Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni...

Zbirka kolokvijev in izpitov iz

Matematike za ²tudente

Naravoslovnotehni²ke fakultete

Nika Novak

Ljubljana, junij 2017

Naslov: Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente Naravoslovnotehni²kefakultete

Avtorica: Nika Novak1. izdajaSamozaloºba Nika NovakDostopno na spletnem naslovu www.fmf.uni-lj.si/~novakn

Kataloºni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjiºnici vLjubljaniCOBISS.SI-ID=290662400ISBN 978-961-283-961-1 (pdf)

Kazalo

1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni ²tudij 7

2 Matematika 2 - visoko²olski strokovni ²tudij 17

3 Matematika 1 za geologe 27

4 Matematika 2 za geologe 35

5 Matematika 2 - univerzitetni ²tudij 43

6 Matematika 3 - univerzitetni ²tudij 59

3

Predgovor

Pri£ujo£a zbirka starih kolokvijev in izpitov je nastala v ²tudijskih letih 2013/2014in 2014/15, ko sem vodila vaje na Naravoslovnotehni£ni fakulteti pri profesorju J.Bra£i£u. V njej so zbrane naloge tako za univerzitetne ²tudente kot za ²tudentevisoko²olskega strokovnega programa. Nekateri predmeti so se v preteklih letihspremenili, ²e vedno pa pokrivajo osnove matemati£ne analize in linearne algebre.�elim vam veliko uspeha pri re²evanju!

V Ljubljani, junij 2017.

Nika Novak

5

Poglavje 1

Matematika 1 - visoko²olski

strokovni ²tudij

7

1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij28. november 2014

1. Poi²£ite najve£ji skupni delitelj in najmanj²i skupni ve£kratnik ²tevil 2640 in594.

2. Re²ite neena£bo|x− 3|+ x− 2 < |x− 1|.

Mnoºico re²itev zapi²ite kot interval ali unijo intervalov.

3. V kompleksni ravnini nari²ite mnoºico

A = {z ∈ C; |z − i| ≤ 2 in Im(z) > 0}.

4. Poi²£ite vsa kompleksna ²tevila z, za katera je∣∣∣∣∣∣4 z 42 −1 zz 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

5. Dane so matrike

A =

[−1 −2 23 4 −1

], B =

[2 5 33 1 0

]in C =

[4 67 −3

].

Izra£unajte tiste od izrazov

(a) A ·B + C,

(b) A ·B> + C,

(c) A> ·B + C,

(d) (A+B)> · C,

ki jih lahko.


NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij23. januar 2015

1. Re²ite sistem ena£b

x + 2y − z = 34x − 2y + 5z = 22x − 16y + 16z = −14.

2. Dolo£ite ²tevilo x, da bo kot med vektorjema

~a =

[1√x

]in ~b =

[−√x

3

]enak

π

3.

3. Dane so to£ke A(1, 0, 3), B(2, 1, 1) in C(1, 4,−2). Poi²£ite to£ko D, da bo likz ogli²£i ABCD paralelogram. Izra£unajte ²e njegovo plo²£ino.

4. Poi²£ite aritmeti£no zaporedje, za katerega je vsota prvih 15 £lenov enaka 30in velja

(2a3 − a6)a2 = 2.

1. IZPIT IZ MATEMATIKE 1


1. Re²ite neena£box|x− 5| > 6.


2. Dana je matrika

A =

3 2 24 6 1−1 0 2

.Poi²£ite matriko X, za katero bo veljalo AX + I = AT .

3. Dolo£ite kot med vektorjema

~a =

2−1−2

in ~b =

411

.Izra£unajte ²e:

(a) plo²£ino paralelograma, ki ga dolo£ata vektorja ~a in ~b,

(b) prostornino paralelepipeda, ki ga dolo£ajo vektorji ~a,~b in ~a×~b.

4. Re²ite sistem ena£b−x + 2y − 2z = 62x − y − 3z = 23x + y + 5z = 6.


NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij15. junij 2015

1. Poi²£ite realna ²tevila x, za katera velja∣∣∣∣ x 21 + x 1 + 2x

∣∣∣∣ > 1.

2. Dani sta matriki

A =

1 2 32 2 31 0 −1

in B =

[2 1 −10 3 2

]

Poi²£ite matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.


2x + y + z = 1−x + 2y + z = 0x − y + 2z = −7.

4. Poi²£ite aritmeti£no zaporedje, za katerega veja

(a5 − a3)a1 = 24

a1 + a6 = 30.



1. V prostoru so dane to£ke A(1, 0, 3), B(2, 5, 1) in C(1, 1, 1). Izra£unaj plo²£inotrikotnika in vi²ino trikotnika na stranico AB.

2. Dani sta matriki

A =

1 −3 22 1 −34 −3 −1

in B =

[2 1 31 2 1

]

Poi²£i matriko X, za katero bo veljalo AX = B>.

3. Dana so ogli²£a tetraedra A(3, 1, 0), B(4, 3, 1), C(2, 2, 0) in D(a, 0, 1). Dolo£i²tevilo a tako, da bo prostornina tetraedra enaka 1.

4. Poi²£ite geometrijsko zaporedje, katerega vsota prvih ²estih £lenov je 63 invelja g3

g5= 4.


NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij19. avgust 2015

1. V prostoru so dane to£ke A(1, 1, 2), B(3, 1,−1) in C(2, 0, 1). Poi²£i to£ko D,tako da bo ABCD paralelogram in izra£unaj njegovo plo²£ino.

2. Dani sta matriki

A =

3 2 10 1 23 1 1

in B =

2 11 34 0

Poi²£i matriko X, za katero bo veljalo XA = B>.

3. Poi²£i ²tevilo k, za katerega ima sistem

2x + 5y + kz = 0x + ky + 2z = 0x + y + 2z = 0

neskon£no re²itev.

4. Poi²£i aritmeti£no zaporedje, za katerega velja

a1 + a5 = 10

a2 · a4 = 21.


NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij1. september 2015

1. V prostoru so dane to£ke A(4, 1, 0), B(2, 2, 1) in C(1, 2, 3). Izra£unj obseg inplo²£ino trikotnika ABC.

2. Dani sta matriki

A =

2 1 03 1 −12 1 3

in B =

[3 1 2−1 0 4

]


3. Re²i sistem ena£b−x − y + z = 22x + 3y − 2z = 22x − 5y + z = −1.

4. Poi²£i padajo£e geometrijsko zaporedje, za katerega velja

g1 + g2 + g3 =21

24g4 = g2.



1. V prostoru so dane to£ke A(2, 2,−1), B(3, 1, 4) in C(1, 2, 1). Poi²£i to£ko D,tako da bo ABCD paralelogram in izra£unaj njegovo plo²£ino.

2. Dani sta matriki

A =

1 2 12 0 31 1 3

in B =

[5 2 −13 1 0

]


3. Re²i sistem ena£b2x − y + 2z = 4−x + 2y − 3z = 23x − y − 5z = 0.

4. Poi²£i padajo£e aritmeti£no zaporedje, za katerega velja

a3 + a5 = 16

a2 · a6 = 55.

Poglavje 2

Matematika 2 - visoko²olski

strokovni ²tudij

17


NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij10. april 2015

1. (a) Izra£unaj limito limn→∞

(3n+ 1

3n− 1

)n+2

(b) Ali vrsta∞∑n=1

3n

2n+√n2 + 1

konvergira?

2. Poi²£i ena£bo premice, ki gre skozi to£ko A(1, 2) in skupaj s koordinatnimaosema omejujejo trikotnik s plo²£ino 4.

3. Naj bo f(x) = e1x in h(x) = ex+1.

(a) Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije f in njen inverz f−1.

(b) Poi²£i funkcijo g, za katero velja f ◦ g = h.

4. Dolo£i ni£le, pole, asimptoto in nari²i funkcijo

f(x) =x4 − 3x2 + 2x

x2 − x− 2.



1. (a) Dolo£i realni ²tevili a in b tako, da bo funkcija

f(x) =

sin2 axx2

, x < 0

bx+ 4, 0 ≤ x ≤ 11−x2

x2+x−2 , 1 < x

zvezna.

b Izra£unaj limito

limx→∞

(x+ 3

x− 2

)1−x

.

2. Poi²£i stacionarne to£ke funkcije

f(x) =ln(1 + x2)

1 + x2

in jih klasi�ciraj. Dolo£i ²e intervale nara²£anja.

3. Izra£unaj nedolo£ena integrala:

(a)∫(1− 2x) cos 2x dx

(b)∫

arcsinx√1−x2 dx

4. Naj bo

f(x) =3− x2x+ 2

.

(a) Poi²£i tisto tangento na graf funkcije f(x), ki je vzporedna s premicoy = 2− x

2.

(b) Izra£unaj prostornino telesa, ki nastane, ko lik, ki ga graf funkcije f(x)omejuje s koordinatnima osema, zavrtimo okoli abscisne osi.



1. Izra£unaj limiti:

(a) limn→∞

(x+ 2

x+ 4

)3x

(b) limx→0

x

tg(5x).

2. Poi²£i ni£le, pole, asimptoto in nari²i graf funkcije

f(x) =x2 − 4x+ 3

x+ 1.

3. Poi²£i lokalne ekstreme funkcije

f(x) =2x

1 + x2.

Dolo£i ²e intervale, kjer je funkcija konkavna.

4. Izra£unaj integrala:

(a)∫

1

x(1 + ln2 x)dx

(b)∫ 1

0

(1 + x)exdx.




(a) limx→∞

(2x+ 3

2x+ 5

)x(b) lim

x→4π

sin 2x

x− 4π.

2. Dolo£i de�nicijsko obmo£je in zalogo vrednosti funkcije

f(x) =2

x2 + 3x+ 2.

.


f(x) =e−x

x− 1.

Dolo£i ²e intervale, kjer funkcija pada.

4. Izra£unaj prostornino telesa, ki ga dobimo, £e okoli osi x zavrtimo krivuljo

y = 1 + sinx

med dvema zaporednima ni£lama.


NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij19. avgust 2015


(a) limn→∞

(√n2 − 3n− n− 2

)(b) lim

x→∞

(x− 3

x+ 2

)2x+1

.


f(x) =x2 + 2x+ 1

x− 2.

.


f(x) =ln(2 + x)

2 + x.

Dolo£i ²e intervale, kjer funkcija nara²£a.


y = x+ ex,

ko je x ∈ [0, 1].




(a) limn→∞

(√n2 − 3n− n− 2

)(b) lim

x→∞

(x− 3

x+ 2

)2x+1

.


f(x) =x2 + 2x+ 1

x− 2.

.


f(x) =ln(2 + x)

2 + x.



y = x+ ex,

ko je x ∈ [0, 1].




(a) limx→0

x ctg(3x)

(b) limx→∞

(3x− 1

3x+ 2

)x


f(x) =x3 − 3x2 + x− 3

x2 − x− 2.


f(x) = (x2 − 5)e2x.


4. Izra£unaj integrala:

(a)∫

ex

1 + e2xdx

(b)∫(2 + x) sin(x+ 1) dx




(a) limx→0

sin2 3x

x2

(b) limx→∞

(2x− 1

2x+ 3

)x+1


f(x) =x2 − 3x+ 2

x2 + 2x.


f(x) = 5 ln(x2 + 4)− 2x.


4. Izra£unaj prostornino telesa, ki ga dobi², £e okoli osi x zavrti² funkcijo

f(x) = x cosx

na intervalu x ∈ [0, π2].


NTF Montanistika - visoko²olski strokovni ²tudij11. februar 2016


(a) limx→0

sin2 3x

x2

(b) limx→∞

(2x− 1

2x+ 3

)x+1


f(x) =x2 − 3x+ 2

x2 + 2x.


f(x) = 5 ln(x2 + 4)− 2x.


4. Izra£unaj prostornino telesa, ki ga dobi², £e okoli osi x zavrti² funkcijo

f(x) = x cosx

na intervalu x ∈ [0, π2].

Poglavje 3

Matematika 1 za geologe

27


NTF Geologija - univerzitetni ²tudij27. november 2013


2. Re²ite neena£bo|x+ 1|+ |x− 2| ≤ 2 + x.


3. Dane so matrike

A =

[−1 −23 4

], B =

[2 5 33 1 0

]in C =

4 67 31 2

.Poi²£ite matriko X, ki zado²£a ena£bi XA+B> = C.

4. Dolo£ite k, da bo imel sistem ena£b

2x − y + 5z = 3x + ky + z = 12−x + 2y − 3z = 2

ve£ re²itev. Nato poi²£ite re²itve tega sistema.

5. Dani so vektorji

~a =

12−2

, ~b = 1−1x

in ~c =

2−2−1

.(a) Dolo£ite x, da bo vektor ~a×~b kazal v smeri vektorja ~c.

(b) Izra£unajte kot med vektorjema ~a in ~b.


NTF Geologija - univerzitetni ²tudij15. januar 2014

1. Naj bo

f(x) =3 + 2x− x2

x+ 2.

Poi²£i ni£le, pole, asimptoto in za£etno vrednost. Skiciraj graf funkcije.

2. Dolo£i intervale nara²£anja za funkcijo f(x) = sin x− x cosx.

3. S pomo£jo diferenciala izra£unaj pribliºno vrednost funkcije f(x) = 1√xv to£ki

x0 = 3, 9. Rezultat zapi²i v decimalni obliki.

4. Izra£unaj nedolo£eni integral∫(1 + arcsin x)3√

1− x2dx.

5. Naj bo y = ln(1 + x).

(a) Dolo£i ena£bo tangente na krivuljo v to£ki x = e− 1.

(b) Dolo£i plo²£ino lika, ki ga omejujejo y = ln(1 + x), tangenta iz to£ke (a)in os x.



1. Re²ite neena£bo2|x− 3| − |x| > 6.

Mnoºico re²itev zapi²ite kot interaval ali unijo intervalov.

2. Re²ite ena£bo ∣∣∣∣∣∣−5 2 xx+ 1 2 −13 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 3.

3. Zapi²ite ena£bo premice skozi to£ko A(2, 1,−3), ki je pravokotna na ravnino2x− 5x+ z = 3.

4. Dolo£ite intervale padanja za funkcijo f(x) =5− 2x

xe2x.

5. Izra£unajte nedolo£en integral∫(2x+ 1) sin 3x dx.


NTF Geologija - univerzitetni ²tudij7. februar 2014


2. Poi²£ite re²itev sistema ena£b

3x − y − 2z = 44x − 6y − 10z = 7x + 2y + 3z = 1

3. Dani sta matriki

A =

[1 4−2 3

]in B =

[0 2 3−1 2 1

].

Poi²£ite matriko X, ki re²i ena£bo XA = B>.

4. Dolo£ite de�nicijsko obmo£je funkcije

y = ln(8− 2x− x2)

in poi²£ite lokalne ekstreme.

5. Izra£unajte plo²£ino lika, ki ga omejujejo

y = cos 2x, y = x− π

4in os y.


NTF Geologija - univerzitetni ²tudij13. junij 2014

1. Re²ite neena£box|x− 5| < 6.


2. Poi²£ite re²itev sistema ena£b

x + 2y − z = 32x − 5y + 2z = 1x + 11y − 5z = 8

3. Dana sta vektorja

~a =

2−1−2

in ~b =

41x

.dolo£ite x, da bo kot med vektorjema π

4.

4. Dolo£ite de�nicijsko obmo£je funkcije

f(x) =ex

x2 − 4

in poi²£ite lokalne ekstreme. Dolo£ite ²e intervale nara²£anja.

5. Izra£unajte nedolo£eni integral ∫lnx+ 1

x lnxdx.



1. Poi²£ite realna ²tevila t za katera velja∣∣∣∣ 1 t2− t 3

∣∣∣∣ > ∣∣∣∣t− 1 1−2 2

∣∣∣∣ .2. Poi²£ite ena£bo ravnine skozi to£ke A(1, 4,−2), B(2,−1, 1) in C(3, 2, 2).

3. Poi²£ite lokalne ekstreme funkcije

f(x) =1

x+ 2 arctg x.

Dolo£ite ²e intervale nara²£anja.

4. Izra£unajte plo²£ino lika, ki ga omejujeta kvadratni funkciji

y = x2 − 2x in y = 2 + x− x2.


NTF Geologija - univerzitetni ²tudij5. september 2014

1. Dana je matrika

A =

[3 54 6

].

Poi²£ite matriko X, za katero bo veljalo AX + I = AT .

2. Dan je paralelogram ABCD, pri katerem poznamo ogli²£a A(2, 1, 1), C(3, 1, 3)in D(4, 0, 1). Dolo£ite koordinate ogli²£a B in plo²£ino paralelograma.

3. Dolo£ite de�nicijsko obmo£je in lokalne ekstreme funkcije

f(x) =√x+√10− 4x.


4. Izra£unajte prostornino vrtenine, ki nastane, £e krivuljo y = x2(2 − x) medobema ni£lama zavrtimo okoli osi x.

Poglavje 4

Matematika 2 za geologe

35


NTF Geologija - univerzitetni ²tudij3. april 2015

1. Poi²£i tisto re²itev diferencialne ena£be

xy′ = y + yx+ x3e2x,

za katero je y(1) = 2e.

2. Poi²£i splo²no re²itev diferencialne ena£be

y′′ + 2y′ − 8y = x+ 2e2x.

3. Dana je funkcija

f(x, y) = ln

(1−

√1 +

x

y

).

(a) Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije in ga nari²i.

(b) Nari²i nivojnici N0 in Nln 1/2.

(c) Poi²£i zalogo vrednosti.

4. Naj bof(x, y) = (y4 − x)ex.

(a) Poi²£i vse to£ke, v katerih je gradient funkcije ni£eln.

(b) Poi²£i vse enotske vektorje ~s, za katere je smerni odvod∂f

∂~s(2,−1) = 0.



1. Poi²£i ena£bo tangentna ravnine na graf funkcije

f(x, y) = x2arctg(x+ y)

v to£ki A(1, 0, z0).


f(x, y) = x2 + 3xy2 + 2y2

in jih klasi�ciraj.

3. Naj bo∫∫D

f(x, y) dxdy =

∫ 1

0

dx∫ arcsinx

0

f(x, y) dy +∫ 2

1

dx∫ π

2(2−x)

0

f(x, y) dy.

(a) Zamenjaj vrstni red integriranja.

(b) Izra£unaj integral v primeru, ko je f(x, y) = y.

4. Izra£unaj teºi²£e telesa z gostoto ρ(x, y, z) = z, za katerega velja

x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2.




y′′ − 5y′ + 6y = sin 2x.

2. Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije

f(x, y) = ln(x2 − y2)

in ga nari²i. Izra£unaj ²e gradient funkcije v to£ki T (2, 1).

3. Poi²£i najve£jo in najmanj²o vrednost funkcije

f(x, y) = x2 − 2x+ y2 − 2y

na krogu x2 + y2 ≤ 4.

4. Izra£unaj integral ∫∫D

xy(1 + (x2 + y2)2

)2dxdy,kjer za obmo£je D velja x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 in y ≥ 0.


NTF Geologija - univerzitetni ²tudij19. avgust 2015


x lnx y′ + y = 2 ln x,

za katero je y(e) = 2.

2. Dana je funkcija dveh spemenljivk

f(x, y) = arctgx

y.

Izra£unaj gradient funkcije v to£ki T (1, 2) in izra£unaj pribliºno vrednost funk-cije f(0.9, 2.2).


f(x, y) = e−x(x− y2)


4. Izra£unaj trojni integral ∫∫∫D

(2x+ 1)dx dy dz,

kjer za obmo£je D velja x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0 in 0 ≤ z ≤ y.




y′′ + 2y′ − 3y = 3x+ 1.


f(x, y) = ln(x2 + 2y + 1).

(a) Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije .

(b) Izra£unaj smerni odvod funkcije v to£ki T (2,−1) v smeri vektorja ~s =[31

].


f(x, y) = ex2 − (x− y)2



(x2 + y2 + z2)dx dy dz,

kjer za obmo£je D velja x2 + y2 ≤ z2, x ≥ 0 in 0 ≤ z ≤ 2.



1. Poi²£i tiso re²itev diferencialne ena£be

x2y′ + xy = lnx

za katero je y(1) = 2.


f(x, y) =

√x− y

x2 + y2.


(b) Izra£unaj gradient funkcije v to£ki T (2, 1).


f(x, y) = e2x(x+ y2 + 2y)



(x+ y + z)dx dy dz,

kjer za obmo£je D velja x2 + y2 ≤ z, y ≥ 0 in z ≤ 1.




y′′ − 2y′ − 8y = (x+ 4)e−x + 2.


f(x, y) =ln(2x− y)x2 + y2 − 1

.


(b) Izra£unaj gradient funkcije v to£ki T (2, 1).


f(x, y) = (x2 + y)ex−y


4. Izra£unaj prostornino telesa dolo£enega z neenakostmi

x2 + y2 ≤ z, z ≤ 1− x2 − y2 in x ≥ 0.

Poglavje 5

Matematika 2 - univerzitetni ²tudij

43


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij2. april 2014

1. Naj bodo a1, a2, a3 £leni geometrijskega zaporedja, katerih vsota je 52. �emed a2 in a3 vrine² dve ²tevili, dobi² aritmeti£no zaporedje. Poi²£i za£etnozaporedje.

2. Poi²£i vse premice skozi to£ko A(0, 3), ki se dotikajo kvadratne funkcije y =x2 − 4x+ 4.

3. Dolo£i ni£le, pole, asimptoto in nari²i funkcijo

f(x) =x3 − 5x2 + 8x− 4

x2 + x.

Preveri, £e je funkcija soda ali liha.

4. Re²i ena£bosinx

sinx+ cosx− cosx

sinx− cosx= 2.

5. Dolo£i ²tevili a in b, da bo funkcija

f(x) =

ax

x2+2x;x < 0

2x+ 4 ; 0 ≤ x ≤ 2

xb−1 ; 2 < x

zvezna.


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij6. junij 2014

1. S pomo£jo diferenciala izra£unaj pribliºno vrednost funkcije f(x) = 1√xv to£ki

x0 = 3, 9. Rezultat zapi²i v decimalni obliki.

2. Naj bo

f(x) =ln(1 + x2)

1 + x2.

Dolo£i de�nicijsko obmo£je, zalogo vrednosti, ni£le, intervale nara²£anja inpadanja in ekstreme. Skiciraj graf funkcije.

3. Izra£unaj nedolo£eni integral ∫2x3

2x3 + x− 6dx.

4. Naj bo y = lnx.

(a) Dolo£i ena£bo tangente na krivuljo v to£ki x = e.

(b) Dolo£i prostornino vrtenine, ki jo dobi², £e okoli osi x zavrti² lik, ki gaomejujejo funkcija y = lnx, tangenta iz to£ke (a) in os x.

5. Poi²£i re²itev diferencialne ena£be

y′ − 2xy = x,

za katero velja y(0) = 1.



1. Re²i ena£bo4x − 3 · 2x+1 = 24.

2. Dolo£i a in b, tako da bo funkcija

f(x) =

sin 4xx

;x < 0

x+ a ; 0 ≤ x ≤ 3x2−b

x2−2x−3 ;x ≥ 3

zvezna.

3. Poi²£ite lokalne ekstreme funkcije

f(x) = tg x− 2x.


4. Izra£unajte plo²£ino lika, ki ga omejujejo

y = x cos 2x; y = x− π

4in os y.

5. Poi²£ite re²itev diferencialne ena£be:

(1 + x2)y′ − xy =√1 + x2,

ki ustreza za£etnemu pogoju y(1) = 0.



1. Dolo£ite ni£le, pole, asimptoto in nari²ite funkcijo

f(x) =x2 − 4x

1 + x.

2. Izra£unajte limiti:

(a) limx→1

sin(2πx)

x− 1

(b) limx→∞

(√x2 − 3x− x).

3. Dolo£ite ²tevilo A tako, da bo imela funkcija

f(x) = A arctg (2x)− 2 arctg x

lokalna ekstrema v to£kah x = ±1. Dolo£ite ²e intervale nara²£anja.

4. Izra£unajte prostornino telesa, ki ga dobimo, £e krivuljo

y = sinx, 0 ≤ x ≤ π

zavrtimo okoli osi x.

5. Poi²£ite re²itev diferencialne ena£be:

y′ = − sinx cos2 y,

ki ustreza za£etnemu pogoju y(0) = 0.


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij5. september 2014

1. Re²i ena£bo2 sin2 x− cosx = 1.

2. Izra£unajte limiti:

(a) limx→0

(2− 3x

2 + 5x

) 2x

(b) limn→∞

4n+2 + 22n − 1

4n+3 + 3n.

3. Dana je funkcija

f(x) =x−√x− 2

x− 5.

Dolo£ite njeno de�nicijsko obmo£je, ni£le, pole, asimptote in lokalne ekstreme.Nari²ite ²e graf.

4. Izra£unajte prostornino telesa, ki ga dobimo, £e krivuljo

y =ex

e2x + 1; 1 ≤ x ≤ 2

zavrtimo okoli osi x.

5. Poi²£ite splo²no re²itev diferencialne ena£be

xy′ − (x+ 1)y = ex.



1. Dana je funkija

f(x) =

{1 + 2

x; x ≤ −1

a arctg x x > −1

(a) Dolo£ite konstanto a, tako da bo funkcija zvezna na vsej realni osi.

(b) Nari²ite graf funkcije.

2. Poi²£ite ena£bo tangente na

f(x) = xex − ln(1− x)

v to£ki x0 = 0 in izra£unajte pribliºno vrednost funkcije f(0, 1).

3. Dana je funkcijaf(x) = x

√1− x2.

Dolo£ite de�nicijsko obmo£je, zalogo vrednosti, ni£le, ekstremein poi²£ite lo-kalne ekstreme, intervale nara£anja in padanja. Nari²ite ²e njen graf.

4. Izra£unajte plo²£ino lika, ki ga oklepa krivulja

y = (2x+ 1) sinx

z osjo x na intervalu [0, π].

5. Poi²£ite tisto re²itev diferencialne ena£be

(4 + x2)y′ + xy = 2x,



NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij17. april 2015

1. Dani sta matriki

A =

−3 1 5−3 1 4−8 3 10

in B =

2 1 1−1 3 11 −2 1

.Poi²£i matriko X, za katero je

AXA−1 + 2I = B>.

2. Dana so ogli²£a tetraedra A(3, 1, 0), B(4, 3, 1), C(2, 2, 0) in D(a, 0, 1). Dolo£i²tevilo a tako, da bo prostornina tetraedra enaka 1. Dolo£i ²e vi²ino, ki greskozi ogli²£e D.

3. Poi²£i vsa realna ²tevila x, za katera velja∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 x 3−3 0 2 x1 1 1− x 43 2 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ < 4x2.

4. Obravnavaj sistem ena£b glede na razli£ne vrednosti parametra k

2x + y − z = 0x + ky + 4z = 2x + 4y + kz = 2.



1. Zapi²i ena£bo ravnine skozi to£ko A(1, 1, 1), ki je vzporedna premici

x− 1 =y − 3

2=z + 2

0

in je od nje oddaljena 3 enote.

2. Z Rn[x] ozna£imo prostor vseh polinomov stopnje najve£ n.

(a) Preslikava A : R2[x]→ R2[x] je podana s predpisom

A(ax2 + bx+ c) = (−2a+ 2b− c)x2 + (a+ c)x+ (3a+ 2b+ 4c).

Pokaºi, da je A linearna in dolo£i matriko, ki ji pripada v standardni bazi{1, x, x2}.

(b) Poi²£i jedro preslikave kerA.

3. Poi²£i lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

A =

1 −6 3−6 −8 6−3 −6 7

.

4. Dana je krivulja v prostoru

~r(t) = (e2t cos t, e2t sin t, e2t), t ≥ 0.

(a) Poi²£i naravni parameter.

(b) Poi²£i torzijsko in �eksijsko ukrivljenost v to£ki t = 1.



1. Dani so vektorji

~a =

λ14

, ~b =

1−2λ0

in ~c =

3λ−34

.Dolo£i ²tevilo λ tako, da bodo vektorji ~a,~b in ~c leºali na isti ravnini.

Namig: Izra£unaj prostornino paralelepipeda, ki ga dolo£ajo.


−x − y + z = 22x + 3y − 2z = 22x − 5y + z = −1.


A =

3 2 21 4 1−2 −4 −1

.

4. Dana je krivulja v prostoru

~r(t) =

(t,t2

3,2t3

27

).

(a) Izra£unaj dolºino krivulje od to£ke A(−3, 3,−2) do to£ke B(3, 3, 2).

(b) Dokaºi, da je v vsaki to£ki na krivulji kot med tangento krivulje in ravninox+ z = 3 enak in ga izra£unaj.



1. Zapi²i ena£bo ravnine, ki gre skozi to£kiA(1, 3, 4) inB(2, 5, 3) ter je pravokotnana ravnino x+ y + 2z = 1.


x + y + 2z + 3u − v = 5x + 2y + z + 5u − v = 5

−x + y − 4z + 2u = −32x − y + 7z − 2u = 6.

3. Dolo£i ²tevilo k tako, da bo 0 lastna vrednost matrike

A =

2 1 −30 3 k0 4 −1

.Poi²£i ²e lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti 0.

4. Poi²£i naravno parameterizacijo krivulje

~r(t) =

(t− sin t, 1− cos t, 4 sin

t

2

)ter izra£unaj njeno �eksijsko ukivljenost v to£ki (0, 0, 0).


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij19. avgust 2015

1. Dane so to£ke A(2, 1, 0), B(1,−1, 2) in C(3, 1, 1). Poi²£i to£ko D, tako daje prostornina tetraedra ABCD enaka 1/2 in je vektor ~AD pravokoten naravnino skozi to£ke A, B in C.


x + 3y + 2z − u = 4x − 2y + 3z − 2u = −32x + y − 2z + u = 6

x − y − z = 0.


A =

3 6 −6−1 6 −2−3 6 0

.

4. Izra£unaj �eksijsko in torzijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) = (cos t, sin t, t)

v to£ki (1, 0, 0).



1. Dani sta to£ki A(3, 2, 1) in B(1, 1, a). To£ka C naj bo pravokotna projekcijato£ke A na ravnino x + 2y − z = 0. Dolo£i ²tevilo a, tako da bo plo²£inatrikotnika ABC enaka 3

2

√11.


2x + y + z − 2u = 1x − y + 2z + 2u = 2x + y − 3z + 2u = 0

4x + y + 2u = 3.


A =

4 −6 8−1 5 4−3 6 7

.

4. Izra£unaj �eksijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) =(t cos(2πt), t sin(2πt), t2

)v to£ki (1, 0, 1).



1. Naj bo A to£ka, v kateri premica p : x − 1 = y−12

= z−2−1 prebada ravnino

x + y − 3z = 2. Poi²£i to£ko B na premici p, tako da bo plo²£ina trikotnika,ki ga dolo£ajo to£ke A, B in koordinatno izhodi²£e, enaka

√35.


x + 2y + 3z − u = 32x − 3y − z + u = 53x + y + 2z − 2u = −1

2y − 2u = −9.


A =

4 2 4−4 1 −14 −4 −2

.

4. Izra£unaj �eksijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) = (cos(πt), sin(πt), 2t)

v to£ki (−1, 0, 2).


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij28. januar 2016

1. Poi²£i ena£bo tiste ravnine skozi to£ko A(1, 2, 3), katere presek s premicama

p1 : x− 1 =y − 2

3= 1− z

p2 :x− 2

2=y − 1

0= z + 2

je prazen.


x + 2y − 2z + 3u = −12x + 3y − z + u = 33x + y − z − 2u = −5

2x − 2z = −9.


A =

−7 −3 −18 3 210 3 4

.

4. Izra£unaj �eksijsko in torzijsko ukrivljenost krivulje

~r(t) = (t, sin t, cos t)

v to£ki (π, 0,−1).


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij11. februar 2016

1. Dani sta to£ki A(1, 2, 2) in B(2, 3, 0). Poi²£i to£ko C na premici p : x − 2 =y−23

= 2−z2, tako da bo plo²£ina trikotnika ABC enaka

√5.


x + 2y − 3z + u = 22x + y − z + 2u = 13x − y + 2z − u = 3

4y − 6z + 4u = 0.


A =

−7 −3 −18 3 210 3 4

.

4. Naj bo R2[x] prostor vseh polinomov stopnje 2 ali manj.

(a) Pokaºi, da je odvajanje linearna preslikava na tem prostoru.

(b) Zapi²i matriko, ki pripada odvajanju glede na bazo e0(x) = 1,e1(x) = 1 + x, e2(x) = 1 + x+ x2.

Poglavje 6

Matematika 3 - univerzitetni ²tudij

59


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij28. november 2014

1. V diferencialno ena£bo

2xy′ + 1 = y +x2

y − 1

vpelji novo spremenljivko z = y − 1 in jo re²i.


y′′ − 4y′ + 3y = (2x+ 1)e3x,

za katero je y(0) = 1 in y′(0) = 2.

3. Re²i sistem diferencialnih ena£b

y′ = 2y + 3z

z′ = 4y + z.

4. Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije

f(x, y) = arctg√

1 +y

x.

in ga nari²i. Poi²£i ²e zalogo vrednosti.

5. Dolo£i ²tevilo a, da bo funkcija

f(x, y) =

{cos y3

(x−1)2+y2 ; (x, y) 6= (1, 0)

a; (x, y) = (1, 0)

zvezna.



1. Dolo£i ena£bo tangentne ravnine na graf funkcije

f(x, y) = ln(x− y)− ln(1 + y2)

v to£ki T (2, 1, z0).

2. Poi²£i vse stacionarne to£ke funkcije

f(x, y) = 2y +1

x+ y+ ex−y


3. Naj bo∫∫D

f(x, y) dxdy =

∫ 1

0

dx∫ 2

πarcsinx

0

f(x, y) dy +∫ 2

1

dx∫ 2x−x2

0

f(x, y) dy.

(a) Zamenjaj vrstni red integriranja.

(b) Izra£unaj teºi²£e obmo£ja D.

4. Izra£unaj integral ∫∫∫V

(x+ y + z) dV

po obmo£ju V , podanem z

x2 + y2 − 1 ≤ z in x2 + y2 ≥ 2z.




y′′ + y′ − 6y = 3 sin 2x+ e−3x.

2. Poi²£i de�nicijsko obmo£je funkcije

f(x, y) = ln(arcsin(x2 + y2))

in ga nari²i. Dolo£i ²e zalogo vrednosti.


f(x, y) = x2 + 3xy2 + 2y2


4. Izra£unaj prostornino telesa, za katerega velja

x2 + y2 ≤ 9, x+ y + z ≤ 3 in z ≥ 0.


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij11. februar 2015


(2yy′ − x)(x2 − 1) = xy2.


2. Dolo£i ²tevilo a, da bo funkcija

f(x, y) =

{(x2−y2)(y+1)+2y2

x2+y2(x, y) 6= (0, 0)

a (x, y) = (0, 0)

zvezna.


f(x, y) = (x2 + y2 − 5)e−y/2


4. Izra£unaj maso in teºi²£e lika D, ki je dolo£en z neenakostmi

1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0 in y ≥ 0,

in ima gostoto f(x, y) = 11+x2+y2

.




y′′ + 2y′ + 2y = 2 cos 3x.

2. Poi²£i de�nicijsko obmo£je funkcije

f(x, y) =

√cos

π(x2 + y2)

2

in ga nari²i. Dolo£i ²e zalogo vrednosti.


f(x, y) = (x+ y)ex−y


4. Izra£unaj teºi²£e telesa z gostoto ρ(x, y, z) = 1, za katerega velja

x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z2 in z ≥ 0.




2y′ +3y

x lnx= 3 3√y,

za katero je y(e) = 0.

2. Dana je funkcijaf(x, y) = ln(x2 − y2) + 2x.

(a) Dolo£i de�nicijsko obmo£je in ga nari²i.

(b) Poi²£i stacionarne to£ke in jih klasi�ciraj.

3. Izra£unaj dvojni integral ∫∫D

ydxdy,

£e za obmo£je D velja x2 + y2 ≤ 1 in x2 − 2x+ y2 ≤ 1.

4. Izra£unaj teºi²£e telesa dolo£enega z neenakostmi

z ≤ x2 + y2 ≤ 2z in x2 + y2 ≤ 1.


NTF Montanistika - univerzitetni ²tudij19. avgust 2015


y′′ − 6y′ + 9y = 2xe3x + 3 cos 3x.


f(x, y) = (4x2 + 3)e−x2−y2



(x2 + y2)dxdy,

£e je obmo£je D paraelogram omejen s premicami y = x, y = x + 1, y = 1 iny = 2.

4. Izra£unaj prostornino telesa dolo£enega z neenakostima

x2 + y2 ≤ 4z2 in x2 + y2 ≤ 3− z.




y′ − 4xy

x2 − 1= 8x

√y,



f(x, y) = 2 ln(3 + x2 + 3y2)− x− 3y2



sin(√x2 + y2)dxdy,

£e za obmo£je D velja x2 + y2 ≤ π in y ≥ 0.

4. Izra£unaj teºi²£e telesa dolo£enega z neenakostmi

x2 + y2 ≤ z2, z ≥ 0 in 2z ≤ x2 + y2 + 1.




y′′ + 3y′ − 4y = 2xex + sin(4x),

za katero je y(0) = 0 in y′(0) = 1.


f(x, y) = (x2 + y)ex−y



(x2 + y2)dxdy,

£e je obmo£je D trikotnik z ogli²£i A(0, 0), B(3, 1) in C(2, 3).

4. Izra£unaj prostornino telesa dolo£enega z neenakostmi

x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z2 in z ≥ 0.

Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni...

Documents

Transcript of Zbirka kolokvijev in izpitov iz Matematike za ²tudente ...1 Matematika 1 - visoko²olski strokovni...