Zerlegung in Linearfaktoren -...
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Zerlegung in Linearfaktoren
groolfs.de
Polynom 2. Grades ax2 + bx + c
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 x
y
f (x) = (x − 1)(x − 5)
Polynom 2. Grades ax2 + bx + c
1
2
3
4
1 2 3 4 5 x
y
f (x) = (x − 3)2
Polynom 2. Grades ax2 + bx + c
1
2
3
4
1 2 3 4 5 x
y
f (x) = (x − 3)2 + 1
Polynom 2. Grades ax2 + bx + c
1
2
3
4
1 2 3 4 5 x
y
f (x) = (x − 3)2 + 1
Die Zerlegung eines Polynoms 2. Grades richtet sich nach der Anzahlder Nullstellen (2,1 oder 0) der zugehorigen Polynomfunktion (Parabel).
Polynom 2. Grades ax2 + bx + c
1
2
3
4
1 2 3 4 5 x
y
f (x) = (x − 3)2 + 1
Die Zerlegung eines Polynoms 2. Grades richtet sich nach der Anzahlder Nullstellen (2,1 oder 0) der zugehorigen Polynomfunktion (Parabel).
Fur 2 Nullstellen gilt z.B.: 3x2− 18x + 15 = 3(x2
− 6x + 5) = 3(x − 1)(x − 5)
Polynom 2. Grades ax2 + bx + c
1
2
3
4
1 2 3 4 5 x
y
f (x) = (x − 3)2 + 1
Die Zerlegung eines Polynoms 2. Grades richtet sich nach der Anzahlder Nullstellen (2,1 oder 0) der zugehorigen Polynomfunktion (Parabel).
Fur 2 Nullstellen gilt z.B.: 3x2− 18x + 15 = 3(x2
− 6x + 5) = 3(x − 1)(x − 5)
(x − 3)2 + 1 kann nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
5(x + 1)(x − 2)(x − 5)
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
5(x + 1)(x − 4)2
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x + 1)(x2
− 6x + 10)
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x − 1)(x2
− 6x + 12)
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x − 1)(x2
− 6x + 12)
Die Zerlegung eines Polynoms 3. Grades richtet sich nach der Anzahl der Nullstellen
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x − 1)(x2
− 6x + 12)
Die Zerlegung eines Polynoms 3. Grades richtet sich nach der Anzahl der Nullstellen
(3, 2 oder 1) der zugehorigen Polynomfunktion. Mindestens eine Nullstelle ist vorhanden.
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x − 1)(x2
− 6x + 12)
Fur eine Zerlegung ist die 1. Nullstelle zu erraten. Fur mogliche weitere Nullstellen ist eine
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x − 1)(x2
− 6x + 12)
Fur eine Zerlegung ist die 1. Nullstelle zu erraten. Fur mogliche weitere Nullstellen ist eine
Polynomdivision durchzufuhren, z.B.:
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x − 1)(x2
− 6x + 12)
x3− 7x2 + 8x + 16
x + 1= . . . = x2
− 8x + 16 und x2− 8x + 16 = (x − 4)2 mit der pq-Formel
Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1 x
y
f (x) = 1
4(x − 1)(x2
− 6x + 12)
x3− 7x2 + 8x + 16
x + 1= . . . = x2
− 8x + 16 und x2− 8x + 16 = (x − 4)2 mit der pq-Formel
Insgesamt x3− 7x2 + 8x + 16 = (x + 1)(x − 4)2
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) =
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2
− ( )
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2
− (x3 )
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2
− (x3− 2x2)
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2
− (x3− 2x2)
3x2
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− ( )
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2 )
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( )
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( − 4x )
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( − 4x + 8 )
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( − 4x + 8 )0
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( − 4x + 8 )0
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) =
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( − 4x + 8 )0
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) = x2
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( − 4x + 8 )0
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) = x2 + x
Polynomdivision
(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4
− (x3− 2x2)
3x2− 10x
− (3x2− 6x)
− 4x + 8
− ( − 4x + 8 )0
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) = x2 + x − 2
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) =
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2
− ( )
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2
− (x3 )
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2
− (x3 + 5x2)
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2
− (x3 + 5x2)
x2
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− ( )
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 )
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)− 2x
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)− 2x − 10
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)− 2x − 10
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)− 2x − 10
− ( )
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)− 2x − 10
− ( − 2x )
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)− 2x − 10
− ( − 2x − 10 )
Polynomdivision
(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2
− (x3 + 5x2)
x2 + 3x
− (x2 + 5x)− 2x − 10
− ( − 2x − 10 )0
Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2 x
y
f (x) =1
10(x + 1)(x − 1)(x − 4)2
Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2 x
y
f (x) =1
5(x − 1)3(x − 4)
Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2 x
y
f (x) =1
5(x − 1)3(x − 4)
In der Umgebung von x = 1 ahnelt der Graph dem verschobenen Graphen von y = −x3.Beachte: In dieser Umgebung ist der Faktor (x − 4) negativ.
Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2 x
y
f (x) =1
3(x − 1)2(x − 4)2
Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2 x
y
f (x) =1
3(x − 1)2(x − 4)2
In den Umgebungen von x = 1 und x = 4 ahnelt der Graph dem verschobenen Graphenvon y = x2. In diesen Umgebungen ist jeweils der ubrige quadratische Term positiv.