplify formulae and to avoid
treating several cases separately.
The formalism 00 = 1 is more than a convention and may be used as a proven identity in
an explicitly indicated context. However, this may lead to ambiguity, and we should, with
prudence as our guide, consider this convention as a convenient shorthand, rather than a
general identity. If there is a domain where mistrust, or even distrust, is the rule, it is that of
the calculation of limits and the study of local behavior in the neighborhood of singularities.
Have we therefore flushed out said Power Less monster? Yes, certainly, and we are by
no means the first to do so. All this has been known for years, which does not prevent its
repeated reappearances.
Flushed out, he is and has been. But extinct, annihilated, nay! For this to be the case, 00
must be as common and as well known as its ancestor 0
0.
But why do we continue to call this other beast Power Less's "ancestor" ? Well, please
excuse this last exercise in sleight of hand:
Let t = 1 / ln(x). For x and y approaching 0, ln(x) approaches -∞ and t therefore tends to
0. We have xy = exp(y ln(x)) = exp(y / t), with y and t both approaching 0. And thus we
discover the aforementioned 0
0
y
t=
What! 00 and ( )0
0exp are therefore equivalent?
Seriously, let us not delude ourselves: we have not seen the last of the Power Less
monster. As for myself, I have not heard the last of it from my Scottish friends, who continue
to reproach me for this implausible comparison between their renowned monster and a vulgar
00 gussied up with an extravagant name.