1/28/2020

1

Zbatime të Informatikës në Miniera

Th.Korini, 2020

Fakulteti i Gjeologjisë dhe i Minierave

Ma

ste

r P

rofe

sio

na

l, G

jeo

ma

tik

ë

Leksioni 7

Interpolimet

përm

bajt

ja

zx

x

Metoda e inversit të distances të peshuarIdeja bazë e metodës së inversit të distancës bazohet në faktin që ndikimi i pikave më të afërta është më i madh se i atyre të largëta. Në këtë mënyrë, vlera e panjohur e kuotes z në pikën e interpoluar llogaritet duke peshuar vlerat e z të pikave rrethuese në përputhje me distancën e tyre e duke i mesatarizuar ato. Le të jetë P = P1, ... , Pn bashkësia e n pikave. Vlera z në çdo pikë (x,y) mund të llogaritet sipas formulës:

1

1

i i i

n

i ii

n

ii

z x x y y

w zz x

Py

w

1i p

i

wd

ku:

p është një parametër që përfaqëson se sa shpejt pesha e një pike të dhënash zvogëlohet me rritjen e distancës. Zakonishtmerret p=2.

1/28/2020

2

Shembuj interpolimi në 2D dhe 3D sipas inversit të distancës të peshuar me p=2

% Interpolimi sipas metodes se inversit te peshuar te distances (p=2)

clear all

close all

clc

x = [288;285.6; etj… 345.6];

y = [311;288; etj… 216];

vz =[11.5;8.5;7; etj… 9.9];

k = length(vz);

pp = 2;

dx = 4;

dy = 4;

ti1 = 250:dx:500;

ti2 = 100:dy:350;

vepsi = 0.01*sqrt(dx*dx+dy*dy);

ix = length(ti1);

iy = length(ti2);

for i1=1:ix

for i2=1:iy

snum = 0.0;

sem = 0.0;

% pika ime e rrjetit:x,y=ti1(i1),ti2(i2)

xx = ti1(i1);

yy = ti2(i2);

indz = 0;

for i3=1:k

vd = [x(i3) - xx, y(i3) - yy];

dd = sqrt(vd(1)*vd(1) + vd(2)*vd(2));

if dd < vepsi

valz = vz(i3);

indz = 1;

break

else

wi = 1.0/(dd^pp);

snum = snum + wi*vz(i3);

sem = sem + wi;

end

end

qx(i1,i2) = xx;

qy(i1,i2) = yy;

if indz == 1

zi(i1,i2) = valz;

else

zi(i1,i2) = snum/sem;

end

end

end

Shembull 1 (Matlab/Octave):

1/28/2020

3

figure(1)

mesh(qx,qy,zi, 'LineWidth',1);

meshc(qx,qy,zi);

hold on;

plot3(x,y,vz,'ro');

xlabel('X (m)');

ylabel('Y (m)');

zlabel('Cadmium (ppm)');

title('Inversi i distances i peshuar: permbajtja e Kadmiumit (ppm)');

view(-37.5+90, 35) % ndryshimi i pikes se shikimit: view(azimut, kend vertikal)

figure(2)

title('Inversi i peshuar i distances: Permbajtja e kadmiumit (ppm)','FontSize',13)

vv = [2 4 6 8 10 12 14];

[C,h] = contour(qx,qy,zi,vv, 'r')

clabel(C,h,'LabelSpacing',200, 'FontSize',9)

xlabel('X (m)');

ylabel('Y (m)');

title('Inversi i distances i peshuar: permbajtja e Kadmiumit (ppm)');

1/28/2020

4

Interpolimi sipas metodës së fqinjëve natyrore

Le të jenë n pika pi (xi,yi) të shpërndara në një zonë D për të cilat njohim vlerën zi.

Për të përcaktuar vlerën e z në një pikë të çfarëdoshme p0 përdoret mesatarja e ponderuar sipas relacionit:

01 1

ku 1

n n

i i ii i

z( ) = z pp

Ndërmjet metodave të bazuara në ndarjen e sipërfaqes më e thjeshta është ajo e fqinjëve natyrorë

1/28/2020

5

Ndërtohen poligonet e Thiessen (Voronoi)

Zona e Voronoit asociuar një pike p të bashkësisë S të pikave të dhëna quhet zona e kufizuar nga një poligon (poligoni i Thiessen) për të cilën gjithë pikat xbrenda tij janë më pranë p se çdo pikë tjetër të bashkësisë së të dhënave.

/ ( , ) ,sVor p x E q S d x p d x q

Poligonet e Thiessen janë poligone konvekse.

Poligonet e Thiessen për pikat e dhëna

p3

Poligonet e Thiessen për pikat e dhëna

Poligonet e Thiessen duke shtuar edhe pikën që do të

vlerësohet

p1

p2

p5

p7

p3

p4

p0

A 1A2

A7A6

A5

Përcaktimi i sipërfaqeve elementare të zonës së

ndërprerjes

Për të vlerësuar parametrin e panjohur në një pikë p0 ndërtohen poligonet e Thiessen, fillimisht pa pikën p0, e në vijim duke shtuar këtë pikë në bashkësinë e pikave të të dhënave. Poligonet e rinj (me pikën që do të vlerësohet) mbivendosen mbi ata të rrjetit (me pikat e të dhënave) duke përcaktuar ndërprerjet ndërmjet poligonit të pikës p0 dhe poligoneve fillestare të pikave pi në trajtën e sipërfaqeve Ai. Në këtë mënyrë pesha e çdo pike pi në vlerësimin e p0 do të jetë raporti ndërmjet sipërfaqes Ai dhe sipërfaqes totale të poligonit të pikës p0 .

7

10 7

1

( )i ii

ii

A z p

z p

A

ku në këtë rast A3 dhe A4 janë të barabarta me zero

1/28/2020

6

Rrjeti poligonal i Thiessen mund të ndërtohet duke u nisur nga triangulacioni i Delauney. Triangulacioni i Delauney është një rrjet i çrregullt trekëndor i ndërtuar në mënyrë të tillë që të kënaqë kriterin e Delauney: brenda rrethit të përcaktuar nga tre pikat e çdo trekëndshi të mos ndodhet asnjë pikë tjetër e rrjetit.

250 300 350 400 450 500100

150

200

250

300

350Triangulacioni i Delauney dhe diagrama e Voronoit (Poligonet e Thiessen)

x

y

% Triangulacioni i Delauney dhe diagrama e Voronoit

clear all

close all

clc

x = [288;285.6; etj…345.6];

y = [311;288; etj… 216];

dt=delaunay(x,y)

triplot(dt, x, y)

hold on;

voronoi(x,y, ':r')

title('Triangulacioni i Delauney dhe diagrama e Voronoit(Poligonet e Thiessen)','FontSize',14)

xlabel('x')

ylabel('y')

Shembull 2 (Matlab):

1/28/2020

7

% Metoda e fqinjeve natyroreclear allclose allclcx = [288;285.6;etj…345.6];y = [311;288; etj… 216];vz =[11.5;8.5;etj…9.9];

% Ndertimi i interpoluesit:F = TriScatteredInterp(x,y,vz,'natural' )ti1 = 250:5:500;ti2 = 100:5:350;% ndertimi i rrjetit te vleresimit (qx, qy):[qx,qy] = meshgrid(ti1,ti2);

% vleresimi i qz ne pikat e rrjetit (qx, qy):qz = F(qx,qy);meshc(qx,qy,qz);hold on;plot3(x,y,vz,'o');title('Metoda e fqinjeve natyrore: Harta e permbajtjes se kadmiumit (ppm)','FontSize',14)xlabel('x')ylabel('y')

Shembull 3 (Matlab):

250

300

350

400

450

500

100

150

200

250

300

350

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

Metoda e fqinjeve natyrore: Harta e permbajtjes se kadmiumit (ppm)

y

1/28/2020

8

1 1( , )x y

2 2( , )x y

3 3( , )x y

4 4( , )x y 5 5( , )x y

( , )i ix y

( , )n nx y

i

ii

D f x y

1D 2D

3D 5D4D

nD

Sheshimi sipas metodës së katrorëve më të vegjël

Jepet një bashkësi n pikash eksperimentale (xi, yi). Kërkohet që mbi bazën e të dhënave eksperimentale të përafrohet ligji i ndryshimit të y në funksion të x-it, duke përjashtuar sa të jetë e mundur ndikimin e gabimeve të kryera në matje.Përgjithësisht funksioni supozohet i njohur (duke ju referuar ligjësisë së fenomenit). Ai mund të jetë linear (y=a1+a2*x) ose edhe i rendit më të lartë (polinom ose edhe ndonjë lloj tjetër funksioni).Quajmë Di diferencën ndërmjet vlerës së funksionit f(xi) dhe vlerës yi të përcaktuar nga Di=f(xi)-yi.Formojmë shumën e katrorëve të shmangieve në të gjithë pikat xi:

2 2 2 21 2 ... ...i nK D D D D

Sheshimi më i mirë realizohet nga vija për të cilën K (shuma e katrorëve të shmangieve të pikave nga vija) është minimale.

Rasti i sheshimit sipas një vije të drejtë: (y=a1+a2*x)

Koeficientët a1 dhe a2 përftohen nga zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare:

1

22i

i i

i i i

n x ya

x x x ya

Ku n është numri i pikave, ndërsa shumatoretrealizohen në raport me abscisat dheordinatat e pikave të të dhënave.

Në Matlab/Octave koeficientët përftohen nga zgjidhjae sistemit (me më shumë ekuacione se të panjohura):

1 1

2 2 1

2

1

1

... ... ...

1n n

y x

y x a

a

y x

1 1

2 2 1

2

1

1, X , B=

... ... ...

1n n

y x

y x aY

a

y x

Në se shënojmë:

Në Matlab/Octave zgjidhja përftohet nga B = X\Yku \ përfaqëson funksionin (operatorin) mldivide.

1/28/2020

9

Shembull 4 (Matlab/Octave):

% sheshimi sipas vijes y=b1+b2*x

x=[1; 1.5; 2.2; 3; 3.5; 4];

y=[1.45; 2; 2.25; 2.7; 2.8; 3.1];

z = [ones(length(x),1) x];

b = z\y

scatter(x,y)

hold on

yllog = z*b;

plot(x,yllog,'--')

legend('Te dhenat','Vija e regresit');

xlabel('x');

ylabel('y');

title('Regresioni linear');

coef=cov(x,y)/(std(x)*std(y));

txt = ['Koef. korelacionit = ' num2str(coef)];

text(0.8*max(x), 1.05*min(y),txt);

1/28/2020

10

% sheshimi sipas vijes y=b1+b2*x+b3*x^2

x=[1; 1.5; 2.2; 3; 3.5; 4];

y=[1.45; 2; 2.25; 2.7; 2.8; 3.1];

z = [ones(length(x),1) x x.*x];

b = z\y

scatter(x,y)

hold on

yllog = z*b;

plot(x,yllog,'--')

legend('Te dhenat','Vija e regresit');

xlabel('x');

ylabel('y');

title('Perafrimi sipas MKV');

Shembull 5 (Matlab/Octave):

1/28/2020

11

Sheshimi sipas metodës së katrorëve më të vegjël në rastin 3 përmasor

Shembull: llogaritja e parametrave të një sipërfaqe polinomiale të rendit të tretë:

2 2 3 2 2 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9z a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y

sheshon bashkësinë e n pikave eksperimentale.P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2) .......... Pi(xi, yi, zi) .......... Pn(xn, yn, zn)

2

2 2 30 1 2 8 9

1

K= ..........n

i i i i i i ii

D a a x a y a x y a y z

0 1

0 0 0q

K K K

a a a

aa a x a y a y z

aa a x a y a y z

aa a x a y a y z

i i i ii

n

i i i ii

n

i i i ii

n

00 1 2 9

3 2

1

10 1 2 9

3 2

1

20 1 2 9

3 2

1

0

0

0

.......

........

........

............................

......................................

........

aa a x a y a y zi i i i

i

n

90 1 2 9

3 2

1

0

369

58

323

42

31

30

2329

238

43

22

31

20

49

38

23

2210

39

228

332

210

39

28

23210

....

.............................................................................

...

.....

......

........

zyyaxyayxayaxyaya

zxyxayxaxayxaxaxa

zyyaxyayxayaxyaya

xzxyayxaxaxyaxaxa

zyaxyaxayaxana

3

2

9

3

2

1

0

6532433

32234232

4322

32232

322

......

...

.....................

...

...

...

...

zy

zx

zy

xz

z

a

a

a

a

a

yxyyxyxyy

yxyxxyxxx

yxyyxyxyy

xyyxxxyxx

yxyxyxn

ose:

1/28/2020

12

Shembull 6 (Matlab/Octave):

x = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 1.3]';

y = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 1.7]';

z = [.17 .26 .28 .23 .27 .24 .47]';

% y=a1+a2*x+a3*y+a4*x^2+a5*x*y

vi = [ones(size(x)) x y x.*x x.*y];

a = vi\z

% Rezultati:y=0.06947+1.07639*x-1.03609*y-0.58167*x^2+0.77682*x*y

scatter3(x,y,z)

hold on

[xg,yg] = meshgrid(0:.1:2);

zg = a(1) + a(2)*xg +a(3)*yg +a(4)*xg.^2 + a(5)*xg.*yg

surf(xg,yg,zg)

250

300

350

400

450

500

100150

200250

300350

-5

0

5

10

15

20

x

Sheshimi sipas MKV: Kadmium

y

z